Aula 3 Matrizes

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“Nossa Missão é formar cidadãos compromissados com o avanço do conhecimento em benefício do
desenvolvimento da realidade em que vivem e de futuras gerações.” Página 1
Curso: Engenharia de produção/Engenharia Mecânica Ano: 2016-1° semestre
Disciplina: Vetores e Geometria Analítica Turma: PRO215AN/MEC215AN
Professor: Alice Lima de Souza da Cruz
AULA 03
MATRIZES
Uma matriz é uma tabela de números formada por m linhas e n colunas.
A representação de seus elementos é, usualmente, feita entre parênteses ou colchetes.
Exemplos:
32854
631
x
=A 

 − ;
2390
14
68
x
=B







 −
;
33
625
4
332
2
101
x
=C












−
Em sua forma geral, uma matriz qualquer de ordem m x n, pode ser apresentada de duas formas:
nmmnmmm
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
=A
×










...
...............
...............
...
...
321
2232221
1131211
ou
A= [aij m× n]
onde:
ija é o elemento da matriz no qual os índices i e j indicam sua posição na matriz
m e n números naturais não-nulos
o índice i indica a linha
o índice j indica a coluna
As matrizes podem ser classificadas quanto ao seu tipo, em:
a) Matriz linha
- matriz que possui uma única linha
- matriz de ordem 1 x n
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Exemplo:
[ ] 31321 x=B
b) Matriz coluna
- matriz que possui uma única coluna
- matriz de ordem m x 1
Exemplo:
134
3
2
x
=M








c) Matriz nula
- matriz que possui todos os elementos nulos, ou seja, iguais a zero
Exemplo:
2300
00
00
x
=N








d) Matriz quadrada
- matriz cujo número de linha é igual ao número de colunas
- matriz de ordem n
Exemplo:
2282
53
x
=Q 

 ;
33287
543
120
x
=C








−
−
nnnnnnn
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
=A
×










...
...............
...............
...
...
321
2232221
1131211
neste último caso a diagonal principal da matriz é o conjunto de elementos ija em que i=j, ou seja,
{ nna,…,a,a,a 332211 } .
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e) Matriz identidade ( nI )
- matriz quadrada em que cada elemento da diagonal principal tem o valor da unidade (1) e os demais
elementos são nulos. Podendo ser definida por:
[ ]
nnijn a=I ×
onde, 1=aij se j=i e 0=aij se ji ≠ .
Exemplo:
2210
01
x
=I 

 ;
33
2
100
010
001
x
=I








IGUALDADE DE MATRIZES
Duas matrizes A e B de mesma ordem são iguais se, e somente se, seus elementos de mesma posição forem iguais,
ou seja:
[ ]
nmija=A × e [ ] qpijb=B ×
sendo B=A , temos: p=m e q=n logo aij= b ij para mi1 e nj1 .
Exemplo:
a)
33876
514
321
x
=A








e
33876
514
321
x
=B








; A = B
b)
2x3084
150,6



=C
e
32
3
0
024
355/3
x
=D 


 ; C = D
OPERAÇÕES COM MATRIZES
a) Adição
A soma de duas matrizes, A e B, de mesma ordem é uma matriz, C, também de mesma ordem, cujos elementos
representam a adição dos elementos de mesma posição das matrizes.
A+B= C
sendo [ ]
nmija=A × e [ ] nmijb=B × temos : [ ] nmijij b+a=B+A=C × .
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Exemplo
2243
21
x
=M 


−
e
2248
75
x
=N 

 então 




− 011
96
4483
7251
=
++
++
=N+M
Assim como para os números reais, as propriedades da adição são válidas também para soma de matrizes. São
elas:
- comutativa
A + B = B + A
- associativa
A + (B + C) = (A + B) + C
- elemento simétrico
A + (-A) = 0
- elemento neutro
A + 0 = A
b) Subtração
A subtração de duas matrizes, A e B, de mesma ordem é uma matriz, C, também de mesma ordem, obtida pela
adição da matriz A com a oposta da matriz B.
A− B= A+(− B)= C
Exemplo:



342
178
=A e 


−123
156
=N então 


−



−−
−−−
−
421
022
132432
115768
=
+
=NA
c) Multiplicação de um escalar por uma matriz
A multiplicação ou produto de um número real k por uma matriz B é uma matriz C, em que cada elemento é
obtido pela multiplicação de k por cada elemento da matriz B.
Exemplo:








−−
−
4443
0152
4731
=A então








−−
−








−−
−⋅⋅
20202015
052510
2035155
4443
0152
4731
55 ==A
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d) Multiplicação de matrizes
A multiplicação de duas matrizes M e N só é possível se o número de colunas de M for igual ao número de
linhas de N, assim a matriz resultante O = MxN terá o mesmo número de linhas de M e o número de colunas de N,
ou seja
nmnppm O=NM ××× ⋅
Vejamos um exemplo:
Dados
2243
21
x
=A 

 e
2224
53
x
=B 

− o produto de A por B será a matriz
222221
1211
x
cc
cc
=C 

 onde:
( )[ ] [ ] 583423111 =+=+=c −⋅−⋅ (1ª linha e 1ª coluna)
[ ] [ ] 945225112 =+=+=c ⋅⋅ (1ª linha e 2ª coluna)
( )[ ] [ ] 7169443321 =+=+=c −⋅−⋅ (2ª linha e 1ª coluna)
[ ] [ ] 23815245322 =+=+=c ⋅⋅ (2ª linha e 2ª coluna)
22237
95
x
=C 


Propriedades da multiplicação de matrizes:
- associativa
( ) ( )CBA=CBA ⋅⋅⋅⋅
- distributiva
( ) CB+CA=CB+A ⋅⋅⋅
( ) BC+AC=B+AC ⋅⋅⋅
MATRIZ INVERSA
Dada uma matriz A quadrada de ordem n. Diz-se que A-1 é a matriz inversa de A se, e somente se, nI=AA 1−⋅ , ou
seja:
nI=AAAA ⋅=⋅
−− 11
onde,
nI é a matriz identidade de mesma ordem da matriz A.
Exemplo:
1) Verificar se a matriz C é inversa de A:= 8 53 2 e C= 2 −5−3 8
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= 8 53 2 × 2 −5−3 8 = 1 00 1
2) 


23
12
=A considerando 


−
dc
ba
=A 1 e sabendo que I=AA 1−⋅ temos:





⋅


10
01
23
12
=
dc
ba → 




10
01
2323
22
=
d+bc+a
d+bc+a →
023
12
=c+a
=c+a e
123
02
=d+b
=d+b
resolvendo os sistemas temos: 2=a ; 1−=b ; 3−=c e 2=d . Logo,



−
−
−
23
121
=A
Lista de Exercícios 3
1) Construir a matriz [ ]
32xija=A , tal que ( )2j+i=aij .
2) Determine os números reais x e y de modo que as matrizes M e N sejam iguais, dadas:


 −
y+x
yx
=M
1
625 e 


51
64
=N .
3) Dadas as matrizes 


− 57
21
=A , 

−
62
43
=B e 


23
46
=C , calcule:
a) B+A
b) C–A
c) CB+A −2
4) Determine o valor de x e y na igualdade
[x 34 y]+[− 1 58 y ]= [2 44 − 2]
5) Multiplique as matrizes
32241
132
x



−
e
2362
51
43
x








−
6) Determine a matriz inversa de 


−
−
31
21
=A