3 - Apostila de Álgebra I São Miguel - Sistemas Lineares 2

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UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ 1 
Professor Manoel Gustavo Nogueira Vidal gustavob612@hotmail.com 
SISTEMAS LINEARES 
 
1- Equação Linear: 
 
É toda equação do tipo: a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b 
Os números reais (conhecidos) a1, a2, ..., an são ditos 
coeficientes , o real b é o termo independente (ou 
constante) e x1, x2, ..., xn são as variáveis (ou incógnitas). 
A equação acima é chamada linear pelo fato de o 
polinômio no 1o membro ser do 1o grau. Portanto, o 
expoente de todas as incógnitas deve ser 1, e cada 
monômio deve conter uma , e apenas uma, variável. Não 
são lineares, por exemplo, as equações: 
x1 - 3x22 + 2x3 = 4 , -x1x2 + 5x3 = 0 , 
x x
x1 2
3
3
1
5− + = − 
Se a seqüência (α1, α2 ,..., αn) de reais torna a sentença 
a1α1 + a2α2 + ... + anαn = b verdadeira, então é dita 
solução da equação linear acima. Ex.: 
1) A equação -3x1 - 4x2 + x3 + 2x4 = 5 admite a seqüência 
(-1 , 0, 0, 1) como solução, pois: 
 -3. (-1) - 4.0 + 0 + 2.1 = 5 (V) 
Entretanto, a seqüência (1, 0, 0, -1) não é solução, pois: 
 -3.1 -4.0 + 0 + 2.(-1) = 5 (F) 
 
2) A equação 0x1 + 0x2 + ... + 0xn = 0 admite qualquer 
ênupla (α1 ,α2 , ..., αn ) como solução. 
 
3) A equação 0x1 + 0x2 + ... + 0xn = b , com b ≠ 0 não 
admite solução, pois toda seqüência (α1, α2 , ..., αn) torna a 
sentença 0α1 + 0α2 + ... + 0αn = b falsa. 
 
2- Sistema Linear: 
Um conjunto de m equações lineares, com n incógnitas 
(m, n ≥ 1), é dito sistema linear de m equações a n 
incógnitas (S): 
Genericamente: 
(S) 
a x a x ... a x b
a x a x ... a x b
.........................................
a x a x ... a x b
11 1 12 2 1n n 1
21 1 22 2 2n n 2
m1 1 m2 2 mn n n
+ + + =
+ + + =
+ + + =







 
 
Em (S), os coeficientes aij são reais, não todos 
simultaneamente nulos. É notável que (S) pode ser escrito 
sob a forma matricial: 
a a ... a
a a ... a
.........................
a a ... a
x
x
x
b
b
b
11 12 1n
21 22 2n
m1 m2 mn
1
2
n
1
2
n
























=












.
M M
 
 
Por meio desta notação, definem-se as matrizes: 
a) Matriz completa: é a matriz composta pelos 
coeficientes das incógnitas mais os termos independentes. 
A = 
a a ... a b
a a ... a b
 
a a ... a b
11 12 1n 1
21 22 2n 2
m1 m2 mn n
M M M M












 
 
b) Matriz incompleta: é a matriz completa a menos da 
última coluna. 
A’ = 
a a ... a
a a ... a
.........................
a a ... a
11 12 1n
21 22 2n
m1 m2 mn












 
 
c) Matriz das incógnitas: é a matriz coluna formada pelas 
variáveis do sistema. 
X = 
x
x
x
1
2
n
M












 
 
d) Matriz dos termos independentes: é a matriz coluna 
formada pelos termos constantes. 
B = 
b
b
b
1
2
n
M












 
 
Dessa forma, o sistema (S) ainda pode ser assim 
representado: A’.X = B 
A seqüência (α1, α2 , ..., αn ) será dita solução de (S) 
quando, e somente quando, for solução de todas as m 
equações lineares. 
Resolver um sistema linear é encontrar o conjunto de todas 
as soluções desse sistema (conjunto verdade ou conjunto 
solução), representado por V. 
 
3- Tipos de Sistemas Lineares: 
3.1- Quanto aos termos independentes: 
a) Homogêneo: quando todos os termos independentes são 
nulos. 
Está claro que uma possível solução para qualquer sistema 
homogêneo é a seqüência (0, 0, ..., 0), chamada trivial, 
nula ou imprópria. Caso um sistema homogêneo apresente 
soluções diferentes, estas são chamadas não-triviais ou 
próprias. 
 
b) Não homogêneos: quando existe pelo menos um termo 
constante não nulo. 
 
3.2- Quanto ao número de soluções 
a) Possível ou Consistente: quando apresenta pelo menos 
uma solução. Divide-se em dois tipos: 
a.1) Determinado : o conjunto solução é unitário 
a.2) Indeterminado : V é infinito 
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b) Impossível ou Inconsistente : quando V é vazio (não 
apresenta solução). 
 
4) Sistema de Cramer (ou Normal) 
É todo aquele em que a matriz incompleta A’ é quadrada 
(m = n) e também det A’ ≠ 0 (D ≠ 0) 
 
4.1- Regra de Cramer: 
Todo sistema normal é possível admitindo uma e só uma 
solução, dada por: 
D
Di
i =α , onde Di é o determinante da 
matriz obtida pela substituição da i-ésima coluna pela 
coluna dos termos constantes. Ex.: 
Seja o sistema (S) dado por 
S 





−=+−
−=+−−
=−+
77zy5x
1z2y3x
0zy2x
 , então: 
 
D = 013
715
123
112
≠−=
−
−−
−
 ⇒ (S é normal) 
 
Dx = 13
717
121
110
 −=
−−
−−
−
 
 
Dy = 
2 0 1
3 1 1
5 7 7
26
−
− −
−
= − 
 
Dz = 0 
715
123
012
=
−−
−−− . Dessa forma : 
 
1
13
13
D
Dx
x −=
−
== ; 2
13
26
D
Dyy =
−
−
== ; 
0
13
0
D
Dz
z =
−
== ⇒ V= {(-1 , 2, 0)} (conjunto unitário) 
 
5- Sistemas Equivalentes: 
Dois sistemas, (S) e (S’), são equivalentes (representa-se 
(S)∼(S’)) quando: 
I- São impossíveis , ou 
II- São possíveis e qualquer solução de (S) é solução de 
(S’), e vice-versa 
 
Pode-se obter um sistema (S’) equivalente a (S) por meio 
de qualquer transformação elementar abaixo: 
T.1- Permutação de duas equações quaisquer; 
T.2- Multiplicação de todos os termos de uma equação 
qualquer por uma constante r , r ≠ 0; 
T.3- Substituição de uma equação qualquer pela soma dela 
com outra previamente multiplicada por uma constante r , 
r ≠ 0. 
 
6- Sistema Escalonado 
Um sistema é dito escalonado (ou que está na forma 
escalonada) quando: 
a) Todas as equações apresentam, pelo menos, um 
coeficiente não nulo ; 
b) A quantidade de coeficientes nulos, antes do primeiro 
coeficiente não nulo, aumenta da esquerda para a direita e 
de equação para equação, formando uma “escada”. 
 
6.1- Resolução de Sistemas Escalonados: 
 
Tipo I : m = n 
 S 
a x a x ... a x b
 a x ... a x b
 ................................
 a x b
11 1 12 2 1n n 1
22 2 2n n 2
mn n n
+ + + =
+ + =
=







 , 
 
em que aii ≠ 0 , ∀i , 1 ≤ i ≤ n 
 
Observa-se que a matriz incompleta A’ é tal que: 
det A’ = 
 a a ... a
 0 a ... a
 .........................
 0 0 ... a
11 12 1n
22 2n
mn












= ≠ ⇒a a ann11 22 0. ..... 
 (S) é normal. 
 
Portanto, pela regra de Cramer, (S) é possível e 
determinado. 
Para resolver (S), basta isolar xn na última equação, 
substituir seu valor na penúltima, encontrando xn -1 , é 
assim por diante, até encontrar-se x1 . Ex.: 
 
S
5x 6y 5z t 7 (1)
 2y 8z t 1 (2)
 3z 2t 6 (3)
 5t 15 (4)
+ − − = −
− + + =
+ =
=







 ⇒ 
( )4
 → t = 3 
(3)
 → 3z + 2.3 = 6 ⇒ z = 0 
( )2
 → -2y + 8.0 + 3 = 1 ⇒ y = 1 
()1
 → 5x + 6.1 - 5.0 -3 = -7 ⇒ x = -2 
Então V = {(-2, 1, 0, 3)} (solução única) 
 
Tipo II: m < n 
 
S 
a x a x ... ... a x b
 a x ... ... a x b
 ...................................
 a x +...+a x b
11 1 12 2 1n n 1
2j j 2n n 2 
mr r mn n n 
+ + + =
+ + = ≥
= >







( )
( )
j
r j
2
 
Este sistema é resolvido por recorrência ao tipo I do 
seguinte modo: 
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- Nas m equações transpõem-se as variáveis que não 
iniciam nenhuma equação de (S) (denominamos variáveis 
livres) para o 2o membro; 
- O “novo” sistema (S’) obtido deve ser encarado como do 
tipo I, apenas com as variáveis que sobraram (em número 
de m); 
- Arbitrando valores para as variáveis livres, obtém-se um 
sistema possível e determinado. Como o número de 
valores que podem ser atribuídos aumenta 
indefinidamente, o número de soluções de (S) é infinito, o 
que o classifica como possível e indeterminado. Ex.: 
S
3x 2y z t 2
 2z 3t 1 ~ S
3x z 2 2y t
 2z 1 3t
− + − = −
− = −



+ = − + +
= − +



' 
(y e t são variáveis livres) 
Atribuindo-se os valores reais α a y e β a t, o sistema (S’) 
pode ser encarado como do tipo I, admitindo solução 
única: 
S’ 



+=
++−=+
(2) 3β-12z 
(1) β2α2z3x
 ⇒ 
6
β-4α+3-
= x β2α2
2
3β13x 
2
3β1
 Z (1)(2)
⇒++−=
=




 +−
+→
+−
=→
 
 
Como α e β são reais quaisquer, (S) admite infinitas 
soluções, porém todas do tipo: 
V = 











 +−−+−
β,
2
3β1
α,,
6
β4α3
 , α , β ∈ ℜ 
OBS.: Por definição, o número n - m é denominado grau 
de indeterminação do sistema e representa a quantidade de 
variáveis livres do sistema. 
 
7- Método da Eliminação de Gauss (escalonamento) 
Resolver um sistema linear pela regra de Cramer apresenta 
sérias limitações: além de o sistema ter de ser normal, no 
mínimo, serão utilizados n + 1 determinantes de ordem n. 
O método do escalonamento serve para encontrar a 
solução de qualquer sistema linear, consistindo em 
transformar um sistema (S) em um sistema equivalente 
(S1), porém escalonado , de fácil resolução. 
 
7.1- Procedimentos: 
Este método baseia-se nas transformações elementares, 
vistas no item 5. 
I- A 1a equação deve possuir a 1a incógnita , xi , com 
coeficiente não nulo. 
II- Anulam-se os coeficientes de xi nas outras equações do 
seguinte modo: multiplica-se a 1a equação por um número 
apropriado, somando-a com cada equação restante; 
III- Abandona-se, temporariamente, a 1a equação (não 
modificam); 
IV- Repetem-se os procedimentos anteriores, 
abandonando sempre a i-ésima equação e anulando-se a i-
ésima incógnita (2 < i < n -1), até o sistema ficar 
escalonado. 
OBS.: 
a) Se, durante o método, for encontrado uma equação 
como 0x1 + 0x2 + ... + 0xn = 0 , esta deverá ser excluída do 
sistema. 
b) Encontrando-se uma equação como 0x1 + 0x2 + ... + 0xn 
= b (b ≠ 0), o sistema é impossível. 
 
Exemplo: 
 
 2x y z 0 x (3 / 2) x (-5 / 2)
3x 2y z 1 +
 5x y 7z 7 +
+ − =
− − + = −
− + = −





 ∼ 
2x y z 0
 
1
2
y
1
2
z 1 x (-2)
 
7
2
19
2
z 7 x (2)
+ − =
− − = −
− + = −









 ∼ 
2x y z 0
 y z 2 x (7)
 7y 19z 14
+ − =
+ =
− + = −





 ∼ 
2x y z 0
 y z 2
 26z 0
+ − =
+ =
=





 
 
8- Operações Elementares Sobre Linhas 
Seja A uma matriz m x n. Qualquer das operações abaixo 
feitas sobre as linhas de A é uma operação elementar. 
0.1- Permutar as posições de duas linhas; 
0.2- Multiplicar todos os elementos de uma linha por uma 
constante r , r ≠ 0. 
0.3- Substituir uma linha pela soma dela com outra 
previamente multiplicada por uma constante r, r ≠0 
 
9- Matrizes Linha-Equivalentes (ou equivalentes por 
linhas) 
São matrizes, de mesma ordem, tais que uma é obtida da 
outra por meio das operações elementares acima. Se M é 
linha-equivalente a A, então: M ∼∼∼∼ A 
 
10- Matriz Escalonada (ou na forma escalonada) 
É uma matriz na qual o número de zeros, antes do primeiro 
elemento não nulo, aumenta de linha para linha, até a 
última. Ocasionalmente as últimas linhas podem ser nulas. 
Por meio das operações elementares sobre linhas, qualquer 
matriz A, não nula, pode ser transformada numa matriz 
escalonada B, tal que: B ∼∼∼∼ A 
Exemplo: 
A = 
2 1 1 0
3 2 1 1
5 1 7 7
−
− − −
− −










 ∼ 
 + 
x (3/2) (-5/2) 
 + 
 + 
 UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ 4 
Professor Manoel Gustavo Nogueira Vidal gustavob612@hotmail.com 
















−−
−−−
−
7
2
19
2
70
1
2
1
2
10
0112
 ∼ 
 
2 1 1 0
0 1 1 2
0 7 19 14
−
− −










 ∼ 
2 1 1 0
0 1 1 2
0 0 26 0
−










= B 
 
Por meio deste exemplo, fica explícita a analogia entre o 
método do escalonamento e as operações elementares 
sobre linhas. Portanto, é possível enunciar o seguinte 
teorema: 
“Se A’.X = B e C’.X = D são dois sistemas com m 
equações a n incógnitas, e as respectivas matrizes 
completas, A e B, são equivalentes por linhas, então os 
sistemas são equivalentes.” 
 
11- Características de uma Matriz 
Se A é uma matriz não nula e B uma matriz linha-
equivalente a A, define-se característica de A - ρ(A) 
- o número de linhas não nulas de B. 
Se A é uma matriz nula, por definição ρ(A) = 0 . Ex.: 
A = 
3 3 4 5
2 2 2 2
7 7 7 7










 ∼ 
3 3 4 5
1 1 1 1
1 1 1 1










 ∼ 
1 1 1 1
3 3 4 5
1 1 1 1










 ∼ 
1 1 1 1
0 0 1 2
0 0 0 0












 ⇒ ρ (A) = 2 
 
12- Teorema de Rouché - Capelli : 
Seja (S) um sistema linear de m equações a n incógnitas, 
A’ a matriz incompleta de (S) , A a matriz completa de (S) 
, ρ (A’) = p ∈ ρ (A) = q . Nessas condições: 
 
 p < q ⇔ (S) é impossível 
 p = q < n ⇔ (S) é possível e indeterminado 
 p = q = n ⇔ (S) é possível e determinado 
 
 
 x (-2) 
 
 
 x (2) 
 x (7) 
 x (1/2) 
 x (1/7) 
 x (-3) (-1) 
 + 
 + 
2 linhas não nulas 
 Linha nula