5 - Cinemática

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Sistema de referência 
É dito em mecânica que um sistema é de referência quando as distâncias que separam os seus pontos são invariáveis. 
Relatividade do movimento 
É dito que um corpo está em movimento em relação a um sistema de referência quando as distâncias que o separam de um ponto qualquer deste sistema de referência variam com o tempo. 
Tempo 
Podemos dizer que um fato ocorre depois de outro e que poderá ser medido o intervalo entre eles, a separação dos fatos é o intervalo e a quantidade desse intervalo é a duração desse tempo 
O segundo é a duração de 9 192 631 770 períodos da radiação correspondente à transição entre dois níveis hiperfinos do estado fundamental do átomo de césio 133. 
CINEMÁTICA
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O sentido do movimento pode ser contínuo ou alternativo. 
É contínuo quando o móvel percorre sua tra­jetória sempre no mesmo sentido. 
E alternativo quando a trajetória é percorrida tanto em um sentido como no outro. 
Retilínea - M da correia 
Circular – N da polia
Parabólica P do jato d’água
Ciclóidal Q do pneu
Trajetórias tridimensionais
Helicoidal R da porca
Qualquer S da folha
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Espaço percorrido (e) Chamamos por espaço percorrido por um móvel o comprimento da trajetória percorrida. O fato é que a noção do espaço percorrido deve sempre ser completada pela do tempo (espaço percorrido apos t segundos). Unidade: o metro (m). 
Velocidade
Espaço percorrido em um determinado tempo. Após t segundos V = MoMt/t. Unidade m/s 
Aceleração
Variação da velocidade em um determinado tempo 
a = (v – v’)/t. 
Aceleração tangencial at = (v –v’)/t 
Aceleração normal an = (v2)/r (r – raio de curvatura)
Unidade; m/s2
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Lei dos movimentos
Lei da aceleração: a = 0
Lei das velocidades: v = constante 
Lei dos espaços percorridos: e = v.t 
Obs. Caso haja espaço inicial e = eo + v.t
Dados: e = 12.3 = 36m
t = 60 + 20 = 80s
Solução v = e/t = 36/80 = 0,45m/s
2 - Uma trovoada é percebida 22 s após o raio. Sabendo-se que o som percorre 340 m/s, cal­cular a distância onde caiu o raio. 
Dados: t = 22s, v = 340m/s
Solução: e = vt = 340.22 = 7480m = 7,48Km
3 - Um pedestre marcha durante 42 min a uma velocidade constante de 3,6 km/h. Sabendo que antes de ser cronometrado já andou 1,5 km, calcular a distância total percorrida. 
Dados: t = 42min = 2520s
V = 3,6Km/h = 1m/s, eo = 1,5Km = 1500m
Solução: e = 1500 + 2520x1 = 4020m
Movimento Retilínio Uniforme
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Vazão volumétrica (correia transportadora, tubulação...) é o volume transportado em um determinado tempo
Vol. = Ao.L e Q = Vol/t = Ao.L/t
Mas v = L/t → Q = Ao.v
Unidade: Vol(m3), t(s) → Q(m3/s)
Vazão em peso é o peso transportado em um determinado tempo. 
QP = P/t, mas P = .Vol,
 é o peso específico, logo QP = .Vol/t = .QV
Uma tubulação de 80 mm debita 60 m3 de água por hora. Calcular a velocidade de circulação. 
Solução: v = Q/Ao, com Q = 60m3/h = (60/3600)m3/s = 0,0167m3/s e Ao = .(0,08)2/4 , logo
Ao = 0,005m2 e v = 0,0167/0,005 = 3,34m/s 
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Um móvel, distante 200m de um marco de referência, desloca-se a uma velocidade uniforme de 5 m/s afastando-se retilineamente do marco. Representar graficamente o espaço deslocado.
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Um ponto móvel M está animado de um movimento retilíneo uniforme de velocidade v = 2,5 m/s. No instante inicial, já foram percorridos 26m. (a) Qual o espaço total percorrido em 20 s? (b) Quanto tempo levará para percorrer 100 m? (c) Faça o diagrama das velocidades e dos espaços percorridos. 
Solução algébrica: (a) e = 26 + 2,5.20= 76m 
(b) e = eo + vt → t = (e – eo)/v = (100 – 26)/2,5 = 29,6s 
Solução gráfica:
Ponto A: t = 0, e = 26m
Ponto B t = 20s, e =76m 
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Um ciclista sai de M e roda até N com a ve­locidade de 18 km/h. Um automóvel saindo também de M roda igualmente para N com velocidade de 72 km/h. Todavia, a saída do carro foi 30 s após ao ciclista. Determinar o ponto x de encontro e o tempo de percurso de cada móvel, desde a saí­da até o encontro. 
Método gráfico: 
Método analítico.
ea = va.ta, 
ec = vc.tc 
 tc = ta + 30
ea = va.ta
ec = vc.(ta + 30)
ea = ec → vata = vc(ta +30) 
20ta = 5(ta + 30)
15ta = 150 → ta = 10s
tc = ta +30 = 40s
ea = ec = 20.10 = 200m
M: tc = 0; ec = 0
A: tc = 50s; ec = 5.50 = 250m 
B: ta = 0; e = 0
C: ta = 20s; ea = 20.20 = 400s 
Ponto de encontro; X = 200m
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Como os espaços percorridos são os mesmos, a área OCDF = a área OADF, temos:
vm.t = [(vo + vf)/2].t, logo: vm = (vo + vf)/2
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Dados: vo = 72 km/h = 20 m/s, vf = 108 km/h = 30 m/s, t= 12 s
Solução: vm =(vo + vf)/2 = (20 + 30)/2 = 25m/s e e = vm.t = 25.12 = 300m 
Movimento retilíneo uniformemente acelerado.
sem velocidade inicial (v. = 0). a) - o móvel parte do repouso.
sem espaço inicial (e = 0). b) - 0 móvel parte do marco de referência. 
Definição: O movimento é dito retilíneo uniformemente acelerado quando, percorrendo uma trajetória retilínea, sua velocidade aumenta de quantidades iguais em tempos iguais. (Tendo-se a certeza de que a velocidade aumenta da mesma quantidade em cada segundo). 
Aceleração(a)
a = V/ t
Unidade: m/s2
Velocidade(vt)
vt = at
vm = (vo + vt)/2
vo = 0 e vm = vt/2 = at/2
Espaço percorrido (et)
et = vm.t, vm = at/2
Logo e = at2/2
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1 - Um móvel é animado de um movimento retilínio uniforme.Saindo do repouso atinge uma velocidade 20m/s após 25s. Calcular a sua aceleração
2 - Um satélite artificial atinge a velocidade de 8 km/s após 2 minutos de percurso. Calcular a aceleração e o espaço percorrido durante este período. 
vt = 20m/s, vo = 0 e t = 25s
a = v/t = 20/25 = 0,8m/s2
Vt = 8Km/s = 8000m/s, vo = o e t = 2min = 120s
a = V/t = 8000/120 = 67m/s2
e = vm.t; vm = (0 + 8000)/2 = 4000m/s e
e = 4000.120 = 480.000m = 480Km.
Obs. No caso de movimento retilínio uniformemente variado utilizar as seguintes fórmulas:
 e = vm.t; vm = (vo + vt)/2 e a = v/t e observar se há espaço e ou velocidade inicial
3 - Um veículo parte e acelera durante uma distância de 400 m. O tempo do percurso foi de 19 s. Calcular a aceleração e a velocidade final. 
e = 400m, t = 19s, vo = 0
e = vm.t → vm = 400/19  21m/s 
vm = (vo + vf)/2 → 21 = (0 + vt)/2 → vt = 42m/s
vf = vt = 42m/s e a = v/t = 42/19  2,21m/s2 
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Caso geral: Movimento uniformemente variado com velocidade inicial 
Movimento acelerado
Movimento desacelerado
1 - Um veículo se desloca a 36 km/h. O piloto acelera uniformemente durante 8s, e a velocidade atinge 54 km/h. Calcular a aceleração e a distância percorrida durante este período. 
vo = 36Km/h = 10m/s, t = 8s e vt = 24km/h = 15m/s 
 a = v/t = 5/8 = 0,625m/s2
et = vm.t, vm = (vo + vt )/2 = (10 + 15)/2 = 12,5m/s 
et = vm.t = (12,5).8 = 100m
2 - Um veículo se desloca a 108 km/h, freia uniformemente durante 16 s e percorre 280m. Calcular a desaceleração e a velocidade final. 
vo = 108km/h = 30m/s, t = 16s et = 280m
e = vm.t → vm = et/t = 280/16 = 17,5m/s
vm = (vo +vt)/2 → vt = 2vm –vo = 2.17,5 – 30 = 5m/s 
a = v/t = (30 – 5)/16 = 25/16 = 1,56m/s2
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Caso geral: Movimento uniformemente variado. – Solução gráfica
1: vo = 0 e a = 0,25m/s2; tmax = 50s.
e = at2/2; d2e/dt2 = a
a > 0 movimento acelerado
2: Um móvel desloca-se em movimento retilínio uniforme com vo = 12m/s. Freia com uma desaceleração a = 2m/s2 para finalmente parar. (a) Qual a duração da desaceleração? (b) Qual o espaço percorrido durante o período da marcha reduzida? (c) Represente graficamente a, v, e. 
Solução analítica: 
a = V/ t, vo = 12, vf = 0, a = -2 → 2 = 12/t → t = 6s
e = vm.t; vm = (vo +vf)/2 = 12/2 = 6m/s e = 6.6 = 36m 
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Um elevador de mina se desloca num poço de 900m de profundidade da seguinte forma:
Nos 300 primeiros metros em movimento acelerado.
Os seguintes 420m em movimento uniforme (v = 20m/s).
Os últimos 180m em movimento desacelerado.
Calcular o tempo de cada fase. A aceleração e a desaceleração. Representar graficamente a subida do elevador. 
Movimento acelerado:
e = 300m, vo = 0, vf = 20m/s, e = vm.t1, vm = (vo –vf)/2 = 10m/s, t1 = e/vm = 300/10 = 30s; a = V/ t = 20/ 30 = 0,67m/s2
Movimento uniforme:
e = v.t2 e = 420m, v = 20m/s → t2 = e/v = 420/20 = 21s; a = 0 
Movimento desacelerado
e = 180m, vo = 20m/s, vf = 0, e = vm.t3, vm = (vo – vf)/2 = 10m/s, t3= e/vm = 180/10 = 18s; a = V/ t = 20/18 = 1,11m/s2
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Definição Um ponto M é animado de um movimento circular uniforme quando percorre, sobre uma circunferência, arcos iguais em tempos iguais 
Trajetória. A marca deixada pelo móvel é uma circunferência. 
Esta circunferência não é sempre completa. 
Quando o movimento é continuo o sentido do percurso é imutável. 
Velocidade. Em razão da definição, a velocidade é sempre a mesma. Devemos considerar 2 velocidades:
Velocidade tangencial (v). Na partida, o móvel está em Mo. Umtempo t mais tarde ele ocupa a posição M1 e por este feito percorreu o arco MoM1. Entende-se por velocidade tangenciancial (v) o arco percorrido durante o tempo t. Unidade: metro por segundo m/s. v = arcoMoM1/t 
Velocidade angular (w). Na saída o raio é Omo. Após um tempo t, o raio está em OM1 e por este fato varrendo um ângulo . Entende-se por velocidade angular (w) o ângulo descrito pelo raio durante o tempo t. w = /t. Unidade: rad/s
Representação vetorial da velocidade. É costume representar a velocidade tangencial por um vetor: Ponto de aplicação, posição M. Direção, tangente a circunferência em M. Sentido, o do movimento. Intensidade, v em m/s o comprimento do vetor.
Unidade prática: RPM – Rotação por minuto(N) 
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Relação entre v e w.
V = arcoMoM1/t , mas  = arcoMoM1/OMo = arcoMoM1/r → MoM1 = r → v = r /t = wr
Ema cada volta M percorre o arco 2r. Em um minuto percorre o arco 2rN → v (m/s) = 2rN/60 
Ou v = dN/60 
Relação entre v e N.
Relação entre w e N.
w = v/r = 2rN/60r = N/30 
Aceleração. Variação de velocidade em um tempo t. Consideremos o móvel em Mo animado de uma velocidade vo. Em um tempo t mais tarde o móvel está em M1 animado de uma velocidade v1 = vo. A aceleração a é expressa por : a = (v1 – vo)/t e decompõe-se em:
Aceleração tangencial at = (v1 – vo)/t = 0, pois vt = vo. 
Aceleração normal an = v2/r = w2r
Lei dos espaços percorridos e. A velocidade sendo constante, o espaço percorrido é proporcional ao tempo. e(m) = arco MtMo = v.t
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1 - As paredes de uma turbina são repartidas sobre uma circunferência com diâmetro aproximado de 1,2 m. A roda gira com uma rotação de 3000 RPM. Calcular v, w e a, 
v = dN/60 = .(1,2).3000/60 = 189m/s; w = N/30 = .3000/30 = 314rad/s; a = v2/r = 189/0,6 = 60.000m/s2 
2 - Uma pedra de esmeril tem 400 mm de diâmetro. Sabendo que a velocidade tangencial periférica é de 20 m/s, calcular o número de RPM correspondente. Determinar também a aceleração. 
v = dN/60 → N = 60v/d = 60.(20)/(3,14).0,4 = 955RPM; a = v2/r = 202/0,4 = 1000m/s2. Obs. d = 400mm = 0,4m
3 -Uma roda de ventilador deve girar com 450 RPM. Sabemos que a velocidade periférica não pode ultrapassar 30 m/s. Calcular o diâmetro exterior máximo. Depois, determinar w. 
v = dN/60 → dmax = 60v/N = 60.(30)/(3,14).450 = 1,27m; w = N/30 = 3,14.450/30 = 47rad/s.
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4 - Uma cabine de elevador percorre 32 m em 18 segundos. O cabo enrola-se sobre um tambor de 750mm de diâmetro. Com que velocidade deve girar o tambor para realizar esta operação de levantamento? 
e = v.t → v = e/t = 32/18 = 1,78m/s; v = dN/60 → N = 60v/d = 
= 60.(1,78)/3,14.0,750 = 45,2RPM
5 - A cabeça de um transportador por correia tem um diâmetro de 21 cm e uma rotação e 150RPM. Calcular a velocidade de arrasto da correia e depois a vazão horária do transportador sabendo que a seção é de 5dm2 e o peso específico é de 1 300 kgf/m3. 
v = dN/60 = 3,14.0,21.150/60 = 1,65m/s; QV = v.A = 1,65.(0,05) = 0,083m3/s = 0,083.3600 = = 300m3/h; QP = QV = 1300.(300) = 390.000Kg/h = 390T/h.
Um automóvel se desloca a 140 km/h. As rodas têm um diâmetro de 65 cm. Neste momento a rotação do motor é 5500 RPM. Calcular relação global de redução de velocidade.
Obs. Relação global de transmissão =  = Nmotor/Nroda; v = dN/60 → Nroda = 60v/d 
v = 140km/h = 39m/s e Nroda = 60.(39)/3,14.(0,65) = 1140RPM;  = Nmotor/Nroda = 5500/1140 = 4,82 
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Um movimento é circular uniformemente variado quando a sua velocidade (tanto tangencial como angular! varia de quantidades iguais em tempos iguais. 
Se a velocidade aumenta de quantidades iguais. em tempos iguais, o movimento é uniformemente acelerado (caso da ligação de um motor). 
Se a velocidade diminui de quantidades iguais em tempos iguais, o movimento é uniformemente retardado (caso da parada um motor). 
Movimento circular uniformemente variado 
Velocidade angular média (wm) 
É a velocidade angular constante de um móvel fictfício animado de um movimento circular uniforme e que teria a mesma rotação que a de um móvel animado do movimento circular variado durante o mesmo tempo.. wm = (wo+ wt)/2, caso wo = 0  wm = wf/2
Velocidade tangencial média (vm) 
É a velocidade tangencial constante de um móvel fictício animado de um movimento circular uniforme e que percorreria o mesmo arco que o móvel animado do movimento circular variado durante o mesmo tempo. .. vm = (vo+ vt)/2, caso vo = 0  vm = vf/2
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Aceleração angular () 
É o aumento da velocidade angular em um determinado tempo t. Em razão do aumento regular da velocidade angular, teremos : (w1 – wo)/t = (w2 – w1)/t = ... = . Ou (rad/s2) = w/  t = cte. 
Aceleração tangencial (a) 
É o aumento da velocidade tangencial em um determinado tempo t. Em razão do aumento regular da velocidade tangencial, teremos : (v1 – vo)/t = (v2 – v1)/t = ... = a. Ou a(m/s2) = v/  t = cte. 
Velocidade angular (wt) 
Como  = (w1 – wo)t = w/  t → w = t, para wo = 0 e to = 0 → w(rad/s) = t
Velocidade angular media: wm = (wo + wt)/2 com wo = 0 → wm = (0 + wt)/2 = wt/2 = t/2 
Velocidade tangencial (vt) 
Como a = (v1 – vo)t = v/  t → v = at, para vo = 0 e to = 0 → v = t
Velocidade tangencial media:vm = (vo + vt)/2, com vo = 0 → vm = (0 + vt)/2 = vt/2 = t/2
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Ângulo descrito (t). O ângulo descrito em t segundos vale:
 t = wmt, como wm = t/2 → t = t2/2
Arco percorrido (t). O ângulo percorrido em t segundos vale:
 et = vmt, como vm = at/2 → et = at2/2
Obs. No caso de movimento circular uniformemente variado utilizar as seguintes fórmulas:
  = wm.t; e = vm.t; wm= (wo + wt)/2; vm = (vo + vt)/2; = w/t; a = v/t;  =t2/2; et = at2/2 e observar se há espaço e ou velocidade inicial. V = dN/30; w = N/30; e = r; v = wr e a = r 
1 - Um motor elétrico entra em serviço e leva 12 segundos para atingir sua velocidade de regime de 2850 RPM. Calcular a aceleração angular e o número de rotações efetuadas durante a aceleração. 
=w/  t; wo = 0; wt = N/30 = (3,14).2850/30 = 298rad/s;  = wt/t = 298/12 = 24,8rad/s2 
n° de rotações = /2;  = wmt; wm = (0 +wt)/2 = 298/2 = 149rad/s →  = 149.12 = 1788rad
n° de rotações = 1788/(2.3,4) = 285rot.
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2 - Um volante de uma máquina gira a 180 RPM. Para parar, realiza 212 rotações. Calcular: a desaceleração angular e o tempo necessário para obter a parada. 
Cálculo de t:  = wmt;  = 212*2 = 1330rad; wf = .N/30 = 3,14.180/30= 19rad/s; wm = (0 + wf)/2 = (0 + 19)/2 = 9,5rad/s; t = /wm = 1330/9,5 = 140s
Cálculo da desaceleração: a = w/t = 19/140 = 0,137rad/s2 
3 - Uma polia gira a 3000 RPM. Uma frenagem, que durou 4 segundos promoveu uma queda na velocidade para 2000 RPM. Calcular: a desaceleração angular e o número de rotações durante o período de frenagem. 
Cálculo da desaceleração: wo = N/30 =(3,14).3000)/30 = 314rad/s; wf = (3,14).2000/30 = 210rad/s;  = w/t = (314 -210)/4 = 104/4 = 26rad/s2 
Cálculo do número de rotações: n° de rotações = /2;  = wmt; wm = (314 + 210)/2 = 262rad/s;  = 262.4 = 1048rad e n° de rotações = 1048/(2.) = 166rotações. 
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Transmissões porelementos flexíveis e por atrito
à longa distância: transmissão por polias e correias 
à curta distância: transmissão por rodas de atrito. 
Nos dois casos temos deslizamento da ligação flexível. 
a) Transformação de um movimento circular em um outro movimento circular.
b) Transformação de um movimento circular em movimento retilíneo 
A transmissão clássica é o sistema tambor e cabo (cabrestante). 
Transmissão por polias e correias 
Na hipótese teórica de uma correia inestensível e não deslizante sobre as superfícies das polias, as velocidades lineares do ponto A da polia pequena, do ponto A' da polia grande e do ponto M da correia são iguais, porque, em um segundo, esses três pontos terão percorrido as mesmas distâncias. 
Então temos : VA = V’A→ dN/60 = d’N’/60 → dN = d’N’
Unidades: d e d’ em m e N e N’ em RPM.
Lei: O diâmetro de uma polia multiplicado por sua velocidade angular é igual ao diâmetro da outra polia. multiplicado por sua velocidade angular. 
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A transmissão por correia será possível se houver a força de tração afastando O e O'. 
A polia pequena gira com rotação maior que a maior. 
A redução na aderência (em razão da força centrífuga e de uma camada de ar entre a polia e a correia) provoca um deslizamento de 3 a 5%. Para remediar este deslizamento podemos aumentar o diâmetro da polia acionadora ou diminuir o diâmetro da polia acionada 
As rotações ocorrem no mesmo sentido com correias sem cruzamento em sentidos contrários com correias cruzadas. 
Para reduzir ao máximo o deslizamento, usamos correias trapezoidais e polias com ranhuras. 
1 - Uma polia de 250 mm de diâmetro é colocada sobre o eixo de um motor e está girando a 720RPM. Esta polia aciona, com ajuda de uma correia, um volante de 800 mm de diâmetro. Calcular a velocidade deste último sabendo que o deslizamento é de 4%. 
Observações:
dN = d’N’; d = 0,25m; d’ = 0,80m; N = 720RPM → N’ = dN/d’ = (0,25).720/0,80 = 225RPM(teórica) 
N’ real = 225.0,96 = 216RPM
Cones de polias 
Principalmente usados em máquinas-ferramenta, estes dispositivos permitem obter no eixo acionado, várias velocidades angulares diferentes para uma mesma velocidade nominal do eixo acionador. O número de velocidades diferentes é igual ao número de estágios e a mudança de velocidade é feita mudando a corrêia de um estágio para outro estágio. 
Obs. 
d1/2 + d’1/2 + 2E = d2/2 + d’2/2 + 2E = ... → d1+ d’1 = d2+ d’2 = ... = cte.
Como dN = d’N’ → N’1 = Nd1/d’1; N’2 = Nd2/d’2; N’3 = Nd3/d’3 
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4 – Em um dispositivo com cones de polias de 3 estágios, como o precedente, são dados os diâmetro do cone acionador: 200mm, 400mm, 600mm; e o menor diâmetro do cone acionado é 150. O cone mestre gira a 500 RPM e o deslizamento é de 4%. Calcular os outros diâmetros do cone acionado e as várias velocidades. 
Cálculo dos diâmetros:
 d3+ d’3 = d2+ d’2 = d1+ d’1, como d1 = 0,2, d2 = 0,4, d3 = 0,6 e d’3 = 0,15 → 0,6 + 0,15 = 0,4 + d’2 = 0,2 + d’1 → d’2 = 0,75 – 0,4 = 0,35m; d’1 = 0,75 -0,2 = 0,55m
Cálculo da velocidades (Observar que N = 150RPM)
N’i = (0,96)Ndi/d’i → N’1 = (0,96).500*0,2/0,55 = 175RPM; N’2 = (0,96).500.0,4/0,35 = 550RPM
N’3 = (0,96).500.0,6/0,15 = 1920RPM
Sempre na hipótese de uma transmissão teórica sem deslizamento das superfícies, as velocidades lineares do ponto A da polia pequena, do ponto A' da polia grande são iguais porque, em um segundo, estes dois pontos terão percorrido as mesmas distâncias. 
Transmissão por rodas de atrito
Então temos : VA = V’A→ dN/60 = d’N’/60 → dN = d’N’
Unidades: d e d’ em m e N e N’ em RPM.
Lei: O diâmetro de uma polia multiplicado por sua velocidade angular é igual ao diâmetro da outra polia. multiplicado por sua velocidade angular.
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A transmissão por roda de atrito só é possível se houver a aproximação de O e O'. 
A roda pequena tem uma rotação maior que a maior. 
A falta de aderência provoca um deslizamento importante de 10 a 15%. Para remediar podemos: aumentar o diâmetro da polia acionadora ou diminuir o diâmetro da polia acionada.
 As rotações efetuam-se em sentidos contrários. Para inverter as rotações, colocar uma roda intermediária de qualquer diâmetro. 
Observações:
5 - Uma roda de atrito de 100 mm de diâmetro gira a 1 500 RPM. Atua sobre uma polia que deve girar a 415 RPM. Calcular o diâmetro desta última. O deslizamento é de 12%. 
dN = d’N’ → d’(teórico) = dN/N’ = (0,1).1500/415 = 0,362m; d’(real) = (0,362)0,88 = 0,318m 
Transmissão por tambor e cabo 
A rotação do tambor (T) enrola o cabo fazendo subir o gancho (C) segundo uma vertical ou qualquer outra direção. Transformamos sem deslizamento a rotação em uma translação retilínea. 
Caso A(levantamento com um ramo). O gancho está suspenso na extremidade livre do cabo. A velocidade do gancho é igual a velocidade tangencial do tambor. V = dN/60
Caso B(levantamento com dois ramos). A extremidade do cabo é presa a um ponto fixo F enquanto que o gancho é fixo ao eixo de uma polia. A velocidade de ascenção do gancho é a metade da velocidade tangencial do tambor . V’ = ½ (dN/60)
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6 - Um gancho de uma ponte rolante atua com dois ramos (caso B). Sabemos que o diâmetro do tambor é de 42cm e gira a 23 RPM, calcular a velocidade de levantamento. 
Velocidade de levantamento 
V’ =(½).dN/60 = (1/2).(3,14).(0,42).23/60 = 0,2525m/s
Velocidade de enrolamento do cabo(velocidade tangencial)
V = 2.v’ = 2.(0,2525) = 0,505m/s
Transmissões rígidas 
a) Transformação de um movimento circular em um outro movimento circular.
a longa distância: transmissão por rodas dentadas e correntes. 
a curta distância: por engrenagens cilíndricas retos ou helicoidais cônicas de retos ou em espiral sem-fim e coroa. 
b) Transformação de um movimento circular em movimento retilínio.
movimento retilíneo contínuo por pinhão e cremalheira. 
movimento retilíneo alternativo por sistema biela e manivela. 
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Estas transmissões são usadas para longas distâncias de eixo a eixo. 
As correntes poderão ser de vários tipos: corrente de elos(1); corrente de rolos(2) e corrente silenciosa (3). 
Qualquer que seja o tipo, a lei de transmissão é a mesma. O pinhão possui Z dentes e gira a N RPM enquanto que a roda Z' dentes e gira a N'RPM 
Transmissão por rodas dentadas e corrente
Lei de transmissão
 Os pontos A, A' e M têm a mesma velocidade. Logo: dN/60 = d’N’/60 → dN = d’N’
(d e d' são os diâmetros primitivos: quer dizer os diâmetros das polias dando a mesma relação de transmissão). Como os diâmetros são proporcionais aos números de dentes, temos a relação: ZN = Z’N’
O número de dentes do pinhão multiplicado pelo número de RPM é igual ao número de dentes da roda multiplicado pelo seu número de RPM. 
7 - Um pinhão de 21 dentes gira a 750 RPM e aciona, por intermédio de uma corrente, uma roda dentada de 72 dentes. Calcular a velocidade de rotação desta última. 
Obs: Esta transmissão não apresenta deslizamento não necessita de tensionàmento de montagem tendo só um sentido de marcha (não permite inversão). 
ZN = Z’N’ → N’ = ZN/Z’ = 21.750/72 = 218RPM
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Transmissão por engrenagens 
Estas transmissões são usadas para as trans­missões a distâncias curtas de eixo a eixo. As engrenagens poderão ser: 	
cilíndricas retas		(1)	
cilíndricas helicoidais	(2)
 cilíndricas em espinhas de peixe 
cônicas retas		(3)
 cônicas espirais. Qualquer que seja a forma, a lei de transmissão é a mesma. 
O pinhão possui Z dentes e gira a N RPM, e a roda possui Z' dentes e gira a N'. Esta transmissão não apresenta deslizamento não necessita de compressão inicial nas rodas dentadas pode apresentar dois sentidos de marcha com a condição de se intercalar uma engrenagem intermediária Z. 
Lei de trasnsmissão
Os pontos A e A' têm a mesma velocidade. Então dN/60 = dN’/60 → dN = d’N’. d e d' são os diâmetros primitivos: quer dizer os diâmetros das polias dando a mesma relação de transmissão). Como os diâmetros são proporcionais aos números de dentes, temos a relação: ZN = Z’N’
O número de dentes do pinhão multiplicado pelo númerode RMP é igual ao número de dentes da roda multiplicado pelo número de RPM. 
Obs. A colocação de uma roda intermediária não mudará a lei de transmissão. De fato: 1ª marcha Z N = ZjNj, 2ª marcha ZjNj = Z' N‘; 3ª marcha Z N = Z' N' que é a lei precedente. 
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8 - Um pinhão de 18 dentes gira a 1 450 RPM e atua sobre e uma roda dentada que deve girar a 420 RPM. Quantos dentes deve ter a roda? 
ZN = Z’N’ → Z’ = ZN/N’ = 18.1450/420 = 62,2 ou seja 63 dentes.
Relação de transmissão
Consideremos uma sucessão de conjuntos de engrenagens Z1, Z’1; Z2, Z’2, ...Seja N o eixo motor e N' o eixo acionado. A relação de transmissão R é igual a velocidade final dividida pela velocidade inicial. R = N’(velocidade final)/N(velocidade inicial).
As velocidades n, M e N’ dos eixos são: 
n = NZ1/Z’1; m = nZ2/Z’2 = NZ1Z2/Z’1Z’2; 
N’ = mZ3/Z’3 =(Z1/Z’1)(Z2/Z2’)(Z3/Z’3).N; R = N’/N = (Z1/Z’1)(Z2/(Z’2)(Z3/Z’3) →
R = (Produto dos dentes acionadores)/(Produto dos dentes acionados
9 – Se Z1 = 15; Z2 = 17; Z3 = 21;Z’1 = 60; Z’2 = 48; Z’3 = 75, determine R.
R = (15.17.21)/(60.48.75) = 1/40,5
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Sistema sem-fim e coroa 
Usado para as elevadas reduções de velocidade entre dois eixos octagonais e próximos. O sem-fim possui Z entradas e gira a N RPM. Atua sobre .uma roda dentada de Z' dentes girando a N‘ RPM. 
Sem-fim de uma entrada 
Para cada volta do sem-fim, passa um dente da coroa. A coroa gira então Z vezes menos rápida que o sem-fim. 
Sem-fim de várias entradas 
Se o sem-fim possui quatro entradas, por cada rotação, passam quatro dentes da roda. O sem-fim comporta-se então como um pinhão de quatro dentes. 
Então a relação é a seguinte, comparável com a das engrenagens. ZN= Z'N'
10 - Um sem-fim de três entradas gira a 900 RPM. Ele atua sobre uma coroa que deverá girar a 42 RPM. Calcular o número de dentes desta. 
ZN = Z’N’ → Z’ = ZN/N’ = 3.900/42 = 64,2 ou seja 64 dentes.
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Punhão e cremalheira
A rotação do pinhão arrasta a cremalheira num movimento reti!íneo contínuo. 
Lei da transmissão:
Para uma rotação do pinhão a cremalheira avança de um comprimento e =d. Sendo, d o diâmetro do pinhão. 
Para uma rotação θ° do pinhão, temos: e = d θ°/360° 
Sistema biela-manivela 
A rotação contínua da manivela OA provoca um movimento retilíneo alternativo no pé a biela M. 
Observamos que o curso do pé da biela é 
MoM1 = Ao A1 = 2 r (r = raio da manivela) 
Para uma rotação uniforme de A, a velocidade v de M é essencialmente variável. 
Não estudaremos aqui este movimento. 
 
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Resistências Passivas
Entendem-se por resistências passivas, o conjunto das forças que se opõe ao movimento.
Existem quatro espécies de resistências ao movimento: 
a resistência ao deslizamento a resistência ao rolamento 
a rigidez das ligações flexíveis a resistência dos fluídos. 
Estas forças aparecem no caso de termos o deslocamento de um corpo em relação a um outro, com contato entre os dois corpos. 
Um navio desloca-se no mar; a resistência ao avanço (contato navio-água). 
A Lua gira em volta da Terra: não. há resistência (nenhum contato). 
Resistência ao deslizamento
Esta resistência é devida a rugosidade dos corpos, que provoca um encaixe entre as pequenas irregularidades micrométricas dos materiais. Aplicamos A sobre B com um esforço N normal a superfície de separação. Uma força F, tangente ao plano de separação, aparece e é dirigida em sentido contrário àquele do movimento. 
N é chamada de força normal; F é chamada força de atrito. 
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Leis 
A experiência mostra que a força de atrito F depende: 
  do esforço normal:N da natureza e do estado 
- das superfícies em contato:  
- da velocidade: v 
A força de atrito não depende:
da velocidade v
da área das superfícies em contato S
= coeficiente do atrito depende da da natureza e do estado das superfícies (determinado por experiências) 
 = 0,05 aço sobre bronze (óleo) 
 =0,1 aço sobre bronze (graxa) 
 = 0,4 material fibroso sobre ferro fundido (seco) 
 = 0,5 borracha sobre solo (seco) 
11 - As sapatas de um freio são aplicadas com um esforço de 6400 N (640 kgf). Sabendo que o coeficiente de atrito entre as matérias fibrosas e o ferro fundido é 0,4 e que o diâmetro da polia do freio é de .300 mm, Calcular: (a) o esforço da frenagem , (b) o binário da frenagem 
F = N = 0,4. 6400 = 2560N por sapata. Para o freio Ftotal = 2560.2 = 5120N
C = F.d = 2560.0,3 = 768N.m. Resposta (a) Ftotal = 5120N ; (b) C = 768N.m 
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Resistência ao rolamento
Os corpos não sendo indeformáveis, há penetração do rolete sobre o caminho de rolamento ou vice-versa. O rolete deve então subir constantemente um plano inclinado AB, que dá origem a uma força resistente F dirigida em sentido contrário ao movimento. (Na realidade este fenômeno é mais complexo que a aplicação dada acima.) 
Existe de fato: 
uma descompressão AC menos rápida que a compressão AB. (histereses) 
a formação de uma trilha metálica 
a resistência ao óleo e ao ar devido ao deslocamento 
vibrações observando a energia. 
Escrevemos a equação do momento em relação a B. Nn=Fr (a distância de O a F é r), logo: 
F = N.n/r
 A força F depende:
do esforço normal:
da natureza dos corpos em contato:
F é inversamente proporcional ao raio:r 
 n não é mais um coeficiente, mas um comprimento paramétrico, que tem a mesma unidade que r (é determinado por experiências). 
n - 0,0005m aço sobre trilho de aço 
n = 0,006 ferro fundido sobre ferro fundido 
N = 0,0001 rolamento de esferas de aço. 
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Resistência ao rolamento
Fy = 0 → P = Ncos (1); Fx = 0 → F’ = Nsen (2)
Dividindo (2) por (1), temos:
F’/P = tan. Como a área é pequena →  é pequeno →
tan  sen  = n/r, substituindo em (2), temos: F’ = F = Nn/r
12 - Um vagão de 50 toneladas possui 4 rodas de diâmetro igual a 920mm. Calcular a resistência do rolamento. 
N(Força normal por roda) = 50.000/4 = 12500Kgf = 122.500N, d = 0,92m, n = 0,0005m
Solução
F = N.n/r =122500.0,0005/0,46 = 133,1N(para cada roda)
F(total) = 133,1.4 = 532,4N 
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Rigidez das ligações flexíveis 
Causa 
As ligações não apresentam uma flexibilidade ideal caracterizada por um encurvamento instantâneo. 
Resulta então, que a passagem da parada (Fig. A) ao movimento (Fig. B) apresenta: 
- um atraso no enrolamento A'C' 
- um atraso no desenrolamento B'O'. 
Esta rigidez tem como conseqüência a modificação dos braços das alavancas criando um binário .resistente de sentido contrário ao do movimento. 
Na parada (Fig. A) a carga N suspensa a esquerda é equilibrada pelo esforço K = N a direita. Em movimento (Fig. B) é preciso executar um esforço N‘ superiqr a N. A equação dos momentos mostra que: N’ = N(r + m)/(r - m) e a resistência F vale:
F = N’ – N = N(r + m)/ (r - m) – N  2mN/r. Obs. Considere r  r - m
 F depende do esforço de tração N
F é inversamente proporcional ao raio de enrolamento r 
	
 m não é um coeficiente mas um comprimento paramétrico de mesma unidade que r.
 m = 2,52 para cabos de aço( = diâmetro do cabo em m, r = raio do enrolamento em m.
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Um guindaste levanta uma carga de 3000 kgf. Ó diâmetro do cabo é de 20 mm e o diâmetro do tambor é de 500 mm. Calcular a resistência suplementar proveniente do enrolamento do cabo sobre o tambor: 
Dados:
N = 3000Kgf
= 20mm = 0,02m
R = 250mm = 0,25m 
F = ? 
Solução:
F = 2mN/r = 2.(2,5.0,022).3000/0,25
F = 24Kgf = 235,2N
Obs. m = 2,52 = 2,5.0,022