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Optica Geometrica

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1 
 
 
Daniel António Cossa 
 
 
 
Óptica Geométrica 
 
 
2º Ano 
 
 
Lic. Em ensino de Física 
 
Osc. Ondas e Óptica e Lab. de Óptica 
 
 
Universidade Pedagógica 
Faculdade de Ciências Naturais e Matemática 
Departamento de Física 
Maputo, 2015 
 
2 
 
 
Daniel António Cossa 
 
Óptica Geométrica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Universidade Pedagógica 
Faculdade de Ciências Naturais e Matemática 
 Departamento de Física 
Maputo, 2015 
 
Trabalho de investigação realizado 
na cadeira de Osc. Ondas e Óptica 
e Lab. de Óptica para avaliação, 
sob orientação de: 
dr. Amândio António 
dr. Rodrigues Chiziane 
 
3 
 
Índice 
Introdução ....................................................................................................................................... 1 
Objectivos ....................................................................................................................................... 5 
Natureza da Luz .............................................................................................................................. 6 
Corpos luminosos e corpos iluminados .......................................................................................... 7 
Fenômenos Ópticos ......................................................................................................................... 7 
Reflexão da luz - Leis da reflexão .................................................................................................. 9 
Demonstração da 2ª Lei da reflexão pelo princípio de Fermat ..................................................... 10 
Espelhos ........................................................................................................................................ 11 
Espelho plano ................................................................................................................................ 11 
Formação de imagens em espelhos planos ................................................................................... 12 
Translação de espelho plano ......................................................................................................... 12 
Espelhos esféricos ......................................................................................................................... 13 
Espelhos côncavos ........................................................................................................................ 14 
Espelho Convexo .......................................................................................................................... 15 
Formação de imagens em espelhos esféricos................................................................................ 16 
Equação dos espelhos esféricos .................................................................................................... 18 
Refracção da luz – Leis da refracção ............................................................................................ 19 
Leis da refracção da luz ................................................................................................................ 19 
Demonstração da 2ª Lei da refracção pelo princípio de Fermat ................................................... 21 
Lentes ............................................................................................................................................ 22 
Classificação das lentes................................................................................................................. 22 
Elementos de uma lente esférica ................................................................................................... 23 
Refracção em uma superfície esférica .......................................................................................... 24 
Equação dos fabricantes de lentes (Equação de Halley) ............................................................... 25 
4 
 
Construção de imagens em lentes esféricas .................................................................................. 26 
Formação de imagens em lentes convergentes ............................................................................. 26 
Formação de imagens em lentes divergentes ................................................................................ 27 
Determinação analítica das características das imagens ............................................................... 27 
Combinação de lentes ................................................................................................................... 28 
Lentes compostas .......................................................................................................................... 28 
Conclusão ...................................................................................................................................... 28 
Bibliografia ................................................................................................................................... 30 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
1. Introdução 
A óptica é o capítulo da Física que se dedica ao estudo dos fenómenos luminosos em geral. Esta 
é uma das áreas da Física mais antigas, pois é através da visão que o ser humano começa a 
conhecer e a estudar o mundo que o rodeia. A óptica divide-se ainda em vários ramos, que 
estudam aspectos diferentes da luz. 
Portanto, neste trabalho, irei abordar sobre alguns fenómenos luminosos, tratados pela óptica 
geométrica, e as leis experimentais que descrevem o comportamento da luz nesses fenómenos. 
Debruçarei ainda sobre a propagação da luz, das fontes de luz, dos espelhos, e das lentes, onde 
com mais profundidade abordarei sobre a formação de imagens em espelhos e em lentes. Para 
isso, precisamos de conhecer os conceitos fundamentais usados no entendimento do que é a luz e 
de como ela se comporta na Natureza. 
Este trabalho está estruturado de modo que possua uma revisão bibliográfica, onde estão 
definidos os conceitos importantes no estudo dos espelhos e lentes, onde estão explicados os 
processos de formação de imagens em diferentes tipos de espelhos e lentes, possui uma 
conclusão onde está esplanada de forma resumida a conclusão a que cheguei após a realização do 
trabalho e por ultimo possui as referências bibliográficas nas quais me baseie para a realização 
do trabalho. 
1.1. Objectivos 
Objectivo geral 
 Abordar sobre os assuntos relacionados com óptica geométrica. 
Objectivos específicos 
 Conceituar os raios de luz; 
 Abordar sobre a natureza da luz; 
 Apresentar as leis da reflexão e refracção da luz; 
 Explicar o processo de formação das imagens nos espelhos e lentes. 
 
 
6 
 
2. Natureza da Luz 
Teoria corpuscular da luz 
O físico inglês Isaac Newton (1642-1727) apresentou em 1672, uma teoria conhecida como 
modelo corpuscular da luz. Nesta teoria a luz era considerada como um feixe de partículas 
emitidas por uma fonte de luz que atingia o olho estimulando a visão. De acordo com Newton, 
uma fonte luminosa emitia partículas, extremamente pequenas e velozes. Em decorrência disso, 
sua velocidade deveria ser maior na água do que no ar. 
 
Teoria ondulatória da luz 
O físico holandês Cristhian Huygens (1629-1695), afirmou que a luz não era um conjunto de 
partículas, mas oscilações que se propagavam por meio de ondas. A teoria proposta por 
Huygens, exposta no livro Tratado da luz (1690), indica a existência de uma suposta substância, 
um meio transparente que permeia todo o universo, retomando a ideia da “quinta essência”: oéter. Como a onda é a perturbação de um meio material, a oscilação do éter é o que vemos como 
luz, mas esta teoria não foi imediatamente aceita. 
Somente no século XVIII as experiências de Thomas Young e Augustin Fresnel, sobre 
interferência, e as medidas da velocidade da luz em líquidos, realizadas pelo cientista francês 
Foucault, demonstraram a existência de fenómenos ópticos nos quais a teoria corpuscular não se 
aplicava, mas sim uma teoria ondulatória. Young conseguiu medir o comprimento de uma onda, 
e Fresnel mostrou que a propagação rectilínea da luz e os efeitos de difracção, são explicados 
considerando a luz como onda.. 
Na segunda metade do século XIX, James Clerck Maxwell, através da sua teoria de ondas 
electromagnéticas, provou que a velocidade com que a onda electromagnética se propagava no 
espaço era igual à velocidade da luz, cujo valor é, aproximadamente: c = 3 x 10 8 m/s = 300 000 
km/s. 
Maxwell estabeleceu teoricamente que: A luz é uma modalidade de energia radiante que se 
propaga através de ondas electromagnéticas. 
 
 
 
7 
 
Dualidade onda/partícula 
Einstein (1905) usando a ideia de Planck (1900), mostrou que a energia de um feixe de luz era 
concentrada em pequenos pacotes de energia, denominados fotões, que explicava o fenómeno da 
emissão fotoeléctrica. Essa dualidade onda/partícula é uma propriedade geral da natureza. 
 
3. Corpos luminosos e corpos iluminados 
 
Corpos luminosos - são objectos que emitem luz própria, isto é, produzida por si próprios (o 
Sol, as estrelas, uma lâmpada ou uma vela, acesas). 
Corpos iluminados - são aquelas que não produzem luz própria, mas conseguem reflectir a luz 
que recebem, originaria de outra fonte, como por exemplo, a lua, o espelho, os reflectores, etc. 
Raios de luz 
Certos fenómenos luminosos podem ser estudados sem que se conheça previamente a natureza 
da luz; basta para tanto a noção de raio de luz. 
Assim para se representar graficamente a luz em propagação, como, por exemplo a emitida pela 
chama de uma vela, utilizamos a noção de raio de luz. 
Raios de luz são linhas orientadas que representam, graficamente, a direcção e o sentido da 
propagação da luz. 
Um conjunto de raios de luz constitui um feixe de luz. Este pode ser convergente, divergente ou 
paralelo. (Fig.1a), divergente (Fig.1b) ou paralelo (Fig.1c). 
 
Fig.1(a) Fig.(b) Fig.1(c) 
 
4. Fenômenos Ópticos 
Considere um feixe de raios paralelos propagando-se num meio 1 (por exemplo, ar) e inclinando 
sobre a superfície plana S de separação com um meio 2 (por exemplo, água, papel, chapa 
metálica polida etc.). 
8 
 
Dependendo da natureza do meio 2 e da superfície S ocorrem simultaneamente, com maior ou 
menor intensidade os fenómenos de reflexão regular e reflexão difusa, refracção regular e difusa 
da luz e absorção da luz. 
 
Reflexão regular ou especular: o feixe de raios paralelos que se propaga no meio 1 incide sobre 
a superfície plana S e retorna ao meio 1, mantendo o paralelismo. 
 
Fig. 2(a). Reflexão regular 
 
Reflexão difusa ou difusão: o feixe de raios paralelos que se propaga no meio 1 incide sobre a 
superfície S e retorna ao meio1, perdendo o paralelismo e espalhando-se em todas as direcções. 
A difusão é devida às irregularidades da superfície. É por meio da reflexão difusa que 
enxergamos os objectos que nos cercam. 
Fig. 2(b). Reflexão difusa 
Refracção da luz: o feixe de raios paralelos que se propaga no meio 1 incide sobre a superfície S 
e passa a se propagar no meio 2. É o que acontece, por exemplo, quando a luz se propaga no ar e 
incide sobre a superfície livre da água de uma piscina. A refracção neste caso é regular (figura 
3a), possibilitando que uma pessoa no fundo da piscina veja o Sol. Se o meio 2 for translúcido 
como o vidro fosco, os raios refractados perdem o paralelismo e a refracção é difusa (figura 3b). 
 
Fig. 3. Refracção da luz: (a) regular; (b) difusa 
9 
 
Absorção da luz: o feixe de raios paralelos que se propaga no meio 1 incide sobre a superfície S 
e não retorna ao meio1 nem se propaga no meio 2, ocorrendo absorção da luz pela superfície S 
(figura 4). Como a luz é uma forma de energia, sua absorção ocasiona o aquecimento da 
superfície S. 
 
 Fig. 4. Absorção da luz 
 
Na reflexão regular, na reflexão difusa e na refracção, os feixes reflectidos ou refractados 
apresentam energia luminosa menor que a do feixe incidente que lhes deu origem, pois uma parte 
da energia é sempre absorvida. 
 
5. Reflexão da luz - Leis da reflexão 
Considera-se um feixe de raios luminosos que se propaga no ar e incide sobre uma superfície 
lisa. Sabe-se que parte desse feixe será absorvida pela superfície lisa, mas a outra continuará se 
propagando no ar, isso porque ela foi reflectida pela superfície lisa. 
Chama-se o feixe que se encaminha até a superfície lisa de feixe incidente. Já o feixe devolvido 
pela superfície é o feixe reflectido. Quando um feixe tem uma reflexão bem definida, dizemos 
que houve uma reflexão especular ou regular. 
 
Fig. 5. Reflexão especular em uma superfície lisa 
 
 Se traçar-se uma recta normal à superfície (recta perpendicular à superfície), exactamente no 
ponto onde o raio encontra a superfície lisa, tem-se que o raio incidente, o raio reflectido e a 
recta normal pertencerão ao mesmo plano. 
10 
 
Outro facto é que o ângulo î formado entre o raio incidente e a recta normal, chamado de ângulo 
de incidência, será igual ao ângulo, ȓ formado entre a recta normal e o raio reflectido, conhecido 
por ângulo de reflexão. Esses dois princípios são conhecidos como leis da reflexão: 
 
1ª LEI DA REFLEXÃO: o raio incidente, a recta normal à superfície e o raio reflectido 
pertencem ao mesmo plano. 
2ª LEI DA REFLEXÃO: o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão (î=ȓ). 
Fig. 6. O ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão. 
Quase todos os corpos reflectem parte da luz que incide sobre eles, e não apenas as superfícies 
lisas. Por isso é que os raios luminosos chegam até os nossos olhos, e consequentemente 
podemos ver os objectos. 
 
5.1. Demonstração da 2ª Lei da reflexão pelo princípio de Fermat 
Para melhor compreender a reflexão da luz utiliza-se o princípio de Fermat ou princípio de 
tempo mínimo. Observando a figura. 7(a), nota-se que existem várias trajectórias possíveis, para 
um raio luz ir do ponto A ao B por reflexão no plano. 
 
Fig. 7(a) Fig. 7(b) 
 
De acordo com o princípio de Fermat, um raio de luz percorre o trajecto entre dois pontos 
levando sempre o menor tempo possível. A figura 7(b) e o teorema de Pitágoras mostram que o 
comprimento do trajecto de A até o ponto (P) de reflexão no espelho, é √ e que o 
comprimento do trajecto até o ponto B é igual √ . 
11 
 
O tempo de trânsito para ir de A até B é a soma dos tempos gastos pelos raios incidentes e 
reflectidos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
. 
No caso da luz se propagando com velocidade v ao longo do trajecto de A à B, o tempo gasto 
necessário é o comprimento total do trajecto dividido por v. Assim, 
√ √ 
 
. 
Como o valor de t depende de x, o cálculo diferencial diz que, se houver um valor de x que 
minimize t, então 
 
 
 será igual a zero. Logo, calcula-se a derivada, de acordo com Fermat, 
obtendo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[
 
√ 
 
 
√ 
 ]. Igualando a derivada a zero, resulta: 
 
√ 
 
 
√ 
 
O lado esquerdo dessa igualdade é exactamente e o lado direito é exactamente . 
Portanto temos que:Isto significa que, na reflexão o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão. 
 
6. Espelhos 
Espelho é uma superfície que reflecte um raio luminoso em uma direcção definida, sem absorvê-
lo ou espalhá-lo, ou ainda, pode-se considerar um espelho qualquer superfície que reflicta de 
forma regular ou especular a luz. Ao fazer isso, ele permite que os raios luminosos que 
reflectiram em algum objecto possam atingir nossos olhos, permitindo que os visualizemos. 
Agora cabe a mim abordar sobre os principais tipos de espelhos e como se da formação de 
imagens em cada um deles. 
 
6.1. Espelho plano 
É uma superfície lisa e plana, que reflecte de forma regular ou especular a luz. Para compreender 
a formação de imagens em um espelho plano utilizam-se as leis da reflexão. 
 
 
12 
 
6.1.1. Formação de imagens em espelhos planos 
Considera-se um ponto P luminoso ou iluminado colocado em frente a um espelho plano E. Os 
raios de luz reflectidos, pelo espelho e provenientes de P podem ser determinados através das 
leis da reflexão. Sejam, por exemplo, os seguintes raios incidentes vide a figura 8. 
Fig. 8 
A intersecção dos prolongamentos de raios reflectidos IP e JK determina um ponto P´. Da 
igualdade entre os triângulos PIJ e P´IJ resulta: PI =P´I, isto é: P e P´ são equidistantes. 
Por outro lado, sendo qualquer o raio incidente PJ, podemos concluir: Os prolongamentos de 
todos os raios reflectidos no espelho, provenientes de P, passam por P´ (Fig. 9). 
Fig. 9. Prolongamentos do raio reflectido. 
O feixe reflectido no espelho atinge o globo ocular de um observador (fig.9). Para este, o feixe 
parece originar-se em P´. 
O ponto P´ definido pela intersecção de raios emergentes do espelho é denominado ponto 
imagem virtual, em relação ao espelho. 
O ponto P definido pela intersecção de raios incidentes sobre o espelho é denominado ponto 
objecto real, em relação ao espelho. 
 
6.1.2. Translação de espelho plano 
Considerando-se um espelho plano numa posição diante do qual há um ponto objecto P, 
conforme ilustra a fig.10. 
Mantém-se fixo o ponto objecto P e translada-se o espelho até que ele atinja uma nova 
posição . 
13 
 
Sendo o deslocamento experimentado pelo espelho. Obviamente, a imagem, 
inicialmente numa posição , sofrerá também um deslocamento translatório , no mesmo 
sentido que o do espelho, e atingirá uma nova posição , de modo que . 
Pretende-se então determinar em função de o valor do deslocamento da imagem. 
Fig. 10. Translação de espelho plano. 
Tem-se: 
dI = P1P2 = PP2 - PP1 
dE = AB = PB – PA 
A propriedade da simetria nos fornece: 
P1A = PA e P2B = PB 
Então: 
PP1 = PA + P1A = 2.PA 
PP2 = PB + P2B = 2.PB 
Fazendo-se as substituições adequadas tem-se: 
dI = PP2 - PP1 = 2.PB - 2.PA = 2(PB - PA) = 2.dE 
Portanto: dI = 2.dE 
Para um dado ponto objecto fixo, o deslocamento da imagem conjugada por um espelho plano 
em translação é o dobro do deslocamento de espelho e se efectua no mesmo sentido deste. 
 
7. Espelhos esféricos 
É qualquer superfície lisa esférica espelhada. Se a parte espelhada for interna, o espelho é 
côncavo; se for externa, o espelho é convexo. 
 
14 
 
Alguns elementos dos espelhos esféricos são representados na figura 11. 
Fig. 11. Elementos de um espelho esférico. 
C - centro de curvatura (centro de curvatura da esfera que contém a superfície); 
V - vértice (centro geométrico da superfície); 
R - raio de curvatura (distância entre C e V); 
S - eixo principal (recta que contém C e V); 
S’ - eixo secundário (recta qualquer que contém C, mas não passa por V). 
 
7.1. Espelhos côncavos 
Um feixe luminoso, incide sobre um espelho côncavo paralelamente ao seu eixo de simetria, 
como na figura 12 (a). 
Fig. 12(a). Raios luminosos que incidem paralelamente sobre o 
espelho concavo. 
Ao incidir ao espelho, todos os raios serão reflectidos por sua superfície, mas quando isso 
acontecer todos eles se dirigem-se para um mesmo ponto, o foco F. Por esse motivo, pode-se 
dizer que os espelhos côncavos são convergentes (figura 12b). 
Fig. 12(b). Reflexão convergente de um feixe de raios paralelos 
em um espelho côncavo. 
15 
 
A distância entre o foco e o espelho é chamada de distância focal f. Essa distância sempre será 
igual à metade do raio de curvatura do espelho e sua expressão matemática é 
 
 
. 
Algumas características dos espelhos côncavos 
 O centro de curvatura, C, está a uma distância finita e a frente do espelho; 
 O campo de visão diminui com relação ao espelho plano; 
 A distância da imagem aumenta em relação ao espelho plano; 
 O tamanho da imagem aumenta em relação ao espelho plano. 
 
7.2. Espelho Convexo 
O espelho convexo possui um comportamento diferente do espelho côncavo. Quando um feixe 
de raios luminosos incide sobre ele, cada um é reflectido para pontos diferentes, afastando-se 
cada vez mais, motivo pelo qual se pode chamar um espelho convexo de espelho divergente 
(figura 13a). 
Fig. 13(a). Raios luminosos que incide paralelamente sobre um 
espelho convexo, sendo reflectido. 
Desenhando-se o prolongamento dos raios reflectidos, verifica-se que eles se encontram em certo 
ponto. Esse ponto é o foco do espelho convexo, que se situa atrás da superfície reflectora (figura 
13b). 
Fig. 13(b). Reflexão divergente de um feixe de raios paralelos em 
um espelho convexo 
 
 
16 
 
7.3. Formação de imagens em espelhos esféricos 
A imagem que será formada pelo espelho esférico dependerá, essencialmente, da posição do 
objecto em relação ao espelho. Antes disso, devemos nos familiarizar com certos raios luminosos 
que auxiliarão muito na compreensão das imagens, os raios principais. São eles: 
 
Tabela I. Representação dos raios principais para a formação de imagens em espelhos esféricos 
Espelho côncavo Espelho convexo 
Um raio luminoso que incide em um espelho 
côncavo, paralelamente ao seu eixo, reflecte-
se passando pelo foco. 
 
Um raio luminoso que incide em um espelho 
convexo, paralelamente ao seu eixo, reflecte-se 
de tal modo que seu prolongamento passa pelo 
foco. 
 
Um raio que incide em um espelho côncavo, 
passando por seu foco, reflecte-se 
paralelamente ao eixo do espelho. 
 
Um raio luminoso que incide em um espelho 
convexo, de tal maneira que sua direcção 
passe pelo foco, reflecte-se paralelamente ao 
eixo do espelho. 
 
Um raio que incide em um espelho côncavo, 
passando pelo seu centro de curvatura, 
reflecte-se sobre si mesmo. 
 
Um raio luminoso que incide em um espelho 
convexo, de tal maneira que sua direcção 
passe pelo centro de curvatura, reflecte-se 
sobre si mesmo. 
 
17 
 
 
Agora que são conhecidos os raios principais, procede-se da seguinte forma para a formação da 
imagem: 
 Posicionar o objecto no local adequado, acima do eixo de simetria; 
 Traçar dois raios principais saindo do topo do objecto, de forma que um deles incida sobre o 
espelho paralelamente ao eixo de simetria e o segundo seja reflectido paralelamente ao eixo 
de simetria; 
 A imagem será formada no local onde os dois raios reflectidos (ou seus prolongamentos) se 
encontram, entre o ponto de encontro e o eixo de simetria. 
 
Tabela II. Construção de imagens para o espelho côncavo em alguns casos 
Posição do objecto Características da imagem 
Atrás do centro de curvatura C 
 
Imagem real, invertida e reduzida 
Entre o centro de curvatura C e o foco F 
 
Imagem real, invertida e ampliada 
Entre o focoF e o vértice V 
 
 
Imagem virtual, direita e ampliada. 
 
 
18 
 
Para um espelho convexo, o objecto sempre estará atrás do foco e do centro de curvatura, pois 
eles se encontram atrás do espelho. 
Fig. 14. Formação de imagem em um espelho convexo. 
Assim, a imagem será direita, virtual e reduzida. 
7.4. Equação dos espelhos esféricos 
A seguinte relação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
É conhecida como equação dos espelhos esféricos, onde f é a distância focal, a distância da 
imagem ao espelho e a distância do objecto ao espelho. 
A partir dessa relação é possível determinar a que distância de um espelho se forma uma 
imagem, desde que se conheça a sua distância focal e a distância do objecto ao espelho, sendo 
essa imagem real ou virtual. 
Convenção de sinais: 
Para utilizar a equação dos espelhos esféricos, algumas regras devem ser seguidas: 
1ª: a distância sempre será positiva. 
2ª: a distância será positiva se a imagem for real, e negativa se a imagem for virtual. 
3ª: a distância focal será positiva para um espelho côncavo e negativa para um espelho convexo. 
Ampliação 
A ampliação fornecida por um espelho esférico é definida por: 
 
 
. 
Onde m é a ampliação. Os resultados serão interpretados da seguinte forma: 
m> 0 = imagem direita ou m < 0 = imagem invertida 
|m|>1 = imagem ampliada ou |m|<1 = imagem reduzida 
Altura da Imagem 
Conhecendo a altura do objecto e a ampliação m, é possível obter a altura da imagem , 
sendo: 
 
 
19 
 
8. Refracção da luz – Leis da refracção 
A refracção da luz é a mudança na direcção de propagação dos raios luminosos quando estes 
passam de um meio para outro meio diferente, como o ar e a água. 
A refracção acontece devido ao fato de a luz se propagar com velocidades diferentes em meios 
diferentes. Quando a luz atravessa a interface de um meio para outro, essa mudança em sua 
velocidade faz com que os raios mudem a direcção de propagação. 
 
8.1. Índice de refracção 
Para estudar a refracção da luz é suficiente usar o modelo físico de raios luminosos que se 
propagam em linha recta. Mas, como a velocidade da luz muda dependendo do meio no qual se 
propaga, é conveniente definir uma grandeza que permita fazer comparações entre a velocidade 
da luz nos diferentes meios. 
Esse valor é chamado de índice de refracção de um meio e é representado pela letra n. O índice 
de refracção é definido como a razão entre a velocidade da luz no vácuo e a velocidade da luz no 
meio em questão: 
 
 
 
 
8.2. Leis da refracção da luz 
Quando um raio de luz incide na superfície que separa dois meios diferentes, uma parte dos raios 
é reflectida de volta ao primeiro meio e outra parte penetra no segundo meio. Tem-se então o 
raio incidente, o raio reflectido e o raio refractado, como mostra a figura 15. 
Fig. 15. Parte dos raios incidentes é reflectida e parte é 
refractada 
De acordo com o modelo da propagação rectilínea dos raios de luz, e usando considerações 
geométricas, podem-se estabelecer relações entre o raio incidente e o refractado. Essas relações 
definem as leis da refracção. 
20 
 
1ª LEI DA REFRACÇÃO: O raio incidente, o raio refractado e a recta normal estão todos 
contidos em um mesmo plano. 
2ª LEI DA REFRACÇÃO (lei de Snell-Descartes): o quociente entre o seno do ângulo de 
incidência e o seno do ângulo de refracção é constante, característica para cada par de meios 
ópticos: 
 
 
 
Esta lei foi descoberta em 1621 pelo matemático holandês Snell e confirmada em 1638 pelo 
físico francês Descartes. Por isso ficou conhecida como lei de Snell-Descartes ou 2ª lei da 
refracção. Investigações posteriores mostraram que essa constante era a razão entre as 
velocidades da luz nos dois meios, ou seja, 
 
 
 
 
 
 . Pode-se reescrever essa 
igualdade usando a definição de índice de refracção. Para o meio 1 tem-se 
 
 
 e para o meio 
2 tem-se 
 
 
 . 
Substituindo na expressão acima, obtém-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rearranjando a última equação acima, tem-se a forma geral da segunda lei da refracção ou lei 
de Snell-Descartes: 
Algumas observações decorrem da lei de Snell, e estão listadas a seguir. 
 Se , implica que . Então não ocorre refracção, pois não há mudança na 
direcção de propagação do raio. 
 Para o caso em que a luz incide perpendicularmente à interface entre os meios tem-se , 
o que implica . Isso quer dizer que, no caso de incidência normal, não ocorre 
refracção. 
 Se, quando o raio de luz passa de um meio para outro, o índice de refracção aumenta, o raio 
refractado se aproxima da recta normal; se o índice de refracção diminui, o raio refractado se 
afasta da recta normal, como mostram as figuras 16(a) e 16(b). 
Fig. 16(a). Se o raio se aproxima da normal. 
21 
 
Fig. 16(b). Se o raio se afasta da normal. 
 
8.3. Demonstração da 2ª Lei da refracção pelo princípio de Fermat 
Para deduzir a lei da refracção, usando o princípio de Fermat, utilizar-se-á a figura 17, como 
plano contendo a trajectória da luz perpendicular ao plano que separa as regiões de índices de 
refracção . A luz propaga-se do ponto A na primeira região para um ponto a uma distância 
desconhecida x da base da perpendicular ao plano de separação entre os dos meios materiais. O 
comprimento da perpendicular é a. A luz continua o seu caminho na segunda região até B, que 
está a um ponto B, situado a uma distância b do plano de separação. 
De forma similar ao caso da reflexão, existem várias trajectórias possíveis para raio de luz ser 
refractado ao percorrer por dois meios materiais distintos, como mostra a figura 17. 
Fig. 17. Refracção da luz ao atravessar dois meios materiais 
transparentes e distintos. 
O tempo para percorrer do ponto A até B, é igual a soma dos tempos para percorrer de A até a 
superfície P e de P a B. Como os meios têm índice de retracção distintos, a luz terá 
consequentemente velocidades diferentes. Seja estas velocidades no meio 1 e 2, iguais a 
respectivamente. Assim, 
 
 
 
 
 
 
Usando a definição de índice de refracção para um meio material em relação ao vácuo tem-se 
que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 . 
Observando atentamente a Fig. 17, facilmente percebe-se que por considerações geométricas 
tem-se: √ e √ . 
 
22 
 
Portanto o tempo necessário para a luz se propagar ao longo do trajecto A e B é: 
 
 
 
 
 
 
( √ √ ) 
Calculando novamente 
 
 
, obtém-se: 
 
 
 
 
 
[
 
√ 
 
 
√ 
 ] 
De acordo como princípio de Fermat a trajectória real a ser percorrida pelo raio de luz será 
aquela que satisfaz a relação 
 
 
 . Isto significa que:
 
√ 
 
 
√ 
 
Usando relações geométricas tiradas da Fig. 17, pode-se rescrever a equação acima em termos 
dos ângulos de incidência e refracção , como: 
 
9. Lentes 
Uma lente é um corpo transparente limitado por duas superfícies refractoras cujos eixos centrais 
coincidem. 
9.1. Classificação das lentes 
a) Quanto à forma das lentes 
As lentes são denominadas côncavas ou convexas, conforme se apresentam para o observador. A 
denominação de uma lente é realizada, indicando em primeiro lugar a natureza da face menos 
curva, ou seja, aquela que se apresenta com maiorraio de curvatura. Por exemplo, na lente 
côncava - convexa, a face côncava apresenta maior, figura 18 (f). 
Fig. 18 
 
b) Quanto ao comportamento óptico 
Quanto ao comportamento óptico uma lente pode ser convergente ou divergente. 
Lente convergente – quando um feixe de raios paralelos ao eixo principal, incide sobre uma 
lente convergente, emerge convergindo os raios de luz para um ponto denominado foco imagem 
F’ (fig. 19a). 
23 
 
 Fig. 19. a) Foco imagem F'; b) Foco objecto 
A distância do foco F’ à lente é a distância focal imagem f'. Fisicamente o foco imagem F’ 
significa o ponto onde está localizada a imagem de um objecto situado no infinito. Como a lente 
é constituída de dois dioptros, há um segundo foco que é denominado foco objecto F (fig. 19b). 
Lente divergente – quando um feixe de raios de luz, paralelos ao eixo principal, incide em uma 
lente divergente, ele emerge divergindo os raios de luz. Prolongando os raios divergentes, estes 
se interceptam no ponto F’ denominado foco imagem da lente (fig. 20a). O foco objecto F da 
lente divergente é obtido pelo prolongamento dos raios incidentes (fig. 20b). O significado físico 
desses focos é o mesmo para lentes convergentes. 
 
Fig. 20. a) Foco imagem F’; b)Foco objecto F. 
 
9.2. Elementos de uma lente esférica 
Os elementos de uma lente esférica podem ser observados na figura 21. 
Fig. 21. Elementos de uma lente esférica. 
 - dioptro de incidência; 
 - dioptro de emergência; 
 e - centros de curvatura das faces; 
 e - raios de curvatura das faces; 
24 
 
 e - vértices das faces; 
e - espessura da lente que é igual à distância entre e ; 
C - centro ótico da lente; 
Eixo principal - recta que passa pelos centros de curvatura e 
 
9.3. Vergência de uma lente 
A vergência V de uma lente é uma grandeza que corresponde ao inverso da distância focal da 
lente: 
 
 
. A unidade de medida usual é a dioptria (di) que corresponde ao inverso do metro 
(
 
 
). Quando a lente é divergente a distância focal é negativa, portanto, a vergência também será 
negativa. Quando a lente for convergente, a vergência será positiva. 
 
9.4. Refracção em uma superfície esférica 
Considera-se dois meios transparentes, com os índices de refracção e , sendo a fronteira 
entre os dois meios uma superfície esférica de raio R (figura 22a). Admitir-se-á que o objecto 
seja o ponto O no meio do índice de refracção . 
Além disso, considera-se-á raios paraxiais que partem de O fazendo pequenos ângulos com o 
eixo e também uns com os outros. Entretanto todos estes raios, que se originam no ponto objecto, 
serão refractados na superfície esférica e localizados num único ponto I, o ponto imagem. 
Fig. 22(a). Imagem formada por refracção numa superfície 
esférica. 
Analisar-se-á a construção geométrica da figura 22(b), que mostra um único raio partindo do 
ponto O e passando no ponto I. 
25 
 
Fig. 22(b). Geometria para dedução da equação de 
imagens formadas por refracção. 
A lei de Snell dá para este raio refractado: . 
Uma vez que, por hipótese, os ângulos e são pequenos, pode-se usar as aproximações 
 e (com os ângulos em radianos). 
Então a lei de Snell fica: . 
Agora usa-se o teorema “o ângulo externo de um triângulo qualquer é igual a soma dos ângulos 
internos não adjacentes ao a lado oposto”. Assim nos triângulos OPC e PIC, na fig.22(b), tem-se: 
 e 
Se combinar-se as três últimas igualdades e eliminar-se e 2 tem: n n2 n2 n . 
Ainda com a aproximação dos pequenos ângulos então pode-se escrever as relações 
aproximadas: 
d
p
; 
d
 
; 
d
q
. Onde d é a distância assinalada na fig. 22(b). Se substituir-se 
esta igualdade na equação n n2 n2 n e dividir-se por d obtém-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 . 
 
9.5. Equação dos fabricantes de lentes (Equação de Halley) 
Fig. 23. Desenho esquemático para dedução da Equação 
de Halley. 
A ideia essencial para localizar a imagem final de uma lente é usar a imagem formada por uma 
superfície refractora como o objecto de uma segunda superfície refractora. 
26 
 
Considerando uma lente com índice de refracção n e limitada por duas superfícies esféricas de 
raios de curvatura R1 e R2, como demonstra a fig. 23. Um objecto é colocado no ponto O a uma 
distância q em frente da primeira superfície refractora. Neste exemplo q foi escolhido de modo a 
tornar-se uma imagem virtual I1, localizada à esquerda da lente. Esta imagem é usada como o 
objecto da segunda superfície, de raio R2, o que leva à formação de uma imagem real I2. Assim 
sendo a equação do fabricante de lentes é dada por: 
 
 
 
 
 
 (
 
 
 
 
 
) 
 
9.6. Construção de imagens em lentes esféricas 
Para a construção de imagens em lentes esféricas são utilizados três raios: 
Raio 1: Raio que incide paralelo ao eixo principal refracta passando pelo foco imagem F'. 
Raio 2: Raio que incide passando pelo centro óptico da lente C, não sofre desvio. 
Raio 3: Raio que incide passando pelo foco objecto F, refracta paralelo ao eixo principal. 
 
 Formação de imagens em lentes convergentes 
a) Formação de imagem real em lente convergente: o> 2f 
O objecto encontra-se afastado da lente de uma distância maior que 2f, ou seja o > 2f, nesse caso 
imagem formada é real, invertida e menor. O raio paralelo converge para o foco F1, que está do 
outro lado, e o raio que passa pelo foco F2 sai paralelo do outro lado. 
Fig. 23(a). Construção de imagem real em uma lente convergente 
b) Formação de imagem real na lente convergente: 2f > o >f 
O objecto encontra-se mais próximo da lente do que antes, porém ainda a uma distância maior 
que f, ou seja 2f > o > f, nesse caso a imagem é mais afastada, real, invertida e maior. 
27 
 
Fig. 23(b). Construção de imagem real em uma lente convergente 
c) Formação de imagem virtual na lente convergente 
O objecto encontra-se a uma distância da lente menor que f e a imagem formada é virtual, direita 
e maior. 
Fig. 23(c). Construção de imagem virtual em uma lente convergente 
 
 Formação de imagens em lentes divergentes 
a) Formação de imagens em lentes divergentes 
Nas lentes divergentes, as imagens formadas são sempre virtuais, direitas e menores. 
Fig. 24. Construção de imagem em uma lente divergente 
9.7. Determinação analítica das características das imagens 
 Equação de Gauss para lentes esféricas 
A equação de Gauss para lentes esféricas é a mesma que para espelhos esféricos. Relaciona a 
distância focal f com a distância imagem q e a distância objecto p: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
28 
 
9.8. Combinação de lentes 
Tendo-se duas ou mais lentes finas, pode-se encontrar a imagem final produzida pelo sistema 
achando a distância imagem para a primeira lente e então usá-la, juntamente com a distância 
entre as lentes para encontrar a distância objecto para a segunda lente. Isto é, considera-se cada 
imagem, independentemente de ela ser real ou virtual, e se ela é realmente formada ou não como 
objecto para a próxima lente. 
 
 Lentes compostas 
Quando duas lentes finas de comprimento focais e são colocadas juntas, o comprimento 
focal efectivo da cominação é dado por 
 
 
 
 
 
 
 
 
 e a potência das duas lentes em contacto é 
dada por . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
29 
 
10. Conclusão 
Após a realização do trabalho e leitura do mesmo pude concluir que: um espelho plano é uma 
superfície lisa e plana, onde os raiosincidentes são reflectidos em ângulos iguais a seus ângulos 
de incidência. Os raios divergem a partir do objecto e depois divergem a partir do espelho, o 
prolongamento destas linhas levam até o ponto onde a imagem é formada e é chamada virtual, 
pois se forma atrás do espelho. 
Conclui também que espelho esférico é toda superfície lisa, de forma esférica que reflecte 
especularmente a luz. Se a luz estiver se reflectindo na superfície interna, diz-se que o espelho é 
côncavo, se a luz reflectir na superfície externa, diz-se que o espelho é convexo. Para obtenção 
da imagem, em espelhos esféricos, procede-se de forma semelhante à forma de obter imagens em 
espelhos planos. Entretanto deve-se levar em conta a seguinte propriedade das esferas: toda recta 
que passa pelo centro da esfera, é perpendicular a esta ou a sua superfície. 
Sobre as lentes, conclui que uma lente é um corpo transparente limitado por duas superfícies 
refractoras cujos eixos centrais coincidem. Lentes estas que podem ser classificadas quanto sua 
forma (concavas e convexas) e quanto a seu comportamento óptico (divergentes e convergentes). 
Em geral pude concluir que para a formação de imagens nos espelhos baseia-se nas leis de 
reflexão da luz, enquanto para a formação de imagens nas lentes baseia-se nas leis de refracção 
da luz. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
30 
 
11. Bibliografia 
1. GASPAR, A. Física: Ondas, Óptica, Termodinâmica – Volume 2. Ática. São Paulo, 2005. 
2. NICOLAU G.; TOLEDO P. & RAMALHO JR. Os fundamentos da Física II: Termologia, 
Óptica e Ondas, Moderna, 1985. 
3. TIPLER, A. Paul. Física: Electricidade e Magnetismo, Óptica – Volume 2, 4ª edição, LTC, 
1999.

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