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INTEGRAIS DUPLAS VOLUMES E INTEGRAIS DUPLAS Na tentativa de resolver o problema de determinar áreas, chegamos à definição de integral definida. Vamos aplicar procedimento semelhante para calcular o volume de um sólido e, no processo, chegar à definição de integral dupla. Consideremos uma função f de duas variáveis definida em um retângulo fechado R = [a,b] x [c,d] = {(x,y) (IR2| a < x < b, c < y < d } e vamos, inicialmente, supor f(x,y) > 0. O gráfico de f é a superfície de equação z = f(x,y). Seja S o sólido que está contido na região acima de R e abaixo do gráfico de S, ou seja, S = {(x,y,z) (IR3| (x,y) ( R, 0 < z < f(x,y)} Nosso objetivo é determinar o volume de S. O primeiro passo consiste em dividir o retângulo R em sub-retângulos. Faremos isso dividindo o intervalo [a,b] em m subintervalos [xi-1 , xi], de mesmo comprimento (x = (b – a) / m, e o intervalo [c,d] em n subintervalos [yj-1 , y j], de mesmo comprimento (y = (b – a) / n. traçando retas paralelas aos eixos coordenados passando pelos extremos dos subintervalos, formamos os sub-retângulos. Rij = [x i-1,x i] x [y j-1,y j ] = {(x,y) | x i-1 < x < x i , y j-1 < y < y j } cada um dos quais com área (A = (x(y. Se escolhermos um ponto arbitrário (xij , yij) em cada Rij, podemos aproximar a parte de S que está acima de cada Rij por uma caixa retangular fina (ou um prisma) com base Rij e altura f(xij , yij). O volume desta caixa é dado pela sua altura vezes a área do retângulo da base: Vij = f(xij , yij)(A. Se seguirmos com esse procedimento para todos os retângulos e somarmos os volumes das caixas correspondentes, obteremos uma aproximação do volume total de S: V ( Essa dupla soma significa que, para cada sub-retângulo, calculamos o valor de f no ponto amostra escolhido, multiplicamos esse valor pela área do sub-retângulo e, então, adicionamos os resultados. Nossa intuição diz que a aproximação V ( melhora quando aumentamos os valores de m e de n e, portanto, devemos esperar que: V = . Usamos essa expressão para definir o volume do sólido S que corresponde à região que está acima do retângulo R e abaixo do gráfico de f. Mesmo f não sendo uma função positiva, podemos dar a seguinte definição: A integral dupla de f sobre o retângulo R é �� EMBED Equation.3 se esse limite existir. Pode ser provado que o limite existe sempre que f for uma função contínua. Além disso, se f(x,y) > 0, então o volume do sólido que está acima do retângulo R e abaixo da superfície z = f(x.y) é . A soma é chamada soma dupla de Riemann e é usada como aproximação do valor da integral dupla. Exemplo 1: O volume do sólido que está acima do quadrado R = [0,2] x [0,2] e abaixo do parabolóide elíptico z = 16 – x2 – 2y2 pode ser aproximado pela subdivisão de R em quatro quadrados iguais e a escolha do ponto amostra como o canto superior de cada quadrado Rij. Solução: Os quadrados estão ilustrados na figura acima e a área de cada um vale 1. O parabolóide é o gráfico de f(x,y) = 16 – x2 – 2y2. Aproximando o volume pela soma de Riemann com m = n = 2, temos: = f(1,1)(A + f(1,2) (A + f(2,1) (A + f(2,2) (A = 13(1) + 7(1) + 10(1) + 4(1) = 34 Esse é o volume das caixas aproximadoras, como mostra a figura abaixo: Obtemos melhor aproximação do volume quando aumentamos o número de quadrados. A figura abaixo mostra como as figuras começam a parecer mais com o sólido verdadeiro e as aproximações correspondentes vão se tornando mais precisas quando usamos 16, 64 e 256 quadrados. INTEGRAIS ITERADAS Se f for contínua no retângulo R = { (x,y) | a < x < b, c < y < d }, então calculamos a integral dupla de f em R através de integrais iteradas, como mostrado abaixo: Este resultado, conhecido como Teorema de Fubini, vale sempre que f for limitada em R, podendo ser descontínua em um número finito de pontos de R. Exemplo 2: Calcule o valor da integral , onde R = [0,3] x [1,2] Solução: = = = = = = ou = = = = = = O valor obtido é o volume do sólido acima de R e abaixo do gráfico da função f(x,y) = x2y (Veja figura ao lado) Exemplo 3: Calcule , onde R = [1,2] x [0,(]. Solução: Obs.: 1) Se mudarmos a ordem de integração, invertendo as integrais iteradas, a resolução das mesmas irá requerer a aplicação de técnicas de integração, tornando o trabalho mais demorado. Portanto é importante observar o tipo de função que iremos integrar e fazer uma boa escolha da ordem de integração. 2) O valor obtido nesta integral representa a diferença do volume da parte do sólido que está acima do retângulo R e do volume da parte do sólido que está abaixo de R. Como o resultado foi zero, estes volumes são iguais. Exemplo 4: Determine o volume do sólido S que é delimitado pelo parabolóide elíptico x2 + 2y2 + z = 16, os planos x = 2 e y = 2 e os três planos coordenados. Solução: Observemos, primeiro, que S é o sólido que está abaixo da superfície z = 16 – x2 – 2y2 e acima do retângulo R = [0,2] x [0,2], como mostra a figura. Vamos calcular o volume deste sólido usando integral dupla: INTEGRAIS DUPLAS EM REGIÕES GENÉRICAS Para integrais simples, a região sobre a qual integramos é sempre um intervalo. Mas, para integrais duplas, queremos ser capazes de integrar a função f, não somente sobre retângulos, mas também sobre um região D de forma mais geral, como mostra a figura abaixo. Vamos supor que D seja uma região limitada, o que significa que D pode ser cercada por uma região retangular R. Definimos, então, uma nova função F com domínio R por Se a integral dupla de F sobre R existe, então definimos a integral dupla de f sobre D por Cálculo da Derivada Dupla sobre Regiões Planas Genéricas Regiões planas inscritas em faixas verticais: Consideremos uma região D inscrita na faixa vertical a < x < b e entre o gráfico de duas funções contínuas de x, ou seja: D = { (x,y) | a < x < b, g1(x) < y < g2(x) } onde g1 e g2 são contínuas em [a,b]. Por exemplo, as regiões D representadas abaixo: A integral dupla de f em D é calculada pelas seguintes integrais iteradas: sempre que f for contínua em D. Regiões planas inscritas em faixas horizontais: Consideremos uma região D inscrita na faixa horizontal c < y < d e entre o gráfico de duas funções contínuas de y, ou seja: D = { (x,y) | c < y < d, h1(y) < x < h2(y) } onde h1 e h2 são contínuas em [c,d]. Por exemplo, as regiões D representadas abaixo: A integral dupla de f em D é calculada pelas seguintes integrais iteradas: sempre que f for contínua em D. Exemplo 5: Calcule onde D é a região limitada pelas parábolas y = 2x2 e y = 1 + x2. Solução: A região D está inscrita na faixa vertical –1 < x < 1, pois essas são as abscissas dos pontos de intersecção das duas parábolas e podemos escrever: D = { (x,y) | –1 < x < 1, 2x2 < y < 1 + x2 } Assim, calculamos a integral dupla através das seguintes integrais iteradas: Exemplo 6: Determine o volume do sólido que está abaixo do parabolóide z = x2 + y2 e acima da região do plano xy limitada pela reta y = 2x e pela parábola y = x2. Solução: D é uma região inscrita na faixa vertical 0 < x < 2, portanto: D = { (x,y) | 0 < x < 2, x2 < y < 2x } Assim, o volume é: Mas também podemos inscrever a região D na faixa horizontal 0 < y < 4, com: D = { (x,y) | 0 < y < 4, } Portanto, o volume pode ser calculadocomo: Exemplo 7: Calcule , onde D é a região limitada pela reta y = x – 1 e pela parábola y2 = 2x + 6. Solução: A intersecção das duas curvas é calculada da seguinte maneira: [y2 = 2x + 6] ( [y = x – 1] ( e x = y + 1 ( ( y2 – 2y – 8 = 0 ( y = –2 ( x = –1 ) ou y = 4 (x = 5 ) Portanto os pontos de intersecção das curvas são (-1,-2) e (5,4). Novamente, a região D pode ser considerada inscrita tanto em uma faixa vertical como em uma faixa horizontal. Mas a descrição de D considerada inscrita na faixa vertical -3 < x < 5 é mais complicada, pois sua fronteira inferior é constituída por mais de uma curva. Assim, preferimos expressar D como: D = { (x,y) | -2 < y < 4, < x < y + 1 } Logo: Exemplo 8: Determine o volume do tetraedro limitado pelos planos x + 2y + z = 2, x = 2y, x = 0 e z = 0. Solução: Em uma questão como esta, é prudente desenhar dois diagramas: um do sólido tridimensional e outro da região plana D sobre a qual o sólido está. Igualando as equações dos planos, duas a duas, obtemos as retas que contém as arestas do tetraedro: A figura acima, à esquerda, mostra o tetraedro T limitado pelos planos coordenados x = 0, z = 0, o plano vertical x = 2y e o plano x + 2y + z = 2. Como x + 2y + z = 2 intercepta o plano xy (de equação z = 0) na reta x + 2y = 2, vemos que T está sobre a região triangular D, do plano xy, limitada pelas retas x = 2y, x + 2y = 2 e x = 0. O plano x + 2y + z = 2 pode ser escrito como z = 2 – x – 2y e a região D como: D = { (x,y) | 0 < x < 1, x/2 < y < 1 – x/2 }. Portanto o volume de T é: Propriedades das Integrais Duplas: 1) 2) , onde c é uma constante 3) , Exemplo 9: Expresse, de duas maneiras, as integrais iteradas que resolvem , onde D é a região do plano xy limitada pelos gráficos de , y = 1, y = 3, 3y + x = 10 e x = y2. Solução: No gráfico abaixo, aparecem as curvas que formam a fronteira de D. A região que tem como fronteira todas as curvas citadas é a parte sombreada do plano. Portanto essa é a região D. Assim, podemos descrevê-la de duas formas: 1) Inscrita na faixa vertical (/6 ( x ( 4 e, nesse caso dividi-la em D1 = { (x,y) | (/6 ( x ( 1, 1 ( y ( 3 } e D2 = { (x,y) | 1 ( x ( 4, } 2) Inscrita na faixa horizontal 1 ( y ( 3 e, nesse caso, dividi-la em D1 = { (x,y) | 1 ( y ( 2, (/6 ( x ( y2 } e D2 = { (x,y) | 2 ( y ( 3, (/6 ( x ( 10 – 3y } Na forma 1), as integrais iteradas são: Na forma 2), as integrais iteradas são: APLICAÇÕES: MASSA E CENTRO DE MASSA DE UMA LÂMINA Suponha uma lâmina colocada em uma região D do plano xy e cuja densidade (em unidades de massa por unidade de área) no ponto (x,y) em D é dada por ((x,y), onde ( é uma função contínua sobre D. Então a massa total m da lâmina é dada por: Além disso, o centro de massa dessa lâmina é o ponto (X,Y), onde e , sendo e os momentos em relação aos eixos x e y, respectivamente. Exemplo 10: Determine a massa e o centro de massa de uma lâmina triangular com vértices (0,0), (1,0) e (0,2), se a função densidade é ((x,y) = 1 + 3x + y. Solução: O triângulo D está limitado pelas retas x = 0, y = 0 e y = 2 – 2x.. Podemos expressar D por: D = { (x,y) | 0 ( x ( 1, 0 ( y ( 2 – 2x } A massa da lâmina é: Portanto: Os momentos são: Assim: , Logo, o centro de massa da lâmina é o ponto (3/8,11/16), indicado na figura: Para complementar o estudo, faça a leitura das páginas 399 a 415 do livro ANTON, vol2, e resolva os exercícios ímpares de nº 1 a 15 e 19 a 29, das páginas 405 e 406 e de nº 1 a 21, 31 a 37 e 41 a 51 das páginas 413 e 414. DESAFIO: Após ler a seção “Área calculada como uma integral dupla”, das páginas 411/412 e o quadro “Valor médio” da página 414, resolva os exercícios de nº 25 e 27 da pág. 413 e 57 da pág. 415. b a x y d c R R � x y z S R c d x a b y x1 x2 xi-1 xi (x (y yj yj-1 y2 y1 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( Rij (xij , yij) S z y x R � ( f (xij , yij ) (xij , yij ) Vij 2 2 1 1 0 x y (1,1) (2,2) (2,1) (1,2) R11 R22 R21 R12 y 3 2 x 1 0 R � � � R D D x x y y 0 0 0 y x D y = g1(x) y = g1(x) a a a b b b 0 y x D 0 y x D y = g1(x) y = g2(x) y = g2(x) y = g2(x) x = h2(y) x = h2(y) x = h2(y) x = h1(y) x = h1(y) x = h1(y) c c c d d d 0 y x D 0 y x D 0 y x D x y –1 1 y = 2x2 y = 1 + x2 � y = 2x y = x2 � y2 = 2x + 6 y = x – 1 (1, ½, 0) (0, 1, 0) (0, 0, 2) x + 2y + z = 2 x = 2y x y z x y 1 1 ½ x + 2y = 2 x = 2y D T se D = D1 ( D2, onde D1 e D2 não se sobrepõem exceto, possivelmente, nas fronteiras. � EMBED Word.Picture.8 ��� 3 (/6 y =3 y =1 x =(/6 3y + x = 10 x = y2 D (0,2) (0,0) (1,0) y = 2 – 2x D (3/8,11/16) ( D y = 2 – 2x (1,0) (0,0) (0,2) _1097561200.unknown _1097674184.unknown _1097912199.unknown _1097944891.unknown _1098082227.unknown _1098084441.unknown _1098186948.unknown _1098186972.unknown _1098186872.unknown _1098082513.unknown _1097995925.unknown _1098015703.unknown _1098072900.unknown _1097996028.unknown _1097996037.unknown _1097946535.unknown _1097995153.unknown _1097944937.unknown _1097938669.unknown _1097944842.unknown _1097944867.unknown _1097944772.unknown _1097941388.doc _1097937954.unknown _1097938613.unknown _1097912265.unknown _1097912301.unknown _1097905651.unknown _1097909816.unknown _1097910404.unknown _1097909757.unknown _1097904469.unknown _1097904727.unknown _1097903952.unknown _1097565578.unknown _1097651912.unknown _1097655555.unknown _1097674092.unknown _1097652784.unknown _1097566416.unknown _1097651202.unknown _1097565656.unknown _1097561550.unknown _1097561684.unknown _1097565566.unknown _1097561601.unknown _1097561327.unknown _1097561499.unknown _1097561247.unknown _1097555761.unknown _1097560976.unknown _1097561046.unknown _1097561131.unknown _1097557697.unknown _1097560882.unknown _1097560961.unknown _1097555966.unknown _1097512832.unknown
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