Alg2 Notas de Aula 02

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UERJ 2011 CURSO DE ÁLGEBRA II
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1
Notas de Aula de Álgebra II –Parte II
Autores: Ricardo Camelier e Hernando Bedoya
Aula 4: O Teorema de Lagrange
Introdução
Um problema muito importante, porém muito difícil, na teoria dos grupos é a determinação de todos os
subgrupos de um grupo G. Uma forma de encarar este problema seria considerando todo os subconjuntos
de G que contém o elemento neutro e, então, verificar se satisfazem as condições de subgrupo. No entanto,
esta abordagem não é nada prática. Por exemplo, se um grupo G tem 6 elementos, então o número de
subconjuntos contendo o elemento neutro é 3225  . Já se G tem 10 elementos, então o número de
subconjuntos contendo o elemento neutro é 51629  . Se G é um grupo infinito, então teríamos que levar
em consideração uma infinidade de subconjuntos de G.
No entanto, quando o grupo G é finito, temos um importante resultado que permite reduzir
enormemente o número de subconjuntos de G que podem ser subgrupos. Trata-se do Teorema de
Lagrange, que afirma que se H é um subgrupo do grupo finito G então a ordem de H divide a ordem de G.
No caso do grupo G ter 6 elementos, então basta considerar os subconjuntos contendo a unidade com 1, 2,
3 e 6 elementos, que são os divisores de 6. Como os subconjuntos de 1 e 6 elementos, nesse caso, são os
subgrupos triviais, então basta considerar os subconjuntos contendo a unidade com 2 e 3 elementos. Dentre
estes estarão os demais candidatos a subgrupos do grupo G. Veja que, assim, reduzimos enormemente a
busca inicial.
Teorema de Lagrange
Sejam G um grupo finito e H um subgrupo de G. Então a ordem de H divide a ordem de G.
Observações
1. Em linguagem mais simbólica, o Teorema de Lagrange afirma que se G é um grupo finito e GH  ,
então GH .
2. Atenção, a recíproca do Teorema de Lagrange é falsa, ou seja, em geral não é verdade que se um inteiro
m divide G então G tem um subgrupo H de G com mH  .
Exemplo 1
Sabemos que },,,,,{ 223 IS  , com







132
321
 e 






231
321
 ,
é um grupo de ordem 6 e, portanto, seus subgrupos só podem ter ordem 1, 2, 3 e 6.
Atividade 1 Encontre subgrupos de S3 de ordem 2 e 3.
Para demonstrar o Teorema de Lagrange precisaremos de um novo conceito, o de classe lateral.
Futuramente, as classes laterais também serão fundamentais para a construção dos grupos quocientes.
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2
Definição 1 (Classe Lateral)
Sejam G um grupo e H um subgrupo de G. Dado Ga , chamamos de uma classe lateral (à esquerda)
ao conjunto
}{ HhhaaH  .
Observação
1. Se G é um grupo aditivo, então denotamos a classe lateral aH por
}{ HhhaHa  .
2. Se e é o elemento neutro do grupo G, então HeH  . Mais ainda, aHa para todo Ga .
3. O conceito de classe lateral à direita é definido de modo análogo; é o subconjunto de G definido por
}{ HhahHa  ,
onde H é um subgrupo de G e Ga . No entanto, nesta aula, não trabalharemos com as classes laterais à
direita.
Sua primeira atividade desta aula será justificar a observação 2, anterior.
Atividade 2
Seja e o elemento neutro do grupo G e seja H um subgrupo de G. Mostre que:
a) HeH  ;
b) aHa para todo Ga .
Exemplo 2
Vamos calcular as classes laterais do subgrupo },{ IH  de },,,,,{ 223 IS  . Estaremos
usando a tabela de multiplicação de S3
I
I
I
I
I
II
I
222
22
22
222
22
22
22







vista na Aula 2. Temos:
},{},{},{ 2  IIH ;
},{},{},{ 22222   IIH ;
HIIIH  },{},{},{ 2  ;
HIIH 22},{})(,){(},{   ;
HIIH   },{})(,){(},{ 22222 .
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3
Observe que as classes laterais distintas, nesse caso, são H, H e H2 .
Vamos provar, agora, algumas propriedades sobre as classes laterais. Estas propriedades tornarão a
demonstração do Teorema de Lagrange extremamente simples.
Proposição 1 (Propriedades das Classes Laterais)
Sejam G um grupo finito, H um subgrupo de G e Gba , .
1. bHaH  se, e somente se, Hab 1 .
2. Se  bHaH , então bHaH  . Ou, equivalentemente, se bHaH  , então  bHaH .
3. Todas as classes laterais têm H elementos, isto é, HaH  para todo Ga .
4. Existem elementos Gaaa k ,,, 21  , com Gea 1 , tal que
HaHaHaG k 21 ,
e a união é disjunta.
Demonstração
1. () Vamos supor, primeiramente, que bHaH  . Queremos provar que Hab 1 .
Sabemos que bHaHa  , logo, existe Hh tal que hba  . Portanto,
.
)(
pois;)(
1
11
Hh
he
hbb
hbahbbab






() Vamos, agora, supor que Hab 1 . Queremos provar que bHaH  .
Vamos provar, inicialmente, a inclusão bHaH  . Como Hab 1 , então existe Hh 1 tal que
1
1 hab  . Portanto, 1hba  . Seja, agora, aHha  , Hh , um elemento genérico de aH. Então,
temos
.)(
pois;)(
1
11
hhb
hbahhbha


Como H é subgrupo e Hhh 1, , então Hhh 1 e, portanto,
bHhhbha  )( 1 .
Daí, segue que bHha  para todo Hh , ou seja, bHaH  . A inclusão contrária, aHbH  , é
completamente análoga à anterior e será uma atividade para você. Portanto, segue que bHaH  .
Atividade 3 Prove que se Hab 1 , então aHbH  .
2. Se  bHaH , então existe bHaHg  . Portanto, aHg  e bHg  . Daí, segue que existem
Hhh 21, tais que 1hag  e 2hbg  , ou seja, 21 hbha  . Assim, temos
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4
.
)(
)(
)()(
1
12
1
1
12
11
1
12
1
12
1
1121








hhab
hhbbab
hhba
hhbhhahbha
Como H é subgrupo e Hhh 21, , então Hhh 
1
12 e, portanto, Hhhab 
 1
12
1 . Assim, pela
propriedade 1 que acabamos de provar, segue que bHaH  .
3. Lembre que para provar que dois conjuntos têm o mesmo número de elementos, precisamos mostrar que
existe uma bijeção entre estes conjuntos.
Considere a função aHHf : definida por hahf )( . Vamos provar que esta função é bijetora.
Pela própria definição de aH, já vemos que aHf )Im( , ou seja, que f é sobrejetora.
Para provar que f é injetora, sejam Hhh 21, tais que )()( 21 hfhf  . Queremos concluir que
21 hh  . Assim, temos
,
)()(
)()(
)()(
21
2
1
1
1
2
1
1
1
2121
hh
haahaa
haahaa
hahahfhf






o que prova que f é, de fato, injetora. Portanto, como f é uma bijeção, então aH e H têm o mesmo número
de elementos, isto é, HaH  .
4. Como aHa , existem elementos Gaaa k ,,, 21  , com Gea 1 , tal que HaHaHaG k 21 .
E como cada duas classes laterais coincidem ou são disjuntas, a união HaHaHaG k 21 pode
ser considerada uma união disjunta.
Exemplo 3
Dado o subgrupo },{ IH  de },,,,,{ 223 IS  , vamos obter elementos
},,,,,{,,, 22321 ISaaa k  tal que HaHaHaS k 213 é uma união disjunta.
Vimos, no Exemplo 2, que as classes laterais distintas, nesse caso, são:
},{ IH  , },{ 2 H e },{ 22  H .
Então, podemos escolher Ia 1 , 2a e
2
3 a , e temos que
HHHS 23  
é uma união disjunta.
Estamos, agora, em condições de completar a demonstração do Teorema de Lagrange.
Demonstração do Teorema de Lagrange
Pela proposição 1.4, sabemos que existem Gaaa k ,,, 21  , com Gea 1 , tal que
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5
HaHaHaG k 21
e a união é disjunta. Como a união é disjunta, o número de elementosde G é igual à soma do número de
elementos da cada classe lateral da união, ou seja,
HaHaHaG k 21 .
Agora, pela proposição 1.3, sabemos que
HHai  para todo ki ,,2,1  .
Substituindo na equação anterior, temos
.
parcelas)(;
21
Hk
kHHH
HaHaHaG k





Portanto, HkG  com k um inteiro positivo, ou seja, H divide G .
Observe como esta demonstração ficou extremamente simples. Isso não quer dizer que o Teorema de
Lagrange é fácil de ser provado, significa, simplesmente, que todo o trabalho duro foi feio anteriormente,
neste caso, na Proposição 1. Agora, o Teorema de Lagrange têm conseqüências importantes e muito
elegantes. Vamos a elas!
Corolário 1
Seja G um grupo finito e Ga , então a ordem de a divide a ordem de G, isto é, Ga)(ord .
Demonstração
O subgrupo gerado por a,  a , é um subgrupo do grupo finito G. Logo, pelo Teorema de Lagrange,
temos que Ga  . Mas como, por definição, a ordem do elemento a é a ordem do subgrupo gerado por
a, ou seja,  aa)(ord , segue que Ga)(ord .
Corolário 2
Seja G um grupo finito de ordem n e Ga , então G
n ea  .
Demonstração
Seja m a ordem do elemento a. Pelo Corolário 1, nm , ou seja, existe um inteiro k tal que kmn  .
Vimos, na aula passada, que a ordem m de a é o menor inteiro positivo tal que G
m ea  . Assim,
G
k
G
kmmkn eeaaa  )()( .
O próximo corolário do Teorema de Lagrange é especialmente elegante.
Corolário 3
Todo grupo de ordem primo é cíclico.
Demonstração
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6
Seja G um grupo de ordem primo p. Como 1p , então existe Ga com Gea  . Agora, como
Gea  , então 1)(ord a . Por outro lado, pelo Corolário 1, Ga)(ord , ou seja, pa)(ord . Mas como p é
primo, então seus únicos divisores positivos são 1 e p e, como 1)(ord a , então só resta a possibilidade
pa )(ord . Isto significa que o subgrupo  a gerado por a tem o mesmo número de elementos que G e,
como Ga  , segue que Ga  , ou seja, G é um grupo cíclico.
Temos, agora uma demonstração muito simples do Pequeno Teorema de Fermat.
Corolário 4 (Pequeno Teorema de Fermat)
Seja p um número primo e a um inteiro tal que a não divide p. Então )(mod11 pa p  .
Demonstração
Vimos, na Aula 1, que
}1,,1{}1),({  ppkmdck pp ZZ
é um grupo multiplicativo com 1 ppZ . Como a p e p é primo, então 1),( pamdc e, portanto,

 pa Z . Logo, pelo Corolário 2,
1)( 1 pa ,
o que significa que )(mod11 pa p  .
A demonstração anterior pode ser generaliza para obter, agora, uma demonstração extremamente
simples do importante teorema de Euler. Lembre, da Aula 1, que
}1),({  namdca nn ZZ
é um grupo multiplicativo finito. Sua ordem é denotada por (n), onde
}1),(1{)(  nkmdcenkkn Z
é a função de Euler, ou seja, (n) é o número de inteiros k tais que nk 1 e 1),( nkmdc . Veja que no
caso de um número primo p, temos
.1
}1,,2,1{
}1),(1{)(



p
p
pkmdcepkkp

Z
Corolário 4 (Teorema de Euler)
Seja 1n um número inteiro e a um inteiro tal que 1),( namdc . Então )(mod1)( na n  .
Observe que o Pequeno Teorema de Fermat é o caso particular do Teorema de Euler em que n é um
primo p. A demonstração do Teorema de Euler será uma atividade final para você.
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7
Atividades Finais
1. a) Calcule todas as classes laterais distintas do subgrupo },,{ 2IH  de
},,,,,{ 223 IS  .
b) Obtenha elementos },,,,,{,,, 22321 ISaaa k  tal que HaHaHaS k 213
é uma união disjunta.
2. Prove o Teorema de Euler.
Resumo
Nesta aula vimos o importante Teorema de Lagrange, que afirma que se G é um grupo finito e GH  ,
então GH . Para provar este teorema foi preciso introduzir o conceito de classe lateral (à esquerda), ou
seja, o conjunto }{ HhhaaH  , onde GH  e Ga . Depois, vimos várias conseqüências do
Teorema de Lagrange:
1. Se G é um grupo finito e Ga , então Ga)(ord .
2. Se G é um grupo finito com nG  e Ga , então G
n ea  .
3. (Pequeno Teorema de Fermat) Se p é primo e a p, então )(mod11 pa p  .
4. (Teorema de Euler) Se 1n é inteiro e 1),( namdc , então )(mod1)( na n  .
Aula 5: Classes Laterais e o Grupo Quociente
Introdução
Na aula anterior apresentamos e provamos o Teorema de Lagrange. Ele é um dos teoremas mais
importantes da teoria dos grupos e afirma que a ordem de todo subgrupo divide a ordem do grupo finito.
Para provar o Teorema de Lagrange foi preciso introduzir o conceito de classe lateral de um grupo. Mais
precisamente, vimos os conceitos de classe lateral à esquerda e classe lateral à direita. Na demonstração do
Teorema de Lagrange foi necessário trabalhar apenas com as classes laterais à esquerda. No entanto, um
grande objetivo desta aula é a construção dos grupos quocientes que desempenham, em teoria dos grupos,
um papel análogo aos anéis quocientes em teoria dos anéis. Na construção dos grupos quocientes será
necessário lidar com subgrupos em que as classes laterais à esquerda e à direita são iguais. Estes subgrupos
são chamados de subgrupos normais e serão nosso objeto de estudo na próxima aula.
Vamos iniciar revendo os conceitos de classe lateral à esquerda e à direita.
Definição 1 (Classe Lateral)
Sejam G um grupo e H um subgrupo de G. Dado Ga , chamamos de uma classe lateral à esquerda
de G com respeito a H ao conjunto
}{ HhhaaH  .
De modo análogo, chamamos de classe lateral à direita de G com respeito a H ao conjunto
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8
}{ HhahHa  .
Observações
1. Se G é um grupo aditivo, então denotamos a classes laterais aH e Ha por
}{ HhhaHa 
e
}{ HhahaH  ,
respectivamente.
2. Se e é o elemento neutro do grupo G, vimos que HHeeH  . Mais ainda, aHa e Haa para todo
Ga .
Exemplo 1
Seja G o grupo aditivo dos números inteiros, ou seja o grupo (Z, ). Considere, agora, o subgrupo
}4{4 ZZ  ttH
dos múltiplos de 4. Vamos calcular todas as classes laterais à esquerda de H. Já sabemos, pela Observação
2, que
HHH  00 .
Agora, veja que
}41{}1{1 Z ttHhhH
consiste de todos os inteiros que deixam resto 1 na divisão por 4. Da mesma forma,
}42{}2{2 Z ttHhhH
consiste de todos os inteiros que deixam resto 2 na divisão por 4, e
}43{}3{3 Z ttHhhH
consiste de todos os inteiros que deixam resto 3 na divisão por 4. Pelo Algoritmo da Divisão em Z, o resto
da divisão de qualquer inteiro por 4 só pode ser 0, 1, 2 ou 3. Assim todo inteiro pertence a uma das classes
laterais HH  0 , H1 , H2 ou H3 . Portanto,
HH  0 , H1 , H2 e H3
são as únicas classes laterais à esquerda de Z4H em Z.
Atividade 1
Mostre que 0 HH , 1H , 2H e 3H são as únicas classes laterais à direita de Z4H em
(Z, ).
Como você observou na Atividade 1, 1H consiste dos inteiros que deixam resto 1 na divisão por 4,
2H consiste dos inteiros que deixam resto 2 na divisão por 4 e 3H consiste dos inteiros que deixam
resto 3 na divisão por 4, segue que
HHH  00 ; 11  HH ; 22  HH e 33  HH .
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9
Ou seja, as classes laterais à esquerda e à direita são iguais, sempre que obtidas com o mesmo elemento,
aHHa  para todo Za .
No entanto, nem sempre isto acontece, como veremos no próximo exemplo.
Exemplo 2
Seja G o grupo },,,,,{ 223 IS  das permutações de 3 elementos, onde







132
321
 e 






231
321
 ,
e seja },{ IH  . Para fins de consulta, lembre que a tabela de multiplicação do grupo S3 é dada por
II
I
I
I
II
I
222
22
22
222
22
22
22







No Exemplo 2 da aula 4, vimos que apenas três classes laterais à esquerda com respeito a H, que são:
HIIH  },{  ; },{ 2 H ; },{ 22  H ;
pois, as demais são cópias das já obtidas:
HIH  },{ ; HH 22},{   ; HH   },{ 22 .
Observe que temos três classes laterais à esquerda distintas: H, H e H2 . Na próxima atividade você
vai calcular as classes laterais à direita com respeito à H.
Atividade 2
Mostre que as classes laterais à direita com respeito a },{ IH  , em S3, são
HIHI  },{  ; },{  H ; },{ 222  H ;
Observe que temos três classes laterais à esquerda distintas: H, H e 2H . Comparando as classes
laterais à esquerda com as classes laterais à direita, temos
22},{  HH  e HH   },{ 22 .
Portanto, temos que
 HH  e 22  HH  ,
diferente do que ocorreu no exemplo anterior, ou seja, encontramos elementos 3Sa tais que
HaaH  .
Nas seguintes proposições vamos relembrar algumas propriedades fundamentais das classes laterais.
Estas propriedades já foram estudadas na aula passada.
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Proposição 1 (Propriedades das Classes Laterais à Esquerda)
Sejam G um grupo, H um subgrupo de G e Gba , .
1. bHaH  se, e somente se, Hba 1 .
2. Se  bHaH , então bHaH  . Ou, equivalentemente, se bHaH  , então  bHaH .
3. Se G é um grupo finito, então todas as classes laterais têm H elementos, isto é, HaH  para todo
Ga . Em outras palavras, todas as classes laterais à esquerda têm o mesmo número de elementos.
4. Se G é um grupo finito, então existem elementos Gaaa k ,,, 21  , com Gea 1 , tal que
HaHaHaG k 21 ,
e a união é disjunta.
Uma propriedade idêntica, com uma demonstração análoga, vale para as classes laterais à direita.
Proposição 2 (Propriedades das Classes Laterais à Direita)
Sejam G um grupo, H um subgrupo de G e Gba , .
1. HbHa  se, e somente se, Hba  1 .
2. Se HbHa , então HbHa  . Ou, equivalentemente, se HbHa  , então HbHa .
3. Se G é um grupo finito, então todas as classes laterais têm H elementos, isto é, HHa  para todo
Ga . Em outras palavras, todas as classes laterais à direita têm o mesmo número de elementos.
4. Se G é um grupo finito, então existem elementos Gaaa k ,,, 21  , com Gea 1 , tal que
kHaHaHaG  21 ,
e a união é disjunta.
Uma conseqüência destas propriedades é que existem o mesmo número de classes laterais à esquerda e
à direita, mesmo que não sejam iguais, no sentido de que existam elementos Ga tais que
HaaH  .
No entanto, um caso especial e muito importante é quando elas coincidem, ou seja, quando
HaaH  para todo Ga .
Neste caso, poderemos fazer a construção dos chamados grupos quocientes que são semelhantes aos
anéis quocientes já estudados anteriormente. Na verdade, veremos que a condição HaaH  , para todo
Ga , permitirá a definir uma operação binária no conjunto
}{ GaaHHG 
das classes laterais que fará deste conjunto um grupo, chamado grupo quociente. Mas isto é uma longa
história que só terminará na próxima aula.
Definição 2 (Conjunto das Classes Laterais)
Sejam G um grupo e H um subgrupo de G. Denotamos por
}{ GaaHHG 
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11
o conjunto das classes laterais à esquerda com respeito a H.
Exemplo 3
Seja G o grupo (Z, ) e }4{4 ZZ  ttH . Pelo que vimos no Exemplo 1, as únicas classes laterais à
esquerda com respeito a Z4H são HH  0 , H1 , H2 e H3 . Logo,
}3,2,1,{ HHHHHG 
ou ainda, particularizando a notação para este exemplo, temos
}43,42,41,4{4 ZZZZZZ  .
Exemplo 4
Seja G o grupo },,,,,{ 223 IS  das permutações de 3 elementos, onde







132
321
 e 






231
321
 ,
e seja o subgrupo },,{ 2IH  . Usando a tabela de multiplicação de S3, contida no Exemplo 2, temos
que
HIIIIIIIIH  },,{},,{},,{ 222  ;
HIIIH  },,{},,{},,{ 222  ;
HIIIH  },,{},,{},,{ 2222222  ;
},,{},,{},,{ 222   IIH ;
HIIH   },,{},,{},,){()( 222 ;
HIIH   },,{},,{},,){()( 22222222 .
Portanto,
},{ HHHG  .
Atividade 3
Mostre que as classes laterais à direita com respeito a },,{ 2IH  , em S3, são iguais às respectivas
classes laterais à esquerda, calculadas no Exemplo 4.
Nosso projeto, agora, é construir uma operação binária no conjunto das classes laterais
}{ GaaHHG  de modo a torná-lo um grupo. A forma natural de definirmos uma operação binária
em G/H, será reproduzir o que foi feito para os anéis quocientes. Vamos formalizar estas idéias.
Definição 2 (Operação em G/H)
Sejam G um grupo e H um subgrupo de G. Definimos a seguinte operação no conjunto das classes
laterais }{ GaaHHG  :
HabbHaH )( para todo HGbHaH , .
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12
No entanto, precisamos saber se esta operação está bem definida, ou seja, se ela independe da
escolha dos representantes a e b das classes laterais aH e bH, respectivamente. Nesta primeira etapa,
vamos provar que se as classes laterais à esquerda e à direita coincidem, isto é, se
HaaH  para todo Ga ,
então a operação binária acima estará, de fato, bem definida em G/H.
Proposição 3
Sejam G um grupo e H um subgrupo de G tal que HaaH  para todo Ga . Se HaaH 1 e
HbbH 1 , com Gbbaa 11 ,,, , então
HbHabHaH 11  ,
ou, equivalentemente,
HbaHab )()( 11 .
Isto significa que a operação em G/H não depende dos representantes a e b escolhidos nas classes
laterais aH e bH.
Demonstração
Pela Proposição 1, teremos HbaHab )()( 11 se, e somente se, Hbaab 
 )()( 11
1 .
Como HaaH 1 e HbbH 1 então, pela Proposição 1, Haah 

1
1
1 e Hbbh 

1
1
2 . Agora,
pela hipótese, como HbHb 11  e Hh 1 , então existe Hh 3 tal que 3111 hbbh  . Juntando tudo isto,
temos
subgrupo.ée,pois;
pois;
aassociativleipela;)(
quejápois;)(
aassociativleipelaepois;)(
aassociativleipela;)(
inversoelementodoedadepor propri;))(()()(
3232
21
1
32
31
1
11311131
1
11
1
11
1
11
11
11
11
11
1
HHhhHhh
hbbhh
hbb
HbHbhbbhhbb
haabhb
baab
baabbaab













Portanto, concluímos que Hbaab  )()( 11
1 e, conseqüentemente, que HbaHab )()( 11 .
Exemplo 5
Seja G o grupo (Z, ) e }4{4 ZZ  ttH . Pelo que vimos no Exemplo 3,
}43,42,41,4{4 ZZZZZZ HG .
Lembre, do curso de Álgebra I, que
0404  ZZ ; 141  Z ; 242  Z , 343  Z .
Logo,
}3,2,1,0{4 ZZ .
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13
Como
aa  ZZ 44
para todo Za , então, pela Proposição 3, a operação binária está bem definida em ZZ 4 . Mais
precisamente, temos que
ZZZ 4)()4()4(  baba para todo Zba, ,
ou, equivalentemente,
baba  para todo Zba, .
A tabela desta operação, em ZZ 4 , é dada por
3210
2303
1032
0321
3210
3
2
1
0
Podemos, agora, concluir a construção do grupo quociente.
Teorema 1 (O Grupo Quociente)
Sejam G um grupo e H um subgrupo de G tal que HaaH  para todo Ga . Então G/H, munido da
operação definida em G/H, é um grupo. Chamamos este grupo de grupo quociente de G com respeito à H.
Em particular, HeH  é o elemento neutro do grupo e Ha 1 é o elemento inverso de aH.
Denotamos isto por
HHee GHG  e HaaH
11)(   .
Demonstração
Como HaaH  para todo Ga , então,pela Proposição 3, a operação de G/H está bem definida.
Vamos verificar os axiomas de grupo para ),( HG .
G1. A operação é associativa:
.)(
)(
emidadeassociativpela;))((
))((
)()(
cHbHaH
cHHab
GHcab
Hbca
HbcaHcHbHaH





G2. O elemento neutro é HeH  com e o elemento neutro de G:
aHHaeeHaH  )( e aHHeaaHeH  )( .
Denotamos este elemento por HHee GHG  .
G3. O elemento inverso de HGaH  é Ha 1 :
eHHaaHaaH   )( 11 e eHHaaaHHa   )( 11 .
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Denotamos este elemento por HaaH 11)(   .
Exemplo 6
Seja G o grupo (Z, ) e }4{4 ZZ  ttH . Como vimos no Exemplo 5,
}3,2,1,0{4  ZZHG
é um grupo quociente cujo elemento neutro é 040  ZHGe . Observe que ele coincide com o grupo
(Z4, ) das classes residuais módulo 4.
Atividades Finais
1. Seja G o grupo },,,,,{ 223 IS  das permutações de 3 elementos, onde







132
321
 e 






231
321
 ,
e seja o subgrupo },,{ 2IH  . Conclua que a operação em G/H está bem definida e monte a tabela de
operação do grupo quociente.
2. Sejam G um grupo, H um subgrupo de G e Gba , . Mostre que HbHa  se, e somente se,
Hba  1 .
3. Sejam G um grupo e H um subgrupo de G tal que HaaH  para todo Ga . Se HaaH 1 e
HbbH 1 , com Gbbaa 11 ,,, , então prove que HabHba )()( 11  .
Resumo
Nesta aula revimos os conceitos de classe lateral à esquerda e classe lateral à direita:
}{ HhhaaH  e }{ HhahHa  .
Em seguida, vimos as propriedades das classes laterais à esquerda e das classes laterais à direita:
1. bHaH  se, e somente se, Hab 1 .
2. Se  bHaH , então bHaH  . Ou, equivalentemente, se bHaH  , então  bHaH .
3. Se G é um grupo finito, então todas as classes laterais têm H elementos, isto é, HaH  para todo
Ga .
4. Se G é um grupo finito, então existem elementos Gaaa k ,,, 21  , com Gea 1 , tal que
HaHaHaG k 21 ,
e a união é disjunta.
5. HbHa  se, e somente se, Hba  1 .
6. Se HbHa , então HbHa  . Ou, equivalentemente, se HbHa  , então HbHa .
7. Se G é um grupo finito, então todas as classes laterais têm H elementos, isto é, HHa  para todo
Ga .
8. Se G é um grupo finito, então existem elementos Gaaa k ,,, 21  , com Gea 1 , tal que
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kHaHaHaG  21 ,
e a união é disjunta.
Depois, vimos no conjunto das classes laterais à esquerda,
}{ GaaHHG  ,
podemos definir a operação
HabbHaH )( para todo HGbHaH , .
Em seguida, vimos que esta operação está bem definida sempre que HaaH  para todo Ga  , isto é,
se as classes laterais à esquerda e à direita coincidem. Neste caso, construímos o grupo quociente G/H.
Aula 6: Subgrupos Normais
Introdução
Na aula anterior encontramos uma classe de subgrupos especiais N de um grupo G que satisfaz a
condição
NggN  para todo Gg  .
Estes subgrupos são especiais porque, nesse caso, podemos definir uma operação binária no conjunto
das classes laterais
}{ GggNNG  ,
definida por
NabbNaN )( ,
tornando o conjunto G/N num grupo, chamado grupo quociente.
A necessidade da condição NggN  , para todo Gg  , apareceu para que pudéssemos resolver o
problema da ambigüidade da representação das classes laterais. O problema consiste no fato que existem
muitas formas de se escrever a classe lateral aN. Por exemplo, uma outra forma de se escrever esta classe
lateral é axN para qualquer Nx . Aliás, você pode provar isto como uma primeira atividade.
Atividade 1 Sejam G um grupo e N um subgrupo de G. Prove que axNaN  para todo Nx .
Analogamente, para a classe lateral bN, podemos escrever byNbN  para todo Ny . Assim, o nosso
problema é saber se a definição da operação binária em G/N,
NabbNaN )( ,
depende ou não da forma como representamos as classes laterais, isto é, se depende de representarmos a
classe lateral aN por aN mesmo ou por axN para algum Nx . É isto o que queremos dizer quando
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afirmamos que a operação binária está bem definida em G/N. Na aula passada provamos que se NggN 
para todo Gg  , então, de fato, a operação binária em G/N está bem definida. Mais precisamente,
provamos a seguinte propriedade.
Proposição 1
Sejam G um grupo e N um subgrupo de G tal que NggN  para todo Gg  . Se NaaN 1 e
NbbN 1 , com Gbbaa 11 ,,, , então
NbNabNaN 11  ,
ou, equivalentemente,
NbaNab )()( 11 .
Os subgrupos N para os quais a operação binária em G/N está bem definida recebe uma denominação
especial.
Definição 1 (Subgrupo Normal)
Um subgrupo N de um grupo G é chamado de um subgrupo normal de G se NggN  para todo
Gg  .
Existe outra caracterização de subgrupo normal muito usada. Para descrevê-la precisamos considerar
o seguinte conjunto. Sejam H um subconjunto do grupo G e Ga . Definimos o subconjunto 1aHa de G
por
}{ 11 HhahaaHa   .
Daí, temos a seguinte propriedade.
Proposição 2
Sejam G um grupo, H um subgrupo de G e Ga .
1. 1aHa é um subgrupo de G.
2. HaaH  se, e somente se, HaHa 1 .
Demonstração
1. Lembre que, pelo critério do subgrupo visto na Aula 3, basta provar que
11 
 aHaxy para todo 1,  aHayx .
Como 1,  aHayx , então existem Hhh 21, tais que
1
1

 aahx e 12

 aahy . E também, como H é
subgrupo de G, então Hhhh  1213 . Juntando tudo, temos
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.pois;
neutroelementodoedadepor propri;)(
inversoelementodoedadepor propri;
aassociativleipela;)(
inversoelementodoedadepor propri;))((
epois;))((
1
213
11
3
11
21
11
21
11
2
1
1
11
2
1
1
1
2
1
1
11
2
1
1
1
HhhhaHaaah
ahha
aheah
ahaaah
aahaah
aahyaahxaahaahxy
G












Portanto, 1aHa é um subgrupo de G.
2. () Vamos supor que HaaH  . Queremos provar que HaHa 1 . Vamos começar provando a
inclusão HaHa 1 . Dado 1 aHax , existe Hh 1 tal que
1
1

 aahx . Como HaaH  , existe Hh 2
tal que ahah 21  . Assim, temos
.
neutroelementodoedadepor propri;
aassociativleipela;)(
pois;)(
aassociativleipela;)(
pois;
2
2
1
2
21
1
2
1
1
1
1
1
1
Hh
eh
aah
ahahaah
aah
aahxaahx
G










Portanto, provamos que HaHa 1 . A inclusão 1 aHaH será uma atividade para você.
() Vamos supor, agora, que HaHa 1 e vamos provar a inclusão HaaH  . Dado aHx , existe
Hh tal que ahx  . Como HaHaahaxa   11 , então existe Hh 1 tal que 1
1 hxa  e, portanto,
Haahx  1 . Assim, temos HaaH  .
A inclusão contrária, aHHa  , é feita de forma análoga. Dado Hax , existe Hh tal que
hax  . Como
aHaHhaahahaxa   )()( 111 ,
então existe Hh 1 tal que
1
1
1 
 aahxa e, portanto,
aHahaaahaaahaxax   1
1
1
1
1
1 ))(()()( .
Assim, temos aHHa  .
Atividade 2 Sejam G um grupo e H um subgrupo de G que satisfaz HaaH  . Prove que 1 aHaH .
Portanto, pela parte 2 da Proposição 2, a outra caracterização de subgrupo normal fica clara.
Definição 2 (Subgrupo Normal)
Um subgrupo N de um grupo G é chamado de um subgrupo normal de G se NgNg 1 para todo
Gg  .
A próxima propriedade fornece um critério que facilita verificar se um subgrupo N é um subgrupo
normal de G. Esta propriedade mostra que basta verificar a inclusão NgNg 1 para todo Gg  .
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Proposição 3 (Critério do Subgrupo Normal)
Sejam G um grupo e N um subgrupo de G. Então N é um subgrupo normal de G se, e somente se,
NgNg 1 para todo Gg  .
Demonstração
() Se N é um subgrupo normal de G, então, pela Definição 2, NgNg 1 para todo Gg  . Portanto,
segue imediatamente que NgNg 1 para todo Gg  .
() Temos de provar que NgNg 1 para todo Gg  . Como já sabemos, por hipótese, que NgNg 1 ,
então basta provar que 1 gNgN para todo Gg  . Seja Na um elemento qualquer. Como N é
subgrupo, então Na 1 . Logo, Ngggag 111   e como, por hipótese, NNgg 1 , segue que
Ngag  11 . Novamente, como N é subgrupo, então Ngag  111 )( , ou seja,
Ngagaggb   1111 )( .
De bagg 1 segue imediatamente que 11   gNggbga . Portanto, provamos que 1 gNgN , o que
termina a demonstração de que N é um subgrupo normal de G. 
Observação
O critério do subgrupo normal pode ser reescrito da seguinte forma: N é um subgrupo normal de G se, e
somente se, Ngxg 1 para todo Nx e para todo Gg  .
Vamos, agora, ver alguns exemplos.
Exemplo 1
Seja G um grupo. Então os subgrupos triviais de G, }{1 GeN  e GN 2 , são subgrupos normais de
G.
De fato, para }{1 eN  , como e é o único elemento de N1, então
1
11 Neggegg   ,
e, portanto, temos 1
1
1 NggN 
 para todo Gg  . Pela Proposição 3, isto prova que }{1 GeN  é um
subgrupo normal de G.
A prova de que GN 2 é um subgrupo normal de G faz parte da próxima atividade desta aula.
Atividade 3
Seja G um grupo. Mostre que G é um subgrupo normal de G
Exemplo 2
Seja G um grupo abeliano, então todo subgrupo N de G é normal. De fato, para quaisquer Nx e
Gg  temos que
.
abelianoépois,11
Nx
Ggxgxgg



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Portanto, temos NgNg 1 para todo Gg  , o que prova que N é subgrupo normal de G.
Exemplo 3
Seja G o grupo },,,,,{ 223 IS  das permutações de 3 elementos, onde







132
321
 e 






231
321
 ,
e seja o subgrupo },,{ 2IN  . Vimos, no Exemplo 4 e na Atividade 3 da Aula 5, que NggN  para
todo 3Sg  . Portanto, N é um subgrupo normal de S3.
Exemplo 4
Seja o subgrupo },{ IH  de S3. Como
},{},{},{ 2  IIH , onde 2  ,
e
HIIH   },{},{},{ ,
segue que },{ IH  não é subgrupo normal de S3.
Voltando à nossa discussão inicial, vimos que se N é um subgrupo normal, então a operação binária
definida em G/N está bem definida. Na verdade, a condição NgNg 1 , para todo Gg  , é não só
suficiente como é também necessária para que a operação binária em G/N esteja bem definida. Vejamos a
discussão a seguir.
Dados Gba , e Nyx , arbitrários, então ax e a representam a mesma classe lateral aN, isto é,
axNaN  e, similarmente, para a classe lateral Nb 1 , temos que yNbNb 11   . Assim, a operação acima
está bem definida em G/N se, e somente se,
NybaxNab ))(( 11   para todo Gba , e para todo Nyx , .
Veja que esta igualdade vale se, e somente se
yNaxbbaNabba 1111   para todo Gba , e Nyx , ,
e, portanto,
NbxbyNbxbN 11   para todo Gb e Nx ,
Assim, a operação binária em G/H está bem definida se, e somente, se
Nbxb 1 para todo Gb e Nx .
Resumindo, temos que os subgrupos N do grupo G que satisfazem a propriedade
Nbxb 1 para todo Gb e para todo Nx
são os subgrupos para os quais o conjunto quociente G/N é um grupo. Estes grupos são muito importantes
e são os grupos quocientes vistos no final da aula passada. Vamos retomar as definições com a nova
nomenclatura de subgrupo normal.
Teorema 1 (O Grupo Quociente)
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Sejam G um grupo e N um subgrupo normal de G. Então G/N, munido da operação definida em G/N, é
um grupo. Chamamos este grupo de grupo quociente de G módulo N.
Em particular, NeN  é o elemento neutro do grupo e Na 1 é o elemento inverso de aN.
Denotamos isto por
NNee GNG  e NaaN
11)(   .
Vamos apresentar outros exemplos sobre subgrupos normais.
Exemplo 5
Retornando ao subgrupo },,{ 2IN  de },,,,,{ 223 IS  , vimos no Exemplo 3, que
N é um subgrupo normal de S3. No Exemplo 4 da Aula 5, vimos que o grupo quociente NS3 é dado por
},{3 NNNS  .
A seguinte atividade é muito importante para entendermos a noção de subgrupo normal.
Atividade 4 Calcule todos os subgrupos normais de S3.
Apresentaremos agora alguns resultados sobre o grupo quociente.
Proposição 4
Sejam G um grupo e N um subgrupo normal de G. Então:
1. Se G é um grupo abeliano, então o grupo quociente G/N é um grupo abeliano.
2. Se G é um grupo cíclico, então o grupo quociente G/N é um grupo cíclico.
Demonstração
1. Sejam aN e bN duas classes laterais em G/N. Temos que
.)()(
abelianoépois,
emoperaçãodadefiniçãopela,)()(
aNbN
GbaN
NGabNbNaN



Concluímos, assim, que G/N é um grupo abeliano também.
2. Suponhamos, agora, que G é um grupo cíclico gerado pelo elemento Gx . Isto é, qualquer elemento
de G é uma potência de x. Afirmamos que a classe lateral xN é gerador do grupo G/N. De fato, seja
NGaN  com Ga , então podemos escrever kxa  para algum Zk . Assim,
kk xNNxaN )( para algum Zk ,
o que mostra que G/N é um grupo cíclico. 
Vejamos mais alguns exemplos de grupos quocientes.
Exemplo 6
Como Z é um grupo aditivo abeliano, então o subgrupo Z4N , dos inteiros múltiplos de 4, é um
grupo normal de Z. Assim, o grupo quociente Z/4Z é formado pelos quatro elementos
ZZ 404  , Z41 , Z42  e Z43 .
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21
Não é difícil ver que Z/4Z é um grupo cíclico gerado por Z41 . Assim, Z/4Z é um grupo isomorfo com
Z4.
O exemplo anterior é um caso particular do seguinte exemplo.
Exemplo 7
Sabemos que se Zn , então o subgrupo
}{ ZZ  tntn
é um subgrupo normal do grupo aditivo Z. Sabemos também que existem n classes laterais de nZ em Z, a
saber,
ZZ nn 0 , Zn1 , Zn2 ,..., Znn  )1( .
Como o grupo aditivo Z é cíclico, gerado pelo elemento 1, temos que o grupo quociente Z/nZ
também é cíclico e é gerado pela classe lateral Zn1 . Sendo um grupo cíclico de ordem n, temos que
Z/nZ é isomorfo a Zn. Num abuso de notação, muitas vezes escrevemos
nn
Z
Z
Z
 .
Exemplo 8
Considere o grupo abeliano
}e),{( 6464 ZZZZ  yxyx .
Com a operação definida por
),(),(),( dbcadcba  para todo 4, Zca e 6, Zdb .
Seja N o subgrupo cíclico de 64 ZZ  gerado pelo elemento )1,0( , isto é,
})1,0({ Z kkN .
Atenção para não se confundir com a notação: observe que a primeira componente de )1,0( é 40 Z e
que a segunda componente de )1,0( é 61 Z . Assim, temos
)0,0()1,0(0
64

ZZe ;
)1,0()1,0(1  ;
)2,0()11,00()1,0()1,0()1,0(2  ;
)3,0()12,00()1,0()2,0()1,0()1,0(2)1,0(3  ;
)4,0()13,00()1,0()3,0()1,0()1,0(3)1,0(4  ;
)5,0()14,00()1,0()4,0()1,0()1,0(4)1,0(5  ;
)0,0()6,0()15,00()1,0()5,0()1,0()1,0(5)1,0(6  .
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.)}6,0(),4,0(),3,0(),2,0(),1,0(),0,0{(
})1,0({

 ZkkN
Sendo 64 ZZ  abeliano, temos que N é um subgrupo normal e N)( 64 ZZ  é um grupo abeliano.
Sabemos que todas as classes laterais de N são disjuntas, possuem a mesma cardinalidade de N, no caso, 6
elementos cada, e sua união é todo o grupo G, de ordem 24. Logo, existem somente 4 classes laterais de N,
ou seja, o grupo quociente N)( 64 ZZ  tem ordem 4.
Assim, os 4 elementos de N)( 64 ZZ  são
NN )0,0( ; N)0,1( ; N)0,2( e N)0,3( .
Na próxima atividade desta aula, você estará encarregado deverificar que N)( 64 ZZ  é um grupo
cíclico gerado por N)0,1( . Podemos, assim, concluir que N)( 64 ZZ  é um grupo isomorfo ao grupo
Z4.
Atividades Finais.
1. Verifique que N)0,1( é gerador do grupo N)( 64 ZZ  . Apresente o elemento inverso de cada
elemento do grupo.
2. Sejam KH  subgrupos normais de um grupo G. Verifique que:
a) H é um subgrupo normal de K.
b) O grupo HK
N
G
é um subgrupo normal do grupo HG .
Resumo
Nesta aula estudamos uma classe especial de subgrupos de um grupo G, são os chamados subgrupos
normais, mais precisamente, dizemos que um um subgrupo N é normal em G se NgNg 1 para todo
Gg  , ou, equivalentemente, se NggN  para todo Gg  .
Estes subgrupos são importantes pois, nesse caso, o conjunto das classes laterais de N em G é um
grupo, chamado do grupo quociente de H e que foi denotado por HG .
Aula 7: Homomorfismos de Grupos
Introdução
Apresentaremos nesta aula o conceito de homomorfismo de grupos. Lembre que numa aula anterior
estudamos o conceito de homomorfismo de anéis e muitas de suas propriedades. Como aconteceu naquela
aula, em que vimos também o conceito de isomorfismo de anéis, veremos aqui o conceito de isomorfismo
de grupos. Os isomorfismos são muito importantes porque eles permitem a identificação entre grupos
aparentemente muito diferentes. Lembre que um homomorfismo de anéis é uma função entre dois anéis
que preserva as operações destes anéis. Analogamente, um homomorfismo de grupos é uma função entre
dois grupos que preserva a operação destes grupos. Vamos às definições.
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Definição 1 (Homomorfismo de Grupos)
Dados dois grupos G e H, uma função HGf : é chamada de um homomorfismo (de grupos) se
)()()( bfafbaf  para todo Gba , .
Observações
1. Observe que a operação que aparece em )( baf  é a do grupo G, enquanto a operação que aparece em
)()( bfaf  é a operação do grupo H.
2. Lembre que a condição
)()()( bfafbaf  para todo Gba ,
significa que f preserva as operações dos grupos G e H. Para simplificar a notação, muitas vezes
escrevemos esta condição sem denotar explicitamente a operação:
)()()( bfafabf  para todo Gba , .
Definição 2 (Isomorfismo de Grupos)
Um homomorfismo de grupos HGf : é chamado de um isomorfismo (de grupos) se for, também,
uma bijeção. Nesse caso, dizemos que os grupos G e H são isomorfos e denotamos HG  .
Se GGf : é um isomorfismo do grupo G nele mesmo, dizemos que f é um automorfismo de G.
Observação
Lembre que dois conjuntos G e H têm o mesmo número de elementos, ou seja, eles têm a mesma
cardinalidade, se existe uma bijeção entre G e H. Assim, se G e H são grupos isomorfos, então eles têm
exatamente o mesmo número de elementos. Isso acontece porque se HGf : é um isomorfismo, então,
em particular, f é uma bijeção entre G e H.
Definição 3 (Núcleo de um Homomorfismo)
O núcleo de um homomorfismo de grupos HGf : é o conjunto
})({)( HexfGxfN  ,
onde He é o elemento neutro do grupo H.
Vejamos, agora, dois dos exemplos mais simples de homomorfismos de grupos.
Exemplo 1
Dados os grupos G e H, consideremos a função constante HGf : dada por
Hexf )( para todo Gx ,
onde He é o elemento neutro do grupo H. É fácil verificar que f é um homomorfismo grupos, pois
,)()(
)(
bfaf
ee
ebaf
HH
H



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para todo Gba , . Podemos, também, facilmente calcular o seu núcleo. Como Hexf )( para todo
Gx , então
GexfGxfN H  })({)( .
Portanto o núcleo de f é todo o grupo G, o maior subgrupo possível de G.
Exemplo 2
Dado um grupo G, o homomorfismo identidade de G é definido pela função identidade em G, ou seja,
GGid : , aaid )( para todo Ga . É fácil verificar que a identidade é, de fato, um homomorfismo
de grupos. Temos que
,)()()( bidaidbabaid 
para todo Gba , , o que prova facilmente o que queríamos. Como a identidade é uma bijeção em G,
então GGid : é, na verdade, um isomorfismo do grupo G. Seu núcleo também pode ser calculado
simplesmente. Observe que
GG exexid )( ,
logo,
}{})({)( GG eexfGxfN  .
Portanto, o núcleo do homomorfismo identidade id é o subgrupo trivial }{ Ge , o menor subgrupo
possível de G.
Exemplo 3
Sejam ),(  RG o grupo aditivo dos números reais e ),(  

RH o grupo multiplicativo dos números
reais positivos. Considere a função HGf : definida por
xxf 2)(  para todo Rx .
Vamos verificar que f é um homomorfismo de grupos. Dados Ryx, , temos
)()(222)( yfxfyxf yxyx   .
Assim, temos que f preserva as operações dos grupos e, portanto, é um homomorfismo. Como a função
exponencial xxf 2)(  é uma bijeção entre R e 

R , então f é um isomorfismo de grupos. Vamos calcular
seu núcleo. Como 1He , temos que
G
x exxf  0121)( .
Portanto, o núcleo de f é o subgrupo trivial }0{)( fN .
Vamos à nossa primeira atividade.
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Atividade 1
Sejam ),(  ZG o grupo aditivo dos números inteiros e ),(  nH Z o grupo aditivo dos inteiros
módulo n. Considere a função HGf : definida por
aaf )( para todo Za .
Mostre que f é um homomorfismo sobrejetor e calcule o seu núcleo.
Vamos, agora, estudar algumas propriedades dos homomorfismos.
Proposição 1
Seja HGf : um homomorfismo de grupos. Então,
1. HG eef )(
2. )()( 11   afaf
3. Se N é um subgrupo de G, então f(N) é um subgrupo de H. Em particular, )()Im( Gff  é um
subgrupo de H.
4. N(f) é um subgrupo normal de G.
5. f é injetora se, e somente se, }{)( GefN  .
6. Se f é bijetora, então GHf  :1 é um homomorfismo de grupos.
Demonstração
1. Temos que
smo.homomorfiépois;)()(
pois;)()(
fefef
eeeeefef
GG
GGGGGG


Multiplicando ambos os lados da equação )()()( GGG efefef  por
1)( Gef , obtemos
11 )()()())()((   GGGGG efefefefef ,
e como, HGG eefef 
1)()( , temos
HG eef )( .
2. Vemos que
anterior.depropriedapela;
pois;)(
smohomomorfiépois;)()()(
1
11
H
GG
e
eaaef
faafafaf





Analogamente, Heafaf 
 )()( 1 . Logo, pela unicidade do elemento inverso, segue que
)()( 11   afaf .
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3. Sejam )(, Nfyx  . Vamos provar que )(1 Nfyx   . Como )(Nfx , existe Na tal que
xaf )( e de )(Nfy , existe Nb tal que ybf )( . E como N é subgrupo, então Nba  1 . Assim,
temos que
.pois;)()(
smohomomorfiépois;)(
)()(pois;)()(
)(e)(pois;)()(
11
1
111
11
NbaNfbaf
fbaf
bfbfbfaf
bfyafxbfafyx








Portanto, pelo critério do subgrupo, temos que f(N) é subgrupo de H. Em particular, como
)()Im( Gff  , então Im(f) é um subgrupo de H.
4. Vamos, primeiramente, provar que N(f) é um subgrupo de G. Dados )(, fNba  , queremos mostrar que
)(1 fNba   . Como )(, fNba  , então Hebfaf  )()( . Assim,
.
)()(pois;
)()(pois;)()(
smohomomorfiépois;)()()(
1
111
11
H
HHH
e
ebfafee
bfbfbfaf
fbfafbaf







De Hebaf 
 )( 1 , temos que )(1 fNba   , o que prova que N(f) é um subgrupo de G. Para provar
que N(f) é um subgrupo normal de G, sejam )( fNa e Gg  . Vamos mostrar que )(1 fNgag   .
Como )( fNa , então Heaf )( . Assim,
.
)()(
)()(e)(pois;)()(
smohomomorfiépois;)()()()(
1
111
11
H
HH
e
gfgf
gfgfeafgfegf
fgfafgfgagf







Portanto, de Hegagf 
 )( 1 , temos que )(1 fNgag   . Logo, pelo critério do subgrupo normal,
segueque N(f) é um subgrupo normal de G.
5.() Vamos supor que f seja injetora. Queremos provar que }{)( GefN  . Dado )( fNa , então
)()( GH efeaf  ,
e, como f é injetora, segue que Gea  . Daí, concluímos que }{)( GefN  .
() Vamos supor, agora, que }{)( GefN  . Queremos provar que f é injetora. Dados Gba , tais que
)()( bfaf  , vamos mostrar que ba  . Temos
.
)()(pois;)()(
)()(pois;)()(
smohomomorfiépois;)()()(
1
111
11
He
afbfafaf
bfbfbfaf
fbfafbaf







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De Hebaf 
 )( 1 temos que )(1 fNba   . Como }{)( GefN  , então Geba 
1 e, multiplicando
por b dos dois lados, temos ba  , de onde concluímos que f é injetora.
6. Sejam Hyx , . Vamos mostrar que )()()( 111 yfxfyxf   . Sejam )(1 xfa  e )(1 yfb  ,
então xaf )( e ybf )( . Assim,
.)(e)(pois;)()(
pois;
smohomomorfiépois;))((
)(e)(pois;))()(()(
1111
1
1
11
yfbxfayfxf
idffba
fbaff
bfyafxbfaffyxf









Logo, 1f é um homomorfismo de grupos.
O próximo exemplo formaliza uma identificação entre os grupos S3 e D3, observada na aula 2.
Exemplo 4
Seja o grupo },,,,,{ 223 IS  das permutações de 3 elementos, onde







132
321
 e 






231
321
 ,
e seja o grupo },,,,,{ 223 FRFRFRRID  das simetrias do triângulo eqüilátero, visto na aula 2,
y
x
A
B
C
O
Figura 23.1
onde 32RR  é a rotação de 32 radianos em torno da origem e F é a reflexão com respeito ao eixo-x.
Observe a semelhança nas tabelas de multiplicação destes dois grupos. A menos de uma diferença de
notação, as duas tabelas são idênticas!
I
I
I
I
I
II
I
222
22
22
222
22
22
22







IRRFRFFRFR
RIRFFRFRFR
RRIFRFRFF
FFRFRRIRR
FRFFRIRRR
FRFRFRRII
FRFRFRRI
222
22
22
222
22
22
22

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Portanto, é natural definirmos a seguinte bijeção entre S3 e D3:
33: DSf  , onde
2222 )(;)(;)(;)(;)(;)( FRfFRfFfRfRfIIf   .
Assim, pelas semelhanças entre as tabelas acima, é fácil ver que
)()()( bfafbaf 
para todo 3, Sba  . Logo, f é um homomorfismo bijetor e, portanto, um isomorfismo entre S3 e D3, o que
denotamos por 33 DS  .
Vamos à nossa próxima atividade. Este é um importante exemplo de automorfismo de grupo.
Atividade 2
Sejam G um grupo e Gg  . Considere a aplicação GGig : definida por
1)(  gxgxig . Mostre
que gi é um isomorfismo do grupo G nele mesmo, ou seja, um automorfismo do grupo G.
Vamos finalizar esta aula apresentando um dos exemplos mais importantes de homomorfismo de
grupos. Graças a ele temos o importante teorema do homomorfismo para grupos.
Exemplo 5 (O homomorfismo canônico)
Sejam G um grupo e H um subgrupo normal de G. Considere a aplicação entre G e o grupo quociente
G/H, HGG : , definida por aHa )( . Vamos verificar que  é um homomorfismo de grupo.
Dados Gba , , temos
.)()(
)()(
ba
bHaH
Hbaba





Portanto,  é um homomorfismo de grupos, chamado homomorfismo canônico.
Proposição 2
Sejam G um grupo e H um subgrupo normal de G. Seja HGG : , aHa )( , o homomorfismo
canônico. Então,
1.  é um homomorfismo sobrejetor;
2. HN )( .
Demonstração
1. Seja HGaH  , Ga , um elemento arbitrário do grupo quociente G/H. Então, da própria definição
do homomorfismo canônico, temos que aHa )( , donde concluímos que  é, de fato, sobrejetor.
2. Temos que
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.
)(pois;
pois;)(
)()(
Ha
aHaHaH
HHeeHa
eaNa
GHG
HG







E isso prova que HN )( .
Observação
1. É importante ressaltar que o homomorfismo canônico é uma função sobrejetora mas, em geral, não é
injetora. Pois, se H é um subgrupo normal do grupo G, diferente do subgrupo trivial }{ Ge , então dada
qualquer classe lateral HGaH  , existe Gb , ab  , tal que aHbH  . Assim, temos
)()( aaHbHb   .
E isso prova que o homomorfismo canônico HGG : não é uma função injetora.
2. O homomorfismo da Atividade 1, nf ZZ : , definido por aaf )( para todo Za , é um importante
exemplo de homomorfismo canônico.
3. Na próxima aula provaremos o teorema do homomorfismo para grupos que tem o seguinte enunciado.
Teorema do Homomorfismo para Grupos
Dado um homomorfismo de grupos HGf : , então existe um isomorfismo de grupos
)()(: GffNG  que satisfaz  f , onde )(: fNGG  é o homomorfismo canônico.
Representamos esse resultado pelo seguinte esquema.
G HGf )(
)( fNG
f


)()( GffNG 
Atividades Finais
1. a) Sejam ),( Z o grupo aditivo dos números inteiros e ZZ :f um homomorfismo de Z em Z.
Mostre que nfnf  )1()( para todo Zn .
b) Mostre que todo automorfismo do grupo aditivo Z é da forma xx  ou xx  , para todo Zx .
2. a) Sejam ),( nZ o grupo aditivo dos inteiros módulo n e nnf ZZ : um homomorfismo de Zn em
Zn. Mostre que afaf  )1()( para todo na Z .
b) Mostre que todo automorfismo de nZ é da forma xax  , com

 na Z .
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Resumo
Nesta aula vimos o conceito de homomorfismo de grupos onde, dados dois grupos G e H, uma função
HGf : é chamada de um homomorfismo (de grupos) se
)()()( bfafbaf  para todo Gba , .
Se, ainda, f é uma bijeção, então dizemos que HGf : é um isomorfismo dos grupos G e H e
denotamos HG  .
Para HGf : um homomorfismo de grupos, vimos as seguintes propriedades:
1. HG eef )(
2. )()( 11   afaf
3. Se N é um subgrupo de G, então f(N) é um subgrupo de H. Em particular, )()Im( Gff  é um subgrupo
de H.
4. N(f) é um subgrupo normal de G.
5. f é injetora se, e somente se, }{)( GefN  .
6. Se f é bijetora, então GHf  :1 é um homomorfismo de grupos.
Por fim, vimos o importante exemplo do homomorfismo canônico. Dados G um grupo e H um
subgrupo normal de G, o homomorfismo canônico é definido por HGG : com aHa )( .
Referências
1. Introdução à Álgebra de Adilson Gonçalves (Projeto Euclides –IMPA).
2. Álgebra: Um curso introdutório de Arnaldo Garcia e Yves Lequain (Projeto Euclides –IMPA).