Cálculo I (Limites e Continuidade)

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Universidade Federal de Campina Grande - UFCG
Centro de Cieˆncias e Tecnologias Agroalimentar - CCTA
Unidade Acadeˆmica de Cieˆncias e Tecnologia Ambiental - UACTA
Disciplina: Ca´lculo Diferencial e Integral I
Professor: Paulo Pamplona
Lista de Exerc´ıcios 02: Limites e Continuidade
01) Calcule os seguintes limites:
a) lim
x→−1
(x3 − 2x2 + 3x)
b) lim
x→2
√
x2 + 3x+ 4
x3 + 1
c) lim
x→0
x2 − x
x
d) lim
x→9
x2 − 81
x− 9
e) lim
x→1
x3 − 1
x− 1
f) lim
x→0
(4 + x)2 − 16
x
g) lim
x→0
√
x+ 2−√2
x
h) lim
x→3
x3 − 27
x− 3
i) lim
x→−3
x2 + 5x+ 6
x2 − x− 12
j) lim
x→0
√
x+ 1− 1
x
k) lim
x→1
x4 + x2 − x− 1
x− 1
l) lim
x→1
(x√x− x+√x− 1
x− 1
)
m) lim
x→0
(2−√4− x
x
)
n) lim
x→0
(1
x
− 1
x2 + x
)
o) lim
x→0
1− cosx
x
p) lim
x→0
sen pi(x− 1)
x
q) lim
x→0
1− cos(2x)
x
r) lim
x→0
1− cos(2x2 + 2x)
x2 + 3x
02) Porque a identidade
x2 + x− 6
x− 2 = x+ 3 esta´ errada e limx→2
x2 + x− 6
x− 2 = limx→2 (x+ 3) esta´ correta.
03) Suponha que 3x ≤ f(x) ≤ x3 + 2 para 0 < x < 2, x 6= 1. Encontre lim
x→1
f(x).
04) Dada f(x) =

3 + x2, se x < −2
0, se x = −2
11− x2, se x > −2,
verifique se existe lim
x→−2
f(x) e esboce o gra´fico.
05) Dada f(x) =
{
|x− 1|, se x 6= 1,
3, se x = 1,
verifique se existe lim
x→1
f(x) e esboce o gra´fico de f .
06) Calcule os limites infinitos e no infinito:
a) lim
x→−∞
4x3 + 2x2 − 5
8x3 + x+ 2
b) lim
x→+∞
√
x2 + 4
x+ 4
c) lim
x→+∞
x+ 4
3x2 − 5
d) lim
x→+∞(
√
x2 + x− x)
e) lim
x→2+
x+ 2
x2 − 4
f) lim
x→3+
√
x2 − 9
x− 3
g) lim
x→0
(1
x
− 1
x2
)
h) lim
x→0−
√
3 + x2
x
i) lim
x→−2+
x2 − 5
x3 − 2x+ 4.
07) Determine as ass´ıntotas horizontais e verticais e esboce o gra´fico das func¸o˜es abaixo:
a) f(x) =
1
x
b) f(x) =
x+ 2
x− 3
c) f(x) =
x− 2
x− 4
d) f(x) =
6− x
3− 2x
e) f(x) =
4x2
x2 − 9
f) f(x) =
2x2 − 6
x2 − 1
g) f(x) =
−3
(x+ 2)2
h) f(x) =
−3x√
x2 + 3
i) f(x) =
1 + x
x2 − 1
2
08) Dada a func¸a˜o

−x+ 3, se x < 2
5, se x = 2
x2 − 1, se x > 2,
determine se f e´ cont´ınua em x = 2 e esboce o gra´fico.
09) Dada a func¸a˜o f(x) =

2− x, se x < −1
x, se − 1 ≤ x < 1
(x− 1)2, se x ≥ 1,
determine se f e´ cont´ınua em x = −1, se
f e´ cont´ınua em x = 1 e esboce o gra´fico de f .
10) Dada a func¸a˜o f(x) =

3x+ 5, se x < −2
x2 − 5, se − 2 ≤ x ≤ 5
5x− 5, se x > 5,
verifique se f e´ cont´ınua em x = −2 e se f
e´ cont´ınua em x = 5.
11) Determine a para que a func¸a˜o f(x) =
{
2x− a, se x < 2
6x− 11, se x ≥ 2;
seja cont´ınua em x = 2.
12) Determine a e b para que a func¸a˜o f(x) =

ax− x2 + b, se x ≤ 1
2x− 2ax2 + 2b, se 1 ≤ x ≤ 3
ax2 − ax− 2b, se x ≥ 3,
seja cont´ınua em x = 1 e em x = 3.
13) Calcule os limites envolvendo composic¸o˜es de func¸o˜es:
a) lim
x→1
ex
3−3x+2 b) lim
x→pi
2
sen[cosx+ senx− 1] c) lim
x→0
e2x − 1
x+ 2
d) lim
x→pi
3
ln(cosx− 3 cos(3x)).
14) Calcule os limites envolvendo func¸o˜es exponenciais e logar´ıtmicas:
a) lim
x→0
(1 + 3x)
1
x
b) lim
x→∞
ex − 1
x
c) lim
x→0
e2x − 1
x
d) lim
x→0
(1 + sen x)cotg x
e) lim
x→∞
x
√
x
f) lim
x→0+
x ln(x)
Respostas
Questa˜o 01:
a) −6; b)
√
14
3 ; c) −1; d) 18; e) 4; f) 8; g)
√
2
4 ; h) 27; i)
1
7
; j)
1
2
; k) 5; l) 1; m)
1
4
; n) 1;
o) 0; p) −pi;
Questa˜o 06:
a) 12 ; b) 1; c) 0; d)
1
2 ; e) +∞; f) +∞; g) −∞; h) −∞.
Questa˜o 07:
a) y = 0 e x = 0; b) y = 1 e x = 3; c) y = 1 e x = 4; d) y = 12 e x =
3
2 ; e) y = 4 e x = ±3;
f) y = 2 e x = ±1; g) y = 0 e x = −2; h) y = ±3; i) y = 0 e x = ±1.
Questa˜o 11: a = 3.
Questa˜o 12: a = −12 e b = −92 .
Questa˜o 13: a) 1; b) 0; c) 0; d) 18; e) 4.
Questa˜o 14: a) e3; b) 1; c) 2; d) e; e) 1; f) 0.
3
15) Mostre que
lim
x→0
sen(ax2 + bx)
cx2 + dx
=
b
d
, d 6= 0 e lim
x→0
1− cos(ax2 + bx)
cx2 + dx
= 0.
16) Suponha que lim
x→a f(x) = L. Mostre que limx→a |f(x)| = |L|.
17) Suponha que f : [a, b]→ R e´ uma func¸a˜o limitada em [a, b]. Mostre que
a) lim
x→0
xf(x) = 0;
b) Se lim
x→a g(x) = 0, enta˜o limx→a g(x)f(x) = 0. Deˆ um contraexemplo para mostrar que se f na˜o e´
limitada, enta˜o essa conclusa˜o na˜o e´ poss´ıvel.
18) Mostre que se |f(x)| ≤ g(x) e lim
x→a g(x) = 0, enta˜o limx→a f(x) = 0.
19) Se lim
x→a f(x) e limx→a
[
f(x) + g(x)
]
existem, o que se pode afirmar de lim
x→a g(x)?
20) Deˆ um exemplo de duas func¸o˜es f e g tais que lim
x→a f(x) e limx→a g(x) na˜o existem, mas que
lim
x→a[f(x) + g(x)] existe.
21) Deˆ um exemplo de uma func¸a˜o f tal que lim
x→a |f(x)| existe, mas que limx→a f(x) na˜o exista.
22) Se lim
x→a[f(x) + g(x)] = 2 e limx→a[f(x)− g(x)] = 1, calcule limx→a f(x)g(x).
23) Determine as constantes a e b para que as seguintes afirmac¸o˜es sejam verdadeiras
a) lim
x→+∞
[x2 + 1
x+ 1
− (ax+ b)
]
= 0 b) lim
x→−∞
ax3 + bx2 + x+ 1
3x2 − x+ 2 = 1.
24) Determine as ass´ıntotas obl´ıquas das seguintes func¸o˜es:
a) f(x) = x+
1
x
b) f(x) =
3x3 + 3x2 − 2x+ 1
x2 + 2x+ 1
c) f(x) = 3−√x2 + 1.