Lista 1 - Cálculo C

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Universidade Federal da Bahia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo C
1a Lista de Exerc´ıcios
“Suar no treinamento e´ melhor do que sangrar na batalha.”
Professora: Suzete M. S. Afonso
Avisos importantes:
1. Quando usarem algum teorema, especifiquem qual deles esta˜o usando, com palavras e com a matema´tica
que foi aprendida.
2. Resultados apresentados sem justificativas do racioc´ınio na˜o sera˜o considerados.
3. Sejam coerentes, na˜o exponham respostas diferentes para a mesma questa˜o.
Exerc´ıcio 0. Usando a definic¸a˜o de limite, demonstre que a sequeˆncia
{
n
2n+ 1
}
tem limite igual a
1
2
.
Exerc´ıcio 1. (a) A sequeˆncia
{
n sin
pi
n
}
e´ convergente ou divergente? Justifique.
(b) Prove que a sequeˆncia
{
n2
2n+ 1
sin
pi
n
}
e´ convergente e ache o seu limite.
Exerc´ıcio 2. Mostre que
√
2 +
√
2 +
√
2... = 2.
Exerc´ıcio 3. Mostre que as sequeˆncias
{
n2
n− 3
}
e
{
n2
n− 4
}
divergem, pore´m a sequeˆncia
{
n2
n− 3 −
n2
n− 4
}
e´ convergente e tem limite igual a −1.
Exerc´ıcio 4. Prove que se a sequeˆncia {an} for convergente e lim
n→+∞
an = L, enta˜o a sequeˆncia {an2} tambe´m
sera´ convergente e lim
n→+∞
an
2 = L2.
Exerc´ıcio 5. Prove que se a sequeˆncia {an} for convergente e lim
n→+∞
an = L, enta˜o a sequeˆncia {|an|} tambe´m
sera´ convergente e lim
n→+∞
|an| = |L|.
Exerc´ıcio 6. A sequeˆncia
{
2n
n!
}
e´ divergente. Esta afirmac¸a˜o e´ verdadeira ou falsa? Justifique.
Exerc´ıcio 7. Deˆ um exemplo de uma sequeˆncia que seja limitada e convergente, pore´m na˜o mono´tona.
Exerc´ıcio 8. Seja {an} a sequeˆncia definida pela recorreˆncia
a1 = 2, an+1 =
1
2
(an + 4), para n ≥ 1.
A sequeˆncia {an} e´ convergente? Justifique. Em caso afirmativo, determine o limite dessa sequeˆncia.
Exerc´ıcio 9. Usando se´ries, expresse as decimais na˜o finitas abaixo na forma de um nu´mero racional:
(a) 2, 131313131313... (b) 0, 25411411411411...
Exerc´ıcio 10. Qual a distaˆncia total percorrida por uma bola de teˆnis ate´ o repouso, se ela cair de uma
altura de 100m e se apo´s cada queda ela rebater no cha˜o e voltar a uma distaˆncia de
11
20
da altura anterior?
1