calculo Villacorta e Moreno

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Kely Diana Villacorta Villacorta
Felipe Antonio Garcia Moreno
Cálculo Diferencial e Integral
Editora da UFPB
João Pessoa 
2014
UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA
Reitora 
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Pró-reitora de graduação
MARGARETH DE FÁTIMA FORMIGA MELO DINIZ
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CURSO DE LICENCIATURA EM COMPUTAÇÃO A DISTÂNCIA
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Conselho Editorial
Prof Dr. Lucídio Cabral (UFPB)
Prof Dr. Danielle Rousy (UFPB)
Prof. Ms. Eduardo de Santana Medeiros Alexandre (UFPB)
V712c VILLACORTA, Kely Diana Villacorta.
 Cálculo diferencial e integral / Kely Diana Villacorta Villacorta, 
Felipe Antonio Garcia Moreno; editor: Eduardo de Santana Medeiros 
Alexandre. – 1ª Edição Revisada. João Pessoa: Editora da UFPB, 2014.
 269. : il. – 
 ISBN: 978-85-237-0895-5
 Curso de Licenciatura em Computação na Modalidade à Distância. 
Universidade Federal da Paraíba.
 1. Cálculo diferencial. 2. Cálculo integral. 3. Cálculo. 4. Análise 
matemática. I. Título.
CDU: 517.2/.3
Todos os direitos e responsabilidades dos autores.
EDITORA DA UFPB
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 João Pessoa – Paraíba – Brasil
CEP: 58.051 – 970 
http://www.editora.ufpb.br
Impresso no Brasil
Printed in Brazil
Cálculo Diferencial e Integral
Cálculo Diferencial e Integral
i
Cálculo Diferencial e Integral
Sumário
1 Números Reais 1
1.1 Sistema dos Números Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1 Adição e Multiplicação de Números Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2 Subtração e Divisão de Números Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.3 Relação de Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Equações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Desigualdades e Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Inequações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4.1 Resolvendo Inequações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.1.1 Inequações de Primeiro Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.1.2 Inequações de Segundo Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.1.3 Inequações Polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.1.4 Inequações Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.1.5 Inequações Exponenciais envolvendo Polinômios . . . . . . . . . 18
1.4.1.6 Inequações Irracionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5 Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.6 Axioma do Supremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.7 Recapitulando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.8 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2 Funções 36
2.1 Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.1.1 Translações e reflexões de uma função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.1.2 Funções comuns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.1.3 Função par e função ímpar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.1.4 Função periódica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.1.5 Função crescente e função decrescente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.1.6 Função definida por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
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Cálculo Diferencial e Integral
2.2 Função injetora, sobrejetora e bijetora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.2.1 Operações com funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.3 Composição de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.4 Função inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.5 Recapitulando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.6 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3 Limites 61
3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.2 Vizinhança . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.3 Limites de uma função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.4 Propriedades dos limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.5 Leis do limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.6 Limites laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.7 Limites no infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.8 Limites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.9 Limites infinitos no infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.10 Assíntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.11 Recapitulando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.12 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4 Continuidade 93
4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.2 Noção intuitiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.3 Definição formal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.4 Tipos de descontinuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.5 Propriedades de funções continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.6 Continuidade de funções em intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.7 Teorema de valor intermediário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.8 Funções inversas e continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.9 Recapitulando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.10 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
iii
Cálculo Diferencial e Integral
5 A Derivada 113
5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.2 Definição formal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.3 A Reta Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.4 A derivada como função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.5 Derivadas laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.6 Reta normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.7 Regras de derivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.8 A derivada da composição de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.9 Teorema da função inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.10Derivadas de funções elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.11 Derivadas de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.12 Derivação Implícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.13 Recapitulando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5.14 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
6 Aplicações da Derivada 142
6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
6.2 Valores Extremos de uma Função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
6.3 Determinando Valores Extremos de uma Função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
6.4 Determinando os Pontos de Inflexão e Concavidade da Curva y=f (x) . . . . . . . . . 149
6.5 Esboçando o gráfico de y = f (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
6.6 Teorema do Valor Médio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
6.7 Formas indeterminadas e a regra de L’Hôpital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
6.8 Recapitulando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
6.9 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
7 A Integral Indefinida 169
7.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
7.2 A Antiderivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
7.3 Propriedades da Integral Indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
7.4 Integrais Imediatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
7.5 Método de Integração por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
7.6 Técnicas de Integração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
7.6.1 Integrais de Funções que Contêm um Trinômio Quadrado . . . . . . . . . . 186
7.6.2 Integrais de Funções Trigonométricas e Hiperbólicas . . . . . . . . . . . . . 189
iv
Cálculo Diferencial e Integral
7.6.3 Integração por Substituição Trigonométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
7.6.4 Integração de Funções Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
7.6.5 O método de Hermite-Ostrogradski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
7.6.6 Integrais de Funções Irracionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
7.7 Recapitulando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
7.8 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
8 A Integral Definida 223
8.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
8.2 Somatórios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
8.2.1 Propriedades do Somatório . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
8.3 Cálculo da Área de uma Região Plana por Somatórios . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
8.3.1 Partição de um Intervalo Fechado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
8.3.2 Aproximação da Área de uma Região por Áreas de Retângulos . . . . . . . . 226
8.3.3 Soma Superior e Soma Inferior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
8.3.4 Propriedades dos Somatórios Superiores e Inferiores . . . . . . . . . . . . . 231
8.4 Integrais Inferiores e Superiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
8.5 A Integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
8.6 Propriedades da integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
8.7 Teorema do Valor Intermediário para Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
8.8 Teoremas Fundamentais do Cálculo Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
8.9 Mudança de Variável numa Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
8.10 Integração por Partes numa Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
8.11 Integrais Impróprias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
8.11.1 Integrais Impróprias com Limites Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
8.11.2 Integrais Impróprias com Limites Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
8.12 Aplicações da Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
8.12.1 Áreas de Regiões Planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
8.12.2 Volume de um Sólido de Revolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
8.12.3 Comprimento de Arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
8.12.4 Área de uma Superfície de Revolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
8.13 Recapitulando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
8.14 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
9 Referências 264
9.1 Referências Bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
10 Índice Remissivo 265
v
Cálculo Diferencial e Integral
Prefácio
BAIXANDO A VERSÃO MAIS NOVA DESTE LIVRO
Acesse https://github.com/edusantana/calculo-diferencial-e-integral-livro/releases para
verificar se há uma versão mais o Histórico de revisões, na início do livro, para verifi-
car o que mudou entre uma versão e outra.
Este livro foi projetado e escrito com o objetivo de oferecer aos estudantes do Curso de Licenciatura
em Computação a Distância um material didático de fácil entendimento dos fundamentos de um
curso de Cálculo Diferencial e Integral. Temos nos esforçado em apresentar o cálculo de forma não
tão rigorosa, isto é, neste livro focamos no uso da teoria e suas propriedades e não nos aprofundamos
nas demonstrações destas. Priorizamos o uso do desenvolvimento teórico com exemplos e com uma
quantidade razoável de atividades para uma fixação do conteúdo, de tal forma que resulte de máximo
proveito aos estudantes.
A obra é composta por 8 capítulos contendo os principais tópicos abordados em uma disciplina básica
de Cálculo Diferencial e Integral, e que seguem uma ordem progessiva de conteúdo, por isto reco-
mendamos ao estudante que dedique tempo e esmero em cada capítulo e resolva a máxima quantidade
de atividades.
No primeiro capítulo se faz uma apresentação axiomática dos números reais e suas principais propri-
edades; no segundo capítulo tratamos das relações e das funções que serão o principal objeto mate-
mático tratado neste livro; no terceiro capítulo estudamos os conceito de limite, fundamental para a
teoria subsequente; no quarto capítulo estudamos a continuidade de uma função; no quinto capítulo
introduzimos a derivada de uma função e suas principais propriedades; no sexto capítulo apresenta-
mos algumas aplicações da derivada; no sétimo capítulo tratamos da integral indefinida e os métodos
de integração; e no oitavo e último capítulo, introduzimos o conceito da integral definida e tratamos
de algumas das aplicações desta.
Sabemos que existem vários outros materiais e livros que abordam o mesmo conteúdo apresentado
aqui, alguns até mais abrangentes. Somos porém, realistas que em uma primeira abordagem demos
prioridade a possibilitar ao aluno familiarizar-se com conceitos básicos e interpretações, deixando a
prova de todos esses resultados a posteriori.
Esperamos que este livro forneça apoio e incentivo para que o aluno, depois de aprender estes con-
ceitos, se sinta confiante ao resolver problemas com aplicações práticas no mundo real.
João Pessoa, agosto de 2013.
Kely D. V. Villacorta
Felipe A. G. Morenovi
Cálculo Diferencial e Integral
Público alvo
O público alvo desse livro são os alunos de Licenciatura em Computação, na modalidade à distância.1
Como você deve estudar cada capítulo
• Leia a visão geral do capítulo
• Estude os conteúdos das seções
• Realize as atividades no final do capítulo
• Verifique se você atingiu os objetivos do capítulo
NA SALA DE AULA DO CURSO
• Tire dúvidas e discuta sobre as atividades do livro com outros integrantes do curso
• Leia materiais complementares eventualmente disponibilizados
• Realize as atividades propostas pelo professor da disciplina
Caixas de diálogo
Nesta seção apresentamos as caixas de diálogo que poderão ser utilizadas durante o texto. Confira os
significados delas.
Nota
Esta caixa é utilizada para realizar alguma reflexão.
Dica
Esta caixa é utilizada quando desejamos remeter a materiais complementares.
Importante
Esta caixa é utilizada para chamar atenção sobre algo importante.
Cuidado
Esta caixa é utilizada para alertar sobre algo que exige cautela.
1Embora ele tenha sido feito para atender aos alunos da Universidade Federal da Paraíba, o seu uso não se restringe
a esta universidade, podendo ser adotado por outras universidades do sistema UAB.
vii
Cálculo Diferencial e Integral
Atenção
Esta caixa é utilizada para alertar sobre algo potencialmente perigoso.
Os significados das caixas são apenas uma referência, podendo ser adaptados conforme as intenções
dos autores.
Vídeos
Os vídeos são apresentados da seguinte forma:
Figura 1: Como baixar os códigos fontes: http://youtu.be/Od90rVXJV78
Nota
Na versão impressa irá aparecer uma imagem quadriculada. Isto é o qrcode
(http://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%B3digo_QR) contendo o link do vídeo. Caso você tenha
um celular com acesso a internet poderá acionar um programa de leitura de qrcode para
acessar o vídeo.
Na versão digital você poderá assistir o vídeo clicando diretamente sobre o link.
Compreendendo as referências
As referências são apresentadas conforme o elemento que está sendo referenciado:
Referências a capítulos
Prefácio [vi]
Referências a seções
“Como você deve estudar cada capítulo” [vii], “Caixas de diálogo” [vii].
Referências a imagens
Figura 2 [ix]
viii
Cálculo Diferencial e Integral
Nota
Na versão impressa, o número que aparece entre chaves “[ ]” corresponde ao número da
página onde está o conteúdo referenciado. Na versão digital do livro você poderá clicar no
link da referência.
Feedback
Você pode contribuir com a atualização e correção deste livro. Ao final de cada capítulo você será
convidado a fazê-lo, enviando um feedback como a seguir:
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submeter uma sugestão ou crítica?
Para compreender melhor como feedbacks funcionam consulte o guia do curso.
Nota
A seção sobre o feedback, no guia do curso, pode ser acessado em: https://github.com/-
edusantana/guia-geral-ead-computacao-ufpb/blob/master/livro/capitulos/livros-
contribuicao.adoc.
Figura 2: Exemplo de contribuição
ix
Cálculo Diferencial e Integral
Capítulo 1
Números Reais
OBJETIVOS DO CAPÍTULO
Ao final deste capítulo você deverá ser capaz de:
• Dados dois números reais, reconhecer a relação de ordem estabelecida entre eles e suas
principais propriedades;
• Determinar as raízes de uma equação dada;
• Determinar o conjunto solução de uma inequação dada;
• Dominar o conceito de valor absoluto;
• Entender o conceito do sistema dos números reais e saber diferenciar os subconjuntos
que o integram: naturais, inteiros, racionais e irracionais;
• Familiarizar-se com o Axioma do Supremo.
O sistema dos números reais que conhecemos atualmente foi obtido depois de muitas reflexões por
parte do homem. Desde o início de nossa civilização já se conheciam os números inteiros positivos,
ou seja, 1,2,3, . . . Os números inteiros, tão grandes quanto 100000, já eram utilizados no Egito em
épocas como 300 a. C.
Na aritmética de números inteiros positivos, que desenvolveram os antigos egípcios e babilônios,
podiam efetuar-se as operações de adição e multiplicação, embora essa última não tenha sido desen-
volvida por completo. Além disso, naquela época já se conheciam certas frações, isto é, os números
racionais. Por outro lado, os Babilônios tiveram maior êxito no desenvolvimento da aritmética e da
álgebra, e a notação que eles usavam também era superior a dos egípcios, com a diferença que eles
trabalhavam na base 60 e não na base 10.
Nosso sistema decimal foi criado pelos Hindus e introduzido na Europa Ocidental no século XII,
mediante a tradução de textos árabes, porém, essa notação demorou para ter uma aceitação geral, e
muito depois disso veio a aceitação dos números negativos, a qual aconteceu apenas no final do século
XVI, época em que eram descartadas as raízes negativas das equações.
Ainda que a necessidade dos números irracionais, tais como
√
2 e pi , já tinha se apresentado aos mate-
máticos da antiga Grécia no seus estudos geométricos, não foram introduzidos métodos satisfatórios
de construção dos números reais a partir dos racionais até finais do século XIX, quando os matemá-
ticos conseguiram propor um ponto de partida para a construção total dos números reais, abordagem
atualmente utilizada.
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Cálculo Diferencial e Integral
Embora seja muito interessante apresentar o construção do conjunto dos números reais passo a passo,
o foco deste livro não é o construtivo, pois assumiremos que existam certos objetos, chamados de
números reais, que verificam os 11 axiomas a serem enunciados neste capítulo. Todas as propriedades
dos números reais que serão apresentadas aqui, ou estão entre estes axiomas, ou podem ser deduzidas
a partir deles.
Portanto, neste capítulo revisaremos o sistema dos números reais, desigualdades e intervalos, equa-
ções, inequações, valor absoluto, Axioma do Supremo, e resolveremos alguns problemas usando a
teoria apresentada.
1.1 Sistema dos Números Reais
Um conjunto não vazio de suma importância, para o bom entendimento de toda a teoria apresentada
neste livro, é o conjunto dos números reais, denotado por R. Cada elemento de R é chamado de
número real.
Os números reais são identificados por pontos numa reta. E essa identificação dá-se da seguinte
maneira:
10 π-1 -2
5
-2 5
Dada uma reta (por conveniência horizontal) e uma unidade de medida arbitrária, fixamos o ponto 0
da reta, logo, a cada número real x se identifica com o ponto que está situado a x unidades à direita do
0, se x> 0, e com o ponto situado a −x unidades à esquerda do 0, se x< 0.
Essa correspondência entre os números reais e os pontos da reta é biunívoca, isto é, para cada número
real há um único ponto correspondente na reta, e para cada ponto na reta há um único número real
correspondente. No decorrer deste livro, não faremos nenhuma diferenciação entre ambos elementos.
Logo, o sistema dos números reais, denotado por (R;+; ·;<), é o conjunto R fornecido de duas
operações, adição (+) e multiplicação (·), de uma relação de ordem (<) (lê-se menor que) e de
um axioma chamado Axioma do Supremo. Para simplificar a notação usaremos somente R.
1.1.1 Adição e Multiplicação de Números Reais
Embora as operações de adição e multiplicação sejam duas operações aritméticas com as quais esta-
mos muito acostumados desde o início dos nossos estudos na escola, a adição e a multiplicação de
números reais são duas operações internas em R e são definidas, formalmente, como segue:
Adição
Dados a e b ∈ R existe um único w ∈ R, chamado de soma de a e b, tal que w= a+b.
Multiplicação
Dados a e b ∈ R existe um único z ∈ R, chamado de produto de a e b, tal que z= a ·b.
A adição e multiplicação de números reais são regidos pelos seguintes axiomas:
Axioma 1
a+b=b+a, ∀a,b ∈ R.
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Axioma 2
(a+b)+ c= a+(b+ c), ∀a,b,c ∈ R.
Axioma 3
Existe o número real zero, denotado por 0, tal que a+0 = 0+a= a, ∀a ∈ R.
Axioma 4
Para cada número real a existe um real chamado de oposto de a, denotado por −a, tal que
a+(−a) = 0.
Axioma 5
a ·b= b ·a, ∀a,b ∈ R.
Axioma 6
(a ·b) · c= a · (b · c), ∀a,b,c ∈ R.
Axioma 7
Existe o número real um, denotado por 1, tal que a ·1 = 1 ·a= a, ∀a ∈ R.
Axioma 8
Para cada número real a, diferente de zero, existe um número real chamado de inverso de a,
denotado por a−1 ou
1
a
, tal que a ·a−1 = a−1 ·a= 1.
Axioma 9
a(b+ c) = a ·b+a · c, ∀a,b,c ∈ R
Nota
a. Os Axiomas 1 e 5 são conhecidos como axiomas comutativos para a soma e multi-
plicação, respectivamente;
b. Os Axiomas 2 e 6 são conhecidos como axiomas associativos para a soma e multi-
plicação, respectivamente;
c. O Axioma 9 é conhecido como axioma distributivo e relaciona a adição e multiplica-
ção de números reais.
O seguinte teorema enuncia as propriedades dessas duas operações.
Teorema 1.1
Sejam a, b e c ∈ R. Então:
i. Os números 0, 1, −a e a−1 são únicos;
ii. a=−(−a);
iii. Se a 6= 0, então a= (a−1)−1;
iv. a ·0 = 0 ·a= 0;
v. −a= (−1) ·a;
vi. a · (−b) = (−a) ·b;
vii. (−a) · (−b) = a ·b;
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viii. Se a+ c= b+ c, então a= b;
ix. Se a · c= b · c e c 6= 0, então a= b;
x. a ·b= 0 se, e somente se, a= 0 ou b= 0;
xi. a ·b 6= 0 se, e somente se, a 6= 0 e b 6= 0;
xii. a2 = b2 se, e somente se, a= b ou a=−b.
Nota
0 e 1 também são conhecidos como elementos neutros para a adição e para a multiplica-
ção, respectivamente;
1.1.2 Subtração e Divisão de Números Reais
Subtração
Dados a e b ∈ R, a diferença de a e b é definida como a−b= a+(−b).
Divisão ou quociente
Dados a e b ∈ R, com b 6= 0, a divisão ou quociente de a e b é definida como a
b
= a · (b−1).
Teorema 1.2
Sejam a, b, c e d ∈ R. Então:
i. a−b=−(b−a);
ii. a−b= c se, e somente se, a= b+ c;
iii. Se b 6= 0, então c= a
b
se, e somente se, b · c= a;
iv. a · (b− c) = a ·b−a · c;
v. Se b 6= 0 e d 6= 0, então a
b
± c
d
=
a ·d±b · c
b ·d .
1.1.3 Relação de Ordem
Axioma 10
Em R existe um subconjunto chamado de reais positivos, denotado por R++, que satisfaz as
seguintes propriedades:
i. Se a ∈ R, então a ∈ R++ ou −a ∈ R++ ou a= 0;
ii. Se a ∈ R++ e b ∈ R++, então a+b ∈ R++ e a ·b ∈ R++.
Definição 1.1
Sejam a, b ∈ R. Diz-se que:
i. a é menor que b, denotado por a< b, se, e somente se, b−a ∈ R++;
ii. a é menor ou igual que b, denotado por a≤ b, se, e somente se, a< b ou a= b.
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Nota
a. a< b é equivalente a b> a e leia-se “b é maior que a”;
b. Da mesma forma, a≤ b é equivalente a b≥ a e leia-se “b é maior ou igual que a”.
O seguinte teorema enuncia as propriedades associadas à relação de ordem.
Teorema 1.3
Dados a, b, c e d ∈ R. Então:
i. a= b ou a< b ou a> b;
ii. a2 ≥ 0. Se a 6= 0, então a2 > 0;
iii. se a< b e b< c, então a< c;
iv. se a< b, então a+ c< b+ c;
v. Se a< b e c< d, então a+ c< b+d;
vi. Se a< b e c> 0, então a · c< b · c;
vii. Se a< b e c< 0, então a · c> b · c;
viii. Se 0< a< b e 0< c< d, então a · c< b ·d;
ix. Se a 6= 0, então a e a−1 têm o mesmo sinal, isto é:
a. Se a> 0, então a−1 > 0,
b. Se a< 0, então a−1 < 0;
x. Se 0< a< b, então 0< b−1 < a−1;
xi. Se a< b< 0, então b−1 < a−1 < 0;
xii. a ·b> 0 se, e somente se, (a> 0 e b> 0) ou (a< 0 e b< 0) ;
xiii. a ·b≥ 0 se, e somente se, (a≥ 0 e b≥ 0) ou (a≤ 0 e b≤ 0)
xiv. a ·b< 0 se, e somente se, (a< 0 e b> 0) ou (a> 0 e b< 0) ;
xv. a ·b≤ 0 se, e somente se, (a≤ 0 e b≥ 0) ou (a≥ 0 e b≤ 0)
xvi. Se a≥ 0 e b≥ 0, então a< b se, e somente se, a2 < b2;
xvii. a2+b2 = 0 se, e somente se, a= 0 e b= 0.
Nota
No Teorema 1.3 temos que:
a. O item(i) é conhecido como Lei da tricotomia;
b. O item(iii) é conhecido como Lei transitiva;
c. O item(iv) é conhecido como Lei da monotonia para a soma.
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Importante
a. Se a e b são dois números reias tais que a2 = b, diz-se que a é a raiz quadrada
de b, denotada por
√
b. Por exemplo, 2 e −2 são raízes quadradas de 4, já que
(−2)2 = 22 = 4, e√3 e −√3 são raízes quadradas de 3, pois (−√3)2 = (√3)2 = 3.
b. Pelo item(ii) do Teorema 1.3, não existe a ∈ R e b < 0 tal que a2 = b. Em outras
palavras, no conjunto dos números reais não existe raiz quadrada de números
negativos;
c. Se a2 = 0, então deduz-se que a= 0. Portanto,
√
0 = 0.
Definição 1.2
Uma desigualdade é uma expressão algébrica que contém relações como <, ≤, >, ≥.
Desta forma temos que:
x< y< z significa que x< y e y< z;
x< y≤ z significa que x< y e y≤ z;
x≤ y< z significa que x≤ y e y< z;
x≤ y≤ z significa que x≤ y e y≤ z.
Mais ainda, sejam x, y e z ∈R tais que x< y< z. Então estas desigualdades são repr´esentadas na reta
real da seguinte maneira:
Figura 1.1: Distância entre x e y, e distância entre y e z
Ou seja, x está à esquerda de y, a uma distância de y−x unidades e z está à direita de y, a uma distância
de z− y unidades.
1.2 Equações
Definição 1.3
Uma equação é uma afirmação que se estabelece entre duas expressões algébricas mediante
uma igualdade.
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Exemplo 1.1 Tipos de Equações
• Equação de Primeiro grau
3x−4 = 2− x
• Equação de Segundo grau
x2−4x−5 = 0
• Equação Racional
x2−5x+4
x2−4 = x+2
• Equação Irracional
√
x+3+
√
x+4 =−3
• Equação Exponencial
3
√
3(5x+1)/3 =
√
93(x+1)/5
Definição 1.4
Dada uma equação. Diz-se que um número real a é uma raiz da equação, ou é um zero da
equação se ao substituir a variável da equação por a, a igualdade for verdadeira. Além disso,
resolver uma equação significa encontrar todas as suas raízes.
Exemplo 1.2
Dada a equação
x2−4x−5 = 0
temos que:
a. Os números reais −1 e 5 são raízes da equação de segundo grau acima, pois (−1)2−4(−1)−
5 = 0 e (5)2−4(5)−5 = 0;
b. Porém, o número real 4 não é uma raiz, pois (4)2−4(4)−5 =−5 6= 0.
Nota
Para resolver uma equação é necessário por em evidência, de alguma forma, a variável, ou
incógnita, da equação.
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Exemplo 1.3 Resolvamos as seguintes equações
a. 5x+6 = 8.
Solução
5x+6 = 8 ⇔ 5x= 8−6 = 2 ⇔ x= 2
5
. Portanto,
2
5
é a raiz de 5x+6 = 8.
b. 5x+5 = 1−3x.
Solução
5x+ 5 = 1− 3x ⇔ 5x+ 3x = 1− 5 ⇔ 8x = −4 ⇔ x = −4
8
⇔ x = −1
2
. Portanto,
−1
2
é a raiz de 5x+5 = 1−3x
c. x2+1 = 0.
Solução
x2 + 1 = 0 ⇔ x2 = −1. Portanto, do item b do Importante posterior ao Teorema 1.3,
para b=−1, podemos concluir que x2+1 = 0 não tem solução em R.
d. 4x2− x−3 = 0.
Solução
Método 1 (Fatorando)
4x2−x−3= 0 ⇔ (4x+3)(x−1) = 0. Pelo item (x) do Teorema 1.1 para a= 4x+3
e b= x−1, temos que (4x+3)(x−1) = 0 ⇔ 4x+3 = 0 ou x−1 = 0 ⇔ x=−3
4
ou x= 1.
Método 2 (Completando quadrados)
4x2−x−3= 0 ⇔ (2x)2−x+
(
−1
4
)2
−3=
(
−1
4
)2
⇔ (2x)2−x+
(
−1
4
)2
=
49
16
⇔
(
2x− 1
4
)2
=
49
16
⇔ 2x− 1
4
=−7
4
ou 2x− 1
4
=
7
4
⇔ 2x=−3
2
ou 2x= 2 ⇔
x=−3
4
ou x= 1.
Método 3 (Usando a fórmula de Bhaskara ou o Discriminante ∆)
Dada a equação 4x2− x− 3 = 0, temos que ∆ = (−1)2− 4(4)(−3) = 49 e ⇔ x =
−(−1)±√∆
2(4)
. Então, x=
1±√49
8
⇔ x= 1±7
8
⇔ x= 8
8
ou x=−6
8
⇔ x= 1
ou x=−3
4
.
Portanto, −3
4
e 1 são as raízes de 4x2− x−3 = 0.
1.3 Desigualdades e Intervalos
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Definição 1.5
Dados a e b ∈ R, com a < b. Um intervalo é um subconjunto de R e podem ser classificado
em:
Intervalos Limitados
1. Intervalo Aberto: (a,b) = {x ∈ R : a< x< b}
2. Intervalo Fechado: [a,b] = {x ∈ R : a≤ x≤ b}
3. Intervalo Semiaberto pela Direita: [a,b) = {x ∈R : a≤ x< b}
4. Intervalo Semiaberto pela Esquerda: (a,b] = {x ∈ R : a< x≤ b}
Intervalos Ilimitados
1. Intervalo Aberto:
i. (a,+∞) = {x ∈ R : a< x}
ii. (−∞,a) = {x ∈ R : x< a}
2. Intervalo Fechado:
i. [a,+∞) = {x ∈ R : a≤ x}
ii. (−∞,a] = {x ∈ R : x≤ a}
3. A Reta Real: (−∞,+∞) = R
Nota
Os intervalos semiabertos [a,b) e (a,b] também podem ser referenciados como intervalos
semifechados pela esquerda e pela direita, respectivamente.
Exemplo 1.4
Dados os intervalos:
A= [−5,2], B= (−2,3] e C = (2,6),
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temos que:
a. A∩B= [−2,2]
b. A∩C = /0
c. B∩C = (2,3]
d. A∪B= [−5,3]
e. A∪C = [−5,6)
f. B∪C = (−2,6)
1.4 Inequações
Definição 1.6
Uma inequação é uma afirmação que se estabelece entre duas expressões algébricas mediante
uma desigualdade.
Exemplo 1.5 Tipos de Inequações
• Inequação de Primeiro grau
3x−4≤ 2− x
• Inequação de Segundo grau
x2−4x−5< 0
• Inequação Racional
x2−5x+4
x2−4 ≥ x+2
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• Inequação Irracional
√
x+3+
√
x+4>−3
• Inequação Exponencial
3
√
3(5x+1)/3 <
√
93(x+1)/5
Definição 1.7
Diz-se que um número real a é solução da inequação, ou satisfaz uma inequação, se ao
substituir a variável da expressão por a, a desigualdade se faz verdadeira.
Exemplo 1.6
Seja a inequação
x2−4x−5< 0
Então:
a. O número real 4 é uma solução da inequação de segundo grau acima, pois (4)2− 4(4)− 5 =
−5< 0;
b. Porém, os números reais −1 e 5 não são soluções, pois (−1)2− 4(−1)− 5 = 0 6< 0 e (5)2−
4(5)−5 = 0 6< 0;
Definição 1.8
O conjunto de todas as soluções de uma inequação é chamado de conjunto solução, denotado
por C. S. Resolver uma inequação significa encontrar seu C. S..
Nota
Se não existem soluções reais para a inequação, então diz-se queC. S. é vazio, e se escreve,
C. S.= /0
1.4.1 Resolvendo Inequações
1.4.1.1 Inequações de Primeiro Grau
As inequações de primeiro grau numa variável são da forma:
ax+b> 0 ou ax+b< 0 ou ax+b≥ 0 ou ax+b≤ 0, com a 6= 0.
Então, para resolver estas inequações consideramos, sem perda de generalidade que, a> 0. Assim,
i. ax+b> 0 ≡ x>−ba ⇒ C. S.=
(−ba ,+∞);
ii. ax+b< 0 ≡ x<−ba ⇒ C. S.=
(−∞,−ba);
iii. ax+b≥ 0 ≡ x≥−ba ⇒ C. S.=
[−ba ,+∞);
iv. ax+b≤ 0 ≡ x≤−ba ⇒ C. S.=
(−∞,−ba].
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Exemplo 1.7
Resolvamos as seguintes inequações de primeiro grau:
a. 5x+6< 8.
Solução
5x+6< 8 ⇔ 5x< 8−6 = 2 ⇔ x< 2
5
. Portanto, C. S.=
(
−∞, 2
5
)
.
b. 5x+5≥ 1−3x.
Solução
5x+5≥ 1−3x ⇔ 5x+3x≥ 1−5 ⇔ 8x≥−4 ⇔ x≥−4
8
=−1
2
.
Portanto, C. S.=
[
−1
2
,+∞
)
.
c. 3x−4< 2+ x.
Solução
3x−4< 2+ x ⇔ 3x− x< 2+4 ⇔ 2x< 6 ⇔ x< 3. Portanto, C. S.= (−∞,3).
1.4.1.2 Inequações de Segundo Grau
As inequações de segundo grau numa variável são da forma:
ax2+bx+c> 0 ou ax2+bx+c< 0 ou ax2+bx+c≥ 0 ou ax2+bx+c≤ 0, com a 6= 0.
Suponhamos, sem perda de generalidade, que a > 0. Antes de mostrar como resolver este tipo de
inequação, devemos lembrar a fórmula de Bhaskara:
Se ax2+bx+ c= 0, então x=
−b±√∆
2a
,
onde ∆= b2−4ac é conhecido como o discriminante. Assim:
• Se ∆< 0, então esta equação não tem raízes em R;
• Se ∆≥ 0, então esta equação terá as seguintes raízes
r1 =
−b−√∆
2a
ou r2 =
−b+√∆
2a
em R.
Caso I
Se ∆= 0, então ax2+bx+ c= 0 tem uma única raiz, isto é, r = r1 = r2. Portanto:
i. ax2+bx+ c> 0 se, e somente, C. S.= R\{r};
ii. ax2+bx+ c< 0 se, e somente se, C. S.= /0;
iii. ax2+bx+ c≥ 0 se, e somente se, C. S.= R;
iv. ax2+bx+ c≤ 0 se, e somente se, C. S.= {r}.
Caso II
Se ∆> 0, então ax2+bx+ c= 0 tem duas raízes diferentes, com r1 < r2. Portanto:
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i. ax2+bx+ c> 0 se, e somente, C. S.= (−∞,r1)∪ (r2,+∞);
ii. ax2+bx+ c< 0 se, e somente se, C. S.= (r1,r2);
iii. ax2+bx+ c≥ 0 se, e somente se, C. S.= (−∞,r1]∪ [r2,+∞);
iv. ax2+bx+ c≤ 0 se, e somente se, C. S.= [r1,r2].
Caso III
Se ∆< 0, então ax2+bx+ c= 0 não tem raízes em R. Portanto:
i. ax2+bx+ c> 0 se, e somente, C. S.= R;
ii. ax2+bx+ c< 0 se, e somente se, C. S.= /0;
iii. ax2+bx+ c≥ 0 se, e somente se, C. S.= R;
iv. ax2+bx+ c≤ 0 se, e somente se, C. S.= /0.
Exemplo 1.8
Resolvamos as seguintes inequações:
a. x2−2< 3x+2
Solução
x2− 2 < 3x+ 2 ⇔ x2− 3x− 4 < 0. Como ∆ = (−3)2− 4(1)(−4) = 25 > 0, então
x2−3x−4 = 0 tem duas raizes reais diferentes:
r1 =
−(−3)−√∆
2(1)
=
3−√25
2
=
−2
2
=−1 e r2 = −(−3)+
√
∆
2(1)
=
3+
√
25
2
=
8
2
= 4.
Aplicando o item(ii) do Caso II, pois r1 < r2, temos que C. S.= (−1,4).
Embora já tenhamos encontrado o conjunto solução para a inequação dada, a seguir apre-
sentamos métodos alternativos para determiná-lo.
Método 1 (Decompondo)
x2−2< 3x+2 ⇔ x2−3x−4< 0 ⇔ (x−4)(x+1)< 0. Logo, pelo item(xiv) do
Teorema 1.3 temos que (x−4)(x+1)< 0 ⇔ (x−4< 0 e x+1> 0) ou (x−4> 0
e x+ 1 < 0) ⇔ (x < 4 e x > −1) ou (x > 4 e x < −1) ⇔ −1 < x < 4 ou /0 ⇔
x ∈ (−1,4).
Método 2 (Completando Quadrados)
x2 − 2 < 3x+ 2 ⇔ x2 − 3x < 4 ⇔ x2 − 3x+ 9
4
< 4 +
9
4
⇔
(
x− 3
2
)2
<
25
4
⇔
(
x− 3
2
)2
−
(
5
2
)2
< 0 ⇔
(
x− 3
2
− 5
2
)(
x− 3
2
+
5
2
)
< 0 ⇔(
x− 8
2
)(
x+
2
2
)
< 0 ⇔ (x−4)(x+1)< 0. Assim, trabalhando de forma analoga
ao Método 1 acima, temos que (x−4)(x+1)< 0 ⇔ x ∈ (−1,4).
Método 3 (Encontrando o quadro de sinais)
x2−2< 3x+2 ⇔ x2−3x−4< 0 ⇔ (x+1)(x−4)< 0. Os valores de x para os
que (x+1)(x−4) = 0 são x=−1 e x= 4 (raízes de cada fator). Logo,
Figura 1.2: Quadro de sinais
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Nesta figura observamos que (x+1)(x−4)< 0, se x ∈ (−1,4).
Portanto, C. S.= (−1,4).
b. x2+1< 0
Solução
Para x2−1< 0 temos que ∆= (0)2−4(1)(1) =−16< 0. Então, do Caso III item(ii), se
segue que x2+1 = 0 não tem raízes em R. Portanto, C. S.= /0.
c. 4x2− x−3≥ 0.
Solução
Para 4x2− x− 3 ≥ 0 temos que ∆ = (−1)2− 4(4)(−3) = 49 > 0, então 4x2− x− 3 = 0
tem duas raizes reais diferentes:
r1 =
−(−1)−√∆
2(4)
=
1−√49
8
=−3
4
e r2 =
−(−1)+√∆
2(4)
=
1+
√
49
8
=
8
8
= 1.
Portanto, aplicando o item(iii) do Caso II, pois r1 < r2, C. S.=
(−∞,−34]∪ [1,+∞).
1.4.1.3 Inequações Polinomiais
Seja o polinômio de grau n:
P(x) = anxn+ · · ·+a1x+a0
onde a0, a1, . . . ,an são contantes e an > 0, n ∈ N. Então, as inequações polinomiais numa variável
são da forma:
P(x)> 0 ou P(x)< 0 ou P(x)≥ 0 ou P(x)≤ 0.
Assim como nos casos anteriores, este tipo de inequações são resolvidas de acordo com a natureza
das raízes da equação polinomial P(x) = 0. Desde que P(x) tem grau n, então esta equação pode ter
no máximo n raízes em R. Vamos denotar cada uma destas raízes por r1, r2, . . . ,rn.
Caso I
Se P(x) = 0 tem n raízes diferentes em R, com r1 < r2 < · · · < rn−1 < rn, então alternamos o
sinal + e − nos intervalos consecutivos delimitados por estas raízes, começamos assinando o
sinal + ao intervalo mais a direita, isto é, aquele intervalo à direita da raiz rn, veja a figura a
seguir:
Logo,
i. P(x)> 0 se, e somente, x pertence à união dos intervalos abertos com sinal +, isto é:
a. Se n é par, então C. S.= (−∞,r1)∪·· ·∪ (rn,+∞);
b. Se n é ímpar, então C. S.= (r1,r2)∪·· ·∪ (rn,+∞);
ii. P(x)< 0 se, e somente se, x pertence à união dos intervalos aberots com sinal −, isto é:
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Cálculo Diferencial e Integral
a. Se n é par, então C. S.= (r1,r2)∪·· ·∪ (rn−1,rn);
b. Se n é ímpar, então C. S.= (−∞,r1)∪·· ·∪ (rn−1,rn);
iii. P(x)≥ 0 se, e somente, x pertence à união dos intervalos fechados com sinal +, isto é:
a. Se n é par, então C. S.= (−∞,r1]∪·· ·∪ [rn,+∞);
b. Se n é ímpar, então C. S.= [r1,r2]∪·· ·∪ [rn,+∞);
iv. P(x)≤ 0 se, e somente se, x pertence à união dos intervalos fechados com sinal −, isto é:
a. Se n é par, então C. S.= [r1,r2]∪·· ·∪ [rn−1,rn];
b. Se né ímpar, então C. S.= (−∞,r1]∪·· ·∪ [rn−1,rn];
Caso II
Seja rk uma raiz de P(x) = 0 com multiplicidade maior ou igual que 2. Então:
i. Se a multiciplicidade de rk é par, então aplicaremos o mesmo procedimento do Caso I
sem considerar rk para a obtenção dos intervalos que definem o C. S.
ii. Se a multiciplicidade de rk é impar, então aplicaremos o mesmo procedimento do Caso I
considerando rk para a obtenção dos intervalos que definem o C. S.
Caso III
Se alguma raiz de P(x) = 0 não é real, então ela não é consideradas na obtenção dos intervalos
que definemC. S.. Em outras palavras, oC. S. será obtido seguindo os procedimentos dos casos
anteriores com as raízes reais.
Exemplo 1.9
Resolvamos as seguintes inequações:
a. (x−1)4(x+2)(x+4)≤ 0
Solução
Fazendo P(x) = (x−1)4(x+2)(x+4) = 0, temos que as raízes de P(x) = 0 são r1 =−4,
r2 = −2 e r3 = 1. Notemos que a multiciplicidade de r3 é 4. Então, aplicando o Caso II
item(i), r3 = 1 não será considerada para a obtenção dos intervalos que definem o C. S.
Mais ainda, como a inequação é da forma P(x)≤ 0, podemos aplicar o item iv(a) do Caso
I, considerando, somente, as raízes r1 = −4, r2 = −2. Ou seja, x pertence à união dos
intervalos com sinal (−). Veja a figura a seguir:
Portanto,
C.S.= [−4,−2].
b. (x2−3)5(x2+16)(x2−16)(x4+1)> 0
Solução
Desde que:
x2+16 = 0 e x4+1 = 0 não tem raízes em R
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Cálculo Diferencial e Integral
temos que, pelo Caso III, x2+16 e x4+1 não serão consideradas na obtenção dos inter-
valos que definem C. S. Além disso,
x2−3 = (x+
√
3)(x−
√
3) e x2−16 = (x−4)(x+4).
Assim,
(x2−3)5(x2+16)(x2−16)(x4+1)> 0 ⇔ (x+
√
3)5(x−
√
3)5(x−4)(x+4)> 0.
Fazendo P(x)= (x+
√
3)5(x−√3)5(x−4)(x+4)= 0, temos que as raízes de P(x)= 0 são
r1 =−4, r2 =−
√
3, r3 =
√
3 e r4 = 4. Note que tanto r2 como r3 têm multiciplicidade 5.
Do Caso II item(ii) r2 e r3 serão consideradas para a obtenção dos intervalos que definem
o C. S. Mais ainda, como a inequação é da forma P(x) > 0, podemos aplicar o item(ia)
do Caso I, para todas as raízes r1 = −4, r2 = −
√
3, r3 =
√
3 e r4 = 4. Ou seja, então x
pertence à união dos intervalos com sinal (+). Veja figura a seguir:
Portanto,
C.S.= (−∞,−4)∪ (−
√
3,
√
3)∪ (4,+∞).
1.4.1.4 Inequações Racionais
Sejam os polinômios:
P(x) = anxn+ · · ·+a1x+a0 e Q(x) = bmxm+ · · ·+b1x+b0
onde a0, a1, . . . ,an,b0, b1, . . . ,bm são contantes, an > 0 e bm > 0, n, m ∈ N e Q(x) é um polinômio
diferente de zero.
Então, as inequações racionais numa variável são da forma:
P(x)
Q(x)
> 0 ou
P(x)
Q(x)
< 0 ou
P(x)
Q(x)
≥ 0 ou P(x)
Q(x)
≤ 0.
Para resolver este tipo de inequações, devemos saber que:
i.
P(x)
Q(x)
> 0 ≡ P(x)Q(x)> 0;
ii.
P(x)
Q(x)
< 0 ≡ P(x)Q(x)< 0;
iii.
P(x)
Q(x)
≥ 0 ≡ P(x)Q(x)≥ 0 e Q(x) 6= 0;
iv.
P(x)
Q(x)
≤ 0 ≡ P(x)Q(x)≤ 0 e Q(x) 6= 0.
Logo, fazendo Pˆ(x) = P(x)Q(x), procedemos como nos casos anteriores para Pˆ(x) em ordem a obter
o C.S.
Nota
Q(x) 6= 0 implica que os intervalos que contêm alguma das raízes da equação Q(x) = 0
devem ser abertos nesses extremos.
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Cálculo Diferencial e Integral
Exemplo 1.10
Resolvamos a seguinte inequação:
a.
x−2
x−4 >
x+2
x
Solução
x−2
x−4 >
x+2
x
⇔ x+2
x
− x−2
x−4 < 0 ⇔
(x+2)(x−4)− x(x−2)
x(x−4) < 0
⇔ −8
x(x−4) < 0 ⇔
1
x(x−4) > 0.
Logo, pelo item(i) acima,
1
x(x−4) > 0 ⇔ x(x−4)> 0.
Fazendo P(x) = x(x− 4), temos que as raízes de P(x) = 0 são r1 = 0 e r2 = 4. Como a
inequação é da forma P(x)> 0, podemos aplicar o item i(a) do caso I, pois consideraremos
todas as raízes. Ou seja, x pertence à união dos intervalos com sinal (+), conforme a figura
a seguir:
Logo, C. S.= (−∞,0)∪ (4,+∞).
b.
x(x+2)
x−1 +
(x−1)(x+2)
x
≤ 2x(x+2)
x+1
Solução
x(x+2)
x−1 +
(x−1)(x+2)
x
≤ 2x(x+2)
x+1
⇔ x(x+2)
x−1 +
(x−1)(x+2)
x
− 2x(x+2)
x+1
≤ 0
⇔ (x
2(x+1)+(x−1)(x−1)(x+1)−2x2(x−1))(x+2)
(x−1)x(x+1) ≤ 0
⇔ (2x
2− x+1)(x+2)
(x−1)x(x+1) ≤ 0.
Logo, pelo item(iv) acima,
(2x2− x+1)(x+2)
(x−1)x(x+1) ≤ 0 ⇔ (2x
2− x+1)(x+2)(x−1)x(x+1)≤ 0 e (x−1)x(x+1) 6= 0
Desde que 2x2− x+1 = 0 não tem raízes reais, esta expressão não será considerada para
a obtenção de C.S. Assim,
(2x2− x+1)(x+2)(x−1)x(x+1)≤ 0 e (x−1)x(x+1) 6= 0
⇔ (x+2)(x−1)x(x+1)≤ 0 e (x−1)x(x+1) 6= 0
Fazendo P(x) = (x+2)(x−1)x(x+1), temos que as raízes de P(x) = 0 são r1 = −2,
r2 = −1, r3 = 0 e r4 = 1. Pela nota acima (x− 1)x(x+ 1) 6= 0 implica que os intervalos
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Cálculo Diferencial e Integral
que tenham r2 =−1, r3 = 0 e r4 = 1 devem ser abertos nestes extremos. Desde que a ine-
quação é da forma P(x)≤ 0, podemos aplicar o item iii(a) do caso I, pois consideraremos
todas as raízes. Ou seja, x pertence à união dos intervalos com sinal (−), veja figura a
seguir:
Logo, C. S.= [−2,−1)∪ (0,1).
1.4.1.5 Inequações Exponenciais envolvendo Polinômios
Sejam f (x) e g(x) duas expressões que envolvem polinômios, na variável x. Então, as inequações
exponenciais envolvendo polinômios numa variável são da forma:
a f (x) > ag(x) ou a f (x) < ag(x) ou a f (x) ≥ ag(x) ou a f (x) ≤ ag(x),
onde a> 0, a 6= 1.
Para resolver este tipo de inequação, são considerados dois casos.
Caso I
Se a> 1, então os expoentes da inequação preservam a mesma ordem, isto é:
i. a f (x) > ag(x) se, e somente se, f (x)> g(x);
ii. a f (x) < ag(x) se, e somente se, f (x)< g(x);
iii. a f (x) ≥ ag(x) se, e somente se, f (x)≥ g(x);
iv. a f (x) ≤ ag(x) se, e somente se, f (x)≤ g(x).
Caso II
Se 0< a< 1, então os expoentes da inequação invertem a ordem, isto é:
i. a f (x) > ag(x) se, e somente se, f (x)< g(x);
ii. a f (x) < ag(x) se, e somente se, f (x)> g(x);
iii. a f (x) ≥ ag(x) se, e somente se, f (x)≤ g(x);
iv. a f (x) ≤ ag(x) se, e somente se, f (x)≥ g(x).
Logo, o conjunto solução de cada item é obtido resolvendo esta última inequação, usando os proce-
dimentos vistos nos casos anteriormente.
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Cálculo Diferencial e Integral
Exemplo 1.11
Resolver as seguintes inequações:
a. 2(5x+2)/4 > 4
√
24(x+1)/5
Solução
2(5x+2)/4 >
4
√
24(x+1)/5 ⇔ 2(5x+2)/4 >
(
24(x+1)/5
) 1
4
⇔ 2(5x+2)/4 > 24(x+1)/(4·5) ⇔ 2(5x+2)/4 > 2(x+1)/5
Como a inequação é da forma a f (x) > ag(x), com a = 2 > 1, podemos aplicar o item i do
caso I, isto é
2(5x+2)/4 > 2(x+1)/5 ⇔ 5x+2
4
>
x+1
5
.
Assim, agora precisamos determinar o C.S. de
5x+2
4
>
x+1
5
. Desde que
5x+2
4
>
x+1
5
⇔ 5x+2
4
− x+1
5
> 0 ⇔ 5(5x+2)−4(x+1)
20
⇔
21x+6
20
> 0 ⇔ 3(7x+2)
20
> 0 ⇔ 7x+2> 0 ⇔ x>−2
7
.
Portanto, C.S.=
(− 27 ,+∞).
b.
(
(0,3)(3x+2)(x+1)
) 1
x+2 ≥ (0,9)
2x+5
32x+5
Solução (
(0,3)(3x+2)(x+1)
) 1
x+2 ≥ (0,9)
2x+5
32x+5
⇔ (0,3) (3x+2)(x+1)x+2 ≥
(
0,9
3
)2x+5
⇔ (0,3) (3x+2)(x+1)x+2 ≥ (0,3)2x+5.
Como a inequação é da forma a f (x) > ag(x), com a = 0,3 < 1, podemos aplicar o item iv
do caso II, isto é
(0,3)
(3x+2)(x+1)
x+2 ≥ (0,3)2x+5 ⇔ (3x+2)(x+1)
x+2
≤ 2x+5.
Assim, agora precisamos determinar o C.S. de
(3x+2)(x+1)
x+2
≤ 2x+5. Desde que
(3x+2)(x+1)
x+2
≤ 2x+5 ⇔ (3x+2)(x+1)
x+2
−2x+5≤ 0
⇔ (3x+2)(x+1)− (2x+5)(x+2)
x+2
≤ 0 ⇔ x
2−4x−8
x+2
≤ 0.
Como x2−4x−8 = (x−2−2√3)(x−2+2√3), então
x2−4x−8
x+2
≤ 0 ⇔ (x−2−2
√
3)(x−2+2√3)
x+2
≤ 0
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Cálculo Diferencial e Integral
Pelo item(iv) de Inequações Racionais temos que
(x−2−2√3)(x−2+2√3)
x+2
≤ 0 ⇔ (x−2−2
√
3)(x−2+2
√
3)(x+2)≤ 0 e x+2 6= 0.
Fazendo P(x) = (x−2−2√3)(x−2+2√3)(x+2), temos que as raízes de P(x) = 0 são
r1 =−2, r2 = 2−2
√
3, r3 = 2+2
√
3. Como a inequação é da forma P(x)≤ 0, podemos
aplicar o item iv(b) do Caso I. Ou seja, x pertence à união dos intervalos com sinal (−),
veja figura a seguir:
2 -2 3
Lembre que, pela nota acima, x+ 2 6= 0 implica que o intervalosque tenham r1 = −2
devem ser abertos neste extremo. Portanto, C. S.= (−∞,−2)∪ [2−2√3,2+2√3].
1.4.1.6 Inequações Irracionais
Sejam os polinômios:
P(x) = anxn+ · · ·+a1x+a0, Q(x) = bmxm+ · · ·+b1x+b0 e R(x) = clxl+ · · ·+ c1x+ c0
onde a0, a1, . . . ,an,b0, b1, . . . ,bm,c0, c1, . . . ,cl são contantes, an > 0, bm > 0 e cl > 0, n, m e l ∈ N.
Então, os casos particulares das inequações irracionais numa variável, que trabalaremos, são da forma:
Caso I
Para as inequações da forma:
√
P(x)> Q(x),
√
P(x)≥ Q(x),
√
P(x)< Q(x) e
√
P(x)≤ Q(x).
Temos as seguintes equivalências:
i.
√
P(x)>Q(x) ≡
(
P(x)≥ 0 e Q(x)≤ 0
)
ou
(
P(x)≥ 0 e P(x)>Q2(x)
)
;
ii.
√
P(x)≥ Q(x) ≡
(
P(x)≥ 0 e Q(x)≤ 0
)
ou
(
P(x)≥ 0 e P(x)≥ Q2(x)
)
;
iii.
√
P(x)< Q(x) ≡ P(x)≥ 0 e Q(x)> 0 e P(x)< Q2(x);
iv.
√
P(x)≤ Q(x) ≡ P(x)≥ 0 e Q(x)≥ 0 e P(x)≤ Q2(x).
Caso II
Para as inequações da forma:
√
P(x)+
√
Q(x)> 0,
√
P(x)+
√
Q(x)≥ 0,
√
P(x)±
√
Q(x)≥ k, k > 0,√
P(x)+
√
Q(x)< 0 e
√
P(x)+
√
Q(x)≤ 0.
Temos as seguintes equivalências:
i.
√
P(x)+
√
Q(x)> 0 ≡
(
P(x)≥ 0 e Q(x)> 0
)
ou
(
P(x)> 0 e Q(x)≥ 0
)
;
ii.
√
P(x)+
√
Q(x)≥ 0 ≡ P(x)≥ 0 e Q(x)≥ 0;
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Cálculo Diferencial e Integral
iii.
√
P(x)±√Q(x)≥ k, k > 0 ≡ P(x)≥ 0 e Q(x)≥ 0 e P(x)≥ (k∓√Q(x))2;
iv.
√
P(x)+
√
Q(x)< 0 ≡ C.S.= /0;
v.
√
P(x)+
√
Q(x)≤ 0 ≡ P(x) = 0 e Q(x) = 0.
Caso III
Para as inequações da forma:
√
P(x)−
√
Q(x)> 0 e
√
P(x)−
√
Q(x)≥ 0
Temos as seguintes equivalências:
i.
√
P(x)−√Q(x)> 0 ≡ P(x)≥ 0 e Q(x)≥ 0 e P(x)> Q(x);
ii.
√
P(x)−√Q(x)≥ 0 ≡ P(x)≥ 0 e Q(x)≥ 0 e P(x)≥ Q(x).
Exemplo 1.12
Resolvamos as seguintes inequações:
a.
√
x2− x−2< 5− x
Solução
Aplicando o item iii do Caso I, para P(x) = x2− x−2 e Q(x) = 5− x, temos que:
√
x2− x−2< 5− x ⇔ x2− x−2≥ 0 e 5− x≥ 0 e x2− x−2< (5− x)2
⇔ (x−2)(x+1)≥ 0 e 5≥ x e x2− x−2< 25−10x+ x2
⇔ (x−2)(x+1)≥ 0 e 5≥ x e 9x< 27
Logo,
(x−2)(x+1) ≥ 0 ⇔ x ∈ (−∞,−1]∪ [2,+∞);
5 ≥ x ⇔ x ∈ (−∞,5];
9x < 27 ⇔ x ∈ (−∞,3).
Assim, x pertence à interceção destes intervalos, isto é
x ∈
(
(−∞,−1]∪ [2,+∞)
)
∩
(
(−∞,5]
)
∩
(
(−∞,3)
)
= (−∞,−1]∪ [2,3).
Portanto, C.S.= (−∞,−1]∪ [2,3).
b.
√
x−8≤ 0
Solução
Aplicando o item iv do Caso I, para P(x) = x−8 e Q(x) = 0, temos que:
√
x−8≤ 0 ⇔ x−8≥ 0 e 0≤ 0 e x−8≤ 02 = 0
⇔ x≥ 8 e 0≤ 0 e x≤ 8.
Logo,
x ≥ 8 ⇔ x ∈ (−∞,8];
0 ≤ 0 ⇔ x ∈ R;
x ≤ 8 ⇔ x ∈ [8,+∞).
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Cálculo Diferencial e Integral
Assim, x pertence à interceção destes intervalos, isto é
x ∈
(
(−∞,8]
)
∩
(
R
)
∩
(
[8,+∞)
)
= {8}.
Portanto, C.S.= {8}.
c.
√
x+5< 0
Solução
Aplicando o item iii do Caso I, para P(x) = x+5 e Q(x) = 0, temos que:
√
x+5< 0 ⇔ x+5≥ 0 e 0> 0 e x+5< 02 = 0
⇔ x≥−5 e 0> 0 e x<−5.
Logo,
x ≥ −5 ⇔ x ∈ (−∞,−5];
0 ≤ 0 ⇔ x ∈ R;
x < −5 ⇔ x ∈ (5,+∞).
Assim, x pertence à interceção destes intervalos, isto é
x ∈
(
(−∞,−5]
)
∩
(
R
)
∩
(
(−5,+∞)
)
= /0
Portanto, C.S.= /0.
Note que não é necessário fazer as contas acima para obterC.S.= /0, pois
√
x+5≥ 0, pela
definição da raiz quadrada, logo,
√
x+5< 0 é uma inequação não válida.
Caso IV
Para as inequações da forma:
P(x) n
√
Q(x)
R(x)
≥ 0, P(x)
n
√
Q(x)
R(x)
≤ 0, P(x)
R(x) n
√
Q(x)
≥ 0,
P(x)
R(x) n
√
Q(x)
≤ 0 e n
√
P(x)≤ n
√
Q(x),
com n≥ 1 e impar. Temos as seguintes equivalências:
i.
P(x) n
√
Q(x)
R(x)
≥ 0 ≡ P(x)Q(x)
R(x)
≥ 0;
ii.
P(x) n
√
Q(x)
R(x)
≤ 0 ≡ P(x)Q(x)
R(x)
≤ 0;
iii.
P(x)
R(x) n
√
Q(x)
≥ 0 ≡ P(x)
R(x)Q(x)
≥ 0;
iv.
P(x)
R(x) n
√
Q(x)
≤ 0 ≡ P(x)
R(x)Q(x)
≤ 0;
v. n
√
P(x)≤ n√Q(x) ≡ P(x)≤ Q(x).
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Cálculo Diferencial e Integral
Nota
Se a desigualdade a ser analisada tem a mesma forma que algum dos itens do Caso IV,
porem ela é estrita, isto é, > ou <, então na sua inequação equivalente subtituímos ≥ ou ≤
por > ou <, respectivamente.
Caso V
Para as inequações da forma:
P(x) n
√
Q(x)≥ 0, P(x) n
√
Q(x)≤ 0, P(x)
R(x) n
√
Q(x)
≥ 0,
P(x)
R(x) n
√
Q(x)
≤ 0, n
√
P(x)≥ Q(x) e n
√
P(x)≤ n
√
Q(x),
com n≥ 0 e par. Temos as seguintes equivalências:
i. P(x) n
√
Q(x)≥ 0 ≡ P(x)≥ 0 e Q(x)≥ 0;
ii. P(x) n
√
Q(x)≤ 0 ≡ P(x)≤ 0 e Q(x)≥ 0;
iii.
P(x)
R(x) n
√
Q(x)
≥ 0 ≡ Q(x)> 0 e P(x)
R(x)
≥ 0;
iv.
P(x)
R(x) n
√
Q(x)
≤ 0 ≡ Q(x)> 0 e P(x)
R(x)
≤ 0;
v. n
√
P(x)≥Q(x) ≡
(
P(x)≥ 0 e Q(x)≤ 0
)
ou
(
P(x)≥ 0 e P(x)≥Qn(x)
)
;
vi. n
√
P(x)≤ Q(x) ≡ P(x)≥ 0 e Q(x)≥ 0 e P(x)≤ Qn(x);
vii. n
√
P(x)≤ n√Q(x) ≡ P(x)≥ 0 e Q(x)≥ 0 e P(x)≤ Q(x).
Nota
Se a desigualdade a ser analisada tem a mesma forma que algum dos itens do Caso V,
porem ela é estrita, isto é, > ou <, então na sua inequação equivalente subtituímos ≥ ou ≤
por > ou <, nas inequações que envolvam P(x), Q(x) e R(x), respectivamente.
Exemplo 1.13
Resolvamos as seguintes inequações:
a.
x+5
(x−4) 7√81− x2 ≤ 0
Solução
Desde que n= 7 é um número impar, podemos aplicar o item ii do Caso IV, para P(x) =
x+5, Q(x) = 7
√
81− x2 e R(x) = x−4. Assim, temos que:
x+5
(x−4) 7√81− x2 ≤ 0 ⇔
x+5
(x−4)(81− x2) ≤ 0
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Cálculo Diferencial e Integral
Por outro lado,
x+5
(x−4)(81− x2) ≤ 0 ⇔
x+5
(x−4)(9− x)(9+ x) ≤ 0
⇔ − x+5
(x−4)(x−9)(x+9) ≤ 0 ⇔
x+5
(x−4)(x−9)(x+9) ≥ 0
e pelo item(iii) de Inequações Irracionais temos que
x+5
(x−4)(x−9)(x+9) ≥ 0 ⇔ (x+5)(x−4)(x−9)(x+9)≥ 0 e (x−4)(x−9)(x+9) 6= 0.
Fazendo P(x) = (x+5)(x−4)(x−9)(x+9), temos que as raízes de P(x) = 0 são r1 =−9,
r2 = −5, r3 = 4 e r4 = 9. Pela nota acima (x− 4)(x− 9)(x+ 9) 6= 0 implica que os
intervalos que tenham r1 =−9, r3 = 4 e r4 = 9 devem ser abertos nestes extremos. Desde
que a inequação é da forma P(x) ≥ 0, podemos aplicar o item iii(a) do Caso I, pois
consideraremos todas as raízes. Portanto, C.S.= (−∞,−9)∪ [−5,4)∪ (9,+∞)
b.
x+5
(x−4) 6√81− x2 ≥ 0
Solução
Desde que n= 6 é um número par, podemos aplicar Aplicando o item iii do Caso V, para
P(x) = x+5, Q(x) = 6
√
81− x2 e R(x) = x−4, temos que:
x+5
(x−4) 6√81− x2 ≥ 0 ⇔ 81− x
2 > 0 e
x+5
x−4 ≥ 0
Por outro lado, pelo item(iii) de Inequações Irracionais, temos que
x+5
x−4 ≥ 0 ⇔ (x+5)(x−4)≥ 0 e x−4 6= 0
Assim,
81− x2 > 0 e x+5
x−4 ≥ 0 ⇔ 81− x
2 > 0 e (x+5)(x−4)≥ 0 e x−4 6= 0.
⇔ (x+9)(x−9)< 0 e (x+5)(x−4)≥ 0 e x−4 6= 0.
Logo,
(x+9)(x−9) < 0 ⇔ x ∈ (−9,9);
(x+5)(x−4) ≥ 0 ⇔ x ∈ [−5,4];
x−4 6= 0 ⇔ x ∈ (−∞,4)∪ (4,+∞).
Assim, x pertence à interceção destes intervalos, isto é
x ∈
(
(−9,9)
)
∩
(
[−5,4]
)
∩
(
(−∞,4)∪ (4,+∞)
)
= (−9,−5]∪ (4,9).
Portanto, C.S.= (−9,−5]∪ (4,9).
Caso VI
Para as inequações da forma:
P(x)
R(x) n1
√
Q1(x) n2
√
Q2(x) . . . nk
√
Qk(x)
≥ 0 e P(x)
R(x) n1
√
Q1(x) n2
√
Q2(x) . . . nk
√
Qk(x)
≤ 0
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Cálculo Diferencial e Integral
i. Se ni > 0 e par, para todo i= 1, . . . ,k. Temos as seguintes equivalências:
a.
P(x)
R(x) n1
√
Q1(x) n2
√
Q2(x) . . . nk
√
Qk(x)
≥ 0 ≡
Q1(x)> 0 e Q2(x)> 0 e . . . e Qk(x)> 0 e
P(x)
R(x)
≥ 0;
b.
P(x)
R(x) n1
√
Q1(x) n2
√
Q2(x) . . . nk
√
Qk(x)
≤ 0 ≡
Q1(x)> 0 e Q2(x)> 0 e . . . e Qk(x)> 0 e
P(x)
R(x)
≤ 0.
ii. Se ni ≥ 1 e impar, para todo i= 1, . . . ,k. Temos as seguintes equivalências:
a.
P(x)
R(x) n1
√
Q1(x) n2
√
Q2(x) . . . nk
√
Qk(x)
≥ 0 ≡ P(x)
R(x)Q1(x)Q2(x) . . .Qk(x)
≥ 0;
b.
P(x)
R(x) n1
√
Q1(x) n2
√
Q2(x) . . . nk
√
Qk(x)
≤ 0 ≡ P(x)
R(x)Q1(x)Q2(x) . . .Qk(x)
≤ 0.
iii. Se ni > 0 e par, para todo i = 1, . . . , l, e ni ≥ 1 e impar, para todo i = l+1, . . . ,k. Temos
as seguintes equivalências:
a.
P(x)
R(x) n1
√
Q1(x) n2
√
Q2(x) . . . nk
√
Qk(x)
≥ 0 ≡
Q1(x)> 0 e . . . eQk(x)> 0 e
P(x)
R(x)Ql+1(x) . . .Qk(x)
≥ 0;
b.
P(x)
R(x) n1
√
Q1(x) n2
√
Q2(x) . . . nk
√
Qk(x)
≤ 0 ≡
Q1(x)> 0 e . . . e Qk(x)> 0 e
P(x)
R(x)Ql+1(x) . . .Qk(x)
≤ 0.
Nota
Caso os ni’s dos l primeiros radicais, não sejam pares, reodenamos os
n1
√
Q1(x), n2
√
Q2(x), . . . , nk
√
Qk(x)
de tal forma que que isto seja verdadeiro.
Exemplo 1.14
Resolvamos as seguintes inequações:
a.
x2−4
(x−13) 4√x2−9√x−1 6√x−4 ≤ 0
Solução
Desde que n1 = 4, n2 = 2 e n3 = 6, ou seja todos pares, podemos aplicar o item i(b)
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Cálculo Diferencial e Integral
do Caso VI, para P(x) = x2− 4, Q1(x) = 4
√
x2−9, Q2(x) =
√
x−1, Q3(x) = 6
√
x−4 e
R(x) = x−13. Assim, temos que:
x2−4
(x−13) 4√x2−9√x−1 6√x−4 ≤ 0 ⇔ x
2−9> 0 e x−1> 0 e x−4> 0 e x
2−4
x−13 ≤ 0
Por outro lado, pelo item(iv) de Inequações Irracionais, temos que
x2−4
x−13 ≤ 0 ⇔ (x
2−4)(x−13)≤ 0 e x−13 6= 0.
Assim,
x2−9> 0 e x−1> 0 e x−4> 0 e x
2−4
x−13 ≤ 0 ⇔
x2−9> 0 e x−1> 0 e x−4> 0 e (x2−4)(x−13)≤ 0 e x−13 6= 0
⇔ (x+3)(x−3)> 0 e x> 1 e x> 4 e (x−2)(x+2)(x−13)≤ 0 e x 6= 13.
Logo,
(x+3)(x−3) > 0 ⇔ x ∈ (−∞,−3)∪ (3,+∞);
x > 1 ⇔ x ∈ (1,+∞);
x > 4 ⇔ x ∈ (4,+∞);
(x−2)(x+2)(x−13) ≤ 0 ⇔ x ∈ (−∞,−2]∪ [2,13];
x 6= 13 ⇔ x ∈ (−∞,13)∪ (13,+∞).
Assim, x pertence à interceção destes intervalos, isto é
x∈
(
(−∞,−3)∪(3,+∞)
)
∩
(
(1,+∞)
)
∩
(
(4,+∞)
)
∩
(
(−∞,−2]∪[2,13]
)
∩
(
(−∞,13)∪(13,+∞)
)
=(4,13).
Portanto, C.S.= (3,13).
b.
x2−4
(x−13) 3√x2−9 9√x−1 5√x−4 ≤ 0
Solução
Desde que n1 = 3, n2 = 9 e n3 = 5, ou seja todos impares, podemos aplicar o item ii(a)
do Caso VI, para P(x) = x2− 4, Q1(x) = 3
√
x2−9, Q2(x) = 9
√
x−1, Q3(x) = 5
√
x−4 e
R(x) = x−13. Assim, temos que:
x2−4
(x−13) 4√x2−9√x−1 6√x−4 ≤ 0 ⇔
x2−4
(x−13)(x2−9)(x−1)(x−4) ≤ 0
Por outro lado, pelo item(iii) de Inequações Irracionais, temos que
x2−4
(x−13)(x2−9)(x−1)(x−4) ≤ 0 ⇔
(x2−4)(x−13)(x2−9)(x−1)(x−4)≤ 0 e (x−13)(x2−9)(x−1)(x−4) 6= 0 ⇔
(x−2)(x+2)(x−13)(x−3)(x+3)(x−1)(x−4)≤ 0 e (x−13)(x−3)(x+3)(x−1)(x−4) 6= 0.
Fazendo P(x) = (x−2)(x+2)(x−13)(x−3)(x+3)(x−1)(x−4), temos que as raízes de
P(x) = 0 são r1 = −3, r2 = −2, r3 = 1, r4 = 2, r5 = 3, r6 = 4 e r7 = 13. Desde que a
inequação é da forma P(x) ≤ 0, pelo item iv(b) do Caso I de Inequações Polinomiais,
temos que
x ∈ (−∞,−3)∪ [−2,1)∪ [2,3)∪ [4,13).
Portanto, C.S.= (−∞,−3)∪ [−2,1)∪ [2,3)∪ [4,13).
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Cálculo Diferencial e Integral
c.
x2−4
(x−13) 7√x2−9 6√x−1 4√x−4 ≤ 0
Solução
Reescrevendo
x2−4
(x−13) 6√x2−9 7√x−1 4√x−4 ≤ 0 como
x2−4
(x−13) 6√x−1 4√x−4 7√x2−9 ≤ 0
temos que n1 = 6, n2 = 4 e n3 = 7, ou podemos aplicar o item iii(b) do Caso VI, para
l = 2 e k = 3 e P(x) = x2− 4, Q1(x) = 6
√
x−1, Q2(x) = 4
√
x−4, Q3(x) = 7
√
x2−9 e
R(x) = x−13. Assim, temos que:
x2−4
(x−13) 6√x2−9 4√x−4 7√x−1 ≤ 0 ⇔ x−1> 0 e x−4> 0 e
x2−4
(x−13)(x2−9) ≤ 0
Por outro lado, pelo item(iv) de Inequações Irracionais, temos que
x2−4
(x−13)(x2−9) ≤ 0 ⇔ (x
2−4)(x−13)(x2−9)≤ 0 e (x−13)(x2−9) 6= 0.
Assim,
x−1> 0 e x−4> 0 e x
2−4
(x−13)(x2−9) ≤ 0⇔
x−1> 0 e x−4> 0 e (x2−4)(x−13)(x2−9)≤ 0 e (x−13)(x2−9) 6= 0
⇔ x> 1 e x> 4 e (x−2)(x+2)(x−13)(x+3)(x−3)≤ 0 e (x−13)(x+3)(x−3) 6= 0.
Logo,
x > 1 ⇔ x ∈ (1,+∞);
x > 4 ⇔ x ∈ (4,+∞);
(x−2)(x+2)(x−13)(x+3)(x−3) ≤ 0 ⇔ x ∈ (−∞,−3]∪ [−2,2]∪ [3,13];
(x−13)(x+3)(x−3) 6= 0 ⇔ x ∈ (−∞,−3)∪ (−3,3)∪ (3,13)∪ (13,+∞).
Assim, x pertence à interceção destes intervalos, isto é
x∈
(
(−∞,−3)∪(3,+∞)
)
∩
(
(1,+∞)
)
∩
(
(4,+∞)
)
∩
(
(−∞,−2]∪[2,13]
)
∩
(
(−∞,13)∪(13,+∞)
)
=(4,13).
Portanto, C.S.= (4,13).
1.5 Valor absoluto
Definição 1.9
O valor absoluto de um número real, denotado por |a|, é definido como:
|a|=
{
a, se a≥ 0
−a, se a< 0.
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Cálculo Diferencial e Integral
Desde o ponto de vista geométrico |a| representa a distância entre o ponto da reta real a e a origem 0.
0 a
|a|
a
_
|a|
Da mesma forma, |a−b|= |b−a| se interpreta como a distância entre os pontos a e b.
a b
|b-a|=|a-b|
Exemplo 1.15
|7|= 7; |0|= 0; |−4.3|= 4.3; |− |−53.7||= |−53.7|= 53.7.
Teorema 1.4
Sejam a e b ∈ R, então:
i. |a| ≥ 0 e |a|= 0 se, e somente se, a= 0;
ii. |ab|= |a||b|;
iii. |a+b| ≤ |a|+ |b|.
A seguir, enunciamos outras propriedades adicionais que o valor absoluto de um número real verifica.
Teorema 1.5
Sejam a, b e c ∈ R, então:
i. |a|2 = a2;
ii. Se b≥ 0, então |a|= b se, e somente se, a= b ou a=−b;
iii. |a|= |b| se, e somente se, a= b ou a=−b;
iv. |−a|= |a|=
√
a2;
v. Se b 6= 0, então
∣∣∣a
b
∣∣∣= |a||b| ;
vi. Se a< c< b, então |c|<max{|a|, |b|};
a. Se 0< a, então a< |c|< b;
b. Se b< 0, então −b< |c|<−a;
vii. Se b> 0, então |c|< b se, e somente se, −b< c< b;
viii. Se b≥ 0, então |c| ≤ b se, e somente se, −b≤ c≤ b;
ix. |c|> b se, e somente se, c> b ou c<−b;
x. |c| ≥ b se, e somente se, c≥ b ou c≤−b;
xi. |a| ≤ |b| se, e somente se, −a≤ |b| e a≤ |b|;
xii. |a|< |b| se, e somente se, −a< |b| e a< |b|;
xiii. ||a|− |b|| ≤ |a−b| ≤ |a|+ |b|.
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Cálculo Diferencial e Integral
Exemplo 1.16
Resolvamos as seguintes equações com valor absoluto:
a. |3x−5|= 4.
Solução
Pelo item(ii) do Teorema 1.5, para a= 3x−5 e b= 4, temos que:
|3x−5|= 4 ⇔ 3x−5 = 4 ou 3x−5 =−4 ⇔ x= 3 ou x= 1
3
.
Portanto, 13 e 3 são raízes de |3x−5|= 4.
b. ||7−4x|−3|= 9.
Solução
Pelo item(ii) do Teorema 1.5, para a= |7−4x|−3 e b= 9, temos que:
||7−4x|−3|= 9 ⇔ |7−4x|−3 = 9 ou |7−4x|−3 =−9
⇔ |7−4x|= 12 ou |7−4x|=−6.
Porém pelo item(i) do Teorema 1.4 , |7− 4x| ≥ 0, assim e |7− 4x| = −6 < 0, é uma
igualdade impossível, isto é, |7− 4x| = −6 não tem raízes. Então, só devemos analisar
|7−4x|= 12.
Novamente, pelo item(ii) do Teorema 1.5, para a= |7−4x| e b= 12, temos que:
|7−4x|= 12 ⇔ 7−4x= 12 ou 7−4x=−12
⇔ 7−12 = 4x ou 7+12 = 4x ⇔ −5 = 4x ou 19 = 4x
⇔ x=−5
4
ou x=
19
4
.
Portanto, −54 e 194 são raízes de ||7−4x|−3|= 9.
c. |x−2|+3|x−4|= 5|x+1|.
Solução
Denotemos por E(x) a equação |x− 2|+ 3|x− 4| = 5|x+ 1|. Para determinar as raízes
desta equação, precisamos igualar cada valor absoluto a zero, pois precisamos aplicar a
definição do valor absoluto a cada termo. Fazendo isto, obtemos x = 2, x = 4 e x = −1.
Agora, precisamos analisar os 4 casos a seguir:
Caso 1:
Se x<−1, então x+1< 0 ⇒ |x+1|=−x−1, x−2<−3 ⇒ |x−2|=
−x+ 2 e x− 4 < −5 ⇒ |x− 4| = −x+ 4. Logo, E(x) é equivalente a
−x+2−3x+12 =−5x−5. Assim, x=−19 e −19 ∈ (−∞,−1).
Caso 2:
Se −1 ≤ x < 2, então 0 ≤ x+ 1 < 3 ⇒ |x+ 1| = x+ 1, −3 ≤ x− 2 <
0 ⇒ |x−2|=−x+2 e −5≤ x−4<−2 ⇒ |x−4|=−x+4. Logo,
E(x) é equivalente a −x+2−3x+12 = 5x+5. Assim, x= 1 e 1 ∈ [−1,2).
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Cálculo Diferencial e Integral
Caso 3:
Se 2 ≤ x < 4, então 3 ≤ x+ 1 < 4 ⇒ |x+ 1| = x+ 1, 0 ≤ x− 2 < 2 ⇒
|x−2|= x−2 e −2≤ x−4< 0 ⇒ |x−4|=−x+4. Logo, E(x) é equiva-
lente a x−2−3x+12 = 5x+5. Assim, x= 5
7
, porém
5
7
6∈ [2,4).
Caso 4:
Se 4 ≤ x, então 5 ≤ x+ 1 ⇒ |x+ 1| = x+ 1, 2 ≤ x− 2 ⇒ |x− 2| =
x−2 e 0≤ x−4 ⇒ |x−4|= x−4. Logo, E(x) é equivalente a x−2+3x−
12 = 5x+5. Assim, x=−19, porém −19 6∈ [4,+∞).
Portanto, −19 e 1 são as raízes de |x−2|+3|x−4|= 5|x+1|.
Exemplo 1.17
Resolvamos as seguintes inequações com valor absoluto:
a. |x+1|< ∣∣x2+2x+1∣∣.
Solução
Pelo item(xii) do Teorema 1.5 para a= x+1 e b= x2+2x+1 temos que:
|x+1|< ∣∣x2+2x+1∣∣ ⇔ −(x+1)< ∣∣x2+2x+1∣∣ e (x+1)< ∣∣x2+2x+1∣∣
Caso 1
Encontremos o C.S. de −(x+1)< ∣∣x2+2x+1∣∣
Pelo item(ix) do {bf Teorema 1.5} para $b=-(x+1)$ e $c={xˆ2+2x+1}$ temos que:
−(x+1)< ∣∣x2+2x+1∣∣ ⇔ x2+2x+1>−(x+1) ou x2+2x+1<−(−(x+1))
⇔ x2+2x+1>−x−1 ou x2+2x+1< x+1 ⇔ x2+3x+2> 0 ou x2+x< 0
⇔ (x+2)(x+1)> 0 ou x(x+1)< 0 ⇔ x ∈ (−∞,−2)∪ (−1,+∞)
Logo,
C.S.1 = (−∞,−2)∪ (−1,+∞).
Caso 2
Encontremos o C.S. de (x+1)<
∣∣x2+2x+1∣∣
Novamente, pelo item(ix) do {bf Teorema 1.5} para $b=x+1$ e $c={xˆ2+2x+1}$ temos
que:
(x+1)<∣∣x2+2x+1∣∣ ⇔ x2+2x+1> (x+1) ou x2+2x+1<−(x+1)
⇔ x2+ x> 0 ou x2+3x+2< 0 ⇔ x(x+1)> 0 ou (x+2)(x+1)< 0
⇔ x ∈ (−∞,−1)∪ (0,+∞)
Logo,
C.S.2 = (−∞,−2)∪ (−1,+∞).
Assim, o C.S. será obtido intersectando C.S.2 e C.S.2, isto é,(
(−∞,−2)∪ (−1,+∞)
)
∩
(
(−∞,−1)∪ (0,+∞)
)
= (−∞,−2)∪ (0,+∞)
Portanto, C.S.= (−∞,−2)∪ (0,+∞).
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Cálculo Diferencial e Integral
b.
∣∣∣∣x+3x+1
∣∣∣∣< 4x+3.
Solução
Pelo item(vii) do Teorema 1.5 para c=
x+3
x+1
e b= 4x+3 temos que:∣∣∣∣x+3x+1
∣∣∣∣< 4x+3 ⇔ 4x+3> 0 e − (4x+3)< x+3x+1 < 4x+3
⇔ x>−3
4
e
(
−4x−3< x+3
x+1
e
x+3
x+1
< 4x+3
)
⇔ x>−3
4
e
(
0< 4x+3+
x+3
x+1
e 4x+3− x+3
x+1
> 0
)
⇔ x>−3
4
e
(
0<
(4x+3)(x+1)+ x+3
x+1
e
(4x+3)(x+1)− (x+3)
x+1
> 0
)
⇔ x>−3
4
e
(
0< 2
(
2x2+4x+3
x+1
)
e 2
(
x(2x+3)
x+1
)
> 0
)
⇔ x>−3
4
e
(
0<
2x2+4x+3
x+1
e
x(2x+3)
x+1
> 0
)
Caso 1
Encontremos o conjunto solução de 0 <
2x2+4x+3
x+1
. Desde que 2x2 + 4x+ 3 = 0
não tem raízes reais, então C.S.1 = (−1,+∞).
Caso 2
Encontremos o conjunto solução de
x(2x+3)
x+1
> 0. Daqui, r1 =−32 , r2 =−1 e r3 = 0,
então C.S.2 =
(−32 ,−1)∪ (0,+∞).
Assim, o C.S. será obtido intersectando C.S.1, C.S.2 e x>−34 , isto é,(
(−1,+∞)
)
∩
((
− 3
2
,−1
)
∪ (0,+∞)
)
∩
((
−3
4
,+∞
))
= (0,+∞)
Portanto, C.S.= (0,+∞)
1.6 Axioma do Supremo
Antes de começar a falar sobre os limitantes de um conjunto A ⊂ R, vejamos alguns conjuntos
importantes em R:
• O conjunto dos números naturais, denotado por N, é o conjunto
N= {1,2,3,4, . . .}.
Se n ∈ N, então n é dito de número natural.
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Cálculo Diferencial e Integral
• O conjunto dos números inteiros, denotado por Z, é o conjunto
Z= {. . . ,−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4, . . .}.
Se z ∈ Z, então z é dito de número inteiro.
• O conjunto dos números racionais, denotado por Q, é o conjunto
Q=
{a
b
: a ∈ Z e b ∈ Z, com b 6= 0
}
.
Se q ∈Q, então q é dito de número racional.
• O conjunto dos números irracionais, denotado por I, é o conjunto
I= {x ∈ R : x 6∈Q}.
Se x ∈ I, então x é dito de número irracional.
Assim, verifica-se que:
Z=−N∪{0}∪N, N⊂ Z⊂Q⊂ R, R=Q∪ I e Q∩ I= /0.
Nota
a. Entre os números irracionais temos:
•
√
2,
√
3, 7
√
4, −√7, . . .
• pi = 3,141592 . . .
• e= 2,71828182 . . .
b. Uma propriedade importante dos números racionais e irracionais é que:
• Entre dois números racionais existe um número infinito de números irracionais;
• Entre dois números irracionais existe um número enumerável de números racionais.
Definição 1.10
Seja A um subconjunto não vazio de R. Diz-se que:
i. A é limitado superiormente se existe M ∈ R tal que
x≤M, ∀x ∈ A.
O número M é chamado de limitante superior de A.
ii. A é limitado inferiormente se existe m ∈ R tal que
m≤ x, ∀x ∈ A.
O número m é chamado de limitante inferior de A.
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Cálculo Diferencial e Integral
iii. A é limitado se existe L> 0 tal que
|x| ≤ L, ∀x ∈ A.
Um conjunto é limitado se é limitado superiormente e inferiormente.
Exemplo 1.18
a. Os conjuntos N e (−1,+∞) são conjuntos limitados inferiormente, em particular m = −1,
m=−2 são limitantes inferiores. No entanto, estes conjuntos não limitados superiormente.
b. Os conjuntos (−∞,4] e −N são conjuntos limitados superiormente, em particular M = 4, M =
20 são limitantes superiores. No entanto, estes conjuntos não limitados inferiormente.
c. Os conjuntos
{
2
3z
: z ∈ Z\{0}
}
e {x ∈ R : 2x− x2 ≥ −7} são conjuntos limitados, em parti-
cular por 4.
Definição 1.11
Seja A um subconjunto não vazio de R. Diz-se que:
i. s ∈ R é o supremo de A, denotado por Sup(A) se:
a. s é limitante superior de A, isto é, x≤ s, ∀x ∈ A.
b. Se b ∈ R e b< s, então existe x ∈ A tal que b< x≤ s.
Em outras palavras, o supremo de um conjunto é o menor de seus limitantes superiores.
ii. r ∈ R é o ínfimo de A, denotado por Inf(A) se:
a. r é limitante inferior de A, isto é, r ≤ x, ∀x ∈ A.
b. Se c ∈ R e r < c, então existe x ∈ A tal que r ≤ x< c.
Em outras palavras, o ínfimo de um conjunto é o maior de seus limitantes inferiores.
Nota
Se o supremo e o ínfimo de um conjunto A pertencem ao conjunto, esses elementos são
chamados máximo de A, denotado por max(A), e mínimo de A, denotado por min(A),
respectivamente.
Exemplo 1.19
Dados os conjuntos
A=
(
−1, 9
4
]
, B=
{
1
k
: k ∈ N
}
e C = {x ∈Q :−20≤ x}
temos que:
a. Inf(A) =−1, Sup(A) = 9
4
= max(A). Portanto, A é limitado.
b. Inf(B) = 0, Sup(B) = 1 = max(B). Portanto, B é limitado.
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Cálculo Diferencial e Integral
c. Inf(C) = −20 = min(C). Porém, C não é limitado superiormente, logo, não tem supremo.
Portanto, não é limitado.
O axioma a seguir completa os axiomas que definem o sistema dos números reais.
Axioma 11 (Axioma do Supremo)
Todo subconjunto B 6= /0 de R e limitado superiormente, possui um supremo s= Sup(B) ∈ R.
Teorema 1.6
Seja A⊂ R com A 6= /0. Se A é limitado inferiormente, então este possui ínfimo.
Para finalizar, embora o princípio da boa ordem seja muito importante para essa teoria, ele será
apenas enunciado.
O seguinte princípio é usado para demonstrar o Princípio da Indução Finita e para provar várias
propriedades referentes aos números inteiros.
Teorema 1.7 (Princípio da boa ordem)
Todo subconjunto não vazio de Z, limitado inferiormente, possui ínfimo.
1.7 Recapitulando
Neste capítulo, apresentamos as noções básicas sobre o conjunto dos Números Reais com o intuito
de fazer com que o aluno tenha um melhor entendimento nos próximos capítulos.
Desta forma, apresentamos o sistema dos números reais, e nele os axiomas que regem a adição
e multiplicação. Seguindo esse raciocínio, apresentamos dois teoremas que mostram as principais
propriedades da substração e divisão.
Desde que em matemática é importantíssimo entender qual é a relação de ordem entre dois ele-
mentos quaisquer, visando lidar com desigualdades, intervalos, inequações, etc., esse conceito e suas
principais propriedades foram revisadas.
Nas seções subsequentes, trabalhamos os conceitos de desigualdades, intervalos, equações, inequa-
ções e valor absoluto, além de terem sido apresentados exemplos ilustrativos.
Por último, mas não menos importante, o axioma do supremo e o princípio da boa ordem foram
apresentados, estabelecendo-se os conceitos de conjuntos limitados inferiormente, superiormente,
supremo, ínfimo, máximo e mínimo.
No próximo capítulo, apresentaremos as noções básicas sobre funções, já que esta teoria é fundamen-
tal para, por exemplo, determinar com precisão o domínio e a imagem das funções reais.
1.8 Atividades
1. Encontre M tal que:
i. 2x− x2 ≤M, ∀x ∈ R. ii. −(x2+4x+13)≤M ∀x ∈ R.
iii.
∣∣∣∣ x+62x+1 −3
∣∣∣∣<M, ∀x ∈ (0,4). iv. ∣∣∣∣2x+7x2 − 12
∣∣∣∣<M, ∀x ∈ (2,5).
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Cálculo Diferencial e Integral
v.
∣∣∣∣3x+4x−1 −2
∣∣∣∣<M, ∀x ∈ (3,7). vi. ∣∣∣∣ x−2x2+4x−5
∣∣∣∣<M, se |x−2|< 12.
viii.
∣∣∣∣ x2−5xx2+ x+10
∣∣∣∣<M, se |x+1|< 1.
2. Encontre as raízes reais das seguintes equações:
i. 12x−4 = 3x+9. ii. 2x2−11x−4 = 0. iii. x4−2x2−8 = 0.
iv.
∣∣x2−4x∣∣= 3x+4. v. |2x−1|= x−1.
3. Encontre o conjunto solução das seguintes inequações:
i. 3x−8< 5x−2. ii. 3x2−5x−2> 0.
iii. (x2+ x−6)(4x−4− x2)≤ 0. iv. x−2
x+4
≤ x+5
x+3
.
v.
x2−2x+3
x2−4x+3 >−2. vi.
32
x2−4 ≥
x
x−2 −
4
x+2
.
vii.
√
x2−2x−15> x+1. viii. √x2−11x+30> 6− x.
ix.
√
x2+3x−4
4−√x2+6x > x−2. x.
∣∣∣∣x2+3x−2x2−1
∣∣∣∣< 1.
xi. 3
(
|x+1|− 1
6
)2
≥ 1−2
∣∣∣∣|x+1|− 16
∣∣∣∣.
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Cálculo Diferencial eIntegral
Capítulo 2
Funções
OBJETIVOS DO CAPÍTULO
Ao final deste capítulo você deverá ser capaz de:
• Determinar com precisão o domínio e a imagem de uma função real;
• Dado o gráfico de uma curva, estabelecer se este pertence a uma função;
• Dada uma função, saber estabelecer se ela é injetora, sobrejetora ou bijetora;
• Realizar operações com funções, isto é, soma, substração, produto, divisão e composi-
ção de funções;
• Encontrar a inversa de uma função, se ela existir;
• Relacionar-se cada vez mais com a linguagem e o simbolismo matemático relativo às
funções definidas no conjunto dos números reais.
Ao relacionarmos o espaço em função do tempo a intensidade da fotossíntese realizada por uma planta
em função da intensidade da luz a que ela é exposta; ou uma pessoa em função da impressão digital,
percebemos quão importante é o conceito de função, pois este nos permite compreender as relações
entre os fenômenos físicos, biológicos, sociais, etc., presentes no nosso cotidiano. Portanto, neste
capítulo, revisaremos um dos conceitos mais importante da Matemática: a função. Iniciaremos o
capítulo dando a definição formal deste objeto matemático, que é o objetivo de estudo deste capítulo
e de todos os outros.
2.1 Funções
Em diversas situações, apresentam-se relações que existem entre um conjunto de objetos e outro
conjunto de outros objetos, por exemplo: quando calculamos a área de um círculo, esta depende do
raio do círculo; a distância que um objeto viaja a uma velocidade constante ao longo de um percurso
depende do tempo; etc. Em cada caso, o valor da quantidade variável, denotada por y, depende do
valor de outra quantidade variável, denotada por x. Dizemos então que y é uma função de x e a
escrevemos como y= f (x).
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Cálculo Diferencial e Integral
f(x)
x
f
Saída
Entrada
Definição 2.1
Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Uma função f de A em B, denotada por f : A→ B, é
uma regra que associa um único elemento f (x) ∈ B a cada elemento x ∈ A.
A B
f(x)x
f
Associados a uma função temos os conjuntos: domínio, imagem e gráfico de uma função, e a seguinte
definição estabelece estes conceitos.
Definição 2.2
Seja a função f : A→ B. Então:
i. O domínio da função f é o conjunto {x ∈ A : f (x) ∈ B}, e é denotado por Dom( f ); isto
é, o domínio de f é o subconjunto de A cujos elementos são todos os valores de entrada
possíveis da função f .
ii. A imagem da função f é o conjunto { f (x) ∈ B : x ∈ A}, e é denotado por Im( f ); isto é, a
imagem de f é o subconjunto de B cujos elementos são todos os valores de f (x) conforme
x varia ao longo do conjunto A.
iii. Se A e B são subconjuntos de R, o gráfico da função f é o conjunto
{(x,y) ∈ R×R : y= f (x)}, e é denotado por Graf( f ).
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Cálculo Diferencial e Integral
Nota
Seja uma função f : A→ B.
a. A notação y = f (x) (leia-se “y é igual a f de x”) expressa que y é o valor
de f em x, neste caso, x é denominada variável independente e y variável
dependente.
b. Se Dom( f ) = A, diz-se que f é uma aplicação de A em B. Além disso, se
Im( f ) = B, diz-se que f é uma aplicação de A sobre B.
c. Se A e B são subconjuntos deR, então f é chamada de função real de variável
real.
d. Se f é uma função real de variável real, definida pela regra de correspondência
y= f (x), então:
i. Quando Dom( f ) não é especificado, considera-se que este é o maior sub-
conjunto de R para os quais a regra de correspondência tenha sentido e
resulte em valores reais. Isso é denominado domínio natural da função.
ii. Os valores de x para os quais f (x) = 0 são as coordenadas x, para os
quais o gráfico de f intersecta o eixo x. Estes valores são denominados
zeros de f , raízes de f (x) = 0 ou pontos de corte de y = f (x) com o
eixo x.
e. Os gráficos podem fornecer uma informação visual importante sobre uma fun-
ção. Por exemplo, como o gráfico de uma função f no plano xy é o gráfico
da equação y = f (x). Os pontos do gráfico são da forma (x, f (x)), ou seja,
a coordenada y de um ponto do gráfico de f é o valor de f na coordenada x
correspondente.
Exemplo 2.1
Para f definida a seguir, determinemos o domínio, a imagem e seu gráfico:
a. Sejam A= {1,2,3,4}, B= {5,6,7,8,9} e f : A→ B definida por f (x) = x+2.
Solução
Desde que f (1) = 1+ 2 = 3, f (2) = 2+ 2 = 4, f (3) = 3+ 2 = 5, f (4) = 4+ 2 = 6,
verificamos que os únicos valores de A que tem um correspondente no conjunto B são
3, 4. Portanto, Dom( f ) = {3,4} e Im( f ) = {5,6} e o gráfico de f é apresentado no item
(a) da figura abaixo
b. Seja f : R→ R definida por f (x) = 1
x
.
Solução
A função f dada está definida para todo x ∈ R, exceto x= 0; assim Dom( f ) = R\{0}.
Para determinar Im( f ) é conveniente introduzir uma variável dependente y:
y=
1
x
.
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Cálculo Diferencial e Integral
Embora para muitos o conjunto dos possíveis valores de y não seja evidente nessa equação,
o gráfico de f (veja o item (b) da figura abaixo) sugere que Im( f ) = R\{0}. Para provar
isto, resolvamos a equação acima para x, em termos de y:
x 6= 0 ⇒ xy= 1 ⇔ x= 1
y
.
Agora está evidente que essa expressão está definida para todo y ∈ R, exceto para y = 0.
Portanto, Im( f ) = R\{0}.
0
Graf( )f
1 2 3 4
8
6
9
7
5
- - - -
-
-
-
-
-
Graf( )f
x
y
x
y
1 2 3 4
8
6
9
7
5
- - - -
-
-
-
x
y
5
-
6
-
10-
-
-
4
3
-
-
2
1
-
-
0
Dom( )f
Im( )f
(a) (b) (c)
Graf( )f
c. Seja f : (0,5]→ [1,10) definida por f (x) = (x−3)2+1.
Solução
Da definição de f temos que Dom( f ) = (0,5]. Por outro lado, à medida que x varia sobre
o intervalo (0,5], o valor de (x− 3)2 + 1 varia sobre o intervalo [0,9); assim, o valor de
f (x) varia sobre o intervalo [1,10). Portanto, Im( f ) = [1,10).
Nesse caso, f é uma aplicação de (0,5] sobre [1,10) e Im( f ) pode ser escrita como
f ((0,5]) = [1,10). Veja o item (c) da figura acima.
A próxima nota nos diz que nem toda curva no plano é o gráfico de uma função.
Teste da Reta Vertical
Uma relação f : R→ R com domínio localizado no eixo horizontal e a imagem localizada
no eixo vertical é uma função se, e somente se, toda reta vertical intersecta o seu gráfico no
máximo uma vez. O item (a) da figura a seguir corresponde a uma função, enquanto que o
item (b) não corresponde a uma função.
x
y
0
y = f (x)
Graf( f ) x
y
0
L
P
Q
R
S
T
Graf( f )
(a) (b)
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Cálculo Diferencial e Integral
2.1.1 Translações e reflexões de uma função
Esta seção se dedicará a considerar o efeito geométrico de efetuar operações básicas com funções.
Isso nos permitirá usar gráficos de funções conhecidas para visualizar ou esboçar gráficos de funções
relacionadas.
Teorema 2.1 (Testes de simetria)
i. Uma curva plana é simétrica em relação ao eixo y se, e somente se, subtituindo-se x por
−x em sua equação obtém-se uma equação equivalente;
ii. Uma curva plana é simétrica em relação ao eixo x se, e somente se, subtituindo-se y por
−y em sua equação obtém-se uma equação equivalente;
iii. Uma curva plana é simétrica em relação à origem se, e somente se, subtituindo-se x por
−x e y por −y em sua equação obtém-se uma equação equivalente.
Esboçando gráficos
Para esboçar o gráfico de uma função é importante considerar a relação entre ela e uma outra
função já conhecida, y = f (x). Seja o gráfico de y = f (x) apresentado no item (a) da figura
abaixo. Então o gráfico de:
• y=− f (x) é a função simétrica ao gráfico original com respeito ao eixo x. Veja o item (b) da
figura abaixo;
• y = f (−x) é a curva simétrica ao gráfico original com respeito ao eixo y. Veja o item (c) da
figura abaixo;
• y= | f (x)| é obtida transladando a parte do gráfico original que se encontra abaixo do eixo x
( f (x)< 0) de forma simétrica