Av1 - Cálculo Diferencial e Integral III

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1)
O cálculo de várias variáveis tem diversas aplicações em áreas como física, engenharia, economia e inteligência artificial. Diante deste contexto, analise as afirmativas que seguem:
I - O vetor gradiente é uma ferramenta poderosa que nos ajuda a entender como uma função varia em diferentes direções.
II - A equação do plano é essencial para descrever superfícies planas no espaço tridimensional.
III - A equação tangente ao plano é crucial para aproximar superfícies curvas por planos, facilitando a análise e a resolução de problemas complexos.
Marque a alternativa correta.
Alternativas:
· a)Apenas I e III estão corretas.
· b)Apenas I, II e III estão corretas.
· c)Apenas I e II estão corretas.
· d)Apenas I está correta. 
· e)Apenas III está correta.
2)
Um pesquisador precisa calcular a integral tripla da função f(x, y, z) = 2x, sobre a região R, limitada pelos planos coordenados e pelos planos de equações x = 1, y = 2 e z = 1.
Diante disso, assinale a alternativa quais os limites de integração que precisam ser adotados na resolução desse problema?
Alternativas:
· a)0≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2 e 0 ≤ z ≤ 1
· b)0≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3 e 0 ≤ z ≤ 4
· c)1≤ x ≤ 0, 0 ≤ y ≤ 1 e 0 ≤ z ≤ 2
· d)0≤ x ≤ -1, 0 ≤ y ≤ -2 e 0 ≤ z ≤ -1
· e)0≤ x ≤ -2, 0 ≤ y ≤ -1 e 0 ≤ z ≤ -3
3)
Qual o resultado obtido com o cálculo da integral tripla da função f(x, y, z) = xy – z sobre a região S limitada pelos três planos coordenados e pelos planos de equações x = 4, y = 1 e z = 1. Marque a alternativa correta.
Alternativas:
· a)1
· b)2
· c)3
· d)4
· e)5
4)
O cálculo das áreas de superfície é uma parte fundamental do cálculo integral e diferencial, com aplicações que vão desde a física e engenharia até a biologia e economia. Diante disso, analise as afirmativas que seguem e marque V quando for verdadeiro ou F quando for falso:
( ) A compreensão das áreas de superfície permite a análise de formas complexas e a determinação de propriedades físicas importantes, como volume, fluxo e resistência.
( ) Diferente da área de figuras planas, calcular a área de superfícies envolve considerar a curvatura e a complexidade das formas.
( ) Para superfícies simples, como cilindros, cones e esferas, existem fórmulas específicas que facilitam o cálculo.
Marque alternativa correta. 
Alternativas:
· a)V – F – V.
· b)F – V – V.
· c)V – V – F.
· d)V – V – V.
· e)F – F – V.
5)
Determine o volume do sólido E limitado superiormente pela superfície de equação f(x,y) = 2 – x² - y², limitado também pelos três planos coordenados e pelos planos de equações x = 1 e y = 1. A representação gráfica do sólido em questão é dada como segue:
Marque a alternativa correta com o volume do sólido E a partir da integral tripla.
Alternativas:
· a)1/3
· b)2/5
· c)4/3
· d)1/5
· e)1/6
· Todas as três afirmações são verdadeiras (gradiente, plano e plano tangente).
Resposta: b)
· Região limitada pelos planos coordenados (x=0,y=0,z=0) e por x=1, y=2, z=1 ⇒
0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 1.
Resposta: a)
· ∭[0,4]×[0,1]×[0,1](xy−z) dz dy dx\iiint_{[0,4]\times[0,1]\times[0,1]} (xy - z)\,dz\,dy\,dx∭[0,4]×[0,1]×[0,1]​(xy−z)dzdydx
No zzz: xy−12xy - \tfrac12xy−21​. No yyy: x/2−1/2x/2 - 1/2x/2−1/2. No xxx: [x2/4−x/2]04=4−2=2[x^2/4 - x/2]_0^4 = 4-2=2[x2/4−x/2]04​=4−2=2.
Resposta: b)
· As três sentenças sobre áreas de superfície são verdadeiras.
Resposta: d)
· Volume: V=∫01∫01∫02−x2−y2dz dy dx=∫01∫01(2−x2−y2) dy dxV=\int_0^1\int_0^1\int_0^{2-x^2-y^2} dz\,dy\,dx=\int_0^1\int_0^1(2-x^2-y^2)\,dy\,dxV=∫01​∫01​∫02−x2−y2​dzdydx=∫01​∫01​(2−x2−y2)dydx
∫01(2−x2−y2) dy=53−x2\int_0^1(2-x^2-y^2)\,dy = \tfrac{5}{3}-x^2∫01​(2−x2−y2)dy=35​−x2 e depois ∫01(53−x2) dx=43\int_0^1(\tfrac{5}{3}-x^2)\,dx = \tfrac{4}{3}∫01​(35​−x2)dx=34​.
Resposta: c)
Gabarito: 1-b, 2-a, 3-b, 4-d, 5-c.
Questão 1:
A alternativa correta é a b) Apenas I, II e III estão corretas.
Análise das afirmativas:
· I - Verdadeira: O vetor gradiente de uma função escalar aponta na direção de maior crescimento da função, e seu módulo representa a taxa de variação nesse sentido. Ele é fundamental para entender a variação em diferentes direções.
· II - Verdadeira: A equação de um plano, como Ax+By+Cz=D, é a forma padrão de descrever superfícies planas em um espaço tridimensional.
· III - Verdadeira: A equação do plano tangente é usada para aproximar localmente uma superfície curva por um plano, o que simplifica a análise em pontos específicos e é um conceito central em otimização e cálculo de aproximações.
Questão 2:
A alternativa correta é a a) 0≤x≤1,0≤y≤2 e 0≤z≤1.
A região R é um paralelepípedo delimitado pelos planos coordenados (x=0,y=0,z=0) e pelos planos x=1, y=2 e z=1. Isso define os limites de integração como:
· De x=0 a x=1
· De y=0 a y=2
· De z=0 a z=1
Questão 3:
A alternativa correta é a b) 2.
Para calcular a integral tripla ∭S​(xy−z)dV, usamos os limites de integração dados pelos planos coordenados (x=0,y=0,z=0) e pelos planos x=4,y=1,z=1. Os limites são: 0≤x≤4, 0≤y≤1, 0≤z≤1.
O cálculo é: V=∫01​∫01​∫04​(xy−z)dxdydz
1. Integrando em relação a x: ∫04​(xy−z)dx=[2x2y​−xz]04​=(242y​−4z)−0=8y−4z
2. Integrando em relação a y: ∫01​(8y−4z)dy=[4y2−4zy]01​=(4(1)2−4z(1))−0=4−4z
3. Integrando em relação a z: ∫01​(4−4z)dz=[4z−2z2]01​=(4(1)−2(1)2)−0=4−2=2
Questão 4:
A alternativa correta é a d) V – V – V.
Análise das afirmativas:
· (V) - Verdadeira: A área de superfície é um conceito crucial na física e engenharia para calcular propriedades como fluxo de calor (relação com o fluxo) e a resistência do ar (relação com a forma e área da superfície).
· (V) - Verdadeira: A principal diferença entre a área de uma figura plana e a de uma superfície tridimensional é que a segunda leva em conta a curvatura, o que requer o uso de integrais de superfície.
· (V) - Verdadeira: Existem fórmulas específicas para o cálculo de áreas de superfícies de revolução e de figuras geométricas simples como cilindros e esferas, que são derivadas do cálculo integral.
Questão 5:
A alternativa correta é a c) 4/3.
O volume do sólido E pode ser encontrado calculando a integral dupla da função que define a superfície superior, f(x,y)=2−x2−y2, sobre a região do plano xy. A região é um quadrado limitado pelos planos coordenados e pelos planos x=1 e y=1, o que nos dá os limites 0≤x≤1 e 0≤y≤1.
O cálculo é: V=∫01​∫01​(2−x2−y2)dydx
1. Integrando em relação a y: ∫01​(2−x2−y2)dy=[2y−x2y−3y3​]01​=(2(1)−x2(1)−313​)−0=2−x2−31​=35​−x2
2. Integrando em relação a x: ∫01​(35​−x2)dx=[35​x−3x3​]01​=(35​(1)−313​)−0=35​−31​=34​
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