01.EQUACAO DOS 3 MOMENTOS_VIGAS HIPERESTATICAS

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TECNOLOGIA EM CONSTRUÇÃO DE EDIFÍCIOS
CONSTRUÇÕES EM CONCRETO ARMADO
 
VIGAS HIPERESTÁTICAS - EQUAÇÃO DOS 3 MOMENTOS
Apostila organizada pelo professor:
Edilberto Vitorino de Borja
2014.2
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ÍNDICE
CÁLCULO DE MOMENTOS FLETORES PARA VIGAS CONTÍNUAS	 	2
Método da equação dos 3 momentos						2
Aplicações									4
Convenção de sinais								4
Cálculo e desenho do diagrama de momentos fletores de viga contínua		5
Cálculo das reações de apoio							6
Exercícios									10
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS							14
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CALCULO DE MOMENTOS FLETORES PARA VIGAS CONTINUAS
Vigas Contínuas: são vigas hiperestáticas com dois ou mais vãos.
Na determinação dos esforços seccionais de vigas isostáticas utilizam-se as três equações de equilíbrio da estática, necessárias e suficientes para garantir sua estabilidade.
Para as vigas hiperestáticas, as incógnitas (reações) são em número superior as três equações de equilíbrio da estática, sendo necessários então novos métodos para determinação dos seus esforços. Foram criados então vários métodos para o cálculo das reações de apoio e dos momentos fletores nos vãos. Uma vez conseguidos estes valores, pode-se calcular os momentos fletores e forças cortantes nos demais pontos da viga e conseqüentemente desenhar os diagramas. 
	Métodos de Cálculo:
	Método dos Deslocamentos
	
	Método dos Esforços
	
	Método de Cross
	
	Método da Equação dos Três Momentos
MÉTODO DA EQUAÇÃO DOS 3 MOMENTOS
O método apresentado a seguir é válido apenas para vigas que tenham inércia constante ao longo do comprimento de toda a viga (inércia constante para todos os vãos).
O método calcula os momentos fletores em 3 apoios (Xn-1, Xn e Xn+1) seqüenciais de uma viga, a partir dos quais pode-se calcular os momentos fletores em qualquer seção.
Vamos escolher um trecho de dois vãos ( e ) e de três apoios (n-1, n e n+1) de uma viga continua sujeita a um carregamento qualquer conforme a figura abaixo: 
A Equação dos 3 Momentos apresentada abaixo é valida para uma viga com momento de inércia constante no vão e de vão para vão.
	Fórmula
	
Onde:
e 
:comprimento dos vãos;
Xn-1, Xn e Xn+1: momentos nos apoios;
e 
: Fatores de carga (função do tipo de carga atuante no vão).
Quando houver mais de uma carga atuando em um mesmo vão, os fatores de carga finais são dados pela soma dos fatores de carga de cada uma das cargas.
FATORES DE CARGA: 
- Para carga uniformemente distribuída ao longo do vão:
	
	
- Para carga concentrada no vão:
	
	
	
	
Observação
O índice "1", nas fórmulas de fatores de carga, indica apoio da esquerda e o índice "2" indica apoio da direita.
APLICAÇÕES
Para se calcular os momentos fletores em todos os apoios de uma viga contínua, deve-se aplicar a equação dos três momentos em vãos subseqüentes dois a dois. O resultado é que o número total de aplicações é igual ao número de vãos menos um.
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Para quatro vãos, aplica-se três vezes a equação dos três momentos:
Com as três aplicações, fica-se com três equações dos três momentos, uma para cada aplicação e três incógnitas (X1, X2 e X3), já que os momentos X0 e X4 são previamente conhecidos. 
CONVENÇÃO DE SINAIS - MOMENTOS
	Olhando as cargas à esquerda da seção considerada: considera como positivo o momento com tendência de giro no sentido horário
	
	 Olhando as cargas à direita da seção considerada: considera como positivo o momento com tendência de giro no sentido anti-horário
	
CÁLCULO E DESENHO DO DIAGRAMA DE MOMENTOS FLETORES DE UMA VIGA CONTÍNUA
EQUAÇÃO: 		
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Uma aplicação: 2 vãos.
	Vãos
	Apoios
	n = 1
n +1 = 2
	n -1 = 0
	
	n = 1
	
	n +1 = 2
Observação:
Nos apoios de extremidade o valor do momento será igual a 0 (zero) - se não houver balanço. 
CÁLCULO DOS FATORES DE CARGA
	Vão 1
	Vão 2
	
	
	Cálculo
	Cálculo
Agora podemos resolver a 1ª aplicação
 
CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO
As reações de apoio devem ser calculadas separadamente para cada vão. Além das cargas nos vãos (distribuídas e/ou concentradas), devem-se aplicar também os momentos nos apoios do respectivo vão. O sentido destes momentos (horário ou anti-horário) deve deformar o vão da mesma maneira que a carga aplicada sobre ele.
Para vão 1:
	
	M0 = 0
3,5 . 4,00 . 2,00 - R1 . 4,00 - (-8,44) = 0
R1 = 9.11 kN
	
	V = 0
R0 + 9,11 - 3,5 . 4,00 = 0
R0 = 4,89 kN
Para vão 2:
	
	M1 = 0
10 . 2,00 + (-8,44) - R2 . 5,00 = 0
R2 = 2,31 kN
	
	V = 0
R1 + 2,31 - 10 = 0
R1 = 7,69 kN
OBSERVAÇÕES PERTINENTES:
A reação no apoio 1 é igual a soma das reações do apoio 1 para os vãos 1 e 2;
As reações de apoio são cargas concentradas;
Desenhar, ao final, a viga com os respectivos momentos fletores nos apoios e as reações de apoio, a partir dos quais serão calculados os momentos fletores que servirão de base para o desenho do diagrama:
Os Momentos fletores são determinados nas seções de início e de fim de carga distribuída e nas seções de carga concentrada;
É indiferente olhar as cargas à esquerda ou à direita de uma determinada seção, o resultado é sempre o mesmo!!!!!! 
Os momentos fletores deverão ser calculados nas seguintes seções: 0, 1, A, 2.
	Seção 0
M0 = X0 = 0 
	Seção 1
M1 = X1 = - 8,44 kN.m 
  Ou, olhando as cargas à esquerda:
Convenção:
 
M1 = +(4,89 x 4,00) – (3,5 x 4,0 x 2,0) = - 8,44 kN.m 
Qualquer que seja a maneira de se realizar o cálculo (com os valores à esquerda ou à direita da seção), o resultado deve ser sempre o mesmo.
	Seção A 
Convenção:
 
Olhando as cargas à direita:
MA = +(2,31 x 3,0) = 6,93 kN.m
	Seção 2
M2 = X2 = 0
 
 
DESENHO DOS DIAGRAMAS:
Com os valores dos momentos fletores nos vários pontos da viga, pode-se fazer o desenho do diagrama. 
Para este desenho, algumas convenções devem ser seguidas:
Valores de momento fletor positivos, abaixo da linha de referência e negativos, acima desta linha.
Linha do diagrama de momentos fletores entre dois pontos consecutivos:
- se não houver carga entre estes dois pontos, a linha é reta e inclinada;
- se houver carga distribuída entre estes dois pontos, a linha é uma parábola do 2o grau. A parábola do 2o grau necessita de três pontos para ser desenhada. No diagrama de momentos fletores, dois dos pontos da parábola são os momentos fletores nos pontos extremos. Há a necessidade então de um terceiro ponto. Este ponto é conseguido “pendurando-se” (pendurar significa no mesmo sentido da carga) o valor de [(qx²)/8] (q: valor da carga, x: distância entre os dois pontos) a partir da metade da reta que une os pontos extremos. (obs.: o sentido da carga sempre empurra a “barriga” da parábola).
	
Desenho Final:
Desenho final do diagrama de momentos fletores do exemplo proposto:
	Observação
O ponto sob o qual se "pendura" o valor qx2/8 não é necessariamente o ponto de máximo momento fletor.
EXERCÍCIO RESOLVIDO – Calcular os momentos e reações de apoios das vigas hiperestáticas abaixo aplicando a equação dos 3 Momentos
Etapa 1: Cálculo dos momentos nos apoios das extremidades:
Apoio 0 → X0 = 0
Apoio 3 → X3 = - 6 x 1,5 = -9 kN.m
Etapa 2: Aplicação da equação dos 3 momentos: como a viga tem 3 vão, faz-se necessário 2 aplicações do método.
1º aplicação (vãos e ): Para primeira aplicação n = 1
	
	vãos
	apoios
	
	n-1 = 0
	
	n = 1
	
	n + 1 = 2
2º aplicação (vãos e ): Para a segunda aplicação n = 2
	
	↓
	
	vãos
	apoios
	
	n-1 = 1
	
	n = 2
	
	n + 1 = 3
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	Fórmulas 
	
	Cálculo dos fatores de carga
	vão 
	vão 
	vão 
	Cálculo
	Cálculo
	Cálculo
Se não há carga no vão
	ObservaçãoCálculo dos fatores de carga em um determinado vão:
se não houver carga neste vão o fator de carga é igual a zero. 
se houver mais de uma carga neste vão o fator de carga final é igual a soma dos fatores de carga das cargas atuantes. 
 Agora podemos resolver a 1ª aplicação
	Cálculo 
2(4,50 + 3,50).X1 + 3,50 x X2 = -6(7,59 + 6,29)
16.X1 + 3,50.X2 = -83,28 (1° equação) 
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E na seqüência podemos resolver a 2ª aplicação
	Cálculo 
3,50 . X1 + 2(3,50 + 4,00) . X2 + 4,00 x (-9) = - 6(5,71 + 0)
3,50 . X1 + 15,0 . X2 - 36 = - 34,26 
3,50 . X1 + 15,0 . X2 = - 1,74 (2° equação)
 
Resolvendo-se o sistema de duas equações a duas incógnitas, decorrente da 1° e 2° aplicações da Equação dos 3 Momentos, chega-se aos valores dos momentos X1 e X2.
	 Então: 
	X0 = 0
	
	X1 = -5,51 kN.m
	
	X2 = 1,40 kN.m
	
	X3 = -9,00 kN.m
Conclusão 
A partir daí pode ser feito o cálculo das reações de apoio e dos valores dos momentos fletores nos pontos necessários para possibilitar o desenho dos diagramas.
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EXERCÍCIO RESOLVIDO 2 – Calcular os momentos e reações de apoios das vigas hiperestáticas abaixo.
Cálculo dos momentos nos apoios da viga contínua abaixo esquematizada: 
	A viga tem dois vãos, portanto será necessária uma aplicação da Equação dos 3 Momentos. 
	
 
	Fórmula 
	1º aplicação (vãos e ):
1º aplicação: 
Vãos:
Apoios:
 
n-1
=0
n
=1
n+1
=2
Cálculo dos fatores de carga 
	Cálculo dos fatores de carga 
	vão 
	vão 
	Cálculo
	Cálculo 
Agora podemos resolver a 1ª aplicação
	Cálculo 
2(5,00 + 4,50) . X1 = -6(13,02 + 18,56)
19,00 . X1 = -189,48
X1 = -9,97 kNm 
 
	Então: 
	X0 = 0
	
	X1 = -9,97 kN.m
	
	X2 = 0
Conclusão 
A partir daí pode ser feito o cálculo das reações de apoio e dos valores dos momentos fletores nos pontos necessários para possibilitar o desenho dos diagramas.
Exercícios:
 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Anotações de Aula do Prof. Edilberto
http://www.lami.pucpr.br/cursos/estruturas
� EMBED Equation.3 ���
0
-9
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�PAGE �8�
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_1483007424.unknown
_1474638392.unknown
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_1474638281.unknown
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_1435751916.unknown
_1435754966.unknown
_1435751898.unknown
_1435750387.unknown
_1435751575.unknown
_1435750368.unknown