Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Universidade Federal do Paraná 2◦ semestre 2015. Algebra Linear, CM 005 Olivier Brahic Lista de exercícios 2 Sistemas de equações lineares II Exercício 1: As matrizes aumentadas seguintes estão na forma linha degrau. Em cada caso, indique se o sistema linear corespondente é consistente. Se o sistema tiver uma solução única, encontre-a. a) 1 2 40 1 3 0 0 1 b) 1 3 10 1 −1 0 0 0 c) 1 −2 4 10 0 1 3 0 0 0 0 d) 1 −2 2 −20 1 −1 3 0 0 1 2 e) 1 3 2 −20 0 1 4 0 0 0 1 f) 1 −1 3 8 0 1 2 7 0 0 1 2 0 0 0 0 Exercício 2: As matrizes aumentadas seguintes estão na forma linha degrau reduzida. Em cada caso, encontre o conjunto solução dos sistemas lineares corespondentes. a) 1 0 0 −20 1 0 5 0 0 1 3 b) 1 4 0 20 0 1 3 0 0 0 1 c) 1 −3 0 20 0 1 −2 0 0 0 0 d) ( 1 2 0 1 5 0 0 1 3 4 ) e) 1 5 −2 0 3 0 0 0 1 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 f) 0 1 0 20 0 1 −1 0 0 0 0 Exercício 3: encontre o conjunto solução dos seguintes sistemas lineares. a) { x1 − 2x2 = 3 2x1 − x2 = 9. b) { 2x1 − 3x2 = 5 −4x1 + 6x2 = 8. c) x1 + x2 = 0 2x1 + 3x2 = 0 3x1 − 2x2 = 0. d) 3x1 + 2x2 − x3 = 4 x1 − 2x2 + 2x3 = 1 11x1 + 2x2 + x3 = 14. e) 2x1 + 3x2 + x3 = 1 x1 + x2 + x3 = 3 3x1 + 4x2 + 2x3 = 4. f) x1 − x2 + 2x3 = 4 2x1 + 3x2 − x3 = 1 7x1 + 3x2 + 4x3 = 7. g) x1 + x2 + x3 + x4 = 0 2x1 + 3x2 − x3 − x4 = 2 3x1 + 2x2 + x3 + x4 = 5 3x1 + 6x2 − x3 − x4 = 4. h) x1 − 2x2 = 3 2x1 + x2 = 1 −5x1 + 8x2 = 4. i) −x1 + 2x2 − x3 = 2 −2x1 + 2x2 + x3 = 4 3x1 + 2x2 + 2x3 = 5 −3x1 + 8x2 + 5x3 = 17. j) x1 + 2x2 − 3x3 + x4 = 1 −x1 − x2 + 4x3 − x4 = 6 −2x1 − 4x2 + 7x3 − x4 = 1. 1 k) x1 + 3x2 + x3 + x4 = 3 2x1 − 2x2 + x3 + 2x4 = 8 x1 − 5x2 + x4 = 5. l) x1 − 3x2 + x3 = 1 2x1 + x2 − x3 = 2 x1 + 4x2 − 2x3 = 1 5x1 − 8x2 + 2x3 = 5. m) ix1+ (1 + i)x2 = i, (1− i)x1+ x2 −ix3 = 1, i.x2 +x3 = 1. Exercício 4: Use a redução Gauss-Jordan para resolver cada um dos seguintes sistemas: a) { x1 + x2 = −1 4x1 − 3x2 = 3. b) { x1 + x2 + x3 = 0 x1 − x2 − x3 = 0. c) { −4ix1 − 8x2 = 0 2x1 − 4ix2 = 0 d) { 4ix1 − 8x2 = 0 2x1 + 4ix2 = 0 e) x1 + 3x2 + x3 + x4 = 3 2x1 − 2x2 + x3 + 2x4 = 8 3x1 + x2 + 2x3 − x4 = −1. f) x1 + x2 + x3 + x4 = 0 2x1 + x2 − x3 + 3x4 = 0 x1 − 2x2 + x3 + x4 = 0. Exercício 5: Considere um sistema linear cuja matriz aumentada tem a forma: 1 2 1 1−1 4 3 2 2 −2 a 3 . Para que valores de a o sistema tem uma única solução ? Exercício 6: Considere um sistema linear cuja matriz aumentada é da forma: 1 2 1 02 5 3 0 −1 1 β 0 . a) É possível que o sistema seja inconsistente ? Explique. b) Para que valores de β o sistema terá um número infinito de soluções ? Exercício 7: Considere um sistema linear cuja matriz aumentada é da forma: 1 2 1 02 5 3 0 −1 1 a b . a) Para que valores de a e b o sistema tem um número infinito de soluções ? b) Para que valores de a e b o sistema é inconsistente ? 2 Correções: Correção do Exercício 1: a) o sistema é inconsistente: S = ∅. b) o sistema tem uma solução única: S = {(4,−1)} ⊂ R2 c) o conjunto solução é uma reta em R3: S = { (x1, x2, x3) ∈ R3 | (x1, x2, x3) = (−11 + 2α, α, 3) onde α ∈ R }. Note que em general, jà que um sistema admite soluções diferentes, tem várias maneiras de escrever o conjunto solução. Por exemplo, neste caso, as seguintes descrevem o mesmo conjunto solução: S = { (x1, x2, x3) ∈ R3 | (x1, x2, x3) = (−11 + 2α , α , 3 ) onde α ∈ R } = { (x1, x2, x3) ∈ R3 | (x1, x2, x3) = (−11 + α′ , α′/2 , 3 ) onde α′ ∈ R } = { (x1, x2, x3) ∈ R3 | (x1, x2, x3) = (−10 + α′′ , 1/2 + α′′/2 , 3 ) onde α′′ ∈ R } . Neste caso, é facil passar de uma linha a outra, pegando α′ = 2α, e α′′ = α′ + 1. Caso o sistema tem mais de uma variavel livre, pode ser mais complicado passar de uma escritura à outra (pois pode ter duas variaveis livres α e β, ou mais). Parte do programa deve permitir entender isto. d) o sistema tem uma solução única: S = {(12, 5, 2)} ⊂ R3 e) o sistema é inconsistente: S = ∅. f) o sistema tem uma solução única: S = {(5, 3, 2)} ⊂ R3 Correção do Exercício 2: a) o sistema tem uma solução única: S = {(−2, 5, 3)} ⊂ R3 b) o sistema é inconsistente: S = ∅. c) o conjunto solução é uma reta em R3: S = { (x1, x2, x3) ∈ R3 | (x1, x2, x3) = (2 + 3α, α,−2) onde α ∈ R }. d) o conjunto solução é um plano em R4: S = { (x1, x2, x3, x4) ∈ R4 | (x1, x2, x3, x4) = (5− 2α− β , α , 4− 3β , β) onde α, β ∈ R }. e) o conjunto solução é um plano em R4: S = { (x1, x2, x3, x4) ∈ R4 | (x1, x2, x3, x4) = (3− 5α+ 2β , α , β , 6) onde α, β ∈ R }. f) o conjunto solução é uma reta em R3: S = { (x1, x2, x3) ∈ R3 | (x1, x2, x3) = (α, 2,−1) onde α ∈ R }. 3 Correção do Exercício 3: a) o sistema tem uma solução única: S = {(5, 1)} ⊂ R2 b) o sistema é inconsistente: S = ∅. c) o sistema tem uma solução única: S = {(0, 0)} ⊂ R2 d) o conjunto solução é uma reta em R3: S = { (x1, x2, x3) ∈ R3 | (x1, x2, x3) = (9/7− 2α/7 , α , −1/7 + 8α/7) onde α ∈ R }. e) o conjunto solução é uma reta em R3: S = { (x1, x2, x3) ∈ R3 | (x1, x2, x3) = (8− 2α/7 , −5 + α , α) onde α ∈ R }. f) o sistema é inconsistente: S = ∅. g) o sistema é inconsistente: S = ∅. h) o sistema é inconsistente: S = ∅. i) o sistema tem uma solução única: S = {(0, 3/2, 1)} ⊂ R3 j) o conjunto solução é uma reta em R4: S = { (x1, x2, x3, x4) ∈ R4 | (x1, x2, x3, x4) = (−16 + 6α , 7− α , α , 3− α) onde α ∈ R }. k) o conjunto solução é uma reta em R4: S = { (x1, x2, x3, x4) ∈ R4 | (x1, x2, x3, x4) = (5− α , 0 , −2 , α) onde α ∈ R }. l) o conjunto solução é uma reta em R3: S = { (x1, x2, x3) ∈ R3 | (x1, x2, x3) = (1 + 2α/3 , α , 7α/3) onde α ∈ R }. m) o sistema tem uma solução única: S = {( i, 1, 1− i)} ⊂ C3 Correção do Exercício 4: a) o sistema tem uma solução única: S = {(0,−1)} ⊂ R2 b) o conjunto solução é uma reta em R3: S = { (x1, x2, x3) ∈ R3 | (x1, x2, x3) = (0 , −α , α) onde α ∈ R }. c) o conjunto solução é uma reta complexa em C2: S = { (x1, x2) ∈ C2 | (x1, x2) = (α , −iα/2 ) onde α ∈ C }. d) o conjunto solução é uma reta complexa em C2: S = { (x1, x2) ∈ C2 | (x1, x2) = (α , iα/2 ) onde α ∈ C }. e) o conjunto solução é uma reta em R4: S = { (x1, x2, x3, x4) ∈ R4 | (x1, x2, x3, x4) = (−1 + 5α , α , −2− 8α , 6) onde α ∈ R }. 4 Correção do Exercício 5: Por operações elementares em linhas, obtemos o sistema equiva- lente triangular da seguinte maneira: L1 L2 L3 1 2 1 1−1 4 3 2 2 −2 a 3 ; L′1 := L1L′2 := L2 + L1 L′3 := L3 − 2L1 1 2 1 10 6 4 3 0 −5 a− 2 1 ; L′′1 := L′1 L′′2 := L′2 L′′3 := L′3 + L′2 1 2 1 10 6 4 3 0 0 a+ 2 4 Deduzemos facilmente da linha L′′3, e efetuando a substituição reversa quando for possível, que: • se a = −2, o sistema é inconsistente, • se a 6= 0, o sistema tem uma única solução. Correção do Exercício 6: Considere um sistema linear cuja matriz aumentada é da forma: 1 2 1 02 5 3 0 −1 1 β 0 . a) Por causa da coluna direita de zeros, é fácil ver que o sitema sempre admite (x1, x2, x3) = (0, 0, 0) como solução, logo não pode ser inconsistente (S 6= ∅). b) Por operações elementares em linhas, obtemos o sistema equivalente triangular da seguinte maneira: L1 L2 L3 1 2 1 02 5 3 0 −1 1 β 0 ; L′1 := L1L′2 := L2 − 2L1 L′3 := L3 − L1 1 2 1 00 1 1 0 0 −1 β − 1 0 ; L′′1 := L′1 L′′2 := L′2 L′′3 := L′3 + L′2 1 2 1 00 1 1 0 0 0 β 0 Deduzemos facilmente da linha L′′3, e efetuando a substituição reversa que: • se β 6= 0, o sistema tem uma única solução (0, 0, 0), i.e: S = {(0, 0, 0)}. • se β = 0, osistema tem infinidade de soluções: S = {(x1, x2, x3) ∈ R3 | (x1, x2, x3) = (α,−α, α), onde α ∈ R} Correção do Exercício 7: Por operações elementares em linhas, obtemos o sistema equiva- lente triangular da seguinte maneira: L1 L2 L3 1 2 1 02 5 3 0 −1 1 a b ; L′1 := L1L′2 := L2 − L1 L′3 := L3 + L1 1 2 1 00 3 2 0 0 3 a+ 1 b ; L′′1 := L′1 L′′2 := L′2 L′′3 := L′3 − L′2 1 2 1 00 3 2 0 0 0 a− 1 b Deduzemos facilmente da linha L′′3, e efetuando a substituição reversa quando for poosível que: 5 • se a = 1 e β = 0, o sistema tem uma infinidade de soluções, • se a = 1 e b 6= 0, o sistema é inconsistente, S = ∅, • se a 6= 1, o sistema tem uma solução única: tem infinidade de soluções: S = {( b 3(a− 1) , −2b 3(a− 1) , b 3(a− 1) )} . Referências [1] Steven J. Leon, Álgebra Linear com aplicações, 8a edição, LTC 2011. 6
Compartilhar