2 Simples Composta Equivalência

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Profº Pedro F. Machado, MSc.
Matemática Financeira na HP-12c e Excel
Conceito de capital, juro e 
taxa de juros.
Introdução
2
 A matemática financeira tem como 
objetivo estudar o comportamento do 
capital em função do tempo, em resumo, 
podemos dizer que a matemática 
financeira estuda e analisa as 
transformações do conjunto de entradas e 
saídas de dinheiro ao longo do tempo, 
denominado fluxo de caixa.
Objetivo da matemática 
financeira
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 Juro é a remuneração do capital 
emprestado, podendo ser entendido, de 
forma simplificada, como sendo o aluguel 
pago pelo uso do dinheiro. Se por um lado 
existem pessoas e instituições com capital 
ocioso, os "emprestadores de recursos" 
por outro lado temos pessoas e 
instituições necessitadas de capital para 
desenvolver suas atividades, os 
"tomadores de recursos".
Conceito de juro
2
4
 Será o mercado financeiro que irá estabelecer 
um elo de ligação entre as duas partes, através 
de um leque de opções de investimentos e 
linhas de crédito. O possuidor de dinheiro ao se 
dispor emprestar, deve atentar para os 
seguintes fatores na avaliação da taxa de 
remuneração dos seus recursos:
Conceito de juro
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 Risco
 Probabilidade do tomador do 
empréstimo não resgatar o 
dinheiro.
 Despesas
 Todas as despesas 
operacionais, contratuais e 
tributárias para a 
formalização do empréstimo 
e à efetivação da cobrança.
Riscos
A poupança é um investimento de 
baixo risco. O principal problema aí 
está associado à eventual falência 
do banco onde está aplicado o 
dinheiro.
Nesse caso, o Fundo Garantidor de 
Crédito garante ao investidor o valor 
de até R$ 250 mil. Ou seja, alguém 
que tenha R$ 50 mil irá recuperar 
tudo. 
Porém, se a pessoa tiver R$ 300 mil, 
nesta situação, perderá R$ 50 mil.
A única exceção é a Caixa 
Econômica Federal (CEF). O banco 
garante 100% de devolução do valor 
aplicado na poupança em caso de 
falência.
Conceito de juro
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 Inflação
 Índice de desvalorização do 
poder aquisitivo da moeda 
previsto para o prazo do 
empréstimo.
 Spread
 Margem de ganho ou lucro 
fixado em função das 
demais oportunidades de 
investimentos; justifica-se 
pela privação, por parte do 
seu dono, da utilização do 
capital.
Conceito de juro
3
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 Portanto, a receita de juros deve ser 
suficiente para cobrir o risco, as despesas, 
a perda do poder aquisitivo do capital 
emprestado, além de proporcionar um 
certo lucro ao seu aplicador. 
Conceito de juro
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 Juros é o resultado da 
diferença entre o valor 
inicial e o valor final de 
uma operação financeira:
 A Taxa efetiva é obtida da 
expressão:
 Para expressar a Taxa de 
Juros em porcentos, 
multiplicamos a taxa 
unitária por 100 obtendo-
se:
PVFVJ  PVFVJ 
PV
Ji 
PV
Ji 
 OOPV
Ji 100  OOPV
Ji 100
Conceito de taxa de juros
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Modelos 
de calculadoras 
financeiras da 
linha HP-12C
Modelo 2: Platinum Modelo 3: Prestige
Modelo 1: Tradicional
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Profº Pedro F. Machado, MSc.
Matemática Financeira na HP-12c e Excel
Capitalização Simples
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Capitalização simples
 No regime de capitalização simples, os juros gerados a 
cada período são calculados sobre o capital inicial 
empregado, não incidindo, portanto sobre os juros 
acumulados. A taxa varia linearmente em função do 
tempo, ou seja, se quiser converter uma taxa mensal 
em diária, basta dividi-la por 30, se quiser converter 
taxa mensal em anual, basta multiplicá-la por 12, e 
assim por diante.
 J = Juros
 PV = Valor Presente ou Capital inicial
 FV = Valor Futuro ou Montante
 i = Taxa de juros
 n = Período
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Capitalização simples 
Família de soluções
)1( niPVFV  )1( niPVFV 
ni
FVPV


1 ni
FVPV


1
nPV
Ji


nPV
Ji


iPV
Jn


iPV
Jn


niPVJ  niPVJ 
JFVPV  JFVPV 
 
n
PV
FV
i
1

 
n
PV
FV
i
1

 
i
PV
FV
n
1

 
i
PV
FV
n
1

ni
JPV


ni
JPV


PVFVJ  PVFVJ 
JPVFV  JPVFV 
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Capitalização simples
 É conveniente observar que os juros simples 
podem ser:
 Exatos
 Quando se emprega como unidade de tempo, o 
calendário civil, ano com 365 ou 366 dias, mês com 28, 
29, 30 ou 31 dias, conforme o caso.
 Ordinários
 Quando se emprega na unidade de tempo o calendário 
comercial, ano com 360 dias e mês com 30 dias.
 No nosso curso será utilizado os juros ordinários 
(ano comercial), por ser usual nas instituições 
financeiras.
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Capitalização simples
 Roteiro de cálculo na HP-12c
 A HP-12c possui teclas pré-programadas 
para as operações de juros simples.
 Digitar o capital inicial negativo e 
teclar ;
 Digitar a taxa ao ano e teclar ;
 Digitar o prazo em dias e teclar ;
 Teclar para obter os juros; e
 Teclar para obter o montante. 
INTf
+
PV
i
n
CHS
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Capitalização simples 
- exemplo
 Calcular o valor dos juros e do montante de um 
capital de R$ 20.000,00, aplicado a uma taxa de 
150% ao ano, no regime de capitalização simples por 
218 dias.
 Dados: PV= 20.000 i= 150% aa n= 218 dias
ENTRADA 20.000 150 218
TECLA
VISOR 0,00 -20.000,00 -20.000,00 150,00 218,00
CHS PV
ENTRADA
TECLA
VISOR 18.166,67 38.166,67
ni
INTf
FINf
niPVJ  niPVJ +
JPVFV  JPVFV 
CLxCLx
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Exercícios de juros e 
capitalização simples
 1. Qual o valor dos juros correspondentes a um 
empréstimo de R$ 10.000,00, pelo prazo de 5 meses, 
sabendo-se que a taxa cobrada é de 3% ao mês?
 Dados: PV= 10.000 n= 5 meses i= 3% am
 Resposta: J = R$ 1.500,00.
ENTRADA 10.000 5 30
TECLA
VISOR 0,00 -10.000 -10.000 5,00 150,00 150,00
CHS PV ENTER x
ENTRADA 3 12
TECLA
VISOR 3,00 36,00 36,00 1.500,00
n
ENTER x i INTf
FINf
niPVJ  niPVJ 
CLxCLx
Profº Pedro F. Machado, MSc.
Matemática Financeira na HP-12c e Excel
Capitalização Composta
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Capitalização composta
 No regime de capitalização composta, os juros 
incidirão sobre o saldo existente em cada 
período.
 Considerando-se que o conceito de montante não 
muda, ou seja, montante é igual ao capital inicial 
acrescido dos juros, uma outra forma de 
interpretarmos a definição acima seria: 
 O regime onde os juros de cada período incidem sobre o 
montante acumulado no período anterior.
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Capitalização composta
 A taxa varia exponencialmente em função do 
tempo.
 J = Juros
 PV =Valor Presente ou Capital inicial 
 FV =Valor Futuro ou Montante
 i = Taxa de juros
 n = Período
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Capitalização composta 
Família de soluções
niPVFV )1(  niPVFV )1(  PVFVJ  PVFVJ 
1
1






n
PV
FVi 1
1






n
PV
FVi
niFVPV  )1( niFVPV  )1(
 
)1ln(
ln
i
PV
FV
n


 
)1ln(
ln
i
PV
FV
n


ni
FVPV
)1( 
 ni
FVPV
)1( 

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 Roteiro de cálculo na HP-12c
 Dicas:
 A Calculadora entende o conceito de fluxo 
de caixa, portanto, quando se entra com 
positivo, o sairá negativo e vice-
versa.
 Quando se entra com e , para se 
obter ou , necessariamente o sinal 
de um deles tem que ser trocado ( ), 
ou ocorrerá “Error 5”.
PV
i n
FV
CHS
PV FV
Capitalização composta
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Capitalização composta –
exemplo 1
 Calcular o montante de uma aplicação de 
R$ 15.000,00 pelo prazo de 6 meses, à taxa de 3% ao 
mês.
 Dados: PV = 15.000,00 n = 6 meses i = 3% am
 Resposta: R$ 17.910,78
ENTRADA 15.000 6 3
TECLA
VISOR 0,00 15.000,00 6,00 3,00 -17.910,78
FINfn iPV FV
niPVFV )1(  niPVFV )1( 
CLxCLx
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Capitalização composta –
exemplo 2
 Uma loja de departamentos financia a venda de uma 
mercadoria no valor de R$ 16.000,00, sem entrada, 
para pagamento em uma única prestação de 
R$ 22.753,61 no final de 8 meses. Qual a taxa mensal 
cobrada pela loja?
 Dados: PV = 16.000,00 FV = 22.753,61 n = 8 meses
 Resposta: i= 4,5% am
ENTRADA 16.000 22.753,61 8
TECLA
VISOR 0 -16.000 -16.000 22.753,61 8 4,5
FINf n iPV FVCHS
1
1






n
PV
FVi 1
1






n
PV
FVi
CLxCLx
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Exercícios de 
capitalização composta
 1. No final de dois anos, o Sr. Antonio deverá efetuar 
um pagamento de R$ 200.000,00 referente a um 
empréstimo contraído hoje, mais os juros devidos, 
correspondentes a uma taxa de 4% ao mês. Qual o 
valor emprestado?
 Dados: FV= 200.000 n= 24 meses i= 4% am 
 Solução:
Resposta: PV= R$ 78.024,29
ENTRADA 200.000 24 4
TECLA
VISOR 0 200.000 24 4 -78.024,29
FINf n i PVFV
ni
FVPV
)1( 
 ni
FVPV
)1( 

CLxCLx
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Exercícios de 
capitalização composta
 2. A que taxa um capital de R$ 43.000,00 pode 
ser dobrado em 18 meses?
 Dados: PV= 43.000 FV= 86.000 n= 18 meses 
 Solução:
 Resposta: i= 0,03926 ou 3,93% am
1
1






n
PV
FVi 1
1






n
PV
FVi
ENTRADA 43.000 86.000 18
TECLA
VISOR 0,00 -43.000,00 -43.000,00 86.000,00 18,00 3,93
FINf n iPV FVCHS
CLxCLx
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Equivalência de taxas
 Fórmula genérica:
 iq = Taxa para o Prazo que eu quero
 it = Taxa para o Prazo que eu tenho
 q = Prazo que eu quero em dias
 t = Prazo que eu tenho em dias
1)1(  t
q
itiq 1)1(  t
q
itiq
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 1. Determinar a Taxa anual equivalente a 2% ao mês.
 Dados: it= 0,02 t= 30 dias q= 360 dias
 Resposta: 26,82% aa
Equivalência de 
taxas – exemplos
    .%82,26102,0111 30360 aaii t
q
tq      .%82,26102,0111 30
360
aaii t
q
tq 
ENTRADA 360 30 2
TECLA
VISOR 0,00 360,00 12,00 12,00 2,00
n iENTER ÷FINf
ENTRADA 1 1 100
TECLA
VISOR -1,00 -1,00 1,2682 0,2682 26,82
x–PV FVCHS
CLxCLx
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Exercícios de equivalência 
de taxas
 Determinar a Taxa anual equivalente a 0,19442% ao dia.
 Resposta: iq = 101,22% aa
 Determinar a Taxa trimestral equivalente a 47,746% em dois 
anos.
 Resposta: iq = 5% at
 Determinar a Taxa anual equivalente a 1% à quinzena.
 Resposta: iq = 26,97% aa
 Determinar a Taxa para 183 dias, equivalente a 65% ao ano.
 Resposta: iq = 28,99% aos 183 dias
 Determinar a Taxa para 491 dias, equivalente a 5% ao mês.
 Resposta: iq = 122,23% aos 491 dias
 Determinar a Taxa para 27 dias, equivalente a 13% ao trimestre.
 Resposta: iq = 3,73% aos 27 dias
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PROGRAMA DE TAXAS EQUIVALENTES
Prof. Pedro F. Machado, MSc.
i
n
R / S
it 
q 
t iq 
Como usar o Programa
f P/R
f PRGM
0STO
1 ENTER
i % +RCL
RCL n ENTER
0 yxRCL
1
1 0 0
f P/R
x
Prof. Pedro
30
Referências 
bibliográficas
 ASSAF NETO, Alexandre. Matemática Financeira e suas Aplicações. 8. ed. 
São Paulo: Atlas, 2009.
 COELHO, Sílvio Teixeira. Matemática Financeira e Análise de Investimento. 
São Paulo: EDUSP, 1993.
 KASSAI, José Roberto et al. Retorno de Investimento. São Paulo: Atlas, 
1999.
 LAPPONI, Juan Carlos. Matemática Financeira usando Excel 5 e 7.
Treinamento, 1996.
 MATHIAS, W. Franco, GOMES José M. Matemática Financeira. São Paulo: 
Atlas, 1991.
 MACHADO, Daniel J. Matemática Financeira Aplicada. 6. ed. São Paulo: 
Própria, 1997.
 PUCCINI, A. L. Matemática Financeira: objetiva e aplicada. São Paulo: 
Livros Técnicos e Científicos, 8ª. Ed.: Saraiva 2009. 
 VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Matemática Financeira. 6ª ed.São Paulo: 
Atlas, 2000.
 ZENTGRAF, Walter. Calculadora Financeira HP-12C. São Paulo: Atlas, 
1994.