aula 2 equações exponenciais e logaritmicas

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FUNDAMENTOS DE 
MATEMÁTICA 
AULA 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profª Ana Paula de Andrade Janz Elias 
Profª Denise Terezinha Marques Wolski 
Profª Flavia Sucheck Mateus da Rocha 
Profª Taniele Loss Nesi 
 
 
 
 
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EQUAÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS 
CONVERSA INICIAL 
Nesta aula vamos conversar sobre potenciação e propriedades, equações 
e inequações exponenciais. Estudaremos também logaritmos, suas 
propriedades e equações logarítmicas. 
TEMA 1 – POTENCIAÇÃO E PROPRIEDADES 
A potenciação também pode ser chamada de exponenciação, e é a 
representação da multiplicação sucessiva de um número por ele mesmo, ou seja, 
é a multiplicação de fatores iguais. 
É possível escrever a definição de potenciação da seguinte maneira: Seja 
o número 𝒂 pertencente ao conjunto dos números reais e o número 𝒏 
pertencente ao conjunto dos números naturais, tal que 𝒂 elevado a 𝒏 é igual ao 
número 𝒂 multiplicado por ele mesmo 𝒏 vezes: 
𝒂 ∈ ℝ e 𝒏 ∈ ℕ 
𝒂𝒏 = 𝒂. 𝒂. 𝒂. …. 
 
 𝒏 vezes 
Chamamos o número 𝒂, que é o número multiplicado por ele mesmo, de 
base. Chamamos o número 𝒏, que é o número de vezes que a base é 
multiplicada, de expoente. O resultado da multiplicação será a potência. 
1.1 Propriedades de potenciação 
 Produto de potências de bases iguais: 
𝒂𝒎. 𝒂𝒏 = 𝒂𝒎+𝒏 
Essa propriedade indica que quando temos a multiplicação de potências 
com a mesma base, deve-se manter a base e somar os expoentes. 
 Potência de uma potência: 
(𝒂𝒎)𝒏 = 𝒂𝒎.𝒏 
 
 
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 Essa propriedade indica que, quando temos a potência de uma potência, 
a base permanece e os expoentes são multiplicados. 
 Potência de um produto: 
(𝒂. 𝒃)𝒏 = 𝒂𝒏. 𝒃𝒏 
 A terceira propriedade indica que podemos transformar a potência do 
produto em um produto de potências. 
 Quociente de potência de bases iguais: 
𝒂𝒎
𝒂𝒏
= 𝒂𝒎−𝒏 , 𝒂 ≠ 𝟎 
 Quando temos o quociente de potência de bases iguais, devemos manter 
a base e subtrair os expoentes. 
 Potência com expoente negativo: 
𝒂−𝒏 = (
𝟏
𝒂
)
𝒏
 , 𝒂 ≠ 𝟎 
 Essa propriedade indica que, quando o expoente da potência é negativo, 
trocamos o lugar entre o numerador e o denominador da base e o expoente 
torna-se positivo. 
 Potência de um quociente: 
(
𝒂
𝒃
)
𝒏
=
𝒂𝒏
𝒃𝒏
 , 𝒃 ≠ 𝟎 
 A última propriedade apresentada indica que, para a potência de um 
quociente, deve-se transformá-la em um quociente de potências. 
TEMA 2 – EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS 
2.1 Equação exponencial 
Toda equação que apresenta a incógnita no expoente é denominada de 
equação exponencial. Ela deve ter a base maior do que zero e esta base deve 
ser diferente de 1. Veja os exemplos abaixo: 
𝟐𝒙+𝟑 = 𝟖 𝟒𝒙 = 𝟔𝟒 
 
 
4 
Para resolver uma equação exponencial podemos transformar a 
igualdade dada em potências de bases iguais, e assim trabalhamos apenas com 
os expoentes, “simplificando” as bases dos dois lados da igualdade: 
𝒂𝒙 = 𝒂𝒚 
𝒙 = 𝒚 
Veja o exemplo: 
𝟐𝒙+𝟑 = 𝟖 
𝟐𝒙+𝟑 = 𝟐𝟑 
𝒙 + 𝟑 = 𝟑 
𝒙 + 𝟑 − 𝟑 = 𝟑 − 𝟑 
𝒙 = 𝟎 
2.2 Inequação exponencial 
 Toda inequação que apresenta a incógnita no expoente é denominada 
de inequação exponencial. Vale lembrar que as inequações são 
desigualdades, e auxiliam a determinar um intervalo, de maneira que uma 
desigualdade dada seja válida, como no exemplo abaixo: 
𝒙𝟐 < 𝟑𝟓 
 A inequação apresentada acima não é exponencial porque não 
apresentou incógnita no expoente. Vejamos outro exemplo, agora de uma 
inequação exponencial: 
𝟐𝒙+𝟒 > 𝟖 
𝟐𝒙+𝟒 > 𝟐𝟑 
𝒙 + 𝟒 > 𝟑 
𝒙 + 𝟒 − 𝟒 > 𝟑 − 𝟒 
𝒙 > −𝟏 
 Ao analisarmos a reta dos números reais, a resolução desta inequação 
fica à direita do número -1: 
 
 
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 Para resolver uma inequação exponencial é preciso levar em 
consideração sua base. São duas situações: 
i. 𝒂𝒙 > 𝒂𝒚 → 𝒙 > 𝒚 (𝒔𝒆 𝒂 > 𝟏) 
Quando a base for maior do que 1, o sinal se mantém ao simplificar as 
bases, como no exemplo dado anteriormente. 
ii. 𝒂𝒙 < 𝒂𝒚 → 𝒙 < 𝒚 (𝒔𝒆 𝟎 < 𝒂 < 𝟏) 
 Quando as bases iguais estiverem entre zero e 1, ao simplificar essas 
bases, o sinal inverte. Veja o exemplo abaixo: 
(
𝟏
𝟐
)
(𝒙−𝟏)
≥ (
𝟏
𝟐
)
𝟐
 
Perceba que 
𝟏
𝟐
= 𝟎, 𝟓 ou seja, está entre zero e 1. Sendo assim, o sinal 
precisa ser invertido ao simplificarmos as bases: 
𝒙 − 𝟏 ≤ 𝟐 
𝒙 − 𝟏 + 𝟏 ≤ 𝟐 + 𝟏 
𝒙 ≤ 𝟑 
TEMA 3 – LOGARITMO 
 A operação inversa à potenciação é denominada logaritmo. Podemos 
escrever a definição de logaritmo da seguinte maneira: 
𝒂𝒙 = 𝒃 ⇔ 𝒙 = 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒃 para 𝒂 e 𝒃 positivos e para 𝒂 ≠ 𝟏. 
Temos que: 𝒂 é a base do logaritmo, 𝒃 é o logaritmando, e 𝒙 é o 
logaritmo. O uso de logaritmo auxilia a resolver equações ou inequações 
exponenciais cujas bases são diferentes, e quando não conseguimos 
transformá-las de maneira que fiquem iguais. Como a seguinte equação: 
 
 
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𝟐𝒙 = 𝟑 
 Para uma maior compreensão em relação ao conteúdo de logaritmo, 
vejamos um exemplo abaixo: 
𝐥𝐨𝐠𝟔𝟐𝟓 √𝟓 = 𝒙 
𝟔𝟐𝟓𝒙 = √𝟓 
(𝟓𝟒)𝒙 = 𝟓
𝟏
𝟐 
𝟓𝟒𝒙 = 𝟓
𝟏
𝟐 
𝟒𝒙 =
𝟏
𝟐
 
𝟒𝒙.
𝟏
𝟒
=
𝟏
𝟐
.
𝟏
𝟒
 
𝒙 =
𝟏
𝟖
 
TEMA 4 – PROPRIEDADES DE LOGARITMOS 
4.1 Logaritmo do produto 
Em uma mesma base, o logaritmo do produto de dois números positivos 
será igual a soma do logaritmo de cada um destes números. Ou seja: 
𝐥𝐨𝐠𝒄(𝒂. 𝒃) = 𝐥𝐨𝐠𝒄 𝒂 + 𝒍𝒐𝒃𝒄𝒃 
Para 𝒄 > 𝟎 e 𝒄 ≠ 𝟏 e para 𝒂 > 𝟎 e 𝒃 > 𝟎. 
4.2 Logaritmo do quociente 
Em uma mesma base, o logaritmo do quociente de dois números positivos 
será igual a diferença entre o logaritmo de cada um destes números. Ou seja: 
𝐥𝐨𝐠𝒅 (
𝒎
𝒏
) = 𝐥𝐨𝐠𝒅 𝒎 − 𝐥𝐨𝐠𝒅 𝒏 
Para 𝒅 > 𝟎 e 𝒅 ≠ 𝟏 e para 𝒎 > 𝟎 e 𝒏 > 𝟎. 
 
 
 
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4.3 Logaritmo de potência 
Um logaritmo para o qual o seu logaritmando é uma potência, pode ser 
reescrito de maneira que o expoente do logaritmando passe a multiplicar o 
logaritmo dado, sem o expoente. Ou seja: 
𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒃𝒏 = 𝒏. 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒃 
Para 𝒂 > 𝟎 e 𝒂 ≠ 𝟏 e para 𝒃 > 𝟎. 
Para utilizar as propriedades logarítmicas dadas acima, é preciso que os 
logaritmos estejam em uma mesma base; contudo, existem situações nas quais 
encontramos logaritmos com bases diferentes. Para trabalhar com estes 
logaritmos, precisamos primeiramente transformá-los de maneira que suas 
bases fiquem iguais. Para isso, fazemos um processo de mudança de base. 
4.4 Mudança de base de logaritmo 
Sejam os números reais 𝒂, 𝒃 e 𝒄 positivos e 𝒂 ≠ 𝟏 e 𝒄 ≠ 𝟏, temos: 
𝐥𝐨𝐠𝒂𝒃 =
𝐥𝐨𝐠𝒄 𝒃
𝐥𝐨𝐠𝒄 𝒂
 
 Exemplos: 
i. Expresse na base 5 o logaritmo dado: 
𝐥𝐨𝐠𝟑 𝟕 =
𝐥𝐨𝐠𝟓 𝟕
𝐥𝐨𝐠𝟓 𝟑
 
ii. Calcule 𝐥𝐨𝐠𝟏𝟓 𝟓 sabendo que 𝐥𝐨𝐠𝟒𝟓 𝟑 = 𝒂 e 𝐥𝐨𝐠𝟒𝟓 𝟓 = 𝒄: 
𝐥𝐨𝐠𝟏𝟓 𝟓 =
𝐥𝐨𝐠𝟒𝟓 𝟓
𝐥𝐨𝐠𝟒𝟓 𝟏𝟓
=
𝒄
𝐥𝐨𝐠𝟒𝟓(𝟑. 𝟓)
=
𝒄
𝐥𝐨𝐠𝟒𝟓 𝟑 + 𝐥𝐨𝐠𝟒𝟓 𝟓
=
𝒄
𝒂 + 𝒄
 
TEMA 5 – EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS 
Uma equação que tenha a variável no logaritmo, seja na base do 
logaritmo, seja no logaritmando, ou nos dois, será chamada de equação 
 
 
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logarítmica. Para resolver esse tipo de equação, podemos utilizar as 
propriedades apresentadas anteriormente, bem como a definição. 
Vejamos algumas formas com que se apresentam essas equações: 
i. Se tivermos uma equação na qual a igualdade for de logaritmos de bases 
iguais, podemos simplificá-la, igualando somente o logaritmando. Ou seja: 
𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒃 = 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒄 
𝒃 = 𝒄 
 É preciso verificar se a condição de existência do logaritmo é atendida. 
Lembramos que a base deve ser maior do que zero e diferente de 1, e lembrando 
especialmente que o logaritmando deve ser maior do que zero. 
ii. Se tivermos uma equação na qual a igualdade for entre um logaritmo e 
um número real, aplicamos a definição de logaritmo e resolvemos a 
equação. Ou seja: 
𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒃 = 𝒙 → 𝒂𝒙= 𝒃 
iii. Em algumas equações podemos substituir o logaritmo presente por uma 
variável, para resolvê-las. Veja o exemplo abaixo: 
𝟑. 𝐥𝐨𝐠𝟑 𝒙 + 𝐥𝐨𝐠𝟑 𝒙 = 𝟖 
Por substituição tomamos 𝐥𝐨𝐠𝟑 𝒙 = 𝒚 e aplicamos na equação acima: 
𝟑. 𝒚 + 𝒚 = 𝟖 
𝟒𝒚 = 𝟖 
𝒚 =
𝟖
𝟒
 
𝒚 = 𝟐 
Como 𝐥𝐨𝐠𝟑 𝒙 = 𝒚, temos que: 
 
𝐥𝐨𝐠𝟑 𝒙 = 𝟐 
Pela definição: 
𝟑𝟐 = 𝒙 
𝟗 = 𝒙 
 
 
9 
NA PRÁTICA 
Como vimos, o logaritmo pode ser utilizado para resolver equações 
exponenciais que não podem ser colocadas na mesma base: 
𝟐𝒙 = 𝟑 
 Para resolver essa equação, precisamos conhecer o valor de alguns 
logaritmos e aplicar suas propriedades: 
𝒍𝒐𝒈𝟐𝒙 = 𝒍𝒐𝒈𝟑 
𝒙. 𝒍𝒐𝒈𝟐 = 𝒍𝒐𝒈𝟑 
𝒙 =
𝒍𝒐𝒈𝟑
𝒍𝒐𝒈𝟐
 
Nesse caso, utilizaríamos o valor do logaritmo de 3 e do logaritmo de 2 
para determinar o valor de x. 
Vejamos outra aplicação do conteúdo da aula. Determinados estudos 
indicam que a temperatura de um produto que acabou de sair do forno precisa 
reduzir para 65ºC para que ele possa ser tocado pelas mãos humanas, sem que 
aconteçam queimaduras. A temperatura de um bolo de chocolate, por exemplo, 
é dada pela expressão: 
𝑻 = 𝟐𝟎𝟎. 𝟐−𝟎,𝟖𝒕 + 𝟐𝟓 
Nessa expressão, T representa a temperatura e t o tempo transcorrido, 
em minutos, após a retirada do bolo do forno. Dado log 2 = 0,30, qual o tempo 
necessário para que se possa segurar um pedaço desse bolo, sem se queimar? 
Nesse caso, teremos o valor de T = 65ºC. Logo: 
𝟔𝟓 = 𝟐𝟎𝟎. 𝟐−𝟎,𝟖𝒕 + 𝟐𝟓 
𝟔𝟓 − 𝟐𝟓 = 𝟐𝟎𝟎. 𝟐−𝟎,𝟖𝒕 
𝟒𝟎 = 𝟐𝟎𝟎. 𝟐−𝟎,𝟖𝒕 
𝟒𝟎
𝟐𝟎𝟎
= 𝟐−𝟎,𝟖𝒕 
𝟏
𝟓
= 𝟐−𝟎,𝟖𝒕 
𝟓−𝟏 = 𝟐−𝟎,𝟖𝒕 
 
 
10 
Nesse momento, podemos utilizar logaritmo: 
𝒍𝒐𝒈𝟓−𝟏 = 𝒍𝒐𝒈𝟐−𝟎,𝟖𝒕 
−𝟏. 𝒍𝒐𝒈𝟓 = −𝟎, 𝟖𝒕. 𝒍𝒐𝒈𝟐 
−𝟏. 𝒍𝒐𝒈
𝟏𝟎
𝟐
= −𝟎, 𝟖𝒕. 𝒍𝒐𝒈𝟐 
−𝟏. (𝒍𝒐𝒈𝟏𝟎 − 𝒍𝒐𝒈𝟐) = −𝟎, 𝟖𝒕. 𝒍𝒐𝒈𝟐 
−𝟏. (𝟏 − 𝟎, 𝟑𝟎) = −𝟎, 𝟖𝒕. 𝟎, 𝟑𝟎 
−𝟎, 𝟕𝟎 = −𝟎, 𝟐𝟒𝒕 
𝟎, 𝟕𝟎
𝟎, 𝟐𝟒
= 𝒕 
𝒕 ≅ 𝟐, 𝟗𝟏𝟕 𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒐𝒔 ≅ 𝟐 𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒐𝒔 𝒆 𝟓𝟓 𝒔𝒆𝒈𝒖𝒏𝒅𝒐𝒔 
FINALIZANDO 
Nesta aula, você estudou os seguintes conteúdos: potenciação e suas 
propriedades, equações e inequações exponenciais, definição de logaritmo, 
propriedades de logaritmo e equações logarítmicas. 
 
 
 
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REFERÊNCIAS 
DEMANA, F. D. et al. Pré-cálculo. São Paulo: Addison Wesley, 2009. 
DOLCE, O.; POMPEO, J. N. Coleção Fundamentos de Matemática 
Elementar. São Paulo: Atual, 1993. v. 9; v. 10. 
IEZZI, G. Coleção Fundamentos de Matemática elementar. São Paulo: Atual, 
1993. v 3. 
IEZZI, G.; DOLCE, O.; MURAKAMI, C. Coleção Fundamentos de Matemática 
elementar. São Paulo: Atual, 1993. v. 2 
LEITE, A. E.; CASTANHEIRA, N. P. Geometria plana e trigonometria. Curitiba: 
InterSaberes, 2014. 
_____. Logaritmos e funções. Curitiba: InterSaberes, 2015. 
MACEDO, L. R. D.; CASTANHEIRA, N. P.; ROCHA, A. Tópicos de Matemática 
aplicada. Curitiba: InterSaberes, 2013. 
OLIVEIRA, C. A. M. Matemática. Curitiba: InterSaberes, 2016. 
 
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