LISTA_5_Limites

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAlllA - UFBA
INSTITUTO DE HUMANIDADES, ARTES E CIÊNCIA -lliAC
BACHARELADO EM CIÊNCIA E TECNOLOGIA - BICT
DISCIPLINA: CIÊNCIA E TECNOLOGIA II
PROF. ADEMARNOGUEIRA DO NASCIMENTO
LISTA DE EXERCÍCIO
(LIMITES)
o I) Considere a função f dada pelo gnlfico .a seguir;
---l\-1 I__---I~--L- _
I I: 1
I I I I
I I I
I I
Calcule:
1-5 -3 1-2-1
I I I
I I 1
I- - - - - - - ~ -~ -à
. I \
b) Iim ((x)
x - - S-
a) lim ((x)
x - - 7
c) lim ((x)
x - - S·
d) Iim ((x)
x - - S
e) Iim {(x)
x - - 3
f) lin {(x)
g) 1m (x)
x - - 1
h) Jim ((x)
x - 3-
i) lDn ((x)
x - 3·
j) Iin (x)
x - S
I) ~ (x)
x-7
{
3X -2,HX)o-1
a) f(x) - 3, H X • - 1
5-u,sex-<-1
XcI • - 1
02) Considere a função f, dada DO exercício 01. Determine:
a) Iim f(x) b) hia ((x)X--a x- - 2
c) hia f(x) d) Iin f{x)
x- 0- x-o
e) lÍm f(x) f) lia f(x)
x-2 °X- 4-
g) lia f(x) h) lia f{x)x - 4· x-4
i) Jia f(x)
x-+_
03) Determine, se possível, a e R para que exista lim n:x}.~ndo:
X-+Xo
{
(X2 - 4)(x - 2r1• IC x •• 2b) f(x) I: - °
&,8Ox-2
04):~ o gráfico de cada função f. dada a seguir, e determine o que ~ pede:
a) °ftx)= { r;z. Z lt >0
e .x x s.o
°lim f(x) Iin f{x)
.z •. ~.- x » 0-
J'
IIÍDf(x) Jin f(x)x-O.x •• O·
•• f(x) Iin f(x)x-I x--1
Izin f(x) hin f(x)x-e x-+_
1
( I)Z- ,sex>O
b) ((~).. 1
2
-, se x -< O·x .
lim ({x)
%---
lÍm {(x)
,X"."
Iim {(x)
.x .• O·
1Dn (x)
:% - O
bin {(x)
.x -- 1
l:ãn ((x)
. % - 1
,
05) Determine, se possível, K E R de modo que f seja contínua em x., onde:
a) ((x) li: { 3kx
2
+ 2 se x -< 1
x -2, se x ~ 1
~. 1
b) {(x) = { kx
2
- 2 IC X ~ O
x - 3, se x -< O
06) Considere as funções f(x) e g(x) dadas abaixo. Diga, justificando, se elas são contínuas em x.:
!4,seXO<2 .. a4x). x2 - 8x • 16, se 2 :s X :s 6- x • 3, se x > 6
1
~X;....2_-_4..;.., se x •• 2
b) g(x) = 4x - 8
3x. se x • 2
01) Calcule os seguintes limites:
a) Ián (hs - 3x' - x2 - 1)
x-3
c) lÍm 3x2 + X + 1
, 2x + 5
x-I
o) J:imx' - 9x
, 3x '- 9
x-3
• 3x, - 1212 + 12x"g) Iin ~~....;.;.;.;;~_~
x' _ 3x2 + 4
x-2
i) hÍn 4x' - 212 + X
. 3x2 + 2x
. x - O
I)lBn 2,x2 + x-I
. x+l
x--l
• - xi + x2 + 4x - ••n) Iin -~~ _
x2 - 4x + 4x-2
p) Ián fi.::...l
·x-l
x-I
r) lBn .f7C+2 - {3
x4
x-O
b) lIin (31 (x + 2)]
x - - 1
cl)~X2 - 4
. .t.~-~ 3x + 6
f) Izin x' - 2x + 1
x· + 3x2 + X + .1
x-I
h) tP 21' - 8x
. 3x' + 6x2x--2
m) _ ~ - 10
x2 - 10% + 2S
x-!
• . x2 + X - 2o) bin -..;;;...-~..;;;..._
x' - 3x2 + 3x - 1
x-I
q) hÍn 2 - é?!
x2 - 49x-7
x--·
08) Calcule as constantes de modo que:
.) Itm. X2 - IX + b _ 5
x-3
x-3
b) Iim IX' + bx2 + X +" = _ 2
2x2 - 7x + 12 .
) • • onde ""x') •• IX' + bx2 + a + dc Iàn g(x) ••8 e ID g(x) • 5 6"
x2 - 7x + 12
x .• 3
09) Calcule os limites:
.) lIÍn (2x 4 - 3x)
,
b) bÍn (- 3x2 + 5x + 1)
c) tim (5x2 - lx) d) bin _4.;;;.x'_-.;;;2%.;;;.'_-...;.1
2,x' + 2
x _. - ~ x---
e) bÍn _-....;2%=-..•_+-..;;;.1
x2 - 1
Limites infinitos. .
.'
1Seja a: função f definida por f(x)
x ;t. I.
Observamos nas duas tabelas que
os valores da função são cada vez maio-
res, à medida que x se aproxima de 1.
Em outras palavras, podemos tornar
f(x) tão grande quanto desejarmos, is-
to é, maior que qualquer número positi-
vo, tomando valores para x bastante
próximos de 1, e escrevemos:
para todo x real e
(x - 1)2
y
-
atribuindo a x valores próximos de 1, à direita de 1
I· 1im ,
x-I (x - 1)-
em que o símbolo" + 00" lê-se "mais
infinito" ou "infinito positivo".
x
• Tomemos agora a função g como sendo o oposto da função t: isto é,
g(x) = -f(x) = (x =11)2 definida para todo x real e x ~ 1.
Os valores da função g são opos-
tos dos valores da função f. Assim, pa-
ra a função g, quando x se aproxima de
1, os valores de g(x) decrescem ilimita-
damente. Em outras palavras, podemos
tornar os valores de g(x) tanto menores
quanto desejarmos, isto é, menores que
qualquer número negativo, tomando va-
lores de x bastante próximos de 1, e es-
crevemos:
y x
lim -1 = ..::00
x_I (x-l)2
o símbolo "-00" lê-se "menos infinito"
ou "infinito negativo".
. 1
x _ t para todo xConsideremos agora a função h definida por h (x)
real e . x ;t. 1.
Atribuindo a x valores próximos de 1, porém menores que 1, temos:
x ° 0,5 0,75 0,9 0,99 0,999' j,
f(x) -1 -2 -4 -10 '-100 -1000 .....
e atribuindo a x valores próximos de 1, porém maiores que 1, temos:
x 2 1,5 1,25 1,1 1,01 1,001
f(x) 1 2 4 10 100 1000
Observemos que se x assume va-
lores próximos de 1, à esquerda de 1, os
valores da função decrescem ilimitada-
mente e se x assume valores próximos
de 1, à direita de 1, então os valores da
função crescem ilimitadamente. Esta-
mos considerando os limites laterais que
são "infinitos" e escrevemos:
y
x
1---
x - I
lim
x-I +
-00 e
x -,,1
Propriedades do lirnit« de uma função
Se lim f(x) = L e fim g(x) = 1'1'/. então:
x-a x-o
LI' lim C = Cx-a
L2• lim [C • f(x)] = C • lim f(x) = C • L
x_a x-a
L). lim [(f + g) (x)] = Iim f(x) + Iim g(x) = L + Mx_a x-a x_a
L4' lim [(f - g) (x)] = Iim f(x) - lim g(x) = L - M
x-a . x-a x_a
Lj. Iim [(f . g) (x)] = Iim f(x) . Iim g(x) = L . M
x--a x_a x-a
L6' ~~ [(f)" (x)] = [PE! f(X)] n = Ln
[(
f ) ] ~i!.~f(x) L
L1· ~iE! .g (X). PE! g(x) = M (M;t! O)
(se n E IN* e L ~ O ou se n é ímpar e
L ~ O)
01) a) h) J) O:
b) - a
e) e), O, i) a
d), g), j), não existe
3) 12) a) - 10
b) qualquer real
RESPOSTAS
5) li) a) k = - 1
b) não existe k tal que f seja contínua em X. = O
,,) .) a)f é contínua em X. = 2: f não é contínua em Xo = 6
b) f não é contínua em X. = 2
.,2.) li) 8) - 8 •
e), e), g), I) - 00: .
b), O + 00:
d), h, não existe
;.,} 14J a)
'.
b)
8} O, 1, - 00, não existe, O, lIe, 1, + 00
b) O, O, - 00, 1, não existe, -1, 1/2
07) a) 39S;
e) sn:
e) 6:
g) ~
i) 1/2:
I) - 3:
n) não existe;
p) 112:
r) - 00:
08) a) a o: 1,
b) a = 0,
e) a = 0,
(9) 8), e) + 00:
d) 2; .
b) 113:
d) -4/3:
O O:
h) 4/3:
j) I:
m) - 00:
o) + 00:
q) -1IS6:
b ••• - 6;
b = - 4:
b = 8; c = - 53, d = 81
b) e) - 00:
00