TopicosCalculoVariacional

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARA´
FACULDADE DE MATEMA´TICA
To´picos do Ca´lculo Variacional
Cristina Lu´cia Dias Vaz
cvaz@ufpa.br
UFPA
Marc¸o - 2012
Suma´rio
Introduc¸a˜o 5
1 Ca´lculo diferencial em espac¸os normados 7
1.1 Espac¸os Normados . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Compacidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2 Espac¸o de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Conjuntos Ortonormais . . . . . . . . . . . . . . 16
Projec¸a˜o ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Base ortonormal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Teorema de Ritz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Convergeˆncia fraca . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Completamento de espac¸os com produto interno 34
1.3 Espac¸os de func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
O espac¸o C∞0 (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
O espac¸o Lp(a, b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Func¸o˜es localmente integra´veis . . . . . . . . . . 39
Quase sempre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2
CVaz To´picos do Ca´lculo Variacional 3
Os espac¸os H1,2(a, b) . . . . . . . . . . . . . . . . 41
O espac¸o H1,20 (a, b) . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Lema fundamental generalizado . . . . . . . . . 43
Caracterizac¸a˜o da derivada generalizada . . . . 45
1.4 Absolutamente cont´ınuas . . . . . . . . . . . . . 55
Os espac¸os Hm,p(Ω) e Hm,p0 (Ω) . . . . . . . . . . . 57
Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Operador Trac¸o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Desigualdade de Poincare´ . . . . . . . . . . . . . 64
1.5 Ca´lculo diferencial no Rn . . . . . . . . . . . . . 65
1.6 Derivada de um funcional . . . . . . . . . . . . . 70
n-e´sima variac¸a˜o de um funcional . . . . . . . . 73
Derivadas de Gaˆteaux e de Fre´chet . . . . . . . 76
Espac¸os das variac¸o˜es admiss´ıveis . . . . . . . . 77
Extremo Local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Condic¸o˜es necessa´rias para extremo local . . . 79
Condic¸a˜o suficiente para extremo local . . . . . 81
2 Problemas Variacionais Cla´ssicos 86
2.1 Problemas Variacionais em R . . . . . . . . . . . 86
Equac¸a˜o de Euler-Lagrange . . . . . . . . . . . . 86
CVaz To´picos do Ca´lculo Variacional 4
2.2 O problema da Braquisto´crona . . . . . . . . . . 93
2.3 Problemas Variacionais no Rn . . . . . . . . . . 95
Duas varia´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Equac¸a˜o de Euler-Lagrange . . . . . . . . . . . . 96
Va´rias varia´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
2.4 O princ´ıpio de Hamilton . . . . . . . . . . . . . 101
3 Me´todos Diretos 103
3.1 Sequ¨eˆncia minimizante . . . . . . . . . . . . . . 103
3.2 O princ´ıpio de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . 105
Existeˆncia do problema de Dirichlet . . . . . . 109
4 Ca´lculo variacional generalizado unidimensional 112
Refereˆncias Bibliogra´ficas 113
Introduc¸a˜o
Resolver um problema de otimizac¸a˜o significa, como o pro´prio nome diz, buscar
o melhor resultado, de acordo com algum crite´rio pre´-estabelecido. Na Matema´tica
os problemas de otimizac¸a˜o sa˜o representados por problemas de ma´ximos e mı´nimos
sendo frequentes os termos: lucro ma´ximo, custo mı´nimo, tempo mı´nimo, tamanho
o´timo e caminho mais curto. Uma a´rea da Matema´tica que trata de problemas de
otimizac¸a˜o e´ o Ca´lculo Variacional, que generaliza a teoria de ma´ximos e mı´nimos do
Ca´lculo Diferencial para func¸o˜es cujo domı´nio e´ um conjunto de curvas “admiss´ıveis”.
Pela lenda, a Rainha Dido de Cartago, foi aparentemente a primeira pessoa a
tratar brilhantemente um desses problemas. Foi prometido a Dido a extensa˜o de terra
que ela pudesse cercar com o couro de um boi. Ela preparou uma extensa correia com
o couro do boi e cercou um terreno semi-circular, beirando o Mar Mediterraˆneo. Essa
e´ a lenda´ria histo´ria da fundac¸a˜o de Cartago contada por Virgilio no livro Eneida.
Embora o Ca´lculo Variacional tenha seu in´ıcio na Gre´cia antiga, foi a partir do
se´culo XVII, na Europa Ocidental, que um progresso substancial foi feito. Em 1696
Isaac Newton (1642-1727) usou princ´ıpios variacionais para determinar a forma de
um corpo que se move no ar com menor resisteˆncia poss´ıvel.
Os irma˜os Jacob Bernoulli (1654-1705) e Jean Bernoulli (1667-1748) sa˜o frequente-
mente considerados os inventores do Ca´lculo Variacional. Jean por ter proposto, em
1696, o problema da braquisto´crona (encontrar a curva que minimiza o tempo de
queda de um corpo, entre dois pontos num plano vertical, liberado de um ponto ini-
cial e sujeito apenas a` forc¸a da gravidade) e Jacob por propor e discutir o problema
5
CVaz To´picos do Ca´lculo Variacional 6
das figuras isoperime´tricas (caminhos planos fechados de per´ımetro fixo que delimitam
uma a´rea ma´xima). O problema de Dido e´ um exemplo de problema isoperime´trico.
Pore´m, os matema´ticos Euler (1701-1783) e Lagrange (1736-1813) foram os cientistas
que desenvolveram de forma nota´vel o Ca´lculo Variacional.
As primeiras aplicac¸o˜es do Ca´lculo Variacional em Economia surgiram no final de
1920 e in´ıcio de 1930 com Roos, Evans, Hotelling e Ramsey. A Teoria do Controle
O´timo, desenvolvida na Ru´ssia por Pontryagin e seus colaboradores no final de 1950,
e´ uma generalizac¸a˜o do Ca´lculo Variacional com muitas aplicac¸o˜es.
Estas notas tem como objetivo tratar os principais to´picos de Ca´lculo Variacional.
Cristina Vaz
UFPA-2012
Cap´ıtulo 1
Ca´lculo diferencial em espac¸os
normados
1.1 Espac¸os Normados
No Ca´lculo variacional trabalhamos com funcionais definidos em espac¸os mais
gerais do que o espac¸o Rn, em geral, espac¸os de func¸o˜es. Estes espac¸os tem a estrutura
de espac¸os vetoriais normados. Nesta sec¸a˜o vamos tratar as principais propriedades
dos espac¸os normados.
Definic¸a˜o 1.1 Dizemos que espac¸o vetorial real X e´ um espac¸o “normado” se existe
uma func¸a˜o || · || : X → R, chamada “norma”, que satisfaz as seguintes propriedades:
∀u, v ∈ X e ∀α ∈ R
(i) ||u|| = 0⇔ u = 0
(ii) ||αu|| = |α| ||u||
(iii) ||u+ v|| ≤ ||u||+ ||v||.
Podemos definir no espac¸o normado X uma me´trica do seguinte modo: d(u, v) =
||u−v||. Portanto, um espac¸o normado e´ um espac¸o me´trico com a me´trica proveniente
da norma.
7
CVaz To´picos do Ca´lculo Variacional 8
Exemplo 1.1 O espac¸o Cm([a, b]) das func¸o˜es com derivada cont´ınuas ate´ a m, e´
um espac¸o normado com a norma
||u|| = max
a≤x≤b
{
|u(x)|, |u′(x)|, . . . , |u(m)(x)|
}
(1.1)
Exemplo 1.2 O espac¸o C([a, b]) das func¸o˜es cont´ınuas e´ um espac¸o normado com a
norma
||u||p =
(∫ b
a
|u(x)|p dx
)1/p
p ≥ 1. (1.2)
Prova: As duas primeiras propriedades (i) e (ii) sa˜o triviais e (iii) (desigualdade
triangular) e´ trivial para p = 1. Para p > 1 precisamos dos seguintes resultados:
Lema 1.1 (Desigualdade de Young) Se a, b ≥ 0, p, q > 1 e 1
p
+
1
q
= 1. Enta˜o
a b ≤ a
p
p
+
bq
q
Lema 1.2 (Desiguldade de Ho¨lder)
Se u ∈ (C([a, b]), || · ||p) e v ∈ (C([a, b]), || · ||q) com p, q > 1 e p−1 + q−1 = 1.
Enta˜o, u v ∈ (C([a, b]), || · ||1) e
||u v||1 ≤ ||u||p||v||q
Prova do Lema 1.2: Por simplicidade suponha ||u||p 6= 0 e ||v||q 6= 0. Enta˜o pelo
Lema 1.1 temos que
|u(x)| |v(x)|
‖u‖p ‖v‖q
≤ 1
p
|u(x)|p
‖u‖pp
+
1
q
|v(x)|q
‖v‖qq
(1.3)
O resultado e´ obtido integrando-se (1.3) em [a, b].
Lema 1.3 (Desiguldade de Minkowski) Se u, v ∈ (C([a, b]), || · ||p) enta˜o u+ v ∈
(C([a, b]), || · ||p) e ||u+ v||p ≤ ||u||p + ||g||p.
Prova do Lema 1.3: Note que
|u(x) + v(x)|p ≤
(
|u(x)|+ |v(x)|
)p
≤ 2p
(
|u(x)|p + |v(x)|p
)
, ∀x ∈ [a, b]
CVazTo´picos do Ca´lculo Variacional 9
Consequ¨entemente |u+ v| ∈ (C([a, b]), || · ||p). Ale´m disso,
|u(x) + v(x)|p ≤ |u(x) + v(x)|p−1 |u(x) + v(x)| ≤ |u(x) + v(x)|p−1(|u(x)|+ |v(x)|)
⇒ |u(x) + v(x)|p ≤ |u(x) + v(x)|p−1|u(x)|+ |u(x) + v(x)|p−1|v(x)|.
Logo,∫ b
a
|u(x) + v(x)|p dx ≤
∫ b
a
|u(x) + v(x)|p−1|u(x)| dx+
∫ b
a
|u(x) + v(x)|p−1|v(x)| dx
(1.4)
Note que para p−1 + q−1 = 1 temos que (p− 1) q = p o que implica
|u+ v|p−1 ∈ (C([a, b]), || · ||q).
Usando a desigualdade de Ho¨lder obtemos∫ b
a
|u(x)| |u(x) + v(x)|p−1 dx ≤
(∫ b
a
|u(x)|p dx
)1/p(∫ b
a
|u(x) + v(x)|q(p−1) dx
)1/q
∫ b
a
|v(x)| |u(x) + v(x)|p−1 dx ≤
(∫ b
a
|v(x)|p dx
)1/p(∫ b
a
|u(x) + v(x)|q(p−1) dx
)1/q
(1.5)
Combinando (1.4) e (1.5) tem-se∫ b
a
|u(x) + v(x)|p dx ≤
(∫ b
a
|u(x) + v(x)|p dx
)1/q(
‖u‖p + ‖v‖p
)
e prova do Lema esta´ completa.
Observac¸a˜o 1.1 Os resultados dos Lemas (1.2) e (1.3) continuam va´lidos para
(C(Ω), || · ||p) com Ω um aberto limitado do Rn com ∂Ω suficientemente regular.
Definic¸a˜o 1.2 (Convergeˆncia forte) Seja X um espac¸o normado. Dizemos que a
sequ¨eˆncia (xn) de elementos de X converge para x ∈ X se
lim
n→∞
||xn − x|| = 0⇔ ∀� > 0,∃n0 ; ||xn − x|| < �, ∀n ≥ n0. (1.6)
Usaremos a notac¸a˜o xn → x para indicar a convergeˆncia (1.6).
Note que (||xn − x||) e´ uma sequ¨eˆncia nume´rica e logo o limite (1.6) e´ um limite
nu´merico, ou seja, convergeˆncia em espac¸os com produto interno (ou normados ou
me´tricos) nada mais e´ do que convergeˆncia nume´rica.
CVaz To´picos do Ca´lculo Variacional 10
Definic¸a˜o 1.3 (Sequ¨eˆncia de Cauchy) Seja X um espac¸o normado. Uma sequ¨eˆncia
(xn) de elementos de X e´ chamada sequ¨eˆncia de Cauchy se
lim
n,m→∞
||xn − xm|| = 0⇔ ∀� > 0, ∃n0 ; n,m ≥ n0 ⇒ ||xn − xm|| < �.
Note que, existem sequ¨eˆncias divergentes que sa˜o sequ¨eˆncias de Cauchy. Por
exemplo, a sequ¨eˆncia xn =
1
n
e´ uma sequ¨eˆncia de Cauchy que na˜o converge em
X = (0, 1].
Definic¸a˜o 1.4 (Espac¸o de Banach) Um espac¸o X normado e´ chamado “espac¸o de
Banach” se, e somente se e´ um espac¸o completo, ou seja, toda sequ¨eˆncia de Cauchy
de elementos de X converge para um elemento de X.
Definic¸a˜o 1.5 (Fecho) Seja X um espac¸o normado. Um elemento x0 dce X e´
chamado “ponto de acumulac¸a˜o” de um subconjunto M de X se toda vizinhanc¸a
V (x0, �) = {x ∈ X ; ||x− x0|| < �} conte´m pelo menos um elemento de M distinto de
x0. O conjunto dos pontos de M e os pontos de acumulac¸a˜o de M e´ chamado “fecho”
de M e e´ representado por M .
Definic¸a˜o 1.6 (Denso) Seja X um espac¸o normado. Um conjunto M e´ “denso”
em X se ∀ � > 0 e ∀x ∈ X, existe um elemento x¯ ∈M tal que
||x¯− x|| < �.
Equivalentemnte, existe uma sequ¨eˆncia (x¯n) em M tal que
lim
n→∞
x¯n = x⇒ ∀� > 0,∃n0 ; n ≥ n0 ⇒ ||x¯n − x| < �.
Em outras palavras, M e´ “denso” em X se M = X, com M o fecho de M .
Definic¸a˜o 1.7 (Separa´vel) Seja X um espac¸o normado. Dizemos que o espac¸o X
e´ “separa´vel” se X conte´m um subconjunto denso e enumera´vel.
Proposic¸a˜o 1.1 Sejam X um espac¸o normado, M 6= ∅ um subconjunto de X e M o
seu fecho. Enta˜o, x ∈ M se, e somente, se existe uma sequ¨eˆncia (x¯n) em M tal que
x¯n → x.
CVaz To´picos do Ca´lculo Variacional 11
Operadores
Definic¸a˜o 1.8 Sejam X e Y espac¸os normados. Dizemos que F e´ um operador de X
em Y se F e´ uma aplicac¸a˜o que a cada elemento x ∈ X associa um e so´ um elemento
y ∈ Y .
A representac¸a˜o usual de um operador e´ a expressa˜o F : X → Y com F (x) = y.
O conjunto X e´ chamado “domı´nio” do operador F e tambe´m e´ representado por
D(F ). Quando Y = R chamamos F : X → R de “funcional”.
Definic¸a˜o 1.9 Sejam X e Y espac¸os normados e F : X → Y um operador.
(a) Limitado: Dizemos que F e´ “limitado” se ∀x ∈ X existe uma constante
C > 0 tal que
||F (x)||| ≤ C||x||. (1.7)
(b) Cont´ınuo: Dizemos que F e´ “cont´ınuo” em x0 ∈ X se para x ∈ X e
� > 0,∃ δ = δ(x0, �) > 0 tal que
||x− x0|| < δ ⇒ ||F (x)− F (x0)|| < �. (1.8)
Se δ = δ(�) dizemos que F e´ “uniformemente cont´ınuo”. Dizemos que T e´
cont´ınuo se e´ cont´ınuo em todo elemento de X.
(c) Sequencialmente cont´ınuo: Dizemos que F e´ “sequencialmente cont´ınuo”
em x0 ∈ X se xn → x0 implica F (xn)→ F (x0) ou equivalentemente
lim
n→∞
||xn − x0|| = 0⇒ lim
n→∞
||F (xn)− F (x0)|| = 0.
(d) Lipschitz: Dizemos que operador F e´ “Lipschitz” se ∀x1, x2 ∈ X existe uma
constante k > 0 tal que
||F (x1)− F (x2)|| ≤ k ||x1 − x2||. (1.9)
A constante k e´ chamada “constante de Lipschitz”.
CVaz To´picos do Ca´lculo Variacional 12
Podemos provar (veja, por exemplo, [19, p.27]) que “cont´ınuo” e “sequencialmente
cont´ınuo” sa˜o equivalentes
Proposic¸a˜o 1.2 Sejam X, Y espac¸os normados, F : X → Y um operador e x0 ∈ X.
F e´ cont´ınuo em x0 se, e somente se, xn → x0 implica F (xn)→ F (x0).
Definic¸a˜o 1.10 Sejam X um espac¸o normado, M ⊂ X um conjunto convexo. Dize-
mos que o funcional F : X → R e´ “convexo” em M se para x1, x2 ∈ M e t ∈ [0, 1]
temos
F (tx1 + (1− t)x2) ≤ tF (x1) + (1− t)F (x2).
Um funcional e´ “estritamente convexo” em M se para x1, x2 ∈ M , x1 6= x2 e
t ∈ (0, 1) tem-se
F (tx1 + (1− t)x2) ≤ tF (x1) + (1− t)F (x2).
Compacidade
Definic¸a˜o 1.11 Seja X um espac¸o normado e M ⊂ X.
(i) Dizemos que M e´ “sequencial relativamente compacto” se, e somente se, cada
sequ¨eˆncia (xn) ∈ M tem uma subsequ¨eˆncia (xnk) convergente (na˜o necessariamente
em M).
(ii) Dizemos que M e´ “sequencialmente compacto” se, e somente se, cada sequ¨eˆncia
(xn) ∈M tem uma subsequ¨eˆncia (xnk) convergente em M .
(iii) Dizemos que M e´ “limitado” se, e somente se, existe r ∈ R+∗ tal que ||x|| ≤ r,
∀x ∈M .
Observac¸a˜o 1.2 Por simplicidade vamos abreviar a terminologia e usar “relativa-
mente compacto” e “compacto” em vez de “sequencialmente relativamente compacto”
e “sequencialmente compacto”, respectivamente.
CVaz To´picos do Ca´lculo Variacional 13
Proposic¸a˜o 1.3 (i) Um subconjunto M de um espac¸o normado X e´ compacto se, e
somente se, e´ relativamente compacto e fechado.
(ii) Todo conjunto relativamente compacto e´ limitado.
Exemplo 1.3 Sejam
(
R, | · |
)
e M ⊂ R. M e´ relativamente compacto se, e somente
se, e´ limitado.
Prova: Se M e´ limitado e (xn) ⊂ M enta˜o pelo Teorema de Bolzano-Weierstrass
cla´ssico existe uma subsequ¨eˆncia (xnk) convergente. Reciprocamente, se M e´ relati-
vamente compacto enta˜o pela Proposic¸a˜o 1.3(ii) M e´ limitado.
A prova do seguinte resultado de compacidade em C([a, b]) pode ser encontrada
em [19]:
Teorema 1.1 (Teorema de Arzela`-Ascoli) Seja C([a, b]) com a norma ||u|| =
max
a≤x≤b
|u(x)|. Se M ⊂ C([a, b]) tal que
(i) M e´ limitado;
(ii) M e´ equicont´ınuo ⇔ ∀ � > 0, ∃ δ > 0 ; ∀u ∈M
||x− y|| < δ ⇒ ||u(x)− u(y)|| < �.
Enta˜o, M e´ um subconjunto relativamente compacto de C([a, b]).
Teorema 1.2 (Teorema de Weierstrass) Sejam X um espac¸o normado, M 6= ∅
um subconjunto de X e u : M → R. Se M e´ compacto e u(x) cont´ınua enta˜o u(x)
tem ma´ximo e mı´nimo em M .
Prova: Sejam ρ = inf
x∈M
u(x) e A = {u(x) ; x ∈ M}. Enta˜o −∞ ≤ ρ < ∞ e se A
e´ limitado inferiormente temos ρ > −∞, e se A na˜o e´ limitado inferiormente temos
ρ = −∞. Se definic¸a˜o de ρ existe uma sequ¨eˆncia (xn) em M tal que u(xn)→ ρ. Como
M e´ compacto existe uma subsequ¨eˆncia (xk) convergente, isto e´, xk → x0. Mas, u(x)
e´ cont´ınua e, logo,
u(xk)→ u(x0)
CVaz To´picos do Ca´lculo Variacional 14
e pela unicidade do limite tem-se ρ = u(x0). Consequ¨entenete, ρ > −∞ e u(x0) =
inf
x∈M
u(x), ou seja, u tem um ponto de mı´nimo em M .
Substituindo u por −u obtemos podemos o mesmo resultado para o ponto de
ma´ximo.
Observe que o Teorema de de Weierstrass e´ um teorema de existeˆncia para o
problema de minimizac¸a˜o: encontra o mı´nimo do funcionalcont´ınuo F : M → R no
subconjunto compacto M do espac¸o normado X.
Infelizmente, este resultado de existeˆncia na˜o se aplica em muitos problemas do
Ca´lculo Variacional devido ao seguinte fato importante:
Em espac¸os de Banach de dimensa˜o infinita, bolas fechada na˜o sa˜o compactas.
Para contornar esta dificuldade propriedades adicionais devem ser exigidas ao
funcional, tais como: convergeˆncia fraca, funcional fracamente convergente, funcional
convexo, coercividade, entre outras.
1.2 Espac¸o de Hilbert
Em va´rias aplicac¸o˜es usamos espac¸os com estrutura geome´trica e propriedades
mais interessantes, chamados “espac¸os de Hilbert”. No que segue vamos definir estes
espac¸os e algumas de suas principais propriedades.
Definic¸a˜o 1.12 Seja X um espac¸o vetorial real. Um “produto interno” sobre X e´
a func¸a˜o < , >: X → R que, para todo u, v, w ∈ X e α ∈ R, satisfaz as seguintes
propriedades:
(i) < u, v >= 0⇔ u = v.
(ii) < u, v >=< u, v >.
(iii) < αu, v >= α < u, v >.
(iv) < u+ v, w >=< u,w > + < v,w >.
Agora, destacaremos algumas propriedades dos espac¸os com produto interno.
CVaz To´picos do Ca´lculo Variacional 15
Proposic¸a˜o 1.4 (Desigualdade de Cauchy-Schwarz) Se X e´ um espac¸o com pro-
duto interno, α ∈ R e u, v ∈ X enta˜o
| < u, v > | ≤ √< u, u >√< v, v >. (1.10)
e a igualdade vale se, e somente se, u = αv (isto e´, quando u e v sa˜o linearmente
dependentes).
Proposic¸a˜o 1.5 Seja X um espac¸o com produto interno < , >. A norma sobre X e´
dada por
||u|| = √< u, u > (1.11)
Prova: As propriedades ||u|| = 0 ⇔ u = 0 e ||αu|| = |α|||u|| sa˜o consequ¨eˆncias
imediatas da definic¸a˜o de produto interno. Provaremos a desigualdade triangular
usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz. Deste modo,
||u+ v||2 =< u+ v, u+ v >= ||u||2 + 2 < u, v > +||v||2
≤ ||u||2 + 2| < u, v > |+ ||v||2
≤ ||u||2 + 2||u|| ||v||+ ||v||2
≤ (||u||+ ||v||)2
Portanto, ||u+ v|| ≤ ||u| ||v||.
Observac¸a˜o 1.3 Observe que um espac¸o com produto interno e´ um espac¸o normado
com uma norma proveniente do produto interno. Logo, podemos definir uma me´trica
proveniente da norma dada por d(u, v) = ||u − v|| = √< u− v, u− v >. Portanto
todo espac¸o com produto interno e´ um espac¸o normado e logo um espac¸ao me´trico.
Exemplo 1.4 Podemos definir no espac¸o das func¸o˜es cont´ınuas C([a, b]) o seguinte
produto interno
< u, v >=
∫ b
a
u(x) v(x) dx (1.12)
CVaz To´picos do Ca´lculo Variacional 16
com a norma associada
||u||0 =
(∫ b
a
|u(x)|2 dx
)1/2
. (1.13)
Exemplo 1.5 Podemos definir no espac¸o das func¸o˜es cont´ınuas C1([a, b]) o seguinte
produto interno
< u, v >=
∫ b
a
(u(x) v(x) + u′(x) + v′(x)) dx (1.14)
com a norma associada
||u||1 =
(∫ b
a
|u(x)|2 + |u′(x)|2 dx
)1/2
. (1.15)
Definic¸a˜o 1.13 (Espac¸o de Hilbert) Um espac¸o X com produto interno < , > e´
chamado “espac¸o de Hilbert” se e´ um espac¸o completo com a norma || · || = √< , >.
Representaremos um espac¸o de Hilbert por H.
Conjuntos Ortonormais
Definic¸a˜o 1.14 Seja X um espac¸o com produto interno < , >. Dizemos que os
elementos x e y de X sa˜o “ortogonais” se < x, y >= 0. Um conjunto B ⊂ X e´
um “conjunto ortogonal” se quaisquer dois elementos distintos de B sa˜o ortogonais.
Um conjunto B ⊂ X e´ um “conjunto ortonormal” se e´ um conjunto ortogonal tal
que ||x|| = 1 para todo x ∈ B.
Proposic¸a˜o 1.6 Seja X um espac¸o com produto interno < , > e z ∈ X. O funcional
F : X → R defindo por F (x) =< x, z > e´ cont´ınuo.
Prova: Se z = 0 (0 elemento nulo de X) enta˜o F e´ constante e logo cont´ınuo. Suponha
z 6= 0 e seja � > 0. Tomando δ = �/||z|| observe que
|F (x1)− F (x2)| = | < x1, z > − < x2, z > | = | < x1 − x2, z > .
Pela desigualdade de Schwartz tem-se
|F (x1)− F (x2)| ≤ ||x1 − x2|| ||z||.
Assim, ||x1 − x2|| < δ ⇒ |F (x1)− F (x2)| < δ||z|| = �.
CVaz To´picos do Ca´lculo Variacional 17
Exemplo 1.6 Considere as func¸o˜es
φ0 =
1√
2pi
, φ2n−1 =
cos(nx)√
pi
, φ2n =
sen(nx)√
pi
.
para x ∈ R e n = 1, 2, . . .. Enta˜o o conjunto {φ0, φ1, . . .} e´ um conjunto ortonormal
do espac¸o C([0, 2pi]) com produto interno (1.14).
Soluc¸a˜o: De fato,
||φ0||20 =
∫ 2pi
0
(
1√
2pi
)2
dx = 1,
||φ2n−1||20 =
∫ 2pi
0
cos2(nx)
pi
dx =
nx+ sen(nx) cos(nx)
2npi
∣∣∣2pi
0
= 1,
||φ2n||20 =
∫ 2pi
0
sen2(nx)
pi
dx =
nx+ sen(nx) cos(nx)
2npi
∣∣∣2pi
0
= 1,
< φ0, φ2n−1 > =
∫ 2pi
0
cos(nx)√
2pi
dx =
sen(nx)
n
√
2pi
∣∣∣2pi
0
= 0,
para n = m,
< φ2n−1, φ2m > =
∫ 2pi
0
cos(nx)sen(nx)
pi
dx = −cos(2nx)
4npi
∣∣∣2pi
0
= 0,
para n 6= m,
< φ2n−1, φ2m > =
∫ 2pi
0
cos(nx)sen(mx)
pi
dx
= − 1
2pi
{
cos((m+ n)x)
m+ n
− cos((m− n)x)
m− n
}2pi
0
= 0.
Analogamente para n 6= m temos
< φ2n−1, φ2m−1 >= 0 =< φ2n, φ2m > .
Proposic¸a˜o 1.7 Sejam {x1, x2, . . . , xn} um conjunto ortonormal do espac¸o com pro-
duto interno X e x ∈ X. Suponha que existam escalares c1, c2, . . . , cn tais que
x =
n∑
k=1
ckxk
enta˜o ck =< x, xk > para k = 1, 2, . . . , n.
CVaz To´picos do Ca´lculo Variacional 18
Prova: De fato, usando as propriedades do produto interno temos
< x, xk >=
〈
n∑
j=1
cjxj, xk
〉
=
n∑
j=1
cj < xj, xk > .
Mas < xj, xk >= 0 se j 6= k e < xj, xk >= 1 se j = k e logo
< x, xk >=
n∑
j=1
cj < xj, xk >= ck.
A Proposic¸a˜o 1.7 estabelece que se um elemento x de um espac¸o com produto in-
ternoX e´ uma combinac¸a˜o linear dos membros de um conjunto ortonormal {x1, x2, . . . , xn}
de X enta˜o esta combinac¸a˜o e´ u´nica e e´ dada por
x =
n∑
k=1
< x, xk > xk.
Seja {x1, x2, . . . , xn, . . .} um conjunto ortonormal enumera´vel do espac¸o com pro-
duto interno X e x ∈ X. Motivados pela Proposic¸a˜o 1.7, podemos forma a se´rie
infinita ∞∑
n=1
< x, xn > xn
e perguntar quando esta se´rie converge para x, ou seja, quando
x =
∞∑
n=1
< x, xn > xn.
Esta e´ a pergunta central da Teoria da Se´rie de Fourier.
Definic¸a˜o 1.15 Seja X = {x1, x2, . . . , xn, . . .} um conjunto ortonormal enumera´vel
do espac¸o com produto interno X e x ∈ X. A se´rie infinita
∞∑
n=1
< x, xn > xn
e´ chamada “se´rie de Fourier” de x (com relac¸a˜o ao conjunto X ). O coeficiente
< x, xn > e´ chamado o n-e´simo “coeficiente de Fourier” de x (com relac¸a˜o ao con-
junto X ).
CVaz To´picos do Ca´lculo Variacional 19
Exemplo 1.7 Considere o conjunto X ortonormal enumera´vel do espac¸o C([0, 2pi])
dado no exemplo 1.6. Enta˜o a se´rie de Fourier de uma func¸a˜o f ∈ C2([0, 2pi]), com
relac¸a˜o a X , e´ dada por
∞∑
n=1
< f, φn > φn(x) =
1√
2pi
∫ 2pi
0
f(s)√
2pi
ds+
∞∑
n=1
(
cos(nx)√
pi
∫ 2pi
0
f(s)
cos(ns)√
pi
ds +
sen(nx)√
pi
∫ 2pi
0
f(s)
sen(ns)√
pi
ds
)
.
Fazendo
an =
1
pi
∫ 2pi
0
f(s) cos(ns) ds n = 0, 1, . . .
bn =
1
pi
∫ 2pi
0
f(s)sen(ns) ds n = 1, 2, . . .
a se´rie de Fourier de f torna-se
a0
2
+
∞∑
n=1
(an cos(nx) + bnsen(nx)).
Para respondermos a pergunta sobre a convergeˆncia da se´rie de Fourier devemos
dizer claramente o significado de convergeˆncia de se´ries em espac¸os normados. Em
particular, em espac¸os com produto interno cuja norma e´ dada por || · || = √< , >.
Definic¸a˜o 1.16 Seja X um espac¸o com produto interno < , >. Dizemos que a se´rie
de Fourier de x converge para x se ∀� > 0 existe um nu´mero n0 ∈ N tal que
n ≥ n0 ⇒
∥∥∥∥∥x−
n∑
k=1
< x, xk > xk
∥∥∥∥∥ < �.
(sn) =
(
n∑
k=1
< x, xk > xk
)
e´ chamada “sequ¨eˆncia da somas parciais” da se´rie de
Fourier.
Proposic¸a˜o 1.8 Seja X um espac¸o com produto interno < , > e z ∈ X. Suponha
que a se´rie
∞∑
n=1
xn converge para x ∈ X. Enta˜o,
< x, z >=
〈 ∞∑
n=1
xn, z
〉
=
∞∑
n=1
< xn, z> .
CVaz To´picos do Ca´lculo Variacional 20
Prova: Consider a sequ¨eˆncia das somas parciais (sn) =
(
n∑
k=1
yk
)
. Enta˜o, por
hipo´tese, sn → x. Como o produto interno e´ cont´ınuo e, logo, sequencialmente
cont´ınuo (veja Proposic¸o˜es 1.2 e 1.6) temos que
T (sn) =< sn, z >→ T (x) =< x, z > .
Mas,
lim
n→∞
T (sn) = lim
n→∞
〈
n∑
k=1
xn, z
〉
= lim
n→∞
n∑
k=1
< xn, z >=
∞∑
k=1
< xn, z >,
T (x) =< x, z >=
〈 ∞∑
k=1
xn, z
〉
.
Proposic¸a˜o 1.9 Seja X = {x1, x2, . . . , xn, . . .} um conjunto ortonormal do espac¸o
com produto interno X e x ∈ X. Se, para cn ∈ R e n = 1, 2, . . . temos
x =
∞∑
n=1
cnxn
enta˜o cn =< x, xn >, n = 1, 2, . . ..
Prova: Pela Proposic¸a˜o 1.8 e por X ser um conjunto ortonormal temos que
< x, xn >=
〈 ∞∑
j=1
cjxj, xn
〉
=
∞∑
n=1
cj < xj, xn >= cn
A Proposic¸a˜o 1.9 estabelece que se temos x =
∞∑
n=1
cnxn enta˜o o escalar cn e´ o
n-e´simo coeficiente de Fourier de x.
Os pro´ximos resultados mostrara˜o que a melhor aproximac¸a˜o de x da forma
n∑
k=1
ckxk e´ dada quando ck e´ o k-e´simo coeficiente de Fourier de x.
Lema 1.4 Seja X = {x1, x2, . . . , xn, . . .} um conjunto ortonormal do espac¸o com
produto interno X e x ∈ X. Se c1, c2, . . . , cn sa˜o escalares e
y =
n∑
k=1
ckxk
enta˜o ||x− y||2 = ||x||2 −
n∑
k=1
(< x, xk >)
2 +
n∑
k=1
(< x, xk, > −ck)2.
CVaz To´picos do Ca´lculo Variacional 21
Soluc¸a˜o: E´ consequ¨eˆncias direta dos ca´lculos.
Proposic¸a˜o 1.10 Seja X = {x1, x2, . . . , xn, . . .} um conjunto ortonormal do espac¸o
com produto interno X e x ∈ X. Se c1, c2, . . . , cn sa˜o escalares e
yn =
n∑
k=1
ckxk, zn =
n∑
k=1
< x, xk > xk
enta˜o
||x− zn|| ≤ ||x− yn||. (1.16)
Soluc¸a˜o: Tomando ck =< x, xk >, k = 1, 2, . . . , n no Lema 1.4 temos
||x− zn||2 = ||x||2 −
n∑
k=1
(< x, xk >)
2.
Novamente pelo Lema 1.4 tem-se
||x− yn||2 = ||x||2 −
n∑
k=1
(< x, xk >)
2 +
n∑
k=1
(< x, xk, > −ck)2.
Portanto,
||x− yn||2 = ||x− zn||2 +
n∑
k=1
(< x, xk, > −ck)2.
Como
n∑
k=1
(< x, xk, > −ck)2 ≥ 0, o resultado segue.
Temos a seguinte consequ¨eˆncia da desigualdade (1.16):
Teorema 1.3 (Desigualdade de Bessel) Seja X = {x1, x2, . . . , xn, . . .} um con-
junto ortonormal do espac¸o com produto interno X e x ∈ X. Enta˜o a se´rie
∞∑
n=1
(< x, xn >)
2
converge e
∞∑
n=1
(< x, xn >)
2 ≤ ||x||2.
CVaz To´picos do Ca´lculo Variacional 22
Prova: Tomando ck =< x, xk >, k = 1, 2, . . . , n no Lema 1.4 temos
||x||2 −
n∑
k=1
(< x, xk >)
2 = ||x− y||2 ≥ 0.
Portanto, para todo n tem-se
∞∑
n=1
(< x, xn >)
2 ≤ ||x||2,
e o resultado segue.
Corola´rio 1.1 Seja X = {x1, x2, . . . , xn, . . .} um conjunto ortonormal do espac¸o com
produto interno X e x ∈ X. Enta˜o,
lim
n→∞
< x, xn >= 0.
Prova: O resultado e´ uma consequ¨eˆncia do Teorema 1.3 e da continuidade do
produto interno.
Processo de ortonormalizac¸a˜o de Gram-Schmidt
Seja {v1, v2, . . . , vn} um conjunto linearmente independente do espac¸o com pro-
duto interno X. Considere x1 =
v1
||v1|| . Se os elementos ortonormais {x1, x2, . . . , xk}
(k < n) sa˜o constru´ıdos tais que
[{v1, v2, . . . , vk}] = [{x1, x2, . . . , xk}]
enta˜o podemos definir
yk+1 = vk+1 −
k∑
j=1
< vk+1, xj > xj, xk+1 =
yk+1
||yk+1|| .
Observe que
< xj, xk+1 >= 0, j = 1, 2, . . . , k, ||xk+1|| = 1.
e
[{v1, v2, . . . , vk+1}] = [{x1, x2, . . . , xk+1}].
CVaz To´picos do Ca´lculo Variacional 23
Este procedimento e´ chamado ortonomalizac¸a˜o de Gram-Schmidt.
Para v ∈ Vn = [{v1, v2, . . . , vn}] temos que v =
n∑
k=1
αkxk. Tomando o produto
interno com xj obtemos
< v, xj >=
n∑
k=1
αk < xk, xj >= αj.
Supondo que X 6= Vn, vamos buscar uma aproximac¸a˜o de x ∈ X\Vn do tipo
v =
n∑
k=1
αkxk. Enta˜o,
||x− v||2 =
〈
x−
n∑
k=1
αkxk, x−
n∑
k=1
αkxk
〉
= ||x||2 − 2
n∑
k=1
αk < y, xk > +
n∑
k=1
|αk|2
= ||x||2 +
n∑
k=1
|αk− < x, xk > |2 −
n∑
k=1
| < x, xk > |2
≥ ||x||2 −
n∑
k=1
| < x, xk > |2 =
∥∥∥∥∥x−
n∑
k=1
< x, xk > xk
∥∥∥∥∥
2
,
ou seja,
||x− v|| ≥
∥∥∥∥∥x−
n∑
k=1
< x, xk > xk
∥∥∥∥∥ . (1.17)
Portanto, a melhor aproximac¸a˜o de x ∈ X por um elemento de Vn e´
n∑
k=1
< x, xk > xk.
Projec¸a˜o ortogonal
Seja X um espac¸o vetorial. Um operador linear P : X → X e´ chamado operador
projec¸a˜o se
P 2 = P ⇔ P (P (x)) = P (x), ∀x ∈ X.
Sejam N(P ) = {x ∈ X ; P (x) = 0}, o nu´cleo de P , e ImP = {y ∈ X ; P (x) =
y para algum x ∈ X}, o conjunto imagem de P . O seguinte resultado caracteriza a
imagem e o nu´cleo de um operador projec¸a˜o:
CVaz To´picos do Ca´lculo Variacional 24
Teorema 1.4 Sejam X um espac¸o vetorial e P : X → X um operador projec¸a˜o.
Enta˜o, ImP∩N(P ) = {0}, ou seja, todo elemento de X tem uma u´nica representac¸a˜o
x = y + z para algum y ∈ ImP e algum z ∈ N(P ), isto e´, X = ImP ⊕N(P ).
Para X um espac¸o com produto interno. O operador projec¸a˜o P : X → X e´
chamado projec¸a˜o ortogonal se
ImP ⊥N(P ), isto e´, < y, z >= 0, y ∈ ImP, z,∈ N(P ).
Proposic¸a˜o 1.11 X um espac¸o com produto interno. O operador projec¸a˜o ortogonal
P : X → X e´ cont´ınuo.
Prova: Pelo Teorema 1.4 qualquer x ∈ X e´ da forma x = y + z com y ∈ ImP
e z ∈ N(P ). Ale´m disso, < y, z >= 0, pois P e´ um operador projec¸a˜o. Assim,
||x||2 =< y + z, y + z >= ||y||2 + 2 < y, z > +||z||2 = ||y||2 + ||z||2. Mas, P (x) = y, e
portanto, ||P (x)||2 = ||y||2 ≤ ||x||2. Logo, P e´ limitado, ou seja, cont´ınuo.
O seguinte resultado garante que, dado o subespac¸o V de um espac¸o de Hilbert
H podemos definir um operador projec¸a˜o ortogonal P tal que ImP = V .
Teorema 1.5 Sejam H um espac¸o de Hilbert e V um subespac¸o de H. Enta˜o, existe
um u´nico operador projec¸a˜o ortogonal P : H → H tal que ImP = V .
Observac¸a˜o 1.4 Podemos mostrar que se P e´ a projec¸a˜o ortogonal do espac¸o com
produto interno X, enta˜o N(P ) = ImP⊥ e ImP = N(p)⊥. Enta˜o combinando os
Teoremas 1.4 e 1.5 temos que H = ImP ⊕N(P ) = V ⊕ V ⊥.
Teorema 1.6 Sejam H um espac¸o de Hilbert e V um subespac¸o de H. Se P : H → V
e´ a projec¸a˜o ortogonal, enta˜o para qualquer h ∈ H tem-se
||h− P (h)|| ≤ ||h− v||, ∀v ∈ V,
ou seja, ||h− P (h)|| = inf
v∈V
||h− v||.
CVaz To´picos do Ca´lculo Variacional 25
Prova: Como H = V ⊕ V ⊥ tem-se h = P (h) + v e logo, < h− P (h), P (h)− v >= 0
para todo v ∈ V, pois P (h)− v ∈ V . Assim,
||h− v||2 = ||h− P (h) + P (h)− v||2
= < h− P (h), P (h)− v >
= ||h− P (h)||2 + 2 < h− P (h), P (h)− v > +||P (h)− v||2
= ||h− P (h)||2 + ||P (h)− v||2
≥ ||h− P (h)||2,
e o resultado segue.
Considere {x1, x2, . . . , xn, . . .} um subconjunto ortonormal do espac¸o de Hilbert
H e seja Vn o subespac¸o de H gerado pelos n primeiros elementos x1, x2, . . . , xn, ou
seja,
Vn = {x ∈ H ; x =
n∑
k=1
αkxk, αk ∈ R}.
Observac¸a˜o 1.5 Observe que, como Vn e´ um subespac¸o de dimensa˜o finita de H e
H e´ completo enta˜o Vn e´ completo.
Pelo Teorema 1.5 existe um u´nico operador projec¸a˜o (sobrejetor) de H em Vn. O
seguinte resultado e´ uma caracterizac¸a˜o desta projec¸a˜o ortogonal:
Teorema 1.7 Sejam H um espac¸o de Hilbert e {x1, x2, . . . , xn, . . .} um subconjunto
ortonormal de H. Se Vn = [{x1, x2, . . . , xn}], enta˜o o operador projec¸a˜o ortogonal
P : H → Vn e´ dado por
P (h) =
n∑
k=1
< h, xk > xk.
Prova: P e´ claramente linear. Agora, considere
P 2(h) = P (P (h)) = P
(
n∑
k=1
< h, xk > xk
)
=
n∑
k=1
< h, xk > P (xk)
=
n∑
k=1
< h, xk >
(
n∑
j=1
< xk, xj > xj
)
=
n∑
k=1
< h, xk > xk = P (h).
CVaz To´picos do Ca´lculo Variacional 26
Logo, P e´ uma projec¸a˜o.
Obviamente ImP ⊂ Vn e devemos provar que Vn ⊂ ImP . Para isto, seja v ∈ V
enta˜o v =
n∑
k=1
αkxk e, portanto P (v)= v. Logo, v ∈ ImP . Assim, ImP = Vn.
Resta provarmos que P e´ uma projec¸a˜o ortogonal. Para isto, sejam z ∈ N(P ) e
v ∈ ImP = Vn enta˜o P (v) = v e
< z, v >=< z, P (v) > =
(
z,
n∑
k=1
< v, xk > xk
)
=
n∑
k=1
< v, xk >< z, xk >
=
(
n∑
k=1
< z, xk > xk, v
)
= < P (z), v > .
Mas, P (z) = 0, e logo, < z, v >=< 0, v >= 0. Portanto, P e´ ortogonal.
Observe que P (x) e´ uma aproximac¸a˜o de x no subespac¸o Vn. Se x ∈ Vn enta˜o
P (x) = x e a aproximac¸a˜o coincide com o pro´prio x. Ale´m disso, pelo Teorema 1.6
temos que o erro de aproximac¸a˜o ||x− P (x)|| e´ a menor distaˆncia de x ao subespac¸o
Vn.
Observac¸a˜o 1.6 Pela observac¸a˜o 1.4 e a prova do Teorema 1.7 temos que a projec¸a˜o
ortogonal satisfaz < z, P (v) >=< P (z), v > para todo v ∈ V e z ∈ V ⊥.
Base ortonormal
Definic¸a˜o 1.17 Seja X um espac¸o com produto interno < , >. Um conjunto ortonor-
mal {e1, e2, . . . , en, . . .} e´ chamado “base ortonormal” de X se para cada x ∈ X existe
uma u´nica sequ¨eˆncia de escalares {α1, α2, . . . , αn, . . .} tal que
x =
∞∑
n=1
αn en,
ou seja,
lim
n→∞
∥∥∥∥∥x−
n∑
k=1
αkek
∥∥∥∥∥ = 0.
CVaz To´picos do Ca´lculo Variacional 27
Proposic¸a˜o 1.12 Os elementos de um conjunto ortogonal {x1, x2, . . . , xn, . . .} de um
espac¸o com produto interno X sa˜o linearmente independentes.
Prova: Suponha que
α1x1 + α2x2 + . . .+ αnxn.
Tomando o produto interno com xk e usando a ortogonalidade obtemos
< α1x1 + α2x2 + . . .+ αnxn, xk >= ck < xk, xk >= 0.
Como < xk, xk >6= 0 tem-se ck = 0, k = 1, 2, . . . , n
Exemplo 1.8 O conjunto ortonormal{
1√
2pi
,
cos(nx)√
pi
,
sen(nx)√
pi
}
, n = 1, 2, . . . (1.18)
e´ uma base ortonormal do espac¸o C2([0, 2pi]) com a norma dada pelo produto interno
(1.14).
Soluc¸a˜o: Pelo exemplo 1.6 temos que o conjunto (1.18) e´ ortonormal. Ale´m disso,
por uma consequ¨eˆncia do Teorema de Weierstrass (veja [11, Teorema 3, p. 145])
temos que toda func¸a˜o cont´ınua ψ no intervalo [a, b] tal que ψ(a) = ψ(b) e´ limite
de uma sequ¨eˆncia uniformente convergente de polinoˆmios trigonome´tricos, ou seja,
combinac¸o˜es lineares de elementos do conjunto{
1,
cos(2pinx)
b− a ,
sen(2pinx)
b− a , n = 1, 2, . . . .
}
. (1.19)
Ale´m disso, qualquer func¸a˜o φ ∈ C2([a, b]) pode ser representada como o limite
de uma sequ¨eˆncia de func¸o˜es (ψn) com
ψn(x) =

φ(x) se a ≤ x ≤ b− 1
n(
nφ
(
b− 1
n
)
− nφ(a)
)
(b− x) + φ(a) se b− 1
n
≤ x ≤ b.
Logo, todo elemento de C2([a, b]) pode ser aproximado por uma combinac¸a˜o de ele-
mentos do conjunto (1.19).
CVaz To´picos do Ca´lculo Variacional 28
Proposic¸a˜o 1.13 Seja X um espac¸o com produto interno. Se X e´ separa´vel enta˜o
existe uma base ortonormal em X.
Prova: Seja {v1, v2, . . . , } um conjunto denso de X. Considere
Vn = [{v1, v2, . . . , vn}], V =
∞⋃
n=1
Vn. (1.20)
Enta˜o, V = X. Eliminando os elementos linearmente dependentes, podemos assunir
que dim Vn = n. Pelo processo de ortogonalizac¸a˜o de Gram- Schmidt existe um
conjunto ortonormal {e1, e2, . . . , } tal que Vn = [{v1, v2, . . . , vn}].
Seja x ∈ X. Como V e´ denso em X temos que existe uma sequ¨eˆncia (vn) em Vn
tal que vn → x. Pela desiqualdade (1.17) temos
||x− vn|| ≥
∥∥∥∥∥x−
n∑
j=1
< x, ej > ej
∥∥∥∥∥ .
Fazendo n→∞ obtemos x =
∞∑
j=1
< x, ej > ej.
Para provar a unicidade, suponha que x =
∞∑
j=1
αjej. Usando a continuidade do
produto interno temos
< x, ek >= lim
n→∞
〈
n∑
j=1
αjej, ek
〉
= αk.
Observac¸a˜o 1.7 A hipo´tese de “separabilidade da Proposic¸a˜o 1.13 e´ redundante.
Sem a hipo´tese de separabilidade existe uma base ortonormal {eτ}τ∈I , mas I na˜o e´
enumera´vel.
Para obtermos algumas propriedades u´teis para existeˆncia de base ortonormal
precisamos da propriedade de completamento.
CVaz To´picos do Ca´lculo Variacional 29
Proposic¸a˜o 1.14 Sejam H um espac¸o de Hilbert e o subespac¸o fechado V de H
definido em (1.20). Enta˜o, a projec¸a˜o ortogonal P : H → V e´ dada por
P (h) =
∞∑
k=1
< h, ek > ek, h,∈ H.
Prova: A prova e´ similar a prova do Teorema 1.7 exceto pelo fato que precisamos
usar a desigualdade de Bessel para justificar que
∞∑
k=1
< h, αkek >=
(
h,
∞∑
k=1
αkek
)
.
Teorema 1.8 Sejam H um espac¸o de Hilbert e {e1, e2, . . . , en, . . .} um conjunto ortonor-
mal de H. Enta˜o, as seguintes afirmac¸o˜es sa˜o equivalentes:
(i) {e1, e2, . . . , en, . . .} e´ uma base ortonormal;
(ii) Se x ∈ H ;< x, en >= 0, ∀n, enta˜o x = 0;
(iii) [{e1, e2, . . . , en, . . .}] e´ denso em H;
(iv) (Teorema de Paserval):
||x||2 =
∞∑
n=1
| < x, en > |2, ∀x ∈ H. (1.21)
Prova: (i) ⇒ (ii): segue da definic¸a˜o de conjunto ortonormal.
(ii) ⇒ (iii): seja V = [{e1, e2, . . . , en, . . .}] e suponha que V na˜o e´ denso em
H, isto e´, V 6= H. Pela observac¸a˜o 1.4 e o Teorema 1.6 existe x ∈ V ⊥\{0}. Em
particular, < x, en >= 0,∀n, o que e´ uma contradic¸a˜o.
(iii)⇒ (iv): Na prova da Proposic¸a˜o 1.13 temos que para todo x ∈ H, a sequ¨eˆncia
sn =
n∑
k=1
< x, en > en converge para x. Ale´m disso, sn e´ ortogonal a (x− sn), e logo,
||x||2 = ||sn||2 + ||x− sn||2 =
n∑
k=1
| < x, en > |2 + ||x− sn||2.
Fazendo n→∞ obtemos a igualdade de Parseval.
CVaz To´picos do Ca´lculo Variacional 30
(iv) ⇒ (i): seja x ∈ H. Considere sn =
n∑
k=1
< x, en > en e m > n. Enta˜o,
||sm − sn||2 =
m∑
k=n
| < x, en > |2.
Como a se´rie (1.21) e´ convergente temos que a sequ¨eˆncia (sn) e´ uma sequ¨eˆncia
de Cauchy enta˜o existe y ∈ H tal que sn → y, pois H e´ completo. Ale´m disso,
< y, en >=< x, en > e pelo igualdade de Paserval temos
||x− y||2 =
∞∑
k=1
| < x− y, en > |2 = 0.
Observac¸a˜o 1.8 Seja X um espac¸o de Banach. Uma sequ¨eˆncia {un}∞n=1 e´ chamada
“base de Schauder” de X se para todo x ∈ X existe uma u´nica sequ¨eˆncia de escalares
{α1, α2, . . . , αn, . . .} tal que
x =
∞∑
n=1
αn un.
Um dos mais famosos problemas da teoria dos espac¸os de Banach foi o problema de
provar se todo espac¸o de Banach separa´vel tem uma base de Schauder. Este problema
foi formulado por S. Banach em 1923 e resolvido (negativamente) por P. Enflo em
1973, quem construiu um espac¸o de Banach separa´vel que na˜o tem base de Schauder.
Teorema de Ritz
Sejam X e´ um espac¸o com produto interno < , > e z ∈ X um elemento fixo.
Podemos sempre definir um funcional linear f : X → R por
f(x) =< z, x >, ∀x ∈ X.
De fato, a linearidade e´ uma consequ¨eˆncia da linearidade do produto interno e pela
desiguldade de Schwarz obtemos |f(x)| = | < z, x > | ≤ ||z||||x|| ⇒ ||f || ≤ ||x||.
Ale´m disso, |f(z)| = | < z, z > | = ||z||2 ⇒ ||f || ≥ | < z, z > |||z||2 . Portanto ||f || = ||z||.
CVaz To´picos do Ca´lculo Variacional 31
O seguinte resultado mostra que se H e´ um espac¸o de Hilbert enta˜o a rec´ıproca
deste resultado e´ verdadeira.
Teorema 1.9 (Teorema de representac¸a˜o de Riesz) Sejam H um espac¸o de
Hilbert e f : H → R um funcional linear cont´ınuo definido em H. Enta˜o existe
um u´nico elemento ` ∈ H tal que
f(x) =< `, x >, ∀x ∈ H, ||f || = ||`|| (1.22)
Observe que o teorema de representac¸a˜o de Riesz mostra que existe um (u´nico)
operador F : H → H ′, chamado “operador de Riesz”, com as seguintes propriedades:
(a) F e´ um isomorfismo (um operador bijetor);
(b) F e´ uma isometria, ou seja, ||Fx|| = ||x||.
Portanto pelo Teorema de Riesz os espac¸os H e H ′ sa˜o isometricamente isomorfos
e podemos identificar H com o seu dual H ′ usando H ′ = F (H). Representamos este
resultado escrevendo H = H ′. Usualmente, fazemos a seguinte identificac¸a˜o f ≡ `.
Convergeˆncia fraca
Nesta sec¸a˜o vamos tratar de um tipo de convergeˆncia que naturalmente aparece
nos problemas variacionais. Para melhor compreensa˜o, considere que espac¸o de
Hilbert H tem dimensa˜ofinita e uma base ortonormal {e1, e2, . . . , er}. Enta˜o cada
x ∈ H e´ dado por
x =
r∑
k=1
< x, ek > ek.
Se (xn) e´ uma sequ¨eˆncia de elementos de H tem-se, para cada n,
xn =
r∑
k=1
< xn, ek > ek,
e, logo,
||xn − x||2 =
r∑
k=1
| < xn − x, ek > |2.
CVaz To´picos do Ca´lculo Variacional 32
Portanto, xn → x, e e somente se, < xn − x, ek >→ 0 para cada k = 1, 2, . . . , r.
Como qualquer elemento h ∈ H e´ uma combinac¸a˜o linear finita de {e1, e2, . . . , er}
enta˜o < xn − x, ek >→ 0 sempre que < xn − x, h >→ 0 para cada h ∈ H. Portanto,
em dimensa˜o finita temos
xn → x⇔ < xn, h >→< x, h > para cada h ∈ H.
Em espac¸o de Hilbert de dimensa˜o infinita esta´ equivaleˆncia na˜o e´ verdadeira.
De fato, a convergeˆncia forte xn → x implica a convergeˆncia do produto interno,
mas a rec´ıproca na˜o e´ verdadeira. Para provarmos esta afiramac¸a˜o vamos aplicar a
desigualdade de Bessel e obter
∞∑
k=1
| < ek, h > |2 ≤ ||h||2 <∞,
< en, h >→< 0, h >= 0.
Mas, en na˜o converge para 0, pois ||en − 0|| = ||en|| = 1, ∀n.
Estas observac¸o˜es sugerem a seguinte definic¸a˜o:
Definic¸a˜o 1.18 Sejam X um espac¸o com produto interno e (xn) uma sequ¨eˆncia em
X. Dizemos que (xn) converge “fracamente” para x ∈ H, representamos por xn ⇀ x,
se
lim
n→∞
< xn, h >=< x, h >, para cada h ∈ H.
Em dimensa˜o finita as convergeˆncias forte e fraca coincidem, pore´m em dimensa˜o
infinita convergeˆncia forte implica fraca, mas a rec´ıproca na˜o e´ verdadeira. A con-
vergeˆncia fraca tem as seguintes propriedades, cujas provas podem ser encontardas
em [10, cap´ıtulo 4, p. 256]:
Teorema 1.10 Sejam X um espac¸o com produto interno e (xn) uma sequ¨eˆncia em
X. Se converge fracamente para x ∈ X enta˜o
(i) o limite “fraco” x e´ u´nico.
CVaz To´picos do Ca´lculo Variacional 33
(ii) Toda subsequ¨eˆncia de (xn) converge fracamente para x.
(iii) A sequ¨eˆncia (||xn||) e´ limitada e ||x|| ≤ lim
n→∞
inf ||xn||.
A prova do seguinte resultado pode ser encontrada em [18, Teorema 2C, p. 50]
Teorema 1.11 Sejam H um espac¸o de Hilbert e (xn) uma sequ¨eˆncia em H. Se (xn)
e´ limitada enta˜o existe uma subsequ¨eˆncia (xk) de (xn) que converge fracamente em
H.
Podemos estender a noc¸a˜o de convergeˆncia fraca para espac¸os normados, definindo
“espac¸o dual”.
Definic¸a˜o 1.19 Seja X um espac¸o normado e f : X → R um funcional linear
cont´ınuo. O conjunto de todos o funcionais lineares cont´ınuos f e´ chamado “espac¸o
dual” de X e representado por X ′.
Definic¸a˜o 1.20 Seja X um espac¸o normado e (xn) uma sequ¨eˆncia de X. Dizemos
que (xn) converge fracamente para x ∈ X e representamos por xn ⇀ x, se, e somente
se
f(xn)→ f(x), ∀f ∈ X ′.
Definic¸a˜o 1.21 Sejam X, M um subconjunto M de X e F : M → R um funcional.
(a) Fracamente sequencialmente cont´ınuo: Dizemos que F e´ “fracamente
sequencialmente cont´ınuo” em x0 ∈M se xn ⇀ x0 implica F (xn)→ F (x0).
(b) Semicont´ınuo inferiormente fraco sequencialmente: Dizemos que F e´
“Semicont´ınuo inferiormente fraco sequencialmente” em x0 ∈M se e somente se,
xn ⇀ x0 ⇒ F (x0) ≤ lim
n→∞
inf F (xn).
(c) Fracamente coercivo: Dizemos que F e´ “Fracamente coercivo” se, e so-
mente se
lim
||x||→∞
F (x) = +∞, em M.
CVaz To´picos do Ca´lculo Variacional 34
Definic¸a˜o 1.22 Sejam X, M um subconjunto M de X e F : M → R um funcional.
Para cada r ∈ R, considere
Mr = {x ∈M ; F (x) ≤ r}.
(a) Dizemos de F e´ “semicont´ınuo inferiormente” no conjunto fechado Mr se, e
somente se, Mr e´ um conjunto fechado para todo r ∈ R.
(b) Dizemos que F e´ “quase convexo” no cnjunto convexo M se e somente se, o
conjunto Mr e´ convexo para todo r ∈ R.
Completamento de espac¸os com produto interno
Na˜o e´ nosso objetivo detalhar o processo de completamento de um espac¸o me´trico,
para maiores detalhes consulte [9, 10], apenas enunciaremos o principal resultado.
Teorema 1.12 Seja W um espac¸o com produto interno. Enta˜o, existe um espac¸o
com produto interno completo W , chamado completamento de W, que satisfaz:
(i) W ⊂ W ;
(ii) W e´ denso em W ;
(iii) W e´ u´nico no sentido que se W1 e W2 satisfazem (i) e (ii) enta˜o existem uma
correspondeˆncia biu´nivoca entre W1 e W2 tal que < u1, v1 >W1=< u2, v2 >W1
para u1, v1 ∈ W1 e u2, v2 ∈ W2.
Seja W um espac¸o incompleto com produto interno < , > e W o seu complete-
mento, com norma || · ||. Enta˜o cada u˜ ∈ W e´ uma classe de equivaleˆncia de sequ¨eˆncias
de Cauchy de W . Sejam u˜, v˜ ∈ W e (un) e (vn) os representantes das classes u˜ e v˜,
respectivamente. Enta˜o∣∣∣ < un, vn > − < u,vm > ∣∣∣ = ∣∣∣ < un − um, vn > − < um, yn − vm > ∣∣∣
≤ ||vn||||un − um||+ ||um||||vn − vm|| (1.23)
CVaz To´picos do Ca´lculo Variacional 35
Como as sequ¨eˆncias de Cauchy (un) e (vn) sa˜o limitadas temos que (1.23) e´ sufi-
cientemente pequeno para m e n suficientemente grande. Logo a sequ¨eˆncia nume´rica(
< un, vn >
)
e´ uma sequ¨eˆncia de Cauchy. Como R e´ completo enta˜o
(
< un, vn >
)
tem limite e este limite independe da escolha dos representantes (un) e (vn) das classes
u˜ e v˜, respectivamente.
Deste modo podemos definir em W o seguinte produto interno
< u˜, v˜ >= lim
n→∞
< un, vn > .
O nu´mero < u˜, v˜ > depende apenas das classes u˜ e v˜. Em particular, temos
||u˜|| =
√
< u˜, v˜ > = lim
n→∞
√
< un, vn > = lim
n→∞
||un||.
Por simplicidade, usaremos a notac¸a˜o u˜ = u. Portanto, qualquer propriedade que
deseja-se provar pode ser primeiro estabelecida em W e depois por um processo de
limite em W .
O Teorema 1.12 e´ a versa˜o para espac¸os com produto interno, que sa˜o espac¸os
normados, enunciaremos o resultado ana´logo e mais geral, para espac¸os me´tricos:
Teorema 1.13 Se (X, d) e´ um espac¸o me´trico. Enta˜o existe um espac¸o me´trico
(X˜, d˜), chamado completamento de X, tal que:
(i) X ⊂ X˜
(ii) X e´ denso em X˜
(iii) O completamento e´ u´nico no sentido que se X˜1 e X˜2 satsifazem as condic¸o˜es (i)
e (ii) acima, enta˜o existe uma u´nica isome´tria Φ : X˜1 → X˜2.
1.3 Espac¸os de func¸o˜es
Nestas notas, estamos interessados em tratar problemas variacionais “generali-
zados”. Para isto, vamos definir os espac¸os de Lebesgue Lp(Ω) e de Sobolev H1,p(Ω)
e suas principais propriedades.
CVaz To´picos do Ca´lculo Variacional 36
O espac¸o C∞0 (Ω)
O suporte de uma func¸a˜o v : Rn → R, representado for supp(v), e´ o fecho do
conjunto dos pontos para os quais v e´ diferente de zero, ou seja,
supp(v) = {x ∈ Rn ; v(x) 6= 0}.
Assim, se x0 ∈ supp(v) enta˜o para qualquer vizinhanc¸a de x0 existe um ponto x
tal que v(x) 6= 0. Logo, v e´ nula fora do seu suporte. Se o supp(v) e´ um conjunto
limitado do Rn, logo, compacto enta˜o dizemos que v(x) tem suporte compacto. A
definic¸a˜o de suporte na˜o se altera para v(x) definida em algum subconjunto Ω do Rn.
Exemplo 1.9 Determine o suporte da func¸a˜o
v(x) =
 senx se x ∈ (0, 2pi),0 se x ≤ ou x ≥ 2pi.
Soluc¸a˜o: Os pontos para os quais v(x) 6= 0 e´ E = (0, 2pi)\pi. Logo, supp(v) = E =
[0, 2pi].
Portanto, o suporte da func¸a˜o x 7→ senx, x ∈ R e´ R embora a func¸a˜o seno se
anule em x = k pi com k ∈ Z. Note que o suporte da func¸a˜o v(x) = 0 em R e´ vazio.
Exemplo 1.10 Determine o suporte, em R, da func¸a˜o
v(x) =
 0 se x e´ irracional,1 se x e´ racional.
Soluc¸a˜o: Como v(x) 6= 0 para x racional, enta˜o o suporte de v(x) e´ o fecho de Q, mas
Q = R, e logo, supp(v) = R.
Exemplo 1.11 Determine o suporte, em R, da func¸a˜o
v(x) =
 0 se x 6= 0,1 se x = 0.
CVaz To´picos do Ca´lculo Variacional 37
Soluc¸a˜o: Neste caso, supp(v) = {x ∈ R ; v(x) 6= 0} = {0} = {0}.
Definic¸a˜o 1.23 Sejam Ω ⊆ Rn e v : Ω→ R. Definimos o espac¸o C∞0 (Ω) o conjunto
das func¸o˜es de C∞(Ω) com suporte compacto contido em Ω.
C∞0 (Ω) e´ um espac¸o vetorial.
1 No seguinte exemplo apresentaremosuma func¸a˜o
na˜o trivial de C∞0 (Ω):
Exemplo 1.12 Saje a ∈ R a func¸a˜o ϕa : R→ R dada por
ϕa(x) =
 e
− 1
a2−x2 se |x| < a,
0 se |x| ≥ 0.
pertence ao espac¸o C∞0 (R).
Soluc¸a˜o: Claramente, o suporte de ϕa e´ o intervalo fechado e limitado [−a, a]. ϕa e´
infinitamente diferencia´vel2. Logo, ϕa ∈ C∞0 (R).
Com a func¸a˜o do Exemplo 1.12 podemos construir va´rios elementos de C∞0 (R).
De fato, tomemos qualver func¸a˜o v ∈ C∞(R) enta˜o o produto v ϕa e´ infinitamente
diferencia´vel e zera fora do intervalo [−a, a]. Logo, v ϕa ∈ C∞0 (R).
De modo ana´logo, no espac¸o Rn podemos definir a func¸a˜o ϕa : Rn → R dada por
ϕa(x) =
 e
− 1
a2−r2 se r < a,
0 se r ≥ 0.
com r = |x| =
√
x21 + x
2
2 + . . .+ x
2
n. A func¸a˜o ϕa e´ infinitamente diferencia´vel em
Rn e tem como suporte a bola fechada e limitada Ba(0) = {~x ∈ Rn ; |x| ≤ a}. Logo,
ϕa ∈ C∞0 (Rn).
O espac¸o Lp(a, b)
Nossa primeira aplicac¸a˜o do Teorema 1.12 e´ a seguinte:
1consulte [13, p. 64]
2consulte [13, exemplo1, p. 53]
CVaz To´picos do Ca´lculo Variacional 38
Proposic¸a˜o 1.15 O espac¸o das funco˜es cont´ınuas C([a, b]) e´ um espac¸o normado
incompleto com a norma
||u||p =
(∫ b
a
|u(x)|p dx
)1/p
, 1 ≤ p <∞. (1.24)
Prova: Seja (un) uma sequ¨eˆncia de func¸o˜es cont´ınuas que converge uniformemente
para zero em [a, c − �] e para 1 em [c + �, b] com c ∈ (a, b) um nu´mero fixo. Enta˜o
(un) e´ uma sequ¨eˆncia de Cauchy em C([a, b]) com a norma (1.24).
De fato, como un → 0 e un → 1 em [a, c − �] e [c + �, b], respectivamente temos
que ∫ c−�
a
|un(x)| dx→ 0 em [a, c− �]∫ b
c+�
|un(x)| dx→ 1 em [c+ �, b],
respectivamente. Portanto, ∀� > 0, existe n0 ∈ N tal que∫ b
a
|un(x)− um(x)|p dx < 2�+ 2�
(
max
a≤x≤b
|un(x)− um(x)|
)p
, ∀n,m > n0
Logo (un) e´ uma sequ¨eˆncia de Cauchy em C([a, b]).
Com a ajuda do seguinte resultado auxiliar mostraremos que a sequ¨eˆncia (un) na˜o
converge para uma func¸a˜o cont´ınua na norma (1.24).
Lema 1.5 Sejam u ∈ C([a, b]), un ∈ C([a, b]), ∀n e [a, b] ⊂ [α, β]. Se un → u em
C([a, b]) com a norma (1.24) e un → v uniformente em algum intervalo [α, β] enta˜o
u(x) = v(x) em [α, β].
Prova do Lema 1.5: Note que
||un − u||pp =
∫ β
α
|un(x)− u(x)|p dx ≤
∫ b
a
|un(x)− u(x)|p dx→ 0
||un − v||pp =
∫ β
α
|un(x)− v(x)|p dx ≤ max
α≤x≤β
|un(x)− v(x)|p(α− β)→ 0
Portanto ||un−u||p → 0 e ||un−v||p → 0 e pela unicidade do limite temos u(x) = v(x)
em [α, β].
CVaz To´picos do Ca´lculo Variacional 39
Agora, suponha, por absurdo, que a sequ¨eˆncia (un) converge para a func¸a˜o cont´ınua
u(x) em C([a, b]) na norma (1.24) enta˜o temos que u(x) = 0 em [a, c) e u(x) = 1 em
(c, b] e pela Lema 1.5 temos uma contradic¸a˜o, pois u(x) na˜o e´ cont´ınua.
Portanto, pela Proposic¸a˜o 1.24 o espac¸o
(
C([a, b]), || · ||p
)
e´ incompleto e pelo
Teorema 1.12 temos a seguinte definic¸a˜o:
Definic¸a˜o 1.24 Lp(a, b) e´ o completamento de C([a, b]) com relac¸a˜o a norma || · ||p.
Lp(a, b) e´ o espac¸o de Lebesgue das func¸o˜es p-integra´veis.
Exemplo 1.13 O espac¸o L2(−pi, pi) e´ um espac¸o de Hilbert. E´ separa´vel, pois o
conjunto das func¸o˜es cont´ınuas perio´dicas de per´ıodo 2pi e´ denso em L2(−pi, pi) e
logo, uma func¸a˜o de L2(−pi, pi) pode ser aproximada por polinoˆmios trigonome´tricos
do tipo
n∑
k=1
ake
ikx. Na˜o e´ complicado verificar que
fn(x) =
einx√
2pi
, x ∈ (−pi, pi), n ∈ Z,
e´ um conjunto ortogonal em L2(−pi, pi) e pelo Corola´rio 1.8 (iii) e´ tambe´m uma base
ortonormal de L2(−pi, pi).
Func¸o˜es localmente integra´veis
Para qualquer subconjunto E ⊂ [a, b] podemos definir a func¸a˜o caracter´ıstica de
E por
χE(x) =
 1 se x ∈ E,0 se x ∈ [a, b]\E.
Definic¸a˜o 1.25 O espac¸o das func¸o˜es “localmente p-integra´veis” , representado por
Lploc(a, b), e´ o conjunto das func¸o˜es generalizadas v : [a, b] → R tais que para todo
conjunto compacto K ⊂ [a, b] tem-se que o produto v χK ∈ Lp(a, b).
CVaz To´picos do Ca´lculo Variacional 40
Quase sempre
Da mesma forma que, constru´ıdo o conjunto dos nu´meros reais por completamento
dos racionais, e´ conveniente termos uma caracterizac¸a˜o menos abstrata dos nu´meros
irracionais, que e´ a sua representac¸a˜o decimal, queremos obter uma “caracterizac¸a˜o”
das func¸o˜es generalizadas dos espac¸os Lp(a, b). Num certo sentido, as func¸o˜es gen-
eralizadas podem ser pensadas com func¸o˜es usuais em conjuntos suficientemenste
pequenos. Entendemos suficientemenste pequenos no seguinte sentido:
Definic¸a˜o 1.26 Dizemos que um subconjunto E de R tem medida nula se E pode
ser coberto por uma sequeˆncia de intervalos com comprimento total arbritariamente
pequeno. Ou seja, dado � > 0, dizemos que E tem medida nula se podemos encontrar
uma sequeˆncia {In, n ∈ N} de intervalos tal que
E ⊂
∞⋃
n=1
In e
∞∑
n=1
`(In) < �
com `(In) o comprimento de cada intervalo In.
Exemplo 1.14 O conjunto unita´rio {x} tem medida nula.
Soluc¸a˜o: Dado � > 0, podemos considerar, por exemplo, I1 = (x − �/4, x + �/4) e
In = [0.0] para n ≥ 2. Enta˜o, {x} ⊂
∞⋃
n=1
In e
∞∑
n=1
`(In) = `(I1) =
�
2
< �.
Exemplo 1.15 Qualquer conjunto enumera´vel tem medida nula.
Soluc¸a˜o: Basta tomarmos In = [xn, xn]. Em particular, Q tem medida nula.
Definic¸a˜o 1.27 Dizemos que a propriedade (P ) vale “quase sempre” (q.s) em Ω se
o conjunto dos pontos de Ω para os quais (P ) na˜o se verifica tem medida nula.
Exemplo 1.16 A func¸a˜o constante v(x) = 1 e a func¸a˜o χE(x) sa˜o iguais quase
sempre em E.
CVaz To´picos do Ca´lculo Variacional 41
Na aplicac¸a˜o do Teorema 1.12 para construc¸a˜o dos espac¸os Lp(a, b) temos que os
elementos de Lp(a, b) sa˜o classes de equivaleˆncia de sequ¨eˆncias de Cauchy de func¸o˜es
de C([a, b]). Se tomarmos duas sequ¨eˆncias de Cauchy em C([a, b]) associadas ao
mesmo elemento de Lp(a, b) (duas sequ¨eˆncias equivalentes) podemos construir, apli-
cando o Teorema Teorema 1.12, duas func¸o˜es iguais quase sempre, definido a relac¸a˜o
de equivaleˆncia duas func¸o˜es de Lp(a, b) sa˜o iguais quase sempre. Deste modo, a car-
acterizac¸a˜o das func¸o˜es generalizadas e´ que elas sa˜o limites quase sempre de sequ¨eˆncias
de Cauchy de C([a, b]).
Os espac¸os H1,2(a, b)
Considere
(
C1(a, b), ||·||1,2
)
o espac¸o das func¸o˜es deriva´veis com primeira derivada
cont´ınua e a norma || · ||1,2 dada por
||u||1,2 =
(∫ b
a
|u(x)|2 dx+
∫ b
a
|u′(x)|2 dx
)1/2
(1.25)
Sabemos que o espac¸o normado C1([a, b]) e´ incompleto com relac¸a˜o a norma (1.25).
Usando o Teorema 1.12 podemos definir
Definic¸a˜o 1.28 H1,2(a, b) e´ o completamento de C1([a, b]) com relac¸a˜o a norma
|| · ||1,2. H1,2(a, b) e´ chamado “espac¸o de Sobolev”.
Como consequ¨eˆncia do completamento temos o seguinte resultado:
Proposic¸a˜o 1.16 C1([a, b]) e´ denso em H1,2(a, b). Equivalentemente, se u ∈ H1,2(a, b)
enta˜o existe uma sequ¨eˆncia un em C
1([a, b]) tal que lim
n→∞
||un − u||1,2 = 0.
Seja u ∈ H1,2(a, b), pela Proposic¸a˜o 1.16 existe (un) ⊂ C1([a, b]) tal que lim
n→∞
||un−
u||1,2 = 0. Como (un) e´ uma sequ¨eˆncia de Cauchy e vale
||un − um||22 ≤ ||un − um||1,2,
||u′n − u′m||22 ≤ |‖un − um||1,2
CVaz To´picos do Ca´lculo Variacional 42
conclu´ımos que as sequ¨eˆncias (un) e (u
′
n) sa˜o sequ¨eˆncia de Cauchy em L
2(a, b). Como
L2(a, b) e´ completo existem elementos w, g ∈ L2(a, b) tais que
un → w em L2(a, b)
u′n → g em L2(a, b). (1.26)
Por outro lado, como un → u temos ||un − u||22 ≤ ||un − u||1,2 → 0 e logo un → u
em L2(a, b) e pela unicidade do limite obtemos que w = u. Portanto
un → u em L2(a, b) (1.27)
Deste modo, podemos caracterizar H1,2(a, b) como o conjunto das func¸o˜es de
L2(a, b) tais que existem (un) em C([a, b] e u, g ∈ L2(a, b) satisfazendo
lim
n→∞
||un − u||2 = 0, lim
n→∞||u′n − g||2 = 0. (1.28)
Por outro lado, se existe u′ ∈ C([a, b]) podemos mostrar (veja Exemplo 1.17) que
g e´ a derivada cla´ssica u′. Isto motiva chamarmos a func¸a˜o g de derivada generalizada
de u(x) e representa´-la por u′.
Observe que na˜o podemos afirmar que g = u′, pois u ∈ H1,2(a, b) e na˜o sabemos
qual e´ o sentido de “derivada” em H1,2(a, b). Pore´m, se u ∈ H1,2(a, b) ∩ C1(a, b),
ou seja, u tem derivada no sentido cla´ssico, enta˜o g e´ a derivada cla´ssica de u. De
fato, como un → u em H1,2(a, b) e ‖u′n − u′‖L2(a,b) ≤ ‖un − u‖1,2, e logo, un → u′ em
L2(a, b) e pela unicidade do limite g = u′.
Isso motiva entendermos a func¸a˜o g dada em (1.28) como uma certa generalizac¸a˜o
do conceito de derivada para func¸o˜es de H1,2(a, b).
Definic¸a˜o 1.29 Seja u ∈ L2(a, b). Dizemos que a func¸a˜o g ∈ L2(a, b) e´ a derivada
generalizada (ou derivada no sentido forte) de u se existe uma sequeˆncia {un} em
C1([a, b]) tal que
lim
n→∞
‖un − u‖L2(a,b) = 0, lim
n→∞
‖u′n − g‖L2(a,b) = 0. (1.29)
CVaz To´picos do Ca´lculo Variacional 43
A derivada generalizda g e´ unicamente determinado pelo elemento u e na˜o depende
da escolha da particular sequ¨eˆncia de Cauchy (un) que aproxima u. Para provarmos
esta afirmac¸a˜o definir o espac¸o H1,20 (a, b) e provar o Lema Fundamental Generalizado.
O espac¸o H1,20 (a, b)
Proposic¸a˜o 1.17 O espac¸o C∞0 (a, b) e´ incompleto com relac¸a˜o a norma (1.25).
Aplicando o Teorema 1.12 podemos definir
Definic¸a˜o 1.30 H1,20 (a, b) e´ o completamento de C
∞
0 ([a, b]) com relac¸a˜o a norma
|| · ||1,2.
Como consequ¨eˆncia do completamento temos o seguinte resultado:
Proposic¸a˜o 1.18 C∞0 ([a, b]) e´ denso em H
1,2
0 (a, b). Equivalentemente, se v ∈ H1,20 (a, b)
enta˜o existe uma sequ¨eˆncia vn em C
∞
0 (a, b) tal que lim
n→∞
||vn − v||1,2 = 0.
Lema fundamental generalizado
O seguinte Lema e´ uma generalizac¸a˜o do Lema fundamental do Ca´lculo Variacional
(veja Lema 2.2):
Lema 1.6 (Lema variacional generalizado) Seja u ∈ L2(a, b). Se∫ b
a
u(x)ϕ(x) dx = 0, ∀ϕ ∈ C∞0 ([a, b]).
Enta˜o u(x) = 0 q.s em (a, b).
Prova: Como C∞0 ([a, b]) e´ denso em L
2(a, b) temos que existe uma sequ¨eˆncia (un) em
C∞0 ([a, b]) tal que lim
n→∞
||un − u||2 = 0.
Lembrando que o produto interno < , > e´ cont´ınuo, isto e´,
lim
n→∞
< un, u >=< u, u >
CVaz To´picos do Ca´lculo Variacional 44
e considerando o produto interno
< v,w >=
∫ b
a
v(x)w(x) dx
temos que
lim
n→∞
∫ b
a
un(x)u(x) dx =
∫ b
a
u(x)u(x) dx.
Mas, por hipo´tese ∫ b
a
un(x)u(x) dx = 0, ∀un ∈ C∞0 ([a, b]).
Assim,
∫ b
a
u(x)u(x) dx = ||u||22 = 0⇒ u(x) = 0 q.s em (a, b).
Proposic¸a˜o 1.19 O limite g dado em (1.26) e´ unicamente determinado por u(x) e
independe da particular escolha da sequ¨eˆncia de Cauchy un ∈ C1([a, b]) que aproxima
u(x).
Prova: Seja vn ∈ C1([a, b]) outra sequ¨eˆncia de Cauchy tal que vn → u e v′n → h.
Fazendo zn = un − vn e z′n = u′n − v′n obtemos que zn → 0 e z′n → g − h.
Seja ϕ ∈ C10([a, b]). Aplicando a fo´rmula de integrac¸a˜o por partes e usando que
ϕ(a) = ϕ(b) = 0 obtemos ∫ b
a
znϕ
′ dx = −
∫ b
a
z′nϕdx.
Tomando o limite
lim
n→∞
∫ b
a
znϕ
′ dx = − lim
n→∞
∫ b
a
z′nϕdx⇔ lim
n→∞
< zn|ϕ′ >= − lim
n→∞
< z′n, ϕ >
e usando a continuidade do produto interno obtemos
lim
n→∞
< zn, ϕ
′ >=< 0, ϕ′ >= 0
lim
n→∞
< z′n, ϕ >=< g − h, ϕ > .
Portanto, < g − h, ϕ >=
∫ b
a
(g − h)ϕdx = 0, ∀ϕ. Pelo Lema variacional 1.6
temos que g = h q.s.
Observac¸a˜o 1.9 Lembre que as func¸o˜es de L2(a, b) sa˜o classes de equivaleˆncia de
func¸o˜es que sa˜o iguais quase sempre.
CVaz To´picos do Ca´lculo Variacional 45
Caracterizac¸a˜o da derivada generalizada
Agora vamos obter uma relac¸a˜o que caracteriza a derivada generalizada de uma
func¸a˜o de H1,2(a, b).
Proposic¸a˜o 1.20 A derivada generalizada u′ da func¸a˜o u ∈ H1,2(a, b) satisfaz:∫ b
a
u′(x)ϕ(x) dx = −
∫ b
a
u(x)ϕ′(x) dx, ∀ϕ ∈ C∞0 ([a, b]). (1.30)
Prova: Se u ∈ H1,2(a, b) enta˜o, pela densidade, existe un ∈ C1(a, b) tal que
lim
n→∞
||un − u||1,2 = 0,
ou seja,
un → u, u′n → u′ em L2(a, b).
Tomando ϕ ∈ C∞0 ([a, b]) e usando integrac¸a˜o por partes obtemos∫ b
a
u′n(x)ϕ(x) dx = −
∫ b
a
un(x)ϕ
′(x) dx
e, logo
lim
n→∞
∫ b
a
u′n(x)ϕ(x) dx = − lim
n→∞
∫ b
a
un(x)ϕ
′(x) dx. (1.31)
Mas < u′n, ϕ >=
∫ b
a
u′n(x)ϕ(x) dx e < un, ϕ
′ >=
∫ b
a
un(x)ϕ
′(x) dx e pela con-
tinuidade do produto interno obtemos
lim
n→∞
< u′n, ϕ >=< u
′, ϕ >, lim
n→∞
< un, ϕ
′ >=< u,ϕ′ >
Por (1.31) obtemos∫ b
a
u′(x)ϕ(x) dx = −
∫ b
a
u(x)ϕ′(x) dx, ∀ϕ ∈ C∞0 ([a, b]).
Proposic¸a˜o 1.21 Se u ∈ H1,2(a, b) e w ∈ L2[−α, α] para todo compacto [−α, α] ⊂
(a, b) tal que ∫ b
a
w(x)ϕ(x) dx = −
∫ b
a
u(x)ϕ′(x) dx, ∀ϕ ∈ C∞0 ([a, b]). (1.32)
Enta˜o w = u′ quase sempre em (a, b).
CVaz To´picos do Ca´lculo Variacional 46
Prova: Combinando (1.30) e (1.32) obtemos∫ b
a
(w − u′)ϕdx = 0, ∀ϕ ∈ C∞0 ([a, b])
e pelo Lema variacional w = u′ q.s.
Portanto, as Proposic¸o˜es 1.20 e 1.21 mostram que a relac¸a˜o (1.30) caracteriza
derivada generalizada de um func¸a˜o do espac¸o H1,2(a, b).
Exemplo 1.17 Se a derivada cla´ssica de u existe e e´ cont´ınua enta˜o coincide com a
derivada generalizada.
Soluc¸a˜o: Seja g a derivada generalizada de u ∈ H1,2(a, b) enta˜o por (1.30) tem-se∫ b
a
g(x)ϕ(x) dx = −
∫ b
a
u(x)ϕ′(x) dx, ∀ϕ ∈ C∞0 ([a, b]).
Usando integrac¸a˜o por parte obtemos∫ b
a
g(x)ϕ(x) dx =
∫ b
a
u′(x)ϕ(x) dx, ∀ϕ ∈ C∞0 ([a, b]),
o que implica
∫ b
a
(g − u′)ϕ(x) dx = 0, ∀ϕ ∈ C∞0 ([a, b]). Aplicando o Lema varia-
cional generalizado 1.6 temos que g = u′ q.s.
Exemplo 1.18 A derivada generalizada da func¸a˜o u(x) = |x| em R, ∀r ∈ R, e´ a
func¸a˜o
w(x) =

1 se x > 0
r se x = 0
−1 se x < 0
Soluc¸a˜o: Para ϕ ∈ C10(R) temos∫ ∞
−∞
u(x)ϕ′(x) dx =
∫ ∞
−∞
|x|ϕ′(x) dx =
∫ 0
−∞
−xϕ′(x) dx +
∫ ∞
0
xϕ′(x) dx
= −xϕ(x)
∣∣∣0
−∞
+
∫ 0
−∞
ϕ(x) dx+ xϕ(x)
∣∣∣∞
0
−
∫ ∞
0
ϕ(x) dx
= −
(∫ 0
−∞
−1ϕ(x) dx+
∫ ∞
0
1ϕ(x) dx
)
= −
∫ ∞
−∞
w(x)ϕ(x) dx
Note que a func¸a˜o |x| tem derivada cla´ssica em R − {0} e logo a derivada gene-
ralizada w(x) coincide com a derivada cla´ssica para todo x 6= 0.
CVaz To´picos do Ca´lculo Variacional 47
Exemplo 1.19 A func¸a˜o
w(x) =

1 se x > 0
r se x = 0
−1 se x < 0
definida no intervalo (−r, r), com r > 0, na˜o tem derivada generalizada.
Prova: Suponha, por absurdo, que existe a derivada generalizada de z(x) de w(x).
Enta˜o h(x) =
∫ x
0
z(s) ds e h′ = z q.s. Por (1.30)
∫ r
−r
z(x)ϕ(x) dx = −
∫ r
−r
w(x)ϕ′(x) dx (1.33)
Usando integrac¸a˜o por partes∫ r
−r
h(x)ϕ′(x) dx = −
∫ r
−r
h′(x)ϕ(x) dx = −
∫ r
−r
z(x)ϕ(x) dx (1.34)
Combinando (1.33) e (1.34) obtemos∫ r
−r
(h− w)ϕ′ dx = 0, ∀ϕ ∈ C∞0 (−r, r).
Enta˜o, pelo Lema fundamental generalizado 1.6 obtemos w(x) = h(x) + C q.s. Mas,
isto e´ uma contradic¸a˜o, pois w(x) e´ descont´ınua e h(x) cont´ınua. Logo, w(x) na˜o tem
derivada generalizada. Ale´m disso, observe que∫ r
−r
z(x)ϕ(x) dx = −
∫ r
−r
w(x)ϕ′(x) dx =
∫ 0
−r
ϕ′(x) dx−
∫ r
0
ϕ′(x) dx = 2ϕ(0)
O Exemplo (1.19) mostra que na˜o existe uma func¸a˜o que represente a derivada
generalizada da func¸a˜o sinal w(x). Pore´m, temos que a expressa˜o 2 δ com δ a dis-
tribuic¸a˜o de Dirac em x = 0 e´ um candidato a derivada de w em algum sentido.
Podemos mostrar que w′(x) = 2 δ, ou seja, existe a derivada de w(x) num certo
sentido (da Teoria das Distribuic¸o˜es).
Podemos introduzir uma outra noc¸a˜o de derivada conhecida como derivada fraca.
CVaz To´picos do Ca´lculo Variacional 48
Definic¸a˜o 1.31 Seja u ∈ L2(a, b). Dizemos que a func¸a˜o g ∈ L2(a, b) e´ a derivadafraca de u se g satisfaz∫ b
a
uϕ′ dx = −
∫ b
a
g ϕ dx, ∀ϕ ∈ C∞0 (a, b). (1.35)
Definic¸a˜o 1.32 O espac¸o W 1,2(a, b) e´ o espac¸o das func¸o˜es u ∈ L2(a, b) tal que existe
a derivada fraca g de u e g ∈ L2(a, b).
Pelos argumentos da prova da Proposic¸a˜o 1.19 temos que se g e´ a derivada
generalizada de u enta˜o g e´ a derivada fraca de u. A pergunta natural e´ se a rec´ıproca
tambe´m e´ verdadeira. A resposta e´ sim (consulte [9] para a prova) e portanto as duas
definic¸o˜es sa˜o equivalentes.
Outra caracter´ıstica importante das func¸o˜es deH1,2(a, b) e´ que sa˜o func¸o˜es cont´ınuas.
Mais precisamente, a classe de equivaleˆncia u ∈ H1,2(a, b) tem um representante
cont´ınuo.
Teorema 1.14 (i) Toda func¸a˜o em H1,1(a, b) e´ uniformemente cont´ınua em I. Em
particular H1,1(a, b) ⊂ C([a, b]) e tem-se
sup
x∈[a,b]
|u| ≤ 1
b− a
∫ b
a
|u| dx+
∫ b
a
|u′| dx. (1.36)
Ale´m disso, Teorema Fundamental do Ca´lculo e´ va´lido, ou seja,
u(x)− u(y) =
∫ x
y
u′(t) dt, ∀x, y ∈ I.
(ii) Se u ∈ H1,2(a, b), enta˜o u ∈ C0,1/2(a, b) e tem-se
sup
x∈[a,b]
|u| ≤
(
1
b− a
∫ b
a
|u|2 dx
) 1
2
+
(∫ b
a
|u′|2 dx
) 1
2
(b− a)1/2. (1.37)
Ale´m disso, para todo x, y ∈ [a, b] temos
|u(x)− u(y)| ≤
(∫ b
a
|u′|2 dx
) 1
2
|x− y|1/2.
CVaz To´picos do Ca´lculo Variacional 49
Prova: Sejam u ∈ H1,2(a, b) e x, y ∈ [a, b]. Enta˜o existe uma sequeˆncia de
Cauchy (un) em C
1(a, b) tal que un → u em H1,2(a, b). Queremos aplicar o Teorema
de Arzela`-Ascoli (veja Teorema 1.1). Para isto, vamos provar que (un) e´ equicont´ınua
e uniformemente limitada em C([a, b]).
Como un ∈ C1(a, b), ∀n, tem-se
un(x)− un(y) =
∫ x
y
u′n(t) dt (1.38)
o que implica
|un(x)− un(y)| ≤
∣∣∣∣∫ x
y
|u′n(t)| dt
∣∣∣∣ , (1.39)
|un(x)| ≤ |un(y)|+
∫ b
a
|u′n(t)| dt. (1.40)
Integrando (1.40) com relac¸a˜o a y em (a, b) tem-se
|un(x)| ≤ 1
b− a
∫ b
a
|un| dt+
∫ b
a
|u′n| dt. (1.41)
Portanto, devemos mostrar que, para E ⊂ (a, b), a famı´lia de func¸o˜es
E 7−→
∫
E
|u′n| dx
e´ equiabsolutamente cont´ınua, ou seja, ∀� > 0 existe δ > 0 tal que
µ(E) < δ ⇒
∫
E
|u′n| dx < �, ∀n ∈ N. (1.42)
De fato, usando (1.42) em (1.39) temos que (un) e´ equicont´ınua em C([a, b]). Ale´m
disso, como un → u em L2(a, b), logo, e´ uma sequeˆncia limitada na norma || · ||Lp .
Este resultado combinado com (1.42) e (1.41) mostram que (un) e´ uniformemente
limitada C([a, b]).
Para provarmos (1.42), usaremos da propriedade continuidade absoluta da integral
de Lebesgue, ou seja, ∀� > 0 existe δ0 > 0 tal que
µ(E) < δ0 ⇒
∫
E
|u′| dx < �
4
. (1.43)
CVaz To´picos do Ca´lculo Variacional 50
Da convergeˆncia un → u em H1,2(a, b) temos que existe n0 = n0(�) ∈ N tal que
n > n0 ⇒ ‖un − u‖H1,2(a,b) < �
4
.
Mas, ‖u′n − u′‖L1(I) ≤ ‖un − u‖H1,1(I), o que implica
n > n0 ⇒
∫ b
a
|u′n − u′| dx <
�
4
.
Logo,
n > n0 ⇒
∫
E
|u′n − u′| dx ≤
∫ b
a
|u′n − u′| dx <
�
4
. (1.44)
Ale´m disso, ∫
E
|u′n| dx ≤
∫
E
|u′n − u′| dx+
∫
E
|u′| dx. (1.45)
Combinando (1.43), (1.44) e (1.45) obtemos
µ(E) < δ0, n > n0 ⇒
∫
E
|u′n| dx <
�
2
. (1.46)
Usando novamente a propriedade (1.43) da integral de Lebesgue temos que existem
δn > 0 tais que, para δ
∗ = min(δ1, δ2, . . . , δn0),
µ(E) < δ∗ ⇒
∫
E
|u′n| dx <
�
2
, ∀ n = 1, 2, . . . , n0. (1.47)
Escolhendo δ = min(δ0, δ
∗) e combinando (1.46) e (1.47) obtemos
µ(E) < δ ⇒
∫
E
|u′n| dx < �, ∀ n ∈ N,
o que prova (1.42).
Portanto, podemos aplicar o Teorema de Arzela´-Ascoli e obter uma subsequeˆncia
(uk) de (un) uniformemente convergente, equivalentemente, existe w ∈ C([a, b]) tal
que uk → w em C([a, b]) o que implica u = w q.s.
Agora, passando o limite em (1.38) e (1.41) para k → ∞, obtemos o Teorema
fundamental do Ca´lculo e a estimativa (1.36). E a prova de (i) esta´ completa.
CVaz To´picos do Ca´lculo Variacional 51
Para provarmos (ii) aplicamos a desigualdade de Ho¨lder em (1.39) e (1.41) para
obter
|u(x)− u(y)| ≤
∣∣∣∣∫ x
y
|u′| dt
∣∣∣∣ ≤ (∫ x
y
|u′|2 dt
) 1
2
|x− y|1− 12
≤
(∫ b
a
|u′|2 dt
) 1
2
|x− y| 12
sup
x∈[a,b]
|u| ≤ 1
b− a
(∫ b
a
|u|2 dx
) 1
2
(b− a) 12 +
(∫ b
a
|u′|2 dx
) 1
2
(b− a) 12
≤
(
1
b− a
∫ b
a
|u|2 dx
) 1
2
+
(∫ b
a
|u′|2 dx
) 1
2
(b− a) 12 .
Observe que o Teorema 1.14 garante que existe uma func¸a˜o cont´ınua em [a, b] que
pertence a classe de equivaleˆncia [u], ou seja, se u ∈ [u] enta˜o u e´ cont´ınua quase
sempre. Portanto, para u ∈ H1,2(a, b) podemos definir u(a) e u(b) do seguinte modo:
u(a) = lim
x→a+
u(x), u(b) = lim
x→b−
u(x).
No que segue, vamos tratar de duas importantes propriedades dos espac¸os de
Sobolev: separabilidade e reflexividade.
Teorema 1.15 O espac¸o H1,2(I) e´ um espac¸o separa´vel e reflexivo.
Prova: Seja X = L2(a, b)× L2(a, b) um espac¸o normado com
‖w‖X =
(‖w1‖2L2 + ‖w2‖2L2) 12 , w = (w1, w2) ∈ X.
Considere a aplicac¸a˜o T : H1,2(a, b) −→ X dada por Tu = (u, u′). T e´ claramente
uma aplicac¸a˜o linear e ∀u ∈ H1,2(a, b) tem-se
‖Tu‖X =
(
‖u‖pLp(I) + ‖u′‖pLp(I)
) 1
p
= ‖u‖H1,p(I).
Logo, T e´ uma isometria, ou seja, H1,2(a, b) e W = T (H1,2(a, b)) sa˜o isometricamente
isomo´rfos e deste modo podemos identificar H1,2(a, b) e W .
CVaz To´picos do Ca´lculo Variacional 52
Como H1,2(a, b) e´ um espac¸o completo temos que W e´ um subespac¸o fechado em
X. Mas, X e´ separa´vel e reflexivo, pois e´ produto cartesiano de dois espac¸os separa´veis
e reflexivos, logo, sabemos que as propriedades de separabilidade e reflexividade sa˜o
propriedades herdadas por subespac¸os fechados de espac¸os de Banach. Logo W e´
separa´vel e reflexivo. Portanto H1,2(a, b) tambe´m e´ separa´vel e reflexivo.
Uma consequeˆncia deH1,p(a, b) ser separa´vel e´ que podemos encontrar uma sequeˆncia
de subconjuntos Vk de H
1,2(a, b) tal que qualquer u ∈ H1,2(a, b) pode ser escrita na
forma u =
∞∑
k=1
αkψk com αk ∈ R e ψk ∈ Vk.
Teorema 1.16 (Desigualdade de Poincare´) Sejam (a, b) um intervalo limitado e
u ∈ H1,p0 (a, b). Enta˜o
‖u‖L2 ≤ (b− a)‖u′‖L2 .
Em particular,
‖u‖1,2 =
(∫ b
a
|u′|2 dx
) 1
2
e´ uma norma em H1,20 (a, b) equivalente a ‖ · ‖H1,2.
Prova: Se u ∈ H1,20 (a, b), enta˜o
|u(x)| = |u(x)− u(a)| =
∣∣∣∣∫ x
a
u′ dx
∣∣∣∣ ≤ ∫ b
a
|u′| dx.
Pela desigualdade de Ho¨lder tem-se
|u(x)| ≤ (b− a)1− 12‖u′‖L2 ,
e logo,
|u(x)|2 ≤ (b− a)‖u′‖2L2(I). (1.48)
Integrando (1.48) com relac¸a˜o a x obtemos o resultado desejado.
Teorema 1.17 Se (a, b) e´ um intervalo limitado, enta˜o a seguinte imersa˜o e´ com-
pacta:
H1,2((a, b)) ↪→ C([a, b]).
CVaz To´picos do Ca´lculo Variacional 53
Prova: Seja (un) uma sequeˆncia limitada em H
1,2(I), isto e´, existe M > 0 tal que
‖un‖1,2 ≤M, ∀n ∈ N. Pelo Teorema 1.14 tem-se
|un(x)− un(y)| ≤
(∫ b
a
|u′n|2 dx
) 1
2
|x− y|1− 12 , ∀x, y ∈ [a, b].
Logo,
|un(x)− un(y)| ≤M |x− y| 12 , ∀x, y ∈ [a, b]
o que implica ser (un) equicont´ınua. Enta˜o, pelo Teorema de Arzela´-Ascoli existe
uma subsequeˆncia (uk) de (un) que converge uniformemente em C([a, b]).
Teorema 1.18 Seja (a, b) um intervalo limitado. Enta˜o a seguinte imersa˜o e´ com-
pacta:
H1,1(a, b) ↪→ Lq(I), 1 ≤ q <∞.
Prova: Seja (un) uma sequeˆncia limitada em H
1,1(a, b), isto e´, existe uma con-
stante c > 0 tal que
‖un‖H1,1(a,b) ≤ c, ∀n ∈ N.
Mostraremos que (un) tem uma subsequeˆncia que converge forte em L
q(I). Para
isto, lembremos que um subconjunto E de um espac¸o me´trico completo X e´ relati-
vamente compacto se, e somente se, para todo � > 0, existe um conjunto finito de
pontos {x(�)1 , . . . , x(�)s } tais que E ⊂
s⋃
i=1
B�
(
x
(�)
i
)
. Vamos obter um conjunto finito depontos satisfazendo estas condic¸o˜es.
Seja `(I) = b − a a medida do intervalo I. Para � > 0 fixo, considere uma
subdivisa˜o de (a, b) dada por uma famı´lia de subintervalos I1, . . . , Is tal que
`(Ij) = σ <
( �
4c
)q
para 1 ≤ j ≤ s,
int(Ij) ∩ int(In) = ∅ para j 6= n.
Seja
un,Ij =
1
σ
∫
Ij
un dx, ∀n, ∀j.
CVaz To´picos do Ca´lculo Variacional 54
Enta˜o,
|un,Ij | ≤
1
σ
∫
Ij
|un| dx ≤ 1
σ
s∑
j=1
∫
Ij
|un| dx
≤ 1
σ
∫
I
|un| dx ≤ 1
σ
‖un‖H1,1(I) ≤ c
σ
.
Considere a famı´lia G de func¸o˜es simples do tipo
g(x) = n1�χ1 + . . .+ ns�χs
com n1, . . . , ns, inteiros em (−M,M), M > c
�σ
e χj a func¸a˜o caracter´ıstica de Ij.
Mostraremos que existe g ∈ G tal que
‖un − g‖Lp < �.
Considere a func¸a˜o
u∗n =
n∑
j=1
un,Ijχj.
Pela desigualdade de Poincare´ e pela relac¸a˜o (1.36) obtemos∫
I
|un − u∗n|q dx ≤
s∑
j=1
∫
Ij
|un − u∗n|q dx
=
s∑
j=1
∫
Ij
|un − un,Ij |q dx
≤
s∑
j=1
(
sup
Ij
|un − un,Ij |
)q−1 ∫
Ij
|un − un,Ij | dx
≤
s∑
j=1
(
1
σ
∫
Ij
|un − un,Ij | dx+
∫
Ij
|u′n| dx
)q−1
σ
∫
Ij
|u′n| dx
≤
s∑
j=1
(
1
σ
σ
∫
Ij
|u′n| dx+
∫
Ij
|u′n| dx
)q−1
σ
∫
Ij
|u′n| dx
≤
s∑
j=1
(
2
∫
Ij
|u′n| dx
)q−1
σ
∫
Ij
|u′n| dx
≤ σ2q−1
s∑
j=1
(∫
Ij
|u′n| dx
)q
≤ σ2q−1
(∫
I
|u′n| dx
)q
≤ σ2q−1cq.
CVaz To´picos do Ca´lculo Variacional 55
Por outro lado, pela definic¸a˜o de G encontramos g ∈ G tal que
|g(x)− u∗n(x)| ≤
�
2l
1
q
, ∀x ∈ I.
Portanto,
‖un − g‖Lq(I) ≤ ‖un − u∗n‖Lq(I) + ‖u∗n − g‖Lq(I)
≤ (2q−1cqσ) 1q + (∫
I
(
�
2l
1
q
)q
dx
) 1
q
≤ 2cσ 1q + �
2l
1
q
(∫
I
dx
) 1
q
≤ 2c
([ �
4c
] 1
q
)q
+
�
2l
1
q
l
1
q
≤ �
2
+
�
2
= �.
1.4 Absolutamente cont´ınuas
Para o caso unidimensional a noc¸a˜o de derivada freca esta´ relacionada com a noc¸a˜o
de func¸a˜o absolutamente cont´ınua. Relembremos a definic¸a˜o de func¸a˜o absolutamente
cont´ınua3:
Definic¸a˜o 1.33 (Func¸a˜o Absolutamente Cont´ınua) Uma func¸a˜o f : [a, b] → R
e´ absolutamente cont´ınua em [a, b] se ∀ε > 0 existe δ > 0 tal que para toda colec¸a˜o
finita de intervalos abertos, disjuntos dois a dois {(ak, bk)}nk=1 com
n∑
k=1
(bk − ak) < δ
tem-se
n∑
k=1
|f(bk)− f(ak)| < ε (1.49)
Representaremos por AC(a, b) o espac¸o das func¸o˜es absolutamente cont´ınua em (a, b).
Exemplo 1.20 Toda func¸a˜o absolutamente cont´ınua e´ uniformente cont´ınua.
De fato, basta considerar um u´nico subintervalo (a1, b1) tal que b1 − a1 < δ.
3consulte [11, cap´ıtulo 9]
CVaz To´picos do Ca´lculo Variacional 56
Por outro lado, sabemos que se u ∈ H1,1(a, b) enta˜o, para todo x, y ∈ [a, b],
u(x)− u(y) =
∫ x
y
u′(t) dt.
Logo,
u(x+ h)− u(y)
h
=
1
h
∫ x+h
x
u′(t) dt. (1.50)
Aplicando o Teorema da diferenciac¸a˜o de Lebesgue em (1.50) conclu´ımos que u e´
diferencia´vel q.s em [a, b] no sentido cla´ssico, ou seja,
lim
h→0
u(x+ h)− u(y)
h
= u′(x) q.s em [a, b].
Em resumo,
Teorema 1.19 Se u ∈ H1,1(a, b) enta˜o u e´ uma func¸a˜o de classe C([a, b]), difer-
encia´vel q.s no sentido cla´ssico e sua derivada cla´ssica u′ coincide q.s. com sua
derivada fraca w ∈ L1(a, b). Ale´m disso, vale o Teorema Fundamental do Ca´lculo
u(x)− u(y) =
∫ x
y
w(t) dt, ∀x, y ∈ [a, b]. (1.51)
Teorema 1.20 Se u ∈ H1,1(a, b) enta˜o u(x) e´ uma func¸a˜o absolutamente cont´ınua.
Prova: Pelo Teorema 1.19 temos que a derivada fraca w(x) de u(x) pertence ao
L1(a, b) e, portanto a func¸a˜o h(x) =
∫ x
a
w(s) ds esta´ bem definida, h(x) e´ absoluta-
mente cont´ınua e h′(x) = w(x) q.s. (consulte [11, cap´ıtulo 9]).
Considere ϕ ∈ C10([a, b]) e use integrac¸a˜o por partes para obter∫ b
a
h(x)ϕ′(x) dx = −
∫ b
a
h′(x)ϕ(x) dx = −
∫ b
a
w(x)ϕ(x) dx (1.52)
Mas, u′(x) e´ a derivada fraca de u(x) e logo satisfaz (1.30). Combinando (1.30) e
(1.52) obtemos ∫ b
a
(u− h)ϕ′ dx = 0.
Por outro lado, u e h sa˜o diferencia´veis q.s e portanto∫ b
a
(u− h)′ ϕdx = 0, ∀ϕ ∈ C10([a, b]).
CVaz To´picos do Ca´lculo Variacional 57
Pelo Lema variacional 1.6 tem-se (u(x) − h(x))′ = 0 q.s. Logo, u(x) = h(x) + C, o
que implica u(x) ser absolutamente cont´ınua.
Observe que o Teorema 1.20 afirma que H1,1(a, b) ⊂ AC(a, b), ou seja, toda func¸a˜o
de H1,1(a, b), a menos de um conjunto de medida nula, e´ absolutamente cont´ınua.
Por outro lado, se u ∈ AC(a, b) temos que u tem derivada cla´ssica q.s que pertence
a L1(a, b) e considerada como func¸a˜o de L1(a, b) e´ a derivada fraca de u, portanto
AC(a, b) ⊂ H1,1(a, b). Em resumo,
Teorema 1.21 AC(a, b) = H1,1(a, b).
Ale´m disso, vale (1.51) e podemos dizer que as func¸o˜es de H1,2(a, b) sa˜o as primitivas
das func¸o˜es de L2(a, b).
Os espac¸os Hm,p(Ω) e Hm,p0 (Ω)
Vamos introduzir os espac¸os de Sobolev para func¸o˜es definidas no domı´nio aberto
Ω do Rn, n ≥ 1. Para isto vamos considerar a seguinte notac¸a˜o:
Considere Zn+ o conjunto das n-uplas de inteiros na˜o negativos α = (α1, α2, · · · , αn)
com αj ∈ Z+. Representaremos |α| =
n∑
j=1
αj e por D
αu a derivada parcial
Dαu =
∂|α|u
∂xα11 ∂x
α2
2 · · · ∂xαnn
Por exemplo, para n = 3, α = (1, 0, 3) temos |α| = 4 e
Dαu =
∂4u
∂xα1∂yα2∂zα3
Representaremos por ∑
0≤|α|≤m
Dαu
a soma das derivadas parciais de u de ordem m (incluindo m). Por exemplo, na˜o e´
complicado obter que∑
0≤|α|≤2
Dαu =
∂2u
∂x2
+
∂2u
∂x∂y
+
∂2u
∂y2
+
∂u
∂x
+
∂u
∂y
+ u.
CVaz To´picos do Ca´lculo Variacional 58
Regularidade da fronteira
Sejam x0 ∈ ∂Ω, B�(x0) = {x ∈ Rn ; |x− x0| < �} e (ξ1, ξ2, · · · , ξn) um sistema de
coordenadas tal que o segmento ∂Ω ∩B�(x0) pode ser representado na forma
ξj = φ(ξ1, ξ2, · · · , ξj−1, ξj+1, · · · , ξn), para algum j
Enta˜o o grau de regularidade de ∂Ω em x0 e´ medido pela diferenciabilidade da func¸a˜o
φ em x0.
Definic¸a˜o 1.34 (a) Dizemos que ∂Ω e´ de classe Cm se a func¸a˜o φ ∈ Cm para todo
x0 ∈ ∂Ω;
(b) Dizemos que ∂Ω e´ “Lipschitz” se a func¸a˜o φ satisfaz a condic¸a˜o de Lipschitz:
para todo x0, y0 ∈ ∂Ω, existe uma constante k > 0 tal que
|φ(ξ(x0)− φ(ξ(y0)| < k|x0 − y0|.
Exemplo 1.21 Vamos considerar alguns exemplos no plano R2.
(a) Um triaˆngulo e´ um domı´nio lipschitz mas na˜o de classe C1.
(b) Um disco e´ um domı´nio de classe C1.
(c) Se Ω e´ obtido removendo-se da bola B1(0) o subconjunto S = (−1, 0] × {0}
enta˜o Ω na˜o e´ Lipschitz.
Como o espac¸o Cm(Ω) e´ incompleto com a norma
||u||m,p =
 ∑
0≤|α|≤m
∫
Ω
|Dαu(x)|p dx
1/p =
 ∑
0≤α|≤m
||Dαu||pp
1/p , (1.53)
enta˜o, pelo Teorema 1.13, podemos definir o seu completamento:
Definic¸a˜o 1.35 O espac¸o Hm,p(Ω) e´ o completamento de
(
Cm(Ω), || · ||m,p
)
.
CVaz To´picos do Ca´lculo Variacional 59
Portanto, se u ∈ Hm,p(Ω) enta˜o existe uma sequ¨eˆncia de Cauchy (un) em Cm(Ω)
tal que
lim
n,k→∞
||un − uk||m,p = 0
Logo usando-se (1.53) para qualquer multi-´ındice α, |α| ≤ m, temos que
||Dαun −Dαuk||p ≤ ||un − uk||m,p (1.54)
Deste modo para o multi-´ındice α = (0, 0, · · · , 0) temos por (1.54) que (un) e´ uma
sequ¨eˆncia de Cauchy em Lp(Ω). Mas o espac¸o Lp(Ω) e´ completo e logo existe um
elemento u´nico u ∈ Lp(Ω) tal que
u = lim
n→∞
un em L
p(Ω).
Agora. para outro multi-´ındice α, 1 ≤ |α| ≤ m, fo´rmula (1.54) implica que (Dαun) e´
uma sequ¨eˆncia de Cauchy em Lp(Ω) e como este espac¸o e´ completo temos que existe
um u´nico elemento wα ∈ Lp(Ω) tal que
wα = lim
n→∞
Dαun em L
p(Ω).
Ale´m disso, o elemento wα e´ determinado unicamente por u e na˜o depende da escolha
da sequ¨eˆncia (un) que aproxima u. O elemento wα e´ chamado α-e´sima derivada
generalizada da func¸a˜o u e representa-se por Dαu.
A derivada generalizada Dαu pode