Aplicações da integral

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CÁLCULO: 
INTEGRAIS E 
FUNÇÕES DE 
VÁRIAS VARIÁVEIS
Raphael de Oliveira Freitas 
Aplicações da integral
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Descrever a área de uma região plana da forma de integral definida.
 � Resolver o cálculo de volume, densidade e valor médio a partir de 
integrais.
 � Associar a integral às taxas de variações.
Introdução
Neste capítulo, você saberá descrever a área de uma região plana da 
forma de integral definida, resolverá o cálculo de volume, densidade e 
valor médio a partir de integrais, além de associar a integral às taxas de 
variações. Nesse sentido, problemas aplicados a Física, Biologia, Química e 
Engenharia são modelados por equações diferenciais interpretadas como 
taxas de variação, além do cálculo de volumes por seções, transversais 
e cascas cilíndricas, como áreas entre curvas e o valor médio de funções 
para integrais. Neste capítulo, apresentaremos as principais aplicações 
da integral.
Cálculo das áreas entre curvas a partir da 
integração
Com os conhecimentos sobre o cálculo integral, determinamos o valor de 
áreas de regiões sobre o gráfico de funções. Agora, podemos utilizá-los para 
determinar áreas de regiões entre gráficos de duas funções (podem ser des-
critas como curvas e formam uma região plana entre si), a partir de uma 
região S = {(x, y)| a ≤ x ≤ b, z(x) ≤ y ≤ w(x)}, que se encontra entre duas curvas 
determinadas por y = w(x) e y = z(x) localizadas entre as retas x = a e x = b, 
em que w e z são funções contínuas e w é maior ou igual a z para todo x 
pertencente ao intervalo fechado [a, b]. Graficamente, temos a representação 
exibida na Figura 1.
Figura 1. Representação gráfica da região delimitada S.
Fonte: Adaptada de Stewart (2014).
0
y = g(x)
y = ƒ(x)
S
x
y
ba
Utilizando essa ideia para determinar áreas sobre curvas, dividimos a região 
delimitada S em n retângulos de larguras iguais e, com isso, a aproximamos 
ao enésimo retângulo com base ∆x e altura com tomando todos 
os pontos amostrais como as extremidades direitas que ficaram com ; 
a soma de Riemann é dada por:
Então, de maneira intuitiva, temos a aproximação da região S como uma 
área entre as curvas formadas por w e z. Graficamente, há os retângulos de 
aproximação e o retângulo típico formado, conforme indicado na Figura 2.
Aplicações da integral2
Figura 2. (a) Retângulo típico; (b) retângulos de aproximação.
Fonte: Adaptada de Stewart (2014).
(a) Retângulo típico
x
y
b0 a
w(xi
xi
xi
xi xi
*)
w( *) –z ( *)
( *)
*
Î x
(b) Retângulos aproximantes
x
y
b0 a
–z
Tomando n → ∞ (o número de retângulos de aproximação tendendo ao 
infinito), podemos definir a área da região S como o limite das somas das 
áreas dos retângulos de aproximação, isto é:
 
Observamos que o limite da área descrita anteriormente é uma integral 
definida da subtração das funções w e z (ou seja, w – z). Com isso, a área da 
região é delimitada pelas curvas y = w(x) e y = z(x) e pelas retas x = a e x = b, 
em que as funções w e z são contínuas e w é maior ou igual a z para todo x 
pertencente ao intervalo fechado [a, b].
Caso especial do cálculo da área sobre curvas
Observe que, para z(x) = 0 a região sobre o gráfico de w representa a definição geral 
da área, que é dada por:
3Aplicações da integral
De modo mais geral, para áreas entre curvas, temos:
Já no caso em que as funções w e z são positivas, é dada por:
Na Figura 3, você pode observar uma representação gráfica desse cálculo.
Figura 3. Representação genérica de áreas entre curvas, 
ambas positivas.
Fonte: Adaptada de Stewart (2014).
0 x
y
a b
y = w(x)
y = z(x)
S
De acordo com a situação-problema, é importante avaliar graficamente as 
funções que delimitarão a área a ser encontrada.
Para ilustrar essa definição, seguem os Exemplos 1 a 3.
Aplicações da integral4
Exemplo 1
Determine a área da região limitada na parte superior por y = ex e na parte 
inferior por y = x, delimitadas pelas retas x = 0 e x = 1.
Solução: inicialmente, fazemos um esboço da região delimitada pelas 
funções w(x) = ex e z(x) = x e a = 0 e b = 1, como na Figura 4.
Figura 4. Representação gráfica das funções w(x) e z(x).
Fonte: Adaptada de Stewart (2014).
0 x
y
1
y = w(x) = e x
Δx
1
y = z(x) = x
Aplicando a definição de área, temos:
5Aplicações da integral
Exemplo 2
Determine a área delimitada pelas parábolas y1 = x2 e y2 = 2x – x2.
Solução: primeiro, precisamos determinar o ponto de interseção das pa-
rábolas igualando y1 = y2 ↔ x2 = 2x – x2 → 2x2 – 2x = 0 → 2x ∙ (x – 1) = 0 → 
2x = 0 ou x – 1 = 0 → x = 0 ou x = 1 Dessa forma, os pontos de interseção são 
(0, 0) e (1, 1). Assim, esboçamos graficamente as funções no plano cartesiano, 
conforme a Figura 5.
Figura 5. Representação gráfica das funções y1e y2.
Fonte: Adaptada de Stewart (2014).
(0, 0)
(1, 1)
y1 = 2x – x2
x
y
Δx
y2 = x2
Com isso, podemos determinar a área do triângulo típico:
∆x ∙ (y2 – y1) = ∆x ∙ (2x – x2 – x2) = ∆x ∙ (2x – 2x2)
E, assim, calculamos a área total da região entre x = 0 e x = 1.
Aplicações da integral6
Exemplo 3
Determine a área delimitada pela y2 = 2x + 6 e pela reta y = x – 1.
Solução: substituindo y = x – 1 em y2 = 2x + 6, temos: (x – 1)2 = 2x + 6 
→ x2 – 2x + 1 = 2x + 6 → x2 – 4x – 5 = 0 → (x + 1) ∙ (x – 5) = 0 → x = –1 ou 
x = 5. Já os pontos de interseção são (–1, –2) e (5, 4). Esboçando graficamente 
as funções de fronteira x1 = y2 – 3 e x1 = y + 1 no plano cartesiano, temos a 
representação da Figura 6.
Figura 6. Representação gráfica das funções de 
fronteira x1 e x2.
Fonte: Adaptada de Stewart (2014).
x
y
–2
4
0
(–1, –2)
(5, 4)
x2 = y + 1
1
2x1 = y2 – 3
Com isso, podemos integrar y = –2 a y = 4, conforme o esquema mostrado 
no gráfico, e determinar a área entre as funções apresentadas.
7Aplicações da integral
Calculando volumes por integrais pelo método do fatiamento
No vídeo do link a seguir, você acompanha a apresentação do Professor Alexandre 
Lymberopoulos, da Universidade de São Paulo (USP), do método do fatiamento para 
calcular volumes por integrais.
https://qrgo.page.link/8K8YF
Na seção a seguir, apresentaremos o cálculo de volumes utilizando os 
conhecimentos de integrais pelos métodos da secção transversal e das cascas 
cilíndricas, aplicado a uma situação-problema específica.
Cálculo de volumes a partir de integrais
Para determinar o volume de um sólido, geralmente encontramos a área da 
base e a multiplicamos pela altura. Por exemplo, para calcular o volume de um 
prisma regular reto de base quadrada, precisamos encontrar a área do quadrado 
e a multiplicarmos pela altura; assim, encontraremos o volume desse sólido. 
Já que no prisma a região plana chamada base é paralela à base superior à área 
delimitada compreende um quadrado, o volume seria denominado o V = área 
da base × altura. Para um sólido S que não é um prisma reto de base quadrada, 
“fragmentamos” S em fatias cada vez mais próximas pelo prisma reto de base 
Aplicações da integral8
quadrada. Dessa forma, podemos estimar o volume de S acrescentando os 
volumes dos prismas retos de base quadrada. Com isso, o volume exato de 
S é determinado pela aplicação de um limite em que o número de fatias se 
torna cada vez maior.
Método das secções transversais 
Inicialmente, colocamos um plano passando por S encontrando, assim, uma 
secção transversal a S. Assume-se, então, A(x) como a área da secção transversal 
de S no plano αx perpendicular ao eixo x e passando no ponto x, que está entre 
a e b, conforme indicado na Figura 7.
Figura 7. Representação gráfica da área da secção transversal de S no plano αx.
Fonte: Adaptada de Stewart (2014).
y
x0 ba x
S
A(a)
A(b)
A(x)
P x
Depois, dividimos S em n secções transversais de larguras ∆x com medidas 
iguais utilizando os planos αx1
, αx2
, ..., αxn
. Além disso, escolhemos os pontos 
amostrais no intervalo [xi–1, xi], com a possibilidade de aproximar a enésima 
fatia Si à parte que estáentre os planos αx1
, αx2
, ..., αxn
 de um cilindro com área 
da base A( ) e altura ∆x, conforme indicação da Figura 8.
9Aplicações da integral
Figura 8. Representação gráfica do fatiamento do volume de S αx1
, αx2
, ..., αxn
.
Fonte: Adaptada de Stewart (2014).
Dessa forma, o volume desse cilindro é A( ) ∙ ∆x e, com isso, temos 
uma noção intuitiva do volume da enésima fatia de Si, isto é, V(Si) ≈ A( ) ∙ 
∆x. Acrescentando os volumes das fatias, encontramos uma aproximação do 
volume total como:
Fazendo n tender ao infinito, ou seja, n → ∞, podemos definir o volume 
por somas de Riemann como uma integral definida e, assim, estabelecer o 
volume da maneira mostrada a seguir.
Sendo S um sólido determinado entre x = a e x = b, se a área da secção 
transversal de S no plano αx perpendicular ao eixo x e passando por x é A(x), 
em que A é uma função contínua, então o volume de S é dado por: 
Observe que, ao utilizar a fórmula , A(x), deve ser conside-
rada uma secção transversal móvel, encontrada a partir do fatiamento em x 
perpendicularmente ao eixo x.
Com essa ideia intuitiva para determinar volumes por meio do cálculo com 
integrais, é possível determinar as fórmulas do volume de sólidos conhecidos, 
por exemplo o volume da esfera de raio r, como visto nos Exemplos 4 a 6.
Aplicações da integral10
Exemplo 4
Demonstre que o volume de uma esfera de raio r é dado pela fórmula .
Solução: se plotarmos a esfera de maneira que o centro da esfera se en-
contre na origem, então o plano αx intercepta a esfera de um círculo no qual o 
raio é , utilizando o teorema de Pitágoras no triangulo formado, 
conforme a Figura 9.
Figura 9. Representação gráfica da esfera de raio r.
Fonte: Adaptada de Stewart (2014).
Com isso, a área da secção da transversal é dada por A(x) = πy2 = π(r2 – x2); 
aplicando a definição do volume para a = – r e b = r, temos:
11Aplicações da integral
Exemplo 5
Determine o volume do sólido encontrado pela rotação em torno do eixo x da 
região sobre a curva indo de 0 a 1.
Solução: inicialmente, esboçamos a região de rotação em relação ao eixo 
x e a representação de sua rotação, como mostra a Figura 10.
Figura 10. Representação gráfica da rotação em torno do eixo x da função .
Fonte: Adaptada de Stewart (2014).
x0 x
y
y = 
1 0 x
y
1
Δx
x
x
A partir da observação do esboço da Figura 10, seccionamos pelo ponto x 
encontrando um disco de raio com a área da secção transversal dada por: 
. De acordo com a definição, temos que o volume 
do cilindro de aproximação, ou seja, um disco de espessura ∆x, é: A(x) ∙ ∆x = 
πx ∙ ∆x. Como o sólido se encontra entre x = 0 e x = 1, o volume é dado por:
Aplicações da integral12
Exemplo 6
Determine o volume do sólido encontrado pela rotação em torno do eixo y e 
pela região delimitada por x = 0, y = 8 e y = x³.
Solução: inicialmente, esboçamos a região de rotação em relação ao eixo 
y e a representação de sua rotação, conforme a Figura 11.
Figura 11. Representação gráfica da rotação em torno do eixo y delimitadas pelas funções 
y = x3, y = 8 e x = 0.
Fonte: Adaptada de Stewart (2014).
0
y = 8
y
x = 0
y = x3
x0
(x, y)y
y
∆y
x
x
8
13Aplicações da integral
Sabendo que o sólido deve ser seccionado perpendicularmente ao eixo y, já 
que é rotacionada em torno desse eixo, a integração é realizada em relação a 
y, isto é, ao seccionar a uma altura y, encontramos um disco circular de raio x 
no qual . Dessa forma, a área da secção transversal em y é dada por:
De acordo com a definição, temos que o volume do cilindro de aproximação, 
ou seja, um disco de espessura ∆x, é: A(y) ∙ ∆y = πy2/3 ∙ ∆y. Como o sólido se 
encontra entre y = 0 e y = 8, o volume é dado por:
Em algumas situações-problema, o método da secção transversal não é 
simples de aplicar, por exemplo, determinar o volume do sólido encontrado 
pela rotação em torno do eixo y e delimitado pelas funções y = 2x² – x³ e 
y = 0. Ao seccionarmos perpendicularmente sobre o eixo y, encontramos uma 
arruela. Nesse caso, para determinar os raios externo e interno, precisamos 
resolver a equação de grau 3 dada por y = 2x² – x³, que não é simples. Nessas 
situações, utilizamos o método das cascas cilíndricas, descrito a seguir.
Aplicações da integral14
Método das cascas cilíndricas 
Inicialmente, consideremos uma casca cilíndrica de raio interno ri, raio externo 
re e altura h, conforme indicado na Figura 12.
Figura 12. Representação gráfica dos raios inter-
nos e externos de uma casca cilíndrica de altura h.
Fonte: Adaptada de Stewart (2014).
r r i
r e
Δr
h
O volume V pode ser calculado pela diferença do volume do cilindro externo 
(V2) pelo volume do cilindro interno (V1) como:
Adotando ∆r = re – ri, ou seja, a espessura da casca cilíndrica e r = 
como raio médio da casca cilíndrica, conseguimos determinar uma fórmula 
para o volume de uma casca cilíndrica como: V = 2πrh∆r com a associação 
V = (circunferência) ∙ (altura) ∙ (espessura).
15Aplicações da integral
Dessa forma, considerando S o sólido determinado pela rotação em relação 
ao eixo y da região delimitada pela função y = w(x) em que w(x) ≥ 0, y = 0, 
x = a e x = b, e b > a ≥ 0, ilustramos o sólido S pela rotação do y e a região 
delimitada descrita anteriormente pela Figura 13. 
Figura 13. Representação gráfica da região delimitada pela função y = w(x) e a rotação 
em torno do eixo y.
Fonte: Adaptada de Stewart (2014).
x
y
a b0
y = w(x)
a b x
y
0
y = w(x)
Se aplicarmos os princípios do cálculo para integrais, podemos dividir o 
intervalo [a, b] em n subintervalos [xi–1, xi] com larguras iguais a com x—i sendo 
o ponto médio do enésimo subintervalo. Para o retângulo com altura w(x—i) 
e base [xi–1, xi] rotacionado em torno do eixo y, temos como resultado uma 
casca cilíndrica com raio médio x—i, altura x—i e espessura x—i; dessa forma, o 
volume é dado pela expressão Vi = (2π x—i) ∙ [w(x—i)] ∙ ∆x, conforme a Figura 14.
Figura 14. Representação gráfica da relação entre circunferência, altura e espessura do 
método das cascas cilíndricas para determinar o volume de um sólido de revolução por 
integrais.
Fonte: Adaptada de Stewart (2014).
x
y
a b0
y = w(x)
x–i
a b0 x
y
xi-1
xi
y = w(x)
x
y
a b0
y = w(x)
Aplicações da integral16
Após essa explanação, observamos que uma aproximação para o volume 
do sólido S é dada pela soma dos volumes das cascas cilíndricas, isto é:
Levando a quantidade de subintervalos ao infinito (n → ∞) para uma melhor 
aproximação e aplicando a associação com a definição de integrais, temos:
Com isso, podemos observar que o volume do sólido de revolução em 
torno do eixo y da região sobre a curva y = w(x) no intervalo fechado [a, b] é 
apresentado como:
Como lembrar o método de cascas cilíndricas para determinar volumes por 
integral
A melhor maneira de considerar os elementos do cálculo de volumes pelo método 
de cascas cilíndricas é associá-los como um produto entre a circunferência, a altura e 
a espessura, conforme esquema a seguir:
 
(2π ∙ x) w(x) dx
Circunferência Altura Espessura
Visualmente, podemos ilustrar esse esquema a partir da Figura 15.
17Aplicações da integral
Figura 15. Representação gráfica do esquema circunferência, altura e espessura do método 
das cascas cilíndricas para determinar o volume de um sólido de revolução em torno do 
eixo y por integrais.
Fonte: Adaptada de Stewart (2014).
2πx
w(x)
y
xx
x w(x)
Δx
Esse esquema é uma ferramenta importante para visualizar graficamente 
no plano cartesiano como a rotação será realizada em torno do eixo y.
Agora que apresentamos o método das cascas cilíndricas para calcular 
volumes utilizando de integrais, vamos aplicá-lo nos Exemplos 7 a 10.
Exemplo 7
Determine o volume do sólido de revolução encontrado pela rotação em torno do 
eixo y e delimitado pela região y = x² e y = x pelo método das cascas cilíndricas.
Solução: inicialmente, realizamos um esboço da casca cilíndrica plotada 
sobre o plano cartesiano, como mostra a Figura 16.
Ao observaro esboço da Figura 16, verificamos que a casca tem raio igual a 
x, a circunferência é 2πx e a altura consiste na subtração das duas funções que 
formam a região delimitada, isto é, x – x2. Dessa forma, o volume é dado por:
Aplicações da integral18
Figura 16. Representação gráfica do esquema circunferência, altura e espessura do 
método das cascas cilíndricas para determinar o volume de um sólido de revolução 
em torno do eixo y delimitado pela região y = x² e y = x.
Fonte: Adaptada de Stewart (2014).
0 x
x – x2 = altura casca cilíndrica
x
y = x
y = x2
Exemplo 8
Determine o volume do sólido de revolução encontrado pela rotação em torno 
do y e delimitado pela região y = 0 e y = 2x² – x³ pelo método das cascas 
cilíndricas.
Solução: inicialmente, esboçamos a casca cilíndrica plotada sobre o plano 
cartesiano, conforme a Figura 17.
Ao observar o esboço da Figura 17, verificamos que a casca tem raio igual 
a x, a circunferência é 2πx e a altura é dada pela função: w(x) = 2x2 – x3. Dessa 
forma, o volume é dado por:
19Aplicações da integral
Figura 17. Representação gráfica do esquema circunfe-
rência, altura e espessura do método das cascas cilíndricas 
para determinar o volume de um sólido de revolução em 
torno do eixo y delimitado pela região y = 2x2 – x3 e y = 0.
Fonte: Adaptada de Stewart (2014).
y
xx
x
2
w(x) = 2x2 – x3
O método das cascas cilíndricas também serve para determinar volumes 
a partir da rotação do eixo x — a ideia é esboçar o diagrama para a altura e 
o raio da casca cilíndrica.
Exemplo 9
Determine o volume do sólido de revolução encontrado pela rotação em torno do 
x e delimitado pela região y = de 0 até 1 pelo método das cascas cilíndricas.
Solução: primariamente, realizamos um esboço da casca cilíndrica plotada 
sobre o plano cartesiano colocando em função de x, quando temos a função 
x = y2, conforme mostra a Figura 18.
Aplicações da integral20
Figura 18. Representação gráfica do esquema circunfe-
rência, altura e espessura do método das cascas cilíndricas 
para determinar o volume de um sólido de revolução em 
torno do eixo x delimitado pela região de 0 até 1.
Fonte: Adaptada de Stewart (2014).
Ao observar o esboço da Figura 18, verificamos que a casca tem raio igual 
a y, a circunferência é 2πx e a altura é dada pela função: w(x) = 1 – y2. Dessa 
forma, o volume é dado por:
Exemplo 10
Determine o volume do sólido de revolução encontrado pela rotação em torno 
da reta x = 2 e delimitado pela região y = x – x2 e y = 0 pelo método das cascas 
cilíndricas.
21Aplicações da integral
Solução: inicialmente, esboçamos a casca cilíndrica plotada sobre o plano 
cartesiano colocando em função da reta x = 2, conforme Figura 19.
Figura 19. Representação gráfica do esquema circunferência, altura e espessura do método 
das cascas cilíndricas para determinar o volume de um sólido de revolução em torno da 
x = 2 delimitado pela região y = 2 – x2 e y = 0.
Fonte: Adaptada de Stewart (2014).
Ao observar o esboço da Figura 19, verificamos que a casca tem raio igual a 
2 – x, a circunferência é 2π(2 – x) e a altura é x – x2. Assim, o volume é dado por:
Com prática, é possível avaliar a relação raio, circunferência e altura pelo 
esboço da região que delimita o sólido de revolução em torno do eixo x, do 
eixo y ou da reta, a partir da aplicação do método das cascas cilíndricas. 
Sólidos de rotação: áreas
No vídeo do link a seguir, o Professor Alexandre Lymberopoulos, da USP, apresenta o 
cálculo de áreas por rotação de sólidos.
https://qrgo.page.link/ANU4d
Aplicações da integral22
A seguir, apresentaremos a integral como associação de uma taxa de va-
riação por meio do valor médio das funções à densidade, além das situações 
que também são produto dessa associação.
Associação da integral como uma taxa 
de variação
O teorema de variação total (TVT) se configura como umas das aplicações 
mais importantes da segunda parte do teorema fundamental do cálculo (TFC), 
o qual estabelece que se w for uma função contínua no intervalo fechado [a, b], 
por meio da relação: , em que W é qualquer antiderivada 
de w, ou seja, Wʹ= w, a equação do TFC parte 2 pode ser reescrita da seguinte 
forma: . Nesse sentido, Wʹ(x) se configura como uma 
taxa de variação de y = W(x) em relação a x e W(b) – W(a) corresponde à 
variação de y quando x muda de a para b.
Teorema da variação total
A integral de uma taxa de variação consiste na variação total:
Dessa forma, há várias situações-problemas em que a integral está associada 
a uma taxa de variação, como mostrado a seguir.
23Aplicações da integral
Taxa de escoamento de água
Se V(t) representar o volume de água em um reservatório no período t, então 
Vʹ(t) é sua derivada, isto é, a taxa segundo a qual a água escoa para dentro do 
reservatório no período t. Assim,
se apresenta como a variação na quantidade de água no reservatório entre os 
períodos t1e t2.
Taxa de concentração de uma substância em uma 
reação química 
Se [C](t) representar a concentração de uma substância em uma reação química 
no período t, então a taxa de reação é a derivada de . Assim,
se apresenta como a variação na concentração C entre os períodos t1e t2.
Densidade linear
Se a massa de uma barra é medida a partir do extremo esquerdo até um ponto 
k indicado pela função m(k), então a densidade linear ρ(k) = m'(k). Assim,
se apresenta como a massa do segmento da barra que entre k = a e k = b.
Aplicações da integral24
Crescimento populacional
Se a taxa de crescimento populacional é dn/dt, então
se apresenta como o crescimento populacional durante o período de t1a t2.
Custo de produção
Se C(p) é o custo de produção de p unidades de uma mercadoria, então o custo 
marginal consiste na sua derivada apresentada por Cʹ(p). Assim,
se apresenta como o crescimento do custo quando a produção está crescendo 
de p1 a p2 unidades.
Além dessas, há outras situações-problema aplicadas às Ciências Sociais 
e Naturais, discutidas em capítulos anteriores.
Valor médio de uma função como aplicação da integral
Para calcular o valor médio de uma quantidade determinada de números finita 
de uma sequência x1, x2, ..., xn, podemos encontrá-lo pela expressão:
Mas, se desejarmos encontrar a temperatura média ao longo do dia no 
qual teríamos infinitas leituras para a temperatura, consideraremos o cálculo 
mostrado a seguir. 
25Aplicações da integral
Para calcular o valor médio da função y = w(x), a ≤ x ≤ b, iniciamos a 
divisão do intervalo fechado [a, b] em n subintervalos de tamanhos iguais a 
∆x = (b – a)/n. Depois, escolhemos os pontos em subintervalos orde-
nados sucessivamente calculando a média desses números :
Reescrevendo ∆x em função do tempo, temos n = (b – a)/∆x; dessa forma, 
a média dos valores pode ser escrita como:
Na condição de n aumentando infinitamente, é possível calcular o valor 
médio de uma quantidade de valores espaçados de modo igual. Com isso, o 
valor-limite é dado pela expressão:
Associando a definição de integral definida, também definimos o valor 
médio de w no intervalo fechado [a, b] por:
Aplicações da integral26
Teorema do valor médio para integrais 
Se w for uma função contínua no intervalo fechado [a, b], então existe um número c 
nesse intervalo que
e, também,
Particularmente, o teorema do valor médio para as integrais é uma consequência 
do teorema do valor médio para derivadas e do teorema fundamental do cálculo.
Nos Exemplos 11 a 14, faremos a aplicação desse resultado.
Exemplo 11
Determine o valor médio da função w(x) = 1 + x² no intervalo [–1, 2].
Solução: aplicando na fórmula de valor médio para a = –1, b = 2 e 
w(x) = 1 + x², temos:
27Aplicações da integral
Exemplo 12 
Sabendo que w(x) = 1 + x² no intervalo [–1, 2], o teorema do valor médio para 
integrais nos diz que existe um número c nesse intervalo que satisfaz a condição:
Nessa situação específica, é possível determinar o valor de c. Já do Exemplo 
11, temos: wmed = 2. Com isso, podemos calcular o valor de c que satisfaz a 
condiçãow: (c) = wmed = 2. Dessa forma,
Nesse caso, existem dois números c = ±1 no intervalo [–1, 2] que validam 
o teorema do valor médio para integrais.
Exemplo 13
Demonstre que a velocidade média de uma moto em um intervalo de tempo 
[t1, t2] é igual à média de suas velocidades durante essa viagem.
Solução: sendo p(t) o deslocamento da moto no intervalo de tempo t, então, 
por definição, temos que a velocidade média da moto no intervalo apresentado é:
Em relação ao valor médio da função da velocidade no intervalo de tempo 
apresentado, temos:
A seguir, vamos apresentar a densidade linear como aplicação da integral.
Aplicações da integral28
Densidade como aplicação da integral
Considerando um bastão de comprimento L, podemos definir ρ como a den-
sidade linear desse bastão como uma unidade massa sobre comprimento. 
Na condição de ρ ser constante, a sua massa total é dada pelo produto da massa 
linear e o comprimento = L ∙ ρ. Agora, associando essa ideia a um bastão que 
se apresenta ao longo do eixo x delimitado a x = a e x = b, em que a densidade 
é percebida como a função y = ρ(x) contínua em todo eixo x, para determinar 
a massa total, subdividimos o bastão em n segmentos de comprimentos iguais 
a ∆x = (b – a)/n e temos:
onde Mi representa a massa do enésimo segmento. Se Mi se alongar até xi–1 
e xi e também ci ser um ponto de amostragem qualquer no intervalo [xi–1, xi], 
temos que Mi ≈ ρ(ci)∆x e a massa total com n segmentos indo ao infinito 
(n → ∞). Aplicando o limite associado à soma de Riemann, temos 
sendo a definição para a massa total de um bastão como a integral de sua 
densidade de massa linear.
Aplicaremos esse resultado no Exemplo 14.
Exemplo 14 
Determine a massa total de um bastão de 1 m com densidade linear ρ(x) = 
1 + 2x – 3x2 kg por m, sendo x a distância de uma das extremidades do bastão.
Solução: aplicando a fórmula da massa total para densidade linear, temos:
29Aplicações da integral
Em geral, a função da densidade é uma função de duas variáveis porque 
depende apenas da distância com relação à origem, mas como coordenadas 
ρ(x, y). Nesse sentido, a massa total ou densidade populacional é calculada 
a partir da ideia de integrais duplas, o conteúdo de cálculo para funções de 
várias variáveis.
Neste capítulo, percebemos que a integral apresenta diversas aplicações, 
sendo as principais o valor médio de funções, a densidade, o cálculo de áreas 
entre curvas e o cálculo de volumes. Percebemos que a integral também pode 
ser interpretada como uma taxa de variação, o que aumento o seu campo 
de aplicação para diversas ciências, como as naturais e sociais, conforme o 
contexto de interpretação e as condições básicas para a associação da relação.
Aplicações da integral definida
No vídeo do link a seguir, você pode assistir ao Professor Cláudio Possani, da Universi-
dade Virtual do Estado de São Paulo (Univesp), apresentando as principais aplicações 
da integral definida.
https://qrgo.page.link/umrrK
STEWART, J. Cálculo. 7. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2014. v. 1.
Leituras recomendadas
ADAMI, A. M.; DORNELLES FILHO, A. A.; LORANDI, M. M. Pré-cálculo. Porto Alegre: 
Bookman, 2015.
KOLMAN, B.; HILL, D. R. Introdução à álgebra linear com aplicações. 8. ed. Rio de Janeiro: 
LTC, 2006. 
MORETTIN, P. A. et al. Cálculo: função de uma e várias variáveis. 2. ed. São Paulo: Sa-
raiva, 2010.
SAFIER, F. Pré-cálculo. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2011. (Coleção Schaum).
Referência
Aplicações da integral30
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