Segunda lista de exercícios (seção 11 2)

Prévia do material em texto

642 CÁLCULO Assim, pelo Teorema 8, a série dada é convergente e OBSERVAÇÃO 4 Um número finito de termos não afeta a convergência ou divergência de uma série. Por exemplo: suponha que possamos mostrar que a série n Σ é convergente. Uma vez que segue que a série inteira n/(n³ 1) é convergente. Analogamente, se soubermos que a série aₙ converge, então a série completa N n=1 n=N+1 também é convergente. 11.2 Exercícios 1. (a) Qual é a diferença entre uma sequência e uma série? (a) Determine se {aₙ} é convergente. (b) que é uma série convergente? que é uma série divergente? (b) Determine se aₙ é convergente. 2. Explique o significado de se dizer que 16. (a) Explique a diferença entre 3-4 Calcule a soma da série aₙ cuja somas parciais são dadas. aᵢ e aⱼ (b) Explique a diferença entre 5-8 Calcule os oito primeiros termos da sequência de somas parciais aᵢ e aⱼ corretas para quatro casas decimais. Parece que a série é convergente 17-26 Determine se a série geométrica é convergente ou divergente. ou divergente? 1 Se for convergente, calcule sua soma. 5. 6. 17. 3 16 + 4 + n³ + 19. 10 + 0,4 0,08 7. 8. n! 10" 21. 22. 9-14 Calcule pelo menos dez somas parciais da série. Faça o gráfico de ambas as sequências de termos e de somas parciais na mesma tela. 23. 24. Parece que a série é convergente ou divergente? Se ela for conver- 4" gente, calcule a soma. Se for divergente, explique por quê. 25. 26. 12 9. 10. cos 11. 12. 27-42 Determine se a série é convergente ou divergente. Se for con- 4 10" vergente, calcule sua soma. . 13. 14. 3 6 9 12 15 2 1 2 2 2n 28. + + + + + + . 15. Seja aₙ 3 9 27 81 243 729 É necessário usar uma calculadora gráfica ou computador SCA É necessário usar um sistema de computação algébrica 1. As Homework Hints estão disponíveis em www.stewartcalculus.comSEQUÊNCIAS E SÉRIES INFINITAS 643 k² 63. 29. 30. (k 64. Vimos que a série harmônica é uma série divergente cujos termos 31. 32. tendem a 0. Mostre que 33. 34. 35. 36. também é uma série com essa propriedade. + SCA 65-66 Use o comando de frações parciais em seu SCA para encontrar uma expressão conveniente para a soma parcial; então utilize essa ex- 37. 38. (cos 3 pressão para encontrar a soma da série. Verifique sua resposta usando o SCA para somar a série diretamente. 39. arctg 40. 65. 66. + 41. + 42. 67. Se a n-ésima soma parcial de uma série 43-48 Determine se a série é convergente ou divergente expressando Sₙ como uma soma telescópica (como no Exemplo 7). Se for conver- encontre aₙ. gente, calcule sua soma. 68. Se a n-ésima soma parcial de uma série 2 n encontre aₙ aₙ. 43. 44. In 69. Um paciente toma 150 mg de um fármaco, ao mesmo tempo, to- 3 dos os dias. Imediatamente antes de cada comprimido que é to- 45. mado, 5% da droga permanece no corpo. (a) Qual quantidade do fármaco no corpo depois do terceiro com- 46. primido? Após o n-ésimo comprimido? (b) Qual quantidade da droga permanece no corpo, a longo prazo? 70. Depois da injeção de uma dose D de insulina, a concentração de 47. 48. n³ insulina no sistema do paciente decai exponencialmente e por isso pode ser escrito como onde t representa o tempo em horas e a é uma constante positiva. 49. Seja x 0,99999 (a) Se uma dose D é injetada a cada T horas, escreva uma ex- (a) Você pensa que x