AULA 7-8 VETORES - TRATAMENTO ALGÉBRICO - Vetores no Espaço

Prévia do material em texto

GEOMETRIA ANALÍTICA
PROFESSOR: SANDER BERNARDI
E-MAIL:sanderbernardi@unipampa.edu.br
AULA: 7-8
DATA: 22/03/2019
UNIDADE 1 - VETORES NO PLANO E 
NO ESPAÇO
• VETORES.
• Tratamento Algébrico
Tratamento Algébrico
❑ Vetores no espaço
Para representar um vetor no espaço, utilizaremos o Sistema
Cartesiano Ortogonal Oxyz, determinado pela base canônica Ԧ𝒊, Ԧ𝒋, 𝒌 .
X (abscissas)
Y (ordenadas)
Z (cotas)
Ԧ𝑖 1,0,0
Ԧ𝑗 0,1,0
𝑘 0,0,1
Tratamento Algébrico
❑ Vetores no espaço
Cada dupla de eixos coordenados forma um plano, sendo assim,
teremos três planos coordenados: xOy, xOz e yOz.
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
Tratamento Algébrico
❑ Vetores no espaço
De mesma forma que no plano, cada ponto P(x,y,z) do espaço
corresponde a um vetor 𝒗 = 𝑶𝑷 = 𝒙Ԧ𝒊 + 𝒚Ԧ𝒋 + 𝒛𝒌 , ou seja, as
coordenadas x, y e z do pondo P são as componentes do vetor 𝑶𝑷
na base canônica.
𝒗 = 𝒙Ԧ𝒊 + 𝒚Ԧ𝒋 + 𝒛𝒌
𝒗 = 𝒙, 𝒚, 𝒛
Tratamento Algébrico
❑ Vetores no espaço
Obs.: Considerando o ponto P(2,4,3)no espaço.
É importante ter em vista os casos em que os pontos pertencem
aos eixos e aos planos coordenados, como mostra a figura abaixo:
Como proceder para marcar um ponto no espaço?
Ex.: A(3,-2,4)
1. Marcar o ponto A’(3,-2,0) n0 plano xy.
2. Deslocar A’ 4 unidades paralelamente ao eixo z
no sentido positivo, obtendo o ponto A.
Tratamento Algébrico
❑ Vetores no espaço
A interseção dos três planos coordenados divide o espaço em oito
regiões que são chamadas octantes. O sinal das coordenadas de um
ponto em cada octante está de acordo com o sentido positivo de
cada eixo coordenado.
* No primeiro octante todas as coordenadas são positivas.
Exemplo:
Representar os pontos A, B, C e D que estão distribuídos acima do plano xy e os
pontos A’, B’, C’ e D’ que estão abaixo do plano xy.
▪ A(6,4,2) 1° octante
▪ B(-5,3,2) 2° octante
▪ C(-6,-5,2) 3° octante
▪ D(5,-3,2) 4° octante
▪ A’(6,4,-2) 5° octante
▪ B’(-5,3,-2) 6° octante
▪ C’(-6,-5,-2) 7° octante
▪ D’(5,-3,-2) 8° octante
Tratamento Algébrico
❑ Vetores no espaço
▪ Igualdade
▪ Operações
▪ Vetor definido por dois pontos
▪ Ponto médio
▪ Paralelismo
▪ Módulo de um vetor
Todas as considerações,
relativas aos temas ao
lado, feitas no estudo do
plano, são válidas para o
estudo do espaço.
Tratamento Algébrico
❑ Vetores no espaço
I. Dois vetores 𝒖 = 𝒙𝟏, 𝒚𝟏, 𝒛𝟏 e 𝒗 = 𝒙𝟐, 𝒚𝟐, 𝒛𝟐 serão iguais somente
se, 𝒙𝟏 = 𝒙𝟐, 𝒚𝟏 = 𝒚𝟐 e 𝒛𝟏 = 𝒛𝟐.
II.Sejam os vetores 𝒖 = 𝒙𝟏, 𝒚𝟏, 𝒛𝟏 e 𝒗 = 𝒙𝟐, 𝒚𝟐, 𝒛𝟐 e 𝜶 ∈ 𝑰𝑹:
I. 𝒖 + 𝒗 = 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐, 𝒚𝟏 + 𝒚𝟐, 𝒛𝟏 + 𝒛𝟐
II. 𝜶𝒖 = 𝜶𝒙𝟏, 𝜶𝒚𝟏, 𝜶𝒛𝟏
III.Sejam A(x1,y1,z1)e B(x2,y2,z2) dois pontos no espaço,
𝑨𝑩 = 𝑩 − 𝑨 = 𝒙𝟐 − 𝒙𝟏, 𝒚𝟐 − 𝒚𝟏, 𝒛𝟐 − 𝒛𝟏
Se 𝒗 = 𝑩 − 𝑨, então 𝑩 = 𝑨 + 𝒗
Tratamento Algébrico
❑ Vetores no espaço
IV.Se A(x1,y1,z1)e B(x2,y2,z2) são os extremos de um segmento, o
ponto médio M de AB é dado por:
𝑴 =
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐
𝟐
,
𝒚𝟏 + 𝒚𝟐
𝟐
,
𝒛𝟏 + 𝒛𝟐
𝟐
V. Se 𝒖 = 𝒙𝟏, 𝒚𝟏, 𝒛𝟏 𝒆 𝒗 = 𝒙𝟐, 𝒚𝟐, 𝒛𝟐 são paralelos, 𝒖 = 𝜶𝒗 ou
𝒙𝟏
𝒙𝟐
=
𝒚𝟏
𝒚𝟐
=
𝒛𝟏
𝒛𝟐
VI.O módulo de 𝒗 = 𝒙, 𝒚, 𝒛 é calculado por:
𝒗 = 𝒙2 + 𝒚2 + 𝒛2
Referências Bibliográficas
❑ WINTERLE, P. Vetores e geometria analítica. Makron 
Books, 2000.