Exercícios de Matemática - Fenômenos físicos e econômicos

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Questão 1
Um golfista bate em uma bola, cuja trajetória pode ser descrita pela função h(t) = – t² + 6t, em que h é a altura em metros e t é o tempo em segundos após a batida. Qual a altura máxima atingida pela bola?
A 3 metros
B 6 metros
C 9 metros
D 12 metros
E 15 metros
Responder
Parabéns! A alternativa C está correta.
A altura máxima é o valor y do vértice da parábola h(t) = – t² + 6t. O tempo t em que a altura máxima é atingida é dado por t_v = – b / (2a).
 
Nessa função:
a=−1 e b=6. 
a=−1 e b=6. 
Para encontrar a altura máxima, substituímos t_v = 3 na função h(t):
h(3)=−(3)2+6(3)=−9+18=9 metros 
h(3)=−(3)2+6(3)=−9+18=9 metros 
Questão 2
A temperatura T (em graus Celsius) n6⋅4+10=26∘C
T(x)=−0,5(4)2+6⋅4+10=26∘C
Questão 3
Questão 3
Um projétil é lançado verticalmente para cima a partir do solo. Sua altura h (em metros) em relação ao tempo t (em segundos) é dada pela função h(t) = – 5t² + 40t. Após quantos segundos o projétil atingirá o solo novamente?
A 4 segundos
B 5 segundos
C 6 segundos
D 8 segundos
E 10 segundos
Responder
Parabéns! A alternativa D está correta.
O projétil atinge o solo quando sua altura h(t) é igual a zero. Precisamos resolver a equação.
−5t2+40t=0.
−5t2+40t=0.
Podemos fatorar t (ou – 5t):
t(−5t+40)=0
t(−5t+40)=0
Isso nos dá duas soluções para t:
 
1. t = 0 (este é o momento do lançamento, quando o projétil está no solo inicialmente).
 
2. – 5t + 40 = 0 => – 5t = – 40 => t = – 40 / – 5 => t = 8 segundos.
 
Portanto, o projétil atinge o solo novamente após 8 segundos.
Questão 4
A trajetória do salto de um golfinho fora d’água pode ser modelada por uma parábola. Sabe-se que o golfinho sai da água no ponto (0,0) e atinge uma altura máxima de 2 metros quando está a uma distância horizontal de 3 metros do ponto de saída. Qual das seguintes funções quadráticas h(x) = ax² + bx + c melhor representa a altura h do golfinho em função da distância horizontal x?
A h(x) = (– 2/9)x² + (4/3)x
B h(x) = (– 1/3)x² + 2x
C h(x) = (– 2/3)x² + 4x
D h(x) = (–1/9)x² + (2/3)x
E h(x) = (– 4/9)x² + (8/3)x
Responder
Parabéns! A alternativa A está correta.
Sobre a trajetória, uma parábola, temos três informações:
 
1. Sai da água no ponto (0,0). Isso significa que h(0) = 0. Se h(x) = ax² + bx + c, então c = 0. A função é da forma h(x) = ax² + bx.
 
2. Atinge a altura máxima de 2 metros (y_v = 2) quando a distância horizontal é 3 metros (x_v = 3.
 
3. Portanto, o vértice da parábola é V = (3, 2).
Podemos usar a forma canônica da parábola:
h(x)=a(x−xv​)2+yv​h(x)=a(x−3)2+2
h(x)=a(x−xv​)2+yv​h(x)=a(x−3)2+2
Como a parábola passa pelo ponto (0,0) (sai da água), podemos substituir x = 0 e h(0) = 0:
0=a(0−3)2+20=a(−3)2+20=9a+29a=−2a=−2/9
0=a(0−3)2+20=a(−3)2+20=9a+29a=−2a=−2/9
Agora, substituímos a de volta na forma canônica e expandimos:
h(x)=(−2/9)(x−3)2+2h(x)=(−2/9)(x2−6x+9)+2h(x)=(−2/9)x2+(−2/9)(−6x)+(−2/9)(9)+2h(x)=(−2/9)x2+(4/3)x−2+2h(x)=(−2/9)x2+(4/3)x
h(x)=(−2/9)(x−3)2+2h(x)=(−2/9)(x2−6x+9)+2h(x)=(−2/9)x2+(−2/9)(−6x)+(−2/9)(9)+2h(x)=(−2/9)x2+(4/3)x−2+2h(x)=(−2/9)x2+(4/3)x
Questão 5
Um fazendeiro deseja cercar uma área retangular adjacente a um rio para criar um pasto. Ele dispõe de 200 metros de cerca. O lado do retângulo ao longo do rio não precisará de cerca. Qual é a maior área possível que o fazendeiro pode cercar?
A 2500 m²
B 3000 m²
C 4000 m²
D 5000 m²
E 6250 m²
Responder
Parabéns! A alternativa D está correta.
Seja x a medida dos dois lados perpendiculares ao rio e y a medida do lado paralelo ao rio. A quantidade total de cerca disponível é de 200 metros.
O perímetro a ser cercado é 2x + y = 200.
Podemos expressar y em função de x: 
y=200−2x
y=200−2x
A área A do retângulo é dada por A=x⋅y.
Substituindo y na fórmula da área:
 
A(x)=x(200−2x)=200x−2x2
A(x)=x(200−2x)=200x−2x2
Esta é uma função quadrática A(x)=−2x2+200x, em que a=−2 e b=200. Como a