Lista de Exercícios de Calculo Vetorial 2013

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Lista de Ca´lculo Vetorial - 28/agosto/2013
Definic¸a˜o 1 (Campo Escalar) Chamaremos de campo escalar uma func¸a˜o com valores reais. Por exemplo
f : D ⊂ Rn → R com n ∈ N.
Definic¸a˜o 2 (Campo Vetorial) Um campo vetorial bidimensional e´ uma func¸a˜o F do tipo F (x, y) =
M(x, y)i+N(x, y)j em que M e N sa˜o campos escalares. Do mesmo modo, um campo vetorial tridimensional
e´ uma func¸a˜o F do tipo F (x, y, z) = M(x, y, z)i + N(x, y, z)j + P (x, y, z)k em que M , N e P sa˜o campos
escalares.
Definic¸a˜o 3 (Gradiente) Se f for uma func¸a˜o escalar de treˆs varia´veis x, y e z e as derivadas
parciais fx, fy e fz existirem, enta˜o o gradiente de f denotado por ∇f sera´ definido por ∇f(x, y, z) =
fx(x, y, z)i+ fy(x, y, z)j+ fz(x, y, z)k. Do mesmo modo, se f e´ uma func¸a˜o escalar de duas varia´veis,
enta˜o o gradiente de f e´ dado por ∇f(x, y) = fx(x, y)i+ fy(x, y)j.
Exerc´ıcio 1 Obtenha o vetor gradiente das func¸o˜es escalares abaixo:
(a) f(x, y) = 4x2 − 3xy + y2 (b) f(x, y) = xy
x2 + y2
(c) f(x, y) = ln
√
x2 + y2
(d) f(x, y, z) = xe−2ysec(z) (e) f(x, y, z) = 22zlog(ln(xy)) (f) f(x, y, z) = tg2(2xy)cotg(z)
(g) f(x, y, z) = (x
2
+ y
2
+ z
2
)−1/2 (h) f(x, y, z) = ln(x
2
+ y
2
+ z
2
) (i) f(x, y, z) = e
z − ln(x2 + y2)
Definic¸a˜o 4 (Rotacional) Seja F (x, y, z) = M(x, y, z)i + N(x, y, z)j + P (x, y, z)k onde M,N e P sa˜o
func¸o˜es escalares que possuem derivadas parciais. O rotacional de F e´ dado por:
rotF = ∇× F =
∣∣∣∣∣∣∣
i j k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
M N P
∣∣∣∣∣∣∣ = (
∂P
∂y
− ∂N
∂z
)i− (∂P
∂x
− ∂M
∂z
)j + (
∂N
∂x
− ∂M
∂y
)k.
Se F (x, y) = M(x, y)i+N(x, y)j, enta˜o rotF =
∣∣∣∣∣∣∣
i j k
∂
∂x
∂
∂y 0
M N 0
∣∣∣∣∣∣∣ = (∂N∂x − ∂M∂y )k.
Definic¸a˜o 5 (Divergente) Seja F (x, y, z) = M(x, y, z)i+N(x, y, z)j+P (x, y, z)k de modo que M,N e P
possuam derivadas parciais. O divergente de F denotado por divF e´ definido por:
divF = ∇ · F =< ∂
∂x
,
∂
∂y
,
∂
∂z
> · < M,N,P >= ∂M
∂x
+
∂N
∂y
+
∂P
∂z
Exerc´ıcio 2 Dados os campos vetoriais abaixo, calcule rotF e divF .
(a) F (x, y) = 2xi+ 3yj
(b) F (x, y) = excosyi+ exsenyj
(c) F (x, y, z) = (y2 + z2)i+ xeycoszj − xeycoszk
(d) F (x, y, z) =
x
(x2 + y2)3/2
i+
y
(x2 + y2)3/2
j + k
(e) F (x, y, z) = x
2
zi+ y
2
xj + (y + 2z)k
(f) F (x, y, z) = (3x+ y)i+ xy
2
j + xz
2
k
(g) F (x, y, z) = 3xyz
2
i+ y
2
senzj + xe
2z
k
(h) F (x, y, z) = x
3
ln (z)i+ (xe
−y
)j − (y2 + 2z)k
1
Exerc´ıcio 3 Considere a func¸a˜o escalar f e o campo vetorial F (x, y, z) = M(x, y, z)i+N(x, y, z)j +
P (x, y, z)k onde f , M,N e P possuem derivadas parciais de segunda ordem cont´ınuas em um aberto
B ⊂ R3. Prove que:
(a) div(rotF ) = 0, observe que 0 ∈ R.
(b) rot(∇f) = 0 em que 0 ∈ V 3.
Definic¸a˜o 6 (Laplaciano) Seja f uma func¸a˜o escalar definida numa bola aberta B em Rn que tem deri-
vadas parciais de segunda ordem em B.
(a) O laplaciano de f e´ definido por: ∇2f(x1, x2, . . . , xn) = ∂2f∂x21 +
∂2f
∂x22
+ · · ·+ ∂2f
∂x2n
;
(b) A equac¸a˜o ∂
2f
∂x21
+ ∂
2f
∂x22
+ · · ·+ ∂2f
∂x2n
= 0 e´ chamada de equac¸a˜o de Laplace;
(c) Uma func¸a˜o escalar que satisfaz a equac¸a˜o de Laplace e´ chamada de harmoˆnica.
Exerc´ıcio 4 Demonstre que as func¸o˜es abaixo sa˜o harmoˆmicas.
(a) f(x, y) = eysen(x) + excos(y) (b) f(x, y) = ln(
√
x2 + y2)
(c) f(x, y, z) = 2x2 + 3y2 − 5z2 (d) f(x, y, z) = (x2 + y2 + z2)− 12
Definic¸a˜o 7 (Campo Conservativo) Seja f um campo escalar e F um campo vetorial definido por F =
∇f , dizemos que F e´ um campo vetorial gradiente ou campo vetorial conservativo e f e´ chamada de func¸a˜o
potencial.
Exerc´ıcio 5 Ache o campo vetorial conservativo para as func¸o˜es abaixo:
(a) f(x, y) = sec(x− y) (b) f(x, y, z) =√x2 + y2 + z2 (c) f(x, y, z) = zsen(x2 − y)
(d) f(x, y) = log(cos(x2y3)) (e) f(x, y, z) = tg(yz)3x
2
(f) f(x, y, z) = cossec(z)ex
2y
Teorema 1 (Campo Conservativo em R2) Sejam M e N func¸o˜es de duas varia´veis x e y definidas
numa bola aberta B em R2 sendo My e Nx cont´ınuas em B. Enta˜o o campo vetorial F (x, y) =
M(x, y)i+N(x, y)j sera´ conservativo em B se, e somente se My = Nx.
Teorema 2 (Campo Conservativo em R3) Sejam M,N e P func¸o˜es de treˆs varia´veis x, y e z
definidas numa bola aberta B em R3 sendo My,Mz, Nx, Px e Py cont´ınuas em B. Enta˜o o campo
vetorial F (x, y, z) = M(x, y, z)i + N(x, y, z)j + P (x, y, z)k sera´ conservativo em B se, e somente se
My = Nx, Mz = Px e Nz = Py.
Exerc´ıcio 6 Determine se o campo vetorial dado e´ conservativo. Justifique.
(a) F (x, y) = (3x2 − 2y2)i+ (3− 4xy)j
(b) F (x, y) = (exey + 6e2x)i+ (exey − 2ey)j
(c) F (x, y) = ycos(x+ y)i− xsen(x+ y)j
(d) F (x, y, z) = (y senz)i+ (x senz)j + (xy cos z)k
(e) F (x, y, z) = (e
x
cos y)i− (ex seny)j + zk
(f) F (x, y, z) = (2ye2x + ez)i+ (3ze3y + e2x)j + (xez + e3y)k
(g) F (x, y, z) = ysec2(x)i+ (tg(x)− zsec2(y))j + xsec(z)tg(z)k
Exerc´ıcio 7 Prove que o campo vetorial dado e´ conservativo e ache a func¸a˜o potencial f .
(a) F (x, y) = xi+ yj
(b) F (x, y) = exsen(y)i+ excos(y)j
(c) F (x, y) = (sen(y)senh(x) + cos(y)cosh(x))i+ (cos(y)cosh(x)− sen(y)senh(x))j
(d) F (x, y, z) = (zex + ey)i+ (xey − ez)j + (−yez + ex)k
(e) F (x, y, z) = (2xcosy − 3)i− (x2seny + z2)j − (2yz − 2)k
(f) F (x, y, z) = (tgy + 2xysecz)i+ (xsec2y + x2secz)j + secz(x2ytgz − secz)k
2