Exercícios Programados 08-C2-2016-1-Aluno

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Fundação CECIERJ – Vice Presidência de Educação Superior a Distância 
 
Cálculo II – EP08 – (2016/1) 
Observação 
Como material complementar e em arquivo adicional, você encontrará na Semana 10 do caderno da 
coordenação exercícios resolvidos e o passo a passo de vários exercícios propostos no caderno didático 
sobre o método de substituição trigonométrica. No apêndice 7 , procure a semana 10. Nela você 
encontrará exercícios adicionais e a resolução de outros exercícios propostos no caderno didático. 
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Sobre o método de substituição trigonométrica 
 
No método de substituição trigonométrica, a idéia é usar as relações que certas funções trigonométricas 
têm entre si, a saber 
 
(i) 
2 2cos 1sen    
(ii) 
2 21 sectg   
 
(iii) 
2 21 csccotg   
 
 
Note que a equação (i) pode ser reescrita da forma 
 
(função trigonométrica)2 = (constante positiva) – (função trigonométrica)2, por exemplo 
 
2 21 cossen    ou 2 2cos 1 sen   , 
 
ideal para se usar em situações em que apareçam, no integrando, expressões do tipo 
2 2a x
 em que 
podemos portanto fazer uma mudança da forma 
cos
x
a

 ou 
x
sen
a

 (Por quê?) 
 
Já as equações (ii) e (iii) podem ser reescritas da forma 
 
(função trigonométrica)2 = (função trigonométrica)2 - (constante positiva) por exemplo 
 
2 2sec 1tg   
 ou 
2 2csc 1cotg   
, 
 
ideal para situações em que, no integrando, aparecem expressões da forma 
2 2x a
, em que podemos 
portanto fazer uma mudança da forma 
sec
x
a

 ou 
csc
x
a

. 
 
As equações (ii) e (iii) já estão escritas na forma 
 
(função trigonométrica)2 = (função trigonométrica)2 + (constante positiva), por exemplo 
 
2 2sec 1tg  
 e 
2 2csc 1cotg  
, 
Cálculo II EP08 – Aluno 2016/1 
 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
P
ág
in
a2
 
ideal para situações em que, no integrando, aparecem expressões da forma 
2 2a x
, em que podemos 
portanto fazer uma mudança da forma 
x
tg
a

 ou 
x
cotg
a

. 
 
 
Exercício 1: Calcule a integral pelo método de substituição trigonométrica usando a função mais 
conveniente dentre as indicadas entre parênteses. 
 
a) 2
23 2
x
dx
x 

 (secante ou tangente ?) 
b) 
3 3
32
2 3/2
0
(4 9)
x
dx
x 
 (secante ou tangente ?) 
c) 
2 2
1
1
dx
x x

 (seno ou secante ?) 
 
d) 
2( 3) 1x dx 
 (seno ou cotangente ?) 
 
Exercício 2: Calcule as integrais a seguir , usando o método da substituição trigonométrica: 
 
a) 1
2
0 3 2
x
dx
x x 

 
b) 2
2
4x x
x
e e
dx
e


 
c) 
2 6 10x x dx 
 
d) 
2
1
ln
4 (ln )
e
x
dx
x x

 
 
Dica: em (a) e (c), complete quadrado antes de usar uma substituição trigonométrica conveniente. 
Em (b) e (d), inicialmente use uma substituição adequada. 
 
 Uma ótima semana para todos! 
 
Profs. Acir e Sonia