Lista 03 - calculo I - COM GABARITO

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Cálculo I - Lista de Exerćıcios no¯ 3 - 1o¯ semestre/2016
1. Considere a função f : R→ R definida por f(x) = x2 − 3x. Determine:
(a) f
(
1
2
)
; (b) f
(√
2
)
; (c) f(a), sendo a ∈ R; (d) f(2a− b), sendo a, b ∈ R.
2. Considere a função f : R→ R definida por f(x) =

3− x se x < −1;
x+ 1 se −1 ≤ x < 7;
4 se x ≥ 7.
Determine:
(a) f
(
1
2
)
; (b) f
(
−
√
2
)
; (c) f(3) + f(10); (d) f(−2) − f(0).
3. Determine o domı́nio de cada função abaixo.
(a) f(x) =
3
x2 − 3
(b) f(x) = 3
√
x− 3 (c) f(x) =
√
x− 2
3+ x
(d) f(x) =
√
x2 + 3x (e) f(x) =
3
√
x− 5√
x
(f) f(x) =
√
x2 − 2
4− x2
(g) f(x) =
√
−x2 + 4x− 3 (h) f(x) =
√
x−
√
x (i) f(x) =
√
x+ 3+
√
7− x
(j) f(x) = ln(3x− 4) (k) f(x) = x ln x− x (l) f(x) = ln
√
5− x2
(m) f(x) = ln(x2 − 1) (n) f(x) = ln(4− x2) (o) f(x) = ln(x3 + 1)
(p) f(x) =
√
ln |x+ 3| (q) f(x) = ln ln x (r) f(x) = ln ln |x|
(s) f(x) = ln
√
x− 2
3− x
(t) f(x) =
√
x2 + ex (u) f(x) =
1√
3− ex
4. A figura ao lado mostra o gráfico de
uma função definida por y = f(x), cujo
domı́nio é o intervalo [−6, 0] e a imagem
o intervalo [0, 3].
Esboce os gráficos das funções dadas por:
x
y
3
-3-6
(a) y = f(x) + 2 (b) y = −f(x) (c) y = f(2x) (d) y = −2− f(x)
(e) y = f(x+ 2) (f) y = f(−x) (g) y = 2f(x) (h) y = f(−2− x)
5. Determine o domı́nio, a imagem e esboce o gráfico da função f(x) = máx
{
x,
1
x
}
.
6. Em cada caso esboce o gráfico da função y = f(x) dada implicitamente pela equação:
(a) x2 + y2 = 4, y ≤ 0 (b) x− y2 = 0, y ≥ 0
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7. Determine o domı́nio e a imagem e esboce o gráfico de cada função dada.
(a) f(x) = x2 − 4x+ 4 (b) f(x) = (x+ 2)3 −
1
2
(c) f(x) = 1+ |2x− 3|
(d) f(x) = |x|+ 3x− 1 (e) f(x) = |4− x|− |3x+ 2| (f) f(x) =
3− x
2− x
(g) f(x) = 1− |x2 − 1| (h) f(x) = |x2 − 4|x (i) f(x) =
√
x+ 4
(j) f(x) =
√
x2 − 9 (k) f(x) = −1+
√
5− x2 (l) f(x) =
√
2+ x2
(m) f(x) =
√
9− (2− x)2 (n) f(x) = sen(2x) (o) f(x) = 2cos(x)
(p) f(x) = 1+ |sen(x)| (q) f(x) = 3x (r) f(x) = (0, 4)x
(s) f(x) = e|x| (t) f(x) = log3 x (u) f(x) = e
x+2
(v) f(x) = ln(x− 1) (w) f(x) = log 1
3
x (x) f(x) = | ln |x| |
(y) f(x) =

x+ 1 se x < −1;
3 se −1 ≤ x < 2;
−x+ 1 se x ≥ 2.
(z) f(x) =

ex se x ≤ 0;
−x+ 1 se 0 < x < 1;
−x2 + 4x− 5 se x ≥ 1.
8. Verifique que Im(f) ⊂ D(g) e determine a composta h(x) = g(f(x)).
(a) g(x) =
√
x e f(x) = 2+ x2 (b) g(x) =
√
x e f(x) = x2 − x, x ≤ 0 ou x ≥ 1
(c) g(x) =
x+ 1
x− 1
e f(x) =
x
x+ 1
(d) g(x) =
2
x− 2
e f(x) = x+ 1, x 6= 1
9. Determine o “maior” conjunto A tal que Im(f) ⊂ D(g); em seguida construa a composta
h(x) = g(f(x)).
(a) g(x) =
2
x+ 2
e f : A→ R, f(x) = x+ 3 (b) g(x) = √x− 1 e f : A→ R, f(x) = x2
10. Determine f de modo que g(f(x)) = x para todo x ∈ D(f), sendo g dada por
(a) g(x) =
1
x
. (b) g(x) =
x+ 2
x+ 1
. (c) g(x) = x2 − 4x+ 3, x ≥ 2.
11. Em cada caso, determine a fórmula expĺıcita da função inversa. Esboce o gráfico da função
dada e de sua inversa.
(a) f(x) = 5x− 2 (b) f(x) =
3x
x+ 2
, x 6= −2 (c) f(x) =
√
x− 1, x ≥ 1
(d) f(x) = x2 − 4, x ≥ 0 (e) f(x) = x2 − 4, x ≤ 0 (f) f(x) = x
2
x2 + 1
, x ≥ 0
(g) f(x) = ex+4 (h) f(x) = ln(5− x), x < 5 (i) f(x) =
√
9− x2, −3 ≤ x ≤ 0
12. Encontre as funções inversas das seguintes funções e esboce os gráficos de f e f−1 no mesmo
sistema de coordenadas:
(a) f : [−1, 1]→ [0, 4], definida por f(x) = 2x+ 2;
(b) f : [0, 2]→ [−1, 1], definida por f(x) = 1−√4− x2;
(c) f : [0,+∞)→ [√3,+∞), definida por f(x) = √3+ x2.
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13. Em uma experiência sobre deterioração de alimentos, constatou-se que a população de certo
tipo de bactéria dobrava a cada hora. No instante em que começaram as observações, havia
50 bactérias na amostra.
(a) Faça uma tabela para representar a população de bactérias nos seguintes instantes (a
partir do ińıcio da contagem): 1 hora, 2 horas, 3 horas, 4 horas e 5 horas.
(b) Obtenha a lei que relaciona o número de bactérias (n) em função do tempo (t).
14. (FGV-SP) Curva de Aprendizagem é um conceito criado por psicólogos que constataram
a relação existente entre a eficiência de um indiv́ıduo e a quantidade de treinamento ou
experiência possúıda por este indiv́ıduo. Um exemplo de Curva de Aprendizagem é dado
pela expressão Q = 700− 400e−0,5t, em que:
Q = quantidade de peças produzidas mensalmente por um funcionário;
t = meses de experiência;
e ≈ 2, 7183.
(a) De acordo com essa expressão, quantas peças um funcionário com 2 meses de experiência
deverá produzir mensalmente?
(b) E, quantas peças um funcionário sem qualquer experiência deverá produzir mensal-
mente? Compare esse resultado com o resultado do item ??. Há coerência entre eles?
15. (UFPE) O preço de um automóvel, P(t), desvaloriza-se em função do tempo t, dado em
anos, de acordo com a uma função do tipo exponencial P(t) = b · at, com a e b sendo
constantes reais. Se, hoje (quanto t = 0), o preço do automóvel é de 20.000 e valerá 16.000
reais daqui a três anos (quando t = 3), em quantos anos o preço do automóvel será de 8.192
reais? (Dado
8.192
20.000
= 0, 84.)
16. (VUNESP) O alt́ımetro dos aviões é um instrumento que mede a pressão atmosférica e
transforma esse resultado em altitude. Suponha que a altitude h acima do ńıvel do mar,
em quilômetros, detectada pelo alt́ımetro de um avião seja dada , em função da pressão
atmosférica p, em atm, por
h(p) = 20 · log
(
1
p
)
.
Num determinado instante, a pressão atmosférica medida pelo alt́ımetro era 0, 4 atm.
Considerando a aproximação log(2) = 0, 3, qual era a altitude h do avião nesse instante, em
quilômetros?
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Cálculo I - Lista de Exerćıcios no¯ 3 - Gabarito - 1
o
¯ semestre/2016
1.
(a) f
(
1
2
)
= −
5
4
(b) f
(√
2
)
= 2− 3
√
2
(c) f(a) = a(a− 3) (d) f(2a− b) = 4a2 − 6a+ 3b− 4ab+ b2
2.
(a) f
(
1
2
)
=
3
2
(b) f
(
−
√
2
)
= 3+
√
2 (c) f(3) + f(10) = 8 (d) f(−2) − f(0) = 4
3.
(a) D(f) =
{
x ∈ R | x 6= −
√
3 e x 6=
√
3
}
(b) D(f) = R
(c) D(f) = {x ∈ R | x < −3 ou x ≥ 2} (d) D(f) = {x ∈ R | x ≤ −3 ou x ≥ 0}
(e) D(f) = {x ∈ R | x > 0} (f) D(f) =
{
x ∈ R | −2 < x ≤ −
√
2 ou
√
2 ≤ x < 2
}
(g) D(f) = {x ∈ R | 1 ≤ x ≤ 3} (h) D(f) = {x ∈ R | x = 0 ou x ≥ 1}
(i) D(f) = {x ∈ R | −3 ≤ x ≤ 7} (j) D(f) =
{
x ∈ R | x > 4
3
}
(k) D(f) = {x ∈ R | x > 0} (l) D(f) =
{
x ∈ R | −
√
5 < x <
√
5
}
(m) D(f) = {x ∈ R | x < −1 ou x > 1} (n) D(f) = {x ∈ R | −2 < x < 2}
(o) D(f) = {x ∈ R | x > −1} (p) D(f) = {x ∈ R | x ≤ −4 ou x ≥ −2}
(q) D(f) = {x ∈ R | x > 1} (r) D(f) = {x ∈ R | x < −1 ou x > 1}
(s) D(f) = {x ∈ R | 2 < x < 3} (t) D(f) = R
(u) D(f) = {x ∈ R | x < ln(3)}
4.
(a) (b) (c) (d)
−6 −3
2
5
−6 −3
−3
−3
3
−6 −3
−5
−2
(e) (f) (g) (h)
−8 −5 −2
3
3 6
3
−6 −3
6
−2 1 4
3
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5.
D(f) = {x ∈ R | x 6= 0}
Im(f) = [−1, 0) ∪ [1,+∞)
−1 1
6. (a) f(x) = −
√
4− x2 (b) f(x) =
√
x
−2 2
−2 1
1
7.
(a) D(f) = R (b) D(f) = R (c)D(f) = R
Im(f) = [0,∞[ Im(f) = R Im(f) = [1,∞[
2
4
−1.21 1.5
1
4
(d) D(f) = R (e) D(f) = R (f) D(f) = ] −∞, 2[ ∪ ]2,∞[
Im(f) = R Im(f) =
]
−∞, 14
3
[
Im(f) = ] −∞, 1[ ∪ ]1,∞[
0.25
−1
−3 0.5
(−0.67, 4.67)
(4,−14) 2
1
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(g) D(f) = R (h) D(f) = R (i) D(f) = [−4,∞[
Im(f) = ] −∞, 1] Im(f) = R Im(f) = [0,∞[
−1.41 1.41
1
−2 2 −4
2
(j) D(f) = ] −∞,−3] ∪ [3,∞[ (k) D(f) = [−√5,√5] (l) D(f) = R
Im(f) = [0,∞[ Im(f) = [−1,√5− 1] Im(f) = [√2,∞[
−3 3
−2 2
1.23
−1
1.41
(m) D(f) = [−1, 5] (n) D(f) = R (o) D(f) = R
Im(f) = [0, 3] Im(f) = [−1, 1] Im(f) = [−2, 2]
−1 52
3
−π π
−1.
1
−π π
−2
2
(p) D(f) = R (q) D(f) = R (r) D(f) = R
Im(f) = [1, 2] Im(f) = ]0,∞[ Im(f) = ]0,∞[
−π π
1
2
1 1
Instituto de Matemática Universidade Federal de Mato Grosso de Sul(s) D(f) = R (t) D(f) = ]0,∞[ (u) D(f) = R
Im(f) = [1,∞[ Im(f) = R Im(f) = ]0,∞[
1
1
7.4
(v) D(f) = ]1,∞[ (w) D(f) = ]0,∞[ (x) D(f) = ] −∞, 0[ ∪ ]0,∞[
Im(f) = R Im(f) = R Im(f) = ]0,∞[
1 2
1
−1 1
(y) D(f) = R (z) D(f) = R
Im(f) = ] −∞, 0[ ∪ {3} Im(f) = ] −∞,−1[ ∪ ]0,−1]
−1 2
−1
3 C
1 2
−2
1
−1
B
8.
(a) Im(f) = {y ∈ R | y ≥ 2} (b) Im(f) = {y ∈ R | y ≥ 0}
D(g) = {x ∈ R | x ≥ 0} D(g) = {x ∈ R | x ≥ 0}
h(x) =
√
2+ x2 h(x) =
√
x2 − x
(c) Im(f) = {y ∈ R | y 6= 1} (d) Im(f) = {y ∈ R | y 6= 2}
D(g) = {x ∈ R | x 6= 1} D(g) = {x ∈ R | x 6= 2}
h(x) = −(2x+ 1) h(x) =
2
x− 1
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9.
(a) A =] −∞,−2[ ∪ ] − 2,∞[ (b) A = [1,∞[
h(x) =
2
x+ 5
h(x) =
√
x2 − 1
10.
(a) f(x) =
1
x
(b) f(x) =
2− x
x− 1
(c) f(x) =
√
x+ 1+ 2
11.
(a) f−1(x) =
x+ 2
5
(b) f−1(x) =
−2x
x− 3
(c) f−1(x) = x2 + 1
−2 0.5
−2
0.5
f(x)
f−1(x)
−2 3
f−1(x)
f(x)
f(x)
f−1(x)
(d) f−1(x) =
√
x+ 4 (e) f−1(x) =
√
x+ 4 (f) f−1(x) =
√
x
1− x
−4 2
−4
2
f(x)
f−1(x)
−4 −2
−4
−2
f(x)
f−1(x)
f(x)
f−1(x)
(g) f−1(x) = ln(x) − 4 (h) f−1(x) = 5− ex (i) f−1(x) =
√
9− x2
f(x)
f−1(x)
4 5
4
5
f(x)
f−1(x)
−3 3
−3
3
f(x)
f−1(x)
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12.
(a) f−1(x) =
x− 2
2
(b) f−1(x) =
√
4− (x− 1)2 (c) f−1(x) =
√
x2 − 3
−1 21 4
−1
2
1
4
f(x)
f−1(x)
−1 1 2
−1
1
2
f(x)
f−1(x)
1.73
1.73 f(x)
f−1(x)
13.
(a)
Tempo(h) 0 1 2 3 4 5
População de bactérias 50 100 200 400 800 1600
(b) n = 50 · 2t
14.
(a) Q = 552.85 (b) Q = 300
15. t = 12 anos
16. h(p) = 8 Km
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