calculo Villacorta e Moreno

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Kely Diana Villacorta Villacorta
Felipe Antonio Garcia Moreno
Cálculo Diferencial e Integral
Editora da UFPB
João Pessoa 
2014
UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA
Reitora 
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Pró-reitora de graduação
MARGARETH DE FÁTIMA FORMIGA MELO DINIZ
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CURSO DE LICENCIATURA EM COMPUTAÇÃO A DISTÂNCIA
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Conselho Editorial
Prof Dr. Lucídio Cabral (UFPB)
Prof Dr. Danielle Rousy (UFPB)
Prof. Ms. Eduardo de Santana Medeiros Alexandre (UFPB)
V712c VILLACORTA, Kely Diana Villacorta.
 Cálculo diferencial e integral / Kely Diana Villacorta Villacorta, 
Felipe Antonio Garcia Moreno; editor: Eduardo de Santana Medeiros 
Alexandre. – 1ª Edição Revisada. João Pessoa: Editora da UFPB, 2014.
 269. : il. – 
 ISBN: 978-85-237-0895-5
 Curso de Licenciatura em Computação na Modalidade à Distância. 
Universidade Federal da Paraíba.
 1. Cálculo diferencial. 2. Cálculo integral. 3. Cálculo. 4. Análise 
matemática. I. Título.
CDU: 517.2/.3
Todos os direitos e responsabilidades dos autores.
EDITORA DA UFPB
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 João Pessoa – Paraíba – Brasil
CEP: 58.051 – 970 
http://www.editora.ufpb.br
Impresso no Brasil
Printed in Brazil
Cálculo Diferencial e Integral
Cálculo Diferencial e Integral
i
Cálculo Diferencial e Integral
Sumário
1 Números Reais 1
1.1 Sistema dos Números Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1 Adição e Multiplicação de Números Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2 Subtração e Divisão de Números Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.3 Relação de Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Equações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Desigualdades e Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Inequações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4.1 Resolvendo Inequações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.1.1 Inequações de Primeiro Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.1.2 Inequações de Segundo Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.1.3 Inequações Polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.1.4 Inequações Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.1.5 Inequações Exponenciais envolvendo Polinômios . . . . . . . . . 18
1.4.1.6 Inequações Irracionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5 Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.6 Axioma do Supremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.7 Recapitulando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.8 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2 Funções 36
2.1 Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.1.1 Translações e reflexões de uma função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.1.2 Funções comuns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.1.3 Função par e função ímpar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.1.4 Função periódica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.1.5 Função crescente e função decrescente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.1.6 Função definida por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
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Cálculo Diferencial e Integral
2.2 Função injetora, sobrejetora e bijetora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.2.1 Operações com funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.3 Composição de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.4 Função inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.5 Recapitulando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.6 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3 Limites 61
3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.2 Vizinhança . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.3 Limites de uma função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.4 Propriedades dos limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.5 Leis do limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.6 Limites laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.7 Limites no infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.8 Limites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.9 Limites infinitos no infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.10 Assíntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.11 Recapitulando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.12 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4 Continuidade 93
4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.2 Noção intuitiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.3 Definição formal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.4 Tipos de descontinuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.5 Propriedades de funções continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.6 Continuidade de funções em intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.7 Teorema de valor intermediário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.8 Funções inversas e continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.9 Recapitulando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.10 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
iii
Cálculo Diferencial e Integral
5 A Derivada 113
5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.2 Definição formal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.3 A Reta Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.4 A derivada como função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.5 Derivadas laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.6 Reta normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.7 Regras de derivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.8 A derivada da composição de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.9 Teorema da função inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.10Derivadas de funções elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.11 Derivadas de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.12 Derivação Implícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.13 Recapitulando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5.14 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
6 Aplicações da Derivada 142
6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
6.2 Valores Extremos de uma Função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
6.3 Determinando Valores Extremos de uma Função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
6.4 Determinando os Pontos de Inflexão e Concavidade da Curva y=f (x) . . . . . . . . . 149
6.5 Esboçando o gráfico de y = f (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
6.6 Teorema do Valor Médio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
6.7 Formas indeterminadas e a regra de L’Hôpital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
6.8 Recapitulando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
6.9 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
7 A Integral Indefinida 169
7.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
7.2 A Antiderivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
7.3 Propriedades da Integral Indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
7.4 Integrais Imediatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
7.5 Método de Integração por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
7.6 Técnicas de Integração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
7.6.1 Integrais de Funções que Contêm um Trinômio Quadrado . . . . . . . . . . 186
7.6.2 Integrais de Funções Trigonométricas e Hiperbólicas . . . . . . . . . . . . . 189
iv
Cálculo Diferencial e Integral
7.6.3 Integração por Substituição Trigonométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
7.6.4 Integração de Funções Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
7.6.5 O método de Hermite-Ostrogradski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
7.6.6 Integrais de Funções Irracionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
7.7 Recapitulando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
7.8 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
8 A Integral Definida 223
8.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
8.2 Somatórios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
8.2.1 Propriedades do Somatório . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
8.3 Cálculo da Área de uma Região Plana por Somatórios . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
8.3.1 Partição de um Intervalo Fechado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
8.3.2 Aproximação da Área de uma Região por Áreas de Retângulos . . . . . . . . 226
8.3.3 Soma Superior e Soma Inferior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
8.3.4 Propriedades dos Somatórios Superiores e Inferiores . . . . . . . . . . . . . 231
8.4 Integrais Inferiores e Superiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
8.5 A Integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
8.6 Propriedades da integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
8.7 Teorema do Valor Intermediário para Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
8.8 Teoremas Fundamentais do Cálculo Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
8.9 Mudança de Variável numa Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
8.10 Integração por Partes numa Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
8.11 Integrais Impróprias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
8.11.1 Integrais Impróprias com Limites Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
8.11.2 Integrais Impróprias com Limites Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
8.12 Aplicações da Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
8.12.1 Áreas de Regiões Planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
8.12.2 Volume de um Sólido de Revolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
8.12.3 Comprimento de Arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
8.12.4 Área de uma Superfície de Revolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
8.13 Recapitulando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
8.14 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
9 Referências 264
9.1 Referências Bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
10 Índice Remissivo 265
v
Cálculo Diferencial e Integral
Prefácio
BAIXANDO A VERSÃO MAIS NOVA DESTE LIVRO
Acesse https://github.com/edusantana/calculo-diferencial-e-integral-livro/releases para
verificar se há uma versão mais o Histórico de revisões, na início do livro, para verifi-
car o que mudou entre uma versão e outra.
Este livro foi projetado e escrito com o objetivo de oferecer aos estudantes do Curso de Licenciatura
em Computação a Distância um material didático de fácil entendimento dos fundamentos de um
curso de Cálculo Diferencial e Integral. Temos nos esforçado em apresentar o cálculo de forma não
tão rigorosa, isto é, neste livro focamos no uso da teoria e suas propriedades e não nos aprofundamos
nas demonstrações destas. Priorizamos o uso do desenvolvimento teórico com exemplos e com uma
quantidade razoável de atividades para uma fixação do conteúdo, de tal forma que resulte de máximo
proveito aos estudantes.
A obra é composta por 8 capítulos contendo os principais tópicos abordados em uma disciplina básica
de Cálculo Diferencial e Integral, e que seguem uma ordem progessiva de conteúdo, por isto reco-
mendamos ao estudante que dedique tempo e esmero em cada capítulo e resolva a máxima quantidade
de atividades.
No primeiro capítulo se faz uma apresentação axiomática dos números reais e suas principais propri-
edades; no segundo capítulo tratamos das relações e das funções que serão o principal objeto mate-
mático tratado neste livro; no terceiro capítulo estudamos os conceito de limite, fundamental para a
teoria subsequente; no quarto capítulo estudamos a continuidade de uma função; no quinto capítulo
introduzimos a derivada de uma função e suas principais propriedades; no sexto capítulo apresenta-
mos algumas aplicações da derivada; no sétimo capítulo tratamos da integral indefinida e os métodos
de integração; e no oitavo e último capítulo, introduzimos o conceito da integral definida e tratamos
de algumas das aplicações desta.
Sabemos que existem vários outros materiais e livros que abordam o mesmo conteúdo apresentado
aqui, alguns até mais abrangentes. Somos porém, realistas que em uma primeira abordagem demos
prioridade a possibilitar ao aluno familiarizar-se com conceitos básicos e interpretações, deixando a
prova de todos esses resultados a posteriori.
Esperamos que este livro forneça apoio e incentivo para que o aluno, depois de aprender estes con-
ceitos, se sinta confiante ao resolver problemas com aplicações práticas no mundo real.
João Pessoa, agosto de 2013.
Kely D. V. Villacorta
Felipe A. G. Morenovi
Cálculo Diferencial e Integral
Público alvo
O público alvo desse livro são os alunos de Licenciatura em Computação, na modalidade à distância.1
Como você deve estudar cada capítulo
• Leia a visão geral do capítulo
• Estude os conteúdos das seções
• Realize as atividades no final do capítulo
• Verifique se você atingiu os objetivos do capítulo
NA SALA DE AULA DO CURSO
• Tire dúvidas e discuta sobre as atividades do livro com outros integrantes do curso
• Leia materiais complementares eventualmente disponibilizados
• Realize as atividades propostas pelo professor da disciplina
Caixas de diálogo
Nesta seção apresentamos as caixas de diálogo que poderão ser utilizadas durante o texto. Confira os
significados delas.
Nota
Esta caixa é utilizada para realizar alguma reflexão.
Dica
Esta caixa é utilizada quando desejamos remeter a materiais complementares.
Importante
Esta caixa é utilizada para chamar atenção sobre algo importante.
Cuidado
Esta caixa é utilizada para alertar sobre algo que exige cautela.
1Embora ele tenha sido feito para atender aos alunos da Universidade Federal da Paraíba, o seu uso não se restringe
a esta universidade, podendo ser adotado por outras universidades do sistema UAB.
vii
Cálculo Diferencial e Integral
Atenção
Esta caixa é utilizada para alertar sobre algo potencialmente perigoso.
Os significados das caixas são apenas uma referência, podendo ser adaptados conforme as intenções
dos autores.
Vídeos
Os vídeos são apresentados da seguinte forma:
Figura 1: Como baixar os códigos fontes: http://youtu.be/Od90rVXJV78
Nota
Na versão impressa irá aparecer uma imagem quadriculada. Isto é o qrcode
(http://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%B3digo_QR) contendo o link do vídeo. Caso você tenha
um celular com acesso a internet poderá acionar um programa de leitura de qrcode para
acessar o vídeo.
Na versão digital você poderá assistir o vídeo clicando diretamente sobre o link.
Compreendendo as referências
As referências são apresentadas conforme o elemento que está sendo referenciado:
Referências a capítulos
Prefácio [vi]
Referências a seções
“Como você deve estudar cada capítulo” [vii], “Caixas de diálogo” [vii].
Referências a imagens
Figura 2 [ix]
viii
Cálculo Diferencial e Integral
Nota
Na versão impressa, o número que aparece entre chaves “[ ]” corresponde ao número da
página onde está o conteúdo referenciado. Na versão digital do livro você poderá clicar no
link da referência.
Feedback
Você pode contribuir com a atualização e correção deste livro. Ao final de cada capítulo você será
convidado a fazê-lo, enviando um feedback como a seguir:
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submeter uma sugestão ou crítica?
Para compreender melhor como feedbacks funcionam consulte o guia do curso.
Nota
A seção sobre o feedback, no guia do curso, pode ser acessado em: https://github.com/-
edusantana/guia-geral-ead-computacao-ufpb/blob/master/livro/capitulos/livros-
contribuicao.adoc.
Figura 2: Exemplo de contribuição
ix
Cálculo Diferencial e Integral
Capítulo 1
Números Reais
OBJETIVOS DO CAPÍTULO
Ao final deste capítulo você deverá ser capaz de:
• Dados dois números reais, reconhecer a relação de ordem estabelecida entre eles e suas
principais propriedades;
• Determinar as raízes de uma equação dada;
• Determinar o conjunto solução de uma inequação dada;
• Dominar o conceito de valor absoluto;
• Entender o conceito do sistema dos números reais e saber diferenciar os subconjuntos
que o integram: naturais, inteiros, racionais e irracionais;
• Familiarizar-se com o Axioma do Supremo.
O sistema dos números reais que conhecemos atualmente foi obtido depois de muitas reflexões por
parte do homem. Desde o início de nossa civilização já se conheciam os números inteiros positivos,
ou seja, 1,2,3, . . . Os números inteiros, tão grandes quanto 100000, já eram utilizados no Egito em
épocas como 300 a. C.
Na aritmética de números inteiros positivos, que desenvolveram os antigos egípcios e babilônios,
podiam efetuar-se as operações de adição e multiplicação, embora essa última não tenha sido desen-
volvida por completo. Além disso, naquela época já se conheciam certas frações, isto é, os números
racionais. Por outro lado, os Babilônios tiveram maior êxito no desenvolvimento da aritmética e da
álgebra, e a notação que eles usavam também era superior a dos egípcios, com a diferença que eles
trabalhavam na base 60 e não na base 10.
Nosso sistema decimal foi criado pelos Hindus e introduzido na Europa Ocidental no século XII,
mediante a tradução de textos árabes, porém, essa notação demorou para ter uma aceitação geral, e
muito depois disso veio a aceitação dos números negativos, a qual aconteceu apenas no final do século
XVI, época em que eram descartadas as raízes negativas das equações.
Ainda que a necessidade dos números irracionais, tais como
√
2 e pi , já tinha se apresentado aos mate-
máticos da antiga Grécia no seus estudos geométricos, não foram introduzidos métodos satisfatórios
de construção dos números reais a partir dos racionais até finais do século XIX, quando os matemá-
ticos conseguiram propor um ponto de partida para a construção total dos números reais, abordagem
atualmente utilizada.
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Cálculo Diferencial e Integral
Embora seja muito interessante apresentar o construção do conjunto dos números reais passo a passo,
o foco deste livro não é o construtivo, pois assumiremos que existam certos objetos, chamados de
números reais, que verificam os 11 axiomas a serem enunciados neste capítulo. Todas as propriedades
dos números reais que serão apresentadas aqui, ou estão entre estes axiomas, ou podem ser deduzidas
a partir deles.
Portanto, neste capítulo revisaremos o sistema dos números reais, desigualdades e intervalos, equa-
ções, inequações, valor absoluto, Axioma do Supremo, e resolveremos alguns problemas usando a
teoria apresentada.
1.1 Sistema dos Números Reais
Um conjunto não vazio de suma importância, para o bom entendimento de toda a teoria apresentada
neste livro, é o conjunto dos números reais, denotado por R. Cada elemento de R é chamado de
número real.
Os números reais são identificados por pontos numa reta. E essa identificação dá-se da seguinte
maneira:
10 π-1 -2
5
-2 5
Dada uma reta (por conveniência horizontal) e uma unidade de medida arbitrária, fixamos o ponto 0
da reta, logo, a cada número real x se identifica com o ponto que está situado a x unidades à direita do
0, se x> 0, e com o ponto situado a −x unidades à esquerda do 0, se x< 0.
Essa correspondência entre os números reais e os pontos da reta é biunívoca, isto é, para cada número
real há um único ponto correspondente na reta, e para cada ponto na reta há um único número real
correspondente. No decorrer deste livro, não faremos nenhuma diferenciação entre ambos elementos.
Logo, o sistema dos números reais, denotado por (R;+; ·;<), é o conjunto R fornecido de duas
operações, adição (+) e multiplicação (·), de uma relação de ordem (<) (lê-se menor que) e de
um axioma chamado Axioma do Supremo. Para simplificar a notação usaremos somente R.
1.1.1 Adição e Multiplicação de Números Reais
Embora as operações de adição e multiplicação sejam duas operações aritméticas com as quais esta-
mos muito acostumados desde o início dos nossos estudos na escola, a adição e a multiplicação de
números reais são duas operações internas em R e são definidas, formalmente, como segue:
Adição
Dados a e b ∈ R existe um único w ∈ R, chamado de soma de a e b, tal que w= a+b.
Multiplicação
Dados a e b ∈ R existe um único z ∈ R, chamado de produto de a e b, tal que z= a ·b.
A adição e multiplicação de números reais são regidos pelos seguintes axiomas:
Axioma 1
a+b=b+a, ∀a,b ∈ R.
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Axioma 2
(a+b)+ c= a+(b+ c), ∀a,b,c ∈ R.
Axioma 3
Existe o número real zero, denotado por 0, tal que a+0 = 0+a= a, ∀a ∈ R.
Axioma 4
Para cada número real a existe um real chamado de oposto de a, denotado por −a, tal que
a+(−a) = 0.
Axioma 5
a ·b= b ·a, ∀a,b ∈ R.
Axioma 6
(a ·b) · c= a · (b · c), ∀a,b,c ∈ R.
Axioma 7
Existe o número real um, denotado por 1, tal que a ·1 = 1 ·a= a, ∀a ∈ R.
Axioma 8
Para cada número real a, diferente de zero, existe um número real chamado de inverso de a,
denotado por a−1 ou
1
a
, tal que a ·a−1 = a−1 ·a= 1.
Axioma 9
a(b+ c) = a ·b+a · c, ∀a,b,c ∈ R
Nota
a. Os Axiomas 1 e 5 são conhecidos como axiomas comutativos para a soma e multi-
plicação, respectivamente;
b. Os Axiomas 2 e 6 são conhecidos como axiomas associativos para a soma e multi-
plicação, respectivamente;
c. O Axioma 9 é conhecido como axioma distributivo e relaciona a adição e multiplica-
ção de números reais.
O seguinte teorema enuncia as propriedades dessas duas operações.
Teorema 1.1
Sejam a, b e c ∈ R. Então:
i. Os números 0, 1, −a e a−1 são únicos;
ii. a=−(−a);
iii. Se a 6= 0, então a= (a−1)−1;
iv. a ·0 = 0 ·a= 0;
v. −a= (−1) ·a;
vi. a · (−b) = (−a) ·b;
vii. (−a) · (−b) = a ·b;
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viii. Se a+ c= b+ c, então a= b;
ix. Se a · c= b · c e c 6= 0, então a= b;
x. a ·b= 0 se, e somente se, a= 0 ou b= 0;
xi. a ·b 6= 0 se, e somente se, a 6= 0 e b 6= 0;
xii. a2 = b2 se, e somente se, a= b ou a=−b.
Nota
0 e 1 também são conhecidos como elementos neutros para a adição e para a multiplica-
ção, respectivamente;
1.1.2 Subtração e Divisão de Números Reais
Subtração
Dados a e b ∈ R, a diferença de a e b é definida como a−b= a+(−b).
Divisão ou quociente
Dados a e b ∈ R, com b 6= 0, a divisão ou quociente de a e b é definida como a
b
= a · (b−1).
Teorema 1.2
Sejam a, b, c e d ∈ R. Então:
i. a−b=−(b−a);
ii. a−b= c se, e somente se, a= b+ c;
iii. Se b 6= 0, então c= a
b
se, e somente se, b · c= a;
iv. a · (b− c) = a ·b−a · c;
v. Se b 6= 0 e d 6= 0, então a
b
± c
d
=
a ·d±b · c
b ·d .
1.1.3 Relação de Ordem
Axioma 10
Em R existe um subconjunto chamado de reais positivos, denotado por R++, que satisfaz as
seguintes propriedades:
i. Se a ∈ R, então a ∈ R++ ou −a ∈ R++ ou a= 0;
ii. Se a ∈ R++ e b ∈ R++, então a+b ∈ R++ e a ·b ∈ R++.
Definição 1.1
Sejam a, b ∈ R. Diz-se que:
i. a é menor que b, denotado por a< b, se, e somente se, b−a ∈ R++;
ii. a é menor ou igual que b, denotado por a≤ b, se, e somente se, a< b ou a= b.
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Nota
a. a< b é equivalente a b> a e leia-se “b é maior que a”;
b. Da mesma forma, a≤ b é equivalente a b≥ a e leia-se “b é maior ou igual que a”.
O seguinte teorema enuncia as propriedades associadas à relação de ordem.
Teorema 1.3
Dados a, b, c e d ∈ R. Então:
i. a= b ou a< b ou a> b;
ii. a2 ≥ 0. Se a 6= 0, então a2 > 0;
iii. se a< b e b< c, então a< c;
iv. se a< b, então a+ c< b+ c;
v. Se a< b e c< d, então a+ c< b+d;
vi. Se a< b e c> 0, então a · c< b · c;
vii. Se a< b e c< 0, então a · c> b · c;
viii. Se 0< a< b e 0< c< d, então a · c< b ·d;
ix. Se a 6= 0, então a e a−1 têm o mesmo sinal, isto é:
a. Se a> 0, então a−1 > 0,
b. Se a< 0, então a−1 < 0;
x. Se 0< a< b, então 0< b−1 < a−1;
xi. Se a< b< 0, então b−1 < a−1 < 0;
xii. a ·b> 0 se, e somente se, (a> 0 e b> 0) ou (a< 0 e b< 0) ;
xiii. a ·b≥ 0 se, e somente se, (a≥ 0 e b≥ 0) ou (a≤ 0 e b≤ 0)
xiv. a ·b< 0 se, e somente se, (a< 0 e b> 0) ou (a> 0 e b< 0) ;
xv. a ·b≤ 0 se, e somente se, (a≤ 0 e b≥ 0) ou (a≥ 0 e b≤ 0)
xvi. Se a≥ 0 e b≥ 0, então a< b se, e somente se, a2 < b2;
xvii. a2+b2 = 0 se, e somente se, a= 0 e b= 0.
Nota
No Teorema 1.3 temos que:
a. O item(i) é conhecido como Lei da tricotomia;
b. O item(iii) é conhecido como Lei transitiva;
c. O item(iv) é conhecido como Lei da monotonia para a soma.
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Importante
a. Se a e b são dois números reias tais que a2 = b, diz-se que a é a raiz quadrada
de b, denotada por
√
b. Por exemplo, 2 e −2 são raízes quadradas de 4, já que
(−2)2 = 22 = 4, e√3 e −√3 são raízes quadradas de 3, pois (−√3)2 = (√3)2 = 3.
b. Pelo item(ii) do Teorema 1.3, não existe a ∈ R e b < 0 tal que a2 = b. Em outras
palavras, no conjunto dos números reais não existe raiz quadrada de números
negativos;
c. Se a2 = 0, então deduz-se que a= 0. Portanto,
√
0 = 0.
Definição 1.2
Uma desigualdade é uma expressão algébrica que contém relações como <, ≤, >, ≥.
Desta forma temos que:
x< y< z significa que x< y e y< z;
x< y≤ z significa que x< y e y≤ z;
x≤ y< z significa que x≤ y e y< z;
x≤ y≤ z significa que x≤ y e y≤ z.
Mais ainda, sejam x, y e z ∈R tais que x< y< z. Então estas desigualdades são repr´esentadas na reta
real da seguinte maneira:
Figura 1.1: Distância entre x e y, e distância entre y e z
Ou seja, x está à esquerda de y, a uma distância de y−x unidades e z está à direita de y, a uma distância
de z− y unidades.
1.2 Equações
Definição 1.3
Uma equação é uma afirmação que se estabelece entre duas expressões algébricas mediante
uma igualdade.
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Exemplo 1.1 Tipos de Equações
• Equação de Primeiro grau
3x−4 = 2− x
• Equação de Segundo grau
x2−4x−5 = 0
• Equação Racional
x2−5x+4
x2−4 = x+2
• Equação Irracional
√
x+3+
√
x+4 =−3
• Equação Exponencial
3
√
3(5x+1)/3 =
√
93(x+1)/5
Definição 1.4
Dada uma equação. Diz-se que um número real a é uma raiz da equação, ou é um zero da
equação se ao substituir a variável da equação por a, a igualdade for verdadeira. Além disso,
resolver uma equação significa encontrar todas as suas raízes.
Exemplo 1.2
Dada a equação
x2−4x−5 = 0
temos que:
a. Os números reais −1 e 5 são raízes da equação de segundo grau acima, pois (−1)2−4(−1)−
5 = 0 e (5)2−4(5)−5 = 0;
b. Porém, o número real 4 não é uma raiz, pois (4)2−4(4)−5 =−5 6= 0.
Nota
Para resolver uma equação é necessário por em evidência, de alguma forma, a variável, ou
incógnita, da equação.
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Exemplo 1.3 Resolvamos as seguintes equações
a. 5x+6 = 8.
Solução
5x+6 = 8 ⇔ 5x= 8−6 = 2 ⇔ x= 2
5
. Portanto,
2
5
é a raiz de 5x+6 = 8.
b. 5x+5 = 1−3x.
Solução
5x+ 5 = 1− 3x ⇔ 5x+ 3x = 1− 5 ⇔ 8x = −4 ⇔ x = −4
8
⇔ x = −1
2
. Portanto,
−1
2
é a raiz de 5x+5 = 1−3x
c. x2+1 = 0.
Solução
x2 + 1 = 0 ⇔ x2 = −1. Portanto, do item b do Importante posterior ao Teorema 1.3,
para b=−1, podemos concluir que x2+1 = 0 não tem solução em R.
d. 4x2− x−3 = 0.
Solução
Método 1 (Fatorando)
4x2−x−3= 0 ⇔ (4x+3)(x−1) = 0. Pelo item (x) do Teorema 1.1 para a= 4x+3
e b= x−1, temos que (4x+3)(x−1) = 0 ⇔ 4x+3 = 0 ou x−1 = 0 ⇔ x=−3
4
ou x= 1.
Método 2 (Completando quadrados)
4x2−x−3= 0 ⇔ (2x)2−x+
(
−1
4
)2
−3=
(
−1
4
)2
⇔ (2x)2−x+
(
−1
4
)2
=
49
16
⇔
(
2x− 1
4
)2
=
49
16
⇔ 2x− 1
4
=−7
4
ou 2x− 1
4
=
7
4
⇔ 2x=−3
2
ou 2x= 2 ⇔
x=−3
4
ou x= 1.
Método 3 (Usando a fórmula de Bhaskara ou o Discriminante ∆)
Dada a equação 4x2− x− 3 = 0, temos que ∆ = (−1)2− 4(4)(−3) = 49 e ⇔ x =
−(−1)±√∆
2(4)
. Então, x=
1±√49
8
⇔ x= 1±7
8
⇔ x= 8
8
ou x=−6
8
⇔ x= 1
ou x=−3
4
.
Portanto, −3
4
e 1 são as raízes de 4x2− x−3 = 0.
1.3 Desigualdades e Intervalos
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Definição 1.5
Dados a e b ∈ R, com a < b. Um intervalo é um subconjunto de R e podem ser classificado
em:
Intervalos Limitados
1. Intervalo Aberto: (a,b) = {x ∈ R : a< x< b}
2. Intervalo Fechado: [a,b] = {x ∈ R : a≤ x≤ b}
3. Intervalo Semiaberto pela Direita: [a,b) = {x ∈R : a≤ x< b}
4. Intervalo Semiaberto pela Esquerda: (a,b] = {x ∈ R : a< x≤ b}
Intervalos Ilimitados
1. Intervalo Aberto:
i. (a,+∞) = {x ∈ R : a< x}
ii. (−∞,a) = {x ∈ R : x< a}
2. Intervalo Fechado:
i. [a,+∞) = {x ∈ R : a≤ x}
ii. (−∞,a] = {x ∈ R : x≤ a}
3. A Reta Real: (−∞,+∞) = R
Nota
Os intervalos semiabertos [a,b) e (a,b] também podem ser referenciados como intervalos
semifechados pela esquerda e pela direita, respectivamente.
Exemplo 1.4
Dados os intervalos:
A= [−5,2], B= (−2,3] e C = (2,6),
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temos que:
a. A∩B= [−2,2]
b. A∩C = /0
c. B∩C = (2,3]
d. A∪B= [−5,3]
e. A∪C = [−5,6)
f. B∪C = (−2,6)
1.4 Inequações
Definição 1.6
Uma inequação é uma afirmação que se estabelece entre duas expressões algébricas mediante
uma desigualdade.
Exemplo 1.5 Tipos de Inequações
• Inequação de Primeiro grau
3x−4≤ 2− x
• Inequação de Segundo grau
x2−4x−5< 0
• Inequação Racional
x2−5x+4
x2−4 ≥ x+2
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• Inequação Irracional
√
x+3+
√
x+4>−3
• Inequação Exponencial
3
√
3(5x+1)/3 <
√
93(x+1)/5
Definição 1.7
Diz-se que um número real a é solução da inequação, ou satisfaz uma inequação, se ao
substituir a variável da expressão por a, a desigualdade se faz verdadeira.
Exemplo 1.6
Seja a inequação
x2−4x−5< 0
Então:
a. O número real 4 é uma solução da inequação de segundo grau acima, pois (4)2− 4(4)− 5 =
−5< 0;
b. Porém, os números reais −1 e 5 não são soluções, pois (−1)2− 4(−1)− 5 = 0 6< 0 e (5)2−
4(5)−5 = 0 6< 0;
Definição 1.8
O conjunto de todas as soluções de uma inequação é chamado de conjunto solução, denotado
por C. S. Resolver uma inequação significa encontrar seu C. S..
Nota
Se não existem soluções reais para a inequação, então diz-se queC. S. é vazio, e se escreve,
C. S.= /0
1.4.1 Resolvendo Inequações
1.4.1.1 Inequações de Primeiro Grau
As inequações de primeiro grau numa variável são da forma:
ax+b> 0 ou ax+b< 0 ou ax+b≥ 0 ou ax+b≤ 0, com a 6= 0.
Então, para resolver estas inequações consideramos, sem perda de generalidade que, a> 0. Assim,
i. ax+b> 0 ≡ x>−ba ⇒ C. S.=
(−ba ,+∞);
ii. ax+b< 0 ≡ x<−ba ⇒ C. S.=
(−∞,−ba);
iii. ax+b≥ 0 ≡ x≥−ba ⇒ C. S.=
[−ba ,+∞);
iv. ax+b≤ 0 ≡ x≤−ba ⇒ C. S.=
(−∞,−ba].
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Exemplo 1.7
Resolvamos as seguintes inequações de primeiro grau:
a. 5x+6< 8.
Solução
5x+6< 8 ⇔ 5x< 8−6 = 2 ⇔ x< 2
5
. Portanto, C. S.=
(
−∞, 2
5
)
.
b. 5x+5≥ 1−3x.
Solução
5x+5≥ 1−3x ⇔ 5x+3x≥ 1−5 ⇔ 8x≥−4 ⇔ x≥−4
8
=−1
2
.
Portanto, C. S.=
[
−1
2
,+∞
)
.
c. 3x−4< 2+ x.
Solução
3x−4< 2+ x ⇔ 3x− x< 2+4 ⇔ 2x< 6 ⇔ x< 3. Portanto, C. S.= (−∞,3).
1.4.1.2 Inequações de Segundo Grau
As inequações de segundo grau numa variável são da forma:
ax2+bx+c> 0 ou ax2+bx+c< 0 ou ax2+bx+c≥ 0 ou ax2+bx+c≤ 0, com a 6= 0.
Suponhamos, sem perda de generalidade, que a > 0. Antes de mostrar como resolver este tipo de
inequação, devemos lembrar a fórmula de Bhaskara:
Se ax2+bx+ c= 0, então x=
−b±√∆
2a
,
onde ∆= b2−4ac é conhecido como o discriminante. Assim:
• Se ∆< 0, então esta equação não tem raízes em R;
• Se ∆≥ 0, então esta equação terá as seguintes raízes
r1 =
−b−√∆
2a
ou r2 =
−b+√∆
2a
em R.
Caso I
Se ∆= 0, então ax2+bx+ c= 0 tem uma única raiz, isto é, r = r1 = r2. Portanto:
i. ax2+bx+ c> 0 se, e somente, C. S.= R\{r};
ii. ax2+bx+ c< 0 se, e somente se, C. S.= /0;
iii. ax2+bx+ c≥ 0 se, e somente se, C. S.= R;
iv. ax2+bx+ c≤ 0 se, e somente se, C. S.= {r}.
Caso II
Se ∆> 0, então ax2+bx+ c= 0 tem duas raízes diferentes, com r1 < r2. Portanto:
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i. ax2+bx+ c> 0 se, e somente, C. S.= (−∞,r1)∪ (r2,+∞);
ii. ax2+bx+ c< 0 se, e somente se, C. S.= (r1,r2);
iii. ax2+bx+ c≥ 0 se, e somente se, C. S.= (−∞,r1]∪ [r2,+∞);
iv. ax2+bx+ c≤ 0 se, e somente se, C. S.= [r1,r2].
Caso III
Se ∆< 0, então ax2+bx+ c= 0 não tem raízes em R. Portanto:
i. ax2+bx+ c> 0 se, e somente, C. S.= R;
ii. ax2+bx+ c< 0 se, e somente se, C. S.= /0;
iii. ax2+bx+ c≥ 0 se, e somente se, C. S.= R;
iv. ax2+bx+ c≤ 0 se, e somente se, C. S.= /0.
Exemplo 1.8
Resolvamos as seguintes inequações:
a. x2−2< 3x+2
Solução
x2− 2 < 3x+ 2 ⇔ x2− 3x− 4 < 0. Como ∆ = (−3)2− 4(1)(−4) = 25 > 0, então
x2−3x−4 = 0 tem duas raizes reais diferentes:
r1 =
−(−3)−√∆
2(1)
=
3−√25
2
=
−2
2
=−1 e r2 = −(−3)+
√
∆
2(1)
=
3+
√
25
2
=
8
2
= 4.
Aplicando o item(ii) do Caso II, pois r1 < r2, temos que C. S.= (−1,4).
Embora já tenhamos encontrado o conjunto solução para a inequação dada, a seguir apre-
sentamos métodos alternativos para determiná-lo.
Método 1 (Decompondo)
x2−2< 3x+2 ⇔ x2−3x−4< 0 ⇔ (x−4)(x+1)< 0. Logo, pelo item(xiv) do
Teorema 1.3 temos que (x−4)(x+1)< 0 ⇔ (x−4< 0 e x+1> 0) ou (x−4> 0
e x+ 1 < 0) ⇔ (x < 4 e x > −1) ou (x > 4 e x < −1) ⇔ −1 < x < 4 ou /0 ⇔
x ∈ (−1,4).
Método 2 (Completando Quadrados)
x2 − 2 < 3x+ 2 ⇔ x2 − 3x < 4 ⇔ x2 − 3x+ 9
4
< 4 +
9
4
⇔
(
x− 3
2
)2
<
25
4
⇔
(
x− 3
2
)2
−
(
5
2
)2
< 0 ⇔
(
x− 3
2
− 5
2
)(
x− 3
2
+
5
2
)
< 0 ⇔(
x− 8
2
)(
x+
2
2
)
< 0 ⇔ (x−4)(x+1)< 0. Assim, trabalhando de forma analoga
ao Método 1 acima, temos que (x−4)(x+1)< 0 ⇔ x ∈ (−1,4).
Método 3 (Encontrando o quadro de sinais)
x2−2< 3x+2 ⇔ x2−3x−4< 0 ⇔ (x+1)(x−4)< 0. Os valores de x para os
que (x+1)(x−4) = 0 são x=−1 e x= 4 (raízes de cada fator). Logo,
Figura 1.2: Quadro de sinais
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Nesta figura observamos que (x+1)(x−4)< 0, se x ∈ (−1,4).
Portanto, C. S.= (−1,4).
b. x2+1< 0
Solução
Para x2−1< 0 temos que ∆= (0)2−4(1)(1) =−16< 0. Então, do Caso III item(ii), se
segue que x2+1 = 0 não tem raízes em R. Portanto, C. S.= /0.
c. 4x2− x−3≥ 0.
Solução
Para 4x2− x− 3 ≥ 0 temos que ∆ = (−1)2− 4(4)(−3) = 49 > 0, então 4x2− x− 3 = 0
tem duas raizes reais diferentes:
r1 =
−(−1)−√∆
2(4)
=
1−√49
8
=−3
4
e r2 =
−(−1)+√∆
2(4)
=
1+
√
49
8
=
8
8
= 1.
Portanto, aplicando o item(iii) do Caso II, pois r1 < r2, C. S.=
(−∞,−34]∪ [1,+∞).
1.4.1.3 Inequações Polinomiais
Seja o polinômio de grau n:
P(x) = anxn+ · · ·+a1x+a0
onde a0, a1, . . . ,an são contantes e an > 0, n ∈ N. Então, as inequações polinomiais numa variável
são da forma:
P(x)> 0 ou P(x)< 0 ou P(x)≥ 0 ou P(x)≤ 0.
Assim como nos casos anteriores, este tipo de inequações são resolvidas de acordo com a natureza
das raízes da equação polinomial P(x) = 0. Desde que P(x) tem grau n, então esta equação pode ter
no máximo n raízes em R. Vamos denotar cada uma destas raízes por r1, r2, . . . ,rn.
Caso I
Se P(x) = 0 tem n raízes diferentes em R, com r1 < r2 < · · · < rn−1 < rn, então alternamos o
sinal + e − nos intervalos consecutivos delimitados por estas raízes, começamos assinando o
sinal + ao intervalo mais a direita, isto é, aquele intervalo à direita da raiz rn, veja a figura a
seguir:
Logo,
i. P(x)> 0 se, e somente, x pertence à união dos intervalos abertos com sinal +, isto é:
a. Se n é par, então C. S.= (−∞,r1)∪·· ·∪ (rn,+∞);
b. Se n é ímpar, então C. S.= (r1,r2)∪·· ·∪ (rn,+∞);
ii. P(x)< 0 se, e somente se, x pertence à união dos intervalos aberots com sinal −, isto é:
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Cálculo Diferencial e Integral
a. Se n é par, então C. S.= (r1,r2)∪·· ·∪ (rn−1,rn);
b. Se n é ímpar, então C. S.= (−∞,r1)∪·· ·∪ (rn−1,rn);
iii. P(x)≥ 0 se, e somente, x pertence à união dos intervalos fechados com sinal +, isto é:
a. Se n é par, então C. S.= (−∞,r1]∪·· ·∪ [rn,+∞);
b. Se n é ímpar, então C. S.= [r1,r2]∪·· ·∪ [rn,+∞);
iv. P(x)≤ 0 se, e somente se, x pertence à união dos intervalos fechados com sinal −, isto é:
a. Se n é par, então C. S.= [r1,r2]∪·· ·∪ [rn−1,rn];
b. Se né ímpar, então C. S.= (−∞,r1]∪·· ·∪ [rn−1,rn];
Caso II
Seja rk uma raiz de P(x) = 0 com multiplicidade maior ou igual que 2. Então:
i. Se a multiciplicidade de rk é par, então aplicaremos o mesmo procedimento do Caso I
sem considerar rk para a obtenção dos intervalos que definem o C. S.
ii. Se a multiciplicidade de rk é impar, então aplicaremos o mesmo procedimento do Caso I
considerando rk para a obtenção dos intervalos que definem o C. S.
Caso III
Se alguma raiz de P(x) = 0 não é real, então ela não é consideradas na obtenção dos intervalos
que definemC. S.. Em outras palavras, oC. S. será obtido seguindo os procedimentos dos casos
anteriores com as raízes reais.
Exemplo 1.9
Resolvamos as seguintes inequações:
a. (x−1)4(x+2)(x+4)≤ 0
Solução
Fazendo P(x) = (x−1)4(x+2)(x+4) = 0, temos que as raízes de P(x) = 0 são r1 =−4,
r2 = −2 e r3 = 1. Notemos que a multiciplicidade de r3 é 4. Então, aplicando o Caso II
item(i), r3 = 1 não será considerada para a obtenção dos intervalos que definem o C. S.
Mais ainda, como a inequação é da forma P(x)≤ 0, podemos aplicar o item iv(a) do Caso
I, considerando, somente, as raízes r1 = −4, r2 = −2. Ou seja, x pertence à união dos
intervalos com sinal (−). Veja a figura a seguir:
Portanto,
C.S.= [−4,−2].
b. (x2−3)5(x2+16)(x2−16)(x4+1)> 0
Solução
Desde que:
x2+16 = 0 e x4+1 = 0 não tem raízes em R
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Cálculo Diferencial e Integral
temos que, pelo Caso III, x2+16 e x4+1 não serão consideradas na obtenção dos inter-
valos que definem C. S. Além disso,
x2−3 = (x+
√
3)(x−
√
3) e x2−16 = (x−4)(x+4).
Assim,
(x2−3)5(x2+16)(x2−16)(x4+1)> 0 ⇔ (x+
√
3)5(x−
√
3)5(x−4)(x+4)> 0.
Fazendo P(x)= (x+
√
3)5(x−√3)5(x−4)(x+4)= 0, temos que as raízes de P(x)= 0 são
r1 =−4, r2 =−
√
3, r3 =
√
3 e r4 = 4. Note que tanto r2 como r3 têm multiciplicidade 5.
Do Caso II item(ii) r2 e r3 serão consideradas para a obtenção dos intervalos que definem
o C. S. Mais ainda, como a inequação é da forma P(x) > 0, podemos aplicar o item(ia)
do Caso I, para todas as raízes r1 = −4, r2 = −
√
3, r3 =
√
3 e r4 = 4. Ou seja, então x
pertence à união dos intervalos com sinal (+). Veja figura a seguir:
Portanto,
C.S.= (−∞,−4)∪ (−
√
3,
√
3)∪ (4,+∞).
1.4.1.4 Inequações Racionais
Sejam os polinômios:
P(x) = anxn+ · · ·+a1x+a0 e Q(x) = bmxm+ · · ·+b1x+b0
onde a0, a1, . . . ,an,b0, b1, . . . ,bm são contantes, an > 0 e bm > 0, n, m ∈ N e Q(x) é um polinômio
diferente de zero.
Então, as inequações racionais numa variável são da forma:
P(x)
Q(x)
> 0 ou
P(x)
Q(x)
< 0 ou
P(x)
Q(x)
≥ 0 ou P(x)
Q(x)
≤ 0.
Para resolver este tipo de inequações, devemos saber que:
i.
P(x)
Q(x)
> 0 ≡ P(x)Q(x)> 0;
ii.
P(x)
Q(x)
< 0 ≡ P(x)Q(x)< 0;
iii.
P(x)
Q(x)
≥ 0 ≡ P(x)Q(x)≥ 0 e Q(x) 6= 0;
iv.
P(x)
Q(x)
≤ 0 ≡ P(x)Q(x)≤ 0 e Q(x) 6= 0.
Logo, fazendo Pˆ(x) = P(x)Q(x), procedemos como nos casos anteriores para Pˆ(x) em ordem a obter
o C.S.
Nota
Q(x) 6= 0 implica que os intervalos que contêm alguma das raízes da equação Q(x) = 0
devem ser abertos nesses extremos.
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Cálculo Diferencial e Integral
Exemplo 1.10
Resolvamos a seguinte inequação:
a.
x−2
x−4 >
x+2
x
Solução
x−2
x−4 >
x+2
x
⇔ x+2
x
− x−2
x−4 < 0 ⇔
(x+2)(x−4)− x(x−2)
x(x−4) < 0
⇔ −8
x(x−4) < 0 ⇔
1
x(x−4) > 0.
Logo, pelo item(i) acima,
1
x(x−4) > 0 ⇔ x(x−4)> 0.
Fazendo P(x) = x(x− 4), temos que as raízes de P(x) = 0 são r1 = 0 e r2 = 4. Como a
inequação é da forma P(x)> 0, podemos aplicar o item i(a) do caso I, pois consideraremos
todas as raízes. Ou seja, x pertence à união dos intervalos com sinal (+), conforme a figura
a seguir:
Logo, C. S.= (−∞,0)∪ (4,+∞).
b.
x(x+2)
x−1 +
(x−1)(x+2)
x
≤ 2x(x+2)
x+1
Solução
x(x+2)
x−1 +
(x−1)(x+2)
x
≤ 2x(x+2)
x+1
⇔ x(x+2)
x−1 +
(x−1)(x+2)
x
− 2x(x+2)
x+1
≤ 0
⇔ (x
2(x+1)+(x−1)(x−1)(x+1)−2x2(x−1))(x+2)
(x−1)x(x+1) ≤ 0
⇔ (2x
2− x+1)(x+2)
(x−1)x(x+1) ≤ 0.
Logo, pelo item(iv) acima,
(2x2− x+1)(x+2)
(x−1)x(x+1) ≤ 0 ⇔ (2x
2− x+1)(x+2)(x−1)x(x+1)≤ 0 e (x−1)x(x+1) 6= 0
Desde que 2x2− x+1 = 0 não tem raízes reais, esta expressão não será considerada para
a obtenção de C.S. Assim,
(2x2− x+1)(x+2)(x−1)x(x+1)≤ 0 e (x−1)x(x+1) 6= 0
⇔ (x+2)(x−1)x(x+1)≤ 0 e (x−1)x(x+1) 6= 0
Fazendo P(x) = (x+2)(x−1)x(x+1), temos que as raízes de P(x) = 0 são r1 = −2,
r2 = −1, r3 = 0 e r4 = 1. Pela nota acima (x− 1)x(x+ 1) 6= 0 implica que os intervalos
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Cálculo Diferencial e Integral
que tenham r2 =−1, r3 = 0 e r4 = 1 devem ser abertos nestes extremos. Desde que a ine-
quação é da forma P(x)≤ 0, podemos aplicar o item iii(a) do caso I, pois consideraremos
todas as raízes. Ou seja, x pertence à união dos intervalos com sinal (−), veja figura a
seguir:
Logo, C. S.= [−2,−1)∪ (0,1).
1.4.1.5 Inequações Exponenciais envolvendo Polinômios
Sejam f (x) e g(x) duas expressões que envolvem polinômios, na variável x. Então, as inequações
exponenciais envolvendo polinômios numa variável são da forma:
a f (x) > ag(x) ou a f (x) < ag(x) ou a f (x) ≥ ag(x) ou a f (x) ≤ ag(x),
onde a> 0, a 6= 1.
Para resolver este tipo de inequação, são considerados dois casos.
Caso I
Se a> 1, então os expoentes da inequação preservam a mesma ordem, isto é:
i. a f (x) > ag(x) se, e somente se, f (x)> g(x);
ii. a f (x) < ag(x) se, e somente se, f (x)< g(x);
iii. a f (x) ≥ ag(x) se, e somente se, f (x)≥ g(x);
iv. a f (x) ≤ ag(x) se, e somente se, f (x)≤ g(x).
Caso II
Se 0< a< 1, então os expoentes da inequação invertem a ordem, isto é:
i. a f (x) > ag(x) se, e somente se, f (x)< g(x);
ii. a f (x) < ag(x) se, e somente se, f (x)> g(x);
iii. a f (x) ≥ ag(x) se, e somente se, f (x)≤ g(x);
iv. a f (x) ≤ ag(x) se, e somente se, f (x)≥ g(x).
Logo, o conjunto solução de cada item é obtido resolvendo esta última inequação, usando os proce-
dimentos vistos nos casos anteriormente.
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Cálculo Diferencial e Integral
Exemplo 1.11
Resolver as seguintes inequações:
a. 2(5x+2)/4 > 4
√
24(x+1)/5
Solução
2(5x+2)/4 >
4
√
24(x+1)/5 ⇔ 2(5x+2)/4 >
(
24(x+1)/5
) 1
4
⇔ 2(5x+2)/4 > 24(x+1)/(4·5) ⇔ 2(5x+2)/4 > 2(x+1)/5
Como a inequação é da forma a f (x) > ag(x), com a = 2 > 1, podemos aplicar o item i do
caso I, isto é
2(5x+2)/4 > 2(x+1)/5 ⇔ 5x+2
4
>
x+1
5
.
Assim, agora precisamos determinar o C.S. de
5x+2
4
>
x+1
5
. Desde que
5x+2
4
>
x+1
5
⇔ 5x+2
4
− x+1
5
> 0 ⇔ 5(5x+2)−4(x+1)
20
⇔
21x+6
20
> 0 ⇔ 3(7x+2)
20
> 0 ⇔ 7x+2> 0 ⇔ x>−2
7
.
Portanto, C.S.=
(− 27 ,+∞).
b.
(
(0,3)(3x+2)(x+1)
) 1
x+2 ≥ (0,9)
2x+5
32x+5
Solução (
(0,3)(3x+2)(x+1)
) 1
x+2 ≥ (0,9)
2x+5
32x+5
⇔ (0,3) (3x+2)(x+1)x+2 ≥
(
0,9
3
)2x+5
⇔ (0,3) (3x+2)(x+1)x+2 ≥ (0,3)2x+5.
Como a inequação é da forma a f (x) > ag(x), com a = 0,3 < 1, podemos aplicar o item iv
do caso II, isto é
(0,3)
(3x+2)(x+1)
x+2 ≥ (0,3)2x+5 ⇔ (3x+2)(x+1)
x+2
≤ 2x+5.
Assim, agora precisamos determinar o C.S. de
(3x+2)(x+1)
x+2
≤ 2x+5. Desde que
(3x+2)(x+1)
x+2
≤ 2x+5 ⇔ (3x+2)(x+1)
x+2
−2x+5≤ 0
⇔ (3x+2)(x+1)− (2x+5)(x+2)
x+2
≤ 0 ⇔ x
2−4x−8
x+2
≤ 0.
Como x2−4x−8 = (x−2−2√3)(x−2+2√3), então
x2−4x−8
x+2
≤ 0 ⇔ (x−2−2
√
3)(x−2+2√3)
x+2
≤ 0
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Cálculo Diferencial e Integral
Pelo item(iv) de Inequações Racionais temos que
(x−2−2√3)(x−2+2√3)
x+2
≤ 0 ⇔ (x−2−2
√
3)(x−2+2
√
3)(x+2)≤ 0 e x+2 6= 0.
Fazendo P(x) = (x−2−2√3)(x−2+2√3)(x+2), temos que as raízes de P(x) = 0 são
r1 =−2, r2 = 2−2
√
3, r3 = 2+2
√
3. Como a inequação é da forma P(x)≤ 0, podemos
aplicar o item iv(b) do Caso I. Ou seja, x pertence à união dos intervalos com sinal (−),
veja figura a seguir:
2 -2 3
Lembre que, pela nota acima, x+ 2 6= 0 implica que o intervalosque tenham r1 = −2
devem ser abertos neste extremo. Portanto, C. S.= (−∞,−2)∪ [2−2√3,2+2√3].
1.4.1.6 Inequações Irracionais
Sejam os polinômios:
P(x) = anxn+ · · ·+a1x+a0, Q(x) = bmxm+ · · ·+b1x+b0 e R(x) = clxl+ · · ·+ c1x+ c0
onde a0, a1, . . . ,an,b0, b1, . . . ,bm,c0, c1, . . . ,cl são contantes, an > 0, bm > 0 e cl > 0, n, m e l ∈ N.
Então, os casos particulares das inequações irracionais numa variável, que trabalaremos, são da forma:
Caso I
Para as inequações da forma:
√
P(x)> Q(x),
√
P(x)≥ Q(x),
√
P(x)< Q(x) e
√
P(x)≤ Q(x).
Temos as seguintes equivalências:
i.
√
P(x)>Q(x) ≡
(
P(x)≥ 0 e Q(x)≤ 0
)
ou
(
P(x)≥ 0 e P(x)>Q2(x)
)
;
ii.
√
P(x)≥ Q(x) ≡
(
P(x)≥ 0 e Q(x)≤ 0
)
ou
(
P(x)≥ 0 e P(x)≥ Q2(x)
)
;
iii.
√
P(x)< Q(x) ≡ P(x)≥ 0 e Q(x)> 0 e P(x)< Q2(x);
iv.
√
P(x)≤ Q(x) ≡ P(x)≥ 0 e Q(x)≥ 0 e P(x)≤ Q2(x).
Caso II
Para as inequações da forma:
√
P(x)+
√
Q(x)> 0,
√
P(x)+
√
Q(x)≥ 0,
√
P(x)±
√
Q(x)≥ k, k > 0,√
P(x)+
√
Q(x)< 0 e
√
P(x)+
√
Q(x)≤ 0.
Temos as seguintes equivalências:
i.
√
P(x)+
√
Q(x)> 0 ≡
(
P(x)≥ 0 e Q(x)> 0
)
ou
(
P(x)> 0 e Q(x)≥ 0
)
;
ii.
√
P(x)+
√
Q(x)≥ 0 ≡ P(x)≥ 0 e Q(x)≥ 0;
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Cálculo Diferencial e Integral
iii.
√
P(x)±√Q(x)≥ k, k > 0 ≡ P(x)≥ 0 e Q(x)≥ 0 e P(x)≥ (k∓√Q(x))2;
iv.
√
P(x)+
√
Q(x)< 0 ≡ C.S.= /0;
v.
√
P(x)+
√
Q(x)≤ 0 ≡ P(x) = 0 e Q(x) = 0.
Caso III
Para as inequações da forma:
√
P(x)−
√
Q(x)> 0 e
√
P(x)−
√
Q(x)≥ 0
Temos as seguintes equivalências:
i.
√
P(x)−√Q(x)> 0 ≡ P(x)≥ 0 e Q(x)≥ 0 e P(x)> Q(x);
ii.
√
P(x)−√Q(x)≥ 0 ≡ P(x)≥ 0 e Q(x)≥ 0 e P(x)≥ Q(x).
Exemplo 1.12
Resolvamos as seguintes inequações:
a.
√
x2− x−2< 5− x
Solução
Aplicando o item iii do Caso I, para P(x) = x2− x−2 e Q(x) = 5− x, temos que:
√
x2− x−2< 5− x ⇔ x2− x−2≥ 0 e 5− x≥ 0 e x2− x−2< (5− x)2
⇔ (x−2)(x+1)≥ 0 e 5≥ x e x2− x−2< 25−10x+ x2
⇔ (x−2)(x+1)≥ 0 e 5≥ x e 9x< 27
Logo,
(x−2)(x+1) ≥ 0 ⇔ x ∈ (−∞,−1]∪ [2,+∞);
5 ≥ x ⇔ x ∈ (−∞,5];
9x < 27 ⇔ x ∈ (−∞,3).
Assim, x pertence à interceção destes intervalos, isto é
x ∈
(
(−∞,−1]∪ [2,+∞)
)
∩
(
(−∞,5]
)
∩
(
(−∞,3)
)
= (−∞,−1]∪ [2,3).
Portanto, C.S.= (−∞,−1]∪ [2,3).
b.
√
x−8≤ 0
Solução
Aplicando o item iv do Caso I, para P(x) = x−8 e Q(x) = 0, temos que:
√
x−8≤ 0 ⇔ x−8≥ 0 e 0≤ 0 e x−8≤ 02 = 0
⇔ x≥ 8 e 0≤ 0 e x≤ 8.
Logo,
x ≥ 8 ⇔ x ∈ (−∞,8];
0 ≤ 0 ⇔ x ∈ R;
x ≤ 8 ⇔ x ∈ [8,+∞).
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Cálculo Diferencial e Integral
Assim, x pertence à interceção destes intervalos, isto é
x ∈
(
(−∞,8]
)
∩
(
R
)
∩
(
[8,+∞)
)
= {8}.
Portanto, C.S.= {8}.
c.
√
x+5< 0
Solução
Aplicando o item iii do Caso I, para P(x) = x+5 e Q(x) = 0, temos que:
√
x+5< 0 ⇔ x+5≥ 0 e 0> 0 e x+5< 02 = 0
⇔ x≥−5 e 0> 0 e x<−5.
Logo,
x ≥ −5 ⇔ x ∈ (−∞,−5];
0 ≤ 0 ⇔ x ∈ R;
x < −5 ⇔ x ∈ (5,+∞).
Assim, x pertence à interceção destes intervalos, isto é
x ∈
(
(−∞,−5]
)
∩
(
R
)
∩
(
(−5,+∞)
)
= /0
Portanto, C.S.= /0.
Note que não é necessário fazer as contas acima para obterC.S.= /0, pois
√
x+5≥ 0, pela
definição da raiz quadrada, logo,
√
x+5< 0 é uma inequação não válida.
Caso IV
Para as inequações da forma:
P(x) n
√
Q(x)
R(x)
≥ 0, P(x)
n
√
Q(x)
R(x)
≤ 0, P(x)
R(x) n
√
Q(x)
≥ 0,
P(x)
R(x) n
√
Q(x)
≤ 0 e n
√
P(x)≤ n
√
Q(x),
com n≥ 1 e impar. Temos as seguintes equivalências:
i.
P(x) n
√
Q(x)
R(x)
≥ 0 ≡ P(x)Q(x)
R(x)
≥ 0;
ii.
P(x) n
√
Q(x)
R(x)
≤ 0 ≡ P(x)Q(x)
R(x)
≤ 0;
iii.
P(x)
R(x) n
√
Q(x)
≥ 0 ≡ P(x)
R(x)Q(x)
≥ 0;
iv.
P(x)
R(x) n
√
Q(x)
≤ 0 ≡ P(x)
R(x)Q(x)
≤ 0;
v. n
√
P(x)≤ n√Q(x) ≡ P(x)≤ Q(x).
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Cálculo Diferencial e Integral
Nota
Se a desigualdade a ser analisada tem a mesma forma que algum dos itens do Caso IV,
porem ela é estrita, isto é, > ou <, então na sua inequação equivalente subtituímos ≥ ou ≤
por > ou <, respectivamente.
Caso V
Para as inequações da forma:
P(x) n
√
Q(x)≥ 0, P(x) n
√
Q(x)≤ 0, P(x)
R(x) n
√
Q(x)
≥ 0,
P(x)
R(x) n
√
Q(x)
≤ 0, n
√
P(x)≥ Q(x) e n
√
P(x)≤ n
√
Q(x),
com n≥ 0 e par. Temos as seguintes equivalências:
i. P(x) n
√
Q(x)≥ 0 ≡ P(x)≥ 0 e Q(x)≥ 0;
ii. P(x) n
√
Q(x)≤ 0 ≡ P(x)≤ 0 e Q(x)≥ 0;
iii.
P(x)
R(x) n
√
Q(x)
≥ 0 ≡ Q(x)> 0 e P(x)
R(x)
≥ 0;
iv.
P(x)
R(x) n
√
Q(x)
≤ 0 ≡ Q(x)> 0 e P(x)
R(x)
≤ 0;
v. n
√
P(x)≥Q(x) ≡
(
P(x)≥ 0 e Q(x)≤ 0
)
ou
(
P(x)≥ 0 e P(x)≥Qn(x)
)
;
vi. n
√
P(x)≤ Q(x) ≡ P(x)≥ 0 e Q(x)≥ 0 e P(x)≤ Qn(x);
vii. n
√
P(x)≤ n√Q(x) ≡ P(x)≥ 0 e Q(x)≥ 0 e P(x)≤ Q(x).
Nota
Se a desigualdade a ser analisada tem a mesma forma que algum dos itens do Caso V,
porem ela é estrita, isto é, > ou <, então na sua inequação equivalente subtituímos ≥ ou ≤
por > ou <, nas inequações que envolvam P(x), Q(x) e R(x), respectivamente.
Exemplo 1.13
Resolvamos as seguintes inequações:
a.
x+5
(x−4) 7√81− x2 ≤ 0
Solução
Desde que n= 7 é um número impar, podemos aplicar o item ii do Caso IV, para P(x) =
x+5, Q(x) = 7
√
81− x2 e R(x) = x−4. Assim, temos que:
x+5
(x−4) 7√81− x2 ≤ 0 ⇔
x+5
(x−4)(81− x2) ≤ 0
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Cálculo Diferencial e Integral
Por outro lado,
x+5
(x−4)(81− x2) ≤ 0 ⇔
x+5
(x−4)(9− x)(9+ x) ≤ 0
⇔ − x+5
(x−4)(x−9)(x+9) ≤ 0 ⇔
x+5
(x−4)(x−9)(x+9) ≥ 0
e pelo item(iii) de Inequações Irracionais temos que
x+5
(x−4)(x−9)(x+9) ≥ 0 ⇔ (x+5)(x−4)(x−9)(x+9)≥ 0 e (x−4)(x−9)(x+9) 6= 0.
Fazendo P(x) = (x+5)(x−4)(x−9)(x+9), temos que as raízes de P(x) = 0 são r1 =−9,
r2 = −5, r3 = 4 e r4 = 9. Pela nota acima (x− 4)(x− 9)(x+ 9) 6= 0 implica que os
intervalos que tenham r1 =−9, r3 = 4 e r4 = 9 devem ser abertos nestes extremos. Desde
que a inequação é da forma P(x) ≥ 0, podemos aplicar o item iii(a) do Caso I, pois
consideraremos todas as raízes. Portanto, C.S.= (−∞,−9)∪ [−5,4)∪ (9,+∞)
b.
x+5
(x−4) 6√81− x2 ≥ 0
Solução
Desde que n= 6 é um número par, podemos aplicar Aplicando o item iii do Caso V, para
P(x) = x+5, Q(x) = 6
√
81− x2 e R(x) = x−4, temos que:
x+5
(x−4) 6√81− x2 ≥ 0 ⇔ 81− x
2 > 0 e
x+5
x−4 ≥ 0
Por outro lado, pelo item(iii) de Inequações Irracionais, temos que
x+5
x−4 ≥ 0 ⇔ (x+5)(x−4)≥ 0 e x−4 6= 0
Assim,
81− x2 > 0 e x+5
x−4 ≥ 0 ⇔ 81− x
2 > 0 e (x+5)(x−4)≥ 0 e x−4 6= 0.
⇔ (x+9)(x−9)< 0 e (x+5)(x−4)≥ 0 e x−4 6= 0.
Logo,
(x+9)(x−9) < 0 ⇔ x ∈ (−9,9);
(x+5)(x−4) ≥ 0 ⇔ x ∈ [−5,4];
x−4 6= 0 ⇔ x ∈ (−∞,4)∪ (4,+∞).
Assim, x pertence à interceção destes intervalos, isto é
x ∈
(
(−9,9)
)
∩
(
[−5,4]
)
∩
(
(−∞,4)∪ (4,+∞)
)
= (−9,−5]∪ (4,9).
Portanto, C.S.= (−9,−5]∪ (4,9).
Caso VI
Para as inequações da forma:
P(x)
R(x) n1
√
Q1(x) n2
√
Q2(x) . . . nk
√
Qk(x)
≥ 0 e P(x)
R(x) n1
√
Q1(x) n2
√
Q2(x) . . . nk
√
Qk(x)
≤ 0
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Cálculo Diferencial e Integral
i. Se ni > 0 e par, para todo i= 1, . . . ,k. Temos as seguintes equivalências:
a.
P(x)
R(x) n1
√
Q1(x) n2
√
Q2(x) . . . nk
√
Qk(x)
≥ 0 ≡
Q1(x)> 0 e Q2(x)> 0 e . . . e Qk(x)> 0 e
P(x)
R(x)
≥ 0;
b.
P(x)
R(x) n1
√
Q1(x) n2
√
Q2(x) . . . nk
√
Qk(x)
≤ 0 ≡
Q1(x)> 0 e Q2(x)> 0 e . . . e Qk(x)> 0 e
P(x)
R(x)
≤ 0.
ii. Se ni ≥ 1 e impar, para todo i= 1, . . . ,k. Temos as seguintes equivalências:
a.
P(x)
R(x) n1
√
Q1(x) n2
√
Q2(x) . . . nk
√
Qk(x)
≥ 0 ≡ P(x)
R(x)Q1(x)Q2(x) . . .Qk(x)
≥ 0;
b.
P(x)
R(x) n1
√
Q1(x) n2
√
Q2(x) . . . nk
√
Qk(x)
≤ 0 ≡ P(x)
R(x)Q1(x)Q2(x) . . .Qk(x)
≤ 0.
iii. Se ni > 0 e par, para todo i = 1, . . . , l, e ni ≥ 1 e impar, para todo i = l+1, . . . ,k. Temos
as seguintes equivalências:
a.
P(x)
R(x) n1
√
Q1(x) n2
√
Q2(x) . . . nk
√
Qk(x)
≥ 0 ≡
Q1(x)> 0 e . . . eQk(x)> 0 e
P(x)
R(x)Ql+1(x) . . .Qk(x)
≥ 0;
b.
P(x)
R(x) n1
√
Q1(x) n2
√
Q2(x) . . . nk
√
Qk(x)
≤ 0 ≡
Q1(x)> 0 e . . . e Qk(x)> 0 e
P(x)
R(x)Ql+1(x) . . .Qk(x)
≤ 0.
Nota
Caso os ni’s dos l primeiros radicais, não sejam pares, reodenamos os
n1
√
Q1(x), n2
√
Q2(x), . . . , nk
√
Qk(x)
de tal forma que que isto seja verdadeiro.
Exemplo 1.14
Resolvamos as seguintes inequações:
a.
x2−4
(x−13) 4√x2−9√x−1 6√x−4 ≤ 0
Solução
Desde que n1 = 4, n2 = 2 e n3 = 6, ou seja todos pares, podemos aplicar o item i(b)
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Cálculo Diferencial e Integral
do Caso VI, para P(x) = x2− 4, Q1(x) = 4
√
x2−9, Q2(x) =
√
x−1, Q3(x) = 6
√
x−4 e
R(x) = x−13. Assim, temos que:
x2−4
(x−13) 4√x2−9√x−1 6√x−4 ≤ 0 ⇔ x
2−9> 0 e x−1> 0 e x−4> 0 e x
2−4
x−13 ≤ 0
Por outro lado, pelo item(iv) de Inequações Irracionais, temos que
x2−4
x−13 ≤ 0 ⇔ (x
2−4)(x−13)≤ 0 e x−13 6= 0.
Assim,
x2−9> 0 e x−1> 0 e x−4> 0 e x
2−4
x−13 ≤ 0 ⇔
x2−9> 0 e x−1> 0 e x−4> 0 e (x2−4)(x−13)≤ 0 e x−13 6= 0
⇔ (x+3)(x−3)> 0 e x> 1 e x> 4 e (x−2)(x+2)(x−13)≤ 0 e x 6= 13.
Logo,
(x+3)(x−3) > 0 ⇔ x ∈ (−∞,−3)∪ (3,+∞);
x > 1 ⇔ x ∈ (1,+∞);
x > 4 ⇔ x ∈ (4,+∞);
(x−2)(x+2)(x−13) ≤ 0 ⇔ x ∈ (−∞,−2]∪ [2,13];
x 6= 13 ⇔ x ∈ (−∞,13)∪ (13,+∞).
Assim, x pertence à interceção destes intervalos, isto é
x∈
(
(−∞,−3)∪(3,+∞)
)
∩
(
(1,+∞)
)
∩
(
(4,+∞)
)
∩
(
(−∞,−2]∪[2,13]
)
∩
(
(−∞,13)∪(13,+∞)
)
=(4,13).
Portanto, C.S.= (3,13).
b.
x2−4
(x−13) 3√x2−9 9√x−1 5√x−4 ≤ 0
Solução
Desde que n1 = 3, n2 = 9 e n3 = 5, ou seja todos impares, podemos aplicar o item ii(a)
do Caso VI, para P(x) = x2− 4, Q1(x) = 3
√
x2−9, Q2(x) = 9
√
x−1, Q3(x) = 5
√
x−4 e
R(x) = x−13. Assim, temos que:
x2−4
(x−13) 4√x2−9√x−1 6√x−4 ≤ 0 ⇔
x2−4
(x−13)(x2−9)(x−1)(x−4) ≤ 0
Por outro lado, pelo item(iii) de Inequações Irracionais, temos que
x2−4
(x−13)(x2−9)(x−1)(x−4) ≤ 0 ⇔
(x2−4)(x−13)(x2−9)(x−1)(x−4)≤ 0 e (x−13)(x2−9)(x−1)(x−4) 6= 0 ⇔
(x−2)(x+2)(x−13)(x−3)(x+3)(x−1)(x−4)≤ 0 e (x−13)(x−3)(x+3)(x−1)(x−4) 6= 0.
Fazendo P(x) = (x−2)(x+2)(x−13)(x−3)(x+3)(x−1)(x−4), temos que as raízes de
P(x) = 0 são r1 = −3, r2 = −2, r3 = 1, r4 = 2, r5 = 3, r6 = 4 e r7 = 13. Desde que a
inequação é da forma P(x) ≤ 0, pelo item iv(b) do Caso I de Inequações Polinomiais,
temos que
x ∈ (−∞,−3)∪ [−2,1)∪ [2,3)∪ [4,13).
Portanto, C.S.= (−∞,−3)∪ [−2,1)∪ [2,3)∪ [4,13).
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Cálculo Diferencial e Integral
c.
x2−4
(x−13) 7√x2−9 6√x−1 4√x−4 ≤ 0
Solução
Reescrevendo
x2−4
(x−13) 6√x2−9 7√x−1 4√x−4 ≤ 0 como
x2−4
(x−13) 6√x−1 4√x−4 7√x2−9 ≤ 0
temos que n1 = 6, n2 = 4 e n3 = 7, ou podemos aplicar o item iii(b) do Caso VI, para
l = 2 e k = 3 e P(x) = x2− 4, Q1(x) = 6
√
x−1, Q2(x) = 4
√
x−4, Q3(x) = 7
√
x2−9 e
R(x) = x−13. Assim, temos que:
x2−4
(x−13) 6√x2−9 4√x−4 7√x−1 ≤ 0 ⇔ x−1> 0 e x−4> 0 e
x2−4
(x−13)(x2−9) ≤ 0
Por outro lado, pelo item(iv) de Inequações Irracionais, temos que
x2−4
(x−13)(x2−9) ≤ 0 ⇔ (x
2−4)(x−13)(x2−9)≤ 0 e (x−13)(x2−9) 6= 0.
Assim,
x−1> 0 e x−4> 0 e x
2−4
(x−13)(x2−9) ≤ 0⇔
x−1> 0 e x−4> 0 e (x2−4)(x−13)(x2−9)≤ 0 e (x−13)(x2−9) 6= 0
⇔ x> 1 e x> 4 e (x−2)(x+2)(x−13)(x+3)(x−3)≤ 0 e (x−13)(x+3)(x−3) 6= 0.
Logo,
x > 1 ⇔ x ∈ (1,+∞);
x > 4 ⇔ x ∈ (4,+∞);
(x−2)(x+2)(x−13)(x+3)(x−3) ≤ 0 ⇔ x ∈ (−∞,−3]∪ [−2,2]∪ [3,13];
(x−13)(x+3)(x−3) 6= 0 ⇔ x ∈ (−∞,−3)∪ (−3,3)∪ (3,13)∪ (13,+∞).
Assim, x pertence à interceção destes intervalos, isto é
x∈
(
(−∞,−3)∪(3,+∞)
)
∩
(
(1,+∞)
)
∩
(
(4,+∞)
)
∩
(
(−∞,−2]∪[2,13]
)
∩
(
(−∞,13)∪(13,+∞)
)
=(4,13).
Portanto, C.S.= (4,13).
1.5 Valor absoluto
Definição 1.9
O valor absoluto de um número real, denotado por |a|, é definido como:
|a|=
{
a, se a≥ 0
−a, se a< 0.
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Cálculo Diferencial e Integral
Desde o ponto de vista geométrico |a| representa a distância entre o ponto da reta real a e a origem 0.
0 a
|a|
a
_
|a|
Da mesma forma, |a−b|= |b−a| se interpreta como a distância entre os pontos a e b.
a b
|b-a|=|a-b|
Exemplo 1.15
|7|= 7; |0|= 0; |−4.3|= 4.3; |− |−53.7||= |−53.7|= 53.7.
Teorema 1.4
Sejam a e b ∈ R, então:
i. |a| ≥ 0 e |a|= 0 se, e somente se, a= 0;
ii. |ab|= |a||b|;
iii. |a+b| ≤ |a|+ |b|.
A seguir, enunciamos outras propriedades adicionais que o valor absoluto de um número real verifica.
Teorema 1.5
Sejam a, b e c ∈ R, então:
i. |a|2 = a2;
ii. Se b≥ 0, então |a|= b se, e somente se, a= b ou a=−b;
iii. |a|= |b| se, e somente se, a= b ou a=−b;
iv. |−a|= |a|=
√
a2;
v. Se b 6= 0, então
∣∣∣a
b
∣∣∣= |a||b| ;
vi. Se a< c< b, então |c|<max{|a|, |b|};
a. Se 0< a, então a< |c|< b;
b. Se b< 0, então −b< |c|<−a;
vii. Se b> 0, então |c|< b se, e somente se, −b< c< b;
viii. Se b≥ 0, então |c| ≤ b se, e somente se, −b≤ c≤ b;
ix. |c|> b se, e somente se, c> b ou c<−b;
x. |c| ≥ b se, e somente se, c≥ b ou c≤−b;
xi. |a| ≤ |b| se, e somente se, −a≤ |b| e a≤ |b|;
xii. |a|< |b| se, e somente se, −a< |b| e a< |b|;
xiii. ||a|− |b|| ≤ |a−b| ≤ |a|+ |b|.
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Cálculo Diferencial e Integral
Exemplo 1.16
Resolvamos as seguintes equações com valor absoluto:
a. |3x−5|= 4.
Solução
Pelo item(ii) do Teorema 1.5, para a= 3x−5 e b= 4, temos que:
|3x−5|= 4 ⇔ 3x−5 = 4 ou 3x−5 =−4 ⇔ x= 3 ou x= 1
3
.
Portanto, 13 e 3 são raízes de |3x−5|= 4.
b. ||7−4x|−3|= 9.
Solução
Pelo item(ii) do Teorema 1.5, para a= |7−4x|−3 e b= 9, temos que:
||7−4x|−3|= 9 ⇔ |7−4x|−3 = 9 ou |7−4x|−3 =−9
⇔ |7−4x|= 12 ou |7−4x|=−6.
Porém pelo item(i) do Teorema 1.4 , |7− 4x| ≥ 0, assim e |7− 4x| = −6 < 0, é uma
igualdade impossível, isto é, |7− 4x| = −6 não tem raízes. Então, só devemos analisar
|7−4x|= 12.
Novamente, pelo item(ii) do Teorema 1.5, para a= |7−4x| e b= 12, temos que:
|7−4x|= 12 ⇔ 7−4x= 12 ou 7−4x=−12
⇔ 7−12 = 4x ou 7+12 = 4x ⇔ −5 = 4x ou 19 = 4x
⇔ x=−5
4
ou x=
19
4
.
Portanto, −54 e 194 são raízes de ||7−4x|−3|= 9.
c. |x−2|+3|x−4|= 5|x+1|.
Solução
Denotemos por E(x) a equação |x− 2|+ 3|x− 4| = 5|x+ 1|. Para determinar as raízes
desta equação, precisamos igualar cada valor absoluto a zero, pois precisamos aplicar a
definição do valor absoluto a cada termo. Fazendo isto, obtemos x = 2, x = 4 e x = −1.
Agora, precisamos analisar os 4 casos a seguir:
Caso 1:
Se x<−1, então x+1< 0 ⇒ |x+1|=−x−1, x−2<−3 ⇒ |x−2|=
−x+ 2 e x− 4 < −5 ⇒ |x− 4| = −x+ 4. Logo, E(x) é equivalente a
−x+2−3x+12 =−5x−5. Assim, x=−19 e −19 ∈ (−∞,−1).
Caso 2:
Se −1 ≤ x < 2, então 0 ≤ x+ 1 < 3 ⇒ |x+ 1| = x+ 1, −3 ≤ x− 2 <
0 ⇒ |x−2|=−x+2 e −5≤ x−4<−2 ⇒ |x−4|=−x+4. Logo,
E(x) é equivalente a −x+2−3x+12 = 5x+5. Assim, x= 1 e 1 ∈ [−1,2).
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Cálculo Diferencial e Integral
Caso 3:
Se 2 ≤ x < 4, então 3 ≤ x+ 1 < 4 ⇒ |x+ 1| = x+ 1, 0 ≤ x− 2 < 2 ⇒
|x−2|= x−2 e −2≤ x−4< 0 ⇒ |x−4|=−x+4. Logo, E(x) é equiva-
lente a x−2−3x+12 = 5x+5. Assim, x= 5
7
, porém
5
7
6∈ [2,4).
Caso 4:
Se 4 ≤ x, então 5 ≤ x+ 1 ⇒ |x+ 1| = x+ 1, 2 ≤ x− 2 ⇒ |x− 2| =
x−2 e 0≤ x−4 ⇒ |x−4|= x−4. Logo, E(x) é equivalente a x−2+3x−
12 = 5x+5. Assim, x=−19, porém −19 6∈ [4,+∞).
Portanto, −19 e 1 são as raízes de |x−2|+3|x−4|= 5|x+1|.
Exemplo 1.17
Resolvamos as seguintes inequações com valor absoluto:
a. |x+1|< ∣∣x2+2x+1∣∣.
Solução
Pelo item(xii) do Teorema 1.5 para a= x+1 e b= x2+2x+1 temos que:
|x+1|< ∣∣x2+2x+1∣∣ ⇔ −(x+1)< ∣∣x2+2x+1∣∣ e (x+1)< ∣∣x2+2x+1∣∣
Caso 1
Encontremos o C.S. de −(x+1)< ∣∣x2+2x+1∣∣
Pelo item(ix) do {bf Teorema 1.5} para $b=-(x+1)$ e $c={xˆ2+2x+1}$ temos que:
−(x+1)< ∣∣x2+2x+1∣∣ ⇔ x2+2x+1>−(x+1) ou x2+2x+1<−(−(x+1))
⇔ x2+2x+1>−x−1 ou x2+2x+1< x+1 ⇔ x2+3x+2> 0 ou x2+x< 0
⇔ (x+2)(x+1)> 0 ou x(x+1)< 0 ⇔ x ∈ (−∞,−2)∪ (−1,+∞)
Logo,
C.S.1 = (−∞,−2)∪ (−1,+∞).
Caso 2
Encontremos o C.S. de (x+1)<
∣∣x2+2x+1∣∣
Novamente, pelo item(ix) do {bf Teorema 1.5} para $b=x+1$ e $c={xˆ2+2x+1}$ temos
que:
(x+1)<∣∣x2+2x+1∣∣ ⇔ x2+2x+1> (x+1) ou x2+2x+1<−(x+1)
⇔ x2+ x> 0 ou x2+3x+2< 0 ⇔ x(x+1)> 0 ou (x+2)(x+1)< 0
⇔ x ∈ (−∞,−1)∪ (0,+∞)
Logo,
C.S.2 = (−∞,−2)∪ (−1,+∞).
Assim, o C.S. será obtido intersectando C.S.2 e C.S.2, isto é,(
(−∞,−2)∪ (−1,+∞)
)
∩
(
(−∞,−1)∪ (0,+∞)
)
= (−∞,−2)∪ (0,+∞)
Portanto, C.S.= (−∞,−2)∪ (0,+∞).
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Cálculo Diferencial e Integral
b.
∣∣∣∣x+3x+1
∣∣∣∣< 4x+3.
Solução
Pelo item(vii) do Teorema 1.5 para c=
x+3
x+1
e b= 4x+3 temos que:∣∣∣∣x+3x+1
∣∣∣∣< 4x+3 ⇔ 4x+3> 0 e − (4x+3)< x+3x+1 < 4x+3
⇔ x>−3
4
e
(
−4x−3< x+3
x+1
e
x+3
x+1
< 4x+3
)
⇔ x>−3
4
e
(
0< 4x+3+
x+3
x+1
e 4x+3− x+3
x+1
> 0
)
⇔ x>−3
4
e
(
0<
(4x+3)(x+1)+ x+3
x+1
e
(4x+3)(x+1)− (x+3)
x+1
> 0
)
⇔ x>−3
4
e
(
0< 2
(
2x2+4x+3
x+1
)
e 2
(
x(2x+3)
x+1
)
> 0
)
⇔ x>−3
4
e
(
0<
2x2+4x+3
x+1
e
x(2x+3)
x+1
> 0
)
Caso 1
Encontremos o conjunto solução de 0 <
2x2+4x+3
x+1
. Desde que 2x2 + 4x+ 3 = 0
não tem raízes reais, então C.S.1 = (−1,+∞).
Caso 2
Encontremos o conjunto solução de
x(2x+3)
x+1
> 0. Daqui, r1 =−32 , r2 =−1 e r3 = 0,
então C.S.2 =
(−32 ,−1)∪ (0,+∞).
Assim, o C.S. será obtido intersectando C.S.1, C.S.2 e x>−34 , isto é,(
(−1,+∞)
)
∩
((
− 3
2
,−1
)
∪ (0,+∞)
)
∩
((
−3
4
,+∞
))
= (0,+∞)
Portanto, C.S.= (0,+∞)
1.6 Axioma do Supremo
Antes de começar a falar sobre os limitantes de um conjunto A ⊂ R, vejamos alguns conjuntos
importantes em R:
• O conjunto dos números naturais, denotado por N, é o conjunto
N= {1,2,3,4, . . .}.
Se n ∈ N, então n é dito de número natural.
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Cálculo Diferencial e Integral
• O conjunto dos números inteiros, denotado por Z, é o conjunto
Z= {. . . ,−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4, . . .}.
Se z ∈ Z, então z é dito de número inteiro.
• O conjunto dos números racionais, denotado por Q, é o conjunto
Q=
{a
b
: a ∈ Z e b ∈ Z, com b 6= 0
}
.
Se q ∈Q, então q é dito de número racional.
• O conjunto dos números irracionais, denotado por I, é o conjunto
I= {x ∈ R : x 6∈Q}.
Se x ∈ I, então x é dito de número irracional.
Assim, verifica-se que:
Z=−N∪{0}∪N, N⊂ Z⊂Q⊂ R, R=Q∪ I e Q∩ I= /0.
Nota
a. Entre os números irracionais temos:
•
√
2,
√
3, 7
√
4, −√7, . . .
• pi = 3,141592 . . .
• e= 2,71828182 . . .
b. Uma propriedade importante dos números racionais e irracionais é que:
• Entre dois números racionais existe um número infinito de números irracionais;
• Entre dois números irracionais existe um número enumerável de números racionais.
Definição 1.10
Seja A um subconjunto não vazio de R. Diz-se que:
i. A é limitado superiormente se existe M ∈ R tal que
x≤M, ∀x ∈ A.
O número M é chamado de limitante superior de A.
ii. A é limitado inferiormente se existe m ∈ R tal que
m≤ x, ∀x ∈ A.
O número m é chamado de limitante inferior de A.
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Cálculo Diferencial e Integral
iii. A é limitado se existe L> 0 tal que
|x| ≤ L, ∀x ∈ A.
Um conjunto é limitado se é limitado superiormente e inferiormente.
Exemplo 1.18
a. Os conjuntos N e (−1,+∞) são conjuntos limitados inferiormente, em particular m = −1,
m=−2 são limitantes inferiores. No entanto, estes conjuntos não limitados superiormente.
b. Os conjuntos (−∞,4] e −N são conjuntos limitados superiormente, em particular M = 4, M =
20 são limitantes superiores. No entanto, estes conjuntos não limitados inferiormente.
c. Os conjuntos
{
2
3z
: z ∈ Z\{0}
}
e {x ∈ R : 2x− x2 ≥ −7} são conjuntos limitados, em parti-
cular por 4.
Definição 1.11
Seja A um subconjunto não vazio de R. Diz-se que:
i. s ∈ R é o supremo de A, denotado por Sup(A) se:
a. s é limitante superior de A, isto é, x≤ s, ∀x ∈ A.
b. Se b ∈ R e b< s, então existe x ∈ A tal que b< x≤ s.
Em outras palavras, o supremo de um conjunto é o menor de seus limitantes superiores.
ii. r ∈ R é o ínfimo de A, denotado por Inf(A) se:
a. r é limitante inferior de A, isto é, r ≤ x, ∀x ∈ A.
b. Se c ∈ R e r < c, então existe x ∈ A tal que r ≤ x< c.
Em outras palavras, o ínfimo de um conjunto é o maior de seus limitantes inferiores.
Nota
Se o supremo e o ínfimo de um conjunto A pertencem ao conjunto, esses elementos são
chamados máximo de A, denotado por max(A), e mínimo de A, denotado por min(A),
respectivamente.
Exemplo 1.19
Dados os conjuntos
A=
(
−1, 9
4
]
, B=
{
1
k
: k ∈ N
}
e C = {x ∈Q :−20≤ x}
temos que:
a. Inf(A) =−1, Sup(A) = 9
4
= max(A). Portanto, A é limitado.
b. Inf(B) = 0, Sup(B) = 1 = max(B). Portanto, B é limitado.
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Cálculo Diferencial e Integral
c. Inf(C) = −20 = min(C). Porém, C não é limitado superiormente, logo, não tem supremo.
Portanto, não é limitado.
O axioma a seguir completa os axiomas que definem o sistema dos números reais.
Axioma 11 (Axioma do Supremo)
Todo subconjunto B 6= /0 de R e limitado superiormente, possui um supremo s= Sup(B) ∈ R.
Teorema 1.6
Seja A⊂ R com A 6= /0. Se A é limitado inferiormente, então este possui ínfimo.
Para finalizar, embora o princípio da boa ordem seja muito importante para essa teoria, ele será
apenas enunciado.
O seguinte princípio é usado para demonstrar o Princípio da Indução Finita e para provar várias
propriedades referentes aos números inteiros.
Teorema 1.7 (Princípio da boa ordem)
Todo subconjunto não vazio de Z, limitado inferiormente, possui ínfimo.
1.7 Recapitulando
Neste capítulo, apresentamos as noções básicas sobre o conjunto dos Números Reais com o intuito
de fazer com que o aluno tenha um melhor entendimento nos próximos capítulos.
Desta forma, apresentamos o sistema dos números reais, e nele os axiomas que regem a adição
e multiplicação. Seguindo esse raciocínio, apresentamos dois teoremas que mostram as principais
propriedades da substração e divisão.
Desde que em matemática é importantíssimo entender qual é a relação de ordem entre dois ele-
mentos quaisquer, visando lidar com desigualdades, intervalos, inequações, etc., esse conceito e suas
principais propriedades foram revisadas.
Nas seções subsequentes, trabalhamos os conceitos de desigualdades, intervalos, equações, inequa-
ções e valor absoluto, além de terem sido apresentados exemplos ilustrativos.
Por último, mas não menos importante, o axioma do supremo e o princípio da boa ordem foram
apresentados, estabelecendo-se os conceitos de conjuntos limitados inferiormente, superiormente,
supremo, ínfimo, máximo e mínimo.
No próximo capítulo, apresentaremos as noções básicas sobre funções, já que esta teoria é fundamen-
tal para, por exemplo, determinar com precisão o domínio e a imagem das funções reais.
1.8 Atividades
1. Encontre M tal que:
i. 2x− x2 ≤M, ∀x ∈ R. ii. −(x2+4x+13)≤M ∀x ∈ R.
iii.
∣∣∣∣ x+62x+1 −3
∣∣∣∣<M, ∀x ∈ (0,4). iv. ∣∣∣∣2x+7x2 − 12
∣∣∣∣<M, ∀x ∈ (2,5).
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Cálculo Diferencial e Integral
v.
∣∣∣∣3x+4x−1 −2
∣∣∣∣<M, ∀x ∈ (3,7). vi. ∣∣∣∣ x−2x2+4x−5
∣∣∣∣<M, se |x−2|< 12.
viii.
∣∣∣∣ x2−5xx2+ x+10
∣∣∣∣<M, se |x+1|< 1.
2. Encontre as raízes reais das seguintes equações:
i. 12x−4 = 3x+9. ii. 2x2−11x−4 = 0. iii. x4−2x2−8 = 0.
iv.
∣∣x2−4x∣∣= 3x+4. v. |2x−1|= x−1.
3. Encontre o conjunto solução das seguintes inequações:
i. 3x−8< 5x−2. ii. 3x2−5x−2> 0.
iii. (x2+ x−6)(4x−4− x2)≤ 0. iv. x−2
x+4
≤ x+5
x+3
.
v.
x2−2x+3
x2−4x+3 >−2. vi.
32
x2−4 ≥
x
x−2 −
4
x+2
.
vii.
√
x2−2x−15> x+1. viii. √x2−11x+30> 6− x.
ix.
√
x2+3x−4
4−√x2+6x > x−2. x.
∣∣∣∣x2+3x−2x2−1
∣∣∣∣< 1.
xi. 3
(
|x+1|− 1
6
)2
≥ 1−2
∣∣∣∣|x+1|− 16
∣∣∣∣.
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Cálculo Diferencial eIntegral
Capítulo 2
Funções
OBJETIVOS DO CAPÍTULO
Ao final deste capítulo você deverá ser capaz de:
• Determinar com precisão o domínio e a imagem de uma função real;
• Dado o gráfico de uma curva, estabelecer se este pertence a uma função;
• Dada uma função, saber estabelecer se ela é injetora, sobrejetora ou bijetora;
• Realizar operações com funções, isto é, soma, substração, produto, divisão e composi-
ção de funções;
• Encontrar a inversa de uma função, se ela existir;
• Relacionar-se cada vez mais com a linguagem e o simbolismo matemático relativo às
funções definidas no conjunto dos números reais.
Ao relacionarmos o espaço em função do tempo a intensidade da fotossíntese realizada por uma planta
em função da intensidade da luz a que ela é exposta; ou uma pessoa em função da impressão digital,
percebemos quão importante é o conceito de função, pois este nos permite compreender as relações
entre os fenômenos físicos, biológicos, sociais, etc., presentes no nosso cotidiano. Portanto, neste
capítulo, revisaremos um dos conceitos mais importante da Matemática: a função. Iniciaremos o
capítulo dando a definição formal deste objeto matemático, que é o objetivo de estudo deste capítulo
e de todos os outros.
2.1 Funções
Em diversas situações, apresentam-se relações que existem entre um conjunto de objetos e outro
conjunto de outros objetos, por exemplo: quando calculamos a área de um círculo, esta depende do
raio do círculo; a distância que um objeto viaja a uma velocidade constante ao longo de um percurso
depende do tempo; etc. Em cada caso, o valor da quantidade variável, denotada por y, depende do
valor de outra quantidade variável, denotada por x. Dizemos então que y é uma função de x e a
escrevemos como y= f (x).
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Cálculo Diferencial e Integral
f(x)
x
f
Saída
Entrada
Definição 2.1
Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Uma função f de A em B, denotada por f : A→ B, é
uma regra que associa um único elemento f (x) ∈ B a cada elemento x ∈ A.
A B
f(x)x
f
Associados a uma função temos os conjuntos: domínio, imagem e gráfico de uma função, e a seguinte
definição estabelece estes conceitos.
Definição 2.2
Seja a função f : A→ B. Então:
i. O domínio da função f é o conjunto {x ∈ A : f (x) ∈ B}, e é denotado por Dom( f ); isto
é, o domínio de f é o subconjunto de A cujos elementos são todos os valores de entrada
possíveis da função f .
ii. A imagem da função f é o conjunto { f (x) ∈ B : x ∈ A}, e é denotado por Im( f ); isto é, a
imagem de f é o subconjunto de B cujos elementos são todos os valores de f (x) conforme
x varia ao longo do conjunto A.
iii. Se A e B são subconjuntos de R, o gráfico da função f é o conjunto
{(x,y) ∈ R×R : y= f (x)}, e é denotado por Graf( f ).
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Cálculo Diferencial e Integral
Nota
Seja uma função f : A→ B.
a. A notação y = f (x) (leia-se “y é igual a f de x”) expressa que y é o valor
de f em x, neste caso, x é denominada variável independente e y variável
dependente.
b. Se Dom( f ) = A, diz-se que f é uma aplicação de A em B. Além disso, se
Im( f ) = B, diz-se que f é uma aplicação de A sobre B.
c. Se A e B são subconjuntos deR, então f é chamada de função real de variável
real.
d. Se f é uma função real de variável real, definida pela regra de correspondência
y= f (x), então:
i. Quando Dom( f ) não é especificado, considera-se que este é o maior sub-
conjunto de R para os quais a regra de correspondência tenha sentido e
resulte em valores reais. Isso é denominado domínio natural da função.
ii. Os valores de x para os quais f (x) = 0 são as coordenadas x, para os
quais o gráfico de f intersecta o eixo x. Estes valores são denominados
zeros de f , raízes de f (x) = 0 ou pontos de corte de y = f (x) com o
eixo x.
e. Os gráficos podem fornecer uma informação visual importante sobre uma fun-
ção. Por exemplo, como o gráfico de uma função f no plano xy é o gráfico
da equação y = f (x). Os pontos do gráfico são da forma (x, f (x)), ou seja,
a coordenada y de um ponto do gráfico de f é o valor de f na coordenada x
correspondente.
Exemplo 2.1
Para f definida a seguir, determinemos o domínio, a imagem e seu gráfico:
a. Sejam A= {1,2,3,4}, B= {5,6,7,8,9} e f : A→ B definida por f (x) = x+2.
Solução
Desde que f (1) = 1+ 2 = 3, f (2) = 2+ 2 = 4, f (3) = 3+ 2 = 5, f (4) = 4+ 2 = 6,
verificamos que os únicos valores de A que tem um correspondente no conjunto B são
3, 4. Portanto, Dom( f ) = {3,4} e Im( f ) = {5,6} e o gráfico de f é apresentado no item
(a) da figura abaixo
b. Seja f : R→ R definida por f (x) = 1
x
.
Solução
A função f dada está definida para todo x ∈ R, exceto x= 0; assim Dom( f ) = R\{0}.
Para determinar Im( f ) é conveniente introduzir uma variável dependente y:
y=
1
x
.
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Cálculo Diferencial e Integral
Embora para muitos o conjunto dos possíveis valores de y não seja evidente nessa equação,
o gráfico de f (veja o item (b) da figura abaixo) sugere que Im( f ) = R\{0}. Para provar
isto, resolvamos a equação acima para x, em termos de y:
x 6= 0 ⇒ xy= 1 ⇔ x= 1
y
.
Agora está evidente que essa expressão está definida para todo y ∈ R, exceto para y = 0.
Portanto, Im( f ) = R\{0}.
0
Graf( )f
1 2 3 4
8
6
9
7
5
- - - -
-
-
-
-
-
Graf( )f
x
y
x
y
1 2 3 4
8
6
9
7
5
- - - -
-
-
-
x
y
5
-
6
-
10-
-
-
4
3
-
-
2
1
-
-
0
Dom( )f
Im( )f
(a) (b) (c)
Graf( )f
c. Seja f : (0,5]→ [1,10) definida por f (x) = (x−3)2+1.
Solução
Da definição de f temos que Dom( f ) = (0,5]. Por outro lado, à medida que x varia sobre
o intervalo (0,5], o valor de (x− 3)2 + 1 varia sobre o intervalo [0,9); assim, o valor de
f (x) varia sobre o intervalo [1,10). Portanto, Im( f ) = [1,10).
Nesse caso, f é uma aplicação de (0,5] sobre [1,10) e Im( f ) pode ser escrita como
f ((0,5]) = [1,10). Veja o item (c) da figura acima.
A próxima nota nos diz que nem toda curva no plano é o gráfico de uma função.
Teste da Reta Vertical
Uma relação f : R→ R com domínio localizado no eixo horizontal e a imagem localizada
no eixo vertical é uma função se, e somente se, toda reta vertical intersecta o seu gráfico no
máximo uma vez. O item (a) da figura a seguir corresponde a uma função, enquanto que o
item (b) não corresponde a uma função.
x
y
0
y = f (x)
Graf( f ) x
y
0
L
P
Q
R
S
T
Graf( f )
(a) (b)
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Cálculo Diferencial e Integral
2.1.1 Translações e reflexões de uma função
Esta seção se dedicará a considerar o efeito geométrico de efetuar operações básicas com funções.
Isso nos permitirá usar gráficos de funções conhecidas para visualizar ou esboçar gráficos de funções
relacionadas.
Teorema 2.1 (Testes de simetria)
i. Uma curva plana é simétrica em relação ao eixo y se, e somente se, subtituindo-se x por
−x em sua equação obtém-se uma equação equivalente;
ii. Uma curva plana é simétrica em relação ao eixo x se, e somente se, subtituindo-se y por
−y em sua equação obtém-se uma equação equivalente;
iii. Uma curva plana é simétrica em relação à origem se, e somente se, subtituindo-se x por
−x e y por −y em sua equação obtém-se uma equação equivalente.
Esboçando gráficos
Para esboçar o gráfico de uma função é importante considerar a relação entre ela e uma outra
função já conhecida, y = f (x). Seja o gráfico de y = f (x) apresentado no item (a) da figura
abaixo. Então o gráfico de:
• y=− f (x) é a função simétrica ao gráfico original com respeito ao eixo x. Veja o item (b) da
figura abaixo;
• y = f (−x) é a curva simétrica ao gráfico original com respeito ao eixo y. Veja o item (c) da
figura abaixo;
• y= | f (x)| é obtida transladando a parte do gráfico original que se encontra abaixo do eixo x
( f (x)< 0) de forma simétricaa este último e mantendo a parte do gráfico que está por cima
do eixo x ( f (x)≥ 0). Veja o item (d) da figura abaixo;
x
y
0
y = f (x)
x
f(x)
(a)
x
y
0
y = f (x)
y = - f (x)
(b) (d)
x
y
0
y = f (x) y = f (- x)
x
y
y = |f (x)|
y = f (x)
(c)
0
Sejam k > 0 e h> 0. Então o gráfico de:
• y = f (x)+ k se obtém transladando verticalmente o gráfico original k unidades para cima.
Veja o item (a) da figura abaixo;
• y = f (x)− k se obtém transladando verticalmente o gráfico original k unidades para baixo.
Veja o item (a) da figura abaixo;.
• y = f (x+ h) se obtém transladando horizontalmente o gráfico original h unidades para a
esquerda. Veja o item (b) da figura abaixo;
• y = f (x− h) se obtém transladando horizontalmente o gráfico original h unidades para a
direita. Veja o item (b) da figura abaixo;
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Cálculo Diferencial e Integral
• y= f (x−h)+ k se obtém efetuando uma dupla translação h unidades para a direita horizon-
talmente e k unidades para cima verticalmente. Veja o item (c) da figura abaixo.
x
y
0
y = f (x)
(c)
y = f (x - h) + k
k
h
x
y
0
y = f (x)
x
y
0
y = f (x)
(a) (b)
y = f (x) + k
y = f (x) - k
y = f (x+h) y = f (x-h)
k
k
h h
Exemplo 2.2
Dadas as seguintes funções:
a. f (x) = x2; b. f (x) =−x2; c. h(x) = x2+1;
d. i(x) = (x+1)2; e. j(x) = (x−1)2−2; f. k(x) = |x2−2|.
Nas figuras abaixo encontramos, na sua respectiva letra, o esboço do gráfico de cada uma delas.
(b)
x
y
0
(a)
x
y
0
y = - x2
x
y
0
y = x2
y = x2 + 1
y = x2y = x2
1
(c)
(f)
x
y
0
(e)
x
y
0
y = x2
y = (x -1)2 - 2
1
y = |x 2 - 2|
y = x 2 - 2
x
y
0
y = (x +1)2
1
-2
(d)
y = x2
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Cálculo Diferencial e Integral
2.1.2 Funções comuns
Agora apresentaremos algumas funções reais de variável real que são de uso frequente em cálculo.
Função linear
É a função definida por f (x) = mx+b, onde m e b são constantes. O domínio da função linear
é Dom( f ) = R e sua imagem é Im( f ) = R. Seu gráfico é a reta com coeficiente angular, ou
inclinação, m que intersecta o eixo x em (0,b); veja o item (a) da figura abaixo.
Casos particulares
a. Quando b = 0, a função f (x) = mx passa pela origem; no item (b) da figura abaixo
vemos a ilustração destas retas, para valores diferentes de m.
b. Quando m= 1 e b= 0, a função f (x) = x é chamada de função identidade, também
denotada por Id(x), e seu gráfico é a reta diagonal do primeiro e do terceiro quadrante;
veja o item (c) da figura abaixo.
c. Quando m = 0, a função f (x) = b é chamada de função constante e, nesse caso,
Im( f ) = {b}; veja o item (d) da figura abaixo.
x
y
0
y = mx + b
Dom( ) = f
Im( ) = f R
R
x
y
0
y = b
Im( ) = {b}f
Dom( ) = f R
x
y
0
y = x
(a) (b) (c) (d)
y
y = x
y = - x
y = - 4x
3
2
5
2
y = 2x
y = x
b
Função valor absoluto
É a função definida por f (x) = |x|, x ∈ R. Da definição de valor absoluto, temos:
|x|=
√
x2 =
{
x, se x≥ 0;
−x, se x< 0.
O domínio da função valor absoluto é Dom( f ) = R e sua imagem é Im( f ) = [0,+∞); veja o
item (a) da figura abaixo.
Função raiz quadrada
É a função definida por f (x) =
√
x, x ≥ 0. O domínio da função raiz quadrada é Dom( f ) =
[0,+∞) e sua imagem é Im( f ) = [0,+∞); veja o item (b) da figura abaixo.
Função raiz cúbica
É a função definida por f (x) = 3
√
x, x ∈ R. O domínio da função raiz cúbica é Dom( f ) = R e
sua imagem é Im( f ) = R; veja o item (c) da figura abaixo.
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Cálculo Diferencial e Integral
x
y
0
y = |x|
Im( ) = [0, + )f 8
Dom( ) = f R Dom( ) = 
x0
f
Im( ) = f
y = 3 x
R
R
y
x
y
0
y = x
f
Im( ) = [0, + )f 8
8Dom( ) = [0, + )
(a) (b) (c)
Função polinomial de grau n
É a função definida por f (x)= a0xn+a1xn−1+ · · ·+an, x∈R, onde a0,a1, . . . ,an são constantes
reais, a0 6= 0 e n∈N∪{0}. O domínio da função polinomial é Dom( f )=R, porém, sua imagem
depende de n.
Casos particulares
a. f (x) = xn, n ∈ N:
i. Se n é par, sua imagem é Im( f ) = [0,+∞), seu gráfico é simétrico em relação ao
eixo y com formato geral de uma parábola, y = x2, embora não sejam realmente
consideradas assim quando n > 2, e cada gráfico passa pelos pontos (−1,1) e
(1,1); veja o item (a) da figura abaixo.
ii. Se n é ímpar, sua imagem é Im( f ) = R, seu gráfico é simétrico à origem com
formato geral de uma cúbica y = x3, e cada gráfico passa pelos pontos (−1,−1)
e (1,1); veja o item (b) da figura abaixo.
iii. Quando n cresce, no intervalo (−1,1) os gráficos ficam mais achatados e nos
intervalos (−∞,−1) e (1,+∞) cada vez mais próximos ao eixo y;
b. Função quadrática ou função polinomial de 2◦ grau: f (x) = ax2 + bx+ c, a 6= 0. O
gráfico desta função é uma parábola de vértice
(
− b
2a
,c− b
2
4a
)
.
i. Se a> 0, a parábola se abre para cima e Im( f ) =
[
c− b
2
4a
,+∞
)
; veja o item (c)
da figura abaixo.
ii. se a< 0, a parábola se abre para baixo e Im( f ) =
(
−∞,c− b
2
4a
]
; veja o item (d)
da figura abaixo.
iii. O valor máximo ou mínimo da função ocorre no vértice, isto é, f
(
− b
2a
)
=
c− b
2
4a
é o valor máximo ou mínimo da função.
Dom( ) = 
x
y
0
f
Im( ) = f
y = x5
R
R
y = x3
Dom( ) = 
x
y
0
f
f
y = x4
Ry = x
2
8
(a) (b)
x
y
0 b
2a
b2
4a
c
x
y
0 b
2a
b2
4a
c
Im( ) = [0, + ) 
(c) (d)
y = x6
y = x7
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Cálculo Diferencial e Integral
Função racional
É a função definida por
f (x) =
a0xn+a1xn−1+ · · ·+an
b0xm+b1xm−1+ · · ·+bm , x ∈ R.
Esta função é o quociente dos polinômios P(x) = a0xn+ a1xn−1 + · · ·+ an e Q(x) = b0xm+
b1xm−1+ · · ·+bm, onde a0,a1, . . . ,an,b0,b1, . . . ,bm são constantes reais, a0,b0 6= 0 e n,m∈N∪
{0}. O domínio da função racional é Dom( f ) = {x ∈ R : Q(x) 6= 0} ≡ R\{x ∈ R : Q(x) = 0}.
Casos particulares
a. f (x) =
1
xn
, n ∈ N:
i. Se n é ímpar, o domínio da função é Dom( f ) = R\{0}, sua imagem é Im( f ) =
R\{0}, seu gráfico é semelhante ao gráfico de y= 1
x
e cada gráfico passa pelos
pontos (−1,−1) e (1,1); veja o item (a) da figura abaixo;
ii. Se n é par, o domínio da função é Dom( f ) = R \ {0}, sua imagem é Im( f ) =
[0,+∞) e seu gráfico é semelhante ao gráfico de y =
1
x2
, e cada gráfico passa
pelos pontos (−1,1) e (1,1); veja o item (b) da figura abaixo;
iii. O fato de 0 /∈Dom( f ) implica que o gráfico tem uma quebra na origem. Por esse
motivo, zero é denominado ponto de descontinuidade. Esse conceito será visto
no Capítulo 4;
iv. Quando n cresce, nos intervalos (−∞,−1) e (1,+∞), os gráficos ficam mais acha-
tados e nos intervalos (−1,0) e (0,1) cada vez mais próximos ao eixo y:
b. f (x) =
1
1+ xn
, n ∈ N:
i. Se n é ímpar, o domínio da função é Dom( f ) =R\{−1}, sua imagem é Im( f ) =
R \ {0} e seu gráfico tem um comportamento semelhante à curva mostrada no
item (c) da figura abaixo;
ii. Se n é par, o domínio da função é Dom( f ) = R, sua imagem é Im( f ) = (0,1] e
seu gráfico tem um comportamento semelhante à curva mostrada no item (d) da
figura abaixo.
x
y
0
y = 
Dom( ) = \ {0} f
Im( ) = \ {0} f R
R
1
x
(a)
x
y
0
y = 
Dom( ) = \ {0} f
Im( ) = [0, + )f
R
8
1
x2
(b) (c) (d)
x
y
0
Dom( ) = \ { - 1} f
Im( ) = \ {0} f R
R
-1
Dom( ) =f
Im( ) = (0, 1]f
R
x
y
0
1
Função algébrica
É qualquer função construída a partir de polinômios por meio de operações algébricas (adição,
subtração, multiplicação, divisão ou extração de raízes). Todas as funções racionaissão algébri-
cas, porém existem outras funções mais complexas inclusas nesse conjunto. Os gráficos desse
tipo de função variam amplamente e, assim sendo, é difícil fazer afirmações sobre elas, veja os
itens (a), (b) e (c) da figura abaixo.
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Cálculo Diferencial e Integral
x
y
0
Dom( ) = f
Im( ) = [0, + )f
R
1 2 3
1
2
-3 -2 -1
-1
y = x2/3(x+2)2
(c)
3
4
8
x
y
0
Dom( ) = f
Im( ) = f
R
1 2 3
1
2
-3 -2 -1
-1
y = x(1 - x)2/5
R
x
y
0
Dom( ) = f
Im( ) = - 3 4, +f
R
1 2 3
5
10
-3 -2 -1
-5
y = 3x1/3(2+ x)
(b)
15
20
8
(a)
9
4[ )
Função trigonométrica
Existem 6 funções básicas trigonométricas, sen(x), cos(x), tg(x), sec(x), cossec(x) e cotg(x).
Os gráficos das funções seno e cosseno são mostrados na figura abaixo nos itens (a) e (b),
respectivamente.
x
y
0
1
-1
y = sen(x)
(b)(a)
2
2
3
2
2
2
3
2
x
y
0
1
-1
y = cos(x)
2 2
3 2
22
32
Dom( ) = f R Im( ) = [-1, 1]f
Função exponencial
É da forma f (x) = ax, onde a base a> 0 é uma constante positiva e a 6= 1. Em todos os casos, o
domínio é Dom( f ) = R e sua imagem é Im( f ) = (0,+∞). Os gráficos para as bases 2, 3, 5, 7
são apresentados nos itens (a) e (b) da figura abaixo.
Dom( ) = (0,+ )f 8
(a)
x
y
0
Dom( ) = f
Im( ) = (0,+ )f
R
1
y = 7-x
y = 5-x
y = 3-x
y = 2-x
8
x
y
0
Im( ) = f R
1
y = log2 x
x
y
0
1
(b)
y = 7x
y = 5x
y = 3x
y = 2x
(c)
y = log3 x
y = log5 x
y = log7 x
Função logarítmica
É da forma f (x) = logax, onde a base a > 0 é uma constante positiva e a 6= 1. Esta função é
a inversa das funções exponenciais. Em todos os casos, o domínio é Dom( f ) = (0,+∞) e sua
imagem é Im( f ) =R. O item (c) da figura acima mostra os gráficos da função logarítmica para
a= 2, 3, 5, 7.
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Cálculo Diferencial e Integral
Função sinal
É denotada por sgn(x), x ∈ R, leia-se sinal de x e está definida por
sgn(x) =

−1, se x< 0;
0, se x= 0;
1, se x> 0.
O domínio da função sinal é Dom( f ) = R e sua imagem é Im( f ) = {−1,0,1}. Seu gráfico é
apresentado no item (a) da figura abaixo.
x
y
0
Dom( ) = f
Im( ) = f
R
1 2 3
1
2
-3 -2 -1
-1
-2
-3
y = x
x
y
0
Dom( ) = f
Im( ) = {-1, 0, 1} f
R
y = sgn(x)
(a) (b)
Função maior inteiro
É denotada por bxc, x ∈ R, leia-se maior inteiro de x e está definida por
bxc= n se, e somente se, n≤ x< n+1, n ∈ Z
Isto é, bxc representa o maior número inteiro que não supera x. O domínio da função maior
inteiro é Dom( f ) = R e sua imagem é Im( f ) = Z. Seu gráfico é apresentado no item (b) da
figura acima.
Propriedades da função maior inteiro
a. x−1< bxc ≤ x, ∀x ∈ R;
b. Se n ∈ Z ⇒ bx+nc= bxc+n, ∀x ∈ R;
c. Se f (x) = baxc, com a 6= 0, a longitude do intervalo onde a função permanece cons-
tante é `=
1
|a| .
Exemplo 2.3
Dada a função maior inteiro bxc:
a. Se x= 3,1415⇒ bxc= 3; b. Se x= 3⇒ bxc= 3;
c. Se x=−1,25⇒ bxc=−2; d. Se x ∈ [−2,−1)⇒ bxc=−2;
e. Se x ∈ [−1,0)⇒ bxc=−1; f. Se x ∈ [0,1)⇒ bxc= 0;
g. Se x ∈ [1,2)⇒ bxc= 1.
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Cálculo Diferencial e Integral
Exemplo 2.4
Esbocemos os gráficos das seguintes funções:
a. f (x) = b3xc
Solução
Pela definição, b3xc = n⇔ n ≤ 3x < n+ 1⇔ n
3
≤ x < n
3
+
1
3
. O gráfico desta função é
apresentado no item (a) da figura abaixo. A amplitude do intervalo onde a função perma-
nece constante é `=
1
3
.
b. f (x) =
⌊
−x
3
⌋
Solução
Pela definição,
⌊
−x
3
⌋
= n⇔ n ≤ −x
3
< n+ 1⇔ −3n− 3 < x ≤ −3n. O gráfico desta
função é apresentado no item (b) da figura abaixo. A amplitude do intervalo onde a função
é constante é `=
1∣∣∣∣−13
∣∣∣∣ = 3.
x
y
-1 3 3
0 1 2 1
-1
-2
-3
3 3
2 1
y = 3x
x
y
0
1
2
-9
-1
-2
-3
3 6
y = 
9
-6 -3
x
3
(a) (b)
1
2
2.1.3 Função par e função ímpar
Definição 2.3
i. Uma função f :R→R é chamada par se para todo x ∈Dom( f ) se verifica−x ∈Dom( f )
e f (−x) = f (x).
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Cálculo Diferencial e Integral
x
y
0
y = xn
x
y
0
y = |x|
Im( ) = [0, + )f 8
Dom( ) = f R
x
y
0
y = 
Dom( ) = \ {0} f
Im( ) = [0, + )f
R
8
1
xn
Dom( ) =f
Im( ) = (0, 1]f
R
x
y
0
1
y = 
1
xn+1
Figura 2.1: Em todos os gráficos de funções pares n é par.
ii. Uma função f : R→ R é chamada ímpar se para todo x ∈ Dom( f ) se verifica −x ∈
Dom( f ) e f (−x) =− f (x).
x
y
0
y = x
Dom( ) = f
Im( ) = f R
R
x
y
0
y = n x
Dom( ) = 
x
y
0
f
Im( ) = f
y = xn
R
R
x
y
0
y = 
Dom( ) = \ {0} f
Im( ) = \ {0} f R
R
1
xn
Figura 2.2: Em todos os gráficos de funções ímpares n é ímpar.
Nota
a. O gráfico de toda função par é simétrico em relação ao eixo y, uma vez que f (−x) =
f (x), um ponto (x,y) estará no gráfico se, e somente se, o ponto (−x,y) estiver no
gráfico. Uma reflexão através do eixo y não altera o gráfico;
b. O gráfico de toda função ímpar é simétrico em relação à origem, uma vez que f (−x) =
− f (x), um ponto (x,y) estará no gráfico se, e somente se, o ponto (−x,−y) estiver no
gráfico.
2.1.4 Função periódica
Definição 2.4
Uma função f : R→ R é dita periódica se existe um número real t 6= 0 tal que para todo
x ∈ Dom( f ) se verifica:
i. x+ t ∈ Dom( f );
ii. f (x+ t) = f (x).
O menor valor de t tal que os itens acima sejam verificados é denominado de período de f .
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Cálculo Diferencial e Integral
Exemplo 2.5
As seguintes funções são periódicas:
a. f (x) = x−bxc , x ∈R. De fato, notamos que f (x+1) = (x+1)−bx+1c= x+1− (bxc+1) =
x−bxc= f (x) e desde que não existe outro número real t tal que 0< t < 1 e que seja o período
de f , assim f é de período 1; veja o item (a) da figura abaixo.
x
y
1
-1
f(x) = |sen(2x)|
-
2
-
2
x
y
0
1
-3 1 2
f(x) = x x
3-2 -1-4 4
(a) (b)
-1
Dom( ) = f Im( ) = [0, 1] fR
b. f (x) = |sen(x)|, x ∈ R. Afirmamos que o período de f é t = pi . De fato, f (x+pi) = |sen(x+
pi)|= |− sen(x)|= |sen(x)|= f (x); veja o item (b) da figura acima.
2.1.5 Função crescente e função decrescente
Definição 2.5
Seja f uma função definida em um intervalo I e x1 e x2 dois pontos em I.
i. Se f (x2)> f (x1) sempre que x1 < x2, então dizemos que f é crescente em I; veja o item
(a) da figura abaixo.
x
y
a bx1 x2
f(x1)
f(x2)
0
I
x
y
a bx1 x2
f(x2)
f(x1)
0
I
ii. Se f (x2) < f (x1) sempre que x1 < x2, então dizemos que f é decrescente em I; veja o
item (b) da figura acima.
Nota
Uma função é crescente se seu gráfico é ascendente e é decrescente se seu gráfico é des-
cendente, em ambos casos, da esquerda para a direita.
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Cálculo Diferencial e Integral
Exemplo 2.6
A função f (x)= |x2−4|, veja gráfico abaixo, é crecente nos intervalos [−2,0] e [2,+∞), e decrescente
nos intervalos (−∞,−2] e [0,2].
x
y
f(x) = | x2- 4 |
-2 2
4
2.1.6 Função definida por partes
Definição 2.6
Uma função f :R→R é definida por partes se ela é descrita por funções diferentes em partes
diferentes de seu domínio.
f (x) =

f1(x), se x ∈ I1;
f2(x), se x ∈ I2;
...
...
fn(x), se x ∈ In;
onde Ii ⊆ Dom( fi), ∀ i, Dom( f ) =⋃ni=1 Ii e Ii∩ I j = /0, ∀ i, j ∈ {1,2, . . . ,n}, i 6= j.
Exemplo 2.7
A função
f (x) =

(x+1)2+1, se x ∈ (−∞,−1);
|x|, se x ∈ [−1,1);
1, se x ∈ [1,pi);
−cos(x), se x ∈ [pi,+∞);
é definida por partes, com Dom( f ) = (−∞,−1)∪ [−1,1)∪ [1,pi)∪ [pi,+∞) = R, e na figura abaixo
podemos ver seugráfico.
x
y
1
-1
f(x) 
π-1 1
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2.2 Função injetora, sobrejetora e bijetora
Nesta seção, apresentamos três conceitos muito importantes para funções: injetividade, sobrejetivi-
dade e bijetividade.
Definição 2.7
Seja f : A→ B uma função. Diz-se que:
i. f é injetora se f (x1) = f (x2), implica que x1 = x2 para todo x1,x2 ∈ Dom( f ). Ou equi-
valentemente, ∀x1,x2 ∈ Dom( f ), com x1 6= x2, temos que f (x1) 6= f (x2).
ii. f é sobrejetora ou sobre se para todo y ∈ B existe x ∈ A tal que f (x) = y. Em outras
palavras, f : A→ B é sobrejetora se Im( f ) = B.
iii. f é bijetora se, e somente se, f é injetora e sobrejetora.
Nota
a. A função injetora também é conhecida como função univalente ou um a um, já que
existe uma correspondência um para um entre os elementos do domínio e a imagem.
b. Geometricamente, uma função definida por y = f (x) é injetora se, ao traçar retas
paralelas ao eixo x, essas intersectam o seu gráfico em não mais de um ponto; veja
figura a seguir.
x
y
0
y
Exemplo 2.8
a. A função f : R→ R definida por f (x) = 3x+ 2, é injetora. De fato, se f (x1) = f (x2) ⇒
3x1+2 = 3x2+2 ⇒ 3x1 = 3x2 ⇒ x1 = x2. Além disso, f é sobrejetora desde que se y ∈ R,
existe x =
y−2
3
tal que f (x) = f
(
y−2
3
)
= 3
(
y−2
3
)
+ 2 = y. Portanto, podemos concluir
que f é bijetora.
b. A função f : R→ [0,+∞) definida por f (x) = x2 é sobrejetora pois Im( f ) = [0,+∞). Porém,
não é injetora, pois x1 = −2 e x2 = 2 geram a mesma imagem, isto é, f (−2) = 4 = f (2).
Portanto, f não é bijetora.
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Cálculo Diferencial e Integral
2.2.1 Operações com funções
Da mesma forma que fazemos operações aritméticas com números, podemos realizar este tipo de
operações entre funções, produzindo outras novas.
Definição 2.8
Sejam f e g duas funções reais de variáveis reais com domínios Dom( f ) e Dom(g). Diz-se que
f e g são iguais se:
i. Dom( f ) = Dom(g);
ii. f (x) = g(x), ∀x ∈ Dom( f ) = Dom(g).
Exemplo 2.9
As funções
a. f (x) = 4x3−6 e g(x) =−(6−4x3) são iguais desde que Dom( f ) =Dom(g) =R e f (x) = g(x).
b. f (x) =
√
(x−2)(x−5) e g(x) = √x−2√x−5 são diferentes, pois Dom( f ) = (−∞,2] ∪
[5,+∞) e Dom(g) = [5,+∞), ou seja, Dom( f ) 6= Dom(g).
Definição 2.9
Sejam f e g duas funções reais de variável real com domínios Dom( f ) e Dom(g), respectiva-
mente. Define-se:
A função soma
( f +g)(x) := f (x)+g(x), x ∈ Dom( f +g) = Dom( f )∩Dom(g).
A função diferença
( f −g)(x) := f (x)−g(x), x ∈ Dom( f −g) = Dom( f )∩Dom(g).
A função produto
( f ·g)(x) := f (x) ·g(x), x ∈ Dom( f ·g) = Dom( f )∩Dom(g).
A função quociente(
f
g
)
(x) :=
f (x)
g(x)
, x ∈ Dom
(
f
g
)
= Dom( f )∩ (Dom(g)\{x : g(x) = 0}) .
A função valor absoluto
| f |(x) := | f (x)|, x ∈ Dom(| f |) = Dom( f ).
A função produto de uma constante por uma função
(c f )(x) := c f (x), x ∈ Dom(c f ) = Dom( f ),
onde c ∈ R é uma constante real .
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Cálculo Diferencial e Integral
Exemplo 2.10
Sejam f (x) =
√
9− x2 e g(x) =
√
x2− 14 . Encontremos as regras de correspondência das funções:
f +g, f −g, f ·g, −8g,
(
f
g
)
, |g|.
Solução
Caculemos os domínios:
Dom( f ) =
{
x ∈ R : 9− x2 ≥ 0}= [−3,3];
Dom(g) =
{
x ∈ R : x2− 1
4
≥ 0
}
=
(
−∞,−1
2
]
∪
[
1
2
,+∞
)
;
Dom( f )∩Dom(g) =
[
−3,−1
2
]
∪
[
1
2
,3
]
a. ( f +g)(x) = f (x)+g(x) =
√
9− x2+
√
x2− 14 , x ∈ [−3,−12 ]∪ [12 ,3];
b. ( f −g)(x) = f (x)−g(x) =√9− x2−
√
x2− 14 , x ∈ [−3,−12 ]∪ [12 ,3];
c. ( f ·g)(x) = f (x) ·g(x) =√9− x2 ·
√
x2− 14 , x ∈ [−3,−12 ]∪ [12 ,3];
d. (−8g)(x) =−8g(x) =−8
√
x2− 14 , x ∈ (−∞,−12 ]∪ [12 ,+∞);
e.
(
f
g
)
(x) =
f (x)
g(x)
=
√
9− x2√
x2− 14
, x ∈ [−3,−12)∪ (12 ,3];
f. |g|(x) = |g(x)|=
∣∣∣∣√x2− 14∣∣∣∣=√x2− 14 , x ∈ (−∞,−12 ]∪ [12 ,+∞).
2.3 Composição de funções
A composição é outra forma de combinar funções, esta operação não tem analóga direta na aritmética
usual.
Definição 2.10
Sejam f : A→ B e g : B→C duas funções reais tais que Im( f )∩Dom(g) 6= /0. A composição
de g com f , denotada por g◦ f , é a função g◦ f : A→C definida por:
(g◦ f )(x) := g( f (x)).
O domínio da função composta g◦ f é dado por
Dom(g◦ f ) = {x ∈ R : x ∈ Dom( f ) e f (x) ∈ Dom(g)} .
Na seguinte figura, ilustramos a função composta g◦ f
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Cálculo Diferencial e Integral
A B C
Dom( f )
 g f °
Dom( g )
f (g(x))
f g
Nota
Falando de forma informal, a operação de composição de duas funções é a operação de
substituir a variável dependente da sua definição pela função que a precede.
Exemplo 2.11
Sejam as funções f (x) = 2x−6 e g(x) =√x. Encontremos g◦ f e f ◦g.
Solução
a. (g◦ f )(x) = g( f (x)) = g(2x−6) =√2x−6,
logo, o domínio da g◦ f é
Dom(g◦ f ) = {x ∈ R : x ∈ Dom( f ) e f (x) ∈ Dom(g)}
= {x ∈ R : x ∈ R e 2x−6≥ 0}
= [3,+∞)
b. ( f ◦g)(x) = f (g(x)) = f (√x) = 2√x−6,
logo, o domínio da f ◦g é
Dom( f ◦g) = {x ∈ R : x ∈ Dom(g) e g(x) ∈ Dom( f )}
= {x ∈ R : x≥ 0 e√x ∈ R}
= [0,+∞)
A seguinte figura ilustra cada uma destas composições.
x
y
0
-4
-6
-2
1 5 6 9
x
(g f )(x) = 2x-6
y
3 540
°
(f g )(x) = 2 x - 6°
2
2
Nota
Deste exemplo, podemos concluir que a composição de funções não é comutativa, isto é,
g◦ f e f ◦g, em geral, são diferentes.
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Cálculo Diferencial e Integral
Exemplo 2.12
Sejam as funções
f (x) =
{
x2 se x< 1;
−x3 se x≥ 2; g(x) =
{ −x se x< 2;
2x se x≥ 4.
Encontremos f ◦g.
Solução
Neste caso cada uma das funções é definida por partes:
f (x) =
{
f1(x) se x ∈ Dom( f1);
f2(x) se x ∈ Dom( f2); g(x) =
{
g1(x) se x ∈ Dom(g1);
g2(x) se x ∈ Dom(g2).
Logo, o domínio de f ◦g será obtido analisando todas as combinações possíveis de f1, f2, g1 e
g2, isto é:
a. f1 ◦g1:
Dom( f1 ◦g1) = {x ∈ R : x ∈ Dom(g1) e g1(x) ∈ Dom( f1)}
= {x ∈ R : x ∈ (−∞,2) e − x ∈ (−∞,1)}
= {x ∈ R : x ∈ (−∞,2) e x ∈ (−1,+∞)}
= (−1,2)
Então, ( f ◦g)(x) = f1(g1(x)) = f1(−x) = x2, ∀x ∈ (−1,2).
b. f1 ◦g2:
Dom( f1 ◦g2) = {x ∈ R : x ∈ Dom(g2) e g2(x) ∈ Dom( f1)}
= {x ∈ R : x ∈ [4,+∞) e 2x ∈ (−∞,1)}
=
{
x ∈ R : x ∈ [4,+∞) e x ∈ (−∞, 1
2
)
}
= /0
Portanto, neste caso a composição f1 ◦g2 não esta definida.
c. f2 ◦g1:
Dom( f2 ◦g1) = {x ∈ R : x ∈ Dom(g1) e g1(x) ∈ Dom( f2)}
= {x ∈ R : x ∈ (−∞,2) e − x ∈ [2,+∞)}
= {x ∈ R : x ∈ (−∞,2) e x ∈ (−∞,−2]}
= (−∞,−2)
Então, ( f ◦g)(x) = f2(g1(x)) = f2(−x) = x3, ∀x ∈ (−∞,−2).
d. f2 ◦g2:
Dom( f2 ◦g2) = {x ∈ R : x ∈ Dom(g2) e g2(x) ∈ Dom( f2)}
= {x ∈ R : x ∈ [4,+∞) e 2x ∈ [2,+∞)}
= {x ∈ R : x ∈ [4,+∞) e x ∈ [1,+∞)}
= [4,+∞)
Então, ( f ◦g)(x) = f2(g2(x)) = f1(2x) =−8x3, ∀x ∈ [4,+∞). Portanto,
( f ◦g)(x) =

x2, se x ∈ (−∞,−2);
x3, se x ∈ (−1,2);
−8x3, se x ∈ [4,+∞).
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Cálculo Diferencial e Integral
Propriedades da composição de funções
Sejam f ,g e h funções reais com domínios Dom( f ), Dom(g) e Dom(h), respectivamente. Então
se verifica que:
a. ( f ◦g)◦h= f ◦ (g◦h)
b. f ◦ Id = f = Id◦ f
c. ( f +g)◦h= f ◦h+g◦h
d. ( f −g)◦h= f ◦h−g◦h
e. ( f ·g)◦h= ( f ◦h) · (g◦h)
f.
(
f
g
)
◦h= f ◦h
g◦h
2.4 Função inversa
Dada uma função f : A→ B, gostaríamos de saber como o efeito de uma função pode ser invertido
para enviar o resultado de volta e obter o valor de onde veio. Nossa resposta seria: se f (x) = y, então
x= f−1(y), mas não necessariamente sempre obtemos uma função.
De fato, sempre temos alguma das duas possibilidades: f é injetora ou f não é injetora.
• Se f não é injetora, existem pelo menos dois elementos x1,x2 ∈ A tais que:
f (x1) = y e f (x2) = y então x1 = f−1(y) e x2 = f−1(y).
Portanto, a (relação) inversa de f , f−1, não é uma função de B em A.
• Se f : A→ B é injetora, então a inversa f−1 : B→ A é uma função injetora e é chamada defunção
inversa de f
Ambos casos são apresentados nos itens (a) e (b) da figura abaixo, respectivamente. No item (c) é
apresentada a interpretação da função inversa.
f
(a) (b)
x1
x2
y
f -1
A B
f
x1
x2
f -1
A B
y1
y2
(c)
B
f
f -1(y) = x
f -1
A B
y = f(x)
Propriedades da função inversa
Seja f uma função. Então:
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Cálculo Diferencial e Integral
a. f tem inversa se, e somente se, f for injetora;
b. Se f−1, a inversa de f , existe. Então:
i. Dom( f−1) = Im( f );
ii. Im( f−1) = Dom( f );
iii. ( f−1 ◦ f )(x) = x, ∀x ∈ Dom( f );
iv. ( f ◦ f−1)(y) = y, ∀y ∈ Dom( f−1);
v. os gráficos de y = f (x) e y = f−1(x) são simétricos com respeito à reta L : y = x;
veja o item (a) da figura abaixo.
c. Sejam as funções f e g injetoras. Se existe g◦ f , então (g◦ f )−1 = f−1 ◦g−1.
y = f -1(x)
y = f (x)0
L: x=y
x
y
y = f -1(x)
y = f (x)
0
L: x=y
x
y
(a) (b)
Nota
Seja f uma função real definida por y= f (x) a qual tem função inversa f−1. Para encontrar
a regra de correspondência da f−1, colocamos x em evidência em termos da variável y.
Assim, obtemos x = f−1(y); porém a convenção de representar a variável independente
por x e a variável dependente por y, faz com que escrevamos f−1 em função de x, isto é,
trocando as variáveis x e y em x= f−1(y), para obter y= f−1(x).
Exemplo 2.13
Encontremos a função inversa da função f (x) = 5x−3, se x ∈ [0,6].
Solução
Verificamos que f (x1) = f (x2)⇒ 5x1−3 = 5x2−3⇒ x1 = x2, assim, f é injetora. Por outro
lado, desde que y= f (x), então y= 5x−3, x ∈ [0,6]. Pondo em evidência a variável x obtemos
que x=
y+3
5
, para x ∈ [0,6], logo, determinamos a variação da variável y
x=
y+3
5
∈ [0,6]⇒ 0≤ y+3
5
≤ 6⇒ 0≤ y+3≤ 30⇒−3≤ y≤ 27⇒ y ∈ [−3,27]
Assim, x =
y+3
5
, para y ∈ [−3,27], permutamos x por y, isto é, y = x+3
5
, para x ∈ [−3,27].
Portanto, f−1(x) =
x+3
5
, para x ∈ [−3,27].
No item (b) da figura acima podemos ver os gráficos de f e f−1.
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2.5 Recapitulando
Neste capítulo, apresentamos o importante conceito de função com o intuito de fazer com que o aluno
determine com precisão o domínio, a imagem e o gráfico de uma função real dada; estes conceitos
também foram abordados e foram apresentados diversos exemplos ilustrando esses tópicos.
Nas seções subsequentes, apresentamos alguns casos particulares de funções, com as quais vamos a
lidar no decorrer deste livro, assim como as operações aritméticas e composições que as envolvem.
Por último, e não menos importante, a teoria sobre a inversa de uma função foi apresentada.
No próximo capítulo, apresentaremos as noções básicas sobre limites, o qual nos permitirá definir
com prescisão a noção de continuidade, a qual é uma das ideias mais importantes e mais fascinates
de toda a matemática.
2.6 Atividades
1. Seja f a função definida por:
i. f (x) = x2−5x+3. ii. f (x) =√2x2+1.
iii. f (x) =
x3−3x2+ x−2
4x2− x−5 . iv. f (x) =

|x|
x
, se x 6= 0;
1, se x= 0.
Em cada caso, calcule f (0), f (−2), f (13).
2. Se f (x) = ax+b é tal que f (3) = 1 e f (−3) = 6, encontre f (x).
3. Sejam f e g funções definidas por:
f (x) =
{
1, se 0≤ x≤ 1,
2, se 1< x≤ 2; e g(x) = f (2x)+ f (x−2).
Encontre Dom(g).
4. Sejam f e g funções definidas por:
f (x) =
{
x2, se |x|< 1
x, se |x| ≥ 1. e g(x) =
{
1− x, se |x| ≥ 2
x, se |x|< 2.
Encontre ( f +g)(x),
(
f
g
)
(x) e esboce seus respectivos gráficos.
5. Seja f : Dom( f )→ [0,1] definida por:
i. f (x) =
|x|
x
. ii. f (x) = 2+ x− x2. iii. f (x) = x−1
x−3.
Em cada caso, determine Dom( f ).
6. Seja f : Dom( f )→ (−2,6] definida por f (x) = x2−4x+1. Determine Dom( f ), e verifique se
f é injetora e sobrejetora.
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7. Determine Dom( f ) das seguintes funções:
i. f (x) =
√
x− x3. ii. f (x) = 3√x−bxc.
iii. f (x) = 4
√
x2+4x−12+ 3x
2
4
√
20+ x− x2 .
8. Seja a função f definida por:
i. f (x) =
 x
2−4
x−2 , se x 6= 2;
3, se x= 2.
ii. f (x) =
{ |4− x2|, se |x|< 3;
5, se |x| ≥ 3.
iii. f (x) =

(x−1)3, se 0≤ x< 2;
10− x2, se 2≤ x≤ 3;
−2, caso contrário .
iv f (x) = (x−bxc)2.
Em cada caso esboce o gráfico de f , determine Dom( f ) e Im( f ).
9. Verifique se as seguintes funções são pares ou ímpares:
i. f (x) =−x3+ x. ii. f (x) = |x|+4x2.
iii. f (x) =− x|x| . iv. f (x) =−x
3−2x2.
10. Sejam f (x) = x3+2 e g(x) = x+a, determine o valor de a tal que ( f ◦g)(3) = (g◦ f )(a−1).
11. Sejam f e g duas funções, determine f (x) se:
i. g(x) = 1− x2 e f (g(x)) =√1− x2. ii. g(x) = 2x+3 e f (g(x)) = 4x2+12x+9.
12. Sejam f e g funções definidas por:
f (x) =
{
x+2, se x| ≤ 1
x−1, se x> 1. e g(x) =
{
x2, se x< 0
1− x, se x≥ 0.
Encontre ( f ◦g)(x).
13. Se f (x) = 2x+ c e f (c) = 2 f−1(c2), determine o valor de:
i. f (0) · f−1(0). ii. f (1)
f−1(1)
.
14. Dada a função f (x) =
9− x2
4− x2 , x≥ 0.
i. Prove que f é injetora. ii. Determine a função f−1. iii. Determine Dom( f−1).
15. Determine a função inversa, caso ela exista, das seguintes funções:
i. f (x) =
√
x2−4, x ∈ (−∞,−2). ii. f (x) =√2− x− x2, x ∈ [−2,1].
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16. Sejam as funções definidas por:
f (x) =
x4−1
16− x4 , se x≥ 0 e x 6= 2; g(x) =
4
√
16− x2, se x ∈ [0,4];
h(x) =
√
x+1, se x ∈ [−1,+∞); i(x) =√x2−1, se x ∈ [1,+∞).
i. Determine:
a. ( f ◦g)−1 e Dom(( f ◦g)−1).
b. h−1 · ( f ◦g)−1 e Dom(h−1 · ( f ◦g)−1).
c. i · ( f ◦g)−1 e Dom(i · ( f ◦g)−1).
d. i◦ ( f ◦g)−1 e Dom(i◦ ( f ◦g)−1).
ii. Verifique se h · ( f ◦g)−1 é injetora.
iii. Esboce o gráfico de ( f ◦g)−1.
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Capítulo 3
Limites
OBJETIVOS DO CAPÍTULO
Ao final deste capítulo você deverá ser capaz de:
• Interpretar geometricamente a definição de limite de uma função;
• Interpretar adequadamente a propriedade de unicidade do limite;
• Determinar o valor de limites de funções elementares;
• Conhecer as indeterminações da forma
0
0
,
∞
∞
, entre outras;
• Aplicar os teoremas sobre limites de funções na resolução dos exercícios.
3.1 Introdução
Neste capítulo, trataremos a teoria dos limites de uma função, uma das ideias mais importantes e
fascinantes da Matemática, a qual é indispensável conhecer por ser um dos pilares dos conceitos de
continuidade, derivada, integral, etc.
3.2 Vizinhança
Embora a definição de vizinhança, no sentido topológico, seja muito abstrata, é necessário ter al-
guma noção sobre este conceito. Neste livro, o espaço em que trabalhamos é R, portanto, a seguinte
definição é suficiente para cumprir nossos objetivos.
Definição 3.1
Dados a, δ , δ1, δ2 ∈ R, com δ , δ1, δ2 > 0:
i. Chama-se vizinhança aberta do ponto a ao intervalo (a−δ1,a+δ2);
ii. Chama-se bola aberta de centro a e raio δ ao intervalo (a−δ ,a+δ );
iii. A bola aberta de centro a e raio δ é denotada por B(a;δ ), isto é, B(a;δ ) = (a−δ ,a+δ ).
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Nota
Toda bola aberta é uma vizinhança, a recíproca não necessariamente é verdade.
O item (a) da figura a seguir ilustra uma vizinhança, enquanto que o item (b) ilustra uma bola de
centro a e raio δ .
Exemplo 3.1
a. Os intervalos seguintes são vizinhanças abertas do ponto a= 5:
(5−3,5+2)= (2,7), δ1 = 3 e δ2 = 2;
(
5− 1
3
,5+4
)
=
(
14
3
,9
)
, δ1 =
1
3
e δ2 = 4.
b. Os intervalos seguintes são bolas abertas do ponto a= 5:
B(5;2)= (5−2,5+2)= (3,7), δ = 2, B
(
5;
1
3
)
=
(
5− 1
3
,5+
1
3
)
=(
14
3
,
16
3
)
, δ =
1
3
.
Propriedades das vizinhanças
Dados a, δ , δ1, δ2 ∈ R, com δ , δ1, δ2 > 0, verifica-se que:
a. B(a;δ ) = {x ∈ R : |x−a|< δ};
b. A interseção de duas vizinhanças de centro a é uma vizinhança de centro a, ou seja:
B(a;δ1)∩B(a;δ2) = B(a;δ )
onde δ = min{δ1,δ2}.
3.3 Limites de uma função
Antes de definir o conceito de limite, apresentaremos a noção intuitiva do mesmo no exemplo abaixo.
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Exemplo 3.2
Sejam as funções f e g definidas pelas regras de correspondências:
f (x) = x+1, se x 6= 1 e g(x) =
{
x2+1 se x 6= 1;
3 se x= 1.
Das respectivas definições, observamos que para x = 1, f (x) não está definida, ou seja, f (1) não
existe, enquanto que g(1) = 3. Porém, o comportamento de ambas funções é exatamente o mesmo
numa vizinhança de 1 excluindo o ponto 1 dessa vizinhança, e pode ser descrito da seguinte forma:
• Para valores de x próximos a 1, com x 6= 1, os valores de f (x) e g(x) se aproximam do número
L= 2.
• No caso de f , dizemos que 2 é o limite de f (x) quando x tende (ou se aproxima) a 1;
• De forma semelhante, no caso de g, dizemos que 2 é o limite de g(x) quando x tende a 1.
Notamos que o limite de f , quando x tende a 1, não depende de f (1), pois este valor não existe, e sim
dos valores que a função f toma quando x está próximo de 1.
Definição 3.2
Sejam f : R → R uma função, L ∈ R e a um ponto que não, necessariamente, pertence a
Dom( f ), porém, toda vizinhança de a contém pontos de Dom( f ). Se para cada ε > 0 é possível
encontrar um δ > 0 que depende de a e ε , tal que
x ∈ Dom( f ), x 6= a e 0< |x−a|< δ ⇒ | f (x)−L|< ε,
então diz-se que f se aproxima do limite L quando x se aproxima de a, e escreve-se:
lim
x→a f (x) = L,
leia-se L é o limite de f (x) quando x tende a a ou o limite de f quando x tende a a é L.
Nota
a. A definição acima pode ser reescrita usando a notação de vizinhanças: lim
x→a f (x) = L,
se e somente se,
∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que ∀x ∈ Dom( f )∩B(a;δ ), x 6= a ⇒ f (x) ∈ B(L;ε);
b. O conceito de limite implica na ideia de f (x) poder ser tão próximo de L quanto qui-
zermos sempre que x for escolhido suficientemente próximo de a.
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Exemplo 3.3
Seja f (x) = 4x−5. Se lim
x→2
f (x) = 3. Quão próximo de 2 deve estar x para que | f (x)−3|< 0,001?
Solução
Fazendo ε = 0,001, queremos que | f (x)− 3| < ε . Para encontrar um δ adequado, notamos
que | f (x)− 3| = |4x− 5− 3| = 4|x− 2| < 0,001. Dessa última desigualdade, obtemos que
|x− 2| < 0,00025. Portanto, se x está distante de 2 em menos de 0,00025, então f (x) está
distante de 3 em menos de 0,001.
Passos para determinar um δ para dados f , L, a e ε > 0
Os passos para determinar um δ tal que para todo x
0< |x−a|< δ ⇒ | f (x)−L|< ε
são:
1. Decompor o termo | f (x)−L| numa expressão onde apareça o termo |x−a|, isto é,
| f (x)−L|= |x−a||g(x)|;
2. Encontrar um δ1 > 0, valor inicial para δ , com o intuito de limitar a expressão |g(x)|, isto
é,
0< |x−a|< δ1 ⇒ ∃ K > 0 : |g(x)|< K;
i. Se 0< |x−a|< δ1, então,
| f (x)−L|= |x−a||g(x)|< |x−a|K;
ii. Se |x−a|< ε
K
, então,
|x−a|K < ε ⇒ | f (x)−L|< ε;
3. Fazer δ = min
{
δ1,
ε
K
}
.
Portanto, 0< |x−a|< δ implica que | f (x)−L|= |x−a||g(x)|< ε , o que prova que
lim
x→a f (x) = L.
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Algumas recomendações
a. Ao considerar valores para δ1, tais que 0< |x−a|< δ1:
i. podemos considerar δ1 = 1 ou números menores.
ii. devemos verificar que g(x) exista ∀x ∈ (a−δ1,a+δ1).
b. Ao limitar g(x), dado δ1, devemos lembrar algumas propriedades de desigualdades e
valor absoluto:
i. se 0< |x−a|< δ1, então a−δ1 < x< a+δ1;
ii. se a< y< b, então |y|<max{|a|, |b|};
iii. se a< y< b, então y2 < k2 onde k = max{|a|, |b|};
c. Dados 0 < δ˜ < δ . Se δ verifica a definição de limite, então δ˜ também verifica a
definição de limite.
Exemplo 3.4
a. Se f (x) = 2x2−5x+2, provemos que lim
x→3
f (x) = 5.
Solução
Dado ε > 0, devemos encontrar um δ tal que
0< |x−3|< δ ⇒ | f (x)−5|< ε.
Dos passos passos estabelecidos acima, temos que:
| f (x)−5|= |2x2−5x+2−5|= |2x2−5x−3|= |x−3||2x+1|.
Para δ1 = 1, busquemos K > 0 : 0< |x−3|< 1⇒ |2x+1|< K. De fato:
|x−3|< 1⇒ 2< x< 4⇒ 4< 2x< 8⇒ 5< 2x+1< 9⇒ |2x+1|< 9,
multiplicando ambos lados dessa desigualdade pela expressão |x−3| obtemos:
|x−3||2x+1|< 9|x−3|.
Logo, deduzimos que 9|x− 3| < ε quando |x− 3| < ε
9
. Em resumo, dado ε > 0, ∃δ =
min
{
1,
ε
9
}
tal que
0< |x−3|< δ ⇒ | f (x)−5|= |x−3||2x+1|< 9|x−3|< ε.
Portanto, lim
x→3
f (x) = 5.
b. Se f (x) =
x+3
x−3, provemos que limx→5 f (x) = 4.
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Solução
Dado ε > 0, devemos encontrar um δ tal que:
0< |x−5|< δ ⇒ | f (x)−4|< ε.
De forma análoga ao exemplo do item anterior, temos que
| f (x)−4|=
∣∣∣∣x+3x−3 −4
∣∣∣∣= ∣∣∣∣−3(x−5)x−3
∣∣∣∣= 3 |x−5||x−3| .
Por outro lado, se consideramos δ1 = 1 obtemos
0< |x−5|< 1⇒ 4< x< 6⇒ 1< x−3< 3⇒ 1
3
<
1
x−3 < 1⇒
1
|x−3| < 1.
Multiplicando ambos lados dessa desigualdade pela expressão 3|x−5| obtemos:
3
|x−5|
|x−3| < 3|x−5|< ε ⇒ |x−5|<
ε
3
.
Em resumo, dado ε > 0, ∃δ = min
{
1,
ε
3
}
tal que
0< |x−5|< δ ⇒ | f (x)−4|= 3 |x−5||x−3| < 3|x−5|< 3
ε
3
= ε.
Portanto, lim
x→5
f (x) = 4.
3.4 Propriedades dos limites
A primeira propriedade que apresentamos é uma das mais utilizadas dos números reais.
Propriedade 3.1
Seja x ∈ R. Se |x|< ε para todo ε > 0, então x= 0.
Na sequência, os resultados apresentados são importantes para o domínio da teoria dos limites.
Teorema 3.1 (Unicidade do limite)
Se o limite de uma função existe, então este limite é único. Em outras palavras, se existem L1
e L2 ∈ R tal que:
lim
x→a f (x) = L1 e limx→a f (x) = L2,
então L1 = L2.
É natural esperar que sejam verificados os seguintes resultados:
Teorema 3.2 (Teorema da comparação)
Sejam f e g duas funções tais que:
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i. f (x)≤ g(x), ∀x ∈ B(a;δ ) com x 6= a;
ii. lim
x→a f (x) = L e limx→ag(x) =M.
Então, L≤M, isto é, lim
x→a f (x)≤ limx→ag(x).
O teorema seguinte é uma consequência do Teorema da comparação.
Teorema 3.3 (Teorema do confronto)
Sejam f , g e h três funções tais que:
i. f (x)≤ g(x)≤ h(x), ∀x ∈ B(a;δ ), com x 6= a;
ii. lim
x→a f (x) = limx→ah(x) = L.
Então, lim
x→ag(x) = L.
Teorema 3.4
Sejam f e g duas funções tais que:
i. lim
x→a f (x) = 0;
ii. Existe M > 0 tal que |g(x)|<M, ∀x ∈ B(a;δ ), com x 6= a.
Então, lim
x→a f (x)g(x) = 0.
3.5 Leis do limite
Para calcular limites de funções que são combinações aritméticas de funções que pussuem limites
conhecidos, podemos utilizar as seguintes regras simples.
Teorema 3.5
Sejam c ∈ R uma constante, f e g duas funções tais que lim
x→a f (x) = L e limx→ag(x) =M, então:
i. lim
x→ac= c;
ii. Regra da soma:
lim
x→a( f (x)+g(x)) = limx→a f (x)+ limx→ag(x) = L+M;
iii. Regra da diferença:
lim
x→a( f (x)−g(x)) = limx→a f (x)− limx→ag(x) = L−M;
iv. Regra da multiplicação por uma constante:
lim
x→a(c f (x)) = c
(
lim
x→a f (x)
)
= cL;
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Cálculo Diferencial e Integral
v. Regra do produto:
lim
x→a( f (x) ·g(x)) = limx→a f (x) · limx→ag(x) = L ·M;
vi. Regra do quociente:
Se M 6= 0, então
lim
x→a
1
g(x)
=
1
lim
x→ag(x)
=
1
M
e lim
x→a
f (x)
g(x)
=
lim
x→a f (x)
lim
x→ag(x)
=
L
M
.
Os seguintes corolários são consequências diretas do teorema anterior.
Corolário 3.1
Se lim
x→a fi(x) = Li, para i= 1,2, . . . ,n, então:
i. lim
x→a( f1(x)+ f2(x)+ . . .+ fn(x)) = L1+L2+ . . .+Ln;
ii. lim
x→a( f1(x) · f2(x) · . . . · fn(x)) = L1 ·L2 · . . . ·Ln.
Corolário 3.2
Se lim
x→a f (x) = L e n ∈ Z, então
lim
x→a[ f (x)]
n =
[
lim
x→af (x)
]n
= Ln.
Se n≤ 0, então para que lim
x→a[ f (x)]
n exista, L deve ser diferente de zero.
Corolário 3.3
Se f (x) = b0xn+b1xn−1+ . . .+bn, onde b0, b1, . . . , bn são constantes, então:
lim
x→a(b0x
n+b1xn−1+ . . .+bn) = b0an+b1an−1+ . . .+bn = f (a).
Teorema 3.6
Se lim
x→a f (x) = L e uma das condições seguintes é verificada:
i. L≥ 0 e n é qualquer inteiro positivo ou
ii. L< 0 e n é qualquer inteiro positivo ímpar;
então lim
x→a
n
√
f (x) = n
√
lim
x→a f (x) =
n
√
L.
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Exemplo 3.5
Calculemos os seguintes limites:
a. lim
x→2
(
5x2−3x+4)
Solução
Do Teorema 3.5, temos que:
lim
x→2
(
5x2−3x+4)= 5(lim
x→2
x2
)
−3
(
lim
x→2
x
)
+
(
lim
x→2
4
)
= 5(4)−3(2)+4 = 18.
Ou de forma alternativa, do Corolário 3.3, temos que:
lim
x→2
f (x) = f (2) = 5(4)−3(2)+4 = 18.
b. lim
x→18
4
√
x−2
Solução
Desde que lim
x→18
(x−2) = (18)−2 = 16> 0 e n= 4> 0, do Teorema 3.6, temos que:
lim
x→18
4
√
x−2 = 4
√
lim
x→18
(x−2) = 4
√
16 = 2.
c. lim
x→2
3
√
2x5−4x−2
x3−6
Solução
Desde que lim
x→2
(2x5− 4x− 2) = 54, lim
x→2
(x3− 6) = 2 e n = 3 > 0, do Teorema 3.5, do
Teorema 3.6 e da regra do quociente, temos que:
lim
x→2
3
√
2x5−4x−2
x3−6 =
3
√
lim
x→2
2x5−4x−2
x3−6 =
3
√√√√√ limx→2(2x5−4x−2)
lim
x→2
(x3−6) =
3
√
54
2
=
3
√
27 = 3.
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Nota
a. Dado um limite da forma lim
x→a
f (x)
g(x)
, com lim
x→a f (x) = 0 e limx→ag(x) = 0, não é possível
aplicar a regra do quociente do Teorema 3.5. Neste caso, diz-se que o limite é um
limite indeterminado da forma
0
0
.
b. Em geral, as formas indeterminadas são:
0
0
,
∞
∞
, ∞−∞, 0 ·∞, 00, 1∞ e ∞0
c. Em todos esses casos, devemos usar alguns artifícios que permitam eliminar a inde-
terminação. Um dos artifícios mais usados é fatorar no numerador e no denominador,
se possível, o termo (x− a), para depois simplificá-lo e obter uma nova expressão
que não seja indeterminada. Por último, calcular o limite da nova expressão. Isto será
ilustrado no seguinte exemplo.
Exemplo 3.6
Calculemos os seguintes limites:
a. lim
x→−4
x2−16
3x+12
Solução
Ao analisar o numerador e o denominador desse quociente, observamos que temos uma
indeterminação da forma
0
0
, pois lim
x→−4
(x2−16) = 0 e lim
x→−4
(3x+12) = 0.
Porém, observamos que o termo (x+4) pode ser fatorado de cada um deles, pois
x2−16 = (x+4)(x−4) e 3x+12 = 3(x+4).
Logo,
lim
x→−4
x2−16
3x+12
= lim
x→−4
���
�(x+4)(x−4)
3����(x+4)
= lim
x→−4
x−4
3
=
1
3
lim
x→−4
(x−4) = 1
3
(8) =−8
3
.
b. lim
x→0
√
x+3−√3
x
Solução
Da mesma forma que o item acima, esse limite tem uma indeterminação da forma
0
0
. Para
resolver tal problema, precisamos racionalizar o numerador, isto é, multiplicar tanto o
numerador quanto o denominador por
√
x+3+
√
3:
lim
x→0
√
x+3−√3
x
= lim
x→0
(
√
x+3−√3)(√x+3+√3)
x(
√
x+3+
√
3)
= lim
x→0
x+3−3
x(
√
x+3+
√
3)
=
lim
x→0
�x
�x(
√
x+3+
√
3)
= lim
x→0
1√
x+3+
√
3
=
1√
3+
√
3
=
1
2
√
3
.
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Cálculo Diferencial e Integral
Nota
Para racionalizar, precisamos lembrar que:
(an−bn) = (a−b)(an−1+an−2b+an−3b2+ . . .+abn−2+bn−1)︸ ︷︷ ︸
fator racionalizante
(an+bn) = (a+b)
︷ ︸︸ ︷
(an−1−an−2b+an−3b2− . . .−abn−2+bn−1)
Exemplo 3.7
Calculemos os seguintes limites:
a. lim
x→4
3−√5+ x
1−√5− x
Solução
Esse limite tem uma indeterminação da forma
0
0
, nesse caso, devemos fazer uma dupla
racionalização:
lim
x→4
3−√5+ x
1−√5− x = limx→4
(3−√5+ x)(3+√5+ x)(1+√5− x)
(1−√5− x)(1+√5− x)(3+√5+ x)
= lim
x→4
−����(x−4)(1+
√
5− x)
(3+
√
5+ x)����(x−4)
=− lim
x→4
1+
√
5− x
3+
√
5+ x
= −1+1
3+3
=−2
6
=−1
3
.
b. lim
x→0
√
1+ x2− 4√1+ x4
x2
Solução
Aqui temos a indeterminação da forma
0
0
, e observamos que
√
1+ x2− 4√1+ x4 = 4
√
(1+ x2)2− 4√1+ x4
=
(1+ x2)2− (1+ x4)√
(1+ x2)3+(1+ x2) 4
√
1+ x4+
√
1+ x2
√
1+ x4+ 4
√
(1+ x4)3
=
2x2√
(1+ x2)3+(1+ x2) 4
√
1+ x4+
√
1+ x2
√
1+ x4+ 4
√
(1+ x4)3
.
Logo, calcular o limite acima é equivalente a calcular
lim
x→0
2��x2
��x2
[√
(1+ x2)3+(1+ x2) 4
√
1+ x4+
√
1+ x2
√
1+ x4+ 4
√
(1+ x4)3
] =
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Cálculo Diferencial e Integral
lim
x→0
2[√
(1+ x2)3+(1+ x2) 4
√
1+ x4+
√
1+ x2
√
1+ x4+ 4
√
(1+ x4)3
] = 2
1+1+1+1
=
1
2
.
Portanto,
lim
x→0
√
1+ x2− 4√1+ x4
x2
=
1
2
.
c. lim
x→64
√
x−8
3
√
x−4
Solução
Assim como nos casos anteriores, a indeterminação é da forma
0
0
e poderíamos fazer uma
dupla racionalização, porém, os cálculos se tornariam muito complicados. Por outro lado,
observando as quantidades sub-radicais, notamos que elas são iguais, o que será útil se
fizermos uma mudança de variável com o intuito de simplificar a expressão.
Escolhe-se uma variável que seja igual à quantidate sub-radical e o expoente desta variável
é o minimo múltiplo comum dos índices dos radicais. Em nosso caso:
Como m.m.c(2,3) = 6 fazemos y6 = x, notemos que x→ 64 implica que y→ 2, e quando
substituímos no limite acima, obtemos:
lim
x→64
√
x−8
3
√
x−4 = limy→2
y3−8
y2−4 = limy→2
���
�(y−2)(y2+2y+4)
���
�(y−2)(y+2) = limy→2
y2+2y+4
y+2
=
4+4+4
2+2
= 3.
d. lim
x→0
x 3
√
x+1+ 4
√
x+1−1
x2 3
√
x+1+ 4
√
x+1−1
Solução
Novamente, a indeterminação é
0
0
e precisamos fazer uma mudança de variável para eli-
minar os radicais. Como m.m.c.(3,4) = 12 e desde que x+ 1 ≥ 0, fazemos x+ 1 =
ym.m.c.(3,4) = y12, logo x→ 0 implica que y→ 1,
x+1 = y12, ⇒ x= y12−1, 3√x+1 = 3
√
y12 = y4 4
√
x+1 = 4
√
y12 = y3,
e quando substituímos no limite acima obtemos:
lim
x→0
x 3
√
x+1+ 4
√
x+1−1
x2 3
√
x+1+ 4
√
x+1−1 = limy→1
(y12−1)2y4+ y3−1
(y12−1)y4+ y3−1 .
Porém,
y12−1 = (y−1)(y11+ y10+ · · ·+ y+1) e y3−1 = (y−1)(y2+ y+1).
Assim,
lim
y→1
(y12−1)2y4+ y3−1
(y12−1)y4+ y3−1 = limy→1
���
�(y−1)(y11+ y10+ . . .+1)y4+����(y−1)(y2+ y+1)
(y−1)�2(y11+ y10+ . . .+1)2y4+����(y−1)(y2+ y+1)
= lim
y→1
(y11+ y10+ . . .+1)y4+ y2+ y+1
(y−1)(y11+ y10+ . . .+1)2y4+ y2+ y+1
=
11+3
3
=
14
3
.
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Cálculo Diferencial e Integral
3.6 Limites laterais
Quando calculamos lim
x→a f (x) = L, o problema real é determinar um número L para o qual os valores
de f (x) se aproximam quando x tende a a. Porém, em R, ao dizer que x tende a a é necessário analisar
dois casos:
i. x tende a a por meio de valores menores que a, isto é, x tende a a pela esquerda; e
ii. x tende a a por meio de valores maiores que a, isto é, x tende a a pela direita.
Veja o item (a) da figura abaixo.
Quando precisamos calcular os limites laterais o problema é mais simples, já que este depende do
comportamento da função f (x) quando x se aproxima de a somente pela esquerda ou somente pela
direita; veja o item (b) da figura acima.
Definição 3.3
Seja f uma função definida no intervalo (c,a), com c < a. Diz-se que o número L1 é o limite
lateral de f (x), quando x tende a a pela esquerda, denotado por lim
x→a−
f (x) = L1, se
∀ε > 0, ∃δ > 0 : 0< a− x< δ ⇒ | f (x)−L1|< ε.
Definição 3.4
Seja f uma função definida no intervalo (a,d), a< d. Diz-se que o número L2 é o limite lateral
de f (x) quando x tende a a pela direita, denotado por lim
x→a+
f (x) = L2, se
∀ε > 0, ∃δ > 0 : 0< x−a< δ ⇒ | f (x)−L2|< ε.
Teorema 3.7
Se f é uma função definida numa vizinhança do ponto a, e L ∈ R, então
lim
x→a f (x) = L se, e somente se, limx→a−
f (x) = lim
x→a+
f (x) = L.
Emoutras palavras, o limite de uma função existe se, e somente se, os limites laterais existem
e são iguais.
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Cálculo Diferencial e Integral
Nota
a. O lim
x→a f (x) não existe nos seguintes casos:
i. algum dos limites laterais não existe;
ii. os limites laterais existem, porém, são diferentes.
b. Se a função f é definida por partes para x< a e para x> a, para encontrar o lim
x→a f (x)
é necessário calcular os seus respectivos limites laterais.
Exemplo 3.8
a. Seja a função f definida por:
f (x) =
 x
2, se x< 2;
4, se x= 2;
8−2x, se x> 2.
Calculemos lim
x→2
f (x), caso exista.
Solução
Como f tem diferentes regras de correspondência para x< 2 e x> 2, precisamos calcular
os limites laterais:
• Limite lateral quando x tende a 2 pela direita, isto é, 2< x:
lim
x→2+
f (x) = lim
x→2+
(8−2x) = 8−4 = 4;
• Limite lateral quando x tende a 2 pela esquerda, isto é, x< 2:
lim
x→2−
f (x) = lim
x→2−
x2 = 22 = 4.
Comparando estes limites laterais, além deles existirem, ambos são iguais. Portanto, o
lim
x→2
f (x) existe e
lim
x→2
f (x) = 4.
b. Seja a função f definida por:
f (x) = x
√
1
4x2
−16
Calculemos lim
x→0
f (x), caso exista.
Solução
Analisando f , temos que
f (x) = x
√
1
4x2
−16 = x
√
1−64x2
4x2
=
x
√
1−64x2
2|x| .
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Cálculo Diferencial e Integral
Logo, f pode ser reescrita por partes em 0 :
f (x) =

−
√
1−64x2
2
, se x< 0;√
1−64x2
2
, se x≥ 0.
Então, para calcular lim
x→0
f (x), precisamos calcular os limites laterais:
• Limite lateral quando x tende a 0 pela esquerda, isto é, x< 0:
lim
x→0−
−
√
1−64x2
2
=−1
2
;
• Limite lateral quando x tende a 0 pela direita, isto é, x> 0:
lim
x→0+
√
1−64x2
2
=
1
2
.
Comparando estes limites laterais, observamos que embora eles existam, não são iguais.
Portanto, o lim
x→2
f (x) não existe.
c. Seja a função f definida por:
f (x) =
√
|x|+ b3xc
Calculemos lim
x→ 73
f (x), caso exista.
Solução
Desde que o máximo inteiro forma parte desta função, precisamos analisar os limites
laterais numa vizinhança de 73 , porém 2<
7
3 < 3, então analisemos:
• Limite lateral quando x tende a 73 pela esquerda e 2≤ x, ou seja, 2≤ x< 73 :
Logo, 6≤ 3x< 7⇒ b3xc= 6 e |x|= x, daqui
lim
x→ 73
−
√
|x|+ b3xc= lim
x→ 73
−
√
x+6 =
5
√
3
3
• Limite lateral quando x tende a 73 pela direita, e x< 3, ou seja, com
7
3 ≤ x< 3:
Logo, 7≤ 3x< 8⇒ b3xc= 7 e |x|= x, daqui
lim
x→ 73
+
√
|x|+ b3xc= lim
x→ 73
+
√
x+7 =
√
28
3
.
Comparando esses limites laterais, observamos que embora eles existam, não são iguais.
Portanto, o lim
x→ 73
f (x) não existe.
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Cálculo Diferencial e Integral
3.7 Limites no infinito
Antes de apresentar a definição exata desse conceito, consideremos a função f (x) = 1+
1
x−2 e seu
respectivo gráfico:
Analisando essa função, notamos que quando x cresce ilimitadamente, denotado por x→+∞, o valor
de f (x) se aproxima de 1, ou seja,
lim
x→+∞ f (x) = 1,
e quando x decresce ilimitadamente, denotado por x→−∞, o valor de f (x) se aproxima também de
1, ou seja,
lim
x→−∞ f (x) = 1.
Esses limites são conhecidos como limites no infinito.
Definição 3.5
Sejam a, L ∈ R.
i. Se f : (a,+∞)→ R, diz-se que L é o limite de f (x) quando x tende a +∞, denotado por
lim
x→+∞ f (x) = L, se
∀ε > 0, ∃N > 0 : x> N ⇒ | f (x)−L|< ε;
ii. Se f : (−∞,a)→ R, diz-se que L é o limite de f (x) quando x tende a −∞, denotado por
lim
x→−∞ f (x) = L, se
∀ε > 0, ∃M > 0 : x<−M ⇒ | f (x)−L|< ε.
A seguir apresentaremos propriedades aritméticas que nos ajudam com os cálculos de limites no
infinito.
Teorema 3.8
Seja n ∈ N. Então:
lim
x→+∞
1
xn
= 0 e lim
x→−∞
1
xn
= 0.
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Cálculo Diferencial e Integral
Teorema 3.9
Sejam c ∈ R uma constante, f e g duas funções definidas nos intervalos (a,+∞) e (b,+∞),
respectivamente, com a, b ∈ R. Se
lim
x→+∞ f (x) = L e limx→+∞g(x) =M,
então:
i. lim
x→+∞c= c;
ii. lim
x→+∞ [c f (x)] = c
[
lim
x→+∞ f (x)
]
= cL;
iii. lim
x→+∞ f (x)+g(x) = limx→+∞ f (x)+ limx→+∞g(x) = L+M;
iv. lim
x→+∞ f (x)−g(x) = limx→+∞ f (x)− limx→+∞g(x) = L−M;
v. lim
x→+∞ f (x) ·g(x) = limx→+∞ f (x) · limx→+∞g(x) = L ·M;
vi. Se M 6= 0, então:
lim
x→+∞
1
g(x)
=
1
lim
x→+∞g(x)
=
1
M
e lim
x→+∞
f (x)
g(x)
=
lim
x→+∞ f (x)
lim
x→+∞g(x)
=
L
M
.
Nota
a. Quando x→−∞ as propriedades são estabelecidas de forma análoga às apresenta-
das no resultado anterior.
b. Quando temos que calcular os limites no infinito de uma função racional na prática,
podemos dividir tanto o numerador como o denominador pela maior potência de x do
denominador que aparecer na expressão dada. Logo, é aplicado o critério do Teorema
3.8.
Exemplo 3.9
Calculemos os seguintes limites no infinito:
a. lim
x→+∞
7x2−8x+2
5x2+3x−3
Solução
Pela observação anterior, dividimos o numerador e o denominador por x2 (maior potência
do denominador) e obtemos:
lim
x→+∞
7x2−8x+2
5x2+3x−3 = limx→+∞
7− 8
x
+
2
x2
5+
3
x
− 3
x2
=
lim
x→+∞
(
7− 8
x
+
2
x2
)
lim
x→+∞
(
5+
3
x
− 3
x2
) = 7−0+0
5+0−0 =
7
5
.
b. lim
x→−∞
12−3x+6x4
1+ x6
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Cálculo Diferencial e Integral
Solução
Nesse caso, dividimos o numerador e o denominador por x6 e obtemos:
lim
x→−∞
12−3x+6x4
1+ x6
= lim
x→−∞
12
x6
− 3
x5
+
6
x2
1
x6
+1
=
lim
x→−∞
(
12
x6
− 3
x5
+
6
x2
)
lim
x→−∞
(
1
x6
+1
) = 0−0+0
0+1
= 0.
c. lim
x→+∞
12x+6
3−4x
Solução
Dividimos o numerador e o denominador por x e obtemos:
lim
x→+∞
12x+6
3−4x = limx→+∞
12+
6
x
3
x
−4
=
lim
x→+∞
(
12+
6
x
)
lim
x→+∞
(
3
x
−4
) = 12+0
0−4 =−3.
d. lim
x→−∞
√
x2−2x+4+ x
Solução
Para que possamos aplicar a metodologia dos exemplos anteriores, precisamos expressar
a função como um quociente e, para isso, devemos racionalizar, isto é:
lim
x→−∞
√
x2−2x+4+ x= lim
x→−∞
(√
x2−2x+4+ x
)(√
x2−2x+4− x
)
√
x2−2x+4− x
= lim
x→−∞
x2−2x+4− x2√
x2−2x+4− x = limx→−∞
−2x+4√
x2−2x+4− x .
Desde que, x considera valores negativos que tendem para −∞, podemos dividir por x =
−
√
x2, e obteremos:
lim
x→−∞
−2x+4√
x2−2x+4− x = limx→−∞
−2+ 4
x
−
√
1− 2
x
+
4
x2
−1
=
−2+0
−√1−0+0−1 = 1.
Portanto, lim
x→−∞
√
x2−2x+4+ x= 1.
e. lim
x→+∞
√
x+
√
x+
√
x+3√
x+3
Solução
Observamos que x considera valores positivos, assim, dividimos o numerador e o denomi-
nador por
√
x e obtemos:
78 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
lim
x→+∞
√
x+
√
x+
√
x+3√
x+3
= lim
x→+∞
√√√√1+
√
1
x
+
√
1
x3
+
3
x4√
1+
3
x
=
√
1+
√
0+
√
0+0√
1+0
= 1.
3.8 Limites infinitos
Antes de apresentar a definição exata desse conceito, consideremos novamente a função f (x) = 1+
1
x−2 e seu respectivo gráfico:
Analisando essa função, notamos que quando x tende a 2 pela direita, f (x) cresce ilimitadamente, ou
seja,
lim
x→2+
f (x) = +∞,
e quando x tende a 2 pela esquerda, f (x) decresce ilimitadamente, ou seja,
lim
x→2−
f (x) =−∞.
Esses tipos de limites são conhecidos como limites infinitos.
Definição 3.6
Sejam a ∈ R e uma função f :
i. Diz-se que o limite de f (x) é +∞ quando x tende ao ponto a, denotado por lim
x→a f (x) =+∞,
se
∀K >> 0, ∃δ > 0 : 0< |x−a|< δ ⇒ f (x)> K.
ii. Diz-se que o limite de f (x) é−∞ quando x tende ao ponto a, denotado por lim
x→a f (x) =−∞,
se
∀M >> 0, ∃δ > 0 : 0< |x−a|< δ ⇒ f (x)<−M.
79 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
Neste caso, também são definidos os seguintes limiteslaterais:
lim
x→a+
f (x) = +∞, lim
x→a−
f (x) = +∞, lim
x→a−
f (x) =−∞, lim
x→a+
f (x) =−∞.
Nota
a. Desde que os símbolos +∞ e −∞ não são números reais, nenhum dos limites infini-
tos existem.
b. O termo o limite existe será usado somente quando o limite é um número real.
Teorema 3.10
Seja n ∈ N. Então:
lim
x→0+
1
xn
=+∞ e lim
x→0−
1
xn
=
{ −∞, se n é ímpar;
+∞, se n é par.
Exemplo 3.10
Alguns casos particulares do Teorema 3.10 são:
lim
x→0+
1
x5
=+∞, lim
x→0+
1
x4
=+∞, lim
x→0−
1
x3
=−∞, lim
x→0+
1
x6
=+∞.
O seguinte resultado apresenta algumas propriedades que nos permitem calcular limites infinitos.
Propriedades dos limites infinitos
Sejam a, M ∈ R, com M 6= 0, tal que:
lim
x→a f (x) = 0 e limx→ag(x) =M.
a. Se M > 0 e f (x) tende a 0, através de valores positivos, então,
lim
x→a
g(x)
f (x)
= +∞;
b. Se M > 0 e f (x) tende a 0, através de valores negativos, então,
lim
x→a
g(x)
f (x)
=−∞;
c. Se M < 0 e f (x) tende a 0, através de valores positivos, então,
lim
x→a
g(x)
f (x)
=−∞;
d. Se M < 0 e f (x) tende a 0, através de valores negativos, então,
lim
x→a
g(x)
f (x)
= +∞.
80 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
Exemplo 3.11
Seja a função f definida por:
f (x) =
4x3−1
2− x− x2 .
Calculemos lim
x→1−
f (x) e lim
x→1+
f (x).
Solução
Quando avaliamos f (x) para x= 1, observamos que f (1) =
3
0
. Das propriedades vistas acima,
podemos concluir que os dois limites desejados são infinitos. Porém, precisamos estabelecer o
sinal de cada um deles. Para determinar isto, fatoramos o denominador e analisamos se f (x) se
aproxima a 0 por valores positivos ou negativos. Assim:
• lim
x→1
(4x3−1) = 3> 0.
• lim
x→1
(2− x− x2) = lim
x→1
(1− x)(x+2), porém:
i. Se x→ 1− (muito próximo a 1), então x < 1: 1− x > 0 e x+ 2 > 0. Logo, lim
x→1−
(1−
x)(x+2) = 0+, ou seja, (1− x)(x+2)→ 0 por valores positivos.
ii. Se x→ 1+ (muito próximo a 1), então 1 < x: 1− x < 0 e x+ 2 > 0. Logo, lim
x→1+
(1−
x)(x+2) = 0−, ou seja, (1− x)(x+2)→ 0 por valores negativos. Portanto,
lim
x→1−
4x3−1
2− x− x2 =
3
0+
=+∞ e lim
x→1+
4x3−1
2− x− x2 =
3
0−
=−∞.
Exemplo 3.12
Calculemos os seguintes limites:
a. lim
x→2+
x+2
x2−4
Solução
lim
x→2+
x+2
x2−4 = limx→2+
���x+2
(x−2)����(x+2) = limx→2+
1
x−2 =+∞.
b. lim
x→4−
√
16− x2
x−4
Solução
lim
x→4−
√
16− x2
x−4 = limx→4−
16− x2
(x−4)√16− x2 = limx→4−
(4− x)(4+ x)
(x−4)√16− x2
= − lim
x→4−
4+ x√
16− x2 =−
8
0+
=−∞.
c. lim
x→4−
bxc−4
x−4
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Cálculo Diferencial e Integral
Solução
Desde que x→ 4−, temos x ∈ [3,4)⇒ bxc= 3, logo,
lim
x→4−
bxc−4
x−4 = limx→4−
3−4
x−4 = limx→4−
−1
x−4 =−
1
0−
=+∞.
3.9 Limites infinitos no infinito
Da mesma forma que os limites em números reais, os limites no infinito podem deixar de existir,
por exemplo, quando valores de f (x) crescerem ou descrescerem ilimitadamente quando x→+∞ ou
x→−∞. Para formalizar esse conceito, temos a seguinte definição.
Definição 3.7
Seja f uma função. Se Dom( f ) contém algum intervalo da forma (a,+∞), então:
i. lim
x→+∞ f (x) = +∞ ⇔ ∀K� 0, ∃M > 0 : x>M ⇒ f (x)> K;
ii. lim
x→+∞ f (x) =−∞ ⇔ ∀K� 0, ∃M > 0 : x>M ⇒ f (x)<−K;
iii. lim
x→−∞ f (x) = +∞ ⇔ ∀K� 0, ∃M > 0 : x<−M ⇒ f (x)> K;
iv. lim
x→−∞ f (x) =−∞ ⇔ ∀K� 0, ∃M > 0 : x<−M ⇒ f (x)<−K.
O item i dessa definição significa que para valores de x grandes suficiente (positivos), os valores
correspondentes a f (x) também serão grandes (positivos). Os itens ii, iii e iv são interpretados de
forma análoga.
Agora, apresentamos as seguintes propriedades de limites infinitos no infinito.
Teorema 3.11
Sejam f e g duas funções, onde f verfica:
lim
x→±∞ f (x) =±∞
i. Se lim
x→±∞g(x) =±∞, então,
lim
x→±∞( f (x)+g(x)) =±∞ e limx→±∞( f (x) ·g(x)) =±∞;
ii. Se lim
x→±∞g(x) =∓∞, então,
lim
x→±∞( f (x) ·g(x)) =∓∞.
iii. Se lim
x→±∞g(x) = L, então,
lim
x→±∞( f (x)+g(x)) =±∞;
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Cálculo Diferencial e Integral
iv. Se lim
x→±∞g(x) = L, L> 0, então,
lim
x→±∞( f (x) ·g(x)) =±∞ e limx→±∞
f (x)
g(x)
=±∞;
v. Se lim
x→±∞g(x) = L, L< 0, então,
lim
x→±∞( f (x) ·g(x)) =∓∞ e limx→±∞
f (x)
g(x)
=∓∞;
Nota
O Teorema 3.11 pode ser resumido da seguinte forma, dada uma constante k, temos que:
a. k+(+∞) = +∞ b. k+(−∞) =−∞
c. (+∞)+(+∞) = +∞ d. (−∞)+(−∞) =−∞
e. (+∞)(+∞) = +∞ f. (−∞)(−∞) = +∞
g. (+∞)(−∞) =−∞ h. k±∞ = 0
i. (+∞)n =+∞, n ∈ Z+ j. (−∞)n=
{
+∞, se n é par positivo;
−∞, se n é ímpar positivo;
k. k(+∞) =
{
+∞, se k > 0;
−∞, se k < 0; l. k(−∞) =
{ −∞, se k > 0;
+∞, se k < 0.
Nota
Sejam P(x) = a0xn+ a1xn−1 + · · ·+ an e Q(x) = b0xm+ b1xm−1 + · · ·+ bm dois polinômios
de grau n e m, respectivamente, então:
a. lim
x→±∞P(x) = limx→±∞(a0x
n+a1xn−1+ · · ·+an) = limx→±∞a0x
n;
b. lim
x→±∞
P(x)
Q(x)
= lim
x→±∞
a0xn+a1xn−1+ · · ·+an
b0xm+b1xm−1+ · · ·+bm =

∞ se n> m;
a0
b0
se n= m;
0 se n< m.
Exemplo 3.13
Calculemos os seguintes limites:
a. lim
x→+∞(−8x
12+5x7−5x3+2x−67)
Solução
lim
x→+∞(−8x
12+5x7−5x3+2x−67) = lim
x→+∞(−8x
12) =−∞.
b. lim
x→−∞
7x9−456x5−6700
1000x3−1
Solução
lim
x→−∞
7x9−456x5−6700
1000x3−1 = limx→−∞
7x9
1000x3
= lim
x→−∞
7x6
1000
=+∞.
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Cálculo Diferencial e Integral
c. lim
x→+∞
√
x2+9
x+4
Solução
O limite é da forma ∞/∞. Dividimos o numerador e o denominador por x =
√
x2, x > 0 ,
obtemos lim
x→+∞
√
x2+9
x+4
= lim
x→+∞
√
x2+9√
x2
x+4
x
= lim
x→+∞
√
1+
9
x2
1+
4
x
= 1.
d. lim
x→−∞
√
x2+9
x+4
Solução
Esse limite é da forma ∞/∞. Logo, precisamos dividir o numerador e o denominador por
x=−
√
x2, x< 0, obtendo
lim
x→−∞
√
x2+9
x+4
= lim
x→−∞
√
x2+9
−
√
x2
x+4
x
= lim
x→−∞
−
√
1+
9
x2
1+
4
x
=−1.
e. lim
x→−∞(
√
4x2−3x−2x)
Solução
Devido ao fato que lim
x→−∞
√
4x2−3x= lim
x→−∞4
√
x2 =+∞ e lim
x→−∞2x=−∞, temos que
lim
x→−∞(
√
4x2−3x−2x) = (+∞)− (−∞) = +∞.
f. lim
x→+∞(
√
4x2−3x−2x)
Solução
Esse limite é da forma ∞−∞, logo, precisamos racionalizá-lo.
lim
x→+∞(
√
4x2−3x−2x) = lim
x→+∞
−3x√
4x2−3x+2x = limx→+∞
−3√
4− 3
x
+2
=−3
4
.
3.10 Assíntotas
Definição 3.8
Diz-se que a reta L é uma assíntota do gráfico y = f (x) se a distância entre a reta L e o ponto
A que se movimenta ao longo do gráfico y= f (x), tende a zero quando A tende ao infinito. Em
outras palavras,
lim
A→∞
Dist(L,A) = 0.
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Cálculo Diferencial e Integral
Proposição 3.1
A reta x= a é uma assíntota vertical do gráfico y= f (x) se alguma das seguintes condições for
verificada:
i. lim
x→a f (x) =±∞;
ii. lim
x→a+
f (x) =±∞;
iii. lim
x→a−
f (x) =±∞.
Proposição 3.2
A reta y= c é uma assíntota horizontal do gráfico y= f (x) se uma das seguintes condições for
verificada:
i. lim
x→+∞ f (x) = c;
ii. lim
x→−∞ f (x) = c.
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Cálculo Diferencial e Integral
Proposição 3.3
A reta y=mx+b, m 6= 0 é uma assíntota oblíqua do gráfico y= f (x) se, e somente se, uma das
seguintes condições for verificada:
i. lim
x→+∞
f (x)
x
= m e lim
x→+∞( f (x)−mx) = b;
ii. lim
x→−∞
f (x)
x
= m e lim
x→−∞( f (x)−mx) = b.
Nota
a. Se ao calcular os valores de m e b (quando x→+∞) um dos limites não existe, a curva
não apresenta assíntotas oblíquas à direita. De forma análoga, se m ou b não existe,
quando x→−∞, então a curva não apresenta assíntotas oblíquas à esquerda.
b. Se m= 0 e b é finito, a assíntota é horizontal.
c. Se uma função f (x) é fracionária, as possíveis assíntotas verticais são obtidas nos
valores de x que anulam o denominador def (x). Se esses valores existem, devemos
comprovar se o seu limite é infinito.
Exemplo 3.14
Encontremos as assíntotas, da função f definida por:
a. f (x) =
x2+9
x−3
Solução
i. Assíntotas verticais: observamos que x= 3 é um zero do denominador, e
lim
x→3−
x2+9
x−3 =−∞ e limx→3+
x2+9
x−3 =+∞.
Logo, x= 3 é uma assíntota vertical.
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Cálculo Diferencial e Integral
ii. Assíntotas horizontais: encontremos c ∈ R tal que c= lim
x→±∞ f (x).
lim
x→±∞
x2+9
x−3 =±∞
Porém, +∞ e −∞ não são números reais, então não existem assíntotas horizontais.
iii. Assíntotas oblíquas: dada a reta y= mx+b encontremos m e b definidos na proposi-
ção acima, ou seja,
m= lim
x→±∞
f (x)
x
= lim
x→±∞
x2+9
x2−3x = 1
b= lim
x→±∞( f (x)−mx) = limx→±∞
x2+9
x−3 − x= limx→±∞
3x+9
x−3 = 3.
Logo, a assíntota oblíqua é a reta y= x+3.
b. f (x) =
x2+1
x−1 +
3
√
x
Solução
i. Assíntotas verticais: observamos que x= 1 é um zero do denominador, e
lim
x→1−
(
x2+1
x−1 +
3
√
x
)
=−∞. e lim
x→1+
(
x2+1
x−1 +
3
√
x
)
=+∞.
Então, x= 1 é uma assíntota vertical.
ii. Assíntota horizontal: encontremos c ∈ R tal que c= lim
x→±∞ f (x).
lim
x→±∞
(
x2+1
x−1 +
3
√
x
)
=±∞.
Portanto, f não tem assíntotas horizontais.
iii. Assíntotas oblíquas:
m= lim
x→±∞
f (x)
x
= lim
x→±∞
(
x2+1
x2− x +
3
√
x
x
)
= 1;
b= lim
x→±∞( f (x)−mx) = limx→±∞
(
x2+1
x−1 +
3
√
x− x
)
=±∞.
Logo, não existe assíntota oblíqua.
Exemplo 3.15
Encontremos as assíntotas e o gráfico da função f definida por:
a. f (x) =
2x2−5x−3
x−1
Solução
Fatorando os termos de f , temos que f (x) =
(2x−1)(x−3)
x−1 . Logo, Dom( f ) = R\{1}.
i. Interseção com os eixos:
1. Eixo y : x= 0 então f (0) = 3, assim, (0,3) é um ponto de interseção.
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Cálculo Diferencial e Integral
2. Eixo x : f (x) = 0, então x1 =−12 , x2 = 3, assim, (−12 ,0), (3,0) são os pontos de
interseção.
ii. Assíntotas verticais: x= 1 é um zero do denominador e
lim
x→1−
2x2−5x−3
x−1 =+∞ e limx→1+
2x2−5x−3
x−1 =−∞.
Portanto, a reta x= 1 é assíntota vertical e Dom( f ) = R\{1}.
iii. Assíntotas horizontais: não existem devido a que
lim
x→±∞
2x2−5x−3
x−1 =±∞.
iv. Assíntotas oblíquas:
m= lim
x→±∞
f (x)
x
= lim
x→±∞
2x2−5x−3
x(x−1) = 2.
Por outro lado,
f (x)−mx= 2x
2−5x−3
x−1 −2x=
2x2−5x−3−2x2−3
x−1 =
−3x−3
x−1 .
Assim,
b= lim
x→±∞( f (x)−mx) = limx→±∞
−3x−3
x−1 =−3.
Portanto, a reta y= 2x−3 é uma assíntota oblíqua do gráfico de y= f (x). O gráfico
é apresentado no item (a) da figura abaixo.
b. f (x) = 3
√
x3−3x2−9x+27
Solução
Fatorando os termos dentro da raiz, temos que f (x) = 3
√
(x−3)2(x+3). Logo, Dom( f ) =
R.
i. Interseções com os eixos:
1. Eixo y : x= 0 então f (0) = 3, assim (0,3) é um ponto de interseção.
2. Eixo x : f (x) = 0 então x1 = −3, x2 = 3, assim (−3,0), (3,0) são os pontos de
interseção.
ii. Assíntotas verticais: desde que f não possui denominador, então não existem assín-
totas verticais.
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Cálculo Diferencial e Integral
iii. Assíntotas horizontais: não existem, devido a que
lim
x→±∞
3
√
x3−3x2−9x+27 =±∞.
iv. Assíntotas oblíquas:
m= lim
x→±∞
f (x)
x
= lim
x→±∞
3
√
x3−3x2−9x+27
x
= 1;
b= lim
x→±∞( f (x)−mx) = limx→±∞
3
√
x3−3x2−9x+27− x=−1.
Portanto, a reta y = x− 1 é uma assíntota oblíqua do gráfico y = f (x). O gráfico é
apresentado no item (b) da figura acima.
3.11 Recapitulando
Neste capítulo, apresentamos o conceito de limite com o intuito de que o aluno entenda a importância
do assunto e, assim, dar continuidade ao nosso estudo. Porém, para definir o limite foi necessário
conhecer a definição de vizinhanças e bolas abertas, por tal motivo o capítulo foi iniciado com esses
conceitos.
Nas seções subsequentes, as principais propriedades e leis sobre limites foram apresentadas. Desde
que a obtenção de um limite não é sempre direta, isto é, avaliando a função no ponto em questão, a
definição de limites laterais foi introduzida.
Dando continuidade ao nosso estudo, também foram considerados os casos onde o ponto em questão
cresce ou decresce ilimitadamente, tal assunto é conhecido como limites ao infinito. O conceito de
limites infinitos foi apresentado para definir o fato em que o limite solicitado tende a +∞, ou −∞
quanto mais próximo se esteja do ponto em questão.
Desde que essa teoria analisa os pontos onde a função estudada tem um comportamento crítico, foi
necessário complementá-la com a introdução da definição das assíntotas verticais, horiozontais e/ou
oblíquas, já que esse conceito estabelece, caso elas existam, o comportamento da função próxima
delas.
Diversos exemplos foram apresentados ilustrando todos esses conceitos.
No próximo capítulo, apresentaremos as noções básicas de continuidade, uma teoria totalmente de-
pendente do domínio de limites. A continuidade é uma das ideias mais importantes e mais fascinantes
de toda a matemática, pois apesar da palavra contínua parecer intuitivamente clara, não é fácil ima-
ginar uma boa definição para tal ideia.
3.12 Atividades
1. Aplicando a definição de limite, demonstre os seguintes limites:
i. lim
x→2
(3x2− x−2) = 8. ii. lim
x→3
4
x−2 = 4. iii. limx→7
x+1
9x−60 =
8
3
.
iv. lim
x→1
x+1√
x
= 2. v. lim
x→−7
3x
x+8
=−21. vi. lim
x→1
|2− x|
3x−1 =
1
2
.
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Cálculo Diferencial e Integral
vii. lim
x→64
√
x−1
3
√
x+3
= 1. viii. lim
x→ 12
bxc
x+1
= 0. ix. lim
x→0
√
4x2+1 = 1.
x. lim
x→−1
4x2+1
3x+2
=−5. xi. lim
x→−3
√−4x−3
x+2
=−3. xii. lim
x→5
4x
x+3
= 10.
2. Calcule os seguintes limites:
i. lim
x→4
3x2−17x+20
4x2−25x+36. ii. limx→1
x5−1
x6−1.
iii. lim
x→1
2x2n+1−3x−2n
3x2n−5+2x−2n . iv. limx→2
3x−6
1−√4x−7.
v. lim
x→4
3−√5+ x
1−√5− x . vi. limx→64
√
x−8
3
√
x−4.
vii. lim
x→8
√
2+ 3
√
x−2
x−8 . viii. limx→5
2−√x−1
1− 3
√
3−√x−1
.
ix. lim
x→20
2 4
√
x−4−4
5
√
x+12−2. x. limx→2
x2+ 3
√
x−2−4
3
√
4− x√3x−2
.
xi. lim
x→1
|x3−1|
|x−1|+ |x−1|2 . xii. limx→3
2x3−5x2−2x−3
4x3−13x2+4x−3.
xiii. lim
x→2
2
3x−6 −
2
2x2−5x+2. xiv. limx→−3
x3+6x2+9x
x3+5x2+3x−9.
xv. lim
x→3
√
x2−2x+6−√x2+2x−6
x2−4x+3 . xvi. limx→−3
√−x+6−3
x2−√−x−2− 3√x2−1+2x .
xvii. lim
x→1
3
√
3x2+x+4+
√
x2+5x+10−6x2
3
√√
x+3+6+
√
x+8−5x2
. xviii. lim
x→1
3
√
(x2+1)2−2 3√2x2+2+ 3√4
(x−1)2 .
xix. lim
x→1
√
x3+3
√
x−3x−1
x+3 3
√
x−3 3
√
x2−1.
3. Se f (x) =
x2−mx+3x−3m
x−m , encontre os valores de m, de modo que limx→m f (x) = m
2−17.
4. Se lim
x→1
f (x)
1− x3 = 4 e limx→1
g(x)
1− x2 =−6, calcule limx→1
f (x)
g(x)
.
5. Se lim
x→−2
f (x+2)√−2x−2 = 8 e limx→−2
g(x+2)
x2−4 = 3, calcule limx→0
f (x)
g(x)
.
6. Se lim
x→1
k
√
x−1
x−1 = L 6= 0, encontre limx→0
√
x+1−1
k
√
x+1−1.
7. Calcule os limites indicados, se existirem:
i. lim
x→2
f (x), onde
f (x) =
 x
2−4
x−2 , se x 6= 2;
5, se x= 2.
ii. lim
x→0
f (x) e lim
x→1
f (x), onde f (x) =
x+ |1− x|
x2+1
.
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Cálculo Diferencial e Integral
iii. lim
x→2
f (x), onde
f (x) =
{
x2, se x≤ 2;
8−2x, se x> 2.
iv. lim
x→2
f (x), onde
f (x) =

6x− x2, se x< 2;
6, se x= 2;
2x2− x−3, se x> 2.
v. lim
x→1+
( 36√x−1− 9√x−1
3x2−3+ 36√x−1
)(
x3/2−1+√x−1√
x2−1
)
.
vi. lim
x→−1−
5 5
√
x+2−4 4√−1−2x+3√2+ x−2√−1−2x+5x+3
x2+ x
.
vii. lim
x→ 53
√|x|+ b3xc+4.
viii. lim
x→ 53
√
b9+ x2c.
ix. lim
x→1
x3− x2+3x−3
|x−1| .
x. lim
x→6
x2−
⌊x
3
⌋
b2xc+10.
xi. lim
x→−1+
√−9x+ 3√x−2
x+1
.
8. Calcule os seguintes limitesno infinito:
i. lim
x→+∞
4x3+2x2−5
x+2−8x3 . ii. limx→+∞
2x+3
x+ 3
√
x
.
iii. lim
x→+∞
√
4+ x+ x2− x
x2
. iv. lim
x→−∞
(√
x2−2x+4+ x
)
.
v. lim
x→+∞
(√
x2−5x+6− x
)
. vi. lim
x→+∞
(√
16x2+8x+6−√16x2−8x−6
)
.
vii. lim
n→+∞
1+2+3+ . . .+n
n2
. viii. lim
x→+∞
5
√
(5−√x)(√x+3)
243x−11 .
ix. lim
x→−∞
(√
x2+ x−√x2+5
)
. x. lim
x→+∞
(√
4x+
√
4x+
√
4x−2√x
)
.
xi. lim
x→−∞
(
3
√
x3− x2+1+ 3√x4− x3+1
)
. xii. lim
x→+∞
3
√
x3+6x2−16− x√
x2+2x+1−√x2− x .
9. Calcule os seguintes limites infinitos:
i. lim
x→2+
x+2
x2−4. ii. limx→4−
√
16− x2
x−4 .
iii. lim
x→−2−
3x2−7x+6
x2+ x−6 . iv. limx→2
(
1
x−2 −
3
x2−4
)
.
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Cálculo Diferencial e Integral
10. Calcule o limite indicado:
i. lim
x→1
[
1
1− x −
1
x2−2x−1
]
. ii. lim
x→−∞
(
x
√
x2+1− x2
)
.
iii. lim
x→2−
√
4− x2
x2+1
. iv. lim
x→+∞
[
x3+1
x2+1
+
√
x2+2−2x
]
.
v. lim
h→0
√
h2+2h+4+ 3
√
h3+3h2+3h−8+6h
h
√
h+1−h
11. Encontre as assíntotas do gráfico da função f , e trace o gráfico mostrando as assíntotas.
i. f (x) =
√
1+ x2+2x. ii. f (x) =
1− x2
x2−4.
iii. f (x) =
x−5
x2−7x+10. iv. f (x) =
√
x2+ x− x.
v. f (x) =
√
9x2−6x−8
16x2+4x−6. vi. f (x) =
4
√
x4− x3−9x2+9x.
vii. f (x) =
3x3+3x+1
x2+ x−6 +
√
x2+4. viii. f (x) =

x
√
2+ x
2− x , se |x|< 2;
2x2
x2+ x
, se |x| ≥ 2.
ix. f (x) =

x2√
1− x2 , se |x|< 1;
3x
2x+1
+3x, se |x| ≥ 1.
x. f (x) =

√
x2+ x− x, se |x| ≥ 9;
x2−81
x2−9x , se |x|< 9 e x 6= 0.
12. Calcule as constantes a e b, de modo que se verifique a condição:
i. lim
x→+∞
(
x2−3 3√x2+1+3
x−3 −ax−b
)
= 0 ;
ii. lim
x→−∞
(
x2+3 3
√
x2+1+5
x+3
−ax−b
)
= 0 ;
iii. lim
x→+∞
(
5x3− 4√x8+1− 3√x6+1+1
x2−4 −ax−b
)
= 0.
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Cálculo Diferencial e Integral
Capítulo 4
Continuidade
OBJETIVOS DO CAPÍTULO
Ao final deste capítulo você deverá ser capaz de:
• Interpretar geometricamente a definição de continuidade de uma função;
• Compreender o conceito de continuidade de uma função em um ponto;
• Determinar a partir do gráfico de uma função se esta é contínua ou não;
• Provar se una função é contínua ou não em um ponto dado, e no seu domínio todo.
4.1 Introdução
O conceito de continuidade em matemática é o que utilizamos no nosso cotidiano, isto é, continuidade
implica numa ligeira variação da função, sem saltos bruscos que desequilibrem o gráfico. Geometri-
camente, uma função f é contínua no seu domínio quando seu gráfico não tem quebras ou espaços
em nenhum ponto que pertença ao domínio. Isto é, seu gráfico pode ser traçado sem tirar o lápis do
papel.
Quando o cálculo começou a ser desenvolvido, a maioria das funções eram contínuas e, portanto, não
se sentia a necessidade de se aprofundar quanto ao significado exato de continuidade. Foi em meados
do século XVIII que se apresentaram algumas funções descontínuas em conexão com os problemas
da física, fato que obrigou os matemáticos no início do século XIX a examinar cuidadosamente o
significado dos conceitos de função e continuidade. Embora o significado de “continuidade” pareça
claro atualmente, não era fácil imaginar uma boa definição naquela época. Somente em 1821, foi
apresentada uma definição satisfatória de continuidade usando o conceito de limite. Esta abordagem
e suas principais propriedades serão expostas a seguir.
4.2 Noção intuitiva
Consideremos uma função f e um ponto c∈R. Intuitivamente, quando falamos de uma função contí-
nua podemos entender que o gráfico da função f pode ser descrito como uma curva contínua que não
apresenta quebras ou espaços. Para tornar essa ideia mais precisa, necessitamos compreender em que
casos poderiam acontecer essas quebras ou espaços. Na figura a seguir esses casos são apresentados.
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Cálculo Diferencial e Integral
• A função f não está definida em a. Veja o item (a);
• O limite de f (x) não existe quando x tende a a. Veja os itens (b) e (c);
• O valor da função e o valor do limite em a são diferentes. Veja o item (d).
(a) (b) (c) (d)
a
y
x
y = f(x)
Agora, apresentamos a definição formal desse conceito.
4.3 Definição formal
Definição 4.1
Sejam f : R→ R uma função, A ⊂ R e a ∈ A. Diz-se que f é contínua em a se as seguintes
condições são verificadas:
i. f (a) existe, ou seja, a ∈ Dom( f );
ii. lim
x→a f (x) existe;
iii. lim
x→a f (x) = f (a).
Diz-se que f é descontínua em a se alguma dessas condições não é verificada em a.
Além disso, diz-se que f é contínua em A se ela é contínua para todo a ∈ A.
Nota
a. Diz-se que f é contínua no ponto a ∈ Dom( f ) quando é possível tornar f (x) arbitrari-
amente próxima de f (a), desde que se tome x suficientemente próximo de a.
b. Ao contrário da definição de limite (veja o capítulo anterior), só faz sentido indagar se
f é contínua no ponto a quando a ∈ Dom( f ).
c. Ao investigar a continuidade de uma função f em um ponto ou em um conjunto, é
fundamental ter sempre em conta o domínio de f .
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Cálculo Diferencial e Integral
Exemplo 4.1
a. Seja a função
f (x) =
{
3x−4, se x 6= 3;
5, se x= 3.
Determinemos se f é contínua em 3.
Solução
i. Da definição de f temos que f (3) = 5. Logo, f (3) existe, isto é, 3 ∈ Dom( f );
ii. Lembremos que lim
x→3
f (x) existe se, e somente se, lim
x→3−
f (x) = lim
x→3+
f (x). Então, ana-
lisemos esses limites laterais:
lim
x→3−
f (x) = lim
x→3−
(3x−4) = 5 e lim
x→3+
f (x) = lim
x→3+
(3x−4) = 5.
Assim, lim
x→3
f (x) existe e é igual a 5.
iii. Logo, lim
x→3
f (x) = 5 = f (3).
Portanto, pela Definição 4.1, f é contínua em 3; veja o item (a) da seguinte figura.
y y
x x x
(a) (b) (c)
y = f(x)y = f(x) y = f(x)
43 3
5
8
3
4
2
b. Seja a função
f (x) =

2x2−32
x2−2x−8 , se −1< x< 10 e x 6= 4;
8
3
, se x= 4.
Determinemos se f é contínua em 4.
Solução
i. Da definição de f temos que f (4) =
8
3
. Então, f (4) existe;
ii. lim
x→4
f (x) = lim
x→4
2x2−32
x2−2x−8 = limx→4
2����(x−4)(x+4)
(x+2)����(x−4) = 2
(
lim
x→4
x+4
x+2
)
=
8
3
;
iii. Assim, lim
x→4
f (x) =
8
3
= f (4).
Portanto, pela Definição 4.1, f é contínua em 4; veja o item (b) da figura acima.
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c. Dada a função
f (x) =

x2−2, se −2< x≤ 1;
x+1, se 1< x≤ 3;
2
√
x−3+4, se 3< x.
Determinemos se f é contínua em 1 e 3.
Solução
• Analisemos a continuidade em 1:
i. Da definição de f , vemos que f (1) =−1. Assim, f (1) existe;
ii. Para afirmar que lim
x→1
f (x) existe, analisemos os limites laterais neste ponto:
lim
x→1−
f (x) = lim
x→1−
(x2−2) =−1 e lim
x→1+
f (x) = lim
x→1+
(x+1) = 2.
Embora esses limites laterais existam, eles não são iguais, logo, concluímos que
lim
x→1
f (x) não existe.
Portanto, f não é contínua em 1 ou, em outras palavras, f é descontínua em 1.
• Analisemos a continuidade em 3:
i. Da definição de f , vemos que f (3) = 4. Assim, f (3) existe;
ii. Para afirmar que lim
x→3
f (x) existe, analisemos os limites laterais:
lim
x→3−
f (x) = lim
x→3−
(x+1) = 4 e lim
x→3+
f (x) = lim
x→3+
(2
√
x−3+4) = 4.
Desde que ambos limites laterais existem e são iguais, concluímos que existe
lim
x→3
f (x) e é igual a 4.
iii. Dos resultados prévios, concluímos que lim
x→3
f (x) = 4 = f (3).
Portanto, pela Definição 4.1,a função f é contínua em 3; veja o item (c) da figura acima.
4.4 Tipos de descontinuidade
No caso de uma função não ser contínua em um determinado ponto, podemos classificar esta situação
como:
Descontinuidade evitável ou removível
Diz-se que a função f : R→ R tem descontinuidade evitável ou removível em a se:
i. o número lim
x→a f (x) existe;
ii. a 6∈ Dom( f ). Veja o item (a) da figura a seguir;
iii. a ∈ Dom( f ), porém lim
x→a f (x) 6= f (a). Veja o item (b) da figura a seguir.
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(b)
x
y
a
 y = f(x)
Logo, podemos evitar ou remover a descontinuidade de f definindo a nova função:
F(x) =
{
f (x), se x 6= a;
lim
x→a f (x), se x= a.
Notemos que essa função está definida em x= a e lim
x→aF(x) = F(a). Portanto, ela é uma função
contínua. F é chamada de extensão contínua de f em a.
Descontinuidade não evitável ou irremovível
Descontinuidade de primeira espécie
Diz-se que a função f :R→R tem descontinuidade de primeira espécie em a se os limites
laterais
lim
x→a−
f (x) e lim
x→a+
f (x)
existem, ou seja, são finitos, porém, diferentes; veja o item (a) da figura a seguir.
(b)
x
y
a
 y = f(x)
(a)
x
y
a
 y = f(x)
Descontinuidade de segunda espécie
Diz-se que a função f :R→R tem descontinuidade de segunda espécie em a, se lim
x→a f (x)
não existe, ou seja, se algum dos limites laterais é ±∞; veja o item (b) da figura acima.
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Exemplo 4.2
Determinemos os valores de x para os quais a função f é descontínua, e verifiquemos se nesses pontos
a descontinuidade é removível ou não.
a. f (x) =
x4−81
x2−9
Solução
Da definição de f , observamos que ela pode ser reescrita como x2+9, isto é,
f (x) =
x4−81
x2−9 =
(x2+9)����(x+3)����(x−3)
���
�(x+3)����(x−3) = x
2+9, com x 6=±3,
Porém, quando x→−3 e x→ 3 temos que:
lim
x→−3
f (x) = lim
x→−3
(
x2+9
)
= 18 e lim
x→3
f (x) lim
x→3
(
x2+9
)
= 18.
Logo, x = −3 e x = 3 são pontos de descontinuidade evitáveis da função f . Portanto,
podemos definir uma função contínua em todo ponto a partir da função f :
F(x) =
{
x2+9, se x 6=±3;
18, se x=±3.
b. f (x) =
x3−2x2−11x+12
x2−5x+4
Solução
Novamente, da definição de f , notamos que ela pode ser reescrita como x+3, ou seja,
f (x) =
x3−2x2−11x+12
x2−5x+4 =
���
�(x−4)����(x−1)(x+3)
���
�(x−4)����(x−1) = x+3, com x 6= 1, x 6= 4,
Porém, quando x→ 1 e x→ 4 temos que:
lim
x→1
f (x) = lim
x→1
(x+3) = 4 e lim
x→4
f (x) = lim
x→4
(x+3) = 7.
Então, x= 1 e x= 4 são pontos de descontinuidade evitável de f . Logo, podemos definir
uma função contínua em todo ponto a partir da função f :
F(x) =

x+3, se x 6= 1, x 6= 4;
4, se x= 1;
7, se x= 4.
c. f (x) =

2x+3, se x≤ 1;
8−3x, se 1< x< 3;
x+3, se x≥ 3.
Solução
Desde que, f é uma função definida por partes, e todas essas partes são funções lineares,
os únicos possíveis pontos de descontinuidade são os pontos x = 1 e x = 3. Analisemos
se f realmente é descontínua em algum destes pontos, e o tipo de descontinuidade:
• Para x= 1:
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i. f (1) = 5;
ii. lim
x→1
f (x) = 5. De fato:
lim
x→1−
f (x) = lim
x→1−
2x+3 = 5 e lim
x→1+
f (x) = lim
x→1+
(8−3x) = 5.
iii. lim
x→1
f (x) = 5 = f (1).
• Para x= 3:
i. f (3) = 6;
ii. lim
x→3
f (x) não existe. De fato, analisando os limites laterais:
lim
x→3−
f (x) = lim
x→3−
(8−3x) =−1 e lim
x→3+
f (x) = lim
x→3+
(x+3) = 6.
notamos que, embora eles existam, são diferentes.
Portanto, a função f é contínua em x = 1 e tem descontinuidade de primeira espécie no
ponto x= 3.
d. f (x) =

x3−27sgn(x−1)
x3+3x2+3x−9
⌊x
9
⌋ , se −5< x< 0 e x 6=−3;
x2−9
x2−2x−3 , se 0≤ x< 5 e x 6= 3;
9
4
, se x=−3;
3
2
, se x= 3.
Solução
Examinando a função f (x) para −5< x< 0 temos que:
⌊x
9
⌋
=−1 e sgn(x−1) =

1, se x> 1;
0, se x= 1;
−1, se x< 1.
Assim, ela pode ser reescrita como:
f (x) =

x3+27
x3+3x2+3x+9
, se −5< x< 0 e x 6=−3;
x2−9
x2−2x−3 , se 0≤ x< 5 e x 6= 3;
9
4
, se x=−3;
3
2
, se x= 3.
Porém,
x3+27
x3+3x2+3x+9
=
(x+3)(x2+3x+9)
(x+3)(x2+3)
=
x2+3x+9
x2+3
, com x 6=−3,
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x2−9
x2−2x−3 =
(x−3)(x+3)
(x−3)(x+1) =
x+3
x+1
, com x 6= 3.
Então,
f (x) =

x2+3x+9
x2+3
, se −5< x< 0 e x 6=−3;
x+3
x+1
, se 0≤ x< 5 e x 6= 3;
9
4
, se x=−3;
3
2
, se x= 3.
Agora, analisemos a continuidade de f em x=−3, x= 0 e x= 3.
• Para x=−3:
i. f (−3) = 9
4
;
ii. lim
x→−3
f (x) existe. De fato,
lim
x→−3
f (x) =
x3+27
x3+3x2+3x+9
=
9
4
;
iii. lim
x→−3
f (x) =
9
4
= f (−3).
• Para x= 0:
i. f (0) = 3;
ii. lim
x→0
f (x) existe. De fato,
lim
x→0+
f (x) = lim
x→0+
x2−9
x2−2x−3 = 3 e limx→0− f (x) = limx→0−
x3+27
x3+3x2+3x+9
= 3;
iii. lim
x→0
f (x) = 3 = f (0).
• Para x= 3:
i. f (3) =
3
2
;
ii. lim
x→3
f (x) existe. De fato,
lim
x→3
f (x) =
x2−9
x2−2x−3 =
3
2
;
iii. lim
x→3
f (x) =
3
2
= f (3).
Portanto, f é contínua em cada x ∈ (−5,5).
Embora a Definição 4.1 seja de fácil entendimento, devemos ressaltar que para as demostrações de
resultados teóricos, precisamos usar a definição de continuidade em relação de ε e δ , isto é:
Definição 4.2
Seja f :R→R uma função e um conjunto A⊂Dom( f ). Diz-se que f é contínua em a ∈ A se:
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∀ε > 0, ∃δ > 0 : x ∈ A e |x−a|< δ ⇒ | f (x)− f (a)|< ε.
Além disso, a função f é contínua em A, quando f é contínua para todo a ∈ A.
Exemplo 4.3
a. Dada a função f : R→ R definida por f (x) = k, onde k é uma constante. Provemos que f é
contínua em R.
Solução
Consideremos a ∈ R arbitrário e ε > 0. Para qualquer δ > 0 e x ∈ R se tem:
|x−a|< δ ⇒ | f (x)− f (a)|= |k− k|= 0< ε.
Logo, f é contínua no ponto a (veja a Definição 4.2). Como a foi escolhido arbitraria-
mente, f é contínua em R.
b. Dada a função f : R→ R definida por f (x) = x2. Provemos que f é contínua em R.
Solução
Consideremos a ∈ R arbitrário e ε > 0. Precisamos resolver a desigualdade
| f (x)− f (a)|= |x2−a2|= |x−a||x+a| ≤ |x−a|(|x|+ |a|)< ε.
Considerando δ1 = 1, obtemos que |x−a|< δ1 = 1 implica que |x|< |a|+1. Substituindo
na desigualdade acima obtemos
| f (x)− f (a)| ≤ |x−a|(|x|+ |a|)≤ |x−a|(2|a|+1)< ε
assim obtemos que |x−a|< ε
2|a|+1 = δ2. Logo
dadoε > 0, existe δ = min
{
1,
ε
2|a|+1
}
> 0 tal que |x−a|< δ ⇒ | f (x)− f (a)|= ε.
Logo, f é contínua em R (veja a Definição 4.2).
4.5 Propriedades de funções continuas
O cálculo da continuidade pode ser simplificado com frequência usando o seguinte teorema, pois este
nos proporciona as regras básicas das operações aritméticas envolvendo funções contínuas.
Teorema 4.1
Sejam f e g duas funções reais contínuas no ponto a. Então
i. k · f é contínua em a, onde k é uma constante;
ii. f ±g é contínua em a;
iii. f ·g é contínua em a;
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iv.
f
g
é contínua em a, sempre que g(a) 6= 0;
v.
1
g
é contínua em a, sempre que g(a) 6= 0;
vi. | f | é contínua em a.
Nota
Do Teorema 4.1, obtemos:
a. Toda função polinomial f (x) = a0xn+a1xn−1+ · · ·+an, a0 6= 0 é contínua em R.
b. Toda função racional g(x) =
a0xn+a1xn−1+ · · ·+an
b0xm+b1xm−1+ · · ·+bm é contínua em Dom(g).
c. As afirmações recíprocas do Teorema 4.1 não necessariamente são verdadeiras. Por
exemplo, pode acontecer de f + g ser contínua em a, sem que as funções f e g o
sejam. De fato, se considerarmos as funções f ,g,h : R→ R definidas por:
f (x) =
{0, se x≤ 0;
1, se x> 0; g(x) =
{
1, se x≤ 0;
0, se x> 0; h(x) =
{ −1, se x≤ 0;
1, se x> 0;
não é difícil provar que são descontínuas em x= 0. Porém as funções
f (x)+g(x) = 1, f (x) ·g(x) = 0 |h(x)|= 1, ∀x ∈ R
são funções contínuas em R.
Os próximos resultados nos dizem que a propriedade da continuidade é conservada na composição de
funções contínuas.
Teorema 4.2
Sejam as funções reais f : A→ B⊆R e g : B→R. Se f é contínua em a ∈ A e g é contínua em
b= f (a) ∈ B, então g◦ f é contínua em a.
Teorema 4.3
Sejam as funções reais f : A→ B⊆ R e g : B→ R, com
i. Im( f )⊂ B;
ii. lim
x→a f (x) = b;
iii. g é contínua em b.
Então lim
x→ag( f (x)) = g
(
lim
x→a f (x)
)
= g(b).
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Exemplo 4.4
a. Calculemos lim
x→3
√
5x2+4
Solução
Considerando g(x) =
√
x e f (x) = 5x2 + 4, temos que g( f (x)) =
√
5x2+4. Como
lim
x→3
f (x) = 49 e g é contínua no ponto x= 49, pelo Teorema 4.3 temos que:
lim
x→3
√
5x2+4 = lim
x→3
g( f (x)) = g
(
lim
x→3
f (x)
)
= g(49) =
√
49 = 7.
b. Demonstremos que para todo n ∈ N, lim
x→±∞
1
xn
= 0.
Solução
Considerando f (x) =
1
x
e g(x) = xn, verificamos que lim
x→±∞ f (x) = 0. Além disso, g é uma
função contínua para todo n ∈ N e (g◦ f )(x) = g( f (x)) = 1
xn
, então, pelo Teorema 4.3,
temos que:
lim
x→±∞
1
xn
= lim
x→±∞g( f (x)) = g
(
lim
x→±∞ f (x)
)
= g(0) = 0.
4.6 Continuidade de funções em intervalos
Ao consideramos o conjunto A sendo um intervalo aberto, obtemos a seguinte equivalência das Defi-
nições 4.1 e 4.2:
Definição 4.3
Seja a função f : (a,b)→ R. Diz-se que f é contínua em (a,b) se f é contínua em todo
x ∈ (a,b).
Desde que na Definição 4.1 se exige a existência dos limites laterais no ponto em questão, esta não
pode ser provada nos pontos extremos de um intervalo semiaberto ou fechado. Para contornar tal
situação, precisamos dos conceitos de continuidade nos pontos da fronteira.
Definição 4.4
i. A função f é contínua pela direita em a se lim
x→a+
f (x) = f (a);
ii. A função f é contínua pela esquerda em a se lim
x→a−
f (x) = f (a).
Definição 4.5
Seja a função f : (a,b]→ R. Diz-se que f é contínua em (a,b] se:
i. f é contínua em (a,b);
ii. f é contínua pela esquerda em b.
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Definição 4.6
Seja a função f : [a,b)→ R. Diz-se que f é contínua em [a,b) se:
i. f é contínua em (a,b);
ii. f é contínua pela direita em a.
Definição 4.7
Seja a função f : [a,b]→ R. Diz-se que f é contínua em [a,b] se:
i. f é contínua em (a,b);
ii. f é contínua pela direita em a;
iii. f é contínua pela esquerda em b.
Exemplo 4.5
a. Seja f (x) = bxc, x ∈ R. Demonstremos que f é contínua pela direita em todo n ∈ Z e que não
existe lim
x→n f (x).
Solução
Fixando um n ∈ Z, temos que provar que:
lim
x→n+
f (x) = f (n) e lim
x→n+
f (x) 6= lim
x→n−
f (x) =
Da definição de f (x) = bxc, temos que, para todo x ∈ [n,n+1):
bxc= n e lim
x→n+
f (x) = lim
x→n+
bxc= lim
x→n+
n= n.
Além disso, f (n) = n, o que implica que f (x) = bxc é contínua pela direita em n. Por
outro lado, para x ∈ [n−1,n) temos que
bxc= n−1 e lim
x→n−
f (x) = lim
x→n−
bxc= lim
x→n−
(n−1) = n−1.
Notamos que, embora esses limites laterais existam no ponto n, eles são diferentes. Por-
tanto, lim
x→n f (x) não existe.
b. Seja f (x) =
√
9− x2
x2−4, determinemos os intervalos onde f é contínua.
Solução
Da definição de f temos que Dom( f ) = [−3,−2) ∪ (2,3], logo, f é contínua em
(−3,−2)∪ (2,3). Agora, analisemos a continuidade nos pontos x=−3 e x= 3. Como
lim
x→−3+
f (x) = 0 = f (−3) e lim
x→3−
f (x) = 0 = f (3),
podemos concluir que f é contínua em Dom( f ).
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c. Seja
f (x) =

√
9− x2
x2−4 , se 2< |x| ≤ 3;
sgn(x2−16)√
|x|−
⌊x
2
⌋ , se |x| ≤ 2 e x 6= 0;
4
√
x2−9
|2− x| , se |x|> 3;
determinemos os intervalos onde f é contínua.
Solução
Da definição de f podemos reescrevê-la como:
f (x) =

4
√
x2−9
2− x , se x ∈ (−∞,−3);√
9− x2
x2−4 , se x ∈ [−3,−2)∪ (2,3];
− 1√
1− x , se x ∈ [−2,0);
− 1√
x
, se x ∈ (0,2);
−1, se x= 2;
4
√
x2−9
x−2 , se x ∈ (3,+∞).
Daqui, temos que Dom( f ) = (−∞,−3)∪ [−3,−2)∪ [−2,0)∪ (0,2)∪{2}∪ (2,3]∪ (3,+∞) =
R \ {0} e como f é definida por partes, devemos analisar a continuidade nos pontos x =
−3, x = −2, x = 2 e x = 3. Nos outros pontos do domínio, ou seja, nos intervalos
(−∞,−3),(−3,−2),(−2,0),(0,2),(2,3) e (3,+∞), a função f é contínua.
i. Para x=−3, temos que:
f (−3) = 0, lim
x→−3+
f (x) = lim
x→−3+
√
9− x2
x2−4 = 0 e limx→−3− f (x) = limx→−3−
4
√
x2−9
2− x = 0.
Assim, f é contínua em x=−3. Portanto, f é contínua em (−∞,−2).
ii. Para x=−2, temos que:
105 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
f (−2) =− 1√
3
, lim
x→−2+
f (x) = lim
x→−2+
− 1√
1− x =−
1√
3
e
lim
x→−2−
f (x) = lim
x→−2−
√
9− x2
x2−4 =+∞.
Assim, concluímos que f não é contínua em x=−2 pela esquerda, porém é contínua em
x=−2 pela direita, portanto é contínua em [−2,0).
iii. Para x= 2, temos que:
f (2) =−1, lim
x→2+
f (x) = lim
x→2+
√
9− x2
x2−4 =+∞ e limx→2− f (x) = limx→2−−
1√
x
=− 1√
2
.
Assim, concluímos que f não é contínua no ponto x = 2 nem pela direita, nem pela es-
querda.
iv. Para x= 3, temos que:
f (3) = 0, lim
x→3−
f (x) = lim
x→3−
√
9− x2
x2−4 = 0 e limx→3+ f (x) = limx→3+
4
√
x2−9
2− x = 0.
Assim, concluímos que f é contínua no ponto x= 3. Portanto, f é contínua em (2,+∞).
Portanto, f é contínua nos intervalos: (−∞,−2), [−2,0), (0,2) e (2,+∞).
4.7 Teorema de valor intermediário
As funções contínuas em intervalos possuem propriedades que as tornam particularmente úteis na
matemática e em suas aplicações. A principal propriedade é conhecida como Teorema de Bolzano
ou do Valor Intermediário.
Teorema 4.4 (Teorema de Bolzano ou do Valor Intermediário)
Sejam f : R→ R uma função contínua no intervalo fechado [a,b] com a < b e w um valor
qualquer estritamente compreendido entre f (a) e f (b). Então existe, no mínimo, um c ∈ (a,b)
tal qual f (c) = w.
A interpretação geométrica pode ser vista na figura a seguir. O Teorema 4.4 diz que qualquer reta
horizontal y = w que intersecta o eixo y entre os valores f (a) e f (b), intersectará a curva y = f (x)
pelo menos uma vez no intervalo [a,b]. Em outras palavras, uma função contínua em um intervalo
não passa de um valor a outro sem assumir todos os valores intermédios.
y
x
bca
f(b)
w
f(a)
y = f(x)
x
a
b
0
f(b) < 0
f(a) > 0
y = f(x)
y
(a)
0
f(a) < 0
f(b) > 0
x
a
b
y = f(x)
y
(b) (c)
c
c
106 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
Corolário 4.1
Sejam f :R→R uma função contínua no intervalo fechado [a,b]. Se f não se anula em nenhum
ponto de [a,b], então, f (x) tem o mesmo sinal em todo x ∈ [a,b].
O item (a) da figura acima ilustra o Corolário 4.1. Nessa figura, podemos observar que f (x)> 0 em
todo x ∈ [a,b]. Porém, no item (b) podemos ver que f (x) > 0 em todo x ∈ [a,c) e f (x) < 0 em todo
x ∈ (c,b], e no item (c) temos que f (x) < 0 em todo x ∈ [a,c) e f (x) > 0 em todo x ∈ (c,b], isto é,
devido a f (c) = 0, ou seja, existe um ponto em [a,b] no qual f se anula.
Corolário 4.2
Seja f : R→ R uma função contínua no intervalo fechado [a,b]. Se f (a) e f (b) são diferentes
de zero com sinais opostos, então existe, no mínimo, uma solução para f (x) = 0 no intervalo
(a,b).
Os itens (b) e (c) da figura acima mostram a interpretação geométrica do Corolário 4.2 nos casos em
que f (a)> 0 e f (b)< 0, e f (a)< 0 e f (b)> 0, respectivamente.
Em algumasproblemas é importante saber se em um intervalo existe o máximo ou o mínimo de uma
função. O próximo resultado nos garante tal fato.
Teorema 4.5 (Teorema de Weierstrass)
Se f é uma função contínua em um intervalo fechado e limitado [a,b], então f atinge tanto um
valor máximo M quanto um valor mínimo m neste intervalo. Isto é, existem x1, x2 ∈ [a,b] tais
que:
f (x1) = m, f (x2) =M e m≤ f (x)≤M para qualquer x ∈ [a,b].
Nota
Em qualquer um destes resultados, as condições são apenas condições suficientes, não são
condições necessárias.
4.8 Funções inversas e continuidade
Desde que o gráfico de qualquer função inversa f−1 é o reflo do gráfico de f ao longo da reta y= x, e
o gráfico de f , quando ela é uma função contínua, não pode ter interrupções, então f−1 deve também
ser uma função contínua. O seguinte teorema estabelece formalmente esse resultado.
Teorema 4.6 (Teorema da continuidade da função inversa)
Seja f : R → R uma função contínua e injetora em Dom( f ). Então f−1 é contínua em
Dom( f−1); em outras palavras, f−1 é contínua em cada ponto de Im( f ).
Na figura seguinte podemos ver uma ilustração do Teorema 4.6.
107 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
y
x
y = f(x)
y = f -1(x)
Corolário 4.3
Seja f :R→R uma função contínua e estritamente crescente ou decrescente no intervalo [a,b].
Então:
i. f é invertível em [a,b];
ii. f−1 é estritamente crescente, ou descrescente, em [a,b];
iii. f−1 é contínua em [a,b].
Nota
f estritamente crescente ou decrescente implica que f é injetora em [a,b].
4.9 Recapitulando
Neste capítulo, apresentamos o conceito de continuidade em etapas, partindo de uma noção informal
e intuitiva para uma definição matemática precisa. Percebemos que o conceito de limite é fundamental
para o bom entendimento e desenvolvimento desta teoria. O conceito de descontinuidade e os tipos
de descontinuidade de uma função foram apresentados, pois é necessário saber reconhecer, dada
uma função, se esta é contínua ou descontínua. Também aprendemos como evitar, ou remover, uma
descontinuidade, caso seja possível.
A definição de continuidade em intervalos foi apresentanda, isto é, envolvendo intervalos da forma:
(a,b), [a,b], [a,b) e (a,b]. Diversos teoremas foram vistos para nos ajudar a mostrar se uma função
é ou não contínua. E concluímos o capítulo mostrando como a continuidade de uma função está
relacionada com a sua inversa. Exemplos foram desenvolvidos tentando ilustrar todos esses itens.
Desde que já estudamos limites e continuidade, podemos no proxímo capítulo avançar para as noções
básicas sobre derivada, conceito muito utilizado para resolver uma ampla gama de problemas, tais
como determinação de retas tangentes e valores extremos de uma função dada, entre outras aplicações.
4.10 Atividades
1. Demostre, usando ε e δ , que as seguintes funções são contínuas em a:
108 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
i. f (x) =−8x+7, a= 1. ii. f (x) = x3, a=−1.
2. Determine se a função é contínua ou descontínua em a. Caso seja descontínua, indique o tipo
de descontinuidade:
i. f (x) =
{
5x−3, se x 6= 1;
1, se x= 1; ii. f (x) =
{
x2, se x≥−1;
1−|x|, se x<−1;
a= 1. a=−1.
iii. f (x) =

x+2, se −2≤ x≤−1;
1, se −1< x< 1;
2− x, se 1≤ x≤ 2;
iv. f (x) =

−1, se −3< x≤ 0;
x−1, se 0< x< 2;
5− x2, se 2≤ x≤ 2√3;
a=−1, a= 1. a= 0, a= 2.
3. Encontre, se possível, um número L∈R para que a função f seja contínua no ponto a. Justitique
sua resposta.
i. f (x) =
 x
2−3x−4
x−4 , se x 6= 4;
L, se x= 4;
ii. f (x) =
 1− x
2, se |x|< 1;
|x|−1, se |x|> 1;
L, se |x|= 1;
a= 4. a=±1.
iii. f (x) =

|x|−2, se |x|< 2;
4− x2, se |x|> 2;
L, se |x|= 2;
iv. f (x) =
 |x
2−2x−3|
x−3 , se x 6= 3;
L, se x= 3;
a=±2. a= 3.
v. f (x) =
{
4− x2, se |x|< 2;
L, se x≥ 2;
a=±2.
4. Sejam as funções f e g. Determine se as funções f , g, f +g, f −g, f ·g e f
g
são contínuas no
ponto x= 0:
i. f (x) =

1
x
(
1√
x+1
−1
)
, se x 6= 0;
−1
2
, se x= 0;
g(x) =

√
2+ x−√2
2x
, se x 6= 0;
1
4
√
2
, se x= 0.
ii. f (x) =

4
√
x4+1−√x2+1
x
, se x 6= 0;
−1
2
, se x= 0;
g(x) =
 x
√
1−4x−2, se x 6= 0;
2, se x= 0.
5. Determine os pontos de descontinuidade das seguintes funções:
109 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
i. f (x) =

x3−1
x−1 , se x 6= 1;
8, se x= 1.
ii. f (x) =

−|x|+ x
2
, se x< 0;
2, se x= 0.
iii. f (x) =
2x−|x|
3x+ |x| . iv. f (x) =

3x2−7x+2
x−2 , se x 6= 0;
3, se x= 0.
v. f (x) =
 x
2−9, se x≤ 3;
x, se x> 2.
vi. f (x) =

8− x
3
√
x−2 , se x< 8;
3−2x, se x≥ 8.
vii. f (x) =

√
4− x
4+ x
, se |x|< 4;
2
x2−16 , se |x|> 4.
viii. f (x) =
 x
√
1+4x−2, se x< 0;
2x−1, se x≥ 0.
ix. f (x) =

|x|
|x−1| , se x>−1, x 6= 1;
sgn(|x2−1|−1), se x<−1.
x. f (x) =

sgn(x2−3x−10), se x≤−3;
|x2−9|, se −3< x≤ 2;
−x2+4x+3, se 2< x< 5;
− 2
(x−4)2 , se x> 5.
6. Determine a continuidade nos intervalos que se indicam:
i. f (x) =

|16− x4|
4− x2 , se x 6=±2;
−8, se x=−2;
8, se x= 2;
em (−∞,−2), (−∞,−2], (−2,2], [−2,2], [−2,2), [2,+∞) e (2,+∞).
ii. f (x) =

|x3+ x2− x−1|
x2−3x+2 , se x 6= 1, 2;
−4, se x= 1;
4, se x= 2;
110 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
em (−∞,1), (−∞,1], (1,2), [1,2], [2,+∞) e (2,+∞).
iii. f (x) = (x−1)bxc em [0,2].
7. Indique se a função é ou não contínua no intervalo onde tem sido definida.
i. f (x) =
x+2
x2−3x−10, 2< x< 4.
ii. f (x) =

x+4
x2−16 , se −5< x< 5, x 6=±4;
−1
8
, se x=−4;
2, se x= 4;
.
iii. f (x) =

(x−1)|x+2|
|x2−1| , se 0< x< 4, x 6= 1;
1
2
, se x= 1.
.
8. Determine os valores de a e b de forma que a função dada seja contínua no seu domínio.
i. f (x) =

x+2a, se x<−2;
3ax+b, se −2≤ x≤ 1;
6x−2b, se x> 1.
ii. f (x) =

3− 3√3x+3
a( 3
√
x−2) , se x< 8;
ab, se x= 8;
2
|2x−7|b , se x> 8.
9. Determine os intervalos onde a função f é contínua.
i. f (x) =
√
x2−16
x−6 . ii. f (x) =
3
√
4−√x−2.
iii. f (x) = 1− x+ bxc−b1− xc. iv. f (x) = |4x−3|−1b3−4xc .
v. f (x) =

x3+3x+3, se x≤−1;
|x−2|, se −1< x≤ 4;
8x− x2−15, se x> 4.
10. Analise a continuidade da função h
i. h= f ·g−1 onde
f (x) =

√
16x2−17x+1, se x≥ 2;
√
x2−3x+2, se x≤ 1;
g(x) =
x2−1
x2−16 , x≥ 0, x 6= 4.
111 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
ii. h= f ◦g e g◦ f onde
f (x) = sgn(x); g(x) = x− x3.
iii. h= f ◦g onde
f (x) =
x+ |x|
2
; g(x) =

x, se x< 0;
x2, se x≥ 0.
iv. h= g−1 ◦ f−1 onde
f (x) =

2x+1, se x≥ 1;
x2−2, se x≤ 0;
g(x) =

3x+1, se x≤ 8;
2x3, se x> 10.
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Cálculo Diferencial e Integral
Capítulo 5
A Derivada
OBJETIVOS DO CAPÍTULO
Ao final deste capítulo você deverá ser capaz de:
• Calcular a derivada de uma função como limite do quociente de incremento quando o
incremento na variável independente tende a zero;
• Interpretar geometricamente o conceito da derivada;
• Determinar a equação da reta tangente e normal em um ponto dado de uma curva;
• Aplicar os teoremas, para encontrar as derivadas de funções polinomiais e radicais;
• Calcular a derivada da composição de funções e a da inversa de uma função;
• Deduzir as fórmulas para encontrar as derivadas trigonométricas, logarítmicas, expo-
nenciais e trigonométricas inversas;• Derivar uma função dada implicitamente.
5.1 Introdução
A derivada de uma função é mais um dos conceitos básicos do Cálculo Diferencial e Integral. A ideia
da derivada originou-se de um problema geométrico: encontrar a reta tangente em um ponto de uma
curva. Porém, o conceito da derivada foi formulado apenas no século XVII, quando o matemático
Fermat estudou como determinar os máximos e mínimos de determinadas funções.
x1 x2
A ideia de Fermat foi muito simples e pode ser entendida com o auxílio da figura acima. Dada uma
curva, suponha que em cada um de seus pontos há uma direção definida que pode ser dada pela
113 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
tangente. Cada uma dessas tangentes é indicada na figura por um segmento de reta tracejada. Fermat
observou que nos pontos onde a curva alcança um ponto máximo ou mínimo, x1 e x2 na figura, a reta
tangente é horizontal. Portanto, o problema para encontrar esses valores extremos se reduz a localizar
tangentes horizontais.
Isso nos conduz à questão mais geral da determinação da direção da reta tangente e normal em um
ponto arbitrário da curva. A tentativa de resolver este problema foi o que levou Fermat a descobrir
algumas das ideias primárias referentes à derivada.
Naquela época, não se tinha uma conexão entre o problema de encontrar a área de uma região limitada
por uma curva e o problema de encontrar a tangente em um ponto de uma curva. O primeiro a unir
essas ideias foi Newton. No entanto, Newton e Leibniz, de forma independente, foram os primeiros
que compreenderam a verdadeira importância dessa relação e a exploraram para desenvolver as ideias
básicas do Cálculo Diferencial e Integral até conseguir que problemas, até então sem solução, fossem
resolvidos facilmente utilizando os novos métodos e, assim, inauguraram uma etapa sem precedente
no desenvolvimento da matemática.
Neste capítulo, apresentamos o conceito de derivada, a relação que existe entre ela e as retas tangente
e normal, as principais regras de derivação, derivadas de funções elementares e derivação implícita.
5.2 Definição formal
Na seguinte definição apresentamos o conceito mais importante deste capítulo:
Definição 5.1
Sejam f : R→ R uma função e um ponto a ∈ Dom( f ). Diz-se que:
i. f é derivável (ou diferenciável) em a se o limite
f ′(a) := lim
h→0
f (a+h)− f (a)
h
existe;
ii. f ′(a) é a derivada de f em a;
iii. f é derivável (ou diferenciável) em A, se A ⊆ Dom( f ) e f é derivável em a para todo
a ∈ A.
Nota
a. Ao fazer a mudança de variável x= h+a na Definição 5.1, obtemos que h→ 0 implica
x→ a, o qual resulta na forma equivalente de f ′(a):
f ′(a) = lim
x→a
f (x)− f (a)
x−a ;
b. A notação f ′(a) deve-se ao matemático Lagrange, mas também são usadas as se-
guintes notações: Dx f (a),
d f (x)
dx
∣∣∣∣
x=a
, f˙ (a) e estas se devem ao matemáticos Cauchy,
Leibniz e Newton, respectivamente.
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Cálculo Diferencial e Integral
Exemplo 5.1
Encontremos a derivada das seguintes funções no ponto x= 9:
a. f (x) = x2
Solução
Da definição da derivada e de f , temos que
f ′(9) = lim
h→0
f (9+h)− f (9)
h
= lim
h→0
(9+h)2−92
h
= lim
h→0
(18+h) = 18.
b. f (x) =
√
x
Solução
Da definição da derivada e de f , temos que
f ′(9)= lim
h→0
f (9+h)− f (9)
h
= lim
h→0
√
9+h−3
h
= lim
h→0
√
9+h2−32
h(
√
9+h+3)
= lim
h→0
1√
9+h+3
=
1
6
.
c. f (x) =
1
x
Solução
Da definição da derivada e de f , temos que
f ′(9) = lim
h→0
f (9+h)− f (9)
h
= lim
h→0
1
9+h
− 1
9
h
= lim
h→0
−h
9h(9+h)
=− lim
h→0
1
9(9+h)
=− 1
81
.
5.3 A Reta Tangente
A ideia básica para obter a reta tangente à curva f no ponto a ∈ Dom( f ) é se aproximar com retas
secantes à curva que passam pelo ponto (a, f (a)). Veja isso na figura abaixo. Prova-se que quando os
pontos d0, d1, . . . ,dn vão se aproximando do ponto d, as inclinações das retas secantes
f (xi)− f (a)
xi−a
variam cada vez menos quando nos aproximamos do ponto a, isto é, tendendo ao valor limite cons-
tante f ′(a).
a x0x1xn
dn
d
d1
d0
x
f(x)
f(xn)
f(a)
f(x1)
f(x0)
LT
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Cálculo Diferencial e Integral
Pelo exposto anteriormente, podemos definir a reta tangente em um ponto.
Definição 5.2
Sejam f : R→ R uma função derivável em A⊆ Dom( f ) e um ponto a ∈ A. A reta tangente à
curva y= f (x) no ponto (a, f (a)) é a reta de equação:
LT : y− f (a) = f ′(a)(x−a).
De forma mais simples, diz-se que LT é a reta tangente a y= f (x) em a.
a
y
x
f(a)
LT
f
Exemplo 5.2
Encontremos a equação da reta tangente LT à curva:
a. y= x2 no ponto (9,81)
Solução
Do exemplo anterior, temos que a inclinação de LT em x = 9 é f ′(9) = 18. Assim, a
equação de LT em (9,81) é
y−81 = 18(x−9) ou de forma equivalente y= 18x−81.
b. y=
√
x no ponto (9,3)
Solução
Do exemplo anterior, temos que a inclinação de LT em x = 9 é f ′(9) =
1
6
. Assim, a
equação de LT em (9,3) é
y−3 = 1
6
(x−9) ou de forma equivalente y= 1
6
x− 3
2
.
c. y=
1
x
no ponto
(
9,
1
9
)
Solução
Do exemplo anterior, temos que a inclinação de LT em x = 9 é f ′(9) = − 181. Assim, a
equação de LT em
(
9,
1
9
)
é
y− 1
9
=− 1
81
(x−9) ou de forma equivalente y=− 1
81
x+
2
9
.
116 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
5.4 A derivada como função
Na seção anterior, obtivemos a derivada de y = f (x) no ponto x = a. Agora, definiremos a derivada
como uma função deduzida de f .
Definição 5.3
Seja f : R→ R uma função. Então, a função f ′ é definida por
f ′(x) := lim
h→0
f (x+h)− f (x)
h
,
se este limite existir, e será denominada de função derivada de f . O domínio dessa função é
denotado por Dom( f ′) e definido por
Dom( f ′) =
{
x ∈ Dom( f ) : f ′(x) existe} .
Além disso, as notações mais comuns para a derivada de y= f (x) são:
f ′(x),
d f (x)
dx
,
dy
dx
, y′, Dx f (x), f˙ (x).
A notação
d f (x)
dx
, leia-se derivada de f (x) com respeito a x.
Exemplo 5.3
a. Seja c ∈ R. Provemos que a função constante f (x) = c, é derivável e f ′(x) = 0, ∀x ∈ R.
Solução
Da definição da derivada e de f , temos que:
f ′(x) = lim
h→0
f (x+h)− f (x)
h
= lim
h→0
c− c
h
= lim
h→0
0 = 0.
Portanto, f é derivável e f ′(x) = 0, ∀x ∈ R.
b. Seja a, b ∈ R, a 6= 0. Provemos que a função f (x) = ax+b é derivável e f ′(x) = a, ∀x ∈ R.
Solução
Da definição da derivada e de f , temos que:
f ′(x) = lim
h→0
f (x+h)− f (x)
h
= lim
h→0
a(x+h)+b− (ax+b)
h
= lim
h→0
ah
h
= a.
Portanto, f é derivável e f ′(x) = a, ∀x ∈ R.
c. Seja n ∈ N. Provemos que a função f (x) = xn é derivável e f ′(x) = nxn−1, ∀x ∈ R.
Solução
Para n= 1, a prova é trivial. Assumamos que n≥ 2:
117 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
f ′(x) = lim
h→0
f (x+h)− f (x)
h
= lim
h→0
(x+h)n− xn
h
= lim
h→0
[(x+h)− x][
n−vezes︷ ︸︸ ︷
(x+h)n−1+(x+h)n−2x+ · · ·+ xn−1]
h
= lim
h→0
[
n−vezes︷ ︸︸ ︷
(x+h)n−1+(x+h)n−2x+ · · ·+(x+h)xn−2+ xn−1] = nxn−1.
Portanto, f é derivável e f ′(x) = nxn−1, ∀x ∈ R.
d. Provemos que a função f (x) = |x| não é derivável no ponto x= 0.
Solução
Da definição de f e analisando o limite:
lim
h→0
f (0+h)− f (0)
h
= lim
h→0
f (h)− f (0)
h
= lim
h→0
|h|
h
,
notamos que este limite não existe, pois lim
h→0+
|h|
h
= 1 e lim
h→0−
|h|
h
=−1. Portanto, f não é
derivável no ponto x= 0.
5.5 Derivadas laterais
Desde que a derivada é um limite, é importante saber o que acontece quando nos aproximamos por
meio de valores menores e maiores do ponto analisado, na expressão da derivada.
Definição 5.4
Seja f : R→ R uma função e a ∈ Dom( f ).
i. A derivada pela esquerda de f no ponto a, denotada por f ′−(a), é definida por
f ′−(a)= lim
h→0−
f (a+h)− f (a)
h
se este limite existe.
ii. A derivada pela direita de f no ponto a, denotada por f ′+(a), é definida por
f ′+(a) = lim
h→0+
f (a+h)− f (a)
h
se este limite existe.
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Cálculo Diferencial e Integral
Nota
Ao fazer a mudança de variável x = h+ a na Definição 5.4, obtemos que h→ 0− implica
x→ a−; e h→ 0+ implica x→ a+. Assim, obtemos as formas equivalentes da definição das
derivadas laterais:
f ′−(a) := lim
x→a−
f (x)− f (a)
x−a e f
′
+(a) := lim
x→a+
f (x)− f (a)
x−a .
Analisando as Definições 5.1 e 5.4, obtemos o seguinte critério de diferenciabilidade.
Proposição 5.1
A função f : R→ R é derivável no ponto a ∈ Dom( f ) se, e somente se, as derivadas laterais
f ′−(a) e f ′+(a) existem e são iguais.
O próximo resultado mostra que funções não são diferenciáveis em pontos de descontinuidade
Proposição 5.2
Se a função f : R→ R é derivável no ponto a ∈ Dom( f ), então f é contínua no ponto a.
Nota
a. A recíproca da Proposição 5.2 não é necessariamente verdadeira. Se consideramos
a função f (x) = |x|, sabemos que ela é contínua em x = 0. Porém, pelo item (iv) do
exemplo anterior, ela não é derivável em x= 0.
b. Para encontrar as derivadas laterais das funções definidas por partes nos pontos onde
a função muda de regra de correspondência é útil ter em mente as seguintes proprie-
dades:
i. Se f é derivável para todo x< a, lim
x→a−
f (x) = f (a) e lim
x→a−
f ′(x) = L existe, então,
f ′−(a) = L.
ii. Se f é derivável para todo x> a, lim
x→a+
f (x) = f (a) e lim
x→a+
f ′(x) = L existe, então,
f ′+(a) = L.
Exemplo 5.4
a. Seja a função f definida por:
f (x) =
{
x2, se x< 1;
ax+b, se x≥ 1.
Determinemos os valores de a e b para que f ′(1) exista.
119 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
Solução
Considerando que f ′(1) existe, então f é contínua no ponto x = 1. Logo, obtemos
lim
x→1−
f (x) = lim
x→1+
f (x) e, assim, obtemos que 1 = a+b.
Por outro lado,
f ′(x) =
{
2x, se x< 1;
a, se x> 1.
Pela nota anterior, temos que
f ′(1−) = lim
x→1−
f (x) = 2 e f ′(1+) = lim
x→1+
f (x) = a,
e como f ′(1) existe, resulta a= 2. Finalmente, da condição a+b= 1 obtemos que b=−1.
b. Determinemos se a função f definida por:
f (x) =
{
x, se x≤ 0;
x2, se x> 0;
é derivável no ponto x= 0.
Solução
Da definição de f , temos que
f ′(0−) = lim
h→0−
f (0+h)− f (0)
h
= lim
x→h−
h
h
= 1,
f ′(0+) = lim
h→0+
f (0+h)− f (0)
h
= lim
x→h+
h2
h
= lim
h→0+
h= 0.
Portanto, a função não é derivável no ponto x= 0, porém, é contínua no ponto x= 0.
c. Seja a função f definida por:
f (x) =
{
x2, se xé racional;
0, se xé irracional.
Provemos que f é derivável no ponto x= 0.
Solução
Da definição da derivada no ponto x= 0, obtemos que
f ′(0) = lim
h→0
f (h)− f (0)
h
= lim
h→0
f (h)−02
h
= lim
h→0
f (h)
h
Agora, analisemos f (h) e
f (h)
h
. Como
f (h) =
{
h2, se hé racional;
0, se hé irracional,
então,
f (h)
h
=
{
h, se hé racional;
0, se hé irracional,
Assim, em qualquer um dos dois casos, lim
h→0
f (h)
h
= 0. Portanto, f ′(0) = 0.
120 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
Dada uma função f definida em um intervalo aberto, dizemos que f será derivável no intervalo aberto
quando houver derivadas em cada ponto do intervalo. Porém, quando lidamos com um intervalo que
é semi-aberto, fechado ou ilimitado, f ′ não está definida nos extremos desse intervalo, já que as
derivadas são limites bilaterais. Nesta situação, dizemos que f é diferenciável se f for diferenciável
em cada ponto do interior do intervalo e se existir a derivada lateral apropriada em cada extremo do
intervalo.
5.6 Reta normal
Ao considerar a interpretação geométrica da derivada em um ponto, entendemos como a equação da
reta tangente, denotada por LT é obtida. Agora vamos a analisar a reta perpendicular a esta.
Definição 5.5
Seja f :R→R uma função derivável no ponto x= a. A reta que passa pelo ponto (a, f (a)) e é
perpendicular à reta tangente da curva y = f (x) no ponto (a, f (a)) é chamada de reta normal
da curva y= f (x) no ponto (a, f (a)), denotada por LN , e se:
i. f ′(a) 6= 0, então a equação da reta normal é
LN : y− f (a) =− 1f ′(a)(x−a);
ii. f ′(a) = 0, então a equação da reta normal é
LN : x−a= 0.
a
y
x
f(a)
LT
f
LN
Exemplo 5.5
a. Seja f (x) = x2− 2x+ 3, encontremos as equações da reta tangente LT e da reta normal LN à
curva y= f (x) no ponto (2,3).
Solução
Desde que as equações de LT e LN no ponto (2,3) dependem de f ′(2), calculemos este
valor
f ′(2) = lim
h→0
f (2+h)− f (2)
h
= lim
h→0
(h+2) = 2.
121 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
Assim, as equações das retas tangente e normal à curva y= f (x) no ponto (2,3) são:
LT : y−3 = 2(x−2) ⇔ LT : 2x− y−1 = 0;
LN : y−3 =−12(x−2) ⇔ LN : x+2y−8 = 0.
b. Determinemos (a, f (a)) e as equações das retas tangente e normal à curva y= f (x) = 2−x−x2,
sendo que a reta tangente é paralela à reta x− y−4 = 0.
Solução
O nosso problema aqui é encontrar o ponto (a, f (a)) no qual a reta esta definida. Porém,
a reta paralela x− y−4 = 0 nos dará essa informação.
Calculando a derivada
f ′(a) = lim
h→0
f (a+h)− f (a)
h
= lim
h→0
(−1−2a−h) =−1−2a.
Como as inclinações de x− y−4 = 0 e LT são iguais, então f ′(a) = 1. Logo, destas duas
equações, obtemos que a=−1. Portanto, o ponto de tangência é (−1, f (−1)) = (−1,2),
e as equações das retas tangente e normal são:
LT : y= x+3 e LN : y=−x+1,
respectivamente.
c. Dada a reta LN , normal à curva y = f (x) = x2− 4 no ponto (a, f (a)). Se LN passa pelo ponto
(33,0), determinemos o valor de a e as equações de LT e LN .
Solução
Como f ′(x) = 2x, a inclinação de LT no ponto (a, f (a)) é f ′(a) = 2a. Por outro lado, a
inclinação da reta LN que passa pelos pontos (33,0) e (a, f (a)) é
− 1
f ′(a)
=
f (a)−0
a−33 =
a2−4
a−33
Logo,
2a3−7a−33 = 0 ⇒ (a−3)(2a2+6a+11) = 0.
Em consequência, a= 3, pois é a única raiz real da equação acima, e as equações das retas
tangente e normal são:
LT : y= 6x−13 e LN : y=−16x+
11
2
,
respectivamente.
5.7 Regras de derivação
Nesta seção apresentamos algumas regras que nos possibilitarão calcular derivadas de diversos tipos
de funções de forma mais eficiente, sem ter que aplicar a definição a qual envolve limites.
122 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
Teorema 5.1
Sejam f e g duas funções deriváveis em x e seja k uma constante. Então, as funções
k f , f ±g, f ·g, 1
g
e
f
g
são deriváveis em x. Além disso,
i. (k f )′(x) = k[ f ′(x)]
ii. ( f ±g)′(x) = f ′(x)±g′(x)
iii. ( f ·g)′(x) = f ′(x) ·g(x)+ f (x) ·g′(x)
iv. Se g(x) 6= 0, então,
a.
(
1
g
)′
(x) =− g
′(x)
[g(x)]2
;
b.
(
f
g
)′
(x) =− f
′(x) ·g(x)− f (x) ·g′(x)
[g(x)]2
.
Teorema 5.2
Se f1, f2, . . . , fn são funções deriváveis em x, então:
i. f1+ f2+ . . .+ fn é derivável em x e
( f1+ f2+ . . .+ fn)′(x) = f ′1(x)+ f
′
2(x)+ . . .+ f
′
n(x)
ii. f1 · f2 · . . . · fn é derivável em x e
( f1 · f2 · . . . · fn)′(x) = f ′1(x) f2(x) . . . fn(x)+ f1(x) f ′2(x) f3(x) . . . fn(x)+ . . .
. . .+ f1(x) f2(x) . . . f ′n−1(x) fn(x)+ f1(x) f2(x) . . . fn−1(x) f
′
n(x).
Exemplo 5.6
Calculemos f ′(x) da função f definida por:
a. f (x) = 6x5+ x4−3x3+2
Solução
Do Teorema 5.2, aplicando a propriedade da soma de derivadas, temos que:
f ′(x) = (6x5+ x4−3x3+2)′
= (6x5)′+(x4)′− (3x3)′+(2)′
= 6(x5)′+4x3−3(x3)′+0
= 30x4+4x3−9x2.
b. f (x) = (x2+ x+1)x3
Solução
Do Teorema 5.2, aplicando a propriedade do produto de derivadas, temos que:
f ′(x) = (x2+ x+1)′x3+(x2+ x+1)(x3)′
= (2x+1)x3+(x2+ x+1)3x2
= x2(5x2+4x+3).
123 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
c. f (x) = x−n, com x 6= 0 e n ∈ N
Solução
Da definiçãode f notamos que ela pode ser reescrita como f (x) =
1
xn
. Logo, do Teorema
5.1, temos que
f ′(x) =
(
1
xn
)′
=−nx
n−1
x2n
=−nx−n−1, ∀x ∈ R\{0}.
d. f (x) =
x+3
2− x , x 6= 2
Solução
Aplicando a regra da derivada para a divisão, Teorema 5.1, obtemos que
f ′(x) =
(x+3)′(2− x)− (x+3)(2− x)′
(2− x)2 =
(1)(2− x)− (x+3)(−1)
(2− x)2 =
5
(2− x)2 .
e. f (x) =
ax5+bx4+ c√
a2+b2+ c2
Solução
Da definição de f observamos que ela pode ser reescrita como f (x) =
1√
a2+b2+ c2
(ax5 + bx4 + c), onde
1√
a2+b2+ c2
é uma constante. Logo, pelo
Teorema 5.1
f ′(x) =
1√
a2+b2+ c2
(ax5+bx4+ c)′ =
1√
a2+b2+ c2
(5ax4+4bx3).
Nota
a. Se f (x) = xn, n ∈ Z, obtemos que f ′(x) = nxn−1.
b. Se c é uma constante em R e f (x) = xc, então f ′(x) = cxc−1. Por exemplo, se f (x) =
x2/3 então f ′(x) =
2
3
x−1/3.
5.8 A derivada da composição de funções
Nesta seção apresentamos uma expressão a qual representa a derivada de uma composição de funções
em termos das derivadas das funções que a compõem, o qual é de grande ajuda quando queramos
derivar funções mais complicadas usando funções mais simples.
Teorema 5.3 (Regra da cadeia)
Sejam f : A→ R e g : B→ R duas funções tais que Im( f ) ⊂ B. Se f é derivável no ponto
a ∈ Dom( f ) e g é derivável no ponto b= f (a) ∈ B, então g◦ f é derivável em a e a derivada é:
(g◦ f )′(a) = g′ ( f (a)) · f ′(a).
124 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
Corolário 5.1
Seja f uma função derivável em a e h(x) = [ f (x)]n, onde n é uma constante, então a função h é
derivável em a e
h′(a) = n[ f (a)]n−1 f ′(a).
Nota
Em particular, dos resultados anteriores, obtemos que:
a. Se y= y(t) e t = t(x) são duas funções deriváveis, então,
dy
dx
=
dy
dt
· dt
dx
, onde
dy
dt
= y′(t) e
dt
dx
= t ′(x).
b. Se y= f (x) é uma função derivável com
dy
dx
6= 0 e possui inversa x= f−1(y), então,
dx
dy
=
1
dy/dx
;
c. Se y= y(t) e x= x(t) são duas funções deriváveis com
dx
dt
6= 0, então,
dy
dx
=
dy/dt
dx/dt
;
d. Se f (x) = [u(x)]n e u(x) é derivável, então,
f ′(x) = n[u(x)]n−1 ·u′(x);
e. Se f (x) =
√
u(x) e u(x) é derivável, com u(x)> 0, então,
f ′(x) =
u′(x)
2
√
u(x)
;
f. Se f (x) = |u(x)| e u(x) é derivável, com u(x) 6= 0, então,
f ′(x) =
u(x)
|u(x)| ·u
′(x).
Exemplo 5.7
a. Encontremos f ′ usando o item (d) da nota acima, onde f é definida por:
i. f (x) = (x4+1)3
Solução
f ′(x) = 3(x4+1)2(x4+1)′ = 3(x4+1)2(4x3) = 12x3(x4+1)2.
ii. f (x) = (x3+12x−4)300
125 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
Solução
g′(x) = 300(x3+12x−4)299(x3+12x−4)′ = 900(x2+4)(x3+12x−4)299.
iii. f (x) =
[
x+2
x−2
]18
Solução
h′(x) = 18
[
x+2
x−2
]17(x+2
x−2
)′
= 18
[
x+2
x−2
]17[(x−2)− (x+2)
(x−2)2
]
=−72(x+2)
15
(x−2)17 .
b. Sejam y= t4− t2+ t e t = (x2+1)4, calculemos dy
dx
.
Solução
Do item (a) da nota anterior, temos que:
dy
dx
=
dy
dt
· dt
dx
= [4t3−2t+1][4(x2+1)3][2x].
Substituindo t por (x2+1)4, obtemos que
dy
dx
= [4(x2+1)3−2(x2+1)+1][8x(x2+1)3] = 8x[(x2+1)6−2(x2+1)4+(x2+1)3].
c. Se f (x) = 7
√
(5x2−3x+2)3, determinemos f ′(x).
Solução
Observamos que f (x) = (5x2−3x+2)3/7. Assim
f ′(x) =
3
7
(5x2−3x+2)−4/7(5x2−3x+2)′ = 3(10x−3)
7 7
√
(5x2−3x+2)4 .
d. Seja f (x) =
√
5+ |3x2−8|, determinemos f ′(x).
Solução
Do item (f) da nota acima, temos que:
f ′(x) =
(5+ |3x2−8|)′√
5+ |3x2−8| =
1√
5+ |3x2−8|
(
3x2−8
|3x2−8| · (3x
2−8)′
)
=
1√
5+ |3x2−8|
(
3x2−8
|3x2−8| · (6x)
)
=
3x(3x2−8)
|3x2−8|
√
5+ |3x2−8| .
e. Sejam f (x+1) = 2x2+8 e g(x+1) = f (x−2), determinemos g′(4).
Solução
Fazendo z= x+1, temos que x= z−1, f (z) = 2(z−1)2+8 e g(z) = f (z−3). Logo,
f ′(z) = 4(z−1).
Aplicando a regra da cadeia, temos que
g′(z) = f ′(z−3)(z−3)′ = 4((z−3)−1) = 4(z−4).
Portanto, para z= 4( ou x= 3), obtemos que g′(4) = 4(4−4) = 0.
126 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
f. Sejam f ′(x) =
x
x−1 e y= f
(
x−1
x+1
)
, determinemos
dy
dx
.
Solução
Fazendo z=
x−1
x+1
, temos que y= f (z). Aplicando a regra da cadeia, obtemos que
dy
dx
=
dy
dz
· dz
dx
= f ′(z) · 2
(x+1)2
=
z
z−1 ·
2
(x+1)2
.
Substituindo z por
x−1
x+1
, temos que
dy
dx
=
1− x
(x+1)2
.
5.9 Teorema da função inversa
No Capítulo 2, estudamos a função inversa e como ela modifica o efeito da função da qual é inversa.
Esse resultado é um dos teoremas fundamentais da matemática, pois garante, dada uma função deri-
vável, a existência da inversa e a derivabilidade desta. No teorema seguinte, analisaremos a relação
de reciprocidade entre as derivadas de f e f−1.
Teorema 5.4
Seja f definida e derivável em um intervalo aberto I. Se f ′(x) 6= 0 para todo x ∈ I, então f
possui inversa f−1, derivável e
( f−1)′(x) =
1
f ′( f−1(x))
.
Exemplo 5.8
a. Seja f (x) = x3−7. Determine o valor de ( f−1)′ em x= 20.
Solução
Aplicamos o Teorema 5.4 para obter o valor de ( f−1)′ em x = 20. De fato, observamos
que 20 = f (3), o que resulta em f−1(20) = 3 e
f ′(x) = 3x2 ⇒ f ′(3) = 3(3)2 = 27.
Portanto, (
f−1
)′
(20) =
1
f ′ ( f−1(20))
=
1
f ′(3)
=
1
27
.
b. Seja f (x) = x2 + 2x+ 3 com dominio Dom( f ) = [−1,+∞). Determine o valor de ( f−1)′ em
x= 6.
Solução
Aplicamos o Teorema 5.4 para obter o valor de ( f−1)′ em x = 6. De fato, devemos
identificar a f−1(6)
6 = f (x) = x2+2x+3 ⇒ x2+2x−3 = 0 obtemos x=−3, x= 1;
127 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
porém como somente deve existir uma única solução, descartamos x = −3, pois −3 6∈
Dom( f ) = [−1,+∞). Assim 1 = f−1(6), alem disso
f ′(x) = 2x+2 ⇒ f ′(1) = 2(1)+2 = 4.
Portanto, (
f−1
)′
(6) =
1
f ′ ( f−1(6))
=
1
f ′(1)
=
1
4
.
5.10 Derivadas de funções elementares
Na sequência apresentamos algumas fórmulas de derivadas que correspondem a certos tipos de fun-
ções.
Função Exponencial
Sejam f ,g : R→ R, u(x) uma função derivável, e a ∈ R, com 0 < a 6= 1. Se f (x) = ax e
g(x) = au(x), então,
f ′(x) = ln(a)ax e g′(x) = ln(a)au(x)u′(x).
Função Logarítmica
Sejam f ,g : R++→ R, u(x) uma função derivável, e a ∈ R, com 0< a 6= 1. Se f (x) = loga(x)
e g(x) = loga(u(x)), então,
f ′(x) =
loga(e)
x
e g′(x) =
loga(e)u
′(x)
u(x)
.
Se a= e, então loge(x) = ln(x) e f
′(x) =
1
x
.
Funções Trigonométricas
Sejam f ,g : R→ R, e u(x) uma função derivável.
Função Seno
Se f (x) = sen(x) e g(x) = sen(u(x)), então,
f ′(x) = cos(x) e g′(x) = cos(u(x))u′(x);
Função Coseno
Se f (x) = cos(x) e g(x) = cos(u(x)), então,
f ′(x) =−sen(x) e g′(x) =−sen(u(x))u′(x);
Função Tangente
Se f (x) = tg(x) e g(x) = tg(u(x)), então,
f ′(x) = sec2(x) e g′(x) = sec2(u(x))u′(x);
128 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
Função Cotangente
Se f (x) = cotg(x) e f (x) = cotg(u(x)), então,
f ′(x) =−cossec2(x) e g′(x) =−cossec2(u(x))u′(x);
Função Secante
Se f (x) = sec(x) e g(x) = sec(u(x)), então,
f ′(x) = tg(x)sec(x) e g′(x) = tg(u(x))sec(u(x))u′(x);
Função Cossecante
Se f (x) = cossec(x) e g(x) = cossec(u(x)), então,
f ′(x) =−cotg(x)cossec(x) e g′(x) =−cotg(u(x))cossec(u(x))u′(x);
Funções Trigonométricas Inversas
Sejam f ,g : R→ R, e u(x) uma função derivável.
Função Arco Seno
Se f (x) = arcsen(x) e g(x) = arcsen(u(x)), então,
f ′(x) =
1√
1− x2 , com |x|< 1, e g
′(x) =
u′(x)√
1−u2(x) , com |u(x)|< 1;
Função Arco Coseno
Se f (x) = arccos(x) e g(x) = arccos(u(x)), então,
f ′(x) =− 1√
1− x2 , com |x|< 1, e g
′(x) =− u
′(x)√
1−u2(x) , com |u(x)|< 1;
Função Arco Tangente
Se f (x) = arctg(x) e g(x) = arctg(u(x)), então,
f ′(x) =
1
1+ x2
, com x ∈ R, e g′(x) = u
′(x)
1+u2(x)
, com u(x) ∈ R;
Função Arco Cotangente
Se f (x) = arccotg(x) e g(x) = arccotg(u(x)), então,
f ′(x) =− 1
1+x2
, com x ∈ R, e g′(x) =− u
′(x)
1+u2(x)
, com u(x) ∈ R;
Função Arco Secante
Se f (x) = arcsec(x) e g(x) = arcsec(u(x)), então,
f ′(x) =
1
|x|√x2−1 , com |x|> 1, e g
′(x) =
u′(x)
|u(x)|
√
u2(x)−1 , com |u(x)|> 1;
Função Arco Cossecante
Se f (x) = arccossec(x) e g(x) = arccossec(u(x)), então,
f ′(x) =− 1|x|√x2−1 , com |x|> 1, e g
′(x) =− u
′(x)
|u(x)|
√
u2(x)−1 , com |u(x)|> 1.
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Cálculo Diferencial e Integral
5.11 Derivadas de ordem superior
Nesta seção, abordaremos a situação de derivar sucessivamente uma função (sempre que for possível).
Definição 5.6
Seja f : R→ R uma função derivável.
i. Se f ′ é uma função derivável, então sua derivada é chamada de derivada segunda de f e
é denotada por
( f ′)′ = f ′′(x), D2x f (x),
d2 f (x)
dx2
, f¨ (x);
ii. Se f ′′ é uma função derivável, então sua derivada é chamada de derivada terceira de f e
é denotada por
( f ′′)′ = f ′′′(x), D3x f (x),
d3 f (x)
dx3
,
...
f (x);
iii. Desta forma, derivando sucessivamente a função f , se a derivada de ordem (n− 1) de
f é uma função derivável, então sua derivada é chamada de derivada n−ésima de f e é
denotada por
( f (n−1))′ = f (n), Dnx f (x),
dn f (x)
dxn
.
Proposição 5.3 (Fórmula de Leibniz)
Suponhamos que as funções u(x) e v(x) têm derivada de ordem n no mesmo conjunto A ⊆ R.
Então, y= u · v é derivável até a ordem n em A e
y(n) = (u · v)(n) =
(
n
0
)
u(n) · v+
(
n
1
)
u(n−1) · v′+ · · ·+
(
n
k
)
u(n−k) · v(k)+ · · ·+
(
n
n
)
u · v(n)
onde u(0) = u, v(0) = v, u(1) = u′, v(1) = v′, u(2) = u′′, v(2) = v′′, etc.
Exemplo 5.9
Sejam as funções f ,g : R→ R e h : [4,+∞)→ R definidas por:
f (x) =
√
x4+1, g(x) =
|x|
1+2x4
e h(x) = (3x5+ x2+7)
√
3x−12
Encontremos f ′′(x), g′′(x) e h′′(x).
Solução
a. f (x) =
√
x4+1 implica que f ′(x) =
2x3√
x4+1
. Logo, f ′′(x) = ( f ′(x))′, isto é,
f ′′(x) =
2x2(x4+3)
(x4+1)
3
2
.
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Cálculo Diferencial e Integral
b. g(x) =
3|x|
1+2x4
implica que g′(x) =
3x−18x5
|x|(1+2x4)2 , com x 6= 0. Logo g
′′(x) = (g′(x))′, isto
é,
g′′(x) =
6x3(−30x5+54x4−11x−9)
|x|(1+ x4)3 , com x 6= 0.
c. h(x) = (3x5+x2+7)
√
3x−12 implica que h′(x) = (93x
5−360x4+13x2−48x+7)
2
√
3x−12 , com
x> 4. Logo h′′(x) = (h′(x))′, isto é,
h′′(x) =
2511x5−18720x 4+34560x3+117x2−912x+1152
4(3x−12) 32
, com x 6= 4.
Exemplo 5.10
Sejam as funções f ,g : R→ R definidas por:
f (x) = |x|3 e g(x) =
{
x4, se x≥ 0;
−x4, se x< 0.
Encontremos
a. f ′(x), f ′′(x) e f ′′′(x);
b. g′(x), g′′(x) e g′′′(x);
se existem, para todo x ∈ R.
Solução
a. Da definição de f (x), podemos reescrevê-la como:
f (x) =
{
x3, se x≥ 0;
−x3, se x< 0.
Logo,
f ′(x) =
{
3x2, se x> 0;
−3x2, se x< 0;
f ′′(x) =
{
6x, se x> 0;
−6x, se x< 0;
f ′′′(x) =
{
6, se x> 0;
−6, se x< 0;
Analisando as derivadas laterais, para x= 0, temos que:
f ′(0) = f ′′(0) = 0, f ′′′(0−) =−6 e f ′′′(0+) = 6.
Portanto, f ′′′(x) não existe para todo x ∈ R.
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Cálculo Diferencial e Integral
b. Usando o mesmo raciocínio do item acima, temos que:
g′(x) =
{
4x3, se x≥ 0;
−4x3, se x< 0;
g′′(x) =
{
12x2, se x> 0;
−12x2, se x< 0;
g′′′(x) =
{
24x, se x> 0;
−24x, se x< 0;
Analisando as derivadas laterais, para x= 0, temos que:
g′(0) = g′′(0) = g′′′(0) = 0.
Portanto, g′′′(x) existe para todo x ∈ R.
Exemplo 5.11
Calculemos a n−ésima derivada de f , definida por:
a. f (x) = anxn+an−1xn−1+ · · ·+a1x+a0, com an 6= 0;
Solução
Notemos que f (x) é um polinômio de grau n. Logo
f ′(x) = annxn−1+an−1(n−1)xn−2+ · · ·+2a2x+a1;
f ′′(x) = ann(n−1)xn−2+an−1(n−1)(n−2)xn−3+ · · ·+2a2;
...
f (n)(x) = an n!.
Além disso,
f (k)(x) = 0, ∀x ∈ R e k ≥ n+1.
b. f (x) =
1
1+ x
, com x 6=−1.
Solução
Da definição de f , podemos reescrevê-la como f (x) = (1+ x)−1. Logo, derivando suces-
sivamente f , temos que:
f ′(x) = −1(1+ x)−2 = − 1
(1+ x)2
;
f ′′(x) = (−1)(−2)(1+ x)−3 = (−1)
22!
(1+ x)3
;
...
f (n)(x) =
(−1)nn!
(1+ x)n+1
.
c. f (x) =
x
1+2x
, com x 6=−1
2
.
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Cálculo Diferencial e Integral
Solução
Da definição de f , podemos reescrevê-la como f (x) = x(2x+1)−1, com x 6= −1
2
. Logo,
derivando sucessivamente f , temos que:
f ′(x) = (2x+1)−2;
f ′′(x) = −2 ·2(2x+1)−3;
f ′′′(x) = 22 ·2 ·3(2x+1)−3;
...
f (n)(x) = (−1)n+1 2
n−1n!
(2x+1)n+1
.
d. f (x) =
6x+5
x2+ x−6, com x 6= 2 e x 6=−3.
Solução
Da definição de f , podemos reescrevê-la como a soma de frações:
f (x) =
17
5
(x−2)−1+ 13
5
(x+3)−1,
com x 6= 2 e x 6=−3. Logo, derivando sucessivamente f , temos que:
f ′(x) =
17
5
(−(x−2)−2)+ 13
5
(−(x+3)−2) ;
f ′′(x) =
17
5
(
2(x−2)−3)+ 13
5
(
2(x+3)−3
)
;
...
f (n)(x) =
(−1)n
5
(
17
(x−2)n+1 +
13
(x+3)n+1
)
.
e. f (x) =
√
1+ x, com x≥−1.
Solução
Da definição de f , podemos reescrevê-la como f (x) = (1+ x)
1
2 para x>−1. Logo, deri-
vando sucessivamente f , temos que:
f ′(x) =
1
2
(1+ x)−
1
2 =
1
2
√
1+ x
;
f ′′(x) = −1
2
· 1
2
(1+ x)
−
3
2 =− 1
22
√
(1+ x)3
;
f ′′′(x) =
3
23
(1+ x)
−
5
2 =
3
23
√
(1+ x)5
;
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Cálculo Diferencial e Integral
f (4)(x) =
3 ·5
24
(1+ x)
−
7
2 =
3 ·5
24
√
(1+ x)7
;
...
f (n)(x) = (−1)n+1 3 ·5 . . .(2n−5) · (2n−3)
2n
√
(1+ x)2n−1
.
5.12 Derivação Implícita
Funções definidas explícita e implicitamente
Até o momento, trabalhamos apenas com funções descritas pela equação y = f (x). Esse tipo de
função é chamada de explícita, pois y é expressa explicitamente em termos de x. Porém, existem
outras situações nas quais será necessário lidar com equações como
y2− x+1 = 0, y7−3y5+7y2− xcos(x) = 0 ou y2+ x4+15 = 0,
que são denotadas por E(x,y) = 0, e definem uma relação implícita entre as variáveis x e y. Em alguns
casos, seremos capazes de expressar a variável y explicitamente em termos de x. Por exemplo, dada a
equação
E(x,y) : y2− x+1 = 0
temos que E(x,y) = 0 define de forma implícita as funções f1 e f2 onde
f1(x) =
√
x−1 e f2(x) =−
√
x−1,
ou seja,
y= f1(x) e y= f2(x).
Se nosso objetivo é derivá-la, então aplicamos as regras de derivação conhecidas. Porém, dada uma
equação E(x,y) = 0 muitas vezes não é simples encontrar as funções explicitamente definidas por ela,
por exemplo:
E(x,y) : y7−3y5+7y2− xcos(x) = 0.
Contudo, y ainda é definida como uma função de x. Assim, diz-se que E(x,y) = 0 define y implici-
tamente como uma função de x, e para obter a derivada de forma usual, devemos determinar dy/dx
por intermédio de Derivação Implícita, que será descrita nesta seção. No entanto, existem também
casos que E(x,y) = 0 não define nenhuma função, por exemplo:
y6+ x4+5 = 0.
Por esta razão precisamos estabelecer uma definição deste assunto.
Definição 5.7
Diz-se que E(x,y) = 0 define a função f implicitamente se o gráfico de y= f (x) coincide com
alguma porção do gráfico da equação E(x,y) = 0.
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Cálculo Diferencial e Integral
Exemplo 5.12
Seja E(x,y) : x = y4, ressaltemos que esta equação não define nenhuma função em y, pois uma
reta vertical corta em dois pontos o seu gráfico (veja o item (a) da figura abaixo). No entanto, se
resolvemos E(x,y) = 0 para y em termos de x, obtemos as equações
y= 4
√
x e y=− 4√x,
x
y E(x,y) = 0L
y = f1(x)
y = f2(x)
(a) (b)
x
y L
cujos gráficos são porções do gráfico de E(x,y) = 0. Veja também o item (b) da figura acima. Assim,
E(x,y) = 0 define implicitamente as funções
f1(x) = 4
√
x e f2(x) =− 4
√
x.
Derivação Implícita
Felizmente, dada a equação E(x,y) = 0 não é necessário resolvê-la, ou seja, colocando y em termos
de x a fim de obter as derivadas das funções definidas implicitamentepor ela.
Para ilustrar esse fato, calcularemos as derivadas de f1 e f2, do exemplo anterior, de duas formas.
Exemplo 5.13
Primeira forma
Do exemplo anterior, temos que
f1(x) = 4
√
x e f2(x) =− 4
√
x.
Então,
f ′1(x) =
1
4 4
√
x3
e f ′2(x) =−
1
4 4
√
x3
.
Segunda forma
Usando derivação implícita para obter a derivada podemos diferenciar ambos lados da equação
E(x,y) : x= y4, ou seja,
d
dx
[x] =
d
dx
[y4]
1 = 4y3y′
1
4y3
= y′.
Logo, se nesta última expressão substituímos y=± 4√x, obtemos
y′ =
1
4 4
√
x3
e y′ =− 1
4 4
√
x3
,
o que está de acordo com as derivadas obtidas para f1 e f2.
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Cálculo Diferencial e Integral
Exemplo 5.14
Usando derivação implícita, encontremos y′ se:
a. y2− x+1 = 0
Solução
d
dx
[
y2− x+1] = d
dx
[0]
2yy′−1+0 = 0
2yy′ = 1.
Logo,
y′ =
1
2y
.
b. y2+ x4−9 = 0.
Solução
d
dx
[
y2+ x4−9] = d
dx
[0]
2yy′+4x3−0 = 0
2yy′ = −4x3.
Logo,
y′ =−2x
3
y
.
c. y7−3y5+7y2− xcos(x) = 0.
Solução
d
dx
[
y7−3y5+7y2− xcos(x)] = d
dx
[0]
7y6y′−15y4y′+14yy′− cos(x)+ xsen(x) = 0
(7y6−15y4+14y)y′ = cos(x)− xsen(x).
Logo,
y′ =
cos(x)− xsen(x)
7y6−15y4+14y .
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Cálculo Diferencial e Integral
Nota
No último exemplo, as respostas apresentadas envolvem tanto x quanto y. A fim de obter
uma solução que envolva somente x, teríamos de resolver a equação original, ou seja, obter
y de forma explícita e, então substituir em cada uma das soluções dadas. Fazendo isto para
os itens (i) e (ii), temos que:
(i) y2− x+1 = 0 ⇒ y=±√x−1 ⇒ y′ =± 1
2
√
x−1 .
(ii) y2+ x4−9 = 0 ⇒ y=±
√
9− x4 ⇒ y′ =∓ 2x
3
√
9− x4
Porém, para o item (iii) isto é impossível de ser feito, assim, somos forçados a deixar a
fórmula de y′ em termos de x.
5.13 Recapitulando
Neste capítulo, apresentamos o conceito da derivada. Novamente, percebemos que esse conceito,
assim como o de continuidade, depende da teoria de limites, e este limite é tão importante que
possui a notação específica y′. As definições da derivada e da reta tangente foram estabelecidas
para um ponto dado. De certa forma, a derivada pode ser interpretada como a inclinação da reta
tangente à curva y = f (x) em um ponto dado. Além disso, diferente do conceito de continuidade,
podemos pensar na derivada como uma função.
Desde que a definição da derivada depende da obtenção de um limite, quando a variável se aproxima
do ponto analisado, os conceitos de derivadas laterais são estabelecidos. Além disso, a definição da
reta normal à curva dada é apresentada. Depois disso, apresentamos as regras de derivação para as
operações aritméticas, a derivada da composição de funções e o teorema da função inversa.
Tendo a teoria necessária para a obtenção da derivada, as derivadas de funções elementares foram
apresentadas. Como a derivada de uma função é uma outra função, podemos recorrer repetidamente
à obtenção da derivada destas novas funções, e a isto dá-se o nome derivadas de ordem superior.
Por fim, apresentamos a derivação implícita, teoria que lida com a obtenção da derivada de equações,
na qual a função a ser derivada não necessariamente tem uma representação explícita. Exemplos
foram desenvolvidos tentando ilustrar todos esses assuntos.
No próximo capítulo, apresentaremos algumas aplicações da derivada . Por exemplo, com ajuda da
derivada de primeira e segunda ordem, aprenderemos métodos para analisar o comportamento de uma
função em um conjunto dado e obteremos com uma maior precisão o seu gráfico.
5.14 Atividades
1. Usando a definição, calcule a derivada no ponto indicado:
i. f (x) =
√
1+9x, a= 7. ii. f (x) =
1√
2x+3
, a= 3.
iii. f (x) =
1
x
+ x+ x2, a= 3. iv. f (x) =
1√
1−3x , a=−8.
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Cálculo Diferencial e Integral
v. f (x) = |x−3|3, a= 3. vi. f (x) = 2√
x
−1, a= 4.
vii. f (x) = 3−√5+ x, a= 4. vii. f (x) =√x2−9, a= 5.
ix. f (x) =
x+3
2x−5, a= 2.
2. Encontre f ′(x) e indique o seu domínio da função definida por:
i. f (x) =
2x+3
3x−2. ii. f (x) =
1√
x+2
.
iii. f (x) = x
√
x+1. iv. f (x) = 3
√
2x+3.
v. f (x) =
√
3−2x. vi. f (x) = x
2−1
x2+1
.
vii. f (x) =
ax+b
cx+d
. viii. f (x) =
√
ax+
a√
ax
.
ix. f (x) =
√
a2+ x2
x
. x. f (x) =
x√
a2− x2 .
xi. f (x) =
√
x+
√
x+
√
x. xii. f (x) = 3
√
1+ 3
√
1+ 3
√
x.
3. Determine a derivada de f definida por:
i. f (x) =
arccos(x)
x2
+
1
2
ln
(
1−√1− x2
1+
√
1− x2
)
. ii. f (x)= ln(x+1−√x2−1)− x
1−√x2−1.
iii. f (x) =
1
20
sen
(
5x2
)− 1
4
sen
(
x2
)
. iv. f (x) =
√
arctg(x)− (arcsen(x))3.
v. f (x) =
sen(x)− cos(x)
sen(x)+ cos(x)
. vi. f (x) = (1+ ln(sen(x)))n.
vii. f (x) =
(
sen
(x
2
)
− cos
(x
2
))
. viii. f (x) =
√
x+1−√x−1√
x+1+
√
x−1.
ix. f (x) = x6 (1− cos(2x))2. x. f (x) = ln
(√
1− sen(x)
1+ sen(x)
)
.
xi. f (x) = ln
(√
x2+a2+ x√
x2+a2− x
)
. xii. f (x) = arctg
(
sen(x)+ cos(x)
sen(x)− cos(x)
)
.
xiii. f (x) = tg
(
eln(arctg(x
1/3))
)
. xiv. f (x) =
1√
x
ex
2arctg(x)+ 12 ln(x)+1.
138 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
xv. f (x) =
1
4
ln
(
1+ x
1− x
)
− 1
2
arctg(x). xvi. f (x) = ln
(
x+
√
x2+1
)
.
xvii. f (x) = sen
(
cos2(x)
)
cos
(
sen2(x)
)
. xviii. f (x) = sen3
(
sen2(sen(x))
)
.
xvii. f (x) = ln
(√
4tg(x)+1−2√tg(x)√
4tg(x)+1+2
√
tg(x)
)
. xviii. f (x) = ln
(
2ln2(sen(x))+3
2ln2(sen(x))−3
)
.
xxi. f (x) = ln
(
1−√sen(x)
1+
√
sen(x)
)
+2arctg
√
sen(x).
xxii. f (x) =
x
2
√
x2+a2+
a2
2
ln
(
x+
√
x2+a2
)
.
xxii. f (x) = ln
(√
2sen(x)+1+
√
2sen(x)−1
)
.
4. Determine se f , definida a seguir, é derivável no ponto dado:
i. f (x) = |x−3|3(x−3)+x3
⌊
x−3
2
⌋
, a= 3. ii. f (x) = |x2−4|, a= 2, −2.
iii. f (x) =
√|x|, a= 0. iv. f (x) =√|x|−bxc, a= 1, 3
2
,
5
2
.
v. f (x) =
{ √
1− x, x< 1;
(1− x)2, x≥ 1; a= 1. vi. f (x) =
{ √|x|, x< 1;
x2, x≥ 1; a= 1.
vii. f (x)=
{
x2, x<−1;
−1−2x, x≥−1; a=−1. viii. f (x) =
{
x2−4, x< 2;√
x−2, x≥ 2; a= 2.
ix. f (x) =

|x+2|, x< 0;
2−2x2, 0≤ x< 2;
x2−4x+2, x≥ 2;
a= 0, 2.
5. Encontre os valores de b e c da função f para que a derivada exista no ponto dado.
i. f (x) =
{ −3x2, x≤ 2;
bx+ c, x> 2;
a= 2. ii. f (x) =
{
x2, x< 1;
bx+ c, x≥ 1; a=−1.
iii. f (x) =
{
bx+ c, x< 2;
2x2−1, x≥ 2; a= 2. iv. f (x) =
{
x2+bx+3, x≤ 1;
−4bx+ c, x> 1; a= 1.
6. Encontre os valores de b e c tal que a função f , definida a seguir, seja diferenciável em todo seu
domínio.
i. f (x) =
{
x2, x< 1;
bx+ c, x≥ 1. ii. f (x) =
 bx
2+ c, x≤ 1;
1
|x| , x> 1.
139 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
7. Obtenha a equação ou equações das retas tangentes à curva
i. y= x3+3x2−5 e perpendicular à reta 2x−6y+1 = 0.
ii. y= (7x−6)−1/3 e perpendicular à reta 12x−7y+2 = 0
iii. 3
√
xy= 14x+ y no ponto (2,−32).
iv. x2(x+ y) = a2(x− y) na origem de coordenadas.
v. y= x4−6x e perpendicular à reta x−2y+6 = 0.
vi. y= x− 1
x
nos pontos onde esta curva se intersecta com o eixo x.
vii. y=
x+9
x+5
que passam pela origem de coordenadas.
viii.
x2
2
− y
2
7
= 1 e perpendiculares à reta 2x+4y−3 = 0.
ix. x2+4y2−4x−8y+3 = 0 que passam pelo ponto (−1,3).
x. y2+4a= 0 que passa pelo ponto (2,1).
1. Encontre a equação ou equações das retas normais à curva:
i. y= x ln(x) e paralela à reta 2x−2y+3 = 0.
ii. y= x
√
16+ x2 na origem.
iii. 4x2− y2 = 36 paralelas à reta 2x+5y= 4.
iv. x− y=√x+ y no ponto (3,1).
2. Obtenha o gráfico de f e determine f ′−(a), f ′+(a) e f ′(a), se existem, onde f e a são definidos
a seguir:
i. f (x) = (x−1)bxc, x ∈ [0,2], a= 1. ii. f (x) = (5− x)bxc, x ∈ [4,6], a= 5.
3.Determine
dy
dx
, usando derivação implícita:
i. ey = x+ y. ii. ln(y)+
x
y
= k.
iii. arctg
(y
x
)
=
1
2
ln
(
x2+ y2
)
. iv. y3 =
x− y
x+ y
.
v. xy= arctg
(y
x
)
. vi. xsen(y)− cos(y)+ cos(2y) = 0.
vii. ysen(x)− cos(x− y) = 0. viii. sen(xy)+ cos(xy) = tg(x+ y).
ix. x3+ax2y+bxy2+ y3 = 0. x. x4+ y4 = x2y2.
xi. x− y= arcsen(x)− arcsen(y). xii. x2−a√xy+ y2 = a.
xiii. 2x4y2−4x2y4+ x2y2 = 6. xiv. y5−2x2y3+3x4y− x5 = 5.
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Cálculo Diferencial e Integral
xv.
√
y+ 3
√
y+ 4
√
y3 = x. xvi.
√
xy+2a=
√
y.
xvii. x− y= arcsen(x)− arcsen(y). xviii. y= x+ arctg(y).
xix. x3+2x2y− xy2+2y3 = 2. xx. x3−3axy+ y3 = a3.
xxi.
x3
y2
+
x2
y3
=
7
8
. xxii. (x+ y)3+(x− y)3 = x4+ y4.
xxii. (x+ y)2+(x− y)2 = x3+ y3. xxiv. (x+ y)y3 = x− y.
xxv. ya = xy.
4. Em cada um dos exercícios do item (11) acima, determine
dx
dy
usando derivação implícita em
relação de y, ou seja, a= g(y).
5. Encontre a derivada de y= ( f (x))g(x) onde:
i. f (x) = x2+1, g(x) = sen(x). ii. f (x) = 1+ x2, g(x) = arctg(x).
iii. f (x) = ex, g(x) = xx
x
. iv. f (x) = 2x, g(x) =
√
x.
v. f (x) = x, g(x) = sen(x). vi. f (x) = x, g(x) = ln(x).
vii. f (x) = ln(x), g(x) = x. viii. f (x) = sen(x), g(x) = cos(x).
ix. f (x) = cos(x), g(x) = x. x. f (x) = x, g(x) = x2.
xi. f (x) = ex+ ln(x)−8, g(x) =
√
x+
√
y
x−√y .
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Capítulo 6
Aplicações da Derivada
OBJETIVOS DO CAPÍTULO
Ao final deste capítulo você deverá ser capaz de:
• Estabelecer se uma função é crescente ou decrescente em um intervalo;
• Determinar os valores extremos, se existirem, de uma função dada;
• Determinar os pontos de inflexão, se existirem, e os intervalos de concavidade para
cima e concavidade para baixo de uma função dada;
• Esboçar o gráfico de uma função dada;
• Conhecer o Teorema de Valor Medio e suas generalizações;
• Aprender a regra de L’Hôpital para determinar os valores de limites indeterminados da
forma 0/0, ∞/∞, ∞ ·0, ∞−∞, 1∞, 00 e ∞0.
6.1 Introdução
Neste capítulo, estudaremos várias aplicações da derivada. Uma das aplicações mais importantes e
úteis da derivada está na determinação dos valores máximos e mínimos de uma função, pois existem
muitos problemas práticos envolvendo esta teoria.
De fato, conheceremos os critérios da primeira e da segunda derivada de uma função para determinar
seus valores extremos, seus pontos de inflexão e os intervalos onde a função é côncava para cima
e côncava para baixo. Logo, com a ajuda desta teoria e dos conteúdos apresentados nos capítulos
anteriores, poderemos esboçar o gráfico de uma função com maior precisão. Depois, apresentaremos
o Teorema do Valor Médio e suas generalizações, o qual é útil quando queremos garantir a existência
de determinados pontos com certas propriedades envolvendo a derivada.
Além disso, usaremos a teoria das derivadas para calcular tipos específicos de limites indeterminados,
esta técnica é conhecida como a Regra de L’Hôpital.
6.2 Valores Extremos de uma Função
Já sabemos que as funções contínuas sobre um intervalo fechado alcançam seu valor máximo e seu
valor mínimo em pontos deste intervalo. Porém, até o momento não dispúnhamos de um método para
encontrá-los. Nesta seção resolveremos esse problema.
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Cálculo Diferencial e Integral
Definição 6.1
Seja a função f : R→ R. Diz-se que:
i. f tem um valor máximo relativo, em um ponto x◦ ∈ Dom( f ) se existe uma vizinhança
B(x◦;δ1), de x◦, tal que
f (x◦)≥ f (x), ∀x ∈ B(x◦;δ1)∩Dom( f );
ii. f tem um valor mínimo relativo, em um ponto x◦ ∈ Dom( f ), se existe uma vizinhança
B(x◦;δ2), de x◦, tal que
f (x◦)≤ f (x), ∀x ∈ B(x◦;δ2)∩Dom( f );
iii. f tem um valor máximo absoluto, em um ponto x∗ ∈ Dom( f ), se
f (x∗)≥ f (x), ∀x ∈ Dom( f );
iv. f tem um valor mínimo absoluto, em um ponto x∗ ∈ Dom( f ), se
f (x∗)≤ f (x), ∀x ∈ Dom( f ).
Na figura abaixo podemos ver esses conceitos ilustrados:
f
x
( )
x
( )
x°
°
x
x*
*
Nota
a. Máximos e mínimos relativos podem também ser chamados de máximos e mínimos
locais;
b. Máximos e mínimos absolutos podem também ser chamados de máximos e mínimos
globais;
c. Os valores máximos (absolutos ou relativos) e mínimos (absolutos ou relativos) são
chamados de valores extremos.
d. Todo máximo absoluto é um máximo relativo e, de forma análoga, todo mínimo abso-
luto é um mínimo relativo;
e. Uma função pode ter infinitos valores extremos;
f. Se o domínio de uma função for ilimitado ou um intervalo aberto ou semiaberto, ela
pode não ter valores extremos. Este fato é ilustrado no próximo exemplo.
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Cálculo Diferencial e Integral
Exemplo 6.1
Dada a função f (x) = x3, determinemos seus valores extremos, caso existam, para os diferentes
domínios:
a. Dom( f ) = R
Solução
f não tem valores extremos, pois f é ilimitada neste domínio. Veja o item (a) da figura
abaixo.
b. Dom( f ) = [−2,2]
Solução
f tem valores extremos em −2 e 2, com valor mínimo absoluto f (−2) = −8 e valor
máximo absoluto f (2) = 8. Veja o item (b) da figura abaixo.
y = f(x)
x
y
(a)
y = f(x)
x
y
(b)
y = f(x)
x
y
(d)
y = f(x)
x
y
(c)
c. Dom( f ) = (−2,2]
Solução
f não tem valores mínimos relativos, pois −2 /∈ Dom( f ), porém tem um valor extremo
em 2, com f (2) = 8. Veja o item (c) da figura acima.
d. Dom( f ) = (−2,2).
Solução
f não tem valores extremos, pois −2,2 /∈ Dom( f ). Veja o item (d) da figura acima.
Teorema 6.1 (Teorema do Valor Extremo)
Se f é uma função contínua em um intervalo fechado e limitado [a,b], então f atinge tanto um
valor máximo absoluto M quanto um valor mínimo absoluto m neste intervalo. Isto é, existem
x1, x2 ∈ [a,b] tais que:
f (x1) = m, f (x2) =M e m≤ f (x)≤M para qualquer x ∈ [a,b].
A seguinte Nota ilustra algumas possíveis localizações dos valores extremos de uma função contínua
em um intervalo fechado [a,b]
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Cálculo Diferencial e Integral
Nota
y = f(x)
x
(a)
y = f(x)
x
(b)
y = f(x)
x
(d)
y = f(x)
x
(c)
a. No item (a), f tem valores extremos em x2 e x1, e estão no interior de [a,b];
b. No item (b), f tem valores extremos nas extremidades do intervalo a e b;
c. No item (c), f tem valores extremos em x3, ponto interior de [a,b], e na extremidade a;
d. No item (d), f tem valores extremos em x4, ponto interior de [a,b], e na extremidade b.
No Teorema 6.1, as hipóteses do intervalo ser fechado e limitado, e a função ser contínua,
são hipóteses fundamentais, sem estas, as conclusões não são válidas. Por exemplo, a
função f (x) = ln(x) é contínua no intervalo aberto (0,1), porém, não tem valores extremos.
6.3 Determinando Valores Extremos de uma Função
Teorema 6.2
Seja f : R→ R uma função contínua em um intervalo [a,b] e derivável em (a,b).
i. Se f ′(x)> 0, para todo x ∈ (a,b), então f é crescente em [a,b];
ii. Se f ′(x)< 0, para todo x ∈ (a,b), então f é decrescente em [a,b].
Proposição 6.1 (Condição suficiente da derivada primeira para valores extremos)
Sejam f :R→R uma função e B(c;δ ) = (c−δ ,c+δ )⊆Dom( f ), uma vizinhança, de c. Se f
é contínua em B(c;δ ) e derivável em B(c;δ ), exceto talvez em c.
i. Se f ′(x) > 0, para todo x ∈ (c− δ ,c), e f ′(x) < 0, para todo x ∈ (c,c+ δ ), então f (c) é
um valor máximo relativo de f ;
ii. Se f ′(x) < 0, para todo x ∈ (c− δ ,c), e f ′(x) > 0, para todo x ∈ (c,c+ δ ), então f (c) é
um valor mínimo relativo de f .
Teorema 6.3 (Condição necessária da derivada primeira para valores extremos)
Sejam f : R→ R uma função e c um pontointerior de Dom( f ). Se f possui um valor máximo
ou um mínimo relativo em c e se f ′ esta definida em c, então
f ′(c) = 0.
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Cálculo Diferencial e Integral
Nota
a. O Teorema 6.3 nos diz que a primeira derivada de uma função é sempre zero em um
ponto interior do seu domínio em que a função tenha um valor extremo e a derivada
seja definida. Assim, os únicos pontos em que f pode ter valores extremos são:
1. pontos interiores em que f ′ = 0;
2. pontos interiores em que f ′ não existe;
3. extremidades do domínio de f .
b. f ′(c) = 0 implica que a reta tangente à curva y = f (x), no ponto P = (c, f (c)), é
uma reta horizontal. A figura a seguir ilustra esse fato nos pontos P1 = (x◦, f (x◦)),
P2 = (x∗, f (x∗)), P3 = (x∗, f (x∗)) e P4 = (x◦, f (x◦)).
f
x
xx°
°
x
x*
*
Proposição 6.2 (Condição suficiente da derivada segunda para valores extremos)
Sejam f : R→ R uma função e B(c;δ )⊆ Dom( f ) uma vizinhança, de c. Suponhamos que f é
duas vezes diferencíavel em B(c;δ ).
i. Se f ′(c) = 0 e f ′′(c)< 0, então f (c) é um valor máximo local de f ;
ii. Se f ′(c) = 0 e f ′′(c)> 0, então f (c) é um valor mínimo local de f ;
iii. Se f ′(c) = 0 e f ′′(c) = 0, então não temos nenhuma conclusão, isto é, f (c) pode ser um
valor extremo ou não.
A definição apresentada a seguir resume essas informações.
Definição 6.2
um ponto interior do domínio de uma função f em que f ′ é zero ou indefinida é um ponto
crítico de f .
A Proposição 6.1, o Teorema 6.3 e a Definição 6.2 nos permitem estabelecer o seguinte critério para
determinar os valores extremos de uma função contínua:
Critério da derivada primeira para encontrar valores extremos
1. Determinar os pontos críticos da função f ;
2. Se c é um ponto crítico, devemos determinar o sinal de f ′(x), primeiro para x< c, sufici-
entemente próximos, e depois para c< x, suficientemente próximos:
i. Se o sinal muda de − para +, então f (c) é um valor mínimo relativo;
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Cálculo Diferencial e Integral
ii. Se o sinal muda de + para −, então f (c) é um valor máximo relativo;
iii. Se não existe variação do sinal, então f não existem valores extremos em c.
Determinando os intervalos de crescimento e decrescimento de f
Do Teorema 6.2 e da Proposição 6.1, podemos concluir que para determinar os intervalos de
crescimento e decrescimento de uma função f é suficiente determinar os pontos críticos de f
e os pontos onde f não esteja definida. Logo, com estes pontos definimos intervalos abertos, e
analisamos se f ′ é positiva ou negativa em cada um destes intervalos.
A Proposição 6.2 e a Definição 6.2 nos permitem estabelecer o seguinte critério para determinar os
valores máximos e/ou mínimos relativos de uma função contínua:
Critério da derivada segunda para encontrar valores extremos
1. Determinar os pontos críticos da função f ;
2. Se c é um ponto crítico, calcular f ′′(c):
i. Se f ′′(c)> 0, então f (c) é um valor mínimo relativo;
ii. Se f ′′(c)< 0, então f (c) é um valor máximo relativo;
iii. Se f ′′(c) = 0 ou f ′′(c) não existe, então este critério não pode ser aplicado.
Exemplo 6.2
Determinemos os intervalos de crescimento e decrescimento, e os valores extremos de f :
a. f (x) = 2x3+6x2−48x+9
Solução
1. Dom( f ) = R;
2. Da definição de f , temos que f ′(x) = 6x2+12x−48 = 6(x+4)(x−2).
Logo, os pontos críticos são:
x=−4 e x= 2.
e os intervalos onde analisaremos se f é crescente ou decrescente são:
(−∞,−4), (−4,2) e (2,+∞).
Intervalos Sinal de f ′ Cresc. ou
Decresc.
(−∞,−4) + cresce
(−4,2) − decresce
(2,+∞) + cresce
Portanto, do critério da derivada primeira para encontrar valores extremos, temos que:
• f (−4) = 169 é um valor máximo relativo, em x=−4;
• f (2) =−47 é um valor mínimo relativo, em x= 2.
b. f (x) =
4
x−1 +
3x+2
3
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Cálculo Diferencial e Integral
Solução
1. Dom( f ) = R\{1};
2. Da definição de f , temos que f ′(x) =− 4
(x−1)2 +
3
3
=
(x+1)(x−3)
(x−1)2 .
Note que, x = 1 não é um ponto crítico, pois 1 /∈ Dom( f ). Logo, os pontos críticos
são:
x=−1 e x= 3.
e os intervalos onde analisaremos se f é crescente ou decrescente são:
(−∞,−1), (−1,1), (1,3) e (3,+∞).
Intervalos Sinal de f ′ Cresc. ou
Decresc.
(−∞,−1) + cresce
(−1,1) − decresce
(1,3) − decresce
(3,+∞) + cresce
Portanto, do critério da derivada primeira para encontrar valores extremos, temos que:
• f (−1) =−7
3
é um mínimo relativo;
• f (3) =
17
3
é um máximo relativo.
c. f (x) = 3x1/3(x+4)2/3
Solução
1. Dom( f ) = R;
2. Da definição de f , temos que f ′(x) =
(x+4)2/3
x2/3
+
2x1/3
(x+4)1/3
=
3x+4
x2/3(x+4)1/3
.
Logo, os pontos críticos são:
x=−4, x=−4
3
e x= 0.
e os intervalos onde analisaremos se f é crescente ou decrescente são:
(−∞,−4),
(
−4,−4
3
)
,
(
−4
3
,0
)
e (0,+∞).
Intervalos Sinal de f ′ Cresc. ou
Decresc.
(−∞,−4) + cresce(−4,−43) − decresce(−43 ,0) + cresce
(0,+∞) + cresce
Portanto, do critério da derivada primeira para encontrar valores extremos, temos que:
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Cálculo Diferencial e Integral
• f (−4) = 0 é um máximo relativo;
• f
(
−4
3
)
=−4 3√4 é um mínimo relativo;
• f (0) = 0, porém não é extremo relativo.
d. f (x) =
{ √
16− (x+3)2, se −7≤ x≤ 1;
1− x2, se x> 1
Solução
1. Dom( f ) = [−7,+∞);
2. Da definição de f , temos que f ′(x) =
 −
x+3√
16− (x+3)2 , se −7< x< 1
−2x, se x> 1
.
Note que,
• x = 0 não é um ponto crítico, pois f ′(x) = −2x está definida para todo x > 1, e
0< 1;
• x=−7 não é um ponto crítico, pois não pertence ao interior de Dom( f ).
Logo, os pontos críticos são:
x=−3 e x= 1.
e os intervalos onde analisaremos se f é crescente ou decrescente são:
(−7,−3), (−3,1) e (1,+∞).
Intervalos Sinal de f ′ Cresc. ou
Decresc.
(−7,−3) + cresce
(−3,1) − decresce
(1,+∞) − decresce
Portanto, do critério da derivada primeira para encontrar valores extremos, temos que:
• f (−3) = 4 é um máximo relativo;
• f (0) = 0 não é extremo relativo.
6.4 Determinando os Pontos de Inflexão e Concavidade da Curva
y=f (x)
Os conceitos de pontos de inflexão e concavidade são muito úteis no esboço do gráfico de uma curva.
Na figura abaixo, no item (a) observamos que dado um ponto qualquer c entre a e b, em pontos
próximos de c o gráfico de f estará acima da reta tangente à curva y = f (x), no ponto P = (c, f (c)).
Dizemos que a curva tem concavidade voltada para cima no intervalo (a,b).
Como f ′(x) é a inclinação da reta tangente à curva, no item (b) observa-se que no intervalo (a,b) a
derivada f ′(x) é crescente.
149 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
a bc
y = f(x)
P
y
x a b
y
x
y = f(x)
(a) (b)
Geometricamente falando, isso significa que a reta tangente gira no sentido anti-horário à medida que
sobre a curva da esquerda para a direita.
Analogamente, o inverso vale para uma função que tem concavidade voltada para baixo no intervalo
(a,b), isto é, o gráfico de f estará abaixo da reta tangente à curva y = f (x), no ponto P = (c, f (c)),
veja o item (a) da figura a seguir:
a bc
y = f(x)
P
y
x a b
y
x
y = f(x)
(a) (b)
No item (b) da figura acima, vemos que quando a concavidade é voltada para baixo a reta tangente
gira no sentido horário à medida que nos deslocamos sobre a curva da esquerda para a direita. A
derivada f ′(x) é decrescente em (a,b).
Assim, temos a seguinte definição:
Definição 6.3
Sejam f : R→ R uma função e (a,b) intervalo, com (a,b) ⊂ Dom( f ). Diz-se que a curva
y= f (x) é:
i. côncava para cima em (a,b) se f ′(x) for crescente neste intervalo;
ii. côncava para baixo em (a,b) se f ′(x) for decrescente neste intervalo.
Nota
Tendo em vista que a reta tangente à curva y= f (x), no ponto P= (c, f (c)), divide o plano
em dois semiplanos (um superior e outro inferior). Logo, dizer que a curva écôncava para
cima no ponto P significa que seu gráfico encontra-se no semiplano superior, ou que a reta
tangente se encontra por baixo da curva.
De forma análoga, dizer que a curva é côncava para baixo no ponto P significa que seu
gráfico encontra-se no semiplano inferior, ou que a reta tangente se encontra por cima da
curva.
150 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
Definição 6.4
Sejam f : R→ R uma função e c ∈ Dom( f ). Diz-se que P= (c, f (c)) é um ponto de inflexão
de f , Se f é contínua em c, e existe um δ > 0 tal que as concavidades nos intervalos (c−δ ,c)
e (c,c+ δ ) são diferentes. Em outras palavras, um ponto de inflexão é um ponto em que o
gráfico de uma função possui uma reta tangente e há mudança de concavidade.
x
f ''(c) = 0
f ''(x) > 0
f ''(x) < 0
Ponto de 
Inflexão
f
c
Proposição 6.3 (Teste da segunda derivada para concavidade)
Sejam f : R→ R uma função e B(c;δ ) ⊂ Dom( f ) uma vizinhança, de c. Suponha que f é
derivável em B(c;δ ) e f ′′(c) 6= 0.
i. Se f ′′(c)> 0, então f é côncava para cima no ponto P= (c, f (c));
ii. Se f ′′(c)< 0, então f é côncava para baixo no ponto P= (c, f (c)).
Corolário 6.1
Se f é derivável duas vezes em B(c;δ )⊂Dom( f ) e P= (c, f (c)) é um ponto de inflexão de f ,
então f ′′(c) = 0.
Proposição 6.4 (Condição suficiente para pontos de inflexão)
Sejam f :R→R uma função e B(c;δ )⊂Dom( f ) uma vizinhança, de c. Suponha que f é duas
vezes derivável em B(c;δ ), exceto talvez em x= c, porém contínua em x= c, e
i. f ′′(c) = 0 ou não existe f ′′(c);
ii. f ′′ tem sinais opostos em (c−δ ,c) e em (c,c+δ ).
Então, P= (c, f (c)) é um ponto de inflexão.
Das Proposições 6.3 e 6.4 podemos estabelecer o seguinte critério para encontrar os pontos de infle-
xão de uma função contínua f :
Critério para determinar os pontos de inflexão de uma função
1. Encontrar os valores de x para os quais f ′′ é zero ou indefinida, chamaremos tais valores
de pontos críticos de inflexão (pci);
2. Se c é um pci, devemos determinar o sinal de f ′′(x), primeiro para x< c, suficientemente
próximos, e depois para c< x, suficientemente próximos:
i. Se f ′′(x) muda de sinal, então o pci avaliado gera o ponto de inflexão P= (c, f (c));
ii. Se não existe variação do sinal, então o pci avaliado não gera nenhum ponto de infle-
xão;
151 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
Determinando os intervalos de concavidade da curva y= f (x)
Da Definição 6.3 e da Proposição 6.4, podemos concluir que para determinar os intervalos de
concavidade da curva y= f (x) é suficiente determinar os pci de f , e os pontos onde f não esteja
definida. Logo, com estes pontos definimos intervalos abertos, e analisamos se f ′′ é positiva ou
negativa em cada um destes intervalos.
Exemplo 6.3
Determinemos os intervalos de concavidade para cima e para baixo, e os pontos de inflexão de f
definida por:
a. f (x) = x6− x5
Solução
1. Dom( f ) = R;
2. f é contínua em Dom( f );
3. Da definição de f , temos que f ′(x) = 6x5−5x4;
4. Da definição de f ′, temos que f ′′(x) = 30x4−20x3 = 10x3(3x−2);
Logo, os pontos críticos de inflexão são:
x= 0 e x= 2/3.
e os intervalos onde analisaremos se f é côncava para cima ou para baixo são:
(−∞,0),
(
0,
2
3
)
e
(
2
3
,+∞
)
.
A análise dos sinais de f ′′(x) é mostrada na tabela a seguir:
Intervalos Sinal de f ′′ Concavidade
(−∞,0) + para cima(
0, 23
) − para baixo(2
3 ,+∞
)
+ para cima
Portanto, P1 =(0, f (0))= (0,0) e P2 =
(2
3 , f
(2
3
))
=
(2
3 ,− 32729
)
são pontos de inflexão.
O item (a) da figura abaixo mostra o gráfico dessa função.
b. f (x) =
{
(x−3)2, se x≥ 3;
− 3√x−3, se x< 3
Solução
1. Dom( f ) = R;
2. f é contínua em Dom( f );
3. Da definição de f , temos que f ′(x) =

2(x−3), se x> 3;
− 1
3 3
√
(x−3)2 , se x< 3.
4. Da definição de f ′, temos que f ′′(x) =

2, se x> 3;
2
9 3
√
(x−3)5 , se x< 3.
Logo, o ponto crítico de inflexão é x= 3, pois para x= 3, f ′′ não existe, e os intervalos
152 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
onde analisaremos se f é côncava para cima ou para baixo são:
(−∞,3) e (3,+∞) .
A análise dos sinais de f ′′(x) é mostrada na tabela a seguir:
Intervalos Sinal de f ′′ Concavidade
(−∞,3) − para baixo
(3,+∞) + para cima
Portanto, P = (3, f (3)) = (3,0) é ponto de inflexão. O item (b) da figura abaixo
mostra o gráfico dessa função.
x
y
f
50
1
f
x
y
10
f
(a)
x
y
30
f
(b) (c)
c. f (x) =
x+1
x−5
Solução
1. Dom( f ) = R\{5};
2. f é contínua em Dom( f );
3. Da definição de f , temos que f ′(x) =− 6
(x−5)2 ;
4. Da definição de f ′, temos que f ′′(x) =
12
(x−5)3 ;
Note que, x= 5 não é um ponto crítico de inflexão, pois 5 /∈Dom( f ). Portanto, f não
tem pontos de inflexão, e os intervalos onde analisaremos se f é côncava para cima
ou para baixo são:
(−∞,5) e (5,+∞) .
A análise dos sinais de f ′′(x) é mostrada na tabela a seguir:
Intervalos Sinal de f ′′ Concavidade
(−∞,5) − para baixo
(5,+∞) + para cima
O item (c) da figura acima mostra o gráfico dessa função.
Proposição 6.5 (Condição suficiente de concavidade e pontos de inflexão com a n−ésima derivada)
Sejam f : R → R uma função e B(c;δ ) ⊂ Dom( f ) uma vizinhança de c. Suponha que
f tem derivadas contínuas até a ordem n em B(c;δ ),
f ′′(c) = f ′′′(c) = · · ·= f (n−1)(c) = 0 e f (n)(c) 6= 0.
153 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
i. Se n é par e f (n)(c)> 0, então f é côncava para cima em x= c;
ii. Se n é par e f (n)(c)< 0, então f é côncava para baixo em x= c;
iii. Se n é ímpar, então P= (c, f (c)) é um ponto de inflexão da curva y= f (x).
Proposição 6.6 (Condição suficiente de valor extremo e pontos de inflexão com a n−ésima derivada)
Sejam f : R → R uma função e B(c;δ ) ⊂ Dom( f ) uma vizinhança de c. Suponha que
f tem derivadas contínuas até a ordem n em B(c;δ ),
f ′′(c) = f ′′′(c) = · · ·= f (n−1)(c) = 0 e f (n)(c) 6= 0.
i. Se n é par e f (n)(c)> 0, então f tem um valor mínimo em c;
ii. Se n é par e f (n)(c)< 0, então f tem um valor máximo em c;
iii. Se n é ímpar, então P= (c, f (c)) é um ponto de inflexão da curva y= f (x).
Exemplo 6.4
Determinemos os valores extremos e pontos de inflexão de f definida por:
a. f (x) = (x−2)6
Solução
Da definição de f , temos que
f ′(x) = 6(x−2)5, f ′′(x) = 30(x−2)4, f ′′′(x) = 120(x−2)3
f (4)(x) = 360(x−2)2, f (5)(x) = 720(x−2) e f (6)(x) = 720.
Logo, a equação f ′(x) = 0 admite uma única solução em x= 2.
Como f ′(2) = f ′′(2) = f ′′′(2) = f (4)(2) = f (5)(2) = 0, f (6)(2) > 0 e n = 6 é par, então
aplicando a Proposição 6.6, existe um valor mínimo de f em x= 2, isto é, o valor mínimo
é f (2) = 0, e não existem pontos de inflexão.
b. f (x) = (x−2)5+5
Solução
Da definição de f , temos que
f ′(x) = 5(x−2)4, f ′′(x) = 20(x−2)3, f ′′′(x) = 60(x−2)2
f (4)(x) = 120(x−2) e f (5)(x) = 120.
Logo, a equação f ′(x) = 0 admite uma única solução em x= 2.
Como f ′(2) = f ′′(2) = f ′′′(2) = f (4)(2) = 0, f (5)(2)> 0 e n= 5 é ímpar, então aplicando
a Proposição 6.6, P= (2, f (2)) = (2,5) é um ponto de inflexão da curva y= f (x), e não
existem valores extremos.
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Cálculo Diferencial e Integral
6.5 Esboçando o gráfico de y = f (x)
O esboço do gráfico de uma função é muito importante, pois com ele podemos determinar o seu
comportamento em R. Para esboçar o gráfico de uma função, precisaremos da teoria de limites, de
continuidade e de derivadas. O procedimento é o seguinte:
1. Determinar o domínio de f , Dom( f );
2. Determinar as interseções com os eixos;
3. Verificar a simetria da função, a existência de assíntotas, os limites nos extremos de Dom( f ) e
nos pontos de descontinuidade, a fim de determinar o comportamento da função nesses pontos;
4. Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento, e os valores extremos da função;5. Determinar os intervalos de concavidade para cima e para baixo, e os pontos de inflexão;
6. Esboçar o gráfico da função com informações obtidas.
Exemplo 6.5
Esboçe o gráfico de f definida por:
a. f (x) =
x2− x−2
x−5
Solução
1. Dom( f ) = R\{5};
2. Interseções com os eixos:
• Com o eixo y: para x= 0, temos que f (0) = 2/5
• Com o eixo x: para f (x) = 0, temos que x=−1 ou x= 2
Logo, os pontos de interseção com os eixos são: (0,2/5), (−1,0) e (2,0).
3.
• O gráfico não é simétrico com respeito ao eixo y pois f (−x) 6= f (x)
• Assíntota vertical: x= 5 porque
lim
x→5−
f (x) =−∞ e lim
x→5+
f (x) = +∞;
• Assíntotas horizontais: não existem porque
lim
x→−∞ f (x) =−∞ e limx→+∞ f (x) = +∞;
• Assíntotas oblíquas: y= x+4 é a única oblíqua porque
lim
x→±∞
f (x)
x
= 1 e lim
x→±∞( f (x)− x) = 4.
4. Da definição de f , temos que f ′(x) =
x2−10x+7
(x−5)2 .
Logo, os pontos críticos são x = 5−3√2 e x = 5+3√2, e os intervalos onde anali-
saremos o crescimento ou decrescimento de f são:
(−∞,5−3
√
2), (5−3
√
2,5), (5,5+3
√
2) e (5+3
√
2,+∞).
A análise dos sinais de f ′(x) é mostrada na tabela a seguir:
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Cálculo Diferencial e Integral
Intervalos Sinal de f ′ Cresc. ou
Decresc.
(−∞,5−3√2) + crescente
(5−3√2,5) − decrescente
(5,5+3
√
2) − decrescente
(5+3
√
2,+∞) + crescente
Então, f (5−3√2) é um valor máximo e f (5+3√2) é um valor mínimo.
5. Da definição de f ′, temos que f ′′(x) =
36
(x−5)3 .
Logo, não existem pontos críticos de inflexão, pois 5 /∈ Dom( f ) e os intervalos onde
analisaremos a concavidade para cima ou para baixo de f são:
(−∞,5) e (5,+∞).
A análise dos sinais de f ′′(x) é mostrada na tabela a seguir:
Intervalos Sinal de f ′′ Concavidade
(−∞,5) − para baixo
(5,+∞) + para cima
6. Portanto, o gráfico de f é o item (a) da figura a seguir:
x
y
0
f
f
-4
4
5
x
y
0
f
f
-2 2
(a) (b)
b. f (x) =
x
x2−4
Solução
1. Dom( f ) = R\{−2,2};
2. Interseções com os eixos: (0,0);
3.
• O gráfico de f não é simétrico em relação ao eixo y porque f (−x) 6= f (x).
• Assíntotas verticais: x=−2 e x= 2, porque
lim
x→−2−
f (x) =−∞ e lim
x→−2+
f (x) = +∞;
lim
x→2−
f (x) =−∞ e lim
x→2+
f (x) = +∞;
• Assíntota horizontal: y= 0;
• Assíntotas oblíquas: não existem.
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Cálculo Diferencial e Integral
4. Da definição de f , temos que f ′(x) =− x
2+4
(x2−4)2 .
Logo, não existem pontos críticos, e os intervalos onde analisaremos o crescimento
ou decrescimento de f são:
(−∞,−2), (−2,2) e (2,+∞).
Porém, neste caso não será necessário fazer este analise, já que, f ′(x) < 0 para todo
x ∈ Dom( f ). Assim, f é decrescente em Dom( f ).
5. Da definição de f ′, temos que f ′′(x) =
2x(x2+12)
(x2−4)3 .
Logo, x = 0 é um ponto crítico de inflexão, e os intervalos onde analisaremos a con-
cavidade para cima ou para baixo de f são:
(−∞,−2), (−2,0), (0,2) e (2,+∞).
A análise dos sinais de f ′′(x) é mostrada na tabela a seguir:
Intervalos Sinal de f ′′ Concavidade
(−∞,−2) − para baixo
(−2,0) + para cima
(0,2) − para baixo
(2,+∞) + para cima
Assim, para x= 0, temos que o ponto P= (0, f (0)) = (0,0) é um ponto de inflexão;
6. Portanto, o gráfico de f é o item (b) da figura acima.
6.6 Teorema do Valor Médio
O Teorema do Valor Médio para derivadas é importante na teoria de cálculo por conta das muitas
propriedades das funções que podem ser deduzidas a partir dele. Por exemplo, sabemos que fun-
ções constantes têm derivadas iguais a zero, mas poderia existir uma função mais complicada cujas
derivadas fossem sempre zero? A seguinte teoria nos diz sobre esse assunto.
Teorema 6.4 (Teorema de Rolle)
Sejam f : R→ R uma função e [a,b] um intervalo. Suponha que f é contínua em [a,b] e
derivável em (a,b) tal que f (a) = 0 e f (b) = 0, então existe pelo menos um ponto c ∈ (a,b)
que verifica
f ′(c) = 0.
f
xa
b
c1 c2 c3
c4
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Cálculo Diferencial e Integral
Nota
No Teorema 6.4:
a. a condição de continuidade de f em [a,b] é obviamente muito importante, pois garante
que o gráfico de f não tenha saltos bruscos dentro de [a,b].
b. o resultado continua sendo válido se a hipótese f (a) = 0 e f (b) = 0 for substituída
por f (a) = f (b). A figura a seguir ilustra este fato:
c1a
f
xa b
f
c
c2
c3 xb
c. afirma-se que a curva deve ter pelo menos uma reta tangente horizontal em algum
ponto do intervalo (a,b).
Teorema 6.5 (Teorema do Valor Médio ou de Lagrange)
Sejam f : R→ R uma função e [a,b] um intervalo. Suponha que f é contínua em [a,b] e
derivável em (a,b). Então, existe pelo menos um c ∈ (a,b) tal que
f ′(c) =
f (b)− f (a)
b−a ,
ou equivalentemente,
f ′(c)(b−a) = f (b)− f (a).
a bc
y = f(x)
A
B
P
y
x
f(b)
f(a)
Frequentemente, a seguinte extensão do Teorema do Valor Médio é útil. Ela é conhecida na literatura
como o Teorema Generalizado do Valor Médio de Cauchy:
Teorema 6.6
Sejam f e g : R→ R funções e (a,b) um intervalo. Suponha que f e g são continuas em [a,b],
deriváveis em (a,b), com g(a) 6= g(b) e g′(x) 6= 0, ∀x ∈ (a,b). Então, existe pelo menos um
c ∈ (a,b) tal que
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Cálculo Diferencial e Integral
f ′(c)
g′(c)
=
f (b)− f (a)
g(b)−g(a) .
Nota
Devemos observar que tanto o Teorema 6.6 quanto o Teorema do Valor Médio não es-
pecificam a posição exata do “valor médio” ou “valores médios”, já que em muitos casos
essa é uma tarefa difícil. Contudo, a utilidade real desses teoremas está no fato de que eles
garantem a existência de um ponto, ou pontos, e as concluções que podemos tirar desse
fato.
A prova dos seguintes resultados pode ser obtida aplicando o Teorema do Valor Médio e o Teorema
6.6.
Teorema 6.7 (Teorema da função constante)
Se f ′(x) = 0, para todo x ∈ (a,b), então f é uma função constante em (a,b).
Teorema 6.8 (Teorema da diferença constante)
Sejam f e g funções contínuas em [a,b]. Então, f ′(x) = g′(x) para todo x ∈ (a,b) se, e somente
se, f (x) = g(x)+ k, onde k é uma constante.
6.7 Formas indeterminadas e a regra de L’Hôpital
Em muitos exemplos das seções e capítulos anteriores, calculamos o limite de um quociente f (x)/g(x)
onde o numerador f (x) e o denominador g(x) tendem a 0 ou ∞. Nos exemplos desse tipo diz-se que
o quociente f (x)/g(x) adota uma forma indeterminada.
Uma maneira de resolver esses problemas é obtendo polinômios de aproximação para f (x) e para
g(x). Algumas vezes o trabalho pode ser abreviado com o uso de uma técnica de derivação denomi-
nada de regra de L’Hôpital
Caso I: Forma indeterminada 0/0
Teorema 6.9
Suponha que lim
x→a f (x) = 0 e limx→ag(x) = 0, que f e g sejam deriváveis em um intervalo aberto I,
que g′(x) 6= 0, ∀x ∈ I e
lim
x→a
f ′(x)
g′(x)
= p,
com p ∈ R ou p=+∞ ou p=−∞. Então,
lim
x→a
f (x)
g(x)
= p.
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Cálculo Diferencial e Integral
Nota
a. Se lim
x→a
f ′(x)
g′(x)
também resulta numa indeterminação 0/0, então podemos aplicar a re-
gra de L’Hôpital repetidas vez até obter, p ∈ R ou p=+∞ ou p=−∞.
b. Na notação x→ a, a pode ser finito ou infinito. Além disso, x→ a pode ser substituído
pelos limites laterais x→ a− ou x→ a+.
Exemplo 6.6
Calculemos os seguintes limites:
a. lim
x→0
1− e2x
x
Solução
Fazendo f (x) = 1− e2x e g(x) = x, temos que
lim
x→0
f (x) = 0 e lim
x→0
g(x) = 0.
Logo, podemos aplicar a regra de L’Hôpital. Das definições de f (x) e g(x), temos que
f ′(x) =−2e2x e g′(x) = 1. Assim,
lim
x→0
1− e2x
x
= lim
x→0
(1− e2x)′
(x)′
= lim
x→0
−2e2x
1
=−2.
Portanto, lim
x→0
1− e2x
x
=−2.
b. lim
x→0
sen(x)
x
Solução
Fazendo f (x) = sen(x) e g(x) = x, temos que
lim
x→0
f (x) = 0 e lim
x→0
g(x) = 0.
Logo, podemos aplicar a regra de L’Hôpital. Das definições de f (x) e g(x), temos que
f′(x) = cos(x) e g′(x) = 1. Assim
lim
x→0
sen(x)
x
= lim
x→0
(sen(x))′
(x)′
= lim
x→0
cos(x)
1
= 1.
Portanto, lim
x→0
sen(x)
x
= 1.
c. lim
x→0
x− tg(x)
x− sen(x)
Solução
Fazendo f (x) = x− tg(x) e g(x) = x− sen(x), temos que
lim
x→0
f (x) = 0 e lim
x→0
g(x) = 0.
160 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
Logo, podemos aplicar a regra de L’Hôpital. Das definições de f (x) e g(x), temos que
f ′(x) = 1− sec2(x) e g′(x) = 1− cos(x). Porém,
lim
x→0
f ′(x) = 0 e lim
x→0
g′(x) = 0
Desde que o quociente das derivadas
f ′(x)
g′(x)
tende à forma indeterminada 0/0, da Nota
anterior, podemos aplicar a regra de L’Hôpital repetidas vezes até eliminar essa indeter-
minação. Neste caso, aplicaremos duas vezes mais a regra de L’Hôpital, ou seja, até a
derivada de ordem 3. Assim
lim
x→0
x− tg(x)
x− sen(x) = limx→0
(x− tg(x))′
(x− sen(x))′ = limx→0
1− sec2(x)
1− cos(x)
lim
x→0
1− sec2(x)
1− cos(x) = limx→0
(1− sec2(x))′
(1− cos(x))′ = limx→0
−2tg(x)sec2(x)
sen(x)
lim
x→0
−2tg(x)sec2(x)
sen(x)
= lim
x→0
(−2tg(x)sec2(x))′
(sen(x))′
= lim
x→0
−2(1+3tg2(x))
cos2(x)
=−2.
Portanto, lim
x→0
x− tg(x)
x− sen(x) =−2.
Caso II: Forma Indeterminada ∞/∞
Em tratamentos mais avançados de cálculo é provado que a regra de L’Hôpital aplica-se à
forma indeterminada ∞/∞, da mesma forma que 0/0, ou seja, se f (x)→±∞ e g(x)→±∞,
quando x→ a, então
lim
x→a
f (x)
g(x)
= lim
x→a
f ′(x)
g′(x)
.
Nota
a. Se lim
x→a
f ′(x)
g′(x)
também resulta numa indeterminação ∞/∞ ou 0/0, então podemos apli-
car a regra de L’Hôpital repetidas vez até eliminar a indeterminação;
b. Na notação x→ a, a pode ser finito ou infinito. Além disso, x→ a pode ser substituído
pelos limites laterais x→ a− ou x→ a+.
Exemplo 6.7
Determinemos os limites da forma ∞/∞:
a. lim
x→+∞
ex
x2
Solução
Desde que lim
x→+∞e
x =+∞ e lim
x→+∞x
2 =+∞, obtemos
lim
x→+∞
ex
x2
= lim
x→+∞
(ex)′
(x2)′
= lim
x→+∞
ex
2x
= lim
x→+∞
ex
2
=+∞.
Portanto, lim
x→+∞
ex
x2
=+∞.
161 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
b. lim
x→pi/2+
tg(x)−5
sec(x)+4
Solução
Desde que lim
x→pi/2+
tg(x) =−∞ e lim
x→pi/2+
sec(x) =−∞, temos que
lim
x→pi/2+
tg(x)−5
sec(x)+4
= lim
x→pi/2+
(tg(x)−5)′
(sec(x)+4)′
= lim
x→pi/2+
sec2(x)
sec(x)tg(x)
= lim
x→pi/2+
1
sen(x)
= 1.
Portanto, lim
x→pi/2+
tg(x)−5
sec(x)+4
= 1
c. lim
x→+∞
ln(x)
4
√
x
Solução
Desde que lim
x→+∞ ln(x) = +∞ e limx→+∞4
√
x=+∞, temos que
lim
x→+∞
ln(x)
4
√
x
= lim
x→+∞
(ln(x))′
(4
√
x)′
= lim
x→+∞
1
x
2√
x
= lim
x→+∞
1
2
√
x
= 0.
Portanto, lim
x→+∞
ln(x)
4
√
x
= 0.
Caso III: Forma Indeterminada ∞ ·0
Para determinar lim
x→a f (x)g(x), quando limx→a f (x) = ∞ e limx→ag(x) = 0, a função f (x)g(x) deve ser
expressa de forma que adote uma das formas indeterminadas: 0/0 ou ∞/∞. Em outras palavras,
podemos reescrevê-la como
lim
x→a f (x)g(x) = limx→a
f (x)
1
g(x)
ou lim
x→a f (x)g(x) = limx→a
g(x)
1
f (x)
,
e assim, podemos aplicar as regras estabelecidas anteriormente.
Exemplo 6.8
Determinemos os limites da forma ∞ ·0:
a. lim
x→+∞x
1/4sen
(
1√
x
)
Solução
Desde que lim
x→+∞x
1/4 =+∞ e lim
x→+∞sen
(
1√
x
)
= 0, fazendo z=
1√
x
, temos que x→+∞
se, e somente se, z→ 0+, logo,
lim
x→+∞x
1/4sen
(
1√
x
)
= lim
z→0+
sen(z)√
z
= lim
z→0+
cos(z)
1
2
√
z
= lim
z→0+
2
√
zcos(z) = 0.
162 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
b. lim
x→0+
√
x ln(x)
Solução
Desde que lim
x→0+
√
x= 0 e lim
x→0+
ln(x) =−∞, temos que
lim
x→0+
√
x ln(x) = lim
x→0+
ln(x)
1/
√
x
= lim
x→0+
1/x
−1/2
√
x3
= lim
x→0+
(−2√x) = 0.
Caso IV: Forma Indeterminada ∞−∞
Para determinar lim
x→a( f (x)−g(x)), quando limx→a f (x) =±∞ e limx→ag(x) =±∞. Devemos analisar
as seguintes possibilidades:
i. Se ao tentar calcular este limite temos algumas destas expressões:
(+∞)− (+∞), (−∞)− (−∞), (+∞)+(−∞), (−∞)+(+∞),
então estamos diante de uma forma indeterminada do tipo ∞−∞. Estes limites são deno-
minados indeterminados, pois existe um conflito sobre qual dos dois termos domina, no
final das contas.
ii. Se ao tentar calcular um limite temos algumas destas expressões:
(+∞)+(+∞), (−∞)+(−∞), (+∞)− (−∞), (−∞)− (+∞),
elas não são indeterminadas, pois devemos lembrar que:
(+∞)+(+∞) = (+∞)− (−∞) = +∞, (−∞)+(−∞) = (−∞)− (+∞) =−∞.
Então, no caso de ter alguma das formas indeterminadas ∞−∞, precisamos utilizar a equiva-
lência:
f −g= f .g
(
1
g
− 1
f
)
Desde que lim
x→a f (x).g(x) = ∞ e limx→a
(
1
g
− 1
f
)
= 0, então podemos aplicar o Caso III.
Exemplo 6.9
Determinemos o limite
lim
x→pi/2−
(tg(x)− sec(x))
que é da forma ∞−∞:
Solução
Desde que lim
x→pi/2−
tg(x) = +∞ e lim
x→pi/2−
sec(x) = +∞, temos que
lim
x→pi/2−
(tg(x)− sec(x)) = lim
x→pi/2−
(tg(x).sec(x))
(
1
sec(x)
− 1
tg(x)
)
.
e aplicando o Caso III indeterminação 0/0.
lim
x→pi/2−
(tg(x).sec(x))
(
1
sec(x)
− 1
tg(x)
)
= lim
x→pi/2−
(
1
sec(x)
− 1
tg(x)
)′
(
1
tg(x).sec(x)
)′ .
163 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
Porém,
tg(x).sec(x) =
sen(x)
cos2(x)
e
1
sec(x)
− 1
tg(x)
=
1− sen(x)
cos(x)
.
Assim, (
1
tg(x).sec(x)
)′
=
(
cos2(x)
sen(x)
)′
=−cos(x)(2sen
2(x)− cos2(x))
sen2(x)
,(
1
sec(x)
− 1
tg(x)
)′
=
(
1− sen(x)
cos(x)
)′
=−
(
cos2(x)+ sen2(x)
cos2(x)
)
=− 1
cos2(x)
.
e (
1
sec(x)
− 1
tg(x)
)′
(
1
tg(x).sec(x)
)′ = −
1
cos2(x)
−cos(x)(2sen
2(x)− cos2(x))
sen2(x)
=
sen2(x)
cos3(x)(2sen2(x)− cos2(x)) .
Portanto,
lim
x→pi/2−
(tg(x)− sec(x)) = lim
x→pi/2−
sen2(x)
cos3(x)(2sen2(x)− cos2(x)) =
1
0+
=+∞.
Caso V: Potências indeterminadas
Os limites da forma 1∞, 00 e ∞0 podem, as vezes, ser tratados em função de um logarítmo,
que por sua vez pode ser resolvido usando a regra de L’Hôpital. Este procedimento pode ser
justificado pela continuidade da função exponencial e o teorema que fala sobre a continuidade
da composição de funções. Em outras palavras:
Proposição 6.7
Se lim
x→a ln( f (x)) = L, então
lim
x→a f (x) = e
lim
x→a ln( f (x)) = eL.
Nota
Se lim
x→a ln( f (x)) também resulta em alguma indeterminação já vista, então podemos aplicar
a regra de L’Hôpital repetidas vez até eliminar dita indeterminação.
Exemplo 6.10
Determinemos os seguintes limites:
a. lim
x→0+
(1+ x2)1/x
2
Solução
Notemos que essa indeterminação é da forma 1∞. Fazendo f (x) = (1+ x2)1/x
2
, determi-
nemos lim
x→0+
ln( f (x)). Como
ln
(
(1+ x2)1/x
2)
=
1
x2
ln(1+ x2) =
ln(1+ x2)
x2
164 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
pela regra de L’Hôpital, temos que
lim
x→0+
ln(1+ x2)
x2
= lim
x→0+
2x
2x(1+ x2)
= 1
Portanto, lim
x→0+
(1+ x2)1/x
2
= e1 = e.
b. lim
x→+∞x
1/x2
Solução
Notemos que essa indeterminação é da forma ∞0. Fazendo f (x) = x1/x2 , determinemos
lim
x→+∞ ln( f (x)). Como
ln(x1/x
2
) =
1
x2
ln(x) =
ln(x)
x2
pela regra de L’Hôpital, temos que
lim
x→+∞
ln(x)
x2
= lim
x→+∞
1/x
2x
= lim
x→+∞
1
2x2
= 0.
Portanto, lim
x→+∞x
1/x2 = e0 = 1.
6.8 Recapitulando
Neste capítulo, apresentamos algumas aplicações da derivada. Entendemos como ela nos ajuda a
estabelecer se uma função está crescendo ou decrescendo em um intervalo dado. Aprendemos os
conceitos de máximo e mínimo, absolutos ou relativos.
Desde que a derivada por si própia é uma função, ela pode ser derivável caso satisfaça certas con-
dições. Assim,as derivadas de ordem superior também nos auxiliam a entender mais ainda o com-
portamento de uma função, caso elas existam. Especificamente, com a ajuda da segunda derivada,
podemos encontrar os pontos de inflexão de uma curva dada e saber se ela é côncava para cima ou para
baixo. Novamente, o domínio desse conceito é fundamental, pois nos auxilia no esboço de gráficos
de funções.
Também foram apresentados teoremas de suma importância para a compreensão dos conceitos de
máximo e mínimo, entre eles, o Teorema do Valor Médio.
Por último, mas não menos importante, as derivadas nos auxiliam também no cálculo de limites
indeterminados como, por exemplo
0
0
ou
∞
∞
, entre outros. Para encontrar os valores desses limites
recorremos à Regra de L’Hôpital.
No próximo capítulo, apresentaremos a integral, que pode ser vista como a operação inversa da
derivada, propriedade que é chamada de Teorema Fundamental do Cálculo.
6.9 Atividades
1. Determine os pontos críticos e intervalos onde a função é crescente e decrescente, assim como
os máximos e mínimos relativos:
165 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
i. f (x) = x3−3x2+2x; ii. f (x) = x+1
x2+ x+1
;
iii. f (x) = 2−3x+ x3; iv. f (x) = 1− (x−2)4/5;
v. f (x) = x
√
1− x2; vi. f (x) = x2(1− x√x);
vii. f (x) =
x2+2x−23
x−4 ; viii. f (x) =
x
1+ x2
;
ix. f (x) =
1
ln(x4+4x3+30)
; x. f (x) =−x2√x2+2;
xi. f (x) = x− ln(1− x); xii. f (x) = x− ln(1+ x2);
xiii. f (x) = 3
√
(x2−a2)2; xiv. f (x) = (x2−2x) ln(x)− 3
2
x2+4x;
xv. f (x) =
x
x2−6x−16; xvi. f (x) = x ln(x);
xvii. f (x) = 2ex
2−4x; xviii. f (x) =
x
3
√
x2−4;
xix. f (x) = x(x−1)2(x−3)3; xx. f (x) = x ln2(x);
xxi. f (x) =
2arctg(x)
3
+
1
3
arctg
(
x
1− x2
)
.
2. Determine se o Teorema do Valor Médio é aplicável no intervalo indicado. Caso afirmativo,
encontre os valores que o verificam; caso contrário, dê uma razão que justifique sua resposta.
i. f (x) = x2+2x; em [−2,0]. ii. f (x) =√x2+9; em [0,4].
iii. f (x) = x3−2x2−3x; em [−2,2]. iv. f (x) = x+1
x−1; em [2,4].
v. f (x) = |4− x2|; em [−2,2]. vi. f (x) = |9−4x2|; em
[
−3
2
,
3
2
]
.
vii. f (x) =
{
2x+3, se x< 3;
15−2x, se x≥ 3; viii. f (x) =

3− x2
2
, se x≤ 1;
1
x
, se x> 1;
em [−1,5]. em [0,2].
ix. f (x) =

x2+4, se −2≤ x< 0;
4− x3, se 0≤ x< 1;
6
x2+1
se 1≤ x≤ 2;
x. f (x) =
{ 4
x2
, se x≤−1;
8−4x2, se x>−1;
em [−2,2]. em [−2,0].
166 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
xi. f (x) =
|x|3
1+ x6
; em [−2,2]. xii. f (x) = x
3
x2−4; em [−9,−4].
xiii. f (x) =
x2
4+ |x| ; em [−1,2].
xiv. f (x) =

|x2+9|, se x< 2;
5+2
√
x−2, se 2≤ x≤ 11;
1+(x−11)3 se x> 11;
em [−4,12].
3. Construa os gráficos das funções indicando os pontos de descontinuidade, os pontos críticos,
os intervalos onde é crescente e decrescente, os máximos e mínimos relativos, os pontos de
inflexão e os intervalos de concavidade:
i. f (x) = x2(x+4)3; ii. f (x) =
x2
x−1;
iii. f (x) = 3x2/3−2x; iv. f (x) = (x+2)√−x;
v. f (x) = x− ln(x+1); vi. f (x) = x
3
3− x2 ;
vii. f (x) = x− arctg(x); viii. f (x) = 2arcsen(x)√
1− x2 ;
ix. f (x) =
(x−1)2
(x+1)3
; x. f (x) =
2arctg(x)
3
+
1
3
arctg
(
x
1− x2
)
;
xi. f (x) = cos(x)cos(2x); xii. f (x) = sen(x)+ cos(x);
xiii. f (x) = sen3(x)+ cos3(x); xiv. f (x) =
ln
(√
x2+1
)
−1
x
;
xv. f (x) = (x+1) ln2(x+1); xvi. f (x) =
x2
2
ln
(
1
x
)
;
xvii. f (x) = (x2+2)e−x2; xviii. f (x) =
x
3
√
x2−1;
xix. f (x) = 2x+2−3 3
√
(x+2)2; xx. f (x) =
4x−12
(x−2)2 ;
xxi. f (x) =
x+4
2
3
√
x−4; xxii. f (x) = 4x5−5x4;
xxiii. f (x) = 2(18x+6x2−2x3−54)1/3; xxiv. f (x) = arctg(ln(x));
xxv. f (x) = e−x cos(x).
167 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
4. Determine os seguintes limites aplicando a regra de L’Hôpital:
i. lim
x→0
x− sen(x)
x− tg(x) ; ii. limx→∞
pi−2arctg(x)
ln
(
1+
1
x
) ;
iii. lim
x→a
xm−am
xn−an ; iv. limx→0
ex
2−1
cos(x)−1;
v. lim
x→0
ex− e−x
sen(x)cos(x)
; vi. lim
x→0
ex− e−x−2x
x− sen(x) ;
vii. lim
x→0
ex− x
3
6
− x
2
2
− x−1
cos(x)+
x2
2
−1
; viii. lim
x→0
ln(1+ x)4−4x+2x2− 4
3
x3+ x4
6sen(x)−6x+ x3 ;
ix. lim
x→1
(
x
x−1 −
1
ln(x)
)
; x. lim
x→1
(
1
ln(x)
− x
ln(x)
)
;
xi. lim
x→0
(
1
x
)sen(x)
; xii. lim
x→0
xx;
xiii. lim
x→1
x
1
1− x ; xiv. lim
x→pi/2
(sen(x))tg(x).
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Cálculo Diferencial e Integral
Capítulo 7
A Integral Indefinida
OBJETIVOS DO CAPÍTULO
Ao final deste capítulo você deverá ser capaz de:
• Compreender o significado da integral indefinida;
• Familiarizar-se com as fórmulas básicas de integração;
• Aplicar corretamente os métodos de integração;
• Determinar as integrais de funções racionais e irracionais.
7.1 Introdução
No estudo da derivada, o problema básico da derivação é: dado o recorrido de um ponto móvel,
calcular sua velocidade, ou dada uma curva, calcular sua inclinação, isto é, obter, a partir de uma
função, outra função chamada de derivada.
Neste capítulo, o problema básico da integração é o caso inverso da derivação: dada a velocidade de
um ponto móvel em cada instante, encontrar sua trajetória, ou dada a inclinação de uma curva em cada
um de seus pontos, calcular a curva, ou seja, encontraremos ou determinaremos uma função original
que chamaremos de antiderivada. Por tal motivo, aprenderemos algumas das técnicas para encontrar
as antiderivadas aplicando as regras de derivação estudadas no Capítulo 5.
7.2 A Antiderivada
Estudar o cálculo diferencial trata-se, principalmente, de: dada uma função, encontrar sua derivada.
No entanto, muitas aplicações importantes do cálculo têm uma relação com o problema inverso, isto
é: “dada uma função f definida em um intervalo I, encontrar uma função F cuja derivada seja a
função f , ou seja, F ′(x) = f (x) para cada x pertencente ao intervalo I”.
Mais formalmente, temos a seguinte definição.
Definição 7.1
Diz-se que a função F é uma antiderivada da função f no intervalo I, se
F ′(x) = f (x), ∀x ∈ I.
169 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
Exemplo 7.1
Sejam as funções f (x) = 4x3 e g(x) = ex, com x ∈ R. Da Definição 7.1, as funções F(x) = x4 e
G(x) = ex, com x ∈ R, são antiderivadas de f e g em R, respectivamente, em outras palavras:
F ′(x) =
(
x4
)′
= 4x3, e G′(x) = (ex)′ = ex, ∀x ∈ R.
No entanto,
F1(x) = x4+5, F2(x) = x4+
√
ln(pi), e F3(x) = x4+
100pi
4
√
e
,
também são antiderivadas da função f , pois se derivarmos cada uma delas obteremos 4x3.
De forma análoga,
G1(x) = ex−6, G2(x) = ex+ pi√e , e G3(x) = e
x− ln(2)
1099
também são antiderivadas da função g.
Nota
Se F(x) é uma antiderivada de f (x) em um intervalo I, então F(x) + c é também uma
antiderivada de f (x) em I, onde c é uma constante real. Em outras palavras, a antiderivada
de uma função nunca é única, salvos os casos em que são especificadas algumas condições
adicionais.
Proposição 7.1
Sejam I um intervalo aberto, f : I → R e F : I → R uma antiderivada de f . Se F1 : I → R é
também uma antiderivada de f , então existe uma constante c ∈ R tal que
F1(x) = F(x)+ c.
Definição 7.2
Sejam I um intervalo aberto, f : I→ R e F : I→ R uma antiderivada de f . A Integral Indefi-
nida de f é o conjunto de todas as antiderivadas de f definidas em dito intervalo e é denotada
por:
∫
f (x)dx= F(x)+ c,
onde c é uma constante real denominada de constante de integração.
170 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
Nota
a. Dada a integralindefinida
∫
f (x)dx= F(x)+ c.
Diz-se que:
i. f (x) é o integrando;
ii. f (x)dx é o elemento de integração;
iii. x é a variável da integral;
iv. o símbolo
∫
é denominado símbolo da integral.
v. A equação acima deve ser lida como: a integral de f (x) em relação a x é igual a
F(x) mais uma constante.
b. Da Definição 7.2, deduzem-se as seguintes propriedades:
i. A derivada da integral indefinida é igual ao integrando, isto é:
d
dx
(∫
f (x)dx
)
=
(∫
f (x)dx
)′
= (F(x)+ c)′ = f (x);
ii. d
(∫
f (x)dx
)
=
(∫
f (x)dx
)′
dx= f (x)dx;
iii. Se f é uma função derivável em I, então uma antiderivada de f é f ′. Logo,∫
f ′(x)dx= f (x)+ c;
iv. Desde que
d ( f (x))
f ′(x)
= dx, deduz-se que∫
d ( f (x)) = f (x)+ c.
c. A partir dessas observações, pode-se concluir que a integral indefinida é interpretada
como uma operação inversa da diferenciação. Isto é, ao aplicar a integral indefinida ao
diferencial da função f (x), esta resulta na função f (x) mais a constante de integração.
Exemplo 7.2
Do exemplo anterior, obtém-se:∫
4x3dx= x4+ c e
∫
exdx= ex+ c.
171 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
Nota
O significado geométrico da antiderivada F(x) da função f (x) é que qualquer outra antide-
rivada de f (x) é uma curva paralela ao gráfico de y = F(x). No item (a) da figura abaixo
podemos ver uma interpretação geométrica geral e no item (b) vemos a ilustração das anti-
derivadas da função f (x) = ex, isto é, F(x) = ex+ c.
y y
x
x
y = F(x) - c
y = F(x) + c
y = F(x)
y = ex
0
0
Exemplo 7.3
Determinemos as seguintes integrais indefinidas:
a.
∫
ln(x)dx
Solução
Desde que d(x ln(x)− x) = ln(x)dx , obtemos que
∫
ln(x)dx= x ln(x)− x+ c.
b.
∫ 1
4+ x2
dx
Solução
Desde que d
(
1
2
arc tg
(x
2
)
+ c
)
=
1
2
 12
1+ x
2
4
dx= 14+ x2dx, obtemos que∫
1
4+ x2
dx=
1
2
arc tg
(x
2
)
+ c.
7.3 Propriedades da Integral Indefinida
Os seguintes resultados são análogos aos obtidos para as derivadas da soma e do produto com um
escalar.
Proposição 7.2
Se f e g são duas funções que admitem antiderivadas no intervalo I e k ∈ R é uma constante,
então as funções f ±g e k · f admitem antiderivadas em I e tem-se:
172 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
i.
∫
[ f (x)±g(x)]dx=
∫
f (x)dx±
∫
g(x)dx;
ii.
∫
[k f (x)]dx= k
∫
f (x)dx.
Exemplo 7.4
Determinemos a seguinte integral indefinida
∫
(ex−4x3+ ln(x))dx
Solução
Pela Proposição 7.2 e os exemplos anteriores, temos que:
∫
(ex−4x3+ ln(x))dx =
∫
exdx−
∫
4x3dx+
∫
ln(x)dx
= (ex+ c1)− (x4+ c2)+(x ln(x)− x+ c3) = ex− x4+ x ln(x)− x+ c
onde c= c1+ c2+ c3.
Nota
No decorrer deste capítulo, usaremos somente uma única constante de integração para a
soma de duas ou mais funções.
7.4 Integrais Imediatas
Seja uma função f derivável. Se f ′ é conhecida, então deduz-se que:∫
f ′(x)dx= f (x)+ c ou equivalentemente
∫
d ( f (x)) = f (x)+ c.
Quando isso acontece, diz-se que tal integral é uma integral imediata. Na sequência, listamos algumas
integrais imediatas de funções elementares e de outras funções que serão de muita utilidade. Por
conveniência, usamos a variável u em lugar de x, porque, como veremos nas próximas seções, u pode
ser uma função do tipo u= u(x).
Fórmulas elementares de integração
1.
∫
du= u+ c 2.
∫ du
u
= ln |u|+ c
3.
∫
undu=
un+1
n+1
+ c, para n 6=−1 4.
∫
eudu= eu+ c
5.
∫
audu=
au
ln(a)
+ c 6.
∫
sen(u)du=−cos(u)+ c
7.
∫
cos(u)du= sen(u)+ c 8.
∫
tg(u)du= ln |sec(u)|+ c
9.
∫
cotg(u)du= ln |sen(u)|+ c 10.
∫
sec(u)du= ln |sec(u)+ tg(u)|+ c
173 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
11.
∫
cossec(u)du= ln |cossec(u)− cotg(u)|+ c
12.
∫
cossec(u)cotg(u)du=−cossec(u)+ c
13.
∫
sec2(u)du= tg(u)+ c 14.
∫
cossec2(u)du=−cotg(u)+ c
15.
∫
sec(u) tg(u)du= sec(u)+ c 16.
∫
senh(u)du= cosh(u)+ c
17.
∫
cosh(u)du= senh(u)+ c 18.
∫
tgh(u)du= ln |cosh(u)|+ c
19.
∫
sech2(u)du= tgh(u)+ c 20.
∫
cossech2(u)du=−cotgh(u)+ c
21.
∫
sech(u) tgh(u)du=−sech(u)+ c
22.
∫
cossech(u)cotgh(u)du=−cosh(u)+ c
23.
∫ du
a2+u2
=
1
a
arc tg
(u
a
)
+ c, a> 0 24.
∫ du
u2−a2 =
1
2a
ln
∣∣∣∣u−au+a
∣∣∣∣+ c, a> 0
25.
∫ du
a2−u2 =
1
2a
ln
∣∣∣∣u+au−a
∣∣∣∣+ c, a> 0 26. ∫ du√a2−u2 = arcsen
(u
a
)
+ c, a> 0
27.
∫ du√
u2±a2 = ln
∣∣∣u+√u2±a2∣∣∣+ c
28.
∫ du
u
√
u2−a2 =
1
a
arcsec
( |u|
a
)
+ c, a> 0
29.
∫ √
a2−u2du= 1
2
[
u
√
a2−u2+a2arcsen
(u
a
)]
+ c, a> 0
30.
∫ √
u2+a2du=
1
2
[
u
√
u2+a2+a2 ln
(
u+
√
u2+a2
)]
+ c
31.
∫ √
u2−a2du= 1
2
[
u
√
u2−a2−a2 ln
∣∣∣u+√u2−a2∣∣∣]+ c
Nota
Para verificar cada uma dessas fórmulas podemos derivar o lado direito da equação com
respeito à variável u.
Exemplo 7.5
Mostremos que ∫
du
u2−a2 =
1
2a
ln
∣∣∣∣u−au+a
∣∣∣∣+ c, para a> 0.
Solução
De fato,
d
du
(
1
2a
ln
∣∣∣∣u−au+a
∣∣∣∣)= 12a
[
d
du
(ln |u−a|− ln |u+a|)
]
=
1
2a
[
1
u−a −
1
u+a
]
=
1
u2−a2 .
174 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
Portanto,
∫ du
u2−a2 =
1
2a
ln
∣∣∣∣u−au+a
∣∣∣∣+ c.
Exemplo 7.6
Determinemos as seguintes integrais indefinidas:
a.
∫
x(a−bx2)dx, para a, b ∈ R.
Solução ∫
x(a−bx2)dx=
∫
(ax−bx3)dx= a
∫
xdx−b
∫
x3dx=
ax2
2
− bx
4
4
+ c.
b.
∫
(x3+1)43x2dx
Solução
Fazendo u= x3+1, temos que du= 3x2dx. Logo,∫
(x3+1)43x2dx=
∫
u4du=
t5
5
+ c=
(x3+1)5
5
+ c.
c.
∫
(xm− xn)2√
x
dx, onde m, n 6= 3
4
e m+n 6= 3
2
.
Solução
Antes de determinar essa integral, precisamos reescrever f :
(xm− xn)2√
x
=
x2m−2xm+n+ x2n√
x
= x2m−
1
2 −2xm+n− 12 +x2n− 12 = x 4m−12 −2x 2m+2n−12 +x 4n−12 .
Logo, ∫
(xm− xn)2√
x
dx =
∫ (
x
4m−1
2 −2x 2m+2n−12 + x 4n−12
)
dx
=
∫
x
4m−1
2 dx−2
∫
x
2m+2n−1
2 dx+
∫
x
4n−1
2 dx
=
x
4m+1
2
4m+1
2
−2 x
2m+2n+1
2
2m+2n+1
2
+
x
4n+1
2
4n+1
2
+ c
=
2
√
x4m+1
4m+1
− 4
√
x2m+2n+1
2m+2n+1
+
2
√
x4n+1
4n+1
+ c.
Nota
Em alguns casos, é necessário fazer uma mudança de variável no integrando com o intuito
de torná-lo mais simples de ser resolvido.
175 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
Exemplo 7.7
Determinemos as seguintes integrais indefinidas, fazendo uma mudança de variável:
a.
∫ x4
7
√
x5+1
dx
Solução
Fazendo u= x5+1, obtemos que du= 5x4dx, então,
∫
x4
7
√
x5+1
dx=
1
5
∫
5x4dx
7
√
x5+1
=
1
5
∫
u−1/7du=
1
5
· 7
6
u6/7+ c=
7
30
7
√
(x5+1)6+ c.
b.
∫ 5ex√
1− e2xdx
Solução
Fazendo u= ex, obtemos que du= exdx, então,∫
5ex√
1− e2xdx= 5
∫
du√
1−u2 = 5arcsen(u)+ c= 5arcsen(e
x)+ c.
c.
∫ senh(x) cosh(x)
(1+ senh2(x))5
dx
Solução
Fazendo u= 1+ senh2(x), obtemos que du= 2senh(x)cosh(x)dx, então,
∫
senh(x) cosh(x)
(1+ senh2(x))5
=
∫ 1
2du
u5
=
1
2
∫
u−5du=
1
2
u−4
(−4) + c=
−1
8(1+ senh2(x))4
+ c.
d.
∫ arcsen(√x)√
x− x2 dx
Solução
Fazendo u= arcsen(
√
x), obtemos que du=
1√
1− x
dx
2
√
x
=
dx
2
√
x− x2 . Portanto,∫
arcsen(
√
x)√
x− x2 dx=
∫
2udu= u2+ c=
(
arcsen(
√
x)
)2
+ c= arcsen2(
√
x)+ c.
e.
∫ x+2
(x−2)4dx
Solução
Fazendo u= x−2, obtemos que du= dx. Logo,∫
u+4
u4
du=
∫
(u−3+4u−4)du=−1
2
u−2− 4
3
u−3+ c=− 3x+2
6(x−2)3 + c.
f.
∫
x
√
x+4dx
176 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
Solução
Fazendo u=
√
x+4, obtemos que u2 = x+4 e dx= 2udu. Logo,
∫
x
√
x+4dx =
∫
(u2−4)u2udu=
∫
(2u4−8u2)du
=
2
5
u5− 8
3
u3+ c=
u3
15
(6u2−40)+ c= (x+4)
3/2
15
(6x−16)+ c.
Nota
As vezes é necessáriomanipular a forma da função a ser integrada e obter uma expressão
equivalente, novamente, com o intuito de facilitar a determinação da integral.
Exemplo 7.8
Determinemos as seguintes integrais indefinidas:
a.
∫ √
2+
√
2+
√
2+2cos(5
√
x+4) · x−1/2dx
Solução
Antes de recorrer a alguma fórmula elementar, é necessário usar a identidade trigono-
métrica cos2
(
θ
2
)
=
1+ cos(θ)
2
ou, equivalentemente, 1+ cos(θ) = 2cos2
(
θ
2
)
em√
2+
√
2+
√
2+2cos(5
√
x+4), para expressá-la de uma forma fácil de trabalhar. Ou
seja,
√
2+
√
2+
√
2 [1+ cos(5
√
x+4)] =
√√√√√2+
√√√√2+√2[2cos2(5√x+4
2
)]
=
√√√√2+√2+2cos(5√x+4
2
)
=
√
2+2cos
(
5
√
x+4
4
)
= 2cos
(
5
√
x+4
8
)
.
Assim,∫ √
2+
√
2+
√
2+2cos(5
√
x+4) · x−1/2dx=
∫
2cos
(
5
√
x+4
8
)
· x−1/2dx.
Agora, fazendo u =
5
√
x+4
8
, temos que du =
5
16
x−1/2dx ou equivalentemente
16
5
du =
x−1/2dx. Logo,∫
2cos
(
5
√
x+4
8
)
· x−1/2dx= 32
5
∫
cos(u)du=
32
5
sen(u)+ c.
177 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
Portanto,∫ √
2+
√
2+
√
2+2cos(5
√
x+4) · x−1/2dx= 32
5
sen
(
5
√
x+4
8
)
+ c.
b.
∫ x
e3x(1− x)4dx
Solução
Notamos que no integrando, o denominador pode ser reescrito como uma potência. De
fato, multiplicando tanto o numerador como o denominador por ex, temos que:
x
e3x(1− x)4 =
xex
(e3x(1− x)4)ex =
xex
e4x(1− x)4 =
xex
(ex− xex)4 ,
assim, fazendo u = ex− xex, obtemos du = −xexdx ou, equivalentemente, −du = xexdx,
o que resulta em:∫
x
e3x(1− x)4dx=
∫
xex dx
(ex− xex)4dx=−
∫
du
u4
=
1
3u3
+ c=
1
3e3x(1− x)3 + c.
c.
∫
(x2−1)dx
(x2+1)
√
x4+1
Solução
Novamente, dividindo o numerador e o denominador do integrando por x2, obteremos:
(x2−1)
(x2+1)
√
x4+1
=
x2−1
x2(
x2+1
x
)√
x4+1
x
=
(
1− 1
x2
)
(
x+
1
x
)√
x2+
1
x2
.
Fazendo u= x+
1
x
, temos que du=
(
1− 1
x2
)
dx e u2−2 = x2+ 1
x2
. Logo,
∫
(x2−1)dx
(x2+1)
√
x4+1
=
∫ (1− 1
x2
)
dx(
x+
1
x
)√
x2+
1
x2
=
∫
du
u
√
u2−2 =
1√
2
arcsen
|u|√
2
+ c.
Portanto, ∫
(x2−1)dx
(x2+1)
√
x4+1
=
1√
2
arcsen
(
x2+1√
2|x|
)
+ c.
d.
∫ xdx√
1+ x2+
√
(1+ x2)3
Solução
Manipulando o integrando, temos que ele pode ser reescrito como
x√
1+ x2
√
1+
√
1+ x2
.
Logo, fazendo u= 1+
√
1+ x2, obteremos du=
xdx√
1+ x2
. Assim,
178 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
∫
x√
1+ x2
√
1+
√
1+ x2
dx=
∫
du√
u
=
∫
u−1/2du= 2
√
u+ c.
Portanto, ∫
xdx√
1+ x2+
√
(1+ x2)3
= 2
√
1+
√
1+ x2+ c.
7.5 Método de Integração por Partes
A ideia básica da integração por partes consiste em determinar a integral original mediante o cálculo
de outras integrais, as quais pressupomos são menos complicadas de ser resolvidas.
Sejam as funções u e v deriváveis no intervalo I, pela regra da derivada do produto, temos a equação:
d(uv) = udv+ vdu,
que pode ser reescrita como udv= d(uv)− vdu. Integrando ambos lados desta igualdade obtém-se a
fórmula ∫
udv= uv−
∫
vdu,
que é conhecida como fórmula de integração por partes. Ou seja, vamos decompor o elemento
de integração em dois fatores u e dv. Normalmente, escolhe-se como u a parte do integrando que se
simplifica com a derivação, logo, dv será o fator restante do elemento de integração.
Nota
Quando determinamos v a partir da integração do seu diferencial, ou seja,
∫
dv, não será
necessário considerar a constante de integração. De fato, observamos que se considerarmos
dita constante c, teremos v+ c em vez de v, então,∫
udv= u(v+ c)−
∫
(v+ c)du= uv+��cu−
∫
vdu−��cu= uv−
∫
vdu.
Em outras palavras, considerando ou não essa constante, ela não figurará no resultado fi-
nal.
Exemplo 7.9
Determinemos as seguintes integrais usando o método de integração por partes:
a.
∫
ln(x)dx
Solução
Se considerarmos u = ln(x) e dv = dx, então du =
1
x
dx e v =
∫
dx = x, como já foi
mencionado, não é necessário considerar a constante da integração. Aplicando a fórmula
de integração por partes, obtém-se:
∫
ln(x)dx= uv−
∫
vdu= x ln(x)−
∫
xdx
x
= x ln(x)−
∫
dx= x ln(x)− x+ c.
179 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
b.
∫
x2 ln(x)dx
Solução
Considerando u= ln(x) e dv= x2 dx, temos que du=
dx
x
e v=
∫
x2dx =
x3
3
. Logo,
∫
x2 ln(x)dx= uv−
∫
vdu=
x3
3
ln(x)−
∫
x3
3
dx
x
=
x3
3
ln(x)− 1
3
∫
x2dx=
x3 ln(x)
3
− x
3
9
+c.
c.
∫
ln
(
x+
√
1+ x2
)
dx
Solução
Considerando u= ln
(
x+
√
1+ x2
)
e dv= dx, temos que du=
dx√
1+ x2
e v= x. Então,
∫
ln
(
x+
√
1+ x2
)
dx = uv−
∫
vdu = x ln
(
x+
√
1+ x2
)
−
∫ xdx√
1+ x2
= x ln
(
x+
√
1+ x2
)
−√1+ x2+ c.
d.
∫
(x2+2x+3)cos(2x)dx
Solução
Considerando u = x2 + 2x+ 3 e dv = cos(2x)dx, temos que du = 2(x+ 1)dx e v =∫
cos(2x)dx =
sen(2x)
2
. Logo,
∫
(x2+2x+3)cos(2x)dx= uv−
∫
vdu=
x2+2x+3
2
sen(2x)−
∫
(x+1)sen(2x)dx.
Aplicando novamente a integração por partes à última integral temos:
u = x+1 ⇒ du = dx;
dv = sen(2x)dx ⇒ v =
∫
sen(2x)dx = −cos(2x)
2
.
Logo,∫
(x+1)sen(2x)dx = uv−
∫
vdu = −x+1
2
cos(2x)−
∫ (
−cos(2x)
2
)
dx
= −x+1
2
cos(2x)+
sen(2x)
4
+ c.
Portanto,∫
(x2+2x+3)cos(2x)dx =
x2+2x+3
2
sen(2x)−
∫
(x+1)sen(2x)dx
=
x2+2x+3
2
sen(2x)+
x+1
2
cos(2x)− sen(2x)
4
+ c
=
2x2+4x+5
4
sen(2x)+
x+1
2
cos(2x)+ c.
180 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
e.
∫
xe2xdx
Solução
Ao considerar u = x e dv = e2xdx, temos que du = dx e v =
∫
e2xdx =
e2x
2
. Assim,
obtemos:
∫
xe2xdx= uv−
∫
vdu=
xe2x
2
−
∫
e2x
2
dx=
xe2x
2
− e
2x
4
+ c=
e2x
4
(2x−1)+ c.
f.
∫
(x2+3x−1)e2xdx
Solução
Ao considerar u= x2+3x−1 e dv= e2xdx, temos que du= (2x+3)dx e v=
∫
e2xdx=
e2x
2
. Assim obtemos∫
(x2+3x−1)e2xdx= uv−
∫
vdu=
1
2
(x2+3x−1)e2x−
∫ (
x+
3
2
)
e2xdx;
aplicando novamente a integração por partes à última integral temos:
u = x+
3
2
⇒ du = dx;
dv = e2xdx ⇒ v =
∫
e2xdx =
e2x
2
.
Logo,∫ (
x+
3
2
)
e2xdx=
(
x+
3
2
)
e2x
2
−
∫ 1
2
e2xdx=
(
x+
3
2
)
e2x
2
− e
2x
4
= (x+1)
e2x
2
.
Portanto,∫
(x2+3x−1)e2xdx= 1
2
(x2+3x−1)e2x− (x+1)e
2x
2
= (x2+2x−2)e
2x
2
+ c.
g.
∫
xsen(3x)dx
Solução
Ao considerar u= x e dv= sen(3x)dx, temos que du= dx e v=
∫
sen(3x)dx=−cos(3x)
3
.
Assim, obtemos:
∫
xsen(3x)dx= uv−
∫
vdu=−x cos(3x)
3
−
∫ (
−cos(3x)
3
)
dx=−x cos(3x)
3
+
sen(3x)
9
+c.
h.
∫
eax cos(bx)dx, onde a,b> 0.
181 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
Solução
Ao considerar u = eax e dv = cos(bx)dx, temos que du = aeaxdx e v =
∫
cos(bx)dx =
sen(bx)
b
. Assim, obtemos
∫
eax cos(bx)dx=
1
b
eaxsen(bx)−
∫ a
b
eaxsen(bx)dx=
eax
b
sen(bx)− a
b
∫
eaxsen(bx)dx
e integrando novamente por partes a última integral
u = eax ⇒ du = aeaxdx;
dv = sen(bx)dx ⇒ v =
∫
sen(bx)dx=−cos(bx)
b
.
Dessa forma, obtemos∫
eax cos(bx)dx= uv−
∫
vdu=
eax
b
sen(bx)− a
b
[
−1
b
eax cos(bx)dx+
a
b
∫
eax cos(bx)dx
]
.
Desde que
∫
eax cos(bx)dx aparece em ambos lados da igualdade, o pomos em evidência
e somamos a constante de integração:∫
eax cos(bx)dx=
eax
a2+b2
(bsen(bx)+acos(bx))+ c.
i.
∫
sec5(x)dx
Solução
Em primeiro lugar, vamos reescrever essa integral:∫
sec5(x)dx=
∫
sec3(x) sec2(x)dx.
Agora, apliquemos a integração por partes, escolhendo:
u = sec3(x)⇒ du = 3sec3(x)tg(x)dx;
dv = sec2(x)dx ⇒ v =
∫
sec2(x)dx= tg(x).
Dessa forma, obtemos:∫
sec5(x)dx= uv−
∫
vdu = tg(x)sec3(x)−
∫
3sec3(x) tg2(x)dx
= tg(x)sec3(x)−
∫
3sec3(x)(sec2(x)−1)dx
= tg(x)sec3(x)−3
∫
sec5(x)dx+3
∫
sec3(x)dx
que resultará em:
4
∫
sec5(x)dx= tg(x)sec3(x)+3
∫
sec3(x)dx.
182 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
Integrando, novamente, por partes a última integral
u = sec(x) ⇒ du = sec(x)tg(x)dx;
dv = sec2(x)dx ⇒ v =
∫
sec2(x)dx= tg(x).
Logo,∫
sec3(x)dx=
1
2
sec(x)tg(x)+
1
2
∫
sec(x)dx=
1
2
(sec(x)tg(x)+ ln |sec(x)+ tg(x)|) .
Assim,
4
∫
sec5(x)dx= tg(x)sec3(x)+
3
2
(sec(x)tg(x)+ ln |sec(x)+ tg(x)|) .
Portanto,∫
sec5(x)dx=
1
4
tg(x)sec3(x)+
3
8
(sec(x)tg(x)+ ln |sec(x)+ tg(x)|)+ c.
j.
∫
xarc tg(x)dx
Solução
Escolhendo u= arc tg(x) e dv= xdx obtemos que du=
1
1+ x2
dx e v=
∫
xdx=
x2
2
. Assim,
∫
xarc tg(x)dx= uv−
∫
vdu =
x2
2
arc tg(x)− 1
2
∫ x2
1+ x2
dx
=
x2
2
arc tg(x)− 1
2
∫ (
1− 1
1+ x2
)
dx
=
x2
2
arc tg(x)− 1
2
(x− arc tg(x))+ c
=
(x2+1)
2
arc tg(x)− x
2
+ c.
k.
∫ cos(x)+ xsen(x)−1
(sen(x)− x)2 dx.
Solução
Usando a identidade sen2(x)+ cos2(x) = 1, reescrevemos essa integral como:
∫ cos(x)+ xsen(x)−1
(sen(x)− x)2 dx =
∫ cos(x)+ xsen(x)− sen2(x)− cos2(x)
(sen(x)− x)2 dx
=
∫ −cos(x)(cos(x)−1)− sen(x)(sen(x)− x)
(sen(x)− x)2 dx
=
∫ −cos(x)(cos(x)−1)
(sen(x)− x)2 dx−
∫ sen(x)
(sen(x)− x)dx.
183 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
Agora, determinemos a integral
∫ −cos(x)(cos(x)−1)
(sen(x)− x)2 dx. Aplicando integração por par-
tes, escolhemos:
u = −cos(x) ⇒ du = sen(x)dx;
dv =
(cos(x)−1)
(sen(x)− x)2dx ⇒ v =
∫
(cos(x)−1)
(sen(x)− x)2dx =−
1
(sen(x)− x) .
Assim,∫ cos(x)+ xsen(x)−1
(sen(x)− x)2 dx =
(
uv−
∫
vdu
)
−
∫ sen(x)
(sen(x)− x)dx
=
(
cos(x)
sen(x)− x +����
���
��∫ sen(x)
(sen(x)− x)dx
)
−
���
���
���
∫ sen(x)
(sen(x)− x)dx
=
cos(x)
sen(x)− x + c.
l.
∫ ex(1+ x ln(x))
x
dx
Solução
Separando essa integral como a soma de duas integrais temos:∫
ex(1+ x ln(x))
x
dx=
∫
ex
x
dx+
∫
ex ln(x)dx.
Aplicando a integração por partes na segunda integral temos:
u = ln(x) ⇒ du = 1
x
dx;
dv = exdx ⇒ v =
∫
exdx = ex.
Assim,∫
ex(1+ x ln(x))
x
dx=
∫
ex
x
dx+
[
uv−
∫
vdu
]
=
�
�
�
�
∫
ex
x
dx+
[
ex ln(x)−
�
�
�
�
∫
ex
x
dx
]
= ex ln(x)+c.
m.
∫ xearc tg(x)
(1+ x2)3/2
dx
Solução
Observamos que: ∫
xearc tg(x)
(1+ x2)3/2
dx=
∫
x√
1+ x2
earc tg(x)
(1+ x2)
dx.
Assim, aplicamos a integração por partes da seguinte forma:
u =
x√
1+ x2
⇒ du = 1
(1+ x2)3/2
dx;
dv =
earc tg(x)
(1+ x2)
dx ⇒ v =
∫ earc tg(x)
(1+ x2)
dx = earc tg(x).
184 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
Assim, ∫
xearc tg(x)
(1+ x2)3/2
dx= uv−
∫
vdu=
xearc tg(x)√
1+ x2
−
∫
earc tg(x)
(1+ x2)3/2
dx.
Novamente, aplicando integração por partes na segunda integral:
u =
1√
1+ x2
⇒ du = − x
(1+ x2)3/2
dx;
dv =
earc tg(x)
(1+ x2)
dx ⇒ v = earc tg(x);
resulta: ∫ xearc tg(x)
(1+ x2)3/2
=
xearc tg(x)√
1+ x2
−
[
uv−
∫
vdu
]
=
xearc tg(x)√
1+ x2
−
[
earc tg(x)√
1+ x2
+
∫ xearc tg(x)
(1+ x2)3/2
dx
]
=
xearc tg(x)√
1+ x2
− e
arc tg(x)
√
1+ x2
−
∫ xearc tg(x)
(1+ x2)3/2
.
Desde que
∫ xearc tg(x)
(1+ x2)3/2
aparece em ambos lados da igualdade, o pomos em evidência e
somamos a constante de integração. Portanto,∫
xearc tg(x)
(1+ x2)3/2
=
(x−1)earc tg(x)
2
√
1+ x2
+ c.
n.
∫ senh2(x)
(xcosh(x)− senh(x))2dx
Solução
Ao multiplicar e dividir a integral por x obtemos:∫
senh2(x)dx
(xcosh(x)− senh(x))2 =
∫
senh(x)
x
xsenh(x)
(xcosh(x)− senh(x))2 dx
e escolhemos:
u =
senh(x)
x
⇒ du = xcosh(x)− senh(x)
x2
dx;
dv =
xsenh(x)
(xcosh(x)− senh(x))2 dx ⇒ v =
∫ xsenh(x)
(xcosh(x)− senh(x))2 dx
= − 1
xcosh(x)− senh(x) .
então,∫ senh2(x)dx
(xcosh(x)− senh(x))2 = uv−
∫
vdu =
senh(x)
x(senh(x)− xcosh(x)) +
∫ dx
x2
=
senh(x)
x(senh(x)− xcosh(x)) −
1
x
+ c.
185 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
o.
∫ esen(x) (xcos3(x)− sen(x))
cos2(x)
dx
Solução
Observamos que:∫
esen(x)
(
xcos3(x)− sen(x))
cos2(x)
dx=
∫
xesen(x) cos(x)dx−
∫
esen(x)
sen(x)
cos2(x)
dx.
Aplicando a integração por partes a cada uma destas integrais. Para a primeira, escolhe-
mos:
u = x ⇒ du = dx;
dv = esen(x) cos(x)dx ⇒ v =
∫
esen(x) cos(x)dx = esen(x);
então, ∫
xesen(x) cos(x)dx= uv−
∫
vdu= xesen(x)−
∫
esen(x)dx.
Para a segunda, escolhemos:
u = esen(x) ⇒ du = esen(x) cos(x)dx;
dv =
sen(x)
cos2(x)
dx ⇒ v =
∫ sen(x)
cos2(x)
dx =
1
cos(x)
;
que resultará em:∫
esen(x)
sen(x)
cos2(x)
dx= uv−
∫
vdu=
esen(x)
cos(x)
−
∫
esen(x)dx= esen(x)sec(x)−
∫
esen(x)dx.
Portanto,∫ esen(x) (xcos3 x− sen(x))
cos2(x)
dx =
∫
xesen(x) cos(x)dx−
∫
esen(x)
sen(x)
cos2(x)
dx
=
[
xesen(x)−
��
��
��∫
esen(x)dx
]
−
[
esen(x)sec(x)−
��
��
��∫
esen(x)dx
]
= (x − sec(x))esen(x)+ c.
7.6 Técnicas de Integração
7.6.1 Integrais de Funções que Contêm um Trinômio Quadrado
Caso I Caso II∫
dx
px2+qx+ r
∫
dx√
px2+qx+ r
Nesses casos é suficiente completar os quadrados no trinômio e aplicar as fórmulas
(23), (24), (25) ou (26), de acordo com o caso correspondente.
186 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
Exemplo 7.10
Determinemos as seguintes integrais:
a.
∫ 3dx
4x2+4x−3
Solução
Completando o quadrado no denominador e aplicando a fórmula (24), obtemos:∫
3dx
4x2+4x−3 =
3
2
∫
2dx
(2x+1)2−4 =
3
8
ln
∣∣∣∣2x−12x+3
∣∣∣∣+ c.
b.
∫ dx
x2−2x+10
Solução
Completando o quadrado no denominador e aplicando a fórmula (23), obtemos:∫
dx
x2−2x+10 =
∫
dx
(x−1)2+9 =
1
3
arc tg
(
x−1
3
)
+ c.
c.
∫ 2dx√
x2+6x+18
Solução
Completando o quadrado dentro da raiz do denominador e aplicando a fórmula (27),
obtemos:∫
2dx√
x2+6x+18
= 2
∫
dx√
(x+3)2+9
= 2ln
[
x+3+
√
x2+6x+18
]
+ c.
d.
∫ 5dx√−x2−8x−12
Solução
Completando o quadrado dentro da raiz do denominador e aplicando a fórmula (26),
obtemos: ∫
5dx√−x2−8x−12 = 5
∫
dx√
4− (x+4)2 = 5arcsen
(
x+4
2
)
+ c.
Caso III Caso IV∫
(ax+b)dx
px2+qx+ r
∫
(ax+b)dx√
px2+qx+ r
Nesses casos, usaremos o seguinte artifício:
ax+b=
a
2p
(2px+q)− aq
2p
+b.
187 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
O termo (2px+q) é a derivada do trinômio quadrado. Assim,∫
(ax+b)dx
px2+qx+ r
=
a
2p
∫
(2px+q)dx
px2+qx+ r
+
(
b− aq
2p
)∫
dx
px2+qx+ r︸ ︷︷ ︸
IA
=
a
2p
ln |px2+qx+ r|+
(
b− aq
2p
)
· IA.
Por outro lado,∫
(ax+b)dx√
px2+qx+ r
=
a
2p
∫
(2px+q)dx√
px2+qx+ r
+
(
b− aq
2p
)∫
dx√
px2+qx+ r︸ ︷︷ ︸
IB
=
a
2p
√
px2+qx+ r+
(
b− aq
2p
)
· IB.
Observe que as integrais IA e IB são determinadas pelos Casos I e II, respectivamente.
Exemplo 7.11
Determinemos as seguintes integrais:
a.
∫
(3x−5)dx
x2+6x+18
Solução
Desde que (x2 + 6x+ 18)′ = 2x+ 6, aplicamos o artifício para p = 1 e q = 6 e, assim,
3x−5 = 3
2
(2x+6)−14. Então:∫
(3x−5)dx
x2+6x+18
=
3
2
∫
(2x+6)dx
x2+6x+18
−14
∫ dx
(x+3)2+9
=
3
2
ln(x2+6x+18)− 14
3
arc tg
(
x+3
3
)
+ c.
b.
∫
(1−4x)dx√
9x2+6x−3
Solução
Desde que (9x2 + 6x− 3)′ = 18x+ 6, aplicamos o artifício para p = 9 e q = 6 e, assim,
1−4x=−2
9
(18x+6)+
7
3
. Então:
∫
(1−4x)dx√
9x2+6x−3 = −
2
9
∫
(18x+6)dx√
9x2+6x−3 +
7
3
· 1
3
∫ 3dx√
(3x+1)2−4
= −4
9
√
9x2+6x−3+ 79
ln
∣∣∣3x+1+√9x2+6x−3∣∣∣+ c.
c.
∫
(2− x)dx√
x2+10x+21
188 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
Solução
Desde que (x2+10x+21)′ = 2x+10, aplicamos o artifício para p= 1 e q= 10 e, assim,
2− x=−1
2
(2x+10)+7. Então:
∫
(2− x)dx√
x2+10x+21
= −1
2
∫
(2x+10)dx√
x2+10x+21
+7
∫ dx√
(x+5)2−4
= −√x2+10x+21+7ln
∣∣∣x+5+√x2+10x+21∣∣∣+ c.
d.
∫
(4+5x)dx
x(x+3)
Solução
Desde que (x2+3x)′ = 2x+3, aplicamos o artifício para p= 1 e q= 3 e, assim, 4+5x=
5
2
(2x+3)− 7
2
. Então:
∫
(4+5x)dx
x(x+3)
=
5
2
∫
2x+3
x2+3x
dx− 7
2
∫
dx(
x+ 32
)2− 94 =
5
2
ln |x2+3x|− 7
6
ln
∣∣∣∣ xx+3
∣∣∣∣+ c.
7.6.2 Integrais de Funções Trigonométricas e Hiperbólicas
Nesta subseção, usaremos alguns artifícios para resolver algumas integrais que envolvem funções
trigonométricas e, para isto, será necessário lembrar das seguintes identidades:
1. sen2(u)+ cos2(u) = 1; 2. sec2(u)− tg2(u) = 1;
3. cossec2(u)− cotg2(u) = 1; 4. sen2(u) = 1− cos(2u)
2
;
5. cos2(u) =
1+ cos(2u)
2
; 6. cosh2(u)− senh2(u) = 1;
7. sech2(u)− tgh2(u) = 1; 8. cotgh2(u)− cossech2(u) = 1;
9. senh2(u) =
cosh(2u)−1
2
; 10. cosh2(u) =
cosh(2u)+1
2
.
Caso I ∫
senm(x)cosn(x)dx e
∫
senhm(x)coshn(x)dx.
Consideram-se dois subcasos:
Subcaso a
Um dos expoentes m ou n é um inteiro positivo ímpar
i. Se m é um número ímpar e n é qualquer número, então expressamos a integral da
seguinte forma:
189 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
∫
senm(x)cosn(x)dx =
∫
senm−1(x)cosn(x)sen(x)dx;∫
senhm(x)coshn(x)dx =
∫
senhm−1(x)coshn(x)senh(x)dx.
ii. Se n é um número ímpar e m é qualquer número, então expressamos a integral da
seguinte forma:∫
senm(x)cosn(x)dx =
∫
senm(x)cosn−1(x) cos(x)dx∫
senhm(x)coshn(x)dx =
∫
senhm(x)coshn−1(x) cosh(x)dx
Em qualquer destes subcasos, podemos usar as identidades trigonométricas (1) e (6).
Exemplo 7.12
Determinemos as seguintes integrais:
a.
∫
sen3(x)cos4(x)dx
Solução ∫
sen3(x)cos4(x)dx =
∫
sen3(x)cos4(x)dx=
∫ (
sen2(x)cos4(x)
)
sen(x)dx
=
∫ (
(1− cos2(x))cos4(x))sen(x)dx.
Na última integral, fazemos u= cos(x), então du=−sen(x)dx. Portanto,∫
sen3(x)cos4(x)dx =
∫
(1−u2)u4(−du) =−
∫
(u4−u6)du=−u
5
5
+
u7
7
+ c
=
cos5(x)
35
(5cos2(x)−7)+ c.
b.
∫
senh5(x)
√
cosh(x)dx
Solução∫
senh5(x)
√
cosh(x)dx =
∫ (
senh4(x)cosh1/2(x)
)
senh(x)dx
=
∫ (
(cosh2(x)−1)2 cosh1/2(x)
)
senh(x)dx
=
∫ (
cosh9/2(x)−2cosh5/2(x)+ cosh1/2(x)
)
senh(x)dx
Na última integral, fazemos u= cosh(x), então du= senh(x)dx. Portanto,∫
senh5(x)
√
cosh(x)dx =
∫ (
u9/2−2u5/2+u1/2
)
du
=
2
11
u11/2− 4
7
u7/2+
2
3
u3/2+ c.
=
2
11
cosh11/2(x)− 4
7
cosh7/2(x)+
2
3
cosh3/2(x)+ c.
190 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
Subcaso b
Se m e n são inteiros positivos pares, serão usadas as identidades trigonométricas (4), (5), (9)
ou (10). E ao efetuar as operações, serão obtidos termos que contêm potências pares e ímpares
de cos(2u) ou cosh(2u). Os termos que têm potências ímpares integram-se como o Subcaso a.
Os termos que têm potências pares reduzem-se usando, sucessivamente, as identidades trigo-
nométricas indicadas.
Exemplo 7.13
Determinemos as seguintes integrais:
a.
∫
sen2(x)cos4(x)dx
Solução
∫
sen2(x)cos4(x)dx =
∫ (1− cos(2x)
2
)(
1+ cos(2x)
2
)2
dx
=
1
8
∫ (
1+ cos(2x)− cos2(2x)− cos3(2x)) dx
=
1
8
∫ (
1+ cos(2x)− 1+ cos(4x)
2
)
dx− 1
8
∫
(1− sen2(2x))cos(2x)dx
=
1
8
∫ (1
2
+ cos(2x)− 1
2
cos(4x)
)
dx− 1
16
∫
(1− sen2(2x))(2cos(2x)dx)
=
1
8
(
x
2
+
1
2
sen(2x)− 1
8
sen(4x)
)
− 1
16
(
sen(2x)− 1
3
sen3(2x)
)
+ c
=
1
16
(
x− sen(4x)
4
+
sen3(2x)
3
)
+ c.
b.
∫
senh4(3x)dx
Solução
∫
senh4(3x)dx =
∫ (cosh(6x)−1
2
)2
dx=
∫ (
cosh2(6x)−2xcosh(6x)+1)dx
=
∫ (cosh(12x)+1
2
−2cosh(6x)+1
)
dx
=
∫
(cosh(12x)−4cosh(6x)+3)dx
=
1
96
senh(12x)− 1
12
senh(6x)+
3
8
x+ c.
Caso II
1.
∫
tgm(x)secn(x)dx; 2.
∫
cotgm(x)cossecn(x)dx;
3.
∫
tghm(x)sechn(x)dx; 4.
∫
cotghm(x)cossechn(x)dx.
Consideram-se dois subcasos:
191 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
Subcaso a
Se m é um inteiro positivo ímpar, então expressamos a integral da seguinte forma:
∫
tgm(x)secn(x)dx =
∫
tgm−1(x) secn−1(x)tg(x)sec(x)dx∫
cotgm(x)cossecn(x)dx =
∫
cotgm−1(x)cossecn−1(x)cotg(x)cossec(x)dx∫
tghm(x)sechn(x)dx =
∫
tghm−1(x)sechn−1(x) tgh(x)sech(x)dx∫
cotghm(x)cossechn(x)dx =
∫
cotghm−1(x)cossechn−1(x)cotgh(x)cossech(x)dx
Logo, usam-se as identidades trigonométricas (2) e (3) ou (7) ou (8), respectivamente.
Exemplo 7.14
Determinemos as seguintes integrais:
a.
∫ tg3(x)
sec4(x)
dx
Solução ∫ tg3(x)
sec4(x)
dx =
∫ tg2(x)
sec5(x)
(tg(x)sec(x))dx=
∫ sec2(x)−1
sec5(x)
(tg(x)sec(x))dx
=
∫ (
sec−3(x)− sec−5(x))(tg(x)sec(x))dx.
Fazendo u= sec(x), temos que du= tg(x)sec(x)dx. Logo,∫ tg3(x)
sec4(x)
dx =
∫ (
u−3−u−5)du=−u−2
2
+
u−4
4
+ c
= −1
2
sec−2(x)+
1
4
sec−4(x)+ c=−1
4
cos2(x)(cos2(x)−2)+ c.
b.
∫
cotg5(x)dx
Solução∫
cotg5(x)dx =
∫ cotg4(x)
cossec(x)
(cotg(x)cossec(x))dx
=
∫
(cossec2(x)−1)2
cossec(x)
(cotg(x)cossec(x))dx
= −
∫ (
cossec3(x)−2cossec(x)+ 1
cossec(x)
)
(−cotg(x)cossec(x))dx
Fazendo u= cossec(x), temos que du=−cotg(x)cossec(x)dx. Logo,∫
cotg5(x)dx = −
∫ (
u3−2u+ 1
u
)
du=−u
4
4
−u2+ ln |u|+ c
= −cossec
4(x)
4
+ cossec2(x)− ln |cossec(x)|+ c.
c.
∫
tgh3(x)
√
sech(x)dx
192 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
Solução∫
tgh3(x)
√
sech(x)dx =
∫ tgh2(x)√
sech(x)
(tgh(x)sech(x))dx
=
∫ 1− sech2(x)√
sech(x)
(tgh(x)sech(x))dx
= −
∫ (
sech−1/2(x)− sech3/2(x)
)
(−tgh(x)sech(x))dx
Fazendo u= sech(x), temos que du=−tgh(x)sech(x)dx. Logo,∫
tgh3(x)
√
sech(x)dx = −
∫ (
u−1/2−u3/2(x)
)
du=−
(
2
√
u− 2
5
u5/2
)
+ c
= −
(
2
√
sech(x)− 2
5
sech5/2(x)
)
+ c
=
2
√
sech(x)
5
(
sech2(x)−5)+ c.
d.
∫
cotgh5(x)cossech3(x)dx
Solução∫
cotgh5(x)cossech3(x)dx =
∫
cotgh4(x)cossech2(x)(cotgh(x)cossech(x))dx
=
∫
(1+ cossech2(x))2 cossech2(x)(cotgh(x)cossech(x))dx
= −
∫
(1+ cossech2(x))2 cossech2(x)(−cotgh(x)cossech(x))dx
Fazendo u= cossech(x), temos que du=−cotgh(x)cossech(x)dx. Logo,∫
cotgh5(x)cossech3(x)dx = −
∫
(1+u2)2u2du=−
∫
(u6+2u4+u2)du
= −u
7
7
− 2u
5
5
− u
3
3
+ c
= −cossech
7(x)
7
− 2cossech
5(x)
5
− cossech
3(x)
3
+ c.
Subcaso b
Se n é um inteiro positivo par, então expressamos a integral da seguinte forma:
∫
tgm(x)secn(x)dx =
∫
tgm(x) secn−2(x)sec2(x)dx∫
cotgm(x)cossecn(x)dx =
∫
cotgm(x)cossecn−2(x)cotg(x)cossec2(x)dx∫
tghm(x)sechn(x)dx =
∫
tghm(x)sechn−2(x)sech2(x)dx∫
cotghm(x)cossechn(x)dx =
∫
cotghm(x)cossechn−2(x)cossech2(x)dx
Logo, usaremos as identidades trigonométricas (2) e (3) ou (7) ou (8), respectivamente.
193 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
Exemplo 7.15
Determinemos as seguintes integrais:
a.
∫
tg3/2(x)sec4(x)dx
Solução ∫
tg3/2(x)sec4(x)dx =
∫
tg3/2(x)sec2(x)(sec2(x))dx
=
∫
tg3/2(x)(1+ tg2(x))(sec2(x))dx
=
∫
(tg3/2(x)+ tg7/2(x))(sec2(x))dx.
Fazendo u= tg(x), temos que du= sec2(x)dx. Logo,∫
tg3/2(x)sec4(x)dx =
∫
(u3/2+u7/2)du=
2
5
u5/2+
2
9
u9/2+ c
=
2
5
tg5/2(x)+
2
9
tg9/2(x)+ c.
b.
∫
cossec4(x)dx
Solução∫
cossec4(x)dx =
∫
cossec2(x)(cossec2(x)dx) =−
∫
(1+ cotg2(x))(−cossec2(x)dx)
Fazendo u= cotg(x), temos que du=−cossec2(x)dx. Assim,∫
cossec4(x)dx = −
∫
(1+u2)du=−u− u
3
3
+ c
= −
(
cotg(x)+
1
3
cotg3(x)
)
+ c.
c.
∫tgh2(x)sech4(x)dx
Solução ∫
tgh2(x)sech4(x)dx =
∫
tgh2(x)(1− tgh2(x))(sech2(x)) dx
=
∫ (
tgh2(x)− tgh4(x))(sech2(x)dx)
Fazendo u= tgh(x), temos que du= sech2(x)dx. Assim,∫
tgh2(x)sech4(x)dx =
∫ (
u2−u4)du= u33 − u55
=
1
3
tgh3(x)− 1
5
tgh5(x)+ c.
d.
∫
cossech6(x)dx
194 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
Solução ∫
cossech6(x)dx =
∫ (
cotgh2(x)−1)2 (cossech2(x)) dx
= −
∫
(cotgh4(x)−2cotgh2(x)+1)(−cossech2(x)) dx
Fazendo u= cotgh(x), temos que du=−cossech2(x)dx. Assim,∫
cossech6(x)dx = −
∫
(u4−2u2+1)du=−u
5
5
+
2u3
3
−u
= −1
5
cotgh5(x)+
2
3
cotgh3(x)− cotgh(x)+ c
Caso III
∫
sen(mx) cos(nx)dx;
∫
sen(mx)sen(nx)dx;∫
cos(mx) cos(nx)dx;
∫
senh(mx) cosh(nx)dx;∫
senh(mx)senh(nx)dx;
∫
cosh(mx) cosh(nx)dx.
Para determinar as integrais deste caso precisamos das seguintes identidades trigonométricas:
1. sen(mx) cos(nx) =
1
2
[sen((m−n)x)+ sen((m+n)x)];
2. sen(mx)sen(nx) =
1
2
[cos((m−n)x)− cos((m+n)x)];
3. cos(mx) cos(nx) =
1
2
[cos((m−n)x)+ cos((m+n)x)];
4. senh(mx) cosh(nx) =
1
2
[senh((m+n)x)+ senh((m−n)x)];
5. senh(mx)senh(nx) =
1
2
[cosh((m+n)x)− cosh((m−n)x)];
6. cosh(mx) cosh(nx) =
1
2
[cosh((m+n)x)+ cosh((m−n)x)].
Além disso, são usadas também: sen(−u)=−sen(u), cos(−u)= cos(u), senh(−u)=−senh(u)
e cosh(−u) = cosh(u).
Exemplo 7.16
Determinemos as seguintes integrais:
a.
∫
sen(2x) cos(3x)dx
195 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
Solução∫
sen(2x) cos(3x)dx =
1
2
∫
[sen(2x−3x)+ sen(2x+3x)]dx
=
1
2
∫
[sen(5x)− sen(x)]dx=− 1
10
cos(5x)+
1
2
cos(x)+ c.
b.
∫
cos(3x) cos(4x)dx
Solução∫
cos(3x) cos(4x)dx =
1
2
∫
[cos(3x−4x)+ cos(3x+4x)]dx
=
1
2
∫
[cos(−x)+ cos(7x)]dx= 1
2
sen(x)+
1
14
sen(7x)+ c.
c.
∫
senh(3x)senh(4x)dx
Solução∫
senh(3x)senh(4x)dx =
1
2
∫
[cosh(3x+4x)− cosh(3x−4x)]dx
=
1
2
∫
[cosh(7x)− cosh(x)]dx= 1
14
senh(7x)− 1
2
senh(x)+ c.
d.
∫
senh(x) cosh(4x)dx
Solução∫
senh(x) cosh(4x)dx =
1
2
∫
[senh(x+4x)+ senh(x−4x)]dx
=
1
2
∫
[senh(5x)− senh(3x)]dx= 1
10
cosh(5x)− 1
6
cosh(3x)+ c.
7.6.3 Integração por Substituição Trigonométrica
Seja u = f (x) uma função de x. Em muitos casos é possível calcular uma integral efetuando uma
substituição trigonométrica adequada às funções da forma:∫
R(u,
√
u2+a2)du,
∫
R(u,
√
a2−u2)du ou
∫
R(u,
√
u2−a2)du,
onde R é uma função racional. Apresentamos os casos para calcular essas integrais:
Caso I ∫
R(u,
√
u2+a2)du, a> 0.
Construímos um triângulo retângulo, de acordo com a figura a seguir, e consideramos a função:
196 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
As demais funções são consideradas de acordo ao integrando que se tem.
Caso II ∫
R(u,
√
a2−u2)du, a> 0.
Construímos um triângulo retângulo, de acordo com a figura a seguir, e consideramos a função:
sen(θ) = 
u
2 
 a
2
As demais funções são consideradas de acordo ao integrando que se tem.
Caso III ∫
R(u,
√
u2−a2)du, a> 0.
Construímos um triângulo retângulo, de acordo com a figura a seguir, e consideramos a função:
sec(θ) = 
u
a
 θ = arc sec
u
a( )
u = a sec(θ) du = a sec(θ) tg(θ)dθ 
As demais funções são consideradas de acordo ao integrando que se tem.
Exemplo 7.17
Determinemos as seguintes integrais:
a.
∫ x2dx√
9+ x2
197 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
Solução
Aplicando o Caso I, consideramos:
tg(θ) =
x
2
⇒
x = 3tg(θ) ⇒
θ = arc tg
(x
3
)
;
dx = 3sec2(θ)dθ .
Além disso, sec(θ) =
√
x2+9
3
⇒ √x2+9 = 3sec(θ). Fazendo as respectivas substitui-
ções temos:∫ x2dx√
9+ x2
=
∫ 9tg2(θ)3sec2(θ)dθ
3sec(θ)
=
∫
9tg2(θ)sec(θ)dθ
=
∫
(sec2(θ)−1)sec(θ)dθ = 9
∫
(sec3(θ)− sec(θ))dθ
= 9
[
1
2
(tg(θ)sec(θ)+ ln |tg(θ)+ sec(θ)|)− ln |tg(θ)+ sec(θ)|
]
+ c
=
9
2
(tg(θ)sen(θ)− ln |tg(θ)+ sec(θ)|)+ c
=
9
2
[
x
3
x√
x2+9
− ln
∣∣∣∣∣x3 +
√
x2+9
3
∣∣∣∣∣
]
+ c
=
9
2
[
x2
3
√
x2+9
− ln
∣∣∣∣∣x+
√
x2+9
3
∣∣∣∣∣
]
+ c.
b.
∫ dx
x2
√
16+9x2
Solução
Esta integral pode ser reescrita
∫ dx
x2
√
42+(3x)2
. Aplicando o Caso I, consideramos:
tg(θ) =
3x
4
⇒
x =
4
3
tg(θ) ⇒
θ = arc tg
(
3x
4
)
;
dx =
4
3
sec2(θ)dθ .
Além disso, sec(θ) =
√
16+9x2
4
⇒ √16+9x2 = 4sec(θ). Fazendo as respectivas subs-
tituições temos:
∫ dx
x2
√
16+9x2
=
∫ 4
3
sec2(θ)dθ
16
9
tg2(θ) sec(θ)
=
3
64
∫ sec(θ)dθ
tg2(θ)
=
3
16
∫ cos(θ)
sen2(θ)
,dθ
=
3
16
∫
cotg(θ)cossec(θ)dθ =− 3
16
cossec(θ)+ c
= − 3
16
√
16+9x2
3x
+ c=−
√
16+9x2
16x
+ c.
198 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
c.
∫
(2x−5)√
4x− x2dx
Solução
Esta integral pode ser reescrita
∫
(2x−5)√
4− (x−2)2dx. Aplicando o Caso II, consideramos:
sen(θ) =
x−2
2
⇒
x = 2+2sen(θ) ⇒
θ = arcsen
(
x−2
2
)
;
dx = 2cos(θ)dθ .
Além disso, cos(θ) =
√
4x− x2
2
⇒ √4x− x2 = 2cos(θ). Fazendo as respectivas substi-
tuições temos:∫
(2x−5)√
4x− x2dx =
∫ 4sen(θ)−1
2cos(θ)
2cos(θ)dθ =
∫
(4sen(θ)−1)dθ
= −4cos(θ)−θ + c=−2√4x− x2− arcsen
(
x−2
2
)
+ c.
d.
∫ x2 dx√
1− x2
Solução
Aplicando o Caso II, consideramos:
sen(θ) = x ⇒
x = sen(θ) ⇒
θ = arcsen(x);
dx = cos(θ)dθ .
Além disso, cos(θ) =
√
1− x2. Fazendo as respectivas substituições temos:∫ x2 dx√
1− x2 =
∫ sen2(θ) cos(θ)dθ
cos(θ)
=
∫
sen2(θ)dθ =
1
2
∫
(1− cos(2θ))dθ
=
1
2
(
θ − sen(2θ)
2
)
+ c=
1
2
(θ − sen(θ) cos(θ))+ c
=
1
2
(
arcsen(x)− x√1− x2
)
+ c.
e.
∫
(2x−3)
(x2+2x−3)3/2dx
Solução
Esta integral pode ser reescrita como
∫
(2x−3)dx
((x+1)2−4)
√
(x+1)2−4. Aplicando o Caso
III, consideramos:
sec(θ) =
x+1
2
⇒
x = −1+2sec(θ) ⇒
θ = arcsec
(
x+1
2
)
;
dx = 2sec(θ) tg(θ)dθ .
199 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
Além disso, tg(θ) =
√
x2+2x−3
2
⇒ √x2+2x−3 = 2tg(θ). Fazendo as respectivas
substituições temos:∫
(2x−3)
(x2+2x−3)3/2dx =
∫
(4sec(θ)−5)2sec(θ) tg(θ)dθ
4tg2(θ)2tg(θ)
=
∫ 4sec2(θ)−5sec(θ)dθ
4tg2(θ)
=
∫ (
cossec2(θ)− 5
4
cotg(θ)cossec(θ)
)
dθ
=
5
4
cossec(θ)− cotg(θ)+ c
=
5(x+1)
4
√
x2+2x−3 −
2√
x2+2x−3 + c.
f.
∫ x3√
x2−9dx
Solução
Aplicando o Caso III, consideramos:
sec(θ) =
x
3
⇒
x = 3sec(θ) ⇒
θ = arcsec
(x
3
)
;
dx = 3sec(θ) tg(θ)dθ .
Fazendo as respectivas substituições temos:∫ x3√
x2−9dx =
∫ 27sec3(θ)3sec(θ) tg(θ)dθ√
9sec2(θ)−9 =
∫ 27sec4(θ) tg(θ)dθ√
sec2(θ)−1
= 27
∫
(1+ tg2(θ))sec2(θ)dθ = 27
(
tg(θ)+
1
3
tg3(θ)
)
+ c
= 9
√
x2−9+ 1
3
(x2−9)3/2+ c.
7.6.4 Integração de Funções Racionais
Consideremos dois polinômios:
P(x) = bmxm+bm−1xm−1+ . . .+b1x+b0 e Q(x) = anxn+an−1xn−1+ . . .+a1x+a0,
uma função racional é o quociente desses dois polinômios, isto é:
R(x) =
P(x)
Q(x)
.
Diz-se que a função racional R(x) é própria se o grau de P(x) for menor que o grau de Q(x); caso
contrário, diz-se que é imprópria.
Se R(x) é uma função racional imprópia, ao dividir o numerador pelo denominador, R(x) pode ser
reescrita como a soma de um polinômio e uma função racional própria, isto é:
R(x) =
P(x)
Q(x)
=C(x)+
S(x)
Q(x)
,
200 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
onde o grau de S(x) é menor que o grau de Q(x).
Nesta seção, trataremos apenas de funções racionais próprias, já que nosso interesse é apreender como
integrar as funções do tipo: ∫
P(x)
Q(x)
dx.
Consideremos os seguintes casos:
Caso I ∫
Ax+B
ax2+bx+ c
dx,
onde a,b,c são constantes.
1. Completam-se os quadrados no denominador: ax2+bx+ c= a
(
x+
b
2a
)2
+
(
c− b4a
)
;
2. Faz-se a substituição z= x+
b
a
e, assim, a integral transforma-se em:∫
Ax+B
ax2+bx+ c
dx=
∫
mz+n
a(z2+n)
dz=
m
a
∫
zdz
z2+n
+
n
a
∫
dz
z2+n
.
Para realizar o cálculo dessas integrais, usam-se as fórmulas básicas de integração.
Caso II
Quando Q(x) se decompõe em um produto de fatores lineares diferentes, teremos:
Q(x) = an(x−α1)(x−α2) . . .(x−αn),
com α1 6= α2 6= . . . 6= αn, a função racional P(x)Q(x) se expressa como uma soma de frações sim-
ples: ∫
P(x)
Q(x)
dx=
∫ (
A1
x−α1 +
A2
x−α2 + · · ·+
An
x−αn
)
dx,
onde A1,A2, . . . ,An são constantes a serem determinadas.
Caso III
Quando Q(x) se decompõe em fatores lineares repetidos, isto é, supondo que o fator linear
(x−a) se repete p vezes:
Q(x) = an (x−a)(x−a) · · ·(x−a)︸ ︷︷ ︸
p vezes
(x−αp+1)(x−αp+2) . . .(x−αn),
a função racional
P(x)
Q(x)
se expressa como uma soma de frações simples:
∫
P(x)
Q(x)
dx=
∫ (
A1
x−a +
A2
(x−a)2 + · · ·+
Ap
(x−a)p +
Ap+1
x−αp+1 + · · ·+
An
x−αn
)
dx
onde A1,A2, . . . ,An são constantes a serem determinadas.
201 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
Caso IV
Quando Q(x) se decompõe em fatores lineares e quadráticos irredutíveis diferentes teremos:
Q(x) = an(x2+b1x+ c1)(x2+b2x+ c2)(x2+b3x+ c3)(x−α4) . . .(x−αn),
a função racional
P(x)
Q(x)
se expressa como uma soma de frações simples:
∫
P(x)
Q(x)
dx=
∫ (
A1x+B1
x2+b1x+ c1
+
A2x+B2
x2+b2x+ c2
+
A3x+B3
x2+b3x+ c3
+
A4
x−α4 + · · ·+
An
x−αn
)
dx,
onde A1,A2, . . . ,An,B1,B2,B3 são constantes a serem determinadas.
Caso V
Quando Q(x) se decompõe em fatores lineares e quadráticos irredutíveis, assim como os fatores
quadráticos podem ser repetidos, teremos:
Q(x) = an(x2+bx+ c)2(x−α3) . . .(x−αn),
a função racional
P(x)
Q(x)
se expressa como uma soma de frações simples:
∫
P(x)
Q(x)
dx=
∫ (
A1x+B1
x2+bx+ c
+
A2x+B2
(x2+bx+ c)2
+
A3
x−α3 + · · ·+
An
x−αn
)
dx,
onde A1,A2, . . . ,An,B1,B2 são constantes a ser determinadas.
Exemplo 7.18
Determinar as seguintes integrais:
a.
∫ 4x2+9x−1
x3+2x2− x−2dx
Solução
Fatorando o denominador Q(x)= x3+2x2−x−2=(x+1)(x−1)(x+2). Logo, aplicando
o Caso II, esta integral pode ser expressa como:∫
4x2+9x−1
x3+2x2− x−2dx=
∫ (
A
x+1
+
B
x−1 +
C
x+2
)
dx.
Calculando as constantes A,B,C:
4x2+9x−1
x3+2x2− x−2 =
A
x+1
+
B
x−1 +
C
x+2
=
A(x−1)(x+2)+B(x+1)(x+2)+C(x+1)(x−1)
(x+1)(x−1)(x+2) .
Igualando os numeradores: 4x2 + 9x− 1 = A(x2 + x− 2)+B(x2 + 3x+ 2)+C(x2− 1) e
ordenando temos
4x2+9x−1 = (A+B+C)x2+(A+3B)x−2A+2B−C.
202 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
Por igualdade de polinômios, temos que:
A+B+C = 4
A+3B = 9
−2A+2B−C = −1
⇒

A = 3
B = 2
C = −1
substituindo na integral, obtemos:∫ 4x2+9x−1
x3+2x2− x−2dx =
∫ ( 3
x+1
+
2
x−1 +
1
x+2
)
dx
= 3ln |x+1|+2ln |x−1|− ln |x+2|+ c
= ln
∣∣∣∣(x+1)3(x−1)2x+2
∣∣∣∣+ c.
b.
∫ 5x−7
(x−3)(x2− x−2)dx
Solução
Fatorando o denominador Q(x) = (x−3)(x2− x−2) = (x−3)(x−2)(x+1). Logo, apli-
cando o Caso II, esta integral pode ser expressa como:∫
5x−7
(x−3)(x2− x−2)dx=
∫ (
A
x−3 +
B
x−2 +
C
x+1
)
dx.
Calculando as constantes A,B,C:
5x−7
(x−3)(x2− x−2) =
A
x−3 +
B
x−2 +
C
x+1
=
A(x−2)(x+1)+B(x−3)(x+1)+C(x−3)(x−2)
(x−3)(x−2)(x+1) .
Igualando os numeradores: 5x− 7 = A(x2− x− 2)+B(x2− 2x− 3)+C(x2− 5x+ 6) e
ordenando temos
5x−7 = (A+B+C)x2+(−A−2B−5C)x−2A−3B+6C.
Por igualdade de polinômios, temos que:
A+B+C = 0
−A−2B−5C = 5
−2A−3B+6C = −7
⇒

A = 2
B = −1
C = −1
substituindo na integral, obtemos:∫ 5x−7
(x−3)(x2− x−2)dx =
∫ ( 2
x−3 −
1
x−2 −
1
x+1
)
dx
= 2ln |x−3|− ln |x−2|− ln |x+1|+ c
= ln
∣∣∣∣ (x−3)2(x−2)(x+1)
∣∣∣∣+ c.
203 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
c.
∫ 2x2+1
(x+1)2(x−3)dx
Solução
Aplicando o Caso III, esta integral pode ser expressa como:∫
2x2+1
(x+1)2(x−3)dx=
∫ (
A
x+1
+
B
(x+1)2
+
C
x−3
)
dx.
Calculando as constantes A,B,C:
2x2+1
(x+1)2(x−3) =
A
x+1
+
B
(x+1)2
+
C
x−3 =
A(x+1)(x−3)+B(x−3)+C(x+1)2
(x+1)2(x−3) .
Igualando os numeradores: 2x2+1 = A(x2−2x−3)+B(x−3)+C(x2+2x+1) e orde-
nando temos
2x2+1 = (A+C)x2+(−2A+B+2C)x−3A−3B+C.
Por igualdade de polinômios, temos:
A+C = 2
−2A+B+2C = 0
3A−3B+C = 1
⇒

A = 13/16
B = −3/4
C = 19/16
substituindo na integral, obtemos:∫ 2x2+1
(x+1)2(x−3)dx =
13
16
∫ dx
x+1
− 3
4
∫ dx
(x+1)2
+
19
16
∫ dx
x−3
=
13
16
ln |x+1|+ 3
4(x+1)
+
19
16
ln |x−3|+ c.
d.
∫ 4x2+6
x3+3x
dx
Solução
Fatorando o denominador Q(x) = x3 + 3x = x(x2 + 3). Logo, aplicando o Caso IV, esta
integral pode ser expressa como:∫
4x2+6
x3+3x
dx=
∫ (
A
x
+
Bx+C
x2+3
)
dx.
Calculando as constantes A,B,C:
4x2+6
x3+3x
=
A
x
+
Bx+C
x2+3
=
A(x2+3)+Bx2+Cx
x(x2+3)
.
Igualando os numeradores: 4x2+6 = (A+B)x2+Cx+3A. Por igualdade de polinômios,
temos 
A+B = 4
C = 0
3A = 6
⇒

A = 2
B = 2
C = 0
substituindo na integral, obtemos:∫
4x2+6
x3+3x
dx=
∫
2
x
dx+
∫
2x
x2+3
dx= 2ln |x|+ ln |x2+3|+ c= ln(x)2(x2+3)+ c.
204 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
e.
∫ x3+3x2−2x+1
x4+5x2+4
dx
Solução
Fatorando o denominador Q(x) = x4+5x2+4= (x2+4)(x2+1). Logo, aplicando o Caso
IV, esta integral pode ser expressa como:∫
x3+3x2−2x+1
x4+5x2+4
dx=
∫ (
Ax+B
x2+1
+
Cx+D
x2+4
)
dx.
Calculando as constantes A,B,C,D:
x3+3x2−2x+1
x4+5x2+4
=
Ax+B
x2+1
+
Cx+D
x2+4
=
(Ax+B)(x2+4)+(Cx+D)(x2+1)
(x2+1)(x2+4)
.
Igualando os numeradores: x3 + 3x2 − 2x+ 1 = A(x3 + 4x) + B(x2 + 4) +C(x3 + x) +
D(x2+1) e ordenando
x3+3x2−2x+1 = (A+C)x3+(B+D)x2+(4A+C)x+4B+D.
Por igualdade de polinômios, temos:
A+C = 1
B+D = 3
4A+C = −2
4B+D = 1
⇒

A = −1, B = −2
3
C = 2, D =
11
3
,
e substituindo na integral, obtemos:∫ x3+3x2−2x+1
x4+5x2+4
dx = −
∫ xdx
x2+1
− 2
3
∫ dx
x2+1
+
∫ 2xdx
x2+4
+
11
3
∫ dx
x2+4
= −1
2
ln |x2+1|− 2
3
arc tg(x)+ ln |x2+4|+ 11
6
arc tg
(x
2
)
+ c.
f.
∫ x3−2x2+3x−4
(x−1)2(x2+2x+2)dx
Solução
Aplicando o Caso V, esta integral pode ser expressa como:∫
x3−2x2+3x−4
(x−1)2(x2+2x+2)dx=
∫ (
A
x−1 +
B
(x−1)2 +
Cx+D
x2+2x+2
)
dx.
Calculando as constantes A,B,C,D:
x3−2x2+3x−4
(x−1)2(x2+2x+2) =
A
x−1 +
B
(x−1)2 +
Cx+D
x2+2x+2
=
A(x−1)(x2+2x+2)+B(x2+2x+2)+(Cx+D)(x−1)2
(x−1)2(x2+2x+2) .
Igualando os numeradores:
x3−2x2+3x−4 = A(x3+ x2−2)+B(x2+2x+2)+C(x3−2x2+ x)+D(x2−2x+1)
= (A+C)x3+(A+B−2C+D)x2+(2B+C−2D)x−2A+2B+D.
205 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
Por igualdade de polinômios, temos:
A+C = 1
A+B−2C+D = −2
2B+C−2D = 3
−2A+2B+D = −4
⇒

A =
18
25
, B = −2
5
,
C =
7
25
, D = −44
25
,
e substituindo na integral, obtemos:∫ x3−2x2+3x−4
(x−1)2(x2+2x+2)dx =
18
25
∫ xdx
x−1 −
2
5
∫ dx
(x−1)2 +
1
25
∫
(7x−44)dx
x2+2x+2
=
18
25
ln |x−1|+ 2
5(x−1) +
7
50
∫
(2x+2)dx
x2+2x+2
−54
25
∫ dx
x2+2x+2
+ c
=
18
25
ln |x−1|+ 2
5(x−1) +
7
50
ln |x2+2x+2|
−54
25
arc tg(x+1)+ c.
g.
∫ dx
x(x2+1)2
Solução
Aplicando o Caso V, esta integral pode ser expressa como:∫
dx
x(x2+1)2
=
∫ (
A
x
+
Bx+C
x2+1
+
Dx+E
(x2+1)2
)
dx.
Calculando as constantes A,B,C,D,E:
1
x(x2+1)2
=
A
x
+
Bx+C
x2+1
+
Dx+E
(x2+1)2
=
A(x2+1)2+(Bx+C)x(x2+1)+(Dx+E)x
x(x2+1)2
.
Igualando os numeradores:
1 = A(x4+2x2+1)+B(x4+ x2)+C(x3+ x)+Dx2+Ex
= (A+B)x4+Cx3+(2A+B+D)x2+(C+E)x+A.
Por igualdade de polinômios temos:
A+B = 0
C = 02A+B+D = 0
C+E = 0
A = 1
⇒

A = 1
B = −1
C = 0
D = −1
E = 0
e substituindo na integral, obtemos:∫ dx
x(x2+1)2
=
∫ (1
x
− x
x2+1
− x
(x2+1)2
)
dx
= ln |x|− 1
2
ln |x2+1|+ 1
2(x2+1)
+ c=
1
2
ln
∣∣∣∣ x2x2+1
∣∣∣∣+ 12(x2+1) + c.
206 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
7.6.5 O método de Hermite-Ostrogradski
Para encontrar integrais da forma∫
Ax+B
(x2+bx+ c)n
dx, n= 1,2,3, . . .
onde x2 + bx+ c é uma expressão quadrática irredutível, a integral deve ser reescrita da seguinte
forma: ∫
Ax+B
(x2+bx+ c)n
dx=
P(x)
(x2+bx+ c)n−1
+
∫
Cx+D
x2+bx+ c
dx,
onde P(x) é um polinômio de grau < 2(n−1) = grau de (x2+bx+ c)n−1 e os coeficientes de P(x),
assim como os valores de C e D, calculam-se derivando ambos membros e aplicando o método da
seção anterior.
Método de Hermite-Ostrogradski
Se na função racional
P(x)
Q(x)
, Q(x) se decompõe em fatores de multiplicidade, teremos:
Q(x) = (x−a1)α1(x−a2)α2 . . .(x−ar)αr(x2+b1x+ c1)β1 . . .(x2+bsx+ cs)βs,
E assim, a integral pode ser expressada da seguinte forma:∫
P(x)
Q(x)
dx=
f (x)
Q1(x)
+
∫
g(x)
Q2(x)
dx,
onde Q1(x) := m.d.c(Q(x),Q′(x)) é o máximo divisor comum dos polinômios Q(x) e da sua
derivada Q′(x) e Q2(x) =
Q(x)
Q1(x)
. Além disso, f (x) e g(x) são polinômios com coeficientes
indeterminados, cujos graus são menores numa unidade que os polinômios Q1(x) e Q2(x), res-
pectivamente. Os coeficientes de f (x) e g(x) são determinados derivando a última equivalência
da integral.
Exemplo 7.19
Determinemos as seguintes integrais:
a.
∫ dx
(x+1)2(x2+1)2
dx
Solução
Desde que Q(x) = (x+ 1)2(x2 + 1)2, temos que Q′(x) = 2(x+ 1)(x2 + 1)(3x2 + 2x+ 1).
Além disso,
Q1(x) = m.c.d(Q(x),Q′(x)) = (x+1)(x2+1);
Q2(x) =
Q(x)
Q1(x)
=
(x+1)2(x2+1)2
(x+1)(x2+1)
= (x+1)(x2+1).
Como ∫
dx
(x+1)2(x2+1)2
=
f (x)
Q1(x)
+
∫
g(x)
Q2(x)
dx
então, ∫
dx
(x+1)2(x2+1)2
=
Ax2+Bx+C
(x+1)(x2+1)
+
∫
Dx2+Ex+F
(x+1)(x2+1)
dx.
207 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
Derivando a equação anterior, obtemos:
1
(x+1)2(x2+1)2
=
Dx5+(−A+D+E)x4+(−2B+D+E+F)x3
(x+1)2(x2+1)2
+
(A−B−3C+D+E+F)x2+(2A−2C+E+F)x+B−C+F
(x+1)2(x2+1)2
.
Por igualdade de polinômios, temos:
D = 0
−A+D+E = 0
−2B+D+E+F = 0
A−B−3C+D+E+F = 0
2A−2C+E+F = 0
B−C+F = 1
⇒

A = −1
4
, B =
1
4
,
C = 0, D = 0,
E = −1
4
, F = −3
4
,
substituindo na integral, obtemos:
∫ dx
(x+1)2(x2+1)2
=
−x
2
4
+
x
4
+0
(x+1)(x2+1)
+
∫ 0− x
4
+
3
4
(x+1)(x2+1)
dx
= − x
2− x
4(x+1)(x2+1)
− 1
4
∫ x−3
(x+1)(x2+1)
dx
= − x
2− x
4(x+1)(x2+1)
− 1
4
[∫ −2dx
x+1
+
∫ 2xdx
x2+1
−
∫ dx
x2+1
dx
]
= − x
2− x
4(x+1)(x2+1)
− 1
4
[−2ln |x+1|+ ln |x2+1|− arc tg(x)]+ c
= − x
2− x
4(x+1)(x2+1)
+
1
2
ln |x+1|− 1
4
ln |x2+1|+ 1
4
arc tg(x)+ c.
b.
∫ dx
(x3−1)2dx
Solução
Desde que Q(x) = (x3−1)2 resulta que Q′(x) = 6x2(x3−1). Além disso,
Q1(x) = m.c.d
(
Q(x),Q′(x)
)
= x3−1 e Q2(x) = Q(x)Q1(x) =
(x3−1)2
x3−1 = x
3−1.
Como ∫
dx
(x3−1)2 =
f (x)
Q1(x)
+
∫
g(x)
Q2(x)
dx
então, ∫
dx
(x3−1)2 =
Ax2+Bx+C
x3−1 +
∫
Dx2+Ex+F
x3−1 dx.
Derivando a equação anterior, obtemos:
1
(x3−1)2 =
(x3−1)(2Ax+B)− (Ax2+Bx+C)3x2
(x3−1)2 +
Dx2+Ex+F
x3−1 .
208 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
Ao igualar os numeradores:
1 = (x3−1)(2Ax+B)−3x2(Ax2+Bx+C)+(Dx2+Ex+F)(x3−1)
= Dx5+(−A+E)x4+(−2B+F)x3+(−3C−D)x2+(2A−E)x−B−F.
Por igualdade de polinômios, temos:
D = 0
−A+E = 0
−2B+F = 0
−3C−D = 0
2A−E = 0
B−F = 1
⇒

A = 0, B = −1
3
, C = 0,
D = 0, E = 0, F = −2
3
,
substituindo na integral, obtemos:∫ dx
(x3−1)2 =
−x
3(x3−1) −
2
3
∫ dx
x3−1
=
−x
3(x3−1) −
2
3
[
1
3
∫ dx
x−1 −
1
3
∫ x+2
x2+ x+1
dx
]
=
−x
3(x3−1) −
2
3
[
1
3
ln |x−1|− 1
6
ln |x2+ x+1|− 1√
3
arc tg
(
2x+1√
3
)]
+ c
=
−x
3(x3−1) +
1
9
ln
( |x2+ x+1|
|x−1|
)
+
2
3
√
3
arc tg
(
2x+1√
3
)
+ c.
7.6.6 Integrais de Funções Irracionais
Como vimos nas subseções anteriores, as funções racionais possuem integrais que podem ser ex-
pressas como combinações lineares finitas de funções elementares. Porém, isto não acontece com as
funções irracionais, salvo em alguns casos particulares. Examinaremos agora alguns critérios para
resolver integrais desse tipo.
Caso I ∫
(Ax+B)√
ax2+bx+ c
dx.
Para calcular esse tipo de integrais, precisaremos completar o quadrado no trinômio ax2+bx+
c:
ax2+bx+ c= a
(
x2+
b
a
x+
c
a
)
= a
(
x2+
b
a
x+
b2
4a2
)
+ c− b
2
4a
= a
(
x+
b
2a
)2
+
4ac−b2
4a
assim, ∫
(Ax+B)√
ax2+bx+ c
dx=
∫
(Ax+B)√
a
(
x+
b
2a
)2
+
4ac−b2
4a
dx.
Logo, faz-se a substituição z= x+
b
2a
e aplicam-se as fórmulas básicas de integração.
209 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
Exemplo 7.20
Determinemos a integral
∫
(x+2)√
4−2x− x2dx
Solução
Completando quadrados, obtemos: 4−2x− x2 = 5(x2+2x+1) = 5− (x+1)2. Assim,
∫
(x+2)dx√
4−2x− x2 =
∫
(x+2)dx√
5− (x+1)2 .
Fazendo z= x+1, temos que x= z−1 e dx= dz. Logo,∫
(x+2)dx√
4−2x− x2 =
∫
(z−1+2)√
5− z2 dz=
∫
(z+1)√
5− z2dz
=
∫ zdz√
5− z2 +
∫ dz√
5− z2
= −√5− z2+ arcsen
(
z√
5
)
+ c
= −√4−2x− x2+ arcsen
(
x+1√
5
)
+ c.
Caso II ∫
R
(
x, n
√
ax+b
cx+d
)
dx,
onde a,b,c,d são constantes, n ∈ N e ad−bc 6= 0. Para calcular essas integrais, faz-se a subs-
tituição: z= n
√
ax+b
cx+d
, e pondo em evidência x, obtemos:
x=
b−dzn
czn−a ⇒ dx=
nzn−1(ad−bc)
(czn−a)2 .
Logo, calculamos a integral composta de uma função racional na variável z.
Exemplo 7.21
Determinar a integral
∫
3
√
1− x
1+ x
1
x
dx.
Solução
Pelo critério estabelecido, z3 =
1− x
1+ x
e, assim,
x=
1− z3
1+ z3
⇒ dx=− 6z
2dz
(1+ z3)2
.
210 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
Substituindo na integral, teremos:∫
3
√
1− x
1+ x
1
x
dx =
∫
z
1+ z3
1− z3
[ −6z2
(1+ z3)2
]
dz=−6
∫ z3
(1− z3)(1+ z3) dz= 6
∫ z3
(z3−1)(z3+1) dz
= 6
∫ [ A
z−1 +
B
z+1
+
Cz+D
z2+ z+1
+
Ez+F
z2− z+1
]
dz
=
6
6
∫ [ 1
z−1 +
1
z+1
− z+2
z2+ z+1
− z−2
z2− z+1
]
dz
= ln |z−1|+ ln |z+1|− 1
2
ln |z2+ z+1|− 1
2
ln |z2− z+1|
−√3arc tg
(
2z−1√
3
)
+
√
3arc tg
(
2z+1√
3
)
+ c
= ln |z2−1|− 1
2
ln |(z2+ z+1)(z2− z+1)|−√3arc tg
( √
3
2z2+1
)
+ c.
Caso III ∫
R
(
x,
(
ax+b
cx+d
)p1/q1
,
(
ax+b
cx+d
)p2/q2
, . . . ,
(
ax+b
cx+d
)pk/qk)
dx,
onde a,b,c,d são constantes tais que ad − bc 6= 0, p1, p2, . . . , pk,q1,q2, . . . ,qk ∈ Z, sendo R
uma função racional. Para calcular essas integrais, devemos transformá-las numa integral de
uma função racional na variável z, mediante a substituição de zn =
ax+b
cx+d
, onde n é o mínimo
múltiplo comum dos números q1,q2, . . . ,qk.
Exemplo 7.22
Determinemos a integral
∫ x2+√1+ x
3
√
1+ x
dx
Solução
Pelo critério estabelecido, z6 = 1+ x, assim,
{
z2 = 3
√
1+ x
z3 =
√
1+ x
, além disso, x = z6−1 ⇒ dx =
6z5dz. Substituindo na integral, teremos:
∫ x2+√1+ x
3
√
1+ x
dx =
∫
(z6−1)+ z3
z2
6z5dz= 6
∫
z3(z12−2z6+1+ z3)dz
= 6
∫
(z15−2z9+ z6+ z3)dz= 6
[
z16
16
− z
10
5
+
z7
7
+
z4
4
]
+ c
= 6z4
[
z12
16
− z
6
5
+
z3
7
+
1
4
]
+ c
= 6 3
√
(x+1)2
[
(x+1)2
16
− 1+ x
5
+
√
1+ x
7
+
1
4
]
+ c.
211 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
Caso IV ∫
Pn(x)√
ax2+bx+ c
dx,
ondePn(x) é um polinômio de grau n. Para calcular esse tipo de integral, temos que expressá-las
como: ∫
Pn(x)√
ax2+bx+ c
dx= Qn−1(x)
√
ax2+bx+ c+λ
∫
dx√
ax2+bx+ c
,
onde Qn−1(x) é um polinômio de grau (n− 1), com coeficientes indeterminados e λ ∈ R, os
quais são calculados ao derivar a última expressão.
Exemplo 7.23
Determinemos a integral
∫ x2√
x2− x+1dx
Solução
Pelo critério estabelecido, expressamos a integral como:∫
x2√
x2− x+1dx= (Ax+B)
√
x2− x+1+λ
∫
dx√
x2− x+1 .
Derivando essa expressão, obtemos:
x2√
x2− x+1 = A
√
x2− x+1+ (Ax+B)(2x−1)
2
√
x2− x+1 +
λ√
x2− x+1 .
Multiplicando em ambos extremos por
√
x2− x+1, resultará em:
2x2 = 2A(x2− x+1)+(Ax+B)(2x−1)+2λ = 4Ax2+(2B−3A)x+2A+2λ −B.
Por igualdade de polinômios, temos:
4A = 2
2B−3A = 0
2A+2λ −B = 0
⇒
{
A=
1
2
, B=
3
4
, λ =−1
8
,
e substituindo na integral, obtemos:∫ x2√
x2− x+1dx =
(
x
2
+
3
4
)√
x2− x+1− 1
8
∫ dx√
x2− x+1
=
2x+3
4
√
x2− x+1− 1
8
∫ dx√
(x−1/2)2+3/4
=
2x+3
4
√
x2− x+1− 1
8
ln
∣∣∣2x−1+2√x2− x+1∣∣∣+ c.
212 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
Caso V ∫
dx
(x−α) n√ax2+bx+ c .
Para calcular esse tipo de integral, devemos transformá-las em integrais do Caso IV usando a
substituição t =
1
x−α o qual implica que x−α =
1
t
.
Exemplo 7.24
Determinemos a integral
∫ dx
(x3+3x2+3x+1)
√
x2+2x−3
Solução
Podemos reescrever a integral como:
∫ dx
(x3+3x2+3x+1)
√
x2+2x−3 =
∫ dx
(x+1)3
√
(x+1)2−4 .
Fazendo t =
1
x+1
, temos que x+1 =
1
t
e dx=−dt
t2
. Assim,
∫ dx
(x3+3x2+3x+1)
√
x2+2x−3 =
∫ −dt
t2
1
t3
√
1
t2
−4
=−
∫ t2dt√
1−4t2 .
Logo, resolvemos a última integral usando o critério do Caso IV:∫
t2dt√
1−4t2 = (At+B)
√
1−4t2+λ
∫
dt√
1−4t2 ,
derivando essa expressão, obtemos:
t2√
1−4t2 = A
√
1−4t2− 4t(At+B)√
1−4t2 +
λ√
1−4t2 .
E multiplicando em ambos extremos por
√
1−4t2, resultará em:
t2 = A(1− t2)−4t(At+B)+λ =−8At2−4Bt+A+λ .
Por igualdade de polinômios, temos:
−8A = 1
−4B = 0
A+λ = 0
⇒
{
A=
1
8
, B= 0, λ =
1
8
.
Substituindo na integral, obtemos:∫
t2dt√
1−4t2 =−
t
8
√
1−4t2+ 1
8
∫
dt√
1−4t2 =−
t
8
√
1−4t2+ 1
16
arcsen(2t).
213 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
Portanto, substituindo na integral original:∫ dx
(x3+3x2+3x+1)
√
x2+2x−3 = −
∫ t2dt√
1−4t2
=
t
8
√
1−4t2− 1
16
arcsen(2t)+ c
=
√
x2+2x−3
8(x+1)2
− 1
16
arcsen
(
2
x+1
)
+ c.
Caso VI ∫
xm(a+bxn)pdx,
onde, m,n, p são números racionais. Para calcular esse tipo de integral, devemos aplicar as
condições de CHEBICHEV e, assim, a integral pode ser expressa como uma combinação
finita de funções elementares somente nos três casos seguintes:
a. Quando p é um número inteiro;
b. Quando
m+1
n
é um número inteiro fazemos a substituição zs = a+bxn, onde s é o divisor
da fração p;
c. Quando
m+1
n
+ p é um número inteiro fazemos a substituição zs = ax−n+b, onde s é o
divisor da fração p.
Exemplo 7.25
Determinemos as seguintes integrais
a.
∫
x3(1+2x2)−3/2dx
Solução
Aplicamos o critério de CHEVICHEV:
m+1
n
=
3+1
2
= 2 é um número inteiro, então,
z2 = 1+2x2 ⇒ x2 = z
2−1
2
, xdx=
zdz
2
;∫
x3(1+2x2)−3/2dx =
∫
x2(1+2x2)−3/2xdx=
∫ z2−1
2
(
z2
)−3/2 zdz
2
=
1
4
∫
(z2−1)z−3zdz= 1
4
∫
(1− z−2)dz= 1
4
(
z+
1
z
)
+ c
=
1
4
(
z2+1
z
)
+ c=
1+ x2
2
√
1+2x2
+ c.
b.
∫ dx√
x3
3
√
1+ 4
√
x3
214 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
Solução
Escrevemos a integral como:∫
dx√
x3
3
√
1+ 4
√
x3
=
∫
x−3/2(1+ x3/4)−1/3dx.
Aplicamos o critério de CHEVICHEV:
•
m+1
n
=
−3
2
+1
3
4
=−2
3
não é um número inteiro,
•
m+1
n
+ p=−2
3
− 1
3
=−1 é um número inteiro, então,
z3 = x−3/4+1 ⇒ x3/4 = 1
z3−1 ⇒ x=
1
(z3−1)4/3 , dx=−4z
2(z3−1)−7/3dz,
subtituindo∫ dx√
x3
3
√
1+ 4
√
x3
=
∫ [
(z3−1)−4/3
]−3/2(
1+
1
z3−1
)
(−4z2)(z3−1)−7/3dz
= −4
∫
zdz=−2z2+ c=−2 3
√(
x−3/4+1
)2
+ c.
Caso VII ∫
R(x,
√
ax2+bx+ c)dx,
onde a,b,c ∈ R. Calcula-se uma integral dessa forma usando a substituição de Euler, que
permite transformar o integrando numa função racional na variável t. Dessa maneira, podemos
apresentar 3 subcasos:
Subcaso a
Se c ≥ 0, a mudança de variável é √ax2+bx+ c = tx+√c. Ao elevar ao quadrado,
resultará em:
ax2+bx+c= t2x2+2
√
ctx+c⇔ (a−t2)x2+(b−2√ct)x= 0⇔ x[(a− t2)x+b−2√ct]= 0.
Ao eliminar a solução x = 0, obtemos x = ϕ(t), que é uma função racional em t, e dx =
ϕ ′(t)dt que também é uma função racional em t. Portanto,∫
R(x,
√
ax2+bx+ c)dx=
∫
R
(
ϕ(t), tϕ(t)+
√
c
)
ϕ ′(t)dt,
onde o integrando do segundo membro é uma função racional em t.
215 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
Exemplo 7.26
Determinemos
∫ dx
x
√
2x2+ x+1
Solução
Fazendo
√
2x2+ x+1 = tx+1, ao elevar ao quadrado, obtemos 2x2+ x = t2+2tx. Eliminando
a solução x= 0, teremos:
x=
2t−1
2− t2 , dx=
2(t2− t+2)
(2− t2)2 dt,
substituindo na integral:
∫ dx
x
√
2x2+ x+1
=
∫ 2(t2− t+2)
(2− t2)2 dt
2t−1
2− t2
(
t
(
2t−1
2− t2
)
+1
) = ∫
2(t2− t+2)
(2− t2)2 dt
(2t−1)(2t2− t+2− t2)
(2− t2)2
=
∫ 2dt
2t−1 = ln |2t−1|+ c= ln
∣∣∣∣∣2
√
2x2+ x+1−2− x
x
∣∣∣∣∣+ c.
Subcaso b
Se a ≥ 0, a mudança de variável é √ax2+bx+ c = √ax+ t. Ao elevar ao quadrado,
resultará em:
ax2+bx+ c= ax2+2
√
axt+ t2 ⇔ bx+ c= 2√axt+ t2 ⇔ x= t
2− c
(b−2√at) .
Obtemos x = ϕ(t), que é uma função racional em t, e dx = ϕ ′(t)dt que também é uma
função racional em t.
Exemplo 7.27
Determinemos
∫ dx
x
√
x2+ x+1
Solução
Fazendo
√
x2+ x+1 = x+ t, ao elevar ao quadrado obtemos x2+ x+1 = x2+2tx+ t2. Assim,
x=
t2−1
1−2t , dx= 2
[−t2+ t−1
(1+2t)2
]
dt,
substituindo na integral:
∫ dx
x
√
x2+ x+1
=
∫ 2[−t2+ t−1
(1+2t)2
]
dt
t2−1
1−2t
(
t2−1
1−2t + t
) = ∫ 2dt
t2−1
= ln
∣∣∣∣t−1t+1
∣∣∣∣+ c= ln
∣∣∣∣∣
√
x2+ x+1− x−1√
x2+ x+1− x+1
∣∣∣∣∣+ c.
216 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
Subcaso c
Se o trinômio ax2+bx+ c tem duas raízes reais r,s, nesse caso, a mudança de variável é√
ax2+bx+ c= t(x− r). E ao elevar ao quadrado, resultará em:
ax2+bx+ c= a(x− r)(x− s) = t2(x− r)2 ⇒ a(x− s) = t2(x− r).
Da última igualdade, obtemos x = ϕ(t), que é uma função racional em t, e dx = ϕ ′(t)dt
que também é uma função racional em t.
Exemplo 7.28
Determinemos
∫ dx
x
√
x2−3x+2
Solução
Desde que x2−3x+2 = (x−2)(x−1) ⇒ √x2−3x+2 =√(x−2)(x−1) = t(x−1), elevando
ao quadrado e simplificando o fator (x−1), obtemos (x−2) = t2(x−1). Assim,
x=
2− t2
1− t2 , dx=
2t
(1− t2)2dt,
substituindo na integral:
∫ dx
x
√
x2−3x+2 =
∫ 2t
(1− t2)2dt(
2− t2
1− t2
)
t
(
2− t2
1− t2 −1
) =−2∫ dt
t2−2 =−
√
2
2
ln
∣∣∣∣∣t−
√
2
t+
√
2
∣∣∣∣∣+ c
=
√
2
2
ln
∣∣∣∣∣
√
x−2+√2(x−1)√
x−2−√2(x−1)
∣∣∣∣∣+ c.
7.7 Recapitulando
Neste capítulo, apresentamos o conceito da integral indefinida como o problema inverso da deri-
vação. Por isso, foram estudados diversos métodos de integração como, por exemplo, as fórmulas
provenientes das propriedades de derivação direta (integrais imediatas e método de integração por
partes), as técnicas para integrar funções que contêm um trinômio quadrado. Estudamos também
formas de lidar com expressões que contêm funções trigonométricas.
Apresentamos, ainda, a técnica da substituição trigonométrica, bem como algumas metodologias
para o tratamento de funções racionais, como o método de Hermite-Ostrogradski e, por último,
foram apresentados alguns critérios para resolver funções irracionais.
Essas técnicas serãoretomadas no próximo capítulo, onde apresentaremos a integral definida e suas
principais aplicações, que são de suma importância para o cálculo das mesmas.
7.8 Atividades
1. Determine as seguintes integrais indefinidas:
i.
∫
(
√
x+3)dx. ii.
∫ 4√
6− x2dx.
217 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
iii.
∫ dx
x(x2−8) . iv.
∫ 7x2+16
x4+4x2
dx.
v.
∫ 3
x2+4x−5dx. vi.
∫ √−4x2−12x−5dx.
vii.
∫ 2x3x+1
5x+2
dx. viii.
∫ 1
cos2(1−4x)dx.
ix.
∫
cos(7x+4)dx. x.
∫
e2x−5dx.
xi.
∫ dx
x ln2(x)
dx. xii.
∫
4xexdx.
xiii.
∫ e√x3e√x√
x
dx. xiv.
∫ cos3(x)
1− sen(x)dx.
xv.
∫
(x5−2x+1)1/5
1− x dx. xvi.
∫ √2+ x2−√2− x2√
4− x4 dx.
xvii.
∫ dx
1+ sen(x)
. xviii.
∫ ln(ln(x))
x ln(x)
dx.
xix.
∫ dx√
ex−1. xx.
∫ dx
4+5cos5(x)
.
xxi.
∫ dx
ex+4
. xxii.
∫ √√√√ ln(x+√x2+1)
1+ x2
dx.
xxiii.
∫ dx√√
x+1
. xxiv.
∫ √
1+ cos(x)dx.
xxv.
∫
(x−2)
x
√
x−1√x2− x+1dx. xxvi.
∫ sen(8x)
9+ sen4(4x)
dx.
xxvii.
∫ √sec(x)− tg(x)
sec(x)+ tg(x)
dx. xxviii.
∫
sec3(x)dx.
xxix.
∫ x
(x−1)5e4xdx. xxx.
∫ ln(x)
x3(ln(x)−1)3dx.
xxxi.
∫
(4−3ln(x))4dx. xxxii.
∫ ex√ex+2
ex+6
dx.
2. Integrando por partes, encontre as seguintes integrais indefinidas:
i.
∫
x2 ln(x)dx. ii.
∫ (
7+ x−3x2)e−xdx.
iii.
∫
xsec2(x)dx. iv.
∫ ln(x)
x3
dx.
v.
∫
cos(ln(x))dx. vi.
∫
xarc tg2(x)dx.
vii.
∫ ln(ln(x))
x
dx. viii.
∫ x2 dx
xcos(x)− sen(x))2 .
ix.
∫ xex
(1+ x)2
dx. x.
∫ arctan(x)
x2
dx.
xi.
∫
e2x cos(ex)dx. xii.
∫
eax sen(bx)dx.
3. Determine as seguintes integrais indefinidas que contêm um trinômio quadrado:
i.
∫ dx
x2+2x+3
. ii.
∫ dx
x2−7x+10.
218 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
iii.
∫ dx√
4x−3− x2 . iv.
∫ dx√
x2+6x+13
.
v.
∫
(x−2)dx
x2−7x+12. vi.
∫ √
x2+2x−8dx.
vii.
∫ 9dx√
9x2−12x+13. viii.
∫ 3dx
4x2−16x+17.
ix.
∫ 4−7x√
x2+2x−8dx. x.
∫ 3+5x
9x2−12x+13dx.
4. Determine as seguintes integrais trigonométricas:
i.
∫
sen2(x)dx. ii.
∫
cos5(x)dx.
iii.
∫
cos7(x)sen3(x)dx. iv.
∫
senh3(x)dx.
v.
∫
sen2(3x)cos4(3x)dx. vi.
∫
cotg5(x)dx.
vii.
∫
sec4(x)
√
cotg3(x)dx. viii.
∫
tgh6(x)sech4(x)dx.
ix.
∫
sen(3x)sen(5x)dx. x.
∫
sen5(2x)cos8(2x)dx.
xi.
∫
sen3(x)cos3(x)dx. xii.
∫
sen4
(x
2
)
cos2
(x
2
)
dx.
xiii.
∫ dx
sen2(x)cos4(x)
. xiv.
∫ dx
sen5(x)cos5 x)
.
xv.
∫ sec2(pix)
cos6(pix)
dx. xvi.
∫
sen(x)sen(2x)sen(3x)dx.
xvii.
∫
sen(4x)cos(5x)dx. xviii.
∫
cosh(3x)cosh(x)dx.
xix.
∫
sen3(x)cos(3x)dx. xx.
∫
senh2(x)cosh(5x)dx.
5. Encontre as seguintes integrais usando substituição trigonométrica:
i.
∫ x2
(16− x2)3/2dx. ii.
∫ √4+ x2
x6
dx.
iii.
∫ √25− x2
x
dx. iv.
∫
x2
√
16− x2 dx.
v.
∫ x2√
2x2+7
dx. vi.
∫ x2√
21+4x− x2dx.
vii.
∫
x2
√
9− x2 dx. viii.
∫ √x2+1
x
dx.
ix.
∫ dx
(x2+5)3/2
. x.
∫ √x2+16
x
dx.
xi.
∫ √x2−8
x4
dx. xii.
∫ x2
(a2− x2)3/2dx.
xiii.
∫ dx
(x+1)3
√
x2+2x
. xiv.
∫ dx
(x2+1)
√
1− x2 .
xv.
∫ ex√
(e2x−2ex+5)3dx. xvi.
∫ x2√
(9− x2)7dx.
xvii.
∫ √1− x2
x4
dx. xviii.
∫
(9− x2)1/2
x2
dx.
219 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
xix.
∫
(x2+3x)
(x−1)(x2−2x+10)1/2dx. xx.
∫ x2−3
x(x4−4)1/2dx.
xxi.
∫ dx
(2x2+1)
√
x2+1
. xxii.
∫ dx
x3
√
x2−1.
xxiii.
∫
(x2+2x)1/2
x+1
dx. xxiv.
∫ dx
(4x− x2)3/2 .
xxv.
∫ x2
(4− x2)5/2dx. xxvi.
∫ x2dx
(2x− x2)1/2 .
xxvii.
∫ exdx
(e2x+8ex+7)3/2
. xxviii.
∫ 3xarcsen(x)
(1− x2)5/2 dx.
xxix.
∫ dx
x2
√
x2−4. xxx.
∫ x2dx√
1− x2 .
6. Determine as integrais das seguintes funções racionais:
i.
∫ 2x2+41x−91
(x−1)(x+3)(x−4)dx. ii.
∫ 2x+1
x3−7x+6dx.
iii.
∫ dx
x(a2− x2) , a> 0. iv.
∫ 2x2−1
x3− x dx.
v.
∫ 5x3+2
x3−5x2+4xdx. vi.
∫ x+1
x3− x2−6xdx.
vii.
∫ x3−1
4x3− xdx. viii.
∫ 3x−2
(x+2)(x+1)(x−1)dx.
ix.
∫ 2x2+3x−1
(x+3)(x+2)(x−1)dx. x.
∫ 5x2−11x+5
x3−4x2+5x−2dx.
xi.
∫ 2x4−2x+1
2x5− x4 dx. xii.
∫ 3x+2
x(x+1)3
dx.
xiii.
∫ x+1
x3+4x
dx. xiv.
∫ x2−3x−7
(2x+3)(x+1)2
dx.
xv.
∫ dx
x2(x+1)2
. xvi.
∫ dx
x4− x2 .
xvii.
∫ x3−6x2+9x+7
(x−2)3(x−5) dx. xviii.
∫ x4− x3− x−1
x3− x2 dx.
xix.
∫ 2x+3
(x+2)(x−1)dx. xx.
∫ x2+ x−1
x3− x2 dx.
xxi.
∫ x+1
x3−2x2+3xdx. xxii.
∫ x2+ x−2
x4+5x2+4
dx.
xxiii.
∫ dx
(x2+2x+5)3
. xxiv.
∫ 6x3
(x2+1)2
dx.
xxv.
∫ x3+ x2+ x+2
x4+3x2+2
dx. xxvi.
∫ x5
x3−1dx.
xxvii.
∫ 2x2−1
x3− x dx. xxviii.
∫ x2+3x+3
(x+1)(x2+1)
dx.
xxix.
∫ x2−2x+3
(x+1)2(x2+4)
dx. xxx.
∫ x2
1− x4dx.
xxxi.
∫ dx
x(4+ x2)(1+ x2)
. xxxii.
∫ dx
x4+1
.
xxxiii.
∫ x3+ x−1
(x2+2)2
dx. xxxiv.
∫ dx
x3+ x2
.
220 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
xxxv.
∫ dx
x(x4−1) . xxxvi.
∫ dx
x8+ x6
.
xxxvii.
∫ 5x−8
x3+4x2+4x
dx. xxxviii.
∫ x
x4− x2−1dx.
xxxix.
∫ 2x3−4
(x2+1)(x+1)2
dx. xl.
∫ x
(x−1)(x+1)2dx.
7. Determine as seguintes integrais pelo método de Hermite-Ostrogradski:
i.
∫ x7+2
(x2+ x+1)2
dx. ii.
∫ dx
(x2+1)4
dx.
iii.
∫ dx
(x4−1)2 . iv.
∫ dx
x4(x3+1)2
.
v.
∫ x6+ x4−4x2
x3(x2+1)2
dx. vi.
∫ dx
x4(x3+1)2
.
vii.
∫ x5− x4−26x2−24x−25
(x2+4x+5)2(x2+4)2
dx. viii.
∫ 3x4+4
x2(x2+1)3
dx.
ix.
∫ x3+ x−1
(x2+2)2
dx. x.
∫ x3−2x2+4
(x2−1)3 dx.
xi.
∫ x2
(x+2)2(x+4)2
dx. xii.
∫ dx
(x4−1)3 .
8. Determine as seguintes integrais irracionais:
i.
∫ dx
(2+ x)
√
1+ x
. ii.
∫ 3√x
x(
√
x+ 3
√
x)
dx.
iii.
∫ x+1
x
√
x−2dx. iv.
∫ dx
3
√
x( 3
√
x−1) .
v.
∫ dx√
x+ 4
√
x
. vi.
∫ dx√
3x−2− 4√3x−2.
vii.
∫ e2x
4
√
ex+1
dx. viii.
∫ dx√
x+1+ 4
√
x+1
.
ix.
∫ √
2+
√
xdx. x.
∫ x5√
1− x2dx.
xi.
∫ x2√
8+2x− x2dx. xii.
∫ 2x2−3x√
x2−2x+5dx.
xiii.
∫ 3x2−5x√
3−2x− x2dx. xiv.
∫ dx
x
√
3x2+2x−1.
xv.
∫ dx
x 3
√
x2+4
. xvi.
∫ dx
x4
√
x2−1.
xvii.
∫ dx√
x3 3
√
1+ x3/4
. xviii.
∫ √1− x4
x5
dx.
xix.
∫
3
√
x(1− x2)dx. xx.
∫ √x2+9
x3
dx.
xxi.
∫ dx
x4
√
1+ x2
. xxii.
∫ dx
x 4
√
(1+ x4)3
.
xxiii.
∫ dx
3
√
(x+1)2 (x−1)4
. xxiv.
∫ 6√x
1+ 3
√
x
dx.
221 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
xxv.
∫ √x
(1+ 3
√
x)2
dx. xxvi.
∫ dx
x−√x2− x+1.
xxvii.
∫ dx
(x+2)
√
x2+2x
. xxviii.
∫ dx
(x2+1)
√
x2−1.
xxix.
∫ √x2+2
1+ x2
dx. xxx.
∫ 3√x
( 3
√
x+1)2
dx.
xxxi.
∫
(x−2)2/3
(x−2)2/3+3dx. xxxii.
∫ dx
x
√
x2+2x−1.
xxxiii.
∫ dx
x
√
2+ x− x2 . xxxiv.
∫ 5x+3√
5+4x− x2dx.
xxxv.
∫ dx
(2x+5)
√
2x−3+8x−12. xxxvi.
∫ dx
x−√x2−1.
xxxvii.
∫ 1−√1+ x+ x2
x
√
1+ x+ x2
dx. xxxviii.
∫ √x+1− 3√x+1√
x+1+ 3
√
x+1
dx.
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Cálculo Diferencial e Integral
Capítulo 8
A Integral Definida
OBJETIVOS DO CAPÍTULO
Ao final deste capítulo você deverá ser capaz de:
• Conhecer o significado geométrico da integral definida;
• Dominar as propriedades de somatórios;
• Identificar a existência das funções integráveis;
• Aplicar as propriedades de integral definida nos seus cálculos;
• Interpretar os teoremas fundamentais do cálculo integral;
• Interpretar corretamente a integral definida na aplicação do cálculo de áreas de regiões
planas, volume, longitude de arco, etc.
8.1 Introdução
A integral definida é um dos pilares do cálculo; é também uma ferramenta essencial para determinar
quantidades importantes para a matemática, tais como áreas, volumes, comprimentosde curvas, entre
outros. A ideia por trás da integral definida é independente a da integral indefinida, ou seja, não
é como a operação inversa da derivada. Assim, poderemos calcular efetivamente as quantidades
requeridas, dividindo-as em pequenas partes e, em seguida, somando-as para obter uma aproximação
do valor desejado, que no limite torna-se exatamente o valor desejado.
Historicamente, as noções da integral definida remontam à Antiguidade, mas o conceito foi estabe-
lecido apenas na era moderna como consequência da contribuição de muitos matemáticos tais como
Newton e Leibniz, porém, foi o matemático Riemann, no século XIX, quem formulou o conceito
utilizado atualmente.
Neste capítulo, trataremos da integral definida e estudaremos suas principais propriedades, dentre
as quais ressaltamos os teoremas fundamentais do cálculo, que se relacionam com os conceitos da
antiderivada de integral indefinida e da integral definida; estudaremos ainda as integrais impróprias
úteis no tratamento de intervalos ilimitados; e por fim, apresentaremos algumas aplicações da integral
definida no cálculo de áreas, volumes e comprimento de uma curva.
223 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
8.2 Somatórios
Sejam i, m, n∈Z comm≤ i≤ n, e f uma função definida para cada [a,b], a notação
n
∑
i=m
f (i) representa
a soma dos termos f (m), f (m+1), . . . , f (n), isto é,
n
∑
i=m
f (i) = f (m)+ f (m+1)+ f (m+2)+ · · ·+ f (n)
onde a letra grega ∑ (sigma) denota o símbolo do somatório, i é o índice ou variável, m é o limite
inferior e n é o limite superior. Por exemplo, se f (i) = i3, m= 3 e n= 7, então,
n
∑
i=m
f (i) =
7
∑
i=3
i3 = 33+43+53+63+73 = 775.
8.2.1 Propriedades do Somatório
Sejam k uma constante e f uma função definida para cada i ∈ Z. Então:
n
∑
i=m
k = (n−m+1)k;
n
∑
i=m
k f (i) = k
n
∑
i=m
f (i).
Em particular, se m= 1, então
n
∑
i=1
k = nk.
Propriedade Distributiva
n
∑
i=m
( f (i)±g(i)) =
n
∑
i=m
f (i) ±
n
∑
i=m
g(i).
Propriedades Telescópicas
n
∑
i=m
( f (i)− f (i−1)) = f (n)− f (m−1);
n
∑
i=m
( f (i+1)− f (i−1)) = f (n+1)+ f (n)− f (m)− f (m−1).
Em particular, se m= 1, então:
n
∑
i=1
( f (i)− f (i−1)) = f (n)− f (0);
n
∑
i=1
( f (i+1)− f (i−1)) = f (n+1)+ f (n)− f (1)− f (0).
Exemplo 8.1
Calculemos o valor dos seguintes somatórios:
224 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
a.
100
∑
i=5
(√
i−√i−1+2).
Solução
Pela Propriedade Distributiva, temos que:
100
∑
i=5
(√
i−√i−1+2
)
=
100
∑
i=5
(√
i−√i−1
)
+
100
∑
i=5
2.
No primeiro somatório, aplicamos a Propriedade Telescópica para f (i) =
√
i, m = 5 e
n= 100, e obtemos:
100
∑
i=5
(√
i−√i−1
)
= f (100)− f (5−1) =
√
100−
√
4 = 10−2 = 8.
No segundo somatório, aplicando a primeira propriedade, resultará em:
100
∑
i=5
2 = (100−5+1)2 = 192.
Portanto,
100
∑
i=5
(√
i−√i−1+2
)
=
100
∑
i=5
(√
i−√i−1
)
+
100
∑
i=5
2 = 8+192 = 200.
b.
n
∑
i=1
[
(i+1)2− (i−1)2]
Solução
Considerando f (i) = i2, temos que f (i+ 1) = (i+ 1)2 e f (i− 1) = (i− 1)2, logo, da
Propriedade Telescópica, teremos:
n
∑
i=1
[
(i+1)2− (i−1)2]= (n+1)2+n2−12−02 = 2n2+2n= 2n(n+1).
Nota
Uma observação importante do último exemplo é que (i+1)2− (i−1)2 = 4i e ao substituir
no somatório, resultará em:
n
∑
i=1
4i= 2n(n+1) ⇔
n
∑
i=1
i=
n(n+1)
2
.
Ou seja, obtemos a fórmula da soma dos n primeiros números naturais.
8.3 Cálculo da Área de uma Região Plana por Somatórios
8.3.1 Partição de um Intervalo Fechado
225 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
Definição 8.1
Seja [a,b] é um intervalo fechado. Uma partição do intervalo [a,b] é o conjunto de pontos
x0, x1, x2, . . . , xn tais que a = x0 < x1 < x2 < .. . < xn = b, e é denotada por P, isto é, P =
{x0,x1,x2, . . . ,xn}.
x
a=x0 x1 x2 xi-1 xi xn-1 xn=b......
i-ésimo subintervalo
Nota
a. Toda partição P divide [a,b] em n subintervalos fechados;
b. A largura de cada subintervalo [xi−1,xi] para i= 1,2, . . . ,n é denotada por ∆xi = xi−
xi−1 e verifica-se que
n
∑
i=1
∆xi = b−a;
x
a=x0 x1 x2 xi-1 xi xn-1 xn=b......
x1 x2 xi xn
c. Denomina-se norma ou diâmetro da partição P o número
‖P‖= max{∆xi : i= 1,2, . . . ,n} ;
d. Quando o intervalo [a,b] divide-se em n partes iguais, a largura da cada subintervalo
é ∆x=
b−a
n
. Nesse caso, os extremos de cada subintervalo são:
x0 = a, x1 = a+∆x, x2 = a+2∆x, . . . xi = a+ i∆x, . . . xn = b.
8.3.2 Aproximação da Área de uma Região por Áreas de Retângulos
Seja f : [a,b]→ R uma função contínua e não negativa ( f (x) ≥ 0) em [a,b]. Seja R a região plana
limitada pelos gráfico de y = f (x), pelas retas x = a e x = b, e pelo eixo x. Assim, R é chamada de
região abaixo do gráfico de f , do ponto a até b, veja a figura a seguir:
x
y
0a b
R
226 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
Seja P = {x0, x1, x2, . . . , xn} uma partição de [a,b]. Para cada subintervalo [xi−1,xi], escolhemos um
ponto ui tal que f (ui), seja o valor mínimo de f nesse subintevalo, com i= 1,2, . . . ,n. Assim, temos
o conjunto de pontos u1, u2, . . . , un.
Dessa forma, construímos n retângulos cujas bases são as larguras de cada subintervalo de P, isto é,
∆i cujas alturas são f (u1), f (u2), . . . , f (un), respectivamente. Logo, as áreas desses retângulos são:
f (u1)∆x1, f (u2)∆x2, . . . f (un)∆xn,
respectivamente.
A união desses n retângulos forma o chamado polígono retangular inscrito em R (veja o item (a) da
figura a seguir) e a área desse polígono, denotada por I(P), é da forma
I(P) =
n
∑
i=1
f (ui)∆xi.
x
y
0 a=x0
De forma análoga, para cada subintervalos [xi−1,xi], escolhemos um ponto vi tal que f (vi), seja o valor
máximo de f nesse subintevalo, com i= 1,2, . . . ,n. Assim, temos o conjunto de pontos v1,v2, . . . ,vn.
Logo, construímos n retângulos cujas bases são as larguras dos subintervalos de P, isto é, ∆i, e cujas
alturas são f (v1), f (v2), . . . , f (vn), respectivamente. Assim, as áreas destes retângulos são
f (v1)∆x1, f (v2)∆x2, . . . f (vn)∆xn,
A união desses n retângulos forma o chamado polígono retangular circunscrito em R (veja o item
(b) da figura acima). Logo, a área desse polígono, denotada por C(P), é da forma
C(P) =
n
∑
i=1
f (vi)∆xi.
Denotando por AR à área da região R, temos que:
I(P)≤ AR ≤C(P).
Desta forma, para cada partição P do intervalo [a,b], I(P) eC(P) podem ser vistas como aproximações
de AR. Além disso, fica evidente que, quando ‖P‖ → 0, essas aproximações irão se tornar cada vez
melhores e tender a AR no limite.
Se o intervalo [a,b] for dividido em n partes iguais, cada subintervalo tem largura ∆x, podemos rees-
crever cada soma acima como:
I(P) =
n
∑
i=1
f (ui)∆x=
n
∑
i=1
f (ui)
(
b−a
n
)
e C(P) =
n
∑
i=1
f (vi)∆x=
n
∑
i=1
f (vi)
(
b−a
n
)
.
Além disso, ‖P‖→ 0 implica que n→+∞.
227 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
Definição 8.2
Sejam f : [a,b]→R uma função contínua e não negativa no intervalo [a,b], AR a área da região
plana limitada pelo gráfico de y = f (x), as retas x = a, x = b e o eixo x. Então, AR é definida
por
AR := lim
n→+∞
( n
∑
i=1
f (ci)∆x
)
unidades2,
onde ci é arbitrariamente escolhido no subintervalo [xi−1,xi].
Exemplo 8.2
Calculemos a área da região R usando retângulos inscritos e retângulos circunscritos.
a. R é limitada pelo gráfico de y= x+1, as retas x= 0, x= 3 e o eixo x.
Solução
O gráfico da região R é apresentado no item (a) da figura abaixo. Nesse caso, f (x) = x+1,
a = 0 e b = 3. Então, vamos dividir o intervalo [0,3] em n partes iguais, ou seja, ∆x =
3−0
n
=
3
n
.
Usando retângulos inscritos
Nos itens (b) e (c) da figura acima, vemosduas partições de [0,3], para n = 6 e n = 12,
respectivamente. Já que f é crescente no intervalo [0,3], ela alcança um mínimo relativo
no extremo esquerdo de cada subintervalo, logo,
ui = a+(i−1)∆x= (i−1)3n =
3
n
i− 3
n
e f (ui) = ui+1 =
3
n
i− 3
n
+1, i= 1, . . . ,n.
Portanto, usando a fórmula dada, temos que:
AR = lim
n→+∞
(
3
n
n
∑
i=1
[
3
n
i+1− 3
n
])
= lim
n→+∞
(
9
n2
n
∑
i=1
i+
3
n
(
1− 3
n
)
n
∑
i=1
1
)
= lim
n→+∞
(
9
n2
n(n+1)
2
+
3
n
(
1− 3
n
)
n
)
= lim
n→+∞
(
9
2
(
1+
1
n
)
+3
(
1− 3
n
))
=
15
2
unidades2.
Usando retângulos circunscritos
Nos itens (d) e (e) da figura acima, vemos duas partições de [0,3], para n = 6 e n = 12,
respectivamente. Já que f é crescente no intervalo [0,3], ela alcança um máximo relativo
no extremo direito de cada subintervalo, logo,
228 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
vi = a+ i∆x= i
3
n
=
3
n
i e f (vi) = vi+1 =
3
n
i+1, i= 1, . . . ,n.
Portanto, usando a fórmula dada, temos que:
AR = lim
n→+∞
(
3
n
n
∑
i=1
[
3
n
i+1
])
= lim
n→+∞
(
9
n2
n
∑
i=1
i+
3
n
n
∑
i=1
1
)
= lim
n→+∞
(
9
n2
n(n+1)
2
+
3
n
n
)
= lim
n→+∞
(
9
2
(
1+
1
n
)
+3
)
=
15
2
unidades2.
b. R é limitada pelos gráficos de y= x2, x= 3 e o eixo x.
Solução
O gráfico da região R é apresentado no item (a) da figura abaixo. Nesse caso, f (x) = x2,
a = 0 e b = 3. Então, vamos dividir o intervalo [0,3] em n partes iguais, ou seja, ∆x =
3−0
n
=
3
n
.
y
x0
(a)
3
y= x2
R
y
x0
Usando retângulos inscritos
Nos itens (b) e (c) da figura acima vemos duas partições de [0,3], para n = 6 e n = 12,
respectivamente. Já que f é crescente no intervalo [0,3], ela alcança um mínimo relativo
no extremo esquerdo de cada subintervalo, logo,
ui = a+(i−1)∆x= (i−1)3n =
3
n
i− 3
n
e f (ui) = u2i =
9
n2
(i2−2i+1), i= 1, . . . ,n.
Portanto, usando a fórmula dada, temos que:
AR = lim
n→+∞
(
3
n
n
∑
i=1
9
n2
(i2−2i+1)
)
= lim
n→+∞
(
27
n3
(
n
∑
i=1
i2−2
n
∑
i=1
i+
n
∑
i=1
1
))
= lim
n→+∞
(
27
n3
(
n(n+1)(2n+1)
6
−n(n+1)+n
))
= lim
n→+∞
(
9
2
(
2+
3
n
+
1
n2
)
− 27
n
)
= 9 unidades2.
Usando retângulos circunscritos
Nos itens (d) e (e) da figura acima vemos duas partições de [0,3], para n = 6 e n = 12,
respectivamente. Já que f é crescente no intervalo [0,3], ela alcança um máximo relativo
no extremo direito de cada subintervalo, logo,
229 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
vi = a+ i∆x=
3
n
i e f (vi) =
9
n2
i2.
Portanto, usando a fórmula dada, temos que:
AR = lim
n→+∞
(
3
n
n
∑
i=1
9
n2
(i2)
)
= lim
n→+∞
(
27
n3
(
n
∑
i=1
i2
))
= lim
n→+∞
(
27
n3
(
n(n+1)(2n+1)
6
))
= lim
n→+∞
9
2
(
2+
3
n
+
1
n2
)
= 9 unidades2.
Nota
Nos exemplos acima, podemos ver que quando ‖P‖→ 0 ou n→+∞, tanto as aproximações
do polígono retangular inscrito como o circunscrito proporcionam o mesmo valor.
8.3.3 Soma Superior e Soma Inferior
Nesta seção e nas seguintes, as funções consideradas estão definidas no intervalo [a,b] com a< b.
Definição 8.3
Se P1 e P2 são duas partições de [a,b], diz-se que P2 é um refinamento de P1 quando P1 ⊂ P2.
Nota
Se P2 é, comprovadamente, um refinamento de P1, então ‖P2‖ ≤ ‖P1‖.
Definição 8.4
Seja f : [a,b]→ R uma função limitada em [a,b] e P = {x0,x1, . . . ,xn} uma partição de [a,b].
Denotando por Ii ao i-ésimo subintervalo de [a,b], isto é , Ii = [xi−1,xi], i= 1, . . . ,n. Desde que
f é limitada em [a,b], existem mi e Mi tais que:
mi = inf{ f (x) : x ∈ Ii}, Mi = sup{ f (x) : x ∈ Ii} e mi ≤ f (x)≤Mi, ∀x ∈ Ii,
para i= 1, . . . ,n. Assim, definimos:
i. A soma inferior de f para P, denotada por S( f ,P),
S( f ,P) :=
n
∑
i=1
mi(xi− xi−1) =
n
∑
i=1
mi∆xi;
230 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
ii. A soma superior de f para P, denotada por S( f ,P),
S( f ,P) :=
n
∑
i=1
Mi(xi− xi−1) =
n
∑
i=1
Mi∆xi.
Nota
S( f ,P)≤ S( f ,P).
Exemplo 8.3
a. Seja f (x) = k a função constante definida em [a,b] (veja o item (a) da figura abaixo). Logo,
para qualquer partição de [a,b], temos que k = inf{ f (x) : x ∈ Ii} e k = sup{ f (x) : x ∈ Ii},
∀ i= 1, . . . ,n. Portanto,
S( f ,P) =
n
∑
i=1
k∆xi = k
n
∑
i=1
∆xi = k(b−a),
S( f ,P) =
n
∑
i=1
k∆xi = k
n
∑
i=1
∆xi = k(b−a).
x
y
0
(a)
a b x0
(b)
a
b
y
f(x
) =
 x
b. Seja f (x) = x definida em [a,b] (veja o item (b) da figura abaixo). Logo, para qualquer partição
de [a,b], temos que x j−1 = inf{ f (x) : x ∈ Ii} e xi = sup{ f (x) : x ∈ Ii}, ∀ i= 1, . . . ,n. Portanto,
S( f ,P) =
n
∑
i=1
xi−1∆xi e S( f ,P) =
n
∑
i=1
xi∆xi.
8.3.4 Propriedades dos Somatórios Superiores e Inferiores
Observemos que, se a função f é limitada em [a,b], então existem m e M tais que:
m= inf{ f (x) : x ∈ [a,b]} e M = sup{ f (x) : x ∈ [a,b]}.
Proposição 8.1
Sejam f uma função limitada em [a,b] e P= {x0,x1, . . . ,xn} uma partição de [a,b]. Então,
m(b−a)≤ S( f ,P)≤ S( f ,P)≤M(b−a).
231 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
Proposição 8.2
Sejam f uma função limitada em [a,b], P1 e P2 duas partições de [a,b]. Suponha que P2 é um
refinamento de P1, isto é, P1 ⊂ P2. Então,
i. S( f ,P1)≤ S( f ,P2) e S( f ,P2)≤ S( f ,P1)
ii. Se P2 \P1 tem r pontos, então,
S( f ,P2)−S( f ,P1) ≤ (M−m)‖P1‖;
S( f ,P1)−S( f ,P2) ≤ (M−m)‖P1‖.
Proposição 8.3
Sejam f é uma função limitada em [a,b], P1 e P2 duas partições arbitrárias de [a,b]. Então,
S( f ,P1)≤ S( f ,P2).
8.4 Integrais Inferiores e Superiores
Sejam [a,b] um intervalo e D o conjunto de todas as partições possíveis de [a,b], isto é
D= {P : P é uma parcição de [a,b]},
e f limitada em [a,b]. Da propriedade de limitação garante-se que para qualquer partição P o conjunto
{S( f ,P) : P ∈ D} é limitado superiormente e o conjunto {S( f ,P) : P ∈ D} é limitado inferiormente.
Definição 8.5
Seja f uma função limitada em [a,b]. Então,
i. sup{S( f ,P) : P ∈ D} é chamado de integral inferior de f em [a,b] e é denotado por∫ b
a
f (x)dx= sup{S( f ,P) : P ∈ D};
ii. inf{S( f ,P) : P ∈ D} é chamado de integral superior de f em [a,b] e é denotado por∫ b
a
f (x)dx= inf{S( f ,P) : P ∈ D}.
A proposição a seguir apresenta algumas propriedades das integrais superiores e inferiores.
Proposição 8.4
Seja um intervalo [a,b] e f uma função limitada em [a,b] tais que
m= inf{ f (x) : x ∈ [a,b]} e M = sup{ f (x) : x ∈ [a,b]}.
Então,
232 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
i. m(b−a)≤
∫ b
a
f (x)dx≤
∫ b
a
f (x)dx≤M(b−a);
ii. existem c1,c2 ∈ [a,b] tais que
∫ b
a
f (x)dx= f (c1)(b−a),
∫ b
a
f (x)dx= f (c2)(b−a) e m≤ f (c1)≤ f (c2)≤M;
iii. se c ∈ (a,b), então,∫ b
a
f (x)dx=
∫ c
a
f (x)dx +
∫ b
c
f (x)dx e
∫ b
a
f (x)dx=
∫ c
a
f (x)dx +
∫ b
c
f (x)dx.
8.5 A Integral de Riemann
Definição 8.6
Sejam um intervalo [a,b] e f : [a,b]→ R uma função limitada em [a,b]. Diz-se que f é inte-
grável Riemann em [a,b] se∫ b
a
f (x)dx=
∫ b
a
f (x)dx=
∫ b
a
f (x)dx.
De forma mais simples, podemos chamá-la integral de f sobre [a,b], ou integral definida de
f sobre [a,b], ou ainda integral de f , de a até b.
Nota
Assim como foi estabelecido no caso da integral indefinida, temos na integral∫ b
a
f (x)dx
a. o símbolo
∫
é um S alongado que é chamado do símbolo de integração, e foi criado
pelo matemático Leibniz para representar a palavra em latim summa;
b. f (x) é o integrando;
c. f (x)dx é o elemento de integração;
d. a é o limite inferior e b é o limite superior;
e. a variável x não tem significadoespecial, pois∫ b
a
f (x)dx=
∫ b
a
f (z)dz=
∫ b
a
f (t)dt =
∫ b
a
f (y)dy=
∫ b
a
f (u)du, etc.
233 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
Exemplo 8.4
Seja f (x) = k uma função constante. No exemplo anterior, para [a,b] tem-se S( f ,P) = S( f ,P) =
k(b−a). Então,
∫ b
a
f (x)dx=
∫ b
a
f (x)dx= k(b−a). Assim, f é integrável em [a,b] e
∫ b
a
f (x)dx= k(b−a).
Nota
Seja R a região região plana limitada pelo gráfico de f , as retas x = a, x = b e o eixo x. Se
AR representa numericamente a área R, e
a. f (x)≥ 0, ∀x ∈ [a,b], então AR =
∫ b
a
f (x)dx;
b. f (x)≤ 0, ∀x ∈ [a,b], então −AR =
∫ b
a
f (x)dx.
O número
∫ b
a
f (x)dx é chamado de área algébrica da função arbitrária f contínua em [a,b].
Essa integral definida de f em [a,b] representa a soma das áreas algébricas das regiões
delimitadas pelo gráfico de f e o eixo x, desde x= a até x= b.
Teorema 8.1 (Critério de integrabilidade de Riemann)
Se f é uma função limitada em [a,b], uma condição necessária e suficiente para que f seja
integrável em [a,b] é: dado ε > 0 arbitrário, deve existir uma partição P do intervalo [a,b] tal
que
S( f ,P)−S( f ,P)< ε.
Uma consequência desse critério é:
Teorema 8.2
Sejam o intervalo [a,b] e a função f : [a,b]→ R. Se [a,b] é limitado e f é contínua, então f é
integrável.
8.6 Propriedades da integral definida
Consideremos suas funções f e g integráveis em [a,b] e k uma constante arbitrária em R, então:
1. f e g são integráveis em qualquer subintervalo de [a,b];
2.
∫ b
a
k f (x)dx= k
∫ b
a
f (x)dx;
234 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
3.
∫ b
a
[ f (x)±g(x)]dx=
∫ b
a
f (x)dx ±
∫ b
a
g(x)dx;
4.
∫ b
a
f (x)dx=
∫ c
a
f (x)dx +
∫ b
c
f (x)dx, onde a≤ c≤ b;
5.
∫ b
a
f (x)dx =−
∫ a
b
f (x)dx;
6.
∫ a
a
f (x)dx = 0;
7.
∫ b
a
f (x)dx =
∫ b+k
a+k
f (x− k)dx;
8. Se f (x)≥ 0, ∀x ∈ [a,b], então
∫ b
a
f (x)dx ≥ 0;
9. Se f (x)≥ g(x), ∀x ∈ [a,b], então
∫ b
a
f (x)dx ≥
∫ b
a
g(x)dx;
10. Se m e M são os valores mínimos e máximos de f em [a,b] respectivamente, então
m(b−a)≤
∫ b
a
f (x)dx ≤M(b−a);
11. Se f é uma função contínua em:
i. [a,b], então
∣∣∣∣∫ ba f (x)dx
∣∣∣∣≤ ∫ ba | f (x)|dx;
ii. [0, t]⊆ [a,b], então
∫ t
0
f (x)dx=
∫ t
0
f (t− x)dx;
iii. [−t, t]⊆ [a,b], então
∫ 0
−t
f (x)dx=
∫ t
0
f (−x)dx;
iv. [−t, t]⊆ [a,b] e f é par, então
∫ t
−t
f (x)dx = 2
∫ t
0
f (x)dx e h(x) :=
∫ x
0
f (z)dz, para cada
x ∈ [−t, t], é uma função ímpar;
v. [−t, t]⊆ [a,b] e f é ímpar, então
∫ t
−t
f (x)dx = 0 e h(x) :=
∫ x
0
f (z)dz, para cada x∈ [−t, t],
é uma função par.
12. Para qualquer k 6= 0 temos:∫ b
a
f (x)dx =
1
k
∫ kb
ka
f
(x
k
)
dx e
∫ b
a
f (x)dx = k
∫ b/k
a/k
f (kx)dx.
Nota
a. A propriedade 5 é conhecida como a propriedade de reflexão;
b. A propriedade 7 é conhecida como a propriedade de invariância numa translação;
c. A propriedade 12 é conhecida como a propriedade de dilatação e contração do in-
tervalo de integração, respectivamente. Quando k=−1 recuperamos a propriedade
5.
235 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
8.7 Teorema do Valor Intermediário para Integrais
Teorema 8.3
Sejam o intervalo [a,b] e a função f : [a,b]→ R contínua em [a,b]. Então, existe um número
c ∈ [a,b] tal que ∫ b
a
f (x)dx = f (c)(b−a).
Nota
Como já foi dito, podemos interpretar a integral
∫ b
a
f (x)dx como a área da região limitada
pelo gráfico de f , pelas retas verticais x = a e x = b e pelo eixo x, e mesmo assim, o
Teorema 8.3 nos garante que existe um retângulo de largura (b− a) e altura f (c) com a
mesma área.
8.8 Teoremas Fundamentais do Cálculo Integral
Teorema 8.4 (Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo Integral)
Sejam o intervalo [a,b] e a função f contínua em [a,b]. Então, F(x) :=
∫ x
a
f (z)dz é contínua
em [a,b] e derivável em (a,b), e sua derivada é:
F ′(x) =
d
dx
(∫ x
a
f (z)dz
)
= f (x), ∀x ∈ [a,b].
Nota
O Teorema 8.4 estabelece um enlace entre os conceitos de integral definida e indefinida,
provando que uma função f contínua em [a,b] admite uma antiderivada dada por F(x) =∫ x
a
f (t)dt, já que F ′(x) = f (x), ∀x ∈ [a,b].
Além disso, este teorema estabelece um resultado de existência, pois se f é uma função
contínua em [a,b], existe F(x) =
∫ x
a
f (t)dt tal que F ′(x) = f (x), ∀x ∈ [a,b] e, por definição
F(a) = 0. Logo, F é a antiderivada de f em [a,b] com seu gráfico passando pelo ponto
(a,0).
Teorema 8.5 (Segundo Teorema Fundamental do Cálculo Integral)
Sejam o intervalo [a,b], uma função f contínua em [a,b] e F uma antiderivada de f em [a,b],
isto é, F ′(x) = f (x), ∀x ∈ [a,b]. Então,∫ b
a
f (x)dx = F(b)−F(a) = F(x)
∣∣∣b
a
.
236 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
Nota
Observemos que a diferença F(b)−F(a) é independente da eleição da antiderivada F , pois
todas as antiderivadas se diferenciam numa constante, que é eliminada ao ser efetuada a
diferença. Por tal motivo, ao calcular uma integral definida não é necessário considerar a
constante na antiderivada.
Exemplo 8.5
Seja a função F(x) =
∫ x
0
1
1+ z2
dz, para x≥ 0, determinemos F ′(x), F ′′(x), F ′(1) e F(x).
Solução
Na definição de F(x) façamos f (z) =
1
1+ z2
, e desde que f é uma função contínua e integrável
∀z ∈ R, temos, pelo Primeiro Teorema Fundamental, que:
F ′(x) =
1
1+ x2
∀x≥ 0 ⇒ F ′′(x) =− 2x
(1+ x2)2
∀x≥ 0.
Logo, F(1) =
1
2
.
Por outro lado, pelo Segundo Teorema Fundamental, desde que F ′(x) =
1
1+ x2
, então F(x) =
arctg(x)+ c para alguma constante c ∈ R. Além disso, F(0) = 0, assim, 0 = arctg(0)+ c implica
que c= 0. Portanto, F(x) = arctg(x).
Exemplo 8.6
Calculemos o valor numérico das seguintes integrais:
a.
∫ −1
1
1
1+ x2
dx
Solução
Uma antiderivada de f (x) =
1
1+ x2
em [−1,1] é F(x) = arctg(x), pela última nota, não é
necessário considerar a constante de integração. Assim,∫ −1
1
1
1+ x2
dx= arctg(x)
∣∣∣1−1 = arctg(1)− arctg(−1) = pi4 −(−pi4)= pi2 .
b.
∫ pi/2
0
senxdx
Solução ∫ pi/2
0
sen(x),dx =−cos(x)
∣∣∣pi/2
0
=−
(
cos
(pi
2
)
− cos(0)
)
= 1.
c.
∫ 1
0
ex dx
237 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
Solução ∫ 1
0
ex dx = ex
∣∣∣1
0
= e1− e0 = e−1.
d.
∫ 1
0
senh(x)dx
Solução ∫ 1
0
senh(x)dx = cosh(x)
∣∣∣1
0
= cosh(1)−1.
e.
∫ 1
−1
|x|
1+ x2
dx
Solução
Da definição de f (x) =
|x|
1+ x2
, temos que:
f (x) =

x
1+ x2
, se x≥ 0;
− x
1+ x2
, se x< 0.
Assim,∫ 1
−1
f (x)dx =
∫ 0
−1
f (x)dx+
∫ 1
0
f (x)dx
= −
∫ 0
−1
x
1+ x2
dx+
∫ 1
0
x
1+ x2
dx
= −
[
1
2
ln(1+ x2)
]∣∣∣0−1+
[
1
2
ln(1+ x2)
]∣∣∣1
0
= −1
2
[
ln(1+02)− ln(1+(−1)2)]+ 1
2
[
ln(1+12)− ln(1+02)]
= −1
2
(− ln2)+ 1
2
ln2 = ln2.
f.
∫ 4
−4
|x2+ x−6|dx
Solução
Da definição de f (x) = |x2 + x− 6|, notamos que x2 + x− 6 = (x+ 3)(x− 2), e assim,
temos:
f (x)≥ 0, se x ∈ (−∞,−3]∪ [2,+∞) e f (x)≤ 0, se x ∈ (−3,2).
Logo,
f (x) =
{
x2+ x−6, se x ∈ (−∞,−3]∪ [2,+∞);
−(x2+ x−6), se x ∈ (−3,2).
238 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
Dessa forma, obtemos:∫ 4
−4
|x2+ x−6|dx =
∫ −3
−4
(x2+ x−6)dx −
∫ 2
−3
(x2+ x−6)dx +
∫ 4
2
(x2+ x−6)dx
=
[
x3
3
+
x2
2
−6x
]∣∣∣−3−4−
[
x3
3
+
x2
2
−6x
]∣∣∣2−3+
[
x3
3
+
x2
2
−6x
]∣∣∣4
2
=
17
6
−
(
125
6
)
+
38
3
=
109
3
.
8.9 Mudança de Variável numa Integral Definida
Teorema 8.6
Sejam f : [a,b]→R uma função contínua em [a,b] e g : [α,β ]→ [a,b] uma função com derivada
contínua em [α,β ] com g(α) = a e g(β ) = b. Se substituímos a variável x da integral por g(t),
isto é, x= g(t), então verifica-se que:∫ b
a
f (x)dx=
∫ βα
f (g(t)) ·g′(t)dt.
Nota
Se a função g : [α,β ]→ [a,b] é tal que g(β ) = a e g(α) = b, nesse caso, pelo Teorema 8.6,
obtemos: ∫ b
a
f (x)dx=
∫ α
β
f (g(t)) ·g′(t)dt.
Exemplo 8.7
Calculemos o valor numérico das seguintes integrais:
a.
∫ 3
2
x2
(1+ x3)3
dx
Solução
Considerando t = 1+ x3, obtemos x = g(t) = 3
√
t−1, g′(t) = 1
3 3
√
(t−1)2 , g(9) = 2 e
g(28) = 3. Dado que g e g′ são contínuas em [9,28], então,
∫ 3
2
x2
(1+ x3)3
dx =
∫ 28
9
3
√
(t−1)2
t3
· 1
3 3
√
(t−1)2dt =
1
3
∫ 28
9
t−3dt
=
1
3
(
−1
2
t−2
)
=−1
6
1
t2
∣∣∣28
9
=
703
381024
.
239 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
b.
∫ 1
0
ln(x+1)
1+ x2
dx
Solução
Ao considerar x= tg(t) temos:∫ 1
0
ln(x+1)
1+ x2
=
∫ pi/4
0
ln(1+ tg(t))
sec2(t)
· sec2(t)dt =
∫ pi/4
0
ln(1+ tg(t))dt.
Aplicando o Teorema 8.6 na última integral obtemos:∫ pi/4
0
ln(1+ tg(t))dt =
∫ pi/4
0
ln
(
1+ tg
(pi
4
− t
))
dt =
∫ pi/4
0
ln
(
1+
1− tg(t)
1+ tg(t)
)
dt
=
∫ pi/4
0
ln
(
2
1+ tg(t)
)
dt =
∫ pi/4
0
ln(2)dt−
∫ pi/4
0
ln(1+ tg(t))dt
= ln(2)t
∣∣∣pi/4
0
−
∫ pi/4
0
ln(1+ tg(t))dt
=
pi
4
ln(2)−
∫ pi/4
0
ln(1+ tg(t))dt
Assim,
2
∫ pi/4
0
ln(1+ tg(t))dt =
pi
4
ln(2) ⇒
∫ pi/4
0
ln(1+ tg(t))dt =
pi
8
ln(2).
8.10 Integração por Partes numa Integral Definida
A ideia de integração por partes já foi vista no capítulo anterior, a única diferença é que agora temos
que considerar os limites de integração e desconsiderar a constante de integração. Dessa forma temos
o seguinte resultado.
Teorema 8.7
Se u= u(x) e v= v(x) são duas funções com derivadas contínuas em [a,b], então,∫ b
a
udv= (uv)
∣∣∣b
a
−
∫ b
a
vdu.
Exemplo 8.8
Calculemos as seguintes integrais definidas:
a.
∫ 3
1
x2 ln(x)dx
240 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
Solução
Se consideramos
u = ln(x) ⇒ du = dx
x
dv = x2 dx ⇒ v =
∫
x2dx =
x3
3
obtemos:∫
x2 ln(x)dx=
x3
3
ln(x)−
∫
x3
3
dx
x
=
x3
3
ln(x)− 1
3
∫
x2dx=
x3 ln(x)
3
− x
3
9
+ c.
Logo ∫ 3
1
x2 ln(x)dx =
[
x3
3
ln(x)− x
3
9
]∣∣∣3
1
=
[
33
3
ln(3)− 3
3
9
]
−
[
13
3
ln(1)− 1
3
9
]
= 9ln(3)−3−0+ 1
9
= 9ln(3)− 26
9
.
8.11 Integrais Impróprias
Na definição da integral definida
∫ b
a
f (x)dx, foram estabelecidas duas restrições:
i. O intervalo [a,b] é limitado;
ii. A função f é limitada em [a,b].
Agora, estendemos a definição de integral definida retirando alguma dessas restrições. As integrais
que possuem essas características são chamadas de integrais impróprias:
• Integrais impróprias com limites infinitos.
• Integrais impróprias com limites finitos e f com uma descontinuidade infinita em [a,b].
8.11.1 Integrais Impróprias com Limites Infinitos
Definição 8.7
Seja f uma função contínua no intervalo:
i. [a,+∞). A integral imprópria de f , de a até +∞, é denotada e definida como:∫ +∞
a
f (x)dx := lim
t→+∞
∫ t
a
f (x)dx;
241 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
ii. (−∞,b]. A integral imprópria de f , de −∞ até b, é denotada e definida como:∫ b
−∞
f (x)dx := lim
t→−∞
∫ b
t
f (x)dx.
Diz-se que
∫ +∞
a
f (x)dx ou
∫ b
−∞
f (x)dx converge quando esse limite existe. Caso contrário,
diz-se que diverge.
Nota
Nas seções anteriores, se f (x)≥ 0, a integral definida
∫ t
a
f (x)dx representa a área da região
plana limitada pelo gráfico de f , o eixo x e as retas verticais x= a e x= t. No caso da integral
imprópria ser convergente, podemos interpretar que o valor da integral:
a.
∫ +∞
a
f (x)dx representa a área da região plana infinita que se encontra à direita da reta
x= a e está compreendida entre o gráfico de f e o eixo x. A figura à esquerda ilustra
essa integral.
xa t xbt
b.
∫ b
−∞
f (x)dx representa a área da região infinita que se encontra à esquerda da reta
x = b e está compreendida entre o gráfico de f e o eixo x. A figura à direita ilustra
essa integral.
Definição 8.8
Seja f uma função contínua e integrável no intervalo (−∞,+∞), então a integral imprópria de
f , de −∞ até +∞, é denotada e definida como:∫ +∞
−∞
f (x)dx :=
∫ c
−∞
f (x)dx +
∫ +∞
c
f (x)dx,
onde c é um número real arbitrário.
Diz-se que a integral imprópria
∫ +∞
−∞
f (x)dx converge quando
∫ c
−∞
f (x)dx e
∫ +∞
c
f (x)dx são conver-
gentes, e diverge se alguma dessas integrais impróprias forem divergentes.
242 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
Nota
Na figura a seguir observamos 3 regiões: R1, R2 e R3:
xc
R1
 f
xc
R3
 f
xc
R2
 f
Logo, da Definição 8.8 podemos concluir que R1 gerará uma integral imprópria convergente,
enquanto R2 e R3 gerarão integrais imprópias divergentes.
Exemplo 8.9
Determinemos se as seguintes integrais são convergentes ou divergentes:
a.
∫ 2
−∞
(x−2)ex dx
Solução
Da definição da integral imprópria, obtemos que:
∫ 2
−∞
(x−2)ex dx = lim
t→−∞
∫ 2
t
(x−2)ex dx.
Aplicando integração por partes para u= x−2 e dv= exdx, temos que:∫ 2
t
(x−2)ex dx = ((x−2)ex− ex)
∣∣∣2
t
= (x−3)ex
∣∣∣2
t
= (2−3)e2− (t−3)et =−e2− (t−3)et .
Assim, ∫ 2
−∞
(x−2)ex dx = lim
t→−∞
(−e2+(3− t)et) = −e2− lim
t→−∞(t−3)e
t .
Note que t→−∞ implica que 3− t→+∞ e et → 0. Logo, este último limite é da forma
“∞ ·0”. Aplicando a *regra de L’Hôpital*, obtemos:
lim
t→−∞(t−3)e
t = lim
t→−∞
t−3
e−t
= lim
t→−∞
1
−e−t = 0.
Portanto, ∫ 2
−∞
(x−2)ex dx=−e2,
e concluímos que essa integral imprópria é convergente e converge a −e2.
b.
∫ +∞
1
x2+2x
x3+3x2+5
dx
Solução ∫ +∞
1
x2+2x
x3+3x2+5
dx = lim
t→+∞
∫ t
1
x2+2x
x3+3x2+5
dx.
243 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
Fazendo z= x3+3x2+5 temos que dz= 3(x2+2x)dx, e x= 1 implica que z= 9, e x= t
implica que z= t3+3t2+5. Assim, podemos fazer uma mudança de variável, isto é,∫ t
1
x2+2x
x3+3x2+5
dx =
∫ t3+3t2+5
9
1
3z
dz=
1
3
ln |z|
∣∣∣t3+3t2+5
9
=
1
3
[
ln |t3+3t2+5|− ln(9)] .
Assim,
lim
t→+∞
∫ t
1
x2+2x
x3+3x2+5
dx=
1
3
lim
t→+∞
[
ln |t3+3t2+5|− ln(9)]= 1
3
(+∞) = +∞.
Portanto, a integral imprópria é divergente.
c.
∫ +∞
−∞
dx
1+ x2
.
Solução
Escolhendo c= 0, obtemos:
∫ +∞
−∞
dx
1+ x2
=
∫ 0
−∞
dx
1+ x2
+
∫ +∞
0
dx
1+ x2
= lim
t→−∞
∫ 0
t
dx
1+ x2
+ lim
t→+∞
∫ t
0
dx
1+ x2
= lim
t→−∞
(
arctg(x)
∣∣∣0
t
)
+ lim
t→+∞
(
arctg(x)
∣∣∣t
0
)
= lim
t→−∞(arctg(0)− arctg(t))+ limt→+∞(arctg(t)− arctg(0))
= lim
t→−∞arctg(t)+ limt→+∞arctg(t) = −
(
−pi
2
)
+
pi
2
= pi.
Portanto, a integral imprópria
∫ +∞
−∞
dx
1+ x2
é convergente e converge em pi .
8.11.2 Integrais Impróprias com Limites Finitos
Definição 8.9
Seja f uma função contínua no intervalo:
i. [a,b) com lim
x→b−
f (x) = ∞. A integral imprópria de f , de a até b, é definida por:∫ b
a
f (x)dx := lim
t→b−
∫ t
a
f (x)dx.
ii. (a,b] com lim
x→a+
f (x) = ∞. A integral imprópria de f , de a até b, é definida por:∫ b
a
f (x)dx = lim
t→a+
∫ b
t
f (x)dx.
244 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
iii. [a,b], exceto em algum ponto c ∈ (a,b) onde lim
x→c−
f (x) = ∞ ou lim
x→c+
f (x) = ∞. A integral
imprópria de f , de a até b, é definida por:∫ b
a
f (x)dx =
∫ c
a
f (x)dx +
∫ b
c
f (x)dx.
Diz-se que
∫ b
a
f (x)dx converge se os limites existem e,
∫ c
a
f (x)dx e
∫ b
c
f (x)dx são conver-
gentes, respectivamente, caso contrário, diz-se que é divergente.
Nota
a. A Definição 8.9 pode ser estendida para n pontos de descontinuidade. Em outras pa-
lavras, seja fuma função definida em (a,b), onde a pode ser −∞ e b pode ser +∞.
Se em (a,b) existe um número finito de pontos c1, c2, . . . , cn tal que f tem desconti-
nuidade infinita em ci, isto é, lim
x→c−i
f (x) = ∞ ou lim
x→c+i
f (x) = ∞ para i= 1, . . . , n, então
a integral da função f em (a,b) é definida por:∫ b
a
f (x)dx :=
∫ c1
a
f (x)dx +
∫ c2
c1
f (x)dx + · · ·+
∫ b
cn
f (x)dx.
Diz-se que
∫ b
a
f (x)dx é convergente se todas as integrais impróprias da direita são
convergentes. Caso contrário, diz-se que é divergente.
b. Os itens (i) e (ii) da definição anterior são, respectivamente, equivalentes a:∫ b
a
f (x)dx = lim
ε→0+
∫ b−ε
a
f (x)dx, e
∫ b
a
f (x)dx = lim
ε→0+
∫ b
a+ε
f (x)dx;
c. Se f (x)≥ 0 e a integral imprópria
∫ b
a
f (x)dx é convergente, o valor da integral repre-
senta a área da região infinita limitada pelo gráfico de f , pelo eixo x e pelas retas x= a
e x= b.
Exemplo 8.10
Determinemos se as seguintes integrais existem:
a.
∫ 2
1
dx√
x−1
Solução
A função f (x) =
1√
x−1 é contínua em (1,2] e limx→1+ f (x) = +∞. Assim,∫ 2
1
dx√
x−1 = limt→1+
∫ 2
t
dx√
x−1 = limt→1+
(
2
√
x−1
∣∣∣2
t
)
= lim
t→1+
(
2−2√t−1
)
= 2.
Portanto, a integral imprópria é convergente e converge a 2.
245 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
b.
∫ pi/4
−pi/4
cotg(θ)dθ
Solução
Ao definir a função f (θ) = cotg(θ) =
cos(θ)
sen(θ)
, observamos que existe uma descontinui-
dade infinita em θ = 0, isto é, lim
θ→0+
f (θ) = +∞ e lim
θ→0−
f (θ) =−∞. Assim,∫ pi/4
−pi/4
cotg(θ)dθ =
∫ 0
−pi/4
cotg(θ)dθ +
∫ pi/4
0
cotg(θ)dθ
Por outro lado, a integral∫ 0
−pi/4
cotg(θ)dθ = lim
t→0−
∫ t
−pi/4
cotg(θ)dθ = lim
t→0−
(
ln |sen(θ)|
∣∣∣t−pi/4
)
= lim
t→0−
(
ln |sen(t)|− ln
(√
2
2
))
=−∞.
Portanto, a integral imprópia é divergente.
c.
∫ +∞
−∞
dx
x(x−2)
Solução
A função f (x) =
1
x(x−2) tem duas descontinuidades infinitas em x= 0 e x= 2. Assim,∫ +∞
−∞
dx
x(x−2) =
∫ 0
−∞
dx
x(x−2) +
∫ 2
0
dx
x(x−2) +
∫ +∞
2
dx
x(x−2) .
Já que essas integrais são impróprias em cada um dos extremos, precisamos trabalhar
de forma análoga a da integral imprópria em (−∞,+∞), ou seja, é necessário escolher
3 pontos, um em cada um desses intervalos. Escolhendo os pontos x = −1 ∈ (−∞,0),
x= 1 ∈ (0,2) e x= 3 ∈ (2,+∞), a integral será expressada como:∫ +∞
−∞
dx
x(x−2) =
∫ −1
−∞
dx
x(x−2) +
∫ 0
−1
dx
x(x−2) +
∫ 1
0
dx
x(x−2)
+
∫ 2
1
dx
x(x−2) +
∫ 3
2
dx
x(x−2) +
∫ +∞
3
dx
x(x−2) .
Agora, analisando a integral imprópia
∫ 0
−1
dx
x(x−2) , temos que:∫ 0
−1
dx
x(x−2) = limt→0−
∫ t
−1
dx
x(x−2) = limt→0−
(
1
2
ln
∣∣∣∣x−2x
∣∣∣∣ ∣∣∣t−1
)
=
1
2
lim
t→0−
(
ln
∣∣∣∣t−2t
∣∣∣∣− ln(3))
=
1
2
lim
t→0−
(
ln
∣∣∣∣1− 2t
∣∣∣∣− ln(3))=+∞.
Portanto, a integral é divergente.
246 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
8.12 Aplicações da Integral Definida
Nesta seção apresentaremos algumas aplicações da integral definida.
8.12.1 Áreas de Regiões Planas
Caso I
i. Seja f : [a,b]→ R uma função contínua em [a,b], com f (x)≥ 0, ∀x ∈ [a,b]. Da interpre-
tação geométrica da integral definida (veja o item (a) da figura a seguir) segue que: AR, a
área da região R limitada pelo gráfico de f , pelo eixo x, e pelas retas x= a e x= b, é dada
por:
AR =
(∫ b
a
f (x)dx
)
unidades2;
x
y
0
R
x
y
0a b
R
c
d
y = f(x) x = h(y)
(b) (c)
x
y
0a b
R
y = f(x)
(a)
ii. Se f (x) ≤ 0, então a região R encontra-se abaixo do eixo x (veja o item (b) da figura a
seguir). Assim, temos que:
AR =
∣∣∣∣∣
∫ b
a
f (x)dx
∣∣∣∣∣ unidades2;
iii. Se a região R é limitada pela curva x = h(y), pelo eixo y e pelas retas y= c e y= d (veja
o item (c) da figura acima). Assim, temos que:
AR =
(∫ d
c
h(y)dy
)
unidades2.
Caso II
i. Sejam f ,g : [a,b]→R duas funções contínuas em [a,b], tais que g(x)≥ f (x), ∀x ∈ [a,b].
Então, AR, a área da região R limitada pelos gráficos de f e g e pelas retas x = a e x = b
(veja o item (a) da figura a seguir) é dada por:
AR =
(∫ b
a
[g(x)− f (x)] dx
)
unidades2;
247 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
x
y
0a bR
y = g(x)
y = f(x)
x
y
0
x = l(y)
x = h(y)
R
c
d
(a) (b)
ii. Sejam h, l : [c,d]→R duas funções contínuas tais que h(y)≥ l(y), ∀y ∈ [c,d]. Então, AR,
a área da região R é limitada pelos gráficos de x = l(y) e x = h(y) e pelas retas y = c e
y= d (veja o item (b) da figura acima) é dada por:
AR =
(∫ c
d
[h(y)− l(y)] dy
)
unidades2.
Exemplo 8.11
Calculemos a área da região R limitada por:
a. A parábola y= 4x− x2 e o eixo x.
Solução
Como y= 4x−x2, logo, y−4=−(x−2)2 é uma parábola de vértice no ponto (2,4) (veja
o item (a) da figura a seguir). Logo,
AR =
∫ 4
0
ydx=
∫ 4
0
(4x− x2)dx=
(
2x2− x
3
3
)∣∣∣4
0
=
32
4
unidades2.
x
y
0
R
y = 4x - x2
4
2
4
x
y
R
1
1
e
y = exy = e-x
(a) (b)
b. Os gráficos das curvas cujas equações são y= ex, y= e−x e a reta x= 1.
Solução
A região compreendida entre essas curvas é apresentada no item (b) da figura acima. Logo,
AR =
∫ 1
0
(ex− e−x)dx = (ex− e−x)
∣∣∣1
0
= (e+ e−1−2) unidades2.
c. A parábola y=−x2+4x−3 e as retas tangentes a ela nos pontos (0,−3) e (3,0).
Solução
Observamos que y = −x2+4x−3 = 1− (x−2)2 e, assim, a parábola y−1 = −(x−2)2
tem vértice no ponto (1,2). Além disso,
248 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
i.
dy
dx
∣∣∣
x=3
=(−2x+4)
∣∣∣
x=3
=−2, obtemos L1 : y−0=−2(x−3) de onde L1 : 2x+y= 6;
ii.
dy
dx
∣∣∣
x=0
= (−2x+4)
∣∣∣
x=0
= 4, obtemos L2 : y+3 = 4(x−0) de onde L2 : 4x− y= 3.
Assim, R está compreendida entre y = −x2 + 4x− 3, L1 e L2 (veja o item (a) da figura
abaixo). Logo,
AR =
∫ 3/2
0
[
(4x−3)− (−x2+4x−3)] dx+∫ 3
3/2
[
(6−2x)− (−x2+4x−3)] dx
=
∫ 3/2
0
x2dx+
∫ 3
3/2
(x2−6x+9)dx
=
(
x3
3
)∣∣∣3/2
0
+
(
x3
3
−3x2+9x
)∣∣∣3
3/2
= 9+
27
4
− 27
2
=
9
4
unidades2.
x
0
R
y = -x2 + 4x - 3 
y
1 3
y = 4x - 3 y = -2x + 6
x
y
R
1
y = ln(x)
y = ln2(x)
e
e
(a) (b)
3
2
d. Os gráficos das funções y= ln(x) e y= ln2(x).
Solução
Calculemos os pontos de interseção de ambas curvas:
{
y = ln(x)
y = ln2(x)
⇒ (ln(x))(ln(x)−1)= 0⇒ ln(x)= 0 ou ln(x)−1= 0⇒
{
x = e0 = 1;
x = e1.
Assim, R compreendida entre essas curvas é apresentada no item (b) da figura acima.
Logo,
AR =
∫ e
1
(
ln(x)− ln2(x))dx
=
(
3x ln(x)− x ln2(x)−3x)∣∣∣e
1
=
(
3(e) ln(e)− (e) ln2(e)−3e)− (3(1) ln(1)− (1) ln2(1)−31)
= (3− e) unidades2.
8.12.2 Volume de um Sólido de Revolução
Definição 8.10
Um sólido de revolução é o sólido obtido com a rotação (ou revolução) de uma região plana
em torno de um eixo em seu plano. Esse eixo é denominado de eixo de revolução.
249 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
Método do Disco Circular
Caso I
i. Sejam f : [a,b]→ R uma função contínua, e S o sólido de revolução obtido pela rotação
em torno do eixo x da região plana R limitada pelo gráfico da curva y= f (x), pelo eixo x
e pelas retas x= a e x= b (veja a figura acima). Assim, o volume de S, denotado por VS é
dado por:
VS =
(
pi
∫ b
a
[ f (x)]2 dx
)
unidades3;
ii. Sejam g : [c,d]→ R uma função contínua, e S o sólido de revolução obtido pela rotação
em torno do eixo y da região plana R limitada pela curva x= g(y), pelo eixo y e pelas retas
y= c e y= d. Assim, o volume de S, denotado por VS é dado por:
VS =
(
pi
∫ d
c
[g(y)]2 dy
)
unidades3.
Caso II
i. Sejam f ,g : [a,b]→R duas funções contínuas cujos gráficosencontram-se ao mesmo lado
do eixo x. Além disso, |g(x)| ≤ | f (x)|, ∀x ∈ [a,b]. Seja S o sólido de revolução obtido
pela rotação em torno do eixo x da região R limitada pelas curvas y = f (x) e y = g(x), e
pelas retas verticais x= a, x= b (veja a figura a seguir). Assim, o volume de S, denotado
por VS é dado por:
VS =
(
pi
∫ b
a
(
[ f (x)]2− [g(x)]2
)
dx
)
unidades3.
250 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
x
f(x)
a b
g(x)
ii. Sejam f ,g : [a,b]→R duas funções contínuas cujos gráficos encontram-se do mesmo lado
da reta y= c. Além disso, |g(x)−c| ≤ | f (x)−c|, ∀x ∈ [a,b]. Seja S o sólido de revolução
obtido pela rotação em torno da reta y = c da região R limitada pelas curvas y = f (x) e
y = g(x) e pelas retas verticais x = a e x = b. Assim, o volume de S, denotado por VS é
dado por:
VS =
(
pi
∫ b
a
(
[ f (x)− c]2− [g(x)− c]2
)
dx
)
unidades3.
iii. Sejam f ,g : [a,b]→R duas funções contínuas cujos gráficos encontram-se do mesmo lado
da reta x= k. Além disso, |g(y)−k| ≤ | f (y)−k|, ∀y ∈ [c,d]. Seja S o sólido de revolução
obtido pela rotação em torno da reta x = k da região R limitada pelas curvas x = f (y) e
x= g(y) e pelas retas horizontais y= c e y= d. Assim, o volume de S, denotado por VS é
dado por:
VS =
(
pi
∫ d
c
(
[ f (y)− k]2− [g(y)− k]2
)
dy
)
unidades3.
Exemplo 8.12
Calculemos o volume do sólido gerado pela rotação de R em torno:
a. do eixo x, onde R é a região limitada pelos gráficos de y= ex, x= 0, x= 1 e y= 0.
Solução
A região R é apresentada no item (a) da figura a seguir. Aplicando o item (i) do Caso I,
temos que:
VS = pi
∫ 1
0
(ex)2 dx= pi
∫ 1
0
e2xdx= pi
(
e2x
2
)∣∣∣1
0
dx=
pi
2
(e2−1)unidades3.
x
y
R
1
y = ex
(a)
b. do eixo y, onde R é a região limitada pelos gráficos de y= arcsen(x), x=−1, y= 0 e y=−pi/2.
251 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
Solução
A região R é apresentada no item (b) da figura acima. Desde que o eixo de rotação é o
eixo y, consideramos y como a variável independente. Aplicando o item (iii) do Caso II,
temos que:
x=−1 ⇒ f (y) =−1, y= arcsen(x) ⇒ x= sen(y) = g(y), c=−pi
2
, d = 0 e k = 0.
Logo,
VS = pi
∫ 0
−pi/2
[
(−1)2− (sen(y))2]dy = pi∫ 0
−pi/2
[
1− sen2(y)]dy
= pi
[
y
2
+
1
4
sen(2y)
]∣∣∣0−pi/2 = pi4 unidades3.
c. do eixo x, onde R é a região limitada pelos gráficos de y= x2, y=
√
x e x= 2.
Solução
As curvas y= x2 e y=
√
x se intersectam nos pontos (0,0) e (1,1). A região R é apresen-
tada no item (a) da figura abaixo, e podemos observar que x2 ≤ √x para x ∈ [0,1], área
representada por R1, e
√
x≤ x2 para x ∈ [1,2], área representada por R2. Aplicando o item
(i) do Caso II para R1 e R2, temos que:
VS = pi
∫ 1
0
[
(
√
x)2− (x2)2]dx+pi∫ 2
1
[
(x2)2− (√x)2]dx
= pi
∫ 1
0
(x− x4)dx+pi
∫ 2
1
(x4− x)dx
= pi
(
x2
2
−pi x
5
5
)∣∣∣1
0
+
(
x5
5
− x
2
2
)∣∣∣2
2
=
3pi
10
+
47pi
10
= 5pi unidades3.
x
y
R1
2
y = x2
(a)
d. da reta x= 1, onde R é a região limitada pela circunferência (x+2)2+(y−2)2 = 1.
Solução
A região R é apresentada no item (b) da figura acima, e podemos observar que f (y) =
−2−
√
1− (y−2)2 e g(y) = −2+
√
1− (y−2)2 verificando que 1− g(y) ≤ 1− f (y),
c= 1 e d = 3. Aplicando o item (iii) do Caso II, temos que:
252 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
VS = pi
∫ 3
1
[
(1− f (y))2− (1−g(y))2]dy
= pi
∫ 3
1
[(
3+
√
1− (y−2)2
)2−(3−√1− (y−2)2)2]dy
= pi
∫ 3
1
6
(
2
√
1− (y−2)2
)
dy
= 12pi
∫ 3
1
√
1− (y−2)2 dy
= 6pi
[
(y−2)
√
1− (y−2)2+ arcsen(y−2)
]∣∣∣3
1
= 10pi2 unidades3.
Método das Cascas Cilíndricas
Caso I
Sejam a≥ 0, f : [a,b]→R uma função contínua e não negativa, e S o sólido de revolução obtido
pela rotação em torno do eixo y da região plana R limitada pelo gráfico da curva y= f (x), pelo
eixo x e pelas retas x = a e x = b (veja a figura a seguir). Então, o volume de S, denotado por
VS, é dado por:
VS =
(
2pi
∫ b
a
x f (x)dx
)
unidades3
x
f(x)
a b
Caso II
Sejam f ,g : [a,b]→R duas funções contínuas em [a,b] tais que g(x)≤ f (x), ∀x ∈ [a,b]. Seja R
a região limitada pelas curvas y= f (x) e y= g(x), e pelas retas x= a e x= b. Dado c /∈ (a,b),
temos que:
i. se c ≤ a, então o volume do sólido de revolução S obtido pela rotação de R em torno da
reta x= c (veja o item (a) da figura a seguir) é dado por:
VS =
(
2pi
∫ b
a
(x− c) [ f (x)−g(x)] dx
)
unidades3;
x
f(x)
a b
g(x)
R
253 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
ii. se b ≤ c, então o volume do sólido de revolução S obtido pela rotação de R em torno da
reta x= c (veja o item (b) da figura acima) é dado por:
VS =
(
2pi
∫ b
a
(c− x) [ f (x)−g(x)] dx
)
unidades3.
Nota
Sejam f e g duas funções contínuas em [a,b] tais que g(y) ≤ f (y), ∀y ∈ [a,b]. Seja R a
região limitada pelas curvas x= f (y) e x= g(y), e pelas retas y= a e y= b. Dado c /∈ (a,b),
temos que:
i. se c ≤ a, então o volume do sólido de revolução S obtido ao rotar R em torno da reta
y= c é dado por:
V =
(
2pi
∫ b
a
(y− c) [ f (y)−g(y)] dy
)
unidades3;
ii. se b ≤ c, então o volume do sólido de revolução S obtido ao rotar R em torno da reta
y= c é dado por:
V =
(
2pi
∫ b
a
(c− y) [ f (y)−g(y)] dy
)
unidades3.
Exemplo 8.13
a. Calculemos o volume do sólido obtido ao rotar R em torno do eixo y, onde R é a região limitada
pela curva y= (x−2)3, pelo eixo x e pela reta x= 3.
Solução
R é apresentada no item (a) da figura abaixo. Nesse caso, aplicamos o Caso I e o volume
é dado por:
VS = 2pi
∫ 3
2
x f (x)dx= 2pi
∫ 3
2
x(x−2)3dx= 2pi
∫ 3
2
(x4−6x3+12x2−8x)dx
= 2pi
(
x5
5
− 3x
4
2
+4x3−4x2
)∣∣∣3
2
=
14pi
10
unidades3.
x
y = (x-2)2
3
R
b. Calculemos o volume do sólido obtido na rotação da região limitada pelos gráficos de x+ y2+
3y−6 = 0, x+ y−3 = 0, em torno da reta y= 3.
254 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
Solução
R é apresentada no item (b) da figura acima, e desde que o eixo de revolução é horizontal,
nesse caso, aplicamos o item (ii) da Nota acima, para c= 3. Logo, o volume é dado por:
VS = 2pi
∫ 1
−3
(3− y)[(6−3y− y2)− (3− y)] dy= 2pi∫ 1
−3
(y3− y2−9y+9)dy
= 2pi
(
y4
4
− y
3
3
− 9y
2
2
+9y
)∣∣∣1−3 = 256pi3 unidades3.
c. Calculemos o volume do sólido de revolução obtido na rotação da região limitada pelos gráficos
de y= |x2−2x−3|, y+1 = 0, x−1 = 0 e x−4 = 0, em torno da reta x= 1.
Solução
Notemos que:
|x2−2x−3|= |(x−3)(x+1)|=
{ −(x2−2x−3), 1≤ x< 3;
x2−2x−3, 3≤ x≤ 4.
R é a região apresentada no item (c) da figura acima e, nesse caso, aplicamos o item (i) do
Caso II, para c= 1. Logo, o volume é dado por:
VS = 2pi
∫ 4
1
(x−1)[|x2−2x−3|− (−1)] dx
= 2pi
(∫ 3
1
(x−1)[(3+2x− x2)+1] dx+∫ 4
3
(x−1)[(x2−2x−3)+1] dx)
= 2pi
(∫ 3
1
(−4+2x+3x2− x3) dx+∫ 4
3
(
x3−3x2+2) dx)
= 2pi
((
−4x+ x2+ x3− x44
)∣∣∣3
1
+
(
x4
4
− x3+2x
)∣∣∣4
3
)
= 2pi
(
6+
35
4
)
=
59
2
pi unidades3.
8.12.3 Comprimento de Arco
Comprimento de uma curva y = f (x)
Consideremos uma função f : [a,b]→ R com derivada contínua no intervalo [a,b] e uma par-
tição P = {x0,x1, . . . ,xn} do intervalo [a,b]. P define uma poligonal formada pelos segmentos
retilíneos a partir do ponto Pi−1(xi−1, f (xi−1)) até o ponto Pi = (xi, f (xi)), para i= 1,2, . . . ,n.
x
y
a=x0 x1 x2 x3 xi-1 xn-1 xn=bxi0
P0
P1
P2
P3 Pi-1
Pn-1
Pn
Pi
255 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
O comprimento do i-ésimo segmento definido pela partição P é:∣∣Pi−1Pi∣∣=√(xi− xi−1)2+( f (xi)− f (xi−1))2.
Portanto, o comprimento da poligonal definida pela partição P é:
LP =
n
∑
i=1
∣∣Pi−1Pi∣∣= n∑
i=1√
(xi− xi−1)2+( f (xi)− f (xi−1))2.
Definição 8.11
Seja f : [a,b]→R uma função com derivada contínua em [a,b]. Se existe um número L tal que
L= lim
‖P‖→0
n
∑
i=1
∣∣Pi−1Pi∣∣ ,
então diz-se que o arco P0Pn da curva y = f (x) é retificável e L é o comprimento de arco da
curva y= f (x) a partir do ponto P0 = (a, f (a)) até o ponto Pn = (b, f (b)).
Teorema 8.8
Seja f : [a,b]→ R uma função com derivada contínua em [a,b]. Então, o comprimento de arco
da curva y= f (x) a partir do ponto (a, f (a)) até (b, f (b)) é dado por:
L=
∫ b
a
√
1+( f ′(x))2dx=
∫ b
a
√
1+
(
dy
dx
)2
dx unidades.
Nota
Se g : [c,d]→ R é uma função contínua em [c,d], então o comprimento de arco da curva
x= g(y) a partir do ponto (g(c),c) até (g(d),d) é dado por:
L=
∫ d
c
√
1+(g′(y))2dy=
∫ d
c
√
1+
(
dx
dy
)2
dy unidades.
x
y
0
c
d
A
B
x=g(y)
Exemplo 8.14
Encontremos o comprimento de arco:
a. da parábola 6y= x2, desde a origem de coordenadas até o ponto
(
4,
8
3
)
.
256 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
Solução
Como 6y= x2 (veja o item (a) da figura a seguir) então
dy
dx
=
x
3
. Logo,
L =
∫ 4
0
√
1+
(
dy
dx
)2
dx=
∫ 4
0
√
1+
x2
9
dx=
1
3
∫ 4
0
√
9+ x2 dx
=
1
3
[
x
2
√
9− x2+ 9
2
ln
∣∣∣x+√x2+9∣∣∣]∣∣∣4
0
=
1
3
[(
10+
9
2
ln9
)
−
(
0+
9
2
ln3
)]
=
1
3
[
10+
9
2
ln(3)
]
unidades.
x
y
0
6y = x2
4
8
3
b. da circunferência x2+ y2 = a2.
Solução
Da equação x2+y2 = a2, obtemos y=±√a2− x2 (veja o item (b) da figura acima). Além
disso, observamos que o gráfico é simétrico com respeito do eixo x. Então, podemos
considerar y =
√
a2− x2 o que implica que dy
dx
=
−x√
a2− x2 . Portanto, o comprimento de
arco é:
L = 2
∫ a
−a
√
1+
(
dy
dx
)2
dx= 2
∫ a
−a
√
1+
x2
a2− x2dx= 2a
∫ a
−a
1√
a2− x2dx
= 2aarcsen
(x
a
)∣∣∣a−a = 2a(arcsen(1)− arcsen(−1))
= 2a
(pi
2
−
(
−pi
2
))
= 2api unidades.
c. total da curva x2/3+ y2/3 = a2/3.
Solução
Da equação x2/3 + y2/3 = a2/3, obtemos que y =
(
a2/3− x2/3
)3/2
e
dy
dx
=
−x−1/3
√
a2/3− x2/3. Além disso, o gráfico da curva é simétrico com respeito à origem
(veja o item (a) da figura abaixo). Logo, temos que:
L = 4
∫ a
0
√
1+
(
dy
dx
)2
dx= 4
∫ a
0
√
1+ x−2/3
(
a2/3− x2/3)dx
= 4
∫ a
0
√
a2/3x−2/3dx= 4a1/3
∫ a
0
x−1/3dx= 6a1/3x2/3
∣∣∣a
0
= 6a unidades.
257 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
d. da parábola semicúbica 2y3 = x2 no interior da circunferência x2+ y2 = 20.
Solução
Os pontos de interseção de ambas curvas são (−4,2) e (4,2). Ao derivar a equação 2y3 =
x2 implicitamente com respeito a variável y, temos que:
dx
dy
=
3y2
x
⇒ 1+
(
dx
dy
)2
= 1+
9y4
x2
= 1+9y
(
y3
x2
)
= 1+
9y
2
.
Além disso, o gráfico é simétrico em relação ao eixo y (veja o item (b) da figura acima).
Logo,
L= 2
∫ 2
0
√
1+
(
dx
dy
)2
dx = 2
∫ 2
0
√
1+
9y
2
dy
= 2
(
4
27
(
1+
9y
2
)3/2)∣∣∣2
0
=
8
27
(
10
√
10−1) unidades.
8.12.4 Área de uma Superfície de Revolução
Seja f : [a,b]→ R uma função não negativa e com derivada contínua no intervalo [a,b]. Ao girar o
gráfico de f de x= a até x= b, em torno do eixo x é obtida uma superfície de revolução (veja a figura
abaixo). A área dessa superfície de revolução, denotada por AS, é dada por:
AS =
(
2pi
∫ b
a
f (x)
√
1+( f ′(x))2dx
)
unidades2.
x
y
258 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
Nota
a. Seja f : [a,b]→ R uma função com derivada contínua no intervalo [a,b], é possível
encontrar seu gráfico do mesmo lado da reta y = c. Ao girar o gráfico de f a partir
de x= a até x= b, em torno da reta y= c, obtemos uma superfície de revolução cuja
área é:
AS =
(
2pi
∫ b
a
| f (x)− c|
√
1+( f ′(x))2dx
)
unidades2.
b. Se x = g(y) é uma função com derivada contínua no intervalo [a,b], encontraremos
seu gráfico do mesmo lado da reta x= c. Ao girar o gráfico de g, a partir de y= a até
y= b, em torno da reta x= c, obteremos uma superfície de revolução cuja área é:
AS =
(
2pi
∫ b
a
|g(y)− c|
√
1+(g′(y))2dy
)
unidades2.
Exemplo 8.15
Calculemos a área da superfície gerada ao girar:
a. o gráfico de f (x) =
√
24−4x, x ∈ [3,6], em torno do eixo x.
Solução
Ao derivar f temos que f ′(x) =
−2√
24−4x , e a área da superfície é:
AS = 2pi
∫ 6
3
f (x)
√
1+( f ′(x))2dx = 2pi
∫ 6
3
√
24−4x
√
1+
4
24−4x dx
= 2pi
∫ 6
3
√
28−4xdx= 2pi
(
−1
6
(28−4x)3/2
)∣∣∣6
3
=
56pi
3
unidades2.
x
y
b. o gráfico da curva y= acosh−1
(x
a
)
, a partir de x= a até acosh(1), em torno do eixo y.
Solução
Considerando x= f (y)= acosh
(y
a
)
, obtemos
dx
dy
= f ′(y)= senh
(y
a
)
. Além disso, como
a curva gira em torno do eixo y, a área da superfície gerada é:
259 / 265
Cálculo Diferencial e Integral
AS = 2pi
∫ a
0
f (y)
√
1+( f ′(y))2dy= 2pi
∫ a
0
acosh
(y
a
)√
1+ senh2
(y
a
)
dy
= 2pi
∫ a
0
acosh2
(y
a
)
dy= pia
∫ a
0
(
cosh
(
2y
a
)
+1
)
dy
= pia
(
a
2
senh
(
2y
a
)
+ y
)∣∣∣a
0
=
pia2
2
(2+ senh2) unidades2.
c. a curva y= 2− ex, a partir de x= 0 até c= 2, em torno da reta y= 2.
Solução
Da equação y= 2− ex, obtemos dy
dx
= f ′(x) =−ex, assim, a área da superfície é:
AS = 2pi
∫ 2
0
(2− f (x))
√
1+( f ′(x))2dx= 2pi
∫ 2
0
ex
√
1+(ex)2dx
Fazendo z = ex temos que dz = ex dx, x = 2 implica z = e2 e x = 0 implica z = e0 = 1.
Assim
2pi
∫ 2
0
ex
√
1+(ex)2dx = 2pi
∫ e2
1
√
1+ z2dz
= 2pi
[
1
2
(
z
√
1+ z2+ ln
(
z+
√
1+ z2
))]∣∣∣e2
1
Portanto,
AS = pi
[
e2
√
1+ e4−√2+ ln
(
e2+
√
1+ e4
1+
√
2
)]
unidades2
8.13 Recapitulando
Neste capítulo, apresentamos o conceito de integral definida, embora tenhamos usado as técnicas
estudadas no capítulo anterior para resolvê-las, esse conceito é independente ao da integral indefinida
e, por isso, foram tratados em capítulos diferentes.
No início do capítulo tratamos dos somatórios e suas propriedades, teoria crucial para o bom entendi-
mento da aproximação da área de uma região. Prosseguindo, definimos a integral inferior e superior
e, consequentemente, a integral de Riemann. Em seguida, foram apresentadas as principais proprie-
dades da integral definida. Entre os resultados mais importantes, apresentamos o teorema de valor
intermediário e os teoremas fundamentais do cálculo integral. E já que a teoria apresentada até aí
resumia-se à função sobre um intervalo limitado, foi necessário estender a teoria de integral definida
para intervalos não limitados e para funções com descontinuidade infinita.
A utilidade da integral definida foi revertida e foram apresentadas algumas aplicações: cálculo de
áreas de regiões planas, volume de um sólido de revolução, comprimento de arco e, por último,
área de uma superfície de revolução.
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Cálculo Diferencial e Integral
8.14 Atividades
1. Calcule as derivadas das seguintes funções:
i. F(x) =
∫ 2x
1
cosh(2t2+1)dt. ii. F(x) =
∫ x
2
(∫ y
8
1
1+ t2+ sen2(t)
dt
)
dy.
iii. F(x) = sen
[∫ x
0
sen
(∫ y
0
sen3(t)dt
)
dy
]
. iv. F(x) =
∫ x2
x3
t5
1+ t4
dt.
v. F(x) =
∫ ex
x2
x(t2+1)dt.
2. Se
∫ 1
3x+1
0
f (t)dt =
2
ax
+ax, calcule os valores de a, de modo que f
(
1
4
)
=
16
3
.
3. Calcule f (2) supondo que a função f é contínua e verifica a equação dada ∀x≥ 0
i.
∫ x
0
f (t)dt = x2(1+ x). ii.
∫ x2
0
f (t)dt = x2(1+ x).
iii.
∫ f (x)
0
t2dt = x2(1+ x). iv.