F129 apostila 4. Lei de Escala

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Lei de Escala 
	
  
R. Urbano/L. E. E. de Araújo 
Introdução 
Em ciência, o trabalho experimental freqüentemente envolve o estudo da relação entre 
duas variáveis mensuráveis. Um exemplo comum em F 129 seria a relação entre a 
distância s percorrida por uma esfera em queda livre e o tempo t de queda. Em um 
experimento deste tipo, a variável dependente (distância) é medida para vários valores da 
variável independente (tempo). Os dados de tal experimento podem ser registrados no 
formato de uma tabela: 
Tabela 1 – Tempo de queda e a distância percorrida durante 
a queda livre de uma esfera de aço. 
Tempo (s) Distância (m) 
0,89 4 
1,26 8 
1,55 12 
1,79 16 
2,00 20 
2,19 24 
2,37 28 
2,53 32 
 
Entretanto, números em uma tabela como a acima não transmitem facilmente a natureza 
da relação existente entre as variáveis. Assim, para facilitar a visualização desta relação, 
lançamos os dados da tabela em um gráfico. Vemos na Figura 1 que a relação entre 
distância e tempo não é linear. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1 – Distância percorrida por uma esfera em queda livre 
em função do tempo de queda em um gráfico de escala linear. 
Quando uma das grandezas medidas (s) apresenta uma dependência não-linear com 
relação a outra variável (t), dizemos que s segue uma Lei de Escala dada por: 
€ 
s = k⋅ t n (1) 
Perceba que é muito difícil olharmos para uma curva como a da Figura 1 e afirmarmos com 
confiança se o comportamento é quadrático, cúbico, etc. 
Entretanto, uma simples transformação de variáveis pode converter a relação entre as 
grandezas em uma dependência linear. Aplicando a função logarítmica em ambos os lados 
da Equação (1), obtemos: 
 
€ 
log(s) = log(k) + n log(t) (2) 
Portanto, podemos identificar a Equação (2) com a equação de uma reta: y = A + B x se 
fizermos y = log(s) e x = log(t). O coeficiente angular 
 
€ 
B = y2 - y1x2 - x1
= log(s2) - log(s1)log(t2) - log(t1)
 (3) 
 
irá fornecer o expoente n da Lei de Escala pois n = B. O coeficiente linear A dá a constante 
de proporcionalidade k da equação (1) pois log(k) = A, ou k = 10A. Devemos lembrar que o 
coeficiente linear corresponde ao valor de y quando x = 0, ou y(0). 
Aplicando a função logarítmica nos dados da Tabela 1 encontramos: 
 
Tabela 2 – Logaritmo do tempo t e da distância percorrida s 
durante a queda livre da esfera de aço. 
log(t) (s) log(s) (m) 
-0,05 0,60 
0,10 0,90 
0,19 1,08 
0,25 1,20 
0,30 1,30 
0,34 1,38 
0,37 1,45 
0,40 1,51 
 
Agora, se fizermos um gráfico do log(s) em função do log(t) utilizando um papel milimetrado 
(de escala linear) com os dados da Tabela 2, obteremos a reta mostrada na Figura 2. 
O coeficiente angular B deve ser calculado a partir de dois pontos P1 e P2 quaisquer da reta 
que melhor se ajusta aos pontos experimentais. 
Obs: Jamais utilize pontos experimentais da Tabela 2 no caçulo de B a não ser que eles 
façam parte da reta. 
Por exemplo, os pontos (0,10; 0,90) e (0,40; 1,51) indicados pelas setas azuis se encontram 
sobre a reta neste caso, e portanto podem ser utilizados no cálculo de B, mas nem sempre 
isso acontece. Assim, substituindo esses valores na Equação (3): 
 
€ 
B = y2 - y1x2 - x1
= log(s2) - log(s1)log(t2) - log(t1)
= 1,51- 0,9040,00 - 0,10 = 2 → n = 2 (4) 
Para encontrarmos o coeficiente linear A, no gráfico, procuramos pelo valor de log(s) para 
log(t) = 0 
Nesse caso, 
€ 
A = log(k) = 0,7 e então, 
€ 
k =100,7 ≅ 5 m/s2 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2 – Logaritmo da distância s percorrida por uma esfera em queda livre 
em função do logaritmo do tempo de queda t em um gráfico de escala linear 
(papel milimetrado). A distância é medida em metros e o tempo em segundos. As 
linhas tracejadas indicam como encontrar o coeficiente linear da reta. 
 
Alternativamente, podemos trabalhar com um papel em escala logarítmica. Nesse caso, não 
é necessário tirar o logaritmo dos valores da Tabela 1. O próprio papel se encarrega de 
fazer isso. 
A Figura 3 mostra um gráfico log-log dos dados da Tabela 1. Aqui, o coeficiente angular 
pode ser calculado a partir da Equação (3), novamente escolhendo-se dois pontos da melhor 
reta (e não necessariamente dois pontos da tabela), ou neste caso em particular, com 
uma régua medindo-se os catetos do triângulo retângulo. 
Da Figura 3, 
€ 
B = y2 - y1x2 - x1
= 4,4 cm2,2 cm = 2 → n = 2,0 (5) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3 – Distância s percorrida por uma esfera em queda livre em 
função do tempo de queda t em utilizando um gráfico de escalas 
logarítmicas. As linhas tracejadas indicam como determinar o 
coeficiente linear da reta, uma vez que log(1) = 0. 
 
Já a constante de proporcionalidade k é encontrada no gráfico log-log pelo valor numérico 
de s para t = 1 (pois log(1) = 0), mas com a unidade apropriada. Da Figura 3, para t = 1,0, 
temos s = 5,0; logo, k = 5,0 m/s2. 
Uma alternativa mais simples para se linearizar a equação (1) é possível quando já se 
conhece o expoente n da Lei de Escala. Através de uma transformação (mudança) de 
variáveis, fazemos y = s e x = tn, de modo que a constante k seja agora o coeficiente angular 
da reta 𝑦 = 𝑘𝑥. 
Ainda em relação ao experimento de queda livre, para n = 2, se fizermos y = s e x = t2, então 
um gráfico linear de y vs. x deverá mostrar os pontos experimentais dispostos ao longo de 
uma reta, como mostrado na Figura 4. O coeficiente angular da reta é: 
 
€ 
k = s2 - s1x2 - x1
= 32 − 4640 - 0,90 = 5,1 m/s
2 (6) 
 
Resumindo, para encontrar graficamente o expoente n da Lei de Escala 
€ 
s = k⋅ t n há duas 
maneiras: 
1. calcular o coeficiente angular da reta de log(s) vs. log(t) em um gráfico linear ou 
2. calcular o coeficiente angular da reta de s vs. t em um gráfico log-log. 
Para encontrar graficamente a constante de proporcionalidade k há três maneiras: 
1. calcular o coeficiente linear da reta de log(s) vs. log(t) em um gráfico linear 
determinando o valor de log(s) para log(t) = 0, ou 
2. determinar na reta em um gráfico log-log de s vs. t o valor de s para t = 1, ou 
3. calcular o coeficiente angular da reta de s vs. tn em um gráfico linear, conhecendo n. 
4,4 cm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4 – Distância s percorrida por uma esfera de aço em queda 
livre em função do quadrado do tempo de queda t.