Aula 3 sequencias numericas

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FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA
AULA 3
 
 
 
 
 
 
 
 
Profª Ana Paula de Andrade Janz Elias
Profª Denise Terezinha Marques Wolski
Profª Flavia Sucheck Mateus da Rocha
Profª Taniele Loss Nesi
CONVERSA INICIAL
Iniciaremos esta aula com a definição de sequências. Em seguida, estudaremos sobre Progressão Aritmética (PA) e sobre a soma dos
termos de uma PA. Abordaremos também o conteúdo de Progressão Geométrica (PG) e a soma dos termos de uma PG.
TEMA 1 – SEQUÊNCIAS
Quando nos deparamos com qualquer conjunto ou grupo, para os quais seus elementos estão apresentados em uma determinada
ordem, podemos afirmar que se trata de uma sequência.
Ao trabalhar com uma sequência de elementos pertencentes ao conjunto dos números reais, estamos trabalhando especificamente
com uma sequência numérica. É possível escrever uma lei para determinar uma sequência numérica. Seja  e , temos
que  é uma sequência numérica finita para a qual,  é o n-ésimo termo. Existem sequências finitas,
como a apresentada anteriormente e também existem sequências infinitas, como a Sequência de Fibonacci.
1.1 SEQUÊNCIA DE FIBONACCI
A Sequência de Fibonacci apresenta os números em uma ordem que segue um determinado padrão, ou seja, cada elemento
presente nesta sequência é igual à soma dos dois elementos anteriores.
Veja os 7 primeiros termos presentes na sequência de Fibonacci: (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...). A partir disso podemos verificar o seguinte:
1° elemento = 1
2° elemento = 1
3° elemento = 2° elemento + 1° elemento = 1 + 1 = 2
4° elemento = 3° elemento + 2° elemento = 2 + 1 = 3
5° elemento = 4° elemento + 3° elemento = 3 + 2 = 5
6° elemento = 5° elemento + 4° elemento = 5 + 3 = 8
7° elemento = 6° elemento + 5° elemento = 8 + 5 = 13
...
n-ésimo elemento = (n-ésimo elemento – 1) + (n-ésimo elemento – 2)
Tomando o primeiro termo da sequência como  e o n-ésimo termo como  e, sabendo que o valor do primeiro termo é sempre
1, a fórmula para a Sequência de Fibonacci é dada por:
É possível encontrar essa sequência em algumas formas da natureza, como mostra a Figura 1.
Figura 1 – Sequência de Fibonacci na natureza
Crédito: Aabeele/Shutterstock
TEMA 2 – PROGRESSÃO ARITMÉTICA
Assim como a Sequência de Fibonacci, existem outras sequências numéricas que têm características específicas, como a Progressão
Aritmética (PA) e a Progressão Geométrica (PG).
A sequência na qual cada termo é igual ao termo imediatamente anterior, somado a um valor constante é denominada de
Progressão Aritmética, ou PA. À constante dá-se o nome de razão da PA. Veja o exemplo:
(3, 7, 11, 15, 19)
Para esta PA temos que:
1° termo = 3
2° termo = 1° termo + 4 = 3 + 4 = 7
3° termo = 2° termo + 4 = 7 + 4 = 11
4° termo = 3° termo + 4 = 11 + 4 = 15
5° termo = 4° termo + 4 = 19
Quando a razão de uma PA é positiva, isto é,  como no exemplo acima, no qual , dizemos que a PA é crescente.
Quando a razão de uma PA é negativa,  dizemos que a PA é decrescente. Veja o exemplo abaixo:
(3, 1, -1, -3, -5, -7, -9, ...)
1° termo = 3
2° termo = 1° termo + (- 2) = 3 + (-2) = 1
3° termo = 2° termo + (-2) = 1 + (-2) = -1
4° termo = 3° termo + (-2) = -1 + (-2) = -3
...
Se a razão de uma PA for igual a 0, denominamos a PA de constante, como na seguinte sequência:
(15, 15, 15, 15, ...)
Em uma PA, denominamos o primeiro termo de , o segundo termo de  e o n-ésimo termo de , sendo que 
Tomando ainda  como a razão de uma PA, a partir do segundo termo temos:
...
Veja que para encontrar o valor de  na sequência acima, foi somado  com a razão . Para encontrar , somamos  com a
razão e assim sucessivamente.
Nós sabemos que , e sabemos também que  e assim por diante. Se, para encontrar , substituirmos
 pelo que já tínhamos encontrado anteriormente ( ), e fizermos o mesmo processo para os demais termos, teremos o seguinte:
...
À fórmula acima damos o nome de Fórmula do Termo Geral de uma PA.
 TEMA 3 – SOMA DOS TERMOS DE UMA PA
 Ao trabalharmos com uma PA, é possível calcular a soma de todos os seus termos. Conta a lenda que o matemático alemão Carl
Friederich Gauss percebeu a possibilidade de encontrar a soma dos termos de uma sequência dos números de 1 a 100 aos 10 anos de
idade. Gauss identificou que somando os termos equidistantes, o resultado seria sempre o mesmo, ou seja:
1 + 100 = 101
2 + 99 = 101
3 + 98 = 101
4 + 97 = 101
5 + 96 = 101
...
50 + 51 = 101
Depois, Gauss identificou que para calcular a soma de todos os números da sequência (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ..., 100) era preciso
apenas multiplicar a soma que foi encontrada a cada 2 pares de números equidistantes por 50, pois foram 50 resultados de 101
encontrados e, com isto, chegou ao seguinte resultado:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + ... + 100 = 5050.
Isso nos dá um direcionamento quanto ao processo que devemos seguir para calcular a soma de todos os termos de uma PA. Basta
fazer uma soma entre os termos equidistantes e multiplicar pela metade do número total de termos presentes na PA. Em relação à PA
cuja razão é 1 e o total de termos é 100, temos:
Genericamente, seja a PA ( ), a soma  desta PA é escrita da seguinte maneira:
 ou 
Reiterando,  é sempre o primeiro termo da PA,  é o último termo da PA e  é o número total de termos da PA.
TEMA 4 – PROGRESSÃO GEOMÉTRICA
A sequência para a qual cada termo é igual imediatamente anterior, multiplicado por um valor constante é denominada de
Progressão Geométrica, ou PG. À constante dá-se o nome de razão da PG, identificada pela letra . Veja o exemplo:
(3, 9, 27, 81, 243, ...)
Para esta PG temos:
1° termo = 3
2° termo = 1° termo X 3 = 3 X 3 = 9
3° termo = 2° termo X 3 = 9 X 3 = 27
4° termo = 3° termo X 3 = 27 X 3 = 81
5° termo = 4° termo X 3 = 81 X 3 = 243
Veja que:
...
A partir das informações dadas acima, é possível perceber que para calcular , podemos substituir  pelos valores que já foram
encontrados inicialmente. Ou seja, como , temos que , logo . Vamos continuar a verificar,
para cada termo de uma PG até seu n-ésimo termo:
...
A fórmula acima é denominada Termo Geral de uma PG. Com ela é possível calcular qualquer termo de uma PG. Veja o exemplo:
Qual é o 9° termo da PG dada: (3, 9, 27, 81, 243, ...)?
Solução:
Sabendo que , , o termo desejado é  e, substituindo estes valores na fórmula do Termo Geral de uma PG,
temos:
Ou seja, o 9° termo da PG dada é 19.683.
É possível que uma PG seja crescente, decrescente, constante ou alternada. Para isto é preciso verificar alguns requisitos:
Se e , a PG é crescente.
Se  e , a PG é crescente.
Se  e , a PG é decrescente.
Se  e , a PG é decrescente.
Se , a PG é constante.
Se , a PG é alternada.
TEMA 5 – SOMA DOS TERMOS DE UMA PG
Em uma PG finita, é possível calcular a soma de todos os seus termos. Também é possível calcular a soma dos n primeiros termos de
uma PG infinita. Em ambos os casos, a seguinte fórmula é empregada:
Sendo:
 o resultado da soma dos  primeiros termos de uma PG infinita, ou o resultado da soma de todos os termos de uma PG
finita;
 a quantidade de termos;
 o primeiro termo da PG;
 a razão da PG.
NA PRÁTICA
Uma loja de brinquedos, ao perceber a proximidade do Natal, resolveu investir em brinquedos atrativos com preços diferenciados. A
quantidade de brinquedos vendidos a partir do dia 01/12 pode ser verificada na sequência a seguir, em que cada termo representa a
venda de um dia subsequente:
(60, 68, 76, 84, 92, ...)
Sabendo que a quantidade de brinquedos aumentou seguindo o mesmo padrão dos primeiros cinco dias até o dia 23 de dezembro,
podemos elaborar algumas questões:
a. A cada dia, quantos brinquedos a mais a loja vendeu?
b. Quantos brinquedos foram vendidos no dia 23/12?
c. Quantos brinquedos foram vendidos pela loja desde o dia 01/12 até o dia 23/12?
Sabemos que a sequência é um PA, pois cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior somado a uma constante. Essa
constante, a razão da PA, equivale a 8, o que já responde ao item a). Ou seja, a cada dia a loja vendeu 8 brinquedos a mais que odia
anterior.
Assim, para determinar a quantidade de brinquedos vendidos no dia 23 de dezembro, devemos determinar o vigésimo terceiro
termo da PA. Aplicando a fórmula do termo geral da PA, teremos:
Verificamos, então, que foram vendidos 236 brinquedos no dia 23 de dezembro.
Vamos determinar, usando a fórmula, o total de brinquedos vendidos pela loja do nosso exemplo:
(60, 68, 76, 84, 92, ..., 236)
Descobrimos que o total de brinquedos vendidos no período foi de 3404.
FINALIZANDO
Nesta aula você aprendeu o que é uma sequência, estudou sobre Progressão Aritmética (PA) e Progressão Geométrica (PG) e sobre
as somas dos termos de uma PA e de uma PG.
REFERÊNCIAS
DEMANA, F. D. et al. Pré-cálculo. Boston: Addison Wesley, 2009.
DOLCE, O.; POMPEO, J. N. Coleção Fundamentos de Matemática Elementar. Pinheiros: Atual, 1993. v. 9 e v. 10.
IEZZI, G. Coleção Fundamentos de Matemática. Pinheiros: Atual, 1993. v. 3.
IEZZI, G.; DOLCE, O.; MURAKAMI, C. Coleção Fundamentos de Matemática elementar. Pinheiros: Atual, 1993. v. 2.
LEITE, A. E.; CASTANHEIRA, N. P. Geometria plana e trigonometria. Curitiba: InterSaberes, 2014.
LEITE, A. E.; CASTANHEIRA, N. P. Logaritmos e funções. Curitiba: InterSaberes, 2015.
MACEDO, L. R. D.; CASTANHEIRA, N. P.; ROCHA, A. Tópicos de matemática aplicada. Curitiba: InterSaberes, 2013.
OLIVEIRA, C. A. M. Matemática. Curitiba: InterSaberes, 2016.