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Universidade Federal do Paraná 2◦ semestre 2015.
Algebra Linear, CM 005 Olivier Brahic
Lista de exercícios 2
Sistemas de equações lineares II
Exercício 1: As matrizes aumentadas seguintes estão na forma linha degrau. Em cada caso,
indique se o sistema linear corespondente é consistente. Se o sistema tiver uma solução única,
encontre-a.
a)
 1 2 40 1 3
0 0 1

b)
 1 3 10 1 −1
0 0 0

c)
 1 −2 4 10 0 1 3
0 0 0 0

d)
 1 −2 2 −20 1 −1 3
0 0 1 2

e)
 1 3 2 −20 0 1 4
0 0 0 1

f)

1 −1 3 8
0 1 2 7
0 0 1 2
0 0 0 0

Exercício 2: As matrizes aumentadas seguintes estão na forma linha degrau reduzida. Em
cada caso, encontre o conjunto solução dos sistemas lineares corespondentes.
a)
 1 0 0 −20 1 0 5
0 0 1 3

b)
 1 4 0 20 0 1 3
0 0 0 1

c)
 1 −3 0 20 0 1 −2
0 0 0 0

d)
(
1 2 0 1 5
0 0 1 3 4
)
e)

1 5 −2 0 3
0 0 0 1 6
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0

f)
 0 1 0 20 0 1 −1
0 0 0 0

Exercício 3: encontre o conjunto solução dos seguintes sistemas lineares.
a)
{
x1 − 2x2 = 3
2x1 − x2 = 9.
b)
{
2x1 − 3x2 = 5
−4x1 + 6x2 = 8.
c)

x1 + x2 = 0
2x1 + 3x2 = 0
3x1 − 2x2 = 0.
d)

3x1 + 2x2 − x3 = 4
x1 − 2x2 + 2x3 = 1
11x1 + 2x2 + x3 = 14.
e)

2x1 + 3x2 + x3 = 1
x1 + x2 + x3 = 3
3x1 + 4x2 + 2x3 = 4.
f)

x1 − x2 + 2x3 = 4
2x1 + 3x2 − x3 = 1
7x1 + 3x2 + 4x3 = 7.
g)

x1 + x2 + x3 + x4 = 0
2x1 + 3x2 − x3 − x4 = 2
3x1 + 2x2 + x3 + x4 = 5
3x1 + 6x2 − x3 − x4 = 4.
h)

x1 − 2x2 = 3
2x1 + x2 = 1
−5x1 + 8x2 = 4.
i)

−x1 + 2x2 − x3 = 2
−2x1 + 2x2 + x3 = 4
3x1 + 2x2 + 2x3 = 5
−3x1 + 8x2 + 5x3 = 17.
j)

x1 + 2x2 − 3x3 + x4 = 1
−x1 − x2 + 4x3 − x4 = 6
−2x1 − 4x2 + 7x3 − x4 = 1.
1
k)

x1 + 3x2 + x3 + x4 = 3
2x1 − 2x2 + x3 + 2x4 = 8
x1 − 5x2 + x4 = 5.
l)

x1 − 3x2 + x3 = 1
2x1 + x2 − x3 = 2
x1 + 4x2 − 2x3 = 1
5x1 − 8x2 + 2x3 = 5.
m)

ix1+ (1 + i)x2 = i,
(1− i)x1+ x2 −ix3 = 1,
i.x2 +x3 = 1.
Exercício 4: Use a redução Gauss-Jordan para resolver cada um dos seguintes sistemas:
a)
{
x1 + x2 = −1
4x1 − 3x2 = 3.
b)
{
x1 + x2 + x3 = 0
x1 − x2 − x3 = 0.
c)
{ −4ix1 − 8x2 = 0
2x1 − 4ix2 = 0
d)
{
4ix1 − 8x2 = 0
2x1 + 4ix2 = 0
e)

x1 + 3x2 + x3 + x4 = 3
2x1 − 2x2 + x3 + 2x4 = 8
3x1 + x2 + 2x3 − x4 = −1.
f)

x1 + x2 + x3 + x4 = 0
2x1 + x2 − x3 + 3x4 = 0
x1 − 2x2 + x3 + x4 = 0.
Exercício 5: Considere um sistema linear cuja matriz aumentada tem a forma: 1 2 1 1−1 4 3 2
2 −2 a 3
 .
Para que valores de a o sistema tem uma única solução ?
Exercício 6: Considere um sistema linear cuja matriz aumentada é da forma: 1 2 1 02 5 3 0
−1 1 β 0
 .
a) É possível que o sistema seja inconsistente ? Explique.
b) Para que valores de β o sistema terá um número infinito de soluções ?
Exercício 7: Considere um sistema linear cuja matriz aumentada é da forma: 1 2 1 02 5 3 0
−1 1 a b
 .
a) Para que valores de a e b o sistema tem um número infinito de soluções ?
b) Para que valores de a e b o sistema é inconsistente ?
2
Correções:
Correção do Exercício 1:
a) o sistema é inconsistente: S = ∅.
b) o sistema tem uma solução única: S = {(4,−1)} ⊂ R2
c) o conjunto solução é uma reta em R3:
S = { (x1, x2, x3) ∈ R3 | (x1, x2, x3) = (−11 + 2α, α, 3) onde α ∈ R }.
Note que em general, jà que um sistema admite soluções diferentes, tem várias maneiras
de escrever o conjunto solução. Por exemplo, neste caso, as seguintes descrevem o mesmo
conjunto solução:
S = { (x1, x2, x3) ∈ R3 | (x1, x2, x3) = (−11 + 2α , α , 3 ) onde α ∈ R }
=
{
(x1, x2, x3) ∈ R3 | (x1, x2, x3) = (−11 + α′ , α′/2 , 3 ) onde α′ ∈ R
}
=
{
(x1, x2, x3) ∈ R3 | (x1, x2, x3) = (−10 + α′′ , 1/2 + α′′/2 , 3 ) onde α′′ ∈ R
}
.
Neste caso, é facil passar de uma linha a outra, pegando α′ = 2α, e α′′ = α′ + 1. Caso o
sistema tem mais de uma variavel livre, pode ser mais complicado passar de uma escritura
à outra (pois pode ter duas variaveis livres α e β, ou mais). Parte do programa deve
permitir entender isto.
d) o sistema tem uma solução única: S = {(12, 5, 2)} ⊂ R3
e) o sistema é inconsistente: S = ∅.
f) o sistema tem uma solução única: S = {(5, 3, 2)} ⊂ R3
Correção do Exercício 2:
a) o sistema tem uma solução única: S = {(−2, 5, 3)} ⊂ R3
b) o sistema é inconsistente: S = ∅.
c) o conjunto solução é uma reta em R3:
S = { (x1, x2, x3) ∈ R3 | (x1, x2, x3) = (2 + 3α, α,−2) onde α ∈ R }.
d) o conjunto solução é um plano em R4:
S = { (x1, x2, x3, x4) ∈ R4 | (x1, x2, x3, x4) = (5− 2α− β , α , 4− 3β , β) onde α, β ∈ R }.
e) o conjunto solução é um plano em R4:
S = { (x1, x2, x3, x4) ∈ R4 | (x1, x2, x3, x4) = (3− 5α+ 2β , α , β , 6) onde α, β ∈ R }.
f) o conjunto solução é uma reta em R3:
S = { (x1, x2, x3) ∈ R3 | (x1, x2, x3) = (α, 2,−1) onde α ∈ R }.
3
Correção do Exercício 3:
a) o sistema tem uma solução única: S = {(5, 1)} ⊂ R2
b) o sistema é inconsistente: S = ∅.
c) o sistema tem uma solução única: S = {(0, 0)} ⊂ R2
d) o conjunto solução é uma reta em R3:
S = { (x1, x2, x3) ∈ R3 | (x1, x2, x3) = (9/7− 2α/7 , α , −1/7 + 8α/7) onde α ∈ R }.
e) o conjunto solução é uma reta em R3:
S = { (x1, x2, x3) ∈ R3 | (x1, x2, x3) = (8− 2α/7 , −5 + α , α) onde α ∈ R }.
f) o sistema é inconsistente: S = ∅.
g) o sistema é inconsistente: S = ∅.
h) o sistema é inconsistente: S = ∅.
i) o sistema tem uma solução única: S = {(0, 3/2, 1)} ⊂ R3
j) o conjunto solução é uma reta em R4:
S = { (x1, x2, x3, x4) ∈ R4 | (x1, x2, x3, x4) = (−16 + 6α , 7− α , α , 3− α) onde α ∈ R }.
k) o conjunto solução é uma reta em R4:
S = { (x1, x2, x3, x4) ∈ R4 | (x1, x2, x3, x4) = (5− α , 0 , −2 , α) onde α ∈ R }.
l) o conjunto solução é uma reta em R3:
S = { (x1, x2, x3) ∈ R3 | (x1, x2, x3) = (1 + 2α/3 , α , 7α/3) onde α ∈ R }.
m) o sistema tem uma solução única: S = {( i, 1, 1− i)} ⊂ C3
Correção do Exercício 4:
a) o sistema tem uma solução única: S = {(0,−1)} ⊂ R2
b) o conjunto solução é uma reta em R3:
S = { (x1, x2, x3) ∈ R3 | (x1, x2, x3) = (0 , −α , α) onde α ∈ R }.
c) o conjunto solução é uma reta complexa em C2:
S = { (x1, x2) ∈ C2 | (x1, x2) = (α , −iα/2 ) onde α ∈ C }.
d) o conjunto solução é uma reta complexa em C2:
S = { (x1, x2) ∈ C2 | (x1, x2) = (α , iα/2 ) onde α ∈ C }.
e) o conjunto solução é uma reta em R4:
S = { (x1, x2, x3, x4) ∈ R4 | (x1, x2, x3, x4) = (−1 + 5α , α , −2− 8α , 6) onde α ∈ R }.
4
Correção do Exercício 5: Por operações elementares em linhas, obtemos o sistema equiva-
lente triangular da seguinte maneira:
L1
L2
L3
 1 2 1 1−1 4 3 2
2 −2 a 3
; L′1 := L1L′2 := L2 + L1
L′3 := L3 − 2L1
 1 2 1 10 6 4 3
0 −5 a− 2 1

;
L′′1 := L′1
L′′2 := L′2
L′′3 := L′3 + L′2
 1 2 1 10 6 4 3
0 0 a+ 2 4

Deduzemos facilmente da linha L′′3, e efetuando a substituição reversa quando for possível,
que:
• se a = −2, o sistema é inconsistente,
• se a 6= 0, o sistema tem uma única solução.
Correção do Exercício 6: Considere um sistema linear cuja matriz aumentada é da forma: 1 2 1 02 5 3 0
−1 1 β 0
 .
a) Por causa da coluna direita de zeros, é fácil ver que o sitema sempre admite (x1, x2, x3) =
(0, 0, 0) como solução, logo não pode ser inconsistente (S 6= ∅).
b) Por operações elementares em linhas, obtemos o sistema equivalente triangular da seguinte
maneira:
L1
L2
L3
 1 2 1 02 5 3 0
−1 1 β 0
; L′1 := L1L′2 := L2 − 2L1
L′3 := L3 − L1
 1 2 1 00 1 1 0
0 −1 β − 1 0

;
L′′1 := L′1
L′′2 := L′2
L′′3 := L′3 + L′2
 1 2 1 00 1 1 0
0 0 β 0

Deduzemos facilmente da linha L′′3, e efetuando a substituição reversa que:
• se β 6= 0, o sistema tem uma única solução (0, 0, 0), i.e: S = {(0, 0, 0)}.
• se β = 0, osistema tem infinidade de soluções:
S = {(x1, x2, x3) ∈ R3 | (x1, x2, x3) = (α,−α, α), onde α ∈ R}
Correção do Exercício 7: Por operações elementares em linhas, obtemos o sistema equiva-
lente triangular da seguinte maneira:
L1
L2
L3
 1 2 1 02 5 3 0
−1 1 a b
; L′1 := L1L′2 := L2 − L1
L′3 := L3 + L1
 1 2 1 00 3 2 0
0 3 a+ 1 b

;
L′′1 := L′1
L′′2 := L′2
L′′3 := L′3 − L′2
 1 2 1 00 3 2 0
0 0 a− 1 b

Deduzemos facilmente da linha L′′3, e efetuando a substituição reversa quando for poosível
que:
5
• se a = 1 e β = 0, o sistema tem uma infinidade de soluções,
• se a = 1 e b 6= 0, o sistema é inconsistente, S = ∅,
• se a 6= 1, o sistema tem uma solução única: tem infinidade de soluções:
S =
{(
b
3(a− 1) ,
−2b
3(a− 1) ,
b
3(a− 1)
)}
.
Referências
[1] Steven J. Leon, Álgebra Linear com aplicações, 8a edição, LTC 2011.
6

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