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RESUMO DE FÓRMULAS PARA GEOMETRÍA ANALÍTICA B: 1ª ÁREA 
Prof. Elismar R. Oliveira 
 
Soma de vetores: 
Soma dos vetores=> Regra do Paralelogramo => 
Em coordenadas: 𝒖 = (𝒙𝟏,𝒚𝟏,𝒛𝟏) e 𝒗 = (𝒙𝟐,𝒚𝟐,𝒛𝟐) 
 
𝒖 + 𝒗 = (𝒙𝟏 + 𝒙𝟐,𝒚𝟏 + 𝒚𝟐,𝒛𝟏 + 𝒛𝟐) 
 
Multiplicação p/ nº real 
Em coordenadas 
𝒖 = (𝒙𝟏,𝒚𝟏,𝒛𝟏) 𝜶, um número real. 𝜶𝒖 = (𝜶𝒙𝟏 ,𝜶 𝒚𝟏,𝜶𝒛𝟏) 
LD ou LI 
1 vetor 
 
{𝒖 } = 𝑳𝑫, 𝒔𝒆 𝒖 = 𝟎
 
𝑳𝑰, 𝒄𝒂𝒔𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓á𝒓𝒊𝒐
 
 
2 vetores 
 
 
{𝒖 ,𝒗 } = 
𝑳𝑫, 𝒔𝒆 𝒖 = 𝜶𝒗 𝒐𝒖 𝒗 = 𝜶𝒖 
𝑳𝑰, 𝒄𝒂𝒔𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓á𝒓𝒊𝒐 
 
3 vetores (em coordenadas) 
Se 𝒖 = (𝒙𝟏,𝒚𝟏,𝒛𝟏), 𝒗 = (𝒙𝟐,𝒚𝟐,𝒛𝟐) e 
𝒘 = (𝒙𝟑,𝒚𝟑,𝒛𝟑), 
𝒅 = 𝒅𝒆𝒕 
𝒙𝟏 𝒚𝟏 𝒛𝟏
𝒙𝟐 𝒚𝟐 𝒛𝟐
𝒙𝟑 𝒚𝟑 𝒛𝟑
 
{𝒖 ,𝒗 ,𝒘 } = 
𝑳𝑫, 𝒔𝒆 𝒅 = 𝟎 
𝑳𝑰, 𝒔𝒆 𝒅 ≠ 𝟎 
 
Norma em coordenadas 𝒖 = (𝒙,𝒚, 𝒛) 
 
| 𝒖 | = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 
 
Produto interno 
 
𝒖 ⋅ 𝒗 = 
𝟎, 𝒔𝒆 𝒖 = 𝟎 𝒐𝒖 𝒗 = 𝟎 
| 𝒖 | 𝒗 𝒄𝒐𝒔 𝜽,
𝒄𝒂𝒔𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓á𝒓𝒊𝒐
 
 
Em coordenadas: 
𝒖 ⋅ 𝒗 = 𝒙𝟏𝒙𝟐 + 𝒚𝟏𝒚𝟐 + 𝒛𝟏𝒛𝟐 
𝒖 ⋅ 𝒖 = | 𝒖 𝟐 
Ou | 𝒖 | = 𝒖 ⋅ 𝒖 
𝒖 ⋅ 𝒗 = 𝟎 <=> 𝒖 ⊥ 𝒗 
Ângulo e Projeção 𝒖 = 𝒙𝟏,𝒚𝟏,𝒛𝟏 e 𝒗 = (𝒙𝟐,𝒚𝟐,𝒛𝟐) 
 
Ângulo 𝜽 = ∢(𝒖 ,𝒗 ): 𝒄𝒐𝒔 𝜽 =
𝒖 ⋅𝒗 
| 𝒖 | 𝒗 
 
 
Projeção ortogonal de 𝒖 sobre 𝒗 : 
𝒑𝒓𝒐𝒋𝒗 𝒖 = 
𝒖 ⋅ 𝒗 
𝒗 ⋅ 𝒗 
 𝒗 
Produto Vetorial 
 
𝒖 ∧ 𝒗 = ||
𝟎, 𝒔𝒆 {𝒖 ,𝒗} é 𝑳𝑫
𝒖 ∧ 𝒗 || = | 𝒖 | 𝒗 𝒔𝒆𝒏 𝜽,
𝒄𝒂𝒔𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓á𝒓𝒊𝒐
 
Em coordenadas: 
 
𝒖 ∧ 𝒗 = 𝒅𝒆𝒕 
𝒊 𝒋 𝒌 
𝒙𝟏 𝒚𝟏 𝒛𝟏
𝒙𝟐 𝒚𝟐 𝒛𝟐
 
 
 
𝒖 ∧ 𝒗 ⊥ 𝒖 e 𝒖 ∧ 𝒗 ⊥ 𝒗 
 
||𝒖 ∧ 𝒗 || = Área do paralelogramo 
formado por 𝒖 e 𝒗 . 
 
Produto Misto 
 
 
 𝒖 ,𝒗 ,𝒘 = 𝒖 ∧ 𝒗 ⋅ 𝒘 
 
Em coordenadas: 
 𝒖 ,𝒗 ,𝒘 = 𝒅𝒆𝒕 
𝒙𝟏 𝒚𝟏 𝒛𝟏
𝒙𝟐 𝒚𝟐 𝒛𝟐
𝒙𝟑 𝒚𝟑 𝒛𝟑
 
 
 
| 𝒖 ,𝒗 ,𝒘 | = Volume do 
paralelepípedo formado por 𝒖 ,𝒗 e 𝒘 . 
 
 
Vetor entre A e B 
𝑨𝑩 = 𝑩− 𝑨 = 𝒙𝟐 − 𝒙𝟏,𝒚𝟐 − 𝒚𝟏,𝒛𝟐 − 𝒛𝟏 onde, 𝑨 = 𝒙𝟏,𝒚𝟏,𝒛𝟏 e 𝑩 = 𝒙𝟐,𝒚𝟐,𝒛𝟐 
Mudanças de 
coordenadas 
𝚺𝟏 = {𝑶,𝒆𝟏 ,𝒆𝟐 ,𝒆𝟑 } => 𝚺𝟐 = {𝑶′,𝒆𝟏 ,𝒆𝟐 ,𝒆𝟑 } 
 
𝑿 = 𝒙,𝒚, 𝒛 𝚺𝟏 
𝑶′ = 𝒉,𝒌,𝒎 𝚺𝟏 
 
𝑿 = 𝒙′,𝒚′, 𝒛′ 𝚺𝟐 
 
𝒙 = 𝒙′ + 𝒉
𝒚 = 𝒚′ + 𝒌
𝒛 = 𝒛′ + 𝒎
 
 
𝚺𝟏 = {𝑶,𝒆𝟏 ,𝒆𝟐 ,𝒆𝟑 } => 𝚺𝟐 = {𝑶,𝒇𝟏 ,𝒇𝟐 ,𝒇𝟑 } 
 
𝑿 = 𝒙,𝒚, 𝒛 𝚺𝟏 e 𝑿 = 𝒙′,𝒚′, 𝒛′ 𝚺𝟐 
 
𝒇𝟏 = 𝒂𝟏𝟏𝒆𝟏 + 𝒂𝟐𝟏 𝒆𝟐 + 𝒂𝟑𝟏 𝒆𝟑 
𝒇𝟐 = 𝒂𝟏𝟐𝒆𝟏 + 𝒂𝟐𝟐 𝒆𝟐 + 𝒂𝟑𝟐 𝒆𝟑 
𝒇𝟑 = 𝒂𝟏𝟑𝒆𝟏 + 𝒂𝟐𝟑 𝒆𝟐 + 𝒂𝟑𝟑 𝒆𝟑 
 
𝒙 = 𝒂𝟏𝟏𝒙′ + 𝒂𝟏𝟐𝒚′ + 𝒂𝟏𝟑𝒛′
𝒚 = 𝒂𝟐𝟏𝒙′ + 𝒂𝟐𝟐𝒚′ + 𝒂𝟐𝟑 𝒛′
𝒛 = 𝒂𝟑𝟏𝒙′ + 𝒂𝟑𝟐 𝒚′ + 𝒂𝟑𝟑 𝒛′
 
Equações da reta 
Vetorial 
𝒓: 𝑿 = 𝑨 + 𝝀 𝒗 
𝑨 = (𝒙𝟎,𝒚𝟎,𝒛𝟎) e 𝒗 = 𝒂,𝒃, 𝒄 . 
Paramétrica 
𝒓: 
𝒙 = 𝒙𝟎 + 𝝀 𝒂
𝒚 = 𝒚𝟎 + 𝝀 𝒃
𝒛 = 𝒛𝟎 + 𝝀 𝒄
 
Simétrica 
𝒙 − 𝒙𝟎
𝒂
=
𝒚 − 𝒚𝟎
𝒃
=
𝒛 − 𝒛𝟎
𝒄
 
Ângulo entre retas 
𝒓: 𝑿 = 𝑨 + 𝝀 𝒖 
𝒔: 𝑿 = 𝑩 + 𝝀 𝒗 
Ângulo: 
 𝜽 = ∢(𝒓, 𝒔) 
𝒄𝒐𝒔 𝜽 =
|𝒖 ⋅ 𝒗 |
| 𝒖 | 𝒗 
 
 
 
Posição relativa entre as 
retas r e s: 
 
𝒓: 𝑿 = 𝑨+ 𝝀 𝒖 
𝒔: 𝑿 = 𝑩 + 𝜷 𝒗 
 
 
Paralelismo 
 
𝒓 ∥ 𝒔 <=> 𝒖 ∥ 𝒗 
 
Concorrentes X Reversas 
𝒖 = (𝒂𝟏,𝒃𝟏,𝒄𝟏), 𝒗 = (𝒂𝟐,𝒃𝟐,𝒄𝟐) e 𝑨𝑩 = 𝑩− 𝑨 = 𝒙𝟐 − 𝒙𝟏,𝒚𝟐 − 𝒚𝟏,𝒛𝟐 − 𝒛𝟏 , 
 
𝒅 = 𝒅𝒆𝒕 
𝒂𝟏 𝒃𝟏 𝒄𝟏
𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐
𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 𝒛𝟐 − 𝒛𝟏
 = 
𝑪𝒐𝒏𝒄𝒐𝒓𝒓𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔, 𝒔𝒆 𝒅 = 𝟎 
𝑹𝒆𝒗𝒆𝒓𝒔𝒂𝒔, 𝒔𝒆 𝒅 ≠ 𝟎 
 
 
Perpendicular X Ortogonal 
 
𝒓 ⊥ 𝒔 <=> 𝒖 ⊥ 𝒗 = 
𝑶𝒓𝒕𝒐𝒈𝒐𝒏𝒂𝒊𝒔, 𝒔𝒆 𝒓 𝒆 𝒔 𝒔ã𝒐 𝒓𝒆𝒗𝒆𝒓𝒔𝒂𝒔 
𝑷𝒆𝒓𝒑𝒆𝒏𝒅𝒊𝒄𝒖𝒍𝒂𝒓𝒆𝒔, 𝒔𝒆 𝒓 𝒆 𝒔 𝒔ã𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒄𝒐𝒓𝒓𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔