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Sacha Friedli - Cálculo 1

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f possui limites laterais iguais em a 2 R, isto é, se
lim
x!a
+
f(x) = ` e lim
x!a
�
f(x) = `, então diremos que f(x) tende a ` quando x
tende a a, e escreveremos simplesmente
lim
x!a
f(x) = ` :
Observe que nesse caso, f(x) tende a ` à medida que x tende a a, qualquer que seja
o lado: para todo � > 0, existe � > 0 tal que se jx� aj � �, x 6= a, então jf(x)� `j � �.
O limite lim
x!a
f(x) será às vezes chamado de bilateral.
Por definição, o limite bilateral satisfaz às mesmas propriedades que aquelas para os
limites laterais descritas na Proposição 4.2.
Versão: 6 de agosto de 2012. Sugestões, críticas e correções: sacha@mat.ufmg.br
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CAPÍTULO 4. LIMITES
Exercício 4.12. Estude os limites abaixo. (Em particular, comece verificando se
o tipo de limite considerado é compatível com o domínio da função.)
1. lim
x!7
(7� x)
2. lim
x!0
+
p
x
3. lim
x!0
cosx
4. lim
x!3
x
2
�1
x
2
+1
5. lim
x!4
x�4
x�4
6. lim
x!4
jx�4j
x�4
7. lim
x!�5
x�5
jx�5j
8. lim
x!1
1�x
x
2
�1
9. lim
x!1
p
lnx
10. lim
x!�2
2�x
p
x�2
Vejamos agora o análogo do Teorema 4.1 para limites laterais e bilaterais.
Teorema 4.2. Suponha que f , g e h sejam três funções que satisfazem
g(x) � f(x) � h(x) ; para todo x numa vizinhança de a :
Suponha também que lim
x!a
+
g(x) = lim
x!a
+
h(x) = `. Então lim
x!a
+
f(x) = `. (O
mesmo resultado vale trocando todos os x! a
+
por x! a
�
ou por x! a.)
Exemplo 4.17. O limite lim
x!0
x
2
sen
1
x
pode ser calculado, observando que �1 �
sen
1
x
� +1 para todo x 6= 0. Logo, multiplicando por x
2
(que é > 0),
�x
2
� x
2
sen
1
x
� x
2
:
Quando x ! 0, �x
2
e x
2
ambos tendem a zero. Pelo Teorema 4.2, concluimos que
lim
x!0
x
2
sen
1
x
= 0.
Exercício 4.13. Determine se o limite x! 0 da função existe. Se for o caso, dê
o seu valor.
f(x) =
8
<
:
x
2
se x é racional diádico ;
0 caso contrário ;
g(x) =
8
>
>
<
>
>
:
1+x
1+x
2
se x < 0 ;
�1 se x = 0 ;
sen(
�
2
+ x) se x > 0 :
4.4 Indeterminações do tipo �
0
0
�
Na seção anterior encontramos, quando x ! 1 ou x ! �1, indeterminações do tipo
�1�1�, �
1
1
�. Já encontramos (ver o Exemplo 4.14, e boa parte dos limites do Ex-
ercício 4.12) limites de quocientes, em que numerador e denominador ambos tendem
a zero. Tais quocientes não podem ser estudados usando (4.15), e representam a uma
indeterminação do tipo �
0
0
�.
Observação 4.8. Ter uma indeterminação (qualquer que seja) não significa que o
limite considerado não existe ou que ele não pode ser calculado, mas que um estudo
mais minucioso é necessário.
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CAPÍTULO 4. LIMITES
Será visto no próximo capítulo que a derivada, que fornece informações úteis a re-
speito de uma função, é por definição uma indeterminação do tipo �
0
0
�. Por isso,
indeterminações �
0
0
� serão os limites mais estudados a partir de agora. Vejamos alguns
exemplos.
Exemplo 4.18. lim
h!0
(1+h)
2
�1
h
é do tipo
0
0
, já que (1 + h)
2
� 1 ! 0 quando h ! 0.
Mas o limite pode ser calculado facilmente, observando que (1 + h)
2
� 1 = 2h+ h
2
:
lim
h!0
(1 + h)
2
� 1
h
= lim
h!0
2h+ h
2
h
= lim
h!0
2 + h = 2 :
Exemplo 4.19. Considere lim
x!2
x
2
+x�6
x
2
�9x+14
. Observe que aqui, lim
x!2
(x
2
+ x � 6) = 0
e lim
x!2
(x
2
� 9x + 14) = 0, logo o limite é do tipo �
0
0
� (é sempre bom verificar antes
de começar!). Mas o polinômio x
2
+ x � 6 tender a zero quando x ! 2, significa que
ele se anula em x = 2. Portanto, ele deve conter um fator (x� 2). De fato, fatorando,
x
2
+x�6 = (x�2)(x+3). O mesmo raciocínio leva a fatorar x
2
�9x+14 = (x�2)(x�7).
Portanto,
lim
x!2
x
2
+ x� 6
x
2
� 9x+ 14
= lim
x!2
(x� 2)(x+ 3)
(x� 2)(x� 7)
= lim
x!2
x+ 3
x� 7
=
5
�5
= �1 :
O que foi feito aqui, com a fatoração e simplificação por (x�2), foi de extrair a origem
comum da anulação do numerador e denominador em x = 2.
Exemplo 4.20. O método da multiplicação e divisão pelo conjugado, vista do Exemplo
4.11, serve também para estudar limites do tipo
0
0
. Por exemplo,
lim
h!0
p
1 + h� 1
h
= lim
h!0
p
1 + h� 1
h
�
p
1 + h+ 1
p
1 + h+ 1
= lim
h!0
1
p
1 + h+ 1
=
1
2
:
Exercício 4.14. Calcule os limites
1. lim
x!2
(x�2)(4�x
2
)
x
2
�4x+4
2. lim
t!9
9�t
3�
p
t
3. lim
x!2
p
6�x�2
p
3�x�1
4. lim
t!0
p
a
2
+bt�a
t
Exercício 4.15. Existe um número a tal que
lim
x!�2
3x
2
+ ax+ a+ 3
x
2
+ x� 2
exista e seja finito? Caso afirmativo, encontre a e o valor do limite.
Exercício 4.16. Quais expressões abaixo representam uma indeterminação?
(+1) � (�1) ; �1+1 ; 0 � 1 ;
0
1
;
1
�1
;
+1
0
; 0�1
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CAPÍTULO 4. LIMITES
4.4.1 O limite lim
h!0
(x+h)
n
�x
n
h
Fixemos n 2 N, x
0
2 R, e estudemos (x0+h)
n
�x
n
0
h
quando h! 0, que também é indeter-
minado do tipo
0
0
. Esse limite será importante no próximo capítulo.
A dificuldade é de tratar o termo (x
0
+h)
n
. O caso n = 1 é trivial: (x
0
+h)
1
= x
0
+h.
Quando n = 2, (x
0
+ h)
2
= x
2
0
+ 2x
0
h+ h
2
, logo (veja o Exemplo 4.18)
lim
h!0
(x
0
+ h)
2
� x
2
0
h
= lim
h!0
(2x
0
+ h) = 2x
0
:
Para n = 3; 4; : : : , usaremos a fórmula do binômio de Newton:
(x
0
+ h)
n
= x
n
0
+
 
n
1
!
x
n�1
0
h+
 
n
2
!
x
n�2
0
h
2
+ � � �+
 
n
k
!
x
n�k
0
h
k
+ � � �+ h
n
;
onde
�
n
k
�
=
n!
(n�k)!k!
. Portanto,
(x
0
+ h)
n
� x
n
0
h
=
 
n
1
!
x
n�1
0
+
 
n
2
!
x
n�2
0
h+ � � �+
 
n
k
!
x
n�k
0
h
k�1
+ � � �+ h
n�1
:
Observe que cada termo dessa soma, a partir do segundo, contém uma potência de h.
Logo, quando h ! 0, só sobra o primeiro termo:
�
n
1
�
x
n�1
0
= nx
n�1
0
. Logo, foi provado
que
lim
h!0
(x
0
+ h)
n
� x
n
0
h
= nx
n�1
0
: (4.16)
4.4.2 O limite lim
x!0
senx
x
Consideremos primeiro
senx
x
no limite x ! 0
+
. Observe que aqui, x é medido em
radianos :
x = 0:8 0:5 0:1 0:01
senx
x
= 0; 896 0; 958 0; 998 0; 999
Os valores sugerem lim
x!0
+
senx
x
= 1. Provaremos esse fato usando a definição ge-
ométrica das funções trigonométricas. Considere um ângulo 0 < x <
�
2
no círculo
trigonométrico:
B
B
0
C
C
0
O
x
Temos jOC
0
j = jOBj = 1, jB
0
Bj = senx, jC
0
Cj = tanx. Observe que a área do
triângulo OB
0
B é menor que a área do setor OC
0
B, que por sua vez é menor que a
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CAPÍTULO 4. LIMITES
ârea do triângulo OC
0
C. A área ff do setor OC
0
B se calculada observando que por
proporcionalidade:
x
2�
=
ff
��1
2
. Logo, ff =
x