Aula- Sistemas Nao-Lineares

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Resolução de Sistemas 
Não-Lineares- Parte 1
Prof Manoel Azevedo (Dr.)
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Sistemas não-lineares
 Normalmente, em problemas aplicados 
temos que resolver sistemas de equações 
não-lineares de ordem 
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Dada
Procuramos a 
 solução do
 sistema não-linear 
Em notação matricial:
Sistemas não-lineares
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EXEMPLO DE SISTEMAS 
NÃO-LINEARES nxn
Exemplo1: Intersecção de círculo com hipérbole.
Temos 4 soluções (intersecções)!!!!!!!!!!!!!!!!
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EXEMPLO DE SISTEMAS 
NÃO-LINEARES nxn
Exemplo2: Intersecção de duas parábolas.
Não temos soluções!!!!!!!!!!!!!!!!
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SISTEMAS NÃO-LINEARES nxn
HIPÓTESES
Seja onde
é um aberto de . Em , suponha que 
 
tenha derivadas contínuas. Suponha que exista pelo
menos um tal que .
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SISTEMAS NÃO-LINEARES nxn
HIPÓTESES
Seja o vetor gradiente de dado por 
 
e a matriz Jacobiana de :
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SISTEMAS NÃO-LINEARES nxn
MÉTODO DE NEWTON
O Método de Newton é método básico.
Consiste na linearização local do sistema não-linear
Seja a aproximação . Para qualquer , existe , tal que:
Aproximando, temos um modelo local linear
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SISTEMAS NÃO-LINEARES nxn
MÉTODO DE NEWTON
O modelo local linear do sistema não-linear é
Seja , então
Passo 1: Dado , calcule e .
Passo 2: Resolve-se o sistema linear . Neste ponto técnicas de fatoração, pivoteamento e métodos iterativos podem ser utilizadas para determinar .
 O Método de Newton com resolução do sistema linear de modo iterativo é chamado de Método de Newton Inexato.
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SISTEMAS NÃO-LINEARES nxn
Comentário 1: Estudaremos os métodos para sistemas não-lineares são iterativos. Dado inicial, gera-se uma seqüência , de modo que 
Comentário 2: Critérios de parada
 norma dos vetores de .
 norma infinito.
 tolerância ou número máximo de
 iterações.
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SISTEMAS NÃO-LINEARES nxn
MÉTODO DE NEWTON INEXATO
Algoritmo. Dados , , , faça: 
Passo1: Calcule e .
Passo 2: Se , faça e pare. Senão,
Passo 3: Obtenha , solução de
Passo 4: Faça 
Passo 5: Se faça e pare. Senão
Passo 6: Faça e volte ao passo 1.
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MÉTODO DE NEWTON – Exemplo
Resolva o sistema . 
Sabemos que as soluções são 
Tomamos , e calculando o 
Jacobiano, obtemos .
 
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MÉTODO DE NEWTON – Exemplo
Iteração 1: 
 continue!
 
 métodos diretos ou iterativos
 e 
 continue!!!!!!
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MÉTODO DE NEWTON – Exemplo
Passo 1: 
Comentário: Note que no processo de resolução de 
sistemas não-lineares, devemos resolver um sistema
linear a cada iteração. 
Métodos diretos: Eliminação de Gauss com pivoteamento parcial ou total, fatoração LU ou Cholesky.....
Métodos iterativos: Método de Gauss-Jacobi o Gauss-Seidel 
 
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MÉTODO DE NEWTON – Exemplo
CONTINUANDO. Iteração 2: 
 continue
 
 
 e 
 continue!!!!!!
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MÉTODO DE NEWTON – Exemplo
1-Continuar o processo até que um dos dois critérios de 
parada seja atingido, ou seja
 ou
2-Convergência do Método de Newton Inexato é 
Quadrática em condições adequadas.
3-Diferentes abordagens do Método de Newton Inexato
geram algoritmos alternativos.
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MÉTODO DE NEWTON MODIFICADO
O Método de Newton Modificado consiste em 
tomar a cada iteração, sempre, , em vez
de . O método iterativo é dado pela
seqüência .
Neste procedimento temos que resolver no
passo o sistema linear:
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MÉTODO DE NEWTON MODIFICADO
O Método de Newton Modificado tem a vantagem de calcular uma única vez a matriz Jacobiana .
No caso de resolver por fatoração LU, os fatores L e U também serão calculados uma única vez.
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MÉTODO DE NEWTON MODIFICADO– EXEMPLO
Resolva o sistema . 
Sabemos que as soluções são 
Tomamos , e calculando o 
Jacobiano, obtemos . Fixado!!!!
 
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MÉTODO DE NEWTON MODIFICADO
Iteração 1: 
 continue!
 
 métodos diretos ou iterativos
 e 
 continue!!!!!!
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MÉTODO DE NEWTON MODIFICADO
Iteração 2: 
 continue
Diferença e
 
 
 
 continue!!!!!!
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MÉTODO DE NEWTON
CONVERGÊNCIA
O Método de Newton Modificado, Inexato, 
perde a propriedade de convergência 
quadrática, apesar que neste exemplo, 
aparentemente, o nível de convergência foi 
semelhante.
Verifica-se que o Método de Newton Modificado 
converge linearmente.
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MÉTODOS DE QUASE-NEWTON
Os Métodos de Quase-Newton, Inexatos, 
consistem em gerar seqüências , com 
Boas propriedades de convergência, sem ter 
que avaliar (calcular) a matriz Jacobiana a cada 
iteração.
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MÉTODOS DE QUASE-NEWTON
No Método de Newton Inexato a seqüência é 
gerada por
onde é a solução do sistema linear
A idéia é impor condições sobre gerando 
 a) algum princípio de variação mínima.
 b) preservar alguma estrutura (simetria, esparsidade,..) da matriz Jacobiana.