Vol VIII Funções & Limites

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Funções e Limites 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 15/11/2015 
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Antônio Marcos Araújo AMARTEMÁTICA Funções & Limites 
 
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Antônio Marcos Araújo AMARTEMÁTICA Funções & Limites 
Sumário 
FUNÇÃO .......................................................................................................................................................... 7 
DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO ............................................................................................................................................ 7 
ELEMENTOS PERTINENTES ......................................................................................................................................... 8 
Constantes ..................................................................................................................................................... 8 
Variáveis ........................................................................................................................................................ 9 
RELACIONAMENTO LÓGICO ENTRE VARIÁVEIS ................................................................................................................ 9 
Relações simétricas ....................................................................................................................................... 9 
Relações assimétricas .................................................................................................................................... 9 
RELAÇÃO E FUNÇÃO ............................................................................................................................................... 10 
DESCRIÇÕES ......................................................................................................................................................... 10 
DOMÍNIO E IMAGEM ............................................................................................................................................. 11 
Intervalo da variável .................................................................................................................................... 12 
Infinito ...................................................................................................................................................................... 13 
Teste da reta vertical ................................................................................................................................... 14 
Estudo de caso ......................................................................................................................................................... 14 
CARACTERÍSTICAS ESPECIAIS .................................................................................................................................... 15 
Função monótona ....................................................................................................................................... 15 
Função biunívoca ......................................................................................................................................... 16 
Função inversa ............................................................................................................................................ 16 
Gráfico de funções inversas ..................................................................................................................................... 17 
Teste da reta horizontal ........................................................................................................................................... 18 
Inversa restrita ......................................................................................................................................................... 18 
Inversa ao produto da função ..................................................................................................................... 19 
Funções simétricas ...................................................................................................................................... 20 
Funções com simetria em relação a um eixo ........................................................................................................... 21 
Funções com simetria em relação a um ponto ........................................................................................................ 22 
RAÍZES DA FUNÇÃO ................................................................................................................................................ 23 
Teorema do valor intermediário ................................................................................................................. 23 
Polinômio .................................................................................................................................................... 24 
Teorema fundamental da Álgebra .............................................................................................................. 25 
Forma fatorada do polinômio ..................................................................................................................... 25 
Teorema do valor médio das raízes do polinômio ....................................................................................... 26 
Valor médio das raízes de algumas funções ............................................................................................................. 27 
CONSIDERAÇÕES SOBRE AS RAÍZES DE FUNÇÕES ........................................................................................................... 28 
CONSIDERAÇÕES SOBRE AS SIMETRIAS DAS FUNÇÕES .................................................................................................... 28 
Funções simétricas em relação a algum eixo .............................................................................................. 28 
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Antônio Marcos Araújo AMARTEMÁTICA Funções & Limites 
Funções simétricas em relação a algum ponto ........................................................................................... 29 
Casos particulares ....................................................................................................................................... 29 
VALOR DA FUNÇÃO ................................................................................................................................................ 30 
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE FUNÇÕES ..................................................................................................................... 31 
Seleção dos valores de entrada ................................................................................................................... 32 
FUNÇÕES BASICAS OU ELEMENTARES ............................................................................................................ 35 
FUNÇÃO MONÔMIO .............................................................................................................................................. 38 
FUNÇÃO NULA ...................................................................................................................................................... 39 
FUNÇÃO CONSTANTE ............................................................................................................................................. 39 
FUNÇÃO LINEAR .................................................................................................................................................... 39 
FUNÇÃO DE 1º GRAU .............................................................................................................................................39 
Simetria ....................................................................................................................................................... 40 
Coeficiente linear ......................................................................................................................................... 40 
Coeficiente angular ..................................................................................................................................... 41 
Reta que passa por dois pontos no plano.................................................................................................... 43 
Retas paralelas no plano ............................................................................................................................. 45 
Retas ortogonais no plano .......................................................................................................................... 47 
Ângulo entre duas retas .............................................................................................................................. 50 
Exercícios propostos .................................................................................................................................... 51 
FUNÇÃO DO 2º GRAU ............................................................................................................................................. 52 
Simetria ....................................................................................................................................................... 53 
Vértice ......................................................................................................................................................... 53 
Teorema da distância entre as raízes da equação do 2º grau .................................................................... 53 
Domínio e imagem ...................................................................................................................................... 54 
Exercícios propostos .................................................................................................................................... 54 
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS .................................................................................................................................. 55 
Seno e cosseno ............................................................................................................................................ 55 
Domínio .................................................................................................................................................................... 56 
Imagem..................................................................................................................................................................... 56 
Simetria .................................................................................................................................................................... 56 
Período ..................................................................................................................................................................... 56 
Raízes........................................................................................................................................................................ 56 
FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS .................................................................................................................. 57 
Preliminares ................................................................................................................................................ 57 
Função exponencial .................................................................................................................................... 57 
Propriedades ............................................................................................................................................................ 58 
Mudança de base ..................................................................................................................................................... 59 
Aplicações................................................................................................................................................................. 59 
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Antônio Marcos Araújo AMARTEMÁTICA Funções & Limites 
Função logaritmo ........................................................................................................................................ 60 
Propriedades ............................................................................................................................................................ 60 
Mudança de base ..................................................................................................................................................... 61 
Aplicação .................................................................................................................................................................. 61 
CONSIDERAÇÕES SOBRE FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARITMOS .................................................................................... 62 
Exercícios propostos .................................................................................................................................... 63 
LIMITE DA FUNÇÃO ........................................................................................................................................ 64 
PROBLEMA .......................................................................................................................................................... 65 
Investigar nos extremos longínquos ............................................................................................................ 65 
Investigar restrições operatórias ................................................................................................................. 65 
INFINITOS E INFINITESIMAIS ..................................................................................................................................... 66 
Infinitos........................................................................................................................................................ 66 
Infinitésimos ................................................................................................................................................ 67 
Operações simbólicas .................................................................................................................................. 67 
Estudo de caso 1 ....................................................................................................................................................... 68 
Estudo de caso 2 ....................................................................................................................................................... 69 
DEFINIÇÃO FORMAL DE LIMITE ................................................................................................................................. 69 
Notação ....................................................................................................................................................... 70 
Teoremas dos limites ................................................................................................................................... 71 
Limites laterais ............................................................................................................................................ 72 
Limites especiais .......................................................................................................................................... 72Função seno cardinal ................................................................................................................................................ 72 
Número de Napier .................................................................................................................................................... 73 
LIMITE DA FUNÇÃO CONTÍNUA ................................................................................................................................. 74 
Estudo de caso – função de base ................................................................................................................. 77 
Estudo de caso – função polinomial ............................................................................................................ 78 
No interior do domínio ............................................................................................................................................. 78 
Nos extremos do domínio ........................................................................................................................................ 78 
Função polinomial de grau impar ............................................................................................................................. 79 
Função polinomial de grau par ................................................................................................................................. 80 
LIMITE DE FUNÇÕES DESCONTÍNUAS .......................................................................................................................... 81 
Estudo de caso – função racional ................................................................................................................ 81 
No interior do domínio ............................................................................................................................................. 81 
Nos extremos longínquos do domínio ...................................................................................................................... 82 
No zero ..................................................................................................................................................................... 83 
Nas fronteiras abertas interiores do domínio .......................................................................................................... 83 
APLICAÇÕES ......................................................................................................................................................... 86 
Gráfico de funções com restrições operatórias ........................................................................................................ 86 
ANEXO I – SÍMBOLOS E SIGNIFICADOS ........................................................................................................... 97 
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Antônio Marcos Araújo AMARTEMÁTICA Funções & Limites 
ANEXO II – ORGANIZAÇÃO GRÁFICA DE IDEIAS .............................................................................................. 99 
CONVENÇÕES ..................................................................................................................................................... 100 
EVENTOS HOMOGÊNEOS SIMPLES ........................................................................................................................... 101 
MEDIDA ALGÉBRICA ............................................................................................................................................. 103 
Interpretação verbal .................................................................................................................................. 103 
EVENTOS HOMOGÊNEOS COMPOSTOS ..................................................................................................................... 104 
Par ordenado ............................................................................................................................................. 104 
SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS ................................................................................................................ 105 
Eixos principais .......................................................................................................................................... 105 
Eixos auxiliares .......................................................................................................................................... 106 
Quadrantes ................................................................................................................................................ 108 
Notação ..................................................................................................................................................... 109 
MEDIDAS ALGÉBRICAS NO PLANO ........................................................................................................................... 110 
Distância entre dois pontos de um eixo .................................................................................................... 110 
Distância entre dois pontos no plano ........................................................................................................ 111 
Distância entre um ponto e a origem no plano ......................................................................................... 111 
ANEXO III – RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS .................................................................................................. 113 
TEOREMA DE PITÁGORAS ...................................................................................................................................... 113 
COSSENO .......................................................................................................................................................... 114 
SENO ................................................................................................................................................................ 114 
TANGENTE ......................................................................................................................................................... 115 
ARCO COSSENO .................................................................................................................................................. 115 
ARCO SENO ........................................................................................................................................................ 116 
ARCO TANGENTE ................................................................................................................................................. 116 
CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA ....................................................................................................................... 117 
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NO CÍRCULO UNITÁRIO ................................................................................................. 118 
IDENTIDADE FUNDAMENTAL .................................................................................................................................. 118 
ÂNGULOS NOTÁVEIS ............................................................................................................................................ 119 
REFERÊNCIAS................................................................................................................................................ 121 
 
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FUNÇÃO 
Funções expressam matematicamente relações entre as grandezas variáveis 
associadas a fenômenos ou eventos matemáticos, biológicos, físicos, sociais, . 
Se for possível descrever a relação entre duas grandezaspor uma função então é: 
Possível determinar inequivocamente seus valores possíveis (os 
estados), inclusive prever valores ainda não observados; 
Avaliar as tendências (do fenômeno ou evento) inclusive nos extremos das 
fronteiras abertas (Limite); 
Determinar como a função (evento ou fenômeno) varia em torno de um 
ponto (Derivada) e; 
Obter ou restaurar (Integral) a função a partir da sua variação. 
DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO 
Função ( ) é uma regra que expressa sem ambiguidade à relação entre as 
quantidades e (de um evento ou fenômeno) pertencentes a dois conjuntos e . 
A ausência de ambiguidade determina que para qualquer valor pertencente ao 
conjunto existe um e somente um valor de pertencente ao conjunto . 
A definição especifica um valor qualquer (independência) de , a denominada de 
variável independente enquanto a outra admite um e somente um valor de para cada 
(atada, atrelada ou dependente) valor de , a denominada variável dependente. 
O conjunto , das variáveis independentes, é denominado domínio e o conjunto , 
das variáveis dependentes, é denominado imagem, ou seja, o independente tem domínio 
e o dependente tem apenas uma imagem, um reflexo do independente. 
Uma função está bem definida se são conhecidos sua regra, seu domínio e imagem. 
 
8 
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ELEMENTOS PERTINENTES 
Os sujeitos, os protagonistas, as variáveis, são os elementos de quem se trata na 
realidade investigada, as grandezas variáveis associadas ao fenômeno ou evento. 
Os objetos, os coadjuvantes, os parâmetros ou constantes são os elementos 
acessórios que mediam as variáveis da realidade investigada. 
Constantes 
Uma constante matemática é um valor numérico imutável ou invariável, no contexto 
do problema. A constante pode ser numérica ou literal. 
Os objetos imutáveis, invariáveis ou constantes são valores que influenciam as 
expressões, mas cujo valor numérico é não se altera, por natureza do objeto ou no 
contexto do problema. 
São constantes: 
 Por natureza, os números { } e as letras designativas de definições 
{ }. 
 O valor de (razão entre o perímetro e o diâmetro da 
circunferência) é uma constante universal. 
 O valor de (velocidade da luz) é uma constante que influencia a relação 
entre as quantidades e que é imutável, neste caso uma constante universal 
A fórmula de Einstein da equivalência massa–energia, . Massa e 
energia são duas grandezas relacionadas por uma constante. 
 No contexto do problema, as letras como , e , ou qualquer outra, quando 
assim designadas. 
 Na formulação um bacuri custa dois reais, explicita uma função na qual o 
valor a ser pago depende do número de bacuris, o valor dois explicita uma 
constante, um valor fixo, no contexto do problema, que modifica o 
comportamento da função. 
 A distância percorrida por um móvel em movimento uniforme, é 
uma função do tempo que depende da posição inicial e da velocidade 
(constantes) e do tempo transcorrido (variável independente). Os valores 
de e são constantes em contexto (de um dado problema). 
9 
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Variáveis 
As variáveis representam os elementos de um dado conjunto numérico, ou seja, 
elementos que podem assumir diferentes valores em uma expressão. 
Por exemplo, para , dados , e , existem infinitos pares de 
números e que satisfazem a relação, que lhe tornam verdade, neste caso existe uma 
relação entre e , as quais são as denominadas variáveis. 
RELACIONAMENTO LÓGICO ENTRE VARIÁVEIS 
Funções são descrições matemáticas através de relações entre variáveis 
independentes, variáveis dependentes e constantes. O relacionamento lógico entre 
variáveis pode ser simétrico ou assimétrico. 
Relações simétricas 
As relações simétricas ocorrem quando ambas são alternativas. 
Quando um gás é pressionado em um recipiente sua temperatura aumenta e, 
quando a temperatura de um gás contido em um recipiente aumenta sua pressão aumenta 
– qual é a causa e qual é o efeito (tanto a pressão quanto a temperatura podem ser 
variáveis independentes). 
Relações assimétricas 
As relações assimétricas são aquelas em que é possível definir, claramente, uma 
independente e outra dependente. 
O excesso de velocidade nas estradas e os acidentes fatais apresentam correlação 
positiva, assim pode-se expressar: o número de acidentes fatais decorre (variável 
dependente) do excesso de velocidade (variável independente) nas estradas; a reciproca é 
inadmissível: o excesso de velocidade depende (ou decorre) do número de acidentes 
fatais. 
 
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RELAÇÃO E FUNÇÃO 
Uma expressão é denominada relação quando admite mais de um valor de uma 
variável para um dado valor da outra variável e é denominada função se admite apenas 
um único valor da variável dependente para cada valor da variável dependente. 
A equação do espaço, de um móvel com aceleração igual a , posição inicial 
igual a zero e velocidade inicial nula, especifica a posição no espaço em função do tempo 
 ( ) ( ) , para qualquer valor de { } existe um único valor1 de 
 { }. 
A expressão correspondente do tempo, ( ) é uma relação, mas não é uma 
função, pois admite mais de um valor de para o mesmo valor de , por exemplo, a 
posição está relacionada com { }. O tempo é independente, não pode 
depender da posição. 
 Função é uma relação especial, uma relação sem ambiguidade. 
DESCRIÇÕES 
A descrição de uma função pode ser verbal, numérica, geométrica ou algébrica. 
A descrição verbal é a formulação textual da regra que estabelece a relação entre 
as variáveis. 
 
A descrição algébrica é a apresentação da função através de uma equação, 
 ( ) 
A descrição numérica é a representação através do conjunto dos pares ( ) da 
função. Por convenção, escrito sempre na ordem e forma ( , ). Por 
uma tabela de valores, 
Número de bacuris 
Valor (R$) 
Tabela 1: função por descrição numérica. 
 
1
 Uma função admite um único valor da variável dependente para cada valor da variável dependente e, 
admite, eventualmente, sem restrições, a existência um mesmo valor da variável dependente para mais um 
valor da variável independente. No caso, para cada um um único e valores iguais de para valores de 
diferentes. 
11 
Antônio Marcos Araújo AMARTEMÁTICA Funções & Limites 
A descrição gráfica é a apresentação geométrica da função, em especial no plano 
cartesiano, no qual a variável independente é expressa no eixo horizontal e a variável 
dependente é expressa no eixo vertical, como ilustra a Figura 1. 
 
Figura 1: representação gráfica de função
 
Uma função pode ser apresentada como um sistema (Figura 2), 
 
 
 ( ) 
 
 
 
Figura 2: Função - sistema 
A saída para cada amostra do conjunto de entrada , apresenta sempre com o 
mesmo resultado pertencente ao conjunto de saída denominado valor de em . 
DOMÍNIO E IMAGEM 
Para a função ( ), o conjunto de todas as 
entradas permitidas ou admissíveis (os valores de ) é 
denominado de domínio de ( ), e o conjunto de todas as 
saídas (os valores de ) que resultam quando varia sobre o 
domínio é denominado imagem de( ), (Figura 3). 
 ( ) 
A imagem é o reflexo do domínio em consonância com 
a regra . 
 
Figura 3: Domínio e imagem 
Para os valores admissíveis de , o domínio de ( ) é a projeção de ( ) sobre o 
eixo e a imagem de ( ) é projeção do sobre o eixo . 
 
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Antônio Marcos Araújo AMARTEMÁTICA Funções & Limites 
Intervalo da variável 
O domínio e a imagem de uma função real são os conjuntos dos números reais ou 
alguma extensão numérica delimitada dos números reais ou intervalo. O intervalo é o 
conjunto dos números compreendidos entre dois outros números reais, seus extremos ou 
fronteiras, as quais podem ser um limitado ou ilimitado. Um intervalo é descrito na forma 
(ABNT, 2012): 
Símbolo Intervalo Significado Exemplos 
[ ] Fechado de incluído até incluido [ ] { | } 
( ] 
Semiaberto à 
Esquerda 
de excluído até incluído ( ] { | } 
[ ) 
Semiaberto à 
Direita 
de incluído até excluído. [ ) { | } 
( ) Aberto de excluído até excluído. ( ) { | } 
cada fronteira do intervalo pode ser aberta, delimitado por parênteses ou fechada, 
delimitada por colchete. 
Por exemplo, 
Intervalo Notação Equivalência verbal 
 [ ] 
Todos os números entre zero e dois, incluindo 
os extremos, fronteiras fechadas. 
 ( ) 
Todos os números entre zero e dois, excluindo 
os extremos, fronteiras abertas. 
 [ ) 
Todos os números entre zero e dois, excluindo 
o dois. O zero é uma fronteira fechada e o dois 
é uma fronteira aberta. 
 ( ] 
Todos os números entre zero e dois, excluindo 
o zero. O zero é uma fronteira aberta e o dois é 
uma fronteira fechada. 
 [ ) ( ] 
Todos os números entre zero e dois, excluindo 
o um. O zero e o dois são fronteiras fechadas e 
o um é uma fronteira aberta. 
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Antônio Marcos Araújo AMARTEMÁTICA Funções & Limites 
Infinito 
O infinito pode ser o extremo de um intervalo. O infinito expressa o que é maior do 
que qualquer quantidade dada de mesma natureza, aquilo que não tem limites, que pode 
ser aumentado ou estendido tanto quanto se queira. A sequência dos números naturais, 
por exemplo, para os quais é sempre possível obter, indefinidamente, o 
próximo. 
 O Infinito não é único, não é um número, é como a classe de uma grandeza que 
possui valores ilimitados, denota algo ilimitado, inumerável, imensurável. Conjuntos 
infinitos podem ter tamanhos diferentes, por exemplo, a quantidade dos números reais é 
infinita, a quantidade dos números naturais é infinita. Os números naturais são um 
subconjunto dos números reais, portanto a quantidade de números reais (infinita) é maior 
que a quantidade de números naturais (infinita). 
O infinito é representado simbolicamente na matemática pela lemniscata (do latim 
lemniscata, ornada de fitas). 
O infinito pode ser um extremo (não incluso) do intervalo, assim: 
 ou ( ] | 
 ou [ ) | 
 ou ( ) 
O conjunto de definição dos números reais ( ) especifica que números 
reais se estendem desde até com intervalo aberto (o infindo não pode pertencer a 
um conjunto dito real). Assim, o intervalo é sempre aberto em relação ao infinito ou, o 
infinito está além dos números reais, do que real. Textualmente, o infinito não pertence ao 
real. 
Se a definição de uma dada função real não impõe nenhuma restrição operatória, ou 
seja, é determinável para qualquer valor de ( ), então seu domínio é o conjunto 
dos números reais, por exemplo, para a função definida pela regra o domínio é 
 ( ). 
Se a definição de uma dada função real impõe alguma restrição operatória, ou seja, 
não pode ser determinada para algum valor de ( ), então seu domínio é um 
subconjunto dos números reais, por exemplo, para a função definida pela regra , 
indefinida para , assim o domínio é ( ) ( ). 
 
14 
Antônio Marcos Araújo AMARTEMÁTICA Funções & Limites 
Por exemplo, a função definida pela regra, ( ) admite como argumento, 
como valor de , qualquer valor real, e os valores ( ) que a função pode assumir são os 
números reais positivos. O domínio são os números reais ( ) e a imagem 
são os números reais positivos ( ). 
A função definida por, 
 ( ) 
 
 
 
Admite como argumento, como valor de , qualquer valor real diferente de (que 
implica em uma divisão por zero, o que não é permitido na matemática). Assim o domínio 
são os numero reais menos a unidade, { } ( ) ( ). 
Teste da reta vertical 
A definição da função especifica que uma função não pode produzir duas saídas 
distintas para uma mesma entrada. 
Teste da reta vertical: O gráfico de uma função, no plano cartesiano, não pode ser 
interceptado mais de uma vez por qualquer reta vertical, ou seja, uma curva é o gráfico de 
uma função se e somente se nenhuma reta vertical cruza a curva mais de uma vez. 
Por exemplo, qualquer eixo auxiliar horizontal da forma é uma função e; 
qualquer eixo auxiliar vertical da forma não é função. 
Estudo de caso 
Considere o estudo sobre o crescimento de um jovem entre seis e dezesseis anos. 
A idade é sempre crescente, a altura, a menos de alguma anomalia, é sempre crescente 
(Figura 4) e o peso aumenta com oscilações, como ilustra a Figura 5. 
 
Figura 4: Altura com a idade. 
 
Figura 5: Peso com a idade. 
Neste caso, o peso 
apresenta, além de pequenas 
flutuações, um crescimento inicial 
significativo, seguido de uma 
redução (exercícios, doença, 
dieta?) e uma retomada do 
crescimento com taxas menores. 
15 
Antônio Marcos Araújo AMARTEMÁTICA Funções & Limites 
Tanto a altura quanto o peso são descritos sem ambiguidade em função da idade 
(para cada idade, um e somente um valor de peso ou da altura). A idade é a variável 
independente e o peso e a altura são variáveis dependentes. 
A representação do peso com a altura (Figura 6) e da altura com o peso (Figura 7) 
são mostradas a seguir. 
 
Figura 6: Peso com altura. 
 
Figura 7: Altura com peso. 
Expressando o peso (vertical) de acordo com altura (horizontal) temos uma função 
(cada valor da altura admite um e somente um valor peso). Neste caso, a altura é a 
variável independente e o peso é a variável dependente, ( ). 
Expressando a altura (vertical) de acordo com peso (horizontal) temos apenas uma 
relação (não é uma função, para alguns valores de peso temos a mesma altura, com 
explicitado na figura, por uma reta vertical), é matematicamente uma descrição ambígua. 
CARACTERÍSTICAS ESPECIAIS 
Função monótona 
Se para qualquer valor de entre dois pontos e , pertencentes ao domínio, 
à função é denominada: 
Monótona crescente se ( ) ( ) ( ) 
Monótona estritamente crescente se ( ) ( ) ( ) 
Monótona decrescente se ( ) ( ) ( ) 
Monótona estritamente decrescente se ( ) ( ) ( ) 
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Antônio Marcos Araújo AMARTEMÁTICA Funções & Limites 
Função biunívoca 
Uma função é denominada biunívoca se e somente se, a cardinalidade (número de 
elementos) do domínio é igual à cardinalidade da imagem e se para cada elemento 
pertencente ao domínio existe um e somente um elemento pertencente à imagem , 
ou seja, cada elemento do domínio está associado a um único elemento da imagem e vice-
versa. 
 
 { } ( ) ( ) { ( ) ( )} 
Uma função biunívoca monótona é estritamentecrescente ou estritamente 
decrescente. 
Função inversa 
Se uma função ( ) é biunívoca monótona em um intervalo então admite uma 
função inversa2 ( ) no intervalo, 
 ( ) e ( ) 
Tal que 
 ( ( )) e ( ( )) 
Ou seja, as variáveis, de uma função biunívoca monótona, podem trocar (permutar) 
de papeis. 
Por exemplo, para ( ) . Trocando os papeis temos , ou seja, 
 
 
 
 ( ) 
tal que 
 ( ( )) 
 
 
 e ( ( )) (
 
 
) 
Para ( ) . Trocando os papeis temos , ou seja, 
 
 
 
 ( ) 
 
2
 A notação usual para função inversa é ( ), não utilizada para não confundir com a função inversa ao 
produto. 
17 
Antônio Marcos Araújo AMARTEMÁTICA Funções & Limites 
Gráfico de funções inversas 
Funções inversas são graficamente simétricas em relação à reta . 
Por exemplo, para ( ) . Trocando os papeis temos e 
 ( ) tal que ( ( )) ( ) e ( ( )) ( ) . 
A Figura 8 mostra o eixo de simetria ( ) e ilustra a função ( ) e sua 
inversa ( ) . 
 
Figura 8: Funções inversas do 1º grau. 
A inversa da função exponencial, . Trocando os papeis das protagonistas 
temos , ou por definição, a função logaritmo é a função inversa da 
exponencial, tal que 
 e . 
A Figura 9 mostra o gráfico das funções exponencial e logaritmo. 
 
Figura 9: Função exponencial e inversa. 
Observar que ( ( )) é elemento da imagem de ( ) e ( ( )) é elemento do 
domínio de ( ). 
 
18 
Antônio Marcos Araújo AMARTEMÁTICA Funções & Limites 
Teste da reta horizontal 
O gráfico de uma função que admita inversa, no plano cartesiano, não pode ser 
interceptado mais de uma vez por qualquer reta horizontal. 
A expressão é uma função, pode ser escrita na forma ( ), pois cada 
valor de implica em um único valor de , ilustrado na Figura 10. 
 
Figura 10: Gráfico de uma função 
A expressão 
 
 não é uma função, admite mais de um valor de para cada 
valor de . 
A reta vertical cruza a relação em dois pontos ( √ 
 ) e ( √ 
 ), como ilustra a 
Figura 11. 
 
Figura 11: Gráfico de uma relação. 
Inversa restrita 
Neste caso, a função só admite inversa em parte do domínio. 
A função ( ) , por exemplo, definida apenas para valores de reais 
positivos é biunívoca. Trocando os papeis temos resulta em 
 
 , a qual só 
pertence aos reais se , ou seja, a inversa real existe se , Neste caso, é 
conveniente escrever √ 
 . 
 
19 
Antônio Marcos Araújo AMARTEMÁTICA Funções & Limites 
A Figura 12 mostra o eixo de simetria, a função e sua inversa. 
 
Figura 12: Inversas restritas 
A função raiz quadrada é a função inversa restrita ( ) da função potência de 
grau dois, assim, 
√ 
As funções trigonométricas são funções periódicas, não satisfazem o teste da reta 
horizontal, só admitem inversas restritas. 
Trocando os papeis da função seno, , se obtêm , ou por definição, 
 , a função arco seno é função inversa restrita do seno, tal que se é 
um número real pertencente ao intervalo então é um ângulo, um 
número real pertencente ao intervalo . Por exemplo, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A função arco cosseno é função inversa restrita da função cosseno, tal que se 
 é um número real pertencente ao intervalo então é um 
ângulo, um número real pertencente ao intervalo . Por exemplo, 
 
 
 
 
 √ 
 
 
 √ 
 
 
 
 
 
Observar que seno e cosseno expressam relações entre dois lados, é adimensional 
enquanto o arco seno é um ângulo definido em graus ou radianos. 
Inversa ao produto da função 
A inversa ao produto da função é aquela cuja multiplicação resulta na identidade 
multiplicativa, um, 
 
 
 ( )
 Ou ( ) ( ) 
 
20 
Antônio Marcos Araújo AMARTEMÁTICA Funções & Limites 
Por exemplo, 
Função Inversa ao produto da função 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Não confundir função inversa com função inversa ao produto da função. 
Funções simétricas 
Alguns objetos e funções apresentam simetrias, dentre as quais a simetria em 
relação a um eixo e a simetria em relação a um ponto. 
Um objeto apresenta simetria em relação a um eixo se uma rotação de em 
torno de um eixo de simetria que cruza o objeto ao centro, não altera a forma. O 
pentágono regular apresenta simetria em relação a um eixo, como ilustra a Figura 13. 
Um objeto apresenta simetria em relação a um ponto se uma rotação de em 
torno de um ponto central do objeto, não altera a forma. O paralelogramo apresenta 
simetria em relação ao ponto, conforme ilustrado na Figura 14. 
 
 
Figura 13: Simetria em relação a um eixo, Figura 14: Simetria em relação a um ponto. 
Símbolos matemáticos como , , , , e as letras O, X, I, H apresentam 
simetria em relação a eixo vertical, em relação a um eixo horizontal e em relação a um 
ponto. As letras A, U, T, W, Y, V, M apresentam simetria em relação a um eixo vertical 
(eixo vertical que passa pelo centro). As letras S, Z e N apresentam simetria em relação a 
um ponto (ponto no centro da letra). As letras B e D apresentam simetria em relação a um 
eixo horizontal. As letras como Q, R, P, F, G, K, L, Ç são assimétricas. 
21 
Antônio Marcos Araújo AMARTEMÁTICA Funções & Limites 
Funções com simetria em relação a um eixo 
Uma função é simétrica em relação a um eixo se uma rotação de em 
torno do eixo de simetria não altera a forma (Figura 15), 
. 
Figura 15: Função com simetria em relação a um eixo. 
Se a função é simétrica em relação a um eixo, os valores da função à direita do eixo 
podem ser obtidos dos valores à esquerda do eixo, ou vice-versa, 
 ( ) ( ) 
Por exemplo, se na função da figura, o eixo de simetria é então os valores da 
função para pontos equidistantes do eixo de simetria são iguais entre si, para , 
 ( ) ( ), para , ( ) ( ), para , ( ) ( ), . 
Função par 
Em particular, quando temos a simetria em relação ao eixo , conforme 
ilustra a Figura 16, então a função é denominada de função par, tal que 
 ( ) ( ) 
 
Figura 16: Função par. 
 
22 
Antônio Marcos Araújo AMARTEMÁTICA Funções & Limites 
Funções com simetria em relação a um ponto 
Uma função é simétrica em relação a um ponto ( ) se uma rotação de em 
torno do ponto de simetria não altera a forma (Figura 17) então, 
 ( ) ( ) 
 
Figura 17: Função com simetria em relação a um ponto. 
Por exemplo, se na função da figura, o ponto de simetria é ( ) então valores 
da função para pontos equidistantes do ponto de simetria são relacionados entre si pela 
fórmula, 
 ( ) ( ) 
 ( ) ( ) ( ) 
Ou seja, para , ( ) ( ), para , ( ) ( ), para 
 ( ) ( ), . 
A simetria simplifica a determinação de pontos de uma função com simetria ao 
ponto se a formulação ( ) ( ) for mais simples que a expressão da 
função. 
Função impar 
Em particular, se a simetria é em relação à origem, comomostrada na Figura 18, 
temos a denominada de função ímpar, 
 ( ) ( ) 
 
Figura 18: Função impar. 
 
23 
Antônio Marcos Araújo AMARTEMÁTICA Funções & Limites 
RAÍZES DA FUNÇÃO 
As raízes (do latim com significado de base ou fundamento) ou zeros da 
função são valores de , { }, que satisfazem a condição ( ) , ou 
seja, os valores da função ( ) que interceptam o eixo horizontal ( ). 
 No gráfico da função, o número de cruzamentos pelo eixo horizontal é igual ao 
número de raízes reais diferentes entre si. 
Teorema do valor intermediário 
Se uma equação polinomial real é contínua no intervalo ( ), o teorema do valor 
intermediário garante que se ( ) e ( ) tem o mesmo sinal, então não existem raízes ou 
existe um número par de raízes ( , , , , ) e se ( ) e ( ) possuem sinais diferentes, 
então existe um número impar de raízes ( , 3, , , ). 
A função ( ) , por exemplo, intercepta o eixo em um ponto ( ) tal 
que e , assim , ou seja, uma raiz real, 
 
 
 
 
Neste caso, se então para todo valor tem-se ( ) e para qualquer 
valor obtemos ( ) . 
A Figura 19 mostra o gráfico da função 
 ( ) 
a qual mostra três raízes reais localizadas em { }, 
tal que substituindo ou ou na equação obtemos 
 ( ) . Por exemplo, para , temos, 
 ( ) 
 
 
Figura 19: Função e raízes. 
As raízes são valores especiais ou posições para os quais as funções interceptam a 
base, o eixo horizontal e as árvores interceptam a base, o solo. 
 Entre as raízes se verificam as mais significativas variações no comportamento 
da função, entre duas raízes diferentes sucessivas ocorrem inversões da concavidade da 
função, máximos locais ou mínimos locais (Figura 19). 
24 
Antônio Marcos Araújo AMARTEMÁTICA Funções & Limites 
Polinômio 
O monômio é formado por um único termo e, portanto não envolve soma e 
subtração, 
 ( ) 
Para expoente um e zero, e , se utiliza notação implícita, e 
 . 
Um polinômio (do grego poly (muitos) e monômios) ou função polinomial é uma 
soma de monômios, descrita por equações algébricas com coeficientes 
 e , de grau positivo (maior expoente com coeficiente não nulo, ou e 
 ), na forma geral, 
 ( ) 
 
 
 ∑ 
 
 
 
 
A parcela é o termo constante. A parcela 
 é o termo dominante e o 
coeficiente é o coeficiente do termo dominante. 
O polinômio é dito completo se todos os coeficientes até são diferentes de 
zero, e é denominado incompleto se algum coeficiente de até é igual à zero, por 
definição, . O monômio 
 , por exemplo, é um polinômio incompleto ( 
 ). A função constante ( ) é um polinômio completo de 
grau zero. 
Por exemplo, 
A função constante ( ) é uma função polinomial de grau zero (o zero é 
maior expoente implícito, com coeficiente não nulo), com . 
A função de 1º grau ( ) é uma função polinomial de 1º grau (o um 
é maior expoente implícito com coeficiente não nulo), com , . 
A função do 2º grau ( ) é uma função polinomial de 2º grau 
(dois é o maior expoente com coeficiente não nulo), com , , . 
A função de 2º grau ( ) é uma função polinomial de 2º grau 
(incompleta), com , , . 
A função de 4º grau ( ) é uma função polinomial de 4º 
grau (incompleta), com , , , , . 
25 
Antônio Marcos Araújo AMARTEMÁTICA Funções & Limites 
Teorema fundamental da Álgebra 
 O teorema fundamental da álgebra (TFA) garante que o número de raízes 
(reais e complexas) de uma função polinomial é igual ao seu grau. 
As raízes são os valores de que tornam verdade a equação, 
 ( ) 
 
 
 
 
Forma fatorada do polinômio 
Uma função polinomial racional inteira ( ) pode ser escrita na forma fatorada por 
suas raízes reais ou complexas { }, 
 ( ) ( )( )( ) ( ) 
A relação entre a forma geral e a forma fatorada são descritas através das relações 
de Vieta–Girard, 
 ( ) 
 (∑ 
 
 
) (∑ 
 
 
 
) ( ) ( ) 
Por exemplo, 
 raízes 
 { } ( ) 
 { } ( ) ( ) 
Se as raízes são { } e então 
 
 ∑ 
 
 
 ( ) 
 ( )
 ( ) ( )
 ( ) 
Ou seja, ( ) ( )( ) 
Para as raízes { } e então 
 ( ) ( )( )( ) 
26 
Antônio Marcos Araújo AMARTEMÁTICA Funções & Limites 
Teorema do valor médio das raízes do polinômio 
Igualando o termo de da forma geral com o termo da forma obtida através 
das relações de Vieta–Girard sintetizada, tem-se, 
 (∑ 
 
 
) 
 
 A média das raízes ou valor médio das raízes { } reais e complexas de 
uma função polinomial de grau é, 
 ̅ 
 
 
( ) 
 
 
∑ 
 
 
 
 
 
 
na qual é o grau do polinômio, é o coeficiente do termo de maior grau e é o 
coeficiente do termo de grau . 
O valor médio das raízes de um polinômio com coeficientes reais é sempre um 
número real. Raízes complexas, se existirem, devem ser pares complexos conjugados 
( e ) cuja soma é o numero real . Por exemplo, o polinômio ( ) 
 , possui uma raiz real e duas raízes complexas conjugadas e . O 
valor médio das raízes é, 
 ̅ 
 
 
( ) 
 
 
 ou ̅ 
 
 
 
 
 
 
 ( )
 
 
Por exemplo, 
Raízes Polinômio Valor médio das raízes 
{ } ( ) ̅ 
 ( )
 
 
{ } ( ) ̅ 
 ( )
 
 
{ } ( ) ̅ 
 ( )
 
 
{ } ( ) ̅ 
 
 
 
{ } ( ) ̅ 
 ( )
 
 
{ } ( ) ̅ 
 
 
 
{ } ( ) ̅ 
 ( )
 
 
27 
Antônio Marcos Araújo AMARTEMÁTICA Funções & Limites 
Valor médio das raízes de algumas funções 
O valor médio das raízes função monômio definida por um termo ( ) 
 , ou 
seja, é igual a, 
 ̅ 
 
 
 
 
 
 
O valor médio das raízes de um polinômio completo do 1º grau, função do 1º grau 
ou função afim, ( ) ( ) é igual a, 
 
 ̅ 
 
 
 
 
 
 
A raiz é única e igual ao valor médio, 
 ̅ 
 
 
 
Por exemplo, a raiz e o valor médio da raiz da função ( ) são, 
 ̅ 
 ( )
 
 
 
 
 
O valor médio das raízes para um polinômio ou função do 2º grau ( ) 
 
 é igual a, 
 ̅ 
 
 
 
 
 
 
 A função do 2º grau é simétrica em relação ao eixo ̅, tal que, 
 ( ̅ ) ( ̅ ) 
Para um polinômio ou função do 3º grau ( ) 
 
 o 
valor médio das raízes é, 
 ̅ 
 
 
 
 
 
 
 A função polinomial de 3º grau é simétrica em relação ao ponto ( ̅ ( ̅)), 
 ( ̅) ̅
 ̅
 ̅ 
 Tal que, 
 ( ̅ ) ( ̅) ( ̅ ) 
 
28 
Antônio Marcos Araújo AMARTEMÁTICA Funções & Limites 
CONSIDERAÇÕES SOBRE AS RAÍZESDE FUNÇÕES 
Funções polinomiais de grau , com coeficientes reais, possuem raízes reais ou 
complexas conjugadas. 
 O número de possíveis raízes reais, de uma função polinomial com maior 
expoente impar com coeficientes reais, são { }. 
 O número de possíveis raízes reais, de um função polinomial com maior expoente 
par com coeficientes reais, são { }. 
A função seno apresenta uma raiz na origem e as demais raízes são afastadas 
entre si de . O valor médio das raízes da função seno é zero. 
A função cosseno apresenta uma raiz em ⁄ e as demais raízes são afastadas 
entre si de . O valor médio das raízes da função cosseno é zero. 
A função tangente apresenta uma raiz na origem e as demais raízes são afastadas 
entre si de . O valor médio das raízes da função tangente é zero. 
A função exponencial não possui raízes reais. 
A função logaritmo apresenta uma única raiz real em . 
As funções de grau zero e exponencial, não possuem raízes reais, não cruzam o 
eixo real e não apresentam mudanças de concavidade, são monótonas e exibem um único 
sinal ( ou ) em todo domínio. 
As funções de 1º grau e logaritmo possuem uma única raiz, interceptam o eixo real 
apenas uma vez, não apresentam mudanças de concavidade, são monótonas. 
CONSIDERAÇÕES SOBRE AS SIMETRIAS DAS FUNÇÕES 
Funções simétricas em relação a algum eixo 
 São simétricas em relação a um eixo as funções monômio de expoente 
par, constante, 2º grau e cosseno ou . Todas atendem a equação, 
 ( ) ( ) 
29 
Antônio Marcos Araújo AMARTEMÁTICA Funções & Limites 
Funções simétricas em relação a algum ponto 
 São simétricas em relação a algum ponto ( ( )) as funções monômios de 
expoente impar, constante, 1º grau, 3º grau, seno, tangente, arco seno, arco tangente ou 
 . Todas atendem a equação, 
 ( ) ( ) ( ) 
Casos particulares 
 Funções polinomiais de grau inferior a quatro são sempre simétricas. Funções 
polinomiais de grau zero (simetria a qualquer eixo vertical e simetria a qualquer ponto, 
 ), grau um (simetria a qualquer ponto pertencente à reta), grau dois (simetria ao eixo 
 ̅) e grau três (simetria ao ponto ( ̅ ( ̅))). 
Por exemplo, a função polinomial de 3º grau ( ) . 
 ̅ 
 
 
 
 ( ̅) 
Por simetria, 
 ( ̅ ) ( ̅) ( ̅ ) 
 ( ) ( ) ̅ 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
 ( ) ( ) ( ) e ( ) ( ) 
 ( ) ( ) ( ) e ( ) ( ) 
 ( ) ( ) ( ) e ( ) 
 ( ) ( ) ( ) e ( ) 
 ( ) ( ) ( ) e ( ) 
Cada valor calculado permite determinar outro equidistante do ponto de simetria. 
Funções polinomiais de grau superior ou igual a quatro, em geral, não exibem 
simetria, entretanto se a simetria existir é em relação ao eixo ̅ para grau par ou a ao 
ponto ( ̅ ( ̅)) para grau impar. 
A função constante ( ) é simétrica em relação a qualquer eixo e 
também é simétrica em relação a qualquer ponto ( ). 
 Existem funções que não possuem nenhuma simetria. 
30 
Antônio Marcos Araújo AMARTEMÁTICA Funções & Limites 
VALOR DA FUNÇÃO 
O valor de uma função é o resultado, ou valor de , quando substituímos o valor da 
variável independente , pertencente ao domínio, na regra especificada ( ). 
A função é uma expressão (não ambígua), assim os cálculos deve ser realizados 
em consonância com as leis de precedência intraexpressão, ApPMA. 
O valor da função pode ser numérico ou literal (letras que representam números). O 
valor é numérico se os parâmetros e o argumento são numéricos e é literal se os 
parâmetros ou os argumentos são literais. 
Considere, por exemplo, a função definida através da regra ( ) . 
Argumento Cálculo Resultado Tipo3 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) ( ) ( ) 
 ( ) ( ) ( ) 
 ( ) ( ) ( ) 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
 Se uma função é simétrica em relação a um eixo ou em relação a um ponto então 
para cada valor calculado pode ser obtido outro por simetria. 
A função ( ) é simétrica em relação ao eixo 
 ̅ 
 
 
 
 
 
 
Assim ( ̅ ) ( ̅ ), ou seja, para obtêm-se ( ) ( ), para 
obtêm-se ( ) ( ), para obtêm-se ( ) ( ), . 
A função ( ) é simétrica em relação ao ponto ( ̅ ( ̅)) 
 ̅ 
 
 
 
 
 
 e ( ̅) 
Assim ( ̅ ) ( ̅) ( ̅ ), ou seja, para obtêm-se ( ) ( ), 
para obtêm-se ( ) ( ), para obtêm-se ( ) ( ), . 
 
3
 – tipo numérico, – tipo literal 
31 
Antônio Marcos Araújo AMARTEMÁTICA Funções & Limites 
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE FUNÇÕES 
O gráfico de uma função é formado pelo conjunto de pontos ( , ) traçados sobre o 
sistema de coordenadas cartesianas retangulares ou plano cartesiano (mais detalhes em 
anexo), cujas coordenadas satisfazem a equação ( ). 
Na representação gráfica, ou representação no plano cartesiano, a variável 
independe é alocada segundo o eixo das abscissas (horizontal) e a variável dependente é 
alocada com o eixo das ordenadas (vertical). 
O sistema de coordenadas permite a representação gráfica de pares ordenados 
( ) no plano, o que possibilita interpretar geometricamente os vínculos entre variáveis e 
suas representações: 
1. Conhecida a descrição textual ou a fórmula pode-se obter uma lista ou tabela de 
pares ( ), os quais podem ser representados no plano cartesiano para uma 
representação geométrica, um gráfico, ou; 
2. Dado uma representação geométrica, pode-se obter uma lista de pares ( ), os 
quais permitem uma descrição através de um texto ou quiçá por uma fórmula. 
Os pontos podem ser obtidos e marcados em qualquer ordem, entretanto, por 
convenção, a leitura de uma curva no plano se faz da esquerda para a direita. 
Casos I. Tabela de pontos 
A representação de uma tabela de pontos no plano cartesiano é direta. Cada par de 
pontos da tabela é alocada na posição correspondente. 
Por exemplo, seja uma lista com pares de valores das medidas de um experimento, 
dispostos em uma tabela, na forma, 
 
 
 
32 
Antônio Marcos Araújo AMARTEMÁTICA Funções & Limites 
Os valores admissíveis (conforme a tabela) de são números inteiros positivos, 
 { } e os valores correspondentes de são números reais entre e , 
 { }. 
A Figura 20 mostra os 
pontos marcados no plano. 
Em geral, para facilitar 
a visualização são traçados 
linhas entre pontos (Figura 
21). 
 
Figura 20: por pontos 
 
Figura 21: Por pontos conectados 
O gráfico dos pares permite visualizar o comportamento de em função de , para 
todos os pontos do domínio. 
Casos II. Fórmula 
Para a representação gráfica, no plano cartesiano, de uma fórmula na forma 
 ( ), é necessário preliminarmente computar, como um teste por hipótese, os valores 
das ordenada { } para um conjunto “arbitrário” de abscissas { }pertencentes ao domínio. 
Para a fórmula , tomando arbitrariamente valores de 
 { }, obtemos valores correspondentes de 
 { }. A tabela dos pares e o gráfico são 
os do exemplo anterior. 
Seleção dos valores de entrada 
Os valores de entrada são arbitrários, entretanto o estudo e o conhecimento da 
função fornecem subsídios para especificar quais devem ser utilizados para configurar o 
gráfico da função. 
A quantidade de pontos não é garantia que a figura é representativa do 
comportamento da função. 
 
33 
Antônio Marcos Araújo AMARTEMÁTICA Funções & Limites 
Alguns pontos notáveis do gráfico da função, se existirem, são importantes para o 
traçado do gráfico. 
Existência de raízes. 
Pontos, se existirem, na forma ( ) para os quais a 
função intercepta o eixo horizontal, tal que ( ) . 
Interceptação do eixo vertical. 
Ponto, se existir, na forma ( ) que a função intercepta o 
eixo vertical, tal que ( ), se . Observação, 
para qualquer função polinomial é termo constante, 
 . 
Existência de simetria. As funções polinomiais de grau zero a três, seno, cosseno 
e tangente possuem simetria. 
A escolha do intervalo sem o estudo da função pode acarretar em graves erros de 
interpretação. 
A Figura 22 mostra a função definida pela regra ( ) para 
os pontos { }. 
 
 
Figura 22: Representação insatisfatória. 
 
 
 
 
 
 
No caso, “alguém” precipitadamente, por escolha insuficiente dos valores escolhidos 
da variável independente e a consequente representação insatisfatória, poderia “inferir” 
que a função é sempre decrescente. 
 
34 
Antônio Marcos Araújo AMARTEMÁTICA Funções & Limites 
Entre as raízes se verificam as mais significativas variações no comportamento da 
função, entre duas raízes diferentes sucessivas ocorrem inversões da concavidade da 
função, máximos locais ou mínimos locais. O valor médio das raízes, se este existir, é um 
ponto em torno do qual o gráfico deve ser traçado. 
O estudo mais pormenorizado e abrangente para valores da variável independente 
 iguais a { } mostra que a função ( ) é 
decrescente até um determinado valor de , apresenta um valor mínimo neste ponto, e é 
crescente após este mínimo, descreve uma parábola como ilustra a Figura 23. 
 
Figura 23: Representação satisfatória. 
No exemplo, sabendo que uma função do 2º grau, da forma ( ) , 
descreve uma parábola com um eixo de simetria, ̅ , possui um vértice em 
 ( ̅ ( ̅)). Ou seja, a função ( ) , descreve uma parábola 
com eixo de simetria ̅ ( ) ( ) e vértice em ( ). 
Para representar satisfatóriamente o comportamento da função devemos considerar 
valores de abaixo e a cima do eixo de simetria . Observar que ( ̅) e 
 , ou seja, ( ̅) , portanto a função ( ) não 
possui raízes reais (não intercepta o eixo horizontal). 
Outras informações relevantes para o traçado do gráfico são a tendencia da função 
nas fronteiras, em especial da fronteiras abertas, do domínio consequencia do estudo da 
função nos estremos limites das funções, o limite e; a existência de máximos e minimos 
locais decorrentes do estudo da variação da função, a derivada. 
 
35 
Antônio Marcos Araújo AMARTEMÁTICA Funções & Limites 
FUNÇÕES BASICAS OU ELEMENTARES 
Tomando a função monômio como função de base, as demais funções básicas ou 
elementares ( ) podem ser escritas como uma combinação de funções de base, na 
forma, 
 ( ) ∑ ( )
 
 
 
 
As funções básicas ou elementares são as que podem ser formadas, a partir da 
função de base, por combinações lineares, finitas ou infinitas, e as resultantes de suas 
translações, reflexões, compressões, expansões, adições e subtrações, multiplicações e 
divisões, suas funções inversas, as inversas das funções, compostas e por partes 
elementares. 
A Tabela 2 lista algumas funções básicas ou elementares. 
Função básica Formulação 
Polinomial 
Soma finita de funções de base, multiplicadas por constantes, com 
expoente inteiro. 
 ( ) 
 
 
 
 
 
Grau zero 
Ou função constante é o polinômio cujo maior expoente da potência 
é zero, 
 ( ) 
1º grau 
Polinômio cujo maior expoente da potência é um, 
 ( ) 
2º grau 
Polinômio cujo maior expoente da potência é dois, 
 ( ) 
 
Racional Divisão entre dois polinômios. 
 ( ) 
 ( )
 ( )
 
 
 
 
 
 
Exponencial ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
36 
Antônio Marcos Araújo AMARTEMÁTICA Funções & Limites 
 ( ) ( )
 
 
( ) 
 
 
( ) 
 
 
Logarítmica 
Função inversa da exponencial, 
 ( ) 
 ( ) ((
 
 
) 
 
 
(
 
 
)
 
 
 
 
(
 
 
)
 
 ) 
 ( ) 
 
 
 
 
 
((
 
 
) 
 
 
(
 
 
)
 
 
 
 
(
 
 
)
 
 ) 
Seno ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cosseno ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tangente Divisão entre o seno e o cosseno da variável independente. 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Arco seno 
Função inversa do seno, 
 ( ) 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Arco cosseno 
Função inversa do cosseno, 
 ( ) 
 ( ) 
 
 
 ( 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ) 
Arco tangente 
Função inversa da tangente, 
 ( ) 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cossecante 
Inversa ao produto da função seno. 
 ( ) 
 
 
 
Secante 
Inversa ao produto da função cosseno. 
 ( ) 
 
 
 
Cotangente Inversa ao produto da função tangente. 
37 
Antônio Marcos Araújo AMARTEMÁTICA Funções & Limites 
 ( ) 
 
 
 
Elementar ( ) 
 
 
 
 
Tabela 2: Funções básicas 
A função erro de Gauss, , por exemplo, utilizada para o calculo da integral da 
distribuição normal, definida por uma integral, não é uma função básica ou elementar. 
 
 
√ 
∫ 
 
 
 
 
A função delta de Dirac, ( ), a função impulso não é uma função básica ou 
elementar. 
 ( ) {
∫ ( ) 
 
 
 
 
 
Uma função básica admite representação em série de potências, como pela série de 
Taylor–Maclaurin. 
 
38 
Antônio Marcos Araújo AMARTEMÁTICA Funções & Limites 
FUNÇÃO MONÔMIO 
A função monômio é uma expressão matemática com um único termo definido na 
forma, 
 ( ) 
O número real é denominado coeficiente do monômio e o número natural é o 
denominado grau ou expoente do monômio. 
A figura mostra gráficos de ( ) para e e { }. 
 
 
 
 
 
 
Domínio 
( ) 
 
Imagem 
{ } 
 
 
Domínio 
( ) 
 
Imagem 
{ } 
 
 
 
 
 
Domínio 
( ) 
 
Imagem 
( ) 
 
 
Domínio 
( ) 
 
Imagem 
( )Domínio 
( ) 
 
Imagem 
[ ) 
 
 
Domínio 
( ) 
 
Imagem 
( ] 
 
 
 
 
 
Domínio 
( ) 
 
Imagem 
( ) 
 
 
Domínio 
( ) 
 
Imagem 
( ) 
O valor médio das raízes função do monômio é, 
 ̅ 
 
 
 
 
 
 
39 
Antônio Marcos Araújo AMARTEMÁTICA Funções & Limites 
 A função monômio de grau possui raízes, todas iguais a zero. 
 As funções monômios com expoente par exibem simetria par e funções 
monômios com expoente impar exibem simetria impar. 
FUNÇÃO NULA 
 A função monômio nula, , ( ) 
 é denominada função nula. 
FUNÇÃO CONSTANTE 
 A função monômio constante, , ( ) 
 não varia, é denominada 
função constante. 
FUNÇÃO LINEAR 
 A função monômio do 1º grau, , ( ) 
 , na qual qualquer variação 
de é acompanhada de uma variação exatamente proporcional em , é denominada 
função linear, tal que, 
 ( ) ( ) ( ) 
FUNÇÃO DE 1º GRAU 
A função de 1º grau ou função afim (que tem afinidade, parentesco) permite 
descrever e modelar fenômenos ou processos que admitem um dado valor inicial e 
crescem ou decrescem com taxa constante. 
Um plano de saúde, por exemplo, cobra cinquenta reais por mês e uma taxa fixa de 
quarenta reais por consulta. A equação que modela este processo é definida pela equação 
 na qual o valor de é o número de consultas e é o valor a ser pago. 
Um achocolatado em pó especifica, nas informações nutricionais, . 
A equação que modela o número de calorias fornecido por este achocolatado é dada por 
40 
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 na qual o valor de é a quantidade de gramas do achocolatado e é o número de 
calorias em quilocalorias. 
A representação gráfica da função de 1º grau ( ) é uma 
reta com ângulo de inclinação , que intercepta o eixo vertical em e intercepta o eixo 
horizontal (raiz) em ⁄ (Figura 24). 
Função de 1º grau 
Definição Gráfico Propriedades 
 ( ) 
 
ou 
 
 ( ) 
 
 
Figura 24: Função de 1º grau. 
 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 ⁄ 
 
Simetria 
A função polinomial de 1º grau possui simetria em relação a qualquer de seus 
pontos, ou seja, para qualquer ponto ( ) pertencente à função. 
 ( ) ( ) 
Coeficiente linear 
Para na equação obtemos . 
O coeficiente linear é o valor em da reta quando esta intercepta o eixo e é 
denominado de coeficiente linear da reta. O ponto ( ) pertence a reta . 
Se o valor do coeficiente linear aumenta então o gráfico da função de 1º grau se 
desloca para cima. 
Se o valor do coeficiente linear diminui então o gráfico da função de 1º grau se 
desloca para baixo. 
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Coeficiente angular 
A inclinação da reta é o ângulo que a reta faz 
com relação ao eixo horizontal, como ilustra a Figura 25. 
A medida do ângulo de inclinação pode ser obtida 
indiretamente através de sua tangente. 
 
 
 
 
 ( ) ( )
 
 
 
Figura 25: Ângulo de inclinação. 
O ângulo de inclinação, o declive e o coeficiente angular ( ) explicitam a 
taxa variação, a taxa de crescimento (ou decrescimento) da reta. 
 (
 
 
) 
O coeficiente angular é a razão entre a variação da função no intervalo ( ) 
 ( ) e a respectiva variação no intervalo . 
O coeficiente angular é a medida da variação da função, a declividade ou grau de 
inclinação da reta, é igual à tangente de sua inclinação, 
A Figura 26 ilustra o comportamento da 
função de acordo com o coeficiente angular. 
A reta é crescente se cada valor 
subsequente4 é maior que o antecedente e, 
 
A reta é decrescente se cada valor 
subsequente é menor que o antecedente e, 
 
 
Figura 26: retas crescente, constante e 
decrescente. 
A reta é constante se os valores antecedentes e subsequentes de uma reta são 
iguais, e . 
 
 
4 Por convenção, a leitura, e a descrição, de uma curva no plano se realiza da esquerda para a direita. 
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A Figura 27 mostra uma função do 1º grau crescente. A Figura 28 mostra uma 
função do 1º grau decrescente e a Figura 29 mostra uma função de grau zero, uma 
constante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 27: Reta crescente. Figura 28: Reta decrescente. Figura 29: Reta constante5. 
 
 
 
 
 
 
O valor do coeficiente angular determina o 
valor da taxa de crescimento ou decrescimento da 
função. 
Quanto maior o valor absoluto do coeficiente 
angular maior será a taxa de crescimento ou 
decrescimento. 
 
Figura 30: Coeficiente angular da reta. 
A tabela mostra alguns valores da função do 1º grau com e , 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
Tomando os pontos ( ( ) ) e ( ( ) ) temos, 
 
 ( ) ( )
 
 
 
 
 
 
 
 
O valor do coeficiente angular da reta é uma constante, ou seja, não depende de 
qual par de pontos são considerados (verifique). 
A taxa de variação (ou coeficiente angular) da função ( ) é igual a 
dois. O ângulo de inclinação da reta, em radianos, é . 
 
5
 Não é, efetivamente, uma função de 1º grau, é uma função constante, de grau zero. 
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Reta que passa por dois pontos no plano 
I. Sobre um dado ponto isolado no plano ( ( )) 
passam uma infinidade de funções do primeiro grau 
 ( ) , tal que 
 ( ) 
Ou seja, existem infinitas combinações de e 
que satisfazem um dado ponto no plano, ou ainda, 
por um ponto no plano passam uma infinidade de 
retas. 
 
Figura 31: Reta entre dois pontos. 
II. Só existe, entretanto, um único conjunto de e que satisfazem simultaneamente 
dois pontos ( ( )) e ( ( )). Ou seja, entre dois pontos no plano passa uma 
e somente uma reta, conforme ilustra a Figura 31. 
A reta que passa pelos pontos ( ) e ( ) tem que satisfazer simultaneamente 
as equações das retas que passam pelos dois pontos. 
 
 
 ( ) ( ) ( ) 
Resulta no sistema de equações, 
{
 ( ) 
 ( ) 
 
Resolvendo o sistema de equações, obtemos, 
 
 ( ) ( )
 
 
 ( ) ( )
 
 O coeficiente angular. 
 ( ) ( ) O coeficiente linear. 
É possível ainda determinar 
 
 ( ) ( )
 
 O ângulo de inclinação. 
 
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Exercícios resolvidos 
1. Obter a equação da reta que passa pelos pontos ( ) e ( ). 
Dos dados 
 ( ) ( ) 
 
Solução Gráfico 
 
 ( ) ( )
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 ( ) 
 
Retrospecto 
 ( ) 〈 〉 ( ) 
 
 ( ) 〈 〉 ( ) 
 
O coeficiente linear da reta é igual à zero, e, o coeficiente angular é igual a 
dois, . O gráfico da reta cruza o eixo vertical