Transformacoes Lineares e Matrizes

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Nova School of Business and Economics 
Prática Álgebra Linear 
 
1 
 
 
5 – Transformações Lineares e 
Matrizes 
 
1 Função de em ( ) 
Aplicação que faz corresponder a cada elemento de um conjunto (domínio), denominado 
objecto, um e um só elemento de um conjunto (espaço de chegada), denominado 
imagem. 
 
 ( ) 
 : Domínio de ; : Espaço de chegada de 
 
Ex.: 
 
 ( ) 
 
 é uma função de em porque a cada vector de faz corresponder um único vector 
de , que corresponde à soma das suas coordenadas. 
 
2 Transformação linear de em ( ) 
Função cujos domínio e contra-domínio são espaços vectoriais e que é: 
 ; e espaços vectoriais 
 Linear na soma: A imagem da soma de quaisquer dois objectos de é a soma das 
imagens desses objectos. 
 ( ) ( ) ( ) 
 Linear na multiplicação por escalares (ou números reais): A imagem do produto de 
qualquer objecto de por qualquer número real é o produto desse número real pela 
imagem desse objecto. 
 ( ) ( ) 
 
Ex.: 
 
 ( ) ( )
 
 é uma transformação linear porque os seus domínio e contradomínio ( e , 
respectivamente) são espaços vectoriais e porque é: 
 Linear na soma: ( ) ( ) 
 
Definição 
Definição 
Prática Álgebra Linear 
5 – Transformações Lineares e Matrizes 
 
2 
 
 
 ( ) ,( ) ( )- ( ) 
( ) 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 
 ) ( ) 
 ( ) ( ) ( ) 
 Linear na multiplicação por escalares (ou números reais): : ( ) 
 
 ( ) , ( )- ( ) ( ) 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
 ( ) ( ) 
 
3 Núcleo de uma transformação linear ( ( )) 
Conjunto de objectos de cuja imagem é o vector nulo do seu espaço de chegada. 
 
 ( ) * ( ) ̅ + 
 
Ex.: 
 
 ( ) ( ) ( ) 
 
 ( ) {( ) ( ) ̅ } 
*( ) ( ) ( ) + *( ) + 
 
4 Imagem de uma transformação linear ( ( )) 
Conjunto de elementos do espaço de chegada de que são imagens de pelo menos um dos 
objectos de . Contra-domínio de . 
 
 ( ) * ( ( ) )+ 
 
Ex.: 
 
 ( ) ( )
 
 ( ) {( ) ( ( ) ( ) ( ))} *( ) + 
 
 
Definição 
Definição 
Prática Álgebra Linear 
5 – Transformações Lineares e Matrizes 
 
3 
 
 
5 Função composta após de duas funções e 
( ) 
Função que aplica cada objecto , pertencente ao domínio de , à função , obtendo uma 
imagem, ( ), aplicando-a depois à função , para obter a sua imagem, ( ( )). 
 
 
 ( )( ) ( ( )) 
Ex. : 
 
 
 ( ) ( )
 
 
 
 ( ) ( )
 
 
 
( )( ) ( ( )) ( ) ( )
 
 
6 Função inversa de uma função ( ) 
Função, cujo domínio é o contra-domínio de , e cujo contra-domínio é o domínio de , que 
faz corresponder a cada imagem de o único objecto que lhe deu origem. 
 
 
 ( ( )) ( )( ) 
 ( ( )) ( )( ) 
 
Ex. : 
 
 
 ( ) . 
 
 
/
 
 
 
 ( ) .
 
 
 /
 
 
 ( )( ) . 
 
 
/ ( ) 
 
 ( )( ) .
 
 
 / ( ) 
 
7 Função bijectiva 
Função cujo contra-domínio coincide com o espaço de chegada e em que cada imagem 
corresponde a um único objecto. 
 
 {
 ( ) 
 ( ) ( )
 
 
Definição 
Definição 
Definição 
Prática Álgebra Linear 
5 – Transformações Lineares e Matrizes 
 
4 
 
 
Ex. 1: 
 
 
 ( ) ( )
 
 é bijectiva porque todos os vectores de 
 são imagens de um e apenas um vector de . 
Ex. 2: 
 
 
 ( ) ( )
 
 não é bijectiva porque, por exemplo, ( ) é imagem de ( ) e de ( ). 
Ex. 3: 
 
 
 ( ) ( )
 
 não é bijectiva porque, por exemplo, ( ) não é imagem de nenhum vector de 
 . 
 
8 Matriz de transformação de uma transformação linear 
( ) 
Matriz ( ) que permite obter a imagem de qualquer objecto de através da 
multiplicação à esquerda por esse objecto. 
 
 
 ( ) 
 
Ex. : 
 
 ( ) ( )
 
 0
 
 
1 ( ) ( ) 0
 
 
1 [
 
 
 
] 0
 
 1 
 
9 Matriz de transformação de uma transformação linear e vectores 
da base canónica 
A matriz de transformação de uma transformação linear tem como colunas as 
imagens segundo dos vectores ordenados da base canónica de . 
 *( ) ( ) ( )+ * + 
 , ( ) ( ) ( )- 
 
Ex. : 
 
 ( ) ( )
 *( ) ( ) ( )+ 
{
 ( ) ( )
 ( ) ( )
 ( ) ( )
 0
 
 
1 
 
Definição 
Facto 
Prática Álgebra Linear 
5 – Transformações Lineares e Matrizes 
 
5 
 
 
10 Transformação linear composta e matrizes de transformação 
A matriz de transformação da transformação linear composta de duas 
transformações lineares e , se existir, é o produto entre as matrizes de transformação 
de e de , por esta ordem. 
 
 
 
 
 
 
Ex. : 
 
 
 ( ) ( )
 
 
 
 ( ) ( )
 
 
 
( )( ) ( )
 
 [
 
 
 
] 0
 
 
1 0
 
 
1 
 0
 
 
1 0
 
 
1 [
 
 
 
] 
 
11 Invertibilidade de uma transformação linear 
Seja uma transformação linear. As seguintes afirmações são equivalentes: 
 é invertível 
 é bijectiva 
 ( ) * ̅ + 
 ( ) 
 | | 
 
Ex. 1: 
 
 
 ( ) ( )
 [
 
 
 
] 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
 ( ) *( )+ 
 ( ) 
 
 | | 
Ex. 2: 
 
 
 ( ) ( )
 [
 
 
 
] 
 ( ) ( ) ( ) 
 ( ) *( ) 
 + *( )+ 
Facto 
Facto 
Prática Álgebra Linear 
5 – Transformações Lineares e Matrizes 
 
6 
 
 
 ( ) *( ) ( )+ 
 
 | | 
 
12 Matriz de mudança de base da base para a base de um espaço 
vectorial ( ) 
Matriz que permite obter as coordenadas de qualquer vector na base de através da 
multiplicação à esquerda pelas coordenadas desse vector na base de . 
 * + * + 
 
 ( ) 
 ( ) 
 
Ex.: *( ) ( ) ( )+ *( ) ( ) ( )+ 
( ) ( ) ( ) (
 
 
 )
 
 
 
[
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ]
 
 
 
 
 
 
[]
 
 
 
 
 
[
 
 
 
]
 
 [
 
 
 
 
]
 
 
 
13 Matriz de mudança de base e vectores de bases 
A matriz de mudança da base para a base de é o produto entre e , por esta 
ordem, sendo as matrizes ( ) cujas colunas são os vectores da base e , 
respectivamente. 
 * + * + 
 
 , - , - 
 
 
 
Ex.: *( ) ( ) ( )+ *( ) ( ) ( )+ 
 [
 
 
 
] [
 
 
 
] 
Definição 
Facto 
Prática Álgebra Linear 
5 – Transformações Lineares e Matrizes 
 
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[
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ]
 
 
 
 
 
 
 [
 
 
 
] 
 
14 Matrizes de mudança de base e base canónica 
A matriz de mudança de base da base para a base canónica de é e a matriz de 
mudança de base da base canónica para a base de é , sendo a matriz ( ) 
cujas colunas são os vectores ordenados da base . 
 *( ) ( ) ( )+ * + 
 
 , - 
 
 
 
Ex.: *( ) ( ) ( )+ *( ) ( ) ( )+ 
 
 [
 
 
 
] 
 [
 
 
 
] 
 
[
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ]
 
 
 
 
 
 
 
15 Matriz de transformação, da base de para a base de , de 
uma transformação linear ( 
 
) 
Matriz que permite obter as coordenadas na base de da imagem de qualquer objecto de 
 através da multiplicação à esquerda pelas coordenadas na base de desse objecto. 
 
 * + * + 
 
 
{
 ( ) 
 ( ) ( ) 
 
 
 
 
Definição 
Facto 
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5 – Transformações Lineares e Matrizes 
 
8 
 
 
Ex. : 
 
 ( ) ( )
 
 *( ) ( ) ( )+ *( ) ( ) ( )+ 
 
 
 [
 
 
 
] 
 [
 
 
 
] 
 [
 
 
 
] 
 [
 
 
 
] 
( ) ( ) ( ) ( ) 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 
[
 
 
 
] [
 
 
 
]
 
 [
 
 
 
]
 
 [
 
 
 
] [
 
 
 
]
 
 [
 
 
 
]
 
 
[
 
 
 
] [
 
 
 
]
 
 [
 
 
 
]
 
 [
 
 
 
] [
 
 
 
]
 
 [
 
 
 
]
 
 
 
16 Matrizes de transformação de uma transformação linear e vectores 
de bases 
A matriz de transformação, da base de para a base de , de uma transformação 
linear tem como colunas as coordenadas na base de das imagens dos vectores 
ordenados da base . 
 
 * + * + 
 ( ) ( ) ( ) 
 ( 
 
 
 ) ( 
 
 
 ) ( 
 
 
 ) 
 
 
[
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ]
 
 
 
 
 
Ex. : 
 
 ( ) ( )
 
 *( ) ( ) ( )+ *( ) ( ) ( )+ 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 
( ) ( ) ( ) 
( ) ( ) ( ) 
( ) ( ) ( ) 
Facto 
Prática Álgebra Linear 
5 – Transformações Lineares e Matrizes 
 
9 
 
 
 
 [
 
 
 
] 
 [
 
 
 
] 
 [
 
 
 
] 
 [
 
 
 
] 
 
17 Cálculo da matriz de transformação, da base de para a base 
 de , de uma transformação linear 
 
 * + 
 , - 
 * + 
 , - 
 
 
 
Ex. : 
 
 ( ) ( )
 
 *( ) ( ) ( )+ 
 *( ) ( )+ 
 0
 
 
1 [
 
 
 
] 0
 
 
1 0
 
 
1 
 
 0
 
 
1 
 
18 Cálculo da matriz de transformação, na base , de uma 
transformação linear 
 
 * + 
 , - 
 
 
 
Ex. : 
 
 ( ) ( )
 
 *( ) ( ) ( )+ 
 [
 
 
 
] [
 
 
 
] [
 
 
 
] 
 
 [
 
 
 
] 
Fórmula 
Fórmula