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Curso Matemática Para Concursos II – Módulo III 
 
 
LEMBRETE: Todos os módulos do curso são revisados pela equipe www.somaticaeducar.com.br , 
quaisquer divergência com sinais, números, símbolos, soluções dos exercícios, problemas de digitação 
ou outros problemas, a www.somaticaeducar.com.br deverá ser comunicada imediatamente para que 
sejam resolvidos tais problemas. 
 
1 
 
 
MATEMÁTICA PARA CONCURSOS II 
 
 
Módulo III 
 
Neste Módulo apresentaremos um dos principais assuntos 
tratados em concursos públicos e um dos mais temíveis por parte 
dos alunos: “Progressão Aritmética e Progressão Geométrica”. 
Pesquisei sobre a História das Progressões e encontrei um 
link que você deve ler antes de começar nossa aula: 
http://www.unopec.com.br/revistaintellectus/_Arquivos/Jan_Jul_04/PDF/Artigo_Valeria.pdf 
 
 
 
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2 
 
 Progressões Aritméticas (P.A.) 
 
É uma sucessão de termos em que a diferença de cada termo e seu 
precedente, a partir do segundo, é sempre constante. Essa diferença é 
chamada razão da progressão aritmética. 
 
Na seqüência genérica (a 1 ,a 2 ,a 3 ...a 1n− ,a n ), temos: 
a 2 -a 1 = a 3 -a 2 = ... = a n -a 1n− = r = razão da P. A. 
 
Exemplo: 
 
(3, 8, 13, 18) é uma P.A., onde a 1 = 3 e r = 5 
 
A P.A. é finita ou limitada, se tiver número finito de termos. 
A P.A. é infinita ou ilimitada, se tiver número infinito de termos. 
 
Classificação: 
Quanto ao valor da razão, uma P.A., pode ser: 
 
- Crescente, se 0r〉 
Exemplo: (1, 3, 5, 7, 9) = r = 2 
 
-Decrescente, se 0r〈 
Exemplo: (6, 4, 2, 0) = r = -2 
 
- Estacionária ou constante, se 0r = 
Exemplo: (5, 5, 5, 5) = 0r = 
 
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3 
Fórmula do termo geral 
 
 a n = a 1 + ( 1n − ) ⋅ r 
 
Exemplos: 
 
1) Calcular o 10 0 termo da P.A. (1, 3, 5, ...) 
 
Solução: 
 
a 1 = 1 
r = 2 
n = 10 
a 10 = ? 
 
 Esclarecimentos: 
 
a 1 = primeiro termo que aparece na P.A. neste caso é o número 1. 
 
r = razão. Numa P.A. descobre-se a razão subtraindo o segundo termo 
do primeiro ou o terceiro termo do segundo e assim em diante. Neste caso 
3 – 1 = 2 ou 5 – 3 = 2, então r = 2. 
 
n = seria o “lugar” onde está o termo. Neste caso pede-se o 10 0 termo, 
quer dizer que o termo procurado está no 10 0 lugar. 
 
a 10 = é o termo procurado. Ainda não sei???? 
 
 
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4 
 a n = a 1 + ( 1n − ) ⋅ r 
 a 10 = 1 + (10-1) ⋅ 2 
 a 10 = 1 + 9 ⋅ 2 
 a 10 = 19 
 
Resposta: O 10 0 termo é o número 19. 
 
2) Numa P.A., o 1 0 termo vale 2 e o 6 0 termo vale 17. Calcular a razão. 
 
Solução: 
 
a 1 = 2 
a 6 = 17 
r = ? 
n = 6 
 a n = a 1 + ( 1n − ) ⋅ r 
 a 6 = a 1 + ( 1n − ) ⋅ r 
 17 = 2 + (6 - 1) ⋅ r 
 17 = 2 + 4 ⋅ r 
 -5 r = 2 - 17 
 r = 
15
5
 
 r = 3 
 
Resposta: A razão é 3. 
 
Esclarecimentos: Mas de onde eu tirei n = 6? 
O problema está me dizendo que o 1 0 termo vale 2, isto é, a 1 = 2 e o 6 0 
termo vale 17, isto é, a 6 = 17 → 6 0 lugar está o número 17, então, n = 6. 
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5 
Poderíamos, também completar a P.A.: 
 
- Sabemos que o 1 0 termo é 2 e que o 6 0 termo (último termo) é 17, 
então: 
 
P.A. = (2, ..., 17) 
 
Achamos a razão que é 3 → r = 3, então: 
 
P.A. = (2, 5, 8, 11, 14, 17) 
 
2 + 3 = 5 
5 + 3 = 8 
8 + 3 = 11 
11 + 3 = 14 
14 + 3 = 17 
 
Propriedades (P.A.) 
 
1 0 ) Em toda a P.A., um termo qualquer, excetuando-se os extremos, é 
média aritmética entre o seu antecedente e o seu conseqüente. 
 
(1, 3, 5, 7, 9) = 5 9 7
2
+
= 
3 5
42
a a
a
+
= 
(a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 ) 3 7 52
+
= 
2 4
32
a a
a
+
= 
 
1 5 3
2
+
= 
1 3
22
a a
a
+
= 
 
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6 
2 0 ) Em toda a P.A. limitada, a soma de dois termos eqüidistantes dos 
extremos é igual à soma dos extremos: 
 
 
 
3 0 ) Em toda P.A. de um número ímpar, o termo central ou termo médio é 
a média aritmética dos extremos. 
 
 
Exercícios 
 
1) Calcular x , sabendo-se que (2, x , 8) são 3 termos consecutivos de 
P.A. 
 
Solução: 
 Aplicando 1 a propriedade: 
 
2 8 5
2
+
= 
Resposta 
 
Podemos provar: 
 (2, 5, 8) 
 
 5 - 2 = 3 
 8 - 5 = 3 r = 3 
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7 
 
2) Qual é o valor de x , dados os números ( x + 1, 10, x + 15) em P.A.? 
 
Solução: 
 
P.A.: ( x + 1, 10, x + 15) 
 
 Aplicando a 3 a propriedade 
 
 
1 15 10
2 1
x x+ + +
= 
 
2 16 20
2 20 16
2 4
4
2
x
x
x
x
+ =
= −
=
=
 
 
 
3) Encontre o valor de a
−
, sabendo-se que 2 a, a + 10, a + 18 formam 
progressão aritmética nesta ordem. 
 
Solução: 
 
PA = (2 a, a + 10, a + 18) 
 
 
2 18 10
2
2 18 2( 10)
3 18 2 20
3 2 20 18
a a
a
a a a
a a
a a
+ +
= +
+ + = +
+ = +
− = −Resposta 
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8 
 
PA = (2a, a + 10, a + 18) 
PA sendo a = 2 (4, 12, 20) 
 
3) Quanto deve valer x
−
 a fim de que os números (4 x + 1), (x-2), ( 2x - 5), 
nesta ordem fiquem em P.A. 
 
Solução: 
 
 
2
2
2
2
4 1 5 2
2 1
4 1 5 2 4
4 2 4 4 0
2 0
( 2) 0
0
2
I
II
x x x
x x x
x x x
x x
x x
x
x
+ + − −
=
+ + − = −
− + − + =
+ =
+ =
=
= −
 
 
Resposta = 0x = ou 2x = − 
 
 Interpolação 
 
Interpolar ou inserir K meios aritméticos entre os termos a 1 e a n significa 
determinar K termos que devem formar a P.A. onde a 1 e a n sejam os 
extremos. Podemos observar que a quantidade de termos é 2n K= + e 
que nos falta apenas a razão da P.A. Esta razão é dada por: 
 
 
1
1
n
a a
r
k
+
=
+
 
 
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9 
 Soma dos termos 
 
 
1( )
2
n
a aS n+= ⋅ 
 
Exercícios 
 
1) Determine o valor da soma dos vinte primeiros termos da sucessão 
(10, 13, 16, 19,...) 
 
Solução: 
 
a 1 = 10 
r = 3 
a n = ? 
nS = ? 
n = 20 
 
a n = a 1 + ( 1n − ) ⋅ r 
a 20 = 10 + (20 - 1) ⋅ 3 
a 20 = 10 + 19 ⋅ 3 
a 20 = 67 
 
1( )
2
n
n
a a nS + ⋅= 
S 20 = 
10 67 20
2
+
⋅ 
S 20 = 770 
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10 
 
Resposta: O valor de S 20 = 770. 
 
2) Um produtor colheu em 10 dias sua produção de maçãs. No primeiro 
dia colheu 11 dúzias; no segundo dia 12 dúzias e assim por diante. 
Qual foi o total da produção colhida? 
 
Solução: 
Progressão aritmética 
 
10
10
1
10
?
?
r
n
a
S
=
=
=
=
 
 
1
10
10
10
1
10
10
10
( 1).
11 (10 1).1
11 9
20
, (11,12,..., 20)
( )
.
2
11 20
.10
2
155
Re .
n
n
a a n r
a
a
a
Entao
a aS n
S
S dúzias
sposta
= + −
= + −
= +
=
+
=
+ 
=  
 
=
 
 
Prova real: 
Temos uma PA = r = 1 e 10a =20 
 
PA = (11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20) 
 
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11 
Somando (11+12+13+14+15+16+17+18+19+20) temos o total de 155 
dúzias. 
 
3) Inscrevendo nove meios aritméticos entre 15 e 45, determine o 6 0 
termo da P.A. 
 
 
 
a 1 = 15 
a n = a 11 = 45 
n = 11 último termo fica no 11 0 lugar 
r = ? 
 
 a n = a 1 + ( 1n − )⋅ r 
 a 11 = a 1 + ( 1n − ) ⋅ r 
 45 = 15 + (11 - 1) ⋅ r 
 45 = 15 + (10) ⋅ r 
 - 10 r = 15 - 45 
 - 10 r = - 30 
 r = 3 descobrimos a razão então sempre adicionamos (+3) 
na PA existente: 
 
PA = (15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45) 
15 + 3 = 18 
18 + 3 = 21... 
 
Então logicamente qual é o 6 0 termo da P.A.? 
 É o n 0 30 
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12 
 
 
 
 Fórmula usada para dois termos quaisquer 
 ( )n ka a n k r= + − ⋅ 
 
Exemplo: Numa PA de razão 3, cujo 8 0 termo vale 10, o valor do 15 0 
termo é: 
 
a n = a k + ( n k− ) ⋅ r 
a 15 = a 8 + (15 - 8) ⋅ 3 
a 15 = 10 + (15 - 8) ⋅ 3 
a 15 = 10 + 7 ⋅ 3 a 15 =210 Resposta 
 
 
 
 
 
 
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13 
Progressão Geométrica (PG) 
 
É uma sucessão de termos não-nulos em que o quociente de cada termo 
e seu precedente, a partir do segundo, é sempre constante. Esse 
quociente é chamado razão da progressão geométrica. 
 
Na seqüência (a 1 , a 2 , a 3 , .... a 1n− , a n ), temos 
32
1 2 1
n
n
a aaq
a a a
−
= = = ⋅⋅⋅ = 
q = razão da P.G. 
 
Exemplo: 
 
(1, 2, 4, 8, 16) é uma P.G. onde a 1 = 1 e q = 2 
 
A P.G. é finita ou limitada, se tiver um número finito de termos. 
A P.G. é infinita ou ilimitada, se tiver um número infinito de termos. 
 
Classificação da P.G. 
 
Quanto ao valor da razão: 
 
- Crescente 
 
a) se 1 0a 〉 e 1q〉 
Exemplo: (1, 2, 4, 8, 16) 
 
 
 
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14 
b) se 1 0a 〈 e 0 1q〈 〈 
Exemplo: (-8, -4, -2, -1) 
 
- Decrescente: 
 
a) se 1 0a 〉 e 1a q〈 〈 
Exemplo: (20, 10, 5) 
 
b) se 1 0a 〈 e 1q〉 
Exemplo: (-1, -2, -4, -8) 
 
- Oscilante, quando 0q〈 
Exemplo: (-2, -6, -18, -54) 
 
- Estacionária, quando 1q = 
Exemplo: (2, 2, 2, 2, 2) 
 
 Fórmula do termo geral 
 
1
1
na a qn
−
= ⋅ 
 
Exemplo: Calcular o 1 0 termo da P.G. cujo 6 0 termo vale 1 e a razão 2. 
 
Solução: 
 
a 1 = ? a 6 = a 1 ⋅ 1nq − 
a 6 = 1 1 = a 1 ⋅ 2 6 1− 
q = 2 1 = 2 5 ⋅ a 1 
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15 
n = 6 2 5 a 1 = 1 
 32a 1 =1 
 a 1 = 
1
32
 Resposta 
 
 Fórmula para dois termos quaisquer 
 
n k
n ka a q
−
= ⋅
 
 
Exemplo: Numa P.G. de razão 3, cujo 5 0 termo vale 8, o valor do 9 0 termo 
é: 
 
Solução: 
 
q = 3 a 9 = a k ⋅ n kq − 
a k = a 5 = 8 a 9 = 8 ⋅ 3 9 5− 
k = 5 a 9 = 8 ⋅ 3 4 
a 9 = ? a 9 = 648 Resposta 
n = 9 
 
Propriedades 
 
1) Em toda PG, qualquer termo em módulo excetuando-se os extremos, é 
média geométrica entre o seu antecedente e o seu conseqüente. 
 
(3, 6, 12, 24, ...) = 6 = 3 12⋅ 
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16 
(a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , ...) = a 2 = 1 3a a⋅ 
 
2) Em toda PG limitada, o produto de dois termos eqüidistantes dos 
extremos é igual ao produto dos extremos. 
 
(1, 2, 4, 8, 16, 32) = 2 ⋅ 16=1.32 
(a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 ) = 2 5a a⋅ = 1 6a a⋅ 
 
3) Em uma PG de número ímpar de termos, o termo central em módulo é 
média geométrica entre os extremos. 
 
(1, 2, 4, 8, 16) = 4 = 1 16⋅ 
(a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 ) = a 3 = 1 5a a⋅ 
 
Interpolação 
 
Interpolar ou inserir k meios geométricos entre os termos a 1 e a n 
significa determinar k termos que devem formar uma PG onde a 1 e a n 
sejam extremos. Podemos observar que a quantidade de termos é 
2n k= + e que nos falta apenas a razão da PG. Essa razão é dada por: 
 
anq = k+1
a1
 
 
 
 
 
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17 
Exercícios 
 
1) O 3 0 e o 5 0 termo de uma progressão geométrica crescente valem 1 e 
9, respectivamente. Calcule o 4 0 termo: 
 
PG = (a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 ) 
( , ,1, ,9)1 2 4PG a a a= 
1 9 9 3⋅ = = 
 a 4 = 3 1 a propriedade 
 
2) Calcule x , se x , 2x + e 6x + estão em progressão geométrica, nesta 
ordem: 
 
Solução: 
 
PG = ( x , 2x + , 6x + ) 
 
 ( 6) 2x x x⋅ + = + 
 ( Ι ) 
 
2 6x x+ = 2 22 2 2x x+ ⋅ ⋅ + ( ΙΙ ) 
 
 
 2 4x = 
 
4
2
x = 
 Resposta 
 
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18 
A PG ficaria, 2x = 
PG = (2, 2+2, 2+6) 
PG = (2, 4, 8) 
 
Observação: 
 
Ι ) Para excluir a raiz quadrada do lado esquerdo da igualdade, elevou-se 
ao quadrado os dois lados da igualdade. 
 
ΙΙ ) No lado direito da igualdade foi aplicado produtos notáveis (“o 
quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo 
mais duas vezes o primeiro, vezes o segundo, mais o segundo termo ao 
quadrado”). 
 
 
3) Interpole 3 meios geométricos entre 3 e 243, sendo a P.G. oscilante: 
 
Solução: 
 
 
 
PG oscilante quando 0q〈 
 
Podemos aplicar diretamente a fórmula para acharmos a razão ( q ). 
 
k = meios geométricos 
2n k= + 
 
 
1
1
nk
aq
a
+= 
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19 
3k = 4 243
3
q = 
2n k= + 4 81q = 
n = 3 + 2 
 5n = 
 
 a 1 = 3 
 
 a 5 = 243 
 
= 
43 
 
Sabemos que a razão é 3, então: 
 
 
 
PG = (3, 9, 27, 81, 243) 
 
3 ⋅ 3 = 9 
9 ⋅ 3 = 27 
27 ⋅ 3 = 81 
81 ⋅ 3 = 243 
 
 
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20 
Soma dos termos da PG finita 
 
A soma dos termos de uma PG finita é dada por: 
 
1
1
n
n
a q aS
q
−
=
−
 ou 1
( 1)
1
n
n
a qS
q
−
=
−
 
 
Exemplo: 
 
Calcular a soma dos 10 primeiros termos da PG (1, 2, ...) 
 
Solução: 
 
10S = ? 1
( 1)
1
n
n
a qS
q
−
=
−
 
a 10 = ? 10S = 
( )101 2 1
2 1
⋅ −
−
 
n = 10 10S = 1023 Resposta 
a 1 = 1 
q = 2 
 
Soma de PG decrescente e ilimitada 
 
Uma PG é decrescente e ilimitada se / / 1q 〈 e n →∝ . 
Numa PG decrescente e ilimitada, quando n →∝ , o último termo tende a 
zero. 
 
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ou outros problemas, a www.somaticaeducar.com.br deverá ser comunicada imediatamente para que 
sejam resolvidos tais problemas. 
 
21 
 
1
1
aS
q∝
=
−
 
 
Exemplo: 
 
1) A soma dos infinitos termos da PG 1 11, , ,...
2 4
 
 
 
 é: 
 
 
1
1
aS
q∝
=
−
 
1 1
1 2 11
2 2
S
∝
= =
−
−
 
 
1
1
2
S
∝
= 
a 1 = 1 
21
1
S
∝
= ⋅ 
1
12
1 2
q = = 2S
∝
= Resposta 
 
 Produtos dos termos da PG 
 
O produto dos termos da PG (a 1 , a 2 , ..., a n ) é: 
 
( 1)
2
1
n n
nP n a q
−
= ⋅ 
 Ou 
 1( )nnP n a a= ⋅ 
 
 
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22 
Caso a P.G. tenha termos negativos, o sinal do produto é dadopelo 
número de termos negativos: 
 
a) se houver um número par de termos negativos, o produto é positivo. 
b) Se houver um número ímpar de termos negativos, o produto é 
negativo. 
 
Exemplo: 
 
Calcular o produto dos 8 primeiros termos da PG (1, 2, 4, ...). 
 
a 1 = 1 
nq = 2 
n = 8 
 
 
( 1)
2
1
n n
nP n a q
−
= ⋅ 
 
8(8 1)
8 21 2P n
−
= ⋅ 
 
8(7)
28 1 2P = ⋅ 
 
56
28 1 2P = ⋅ 
 
288 1 2P = ⋅ 
 
288 2P = 
 
 
 
 
 
 
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23 
 
 Profissão 
 
Três sujeitos discutiam quem tinha a profissão mais antiga. 
 
- Não que eu queira contar vantagem- disse o marceneiro -, mas os meus 
antepassados construíram a Arca de Noé. 
 
- Isso não é nada!- respondeu o jardineiro.- Foram os meus antepassados 
que plantaram o Jardim do Éden. 
 
- Tudo bem- disse o eletricista -, mas quando Deus disse “ Haja luz” , 
quem vocês acham que tinha puxado toda a fiação ???? 
Fonte: http://piadas.piadas.com.br 
 
 
 
 Exercícios 
 
1) Determine a razão da PG conhecendo dois de seus termos: 
 
a) a 1 = 6 a 6 = 192 
 
 
n k
n ka a q
−
= ⋅ 
 
a n = a 6 = 192 
 n = 6 
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24 
a k = a 1 = 6 6 1192 6 q −= ⋅ 
 k = 1 5192 6q= 
q = ? 56 192q = 
 
5 192
6
q = 
 
 
 2q = Resposta 
 
 = 
52 
 
2) Determine o número de termos da PG (1, 2, ..., 256). 
 
Solução: 
 
 a 1 = 1 a n = 256 
 q = 2 n = ? 
 
 
1
1
n
n
a a q −= ⋅ 
 
1256 1 2n−= ⋅ 
 
12 256n− = 
 
 1 8n − = 
 9n = 
 
Resposta: a PG tem nove termos. 
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25 
 
 
3) Interpole 6 meios geométricos entre 1 e 128. 
 
Solução: 
 
 
 
a 1 = 1 
1
1
n
n
a a q −= ⋅ 
q = ? 18 1 na a q −= ⋅ 
a 8 = 128 8 1128 1 q −= ⋅ 
n = 8 7 128q = 
 
7 72
2
q
q
=
=
 
 
Então 2q = , é só multiplicarmos: 
 
 
 
1 ⋅ 2 = 2 16 ⋅ 2 = 32 
2 ⋅ 2 = 4 32 ⋅ 2 = 64 
4 ⋅ 2 = 8 64 ⋅ 2 = 128 que é o último termo o a 8 . 
8 ⋅ 2 = 16 
 
 
4) Obtenha a soma dos 6 primeiros termos da PG (7, 14, ...) 
 
Solução: 
 
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26 
 
6 1
6
6
6
1
1
2 17
2 1
64 17
2 1
nqS a
q
S
S
 −
= ⋅ 
− 
 −
= ⋅ 
− 
− 
= ⋅ 
− 
 
 
6
6
7 63
441
S
S
= ⋅
=
 
 
Resposta: A soma dos 6 primeiros termos da PG é 441. 
 
5) Comprei um automóvel e vou pagá-lo em 7 prestações crescentes de 
modo que a 1 a prestação é de 1000 unidades monetárias e cada uma 
das seguintes é o dobro da anterior. Qual é o preço do automóvel? 
 
Solução: 
 
PG = (1000, 2000, 4000, 8000, 16000, 32000, 64000) 
 a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 , a 7 
 
a 1 = 1 000 
a 7 = 64000 
q = 2 
n = 7 
 
 
7
7
2 11000
2 1
S  −= ⋅ 
− 
 
7
7
1000 127
127000
S
S
= ⋅
=
 
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27 
 
Resposta: O automóvel custou R$127000 
 
Observação: bastaria somar: 
 
1000 + 2000 + 4000 + 8000 + 16000 + 32000 + 64000 = 127000. 
 
6) (FUV - 83 – Modificado) Calculando um dos ângulos de um triângulo 
retângulo, sabendo que os mesmos estão em P.G. obtemos: 
 
a) ( ) 02 1 90− ⋅ 
b) ( ) 03 1 45− ⋅ 
( ) 0) 5 1 45c
−
− ⋅ 
d) ( ) 07 90− ⋅ 
e) ( ) 02 2 45+ ⋅ 
 
Observação: usar PG de 3 termos ( )2, ,x xq xq . 
No triângulo retângulo o maior ângulo mede 90 0 ( x = 90 0 1q〈 ). 
Fazer a soma dos termos acima igual a 180 0 (soma dos ângulos internos 
num triângulo). 
 
Solução: usando a PG de 3 termos ( )2, ,x xq xq faremos x = 90 0 , então as 
medidas serão (90 0 , 90 0 q , 90 0 2q ), onde 0 1q〈 〈 , pois o maior Ângulo no 
triângulo retângulo mede 90 0 . 
 
 
Então: 90 0 + 90 0 q + 90 0 2q = 180 0 
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28 
 
 Aplicar Bháskara 
 
 
290 90 90 180q q+ + = 
 
 
2 1 0q q+ − = 
 
2 4
2
b b acq
a
− ± −
= 
 
( )1 1 4 1 1
2
q
− ± − ⋅ ⋅ −
= 
 
1 5
2
q − ±= 
 
1 5
2
qΙ − += 
 
1 5
2
qΙΙ − −= (não convém) 
 
Logo, substituindo (90 0 , 90 0 q , 90 0 2q ) 
 
 
( ) ( )( )0 0 090 , 45 1 5 , 45 3 5− + − os ângulos do triângulo medirão estes 
valores. 
 
Alternativa c é a correta 
 
 
 
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29 
 
7) (FUV - 83 – Modificado) Três números distintos formam uma P.A. 
crescente, cuja soma é três. Seus quadrados, mantendo a respectiva 
ordem, formam uma PG. Qual é a razão da P.A.? 
 
a) 1 b) 2 c
−
) 2 d) 3 e) 2
2
 
 
Usar a PA de três termos 
 
  
 
x - r,x,x +r
a ,a ,a1 2 3
 
Pelo enunciado (a 21 ; a 22 ; a 23 ) é PG, então: 
2 2
3 2
2 2
2 1
a a
a a
= 
 
Se a PA é crescente, então 0r〉 
 
A razão se calcula, por exemplos, 2 1r a a= − 
 
Solução: 
 
Usando a PA de três termos ( ), ,x r x x r− + teremos: 
 
3x r x x r− + + + = (enunciado) 
Onde 1x = 
 
Logo, PA fica ( )1 ,1,1r r− + mas ( ) ( )( )2 21 ,1, 1r r− + é PG conforme 
enunciado então, ( )
( ) ( ) ( )
2
2 2
2
11 1 1 1
11
r
r r
r
+
= → + ⋅ − =
−
 
 
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30 
 
 
 
( )21 1r− = 
( )22 2 21 2 1 1− ⋅ ⋅ + =r r 
2 41 2 1r r− + = 
2 42 0r r− + = 
 
( )2 2r -2+r = 0 
 coloca em evidência 2r 
2
I
r = 0
r = 0
 
 
22 0r− + = 
 
2 2r = 
 
2r ΙΙ = ± 
 
 
 Alternativa c é a correta 
 
8) (Colégio Bandeirantes; Z., A.A .) Em uma progressão aritmética de termos 
positivos, os três primeiros termos são 1 a− , a− , 11 a− . O quarto 
termo desta P.A. é: 
 
a) 2 b
−
) 3 c) 4 d) 5 e) 6 
 
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31 
Dados três termos consecutivos de uma PA, o termo do meio é igual à 
média aritmética dos outros dois, ou seja, se ( ), ,a b c é PA, então 
2
a cb += . 
 
Solução: 
 
Como ( )1 , , 11a a a− − − é uma PA, temos: 
 
 
( )1 11
2
a a
a
− + −
− = 
 2 1 11a a a− = − + − 
 
 ( ) ( )2 22 1 1 11a a a− − ⋅ − ⋅ + = − 
 
2 2 1 11a a a+ + = − 
 
2 2 1 11 0a a a+ + + − = 
 
2 3 10 0a a+ − = 
 
2 4
2
b b ac
a
− ± −
 
 
( )3 9 4 1 10
0
2
− ± − ⋅ ⋅ −
= 
 
3 7 0
2
− ±
= 
 2aΙ = 5aΙΙ = − 
 
 
 
 
 
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32 
 
Substituindo: 
 
 2aΙ = 
 
( ) ( )1 , , 11 1 2, 2, 11 2a a a− − − = − − − 
 ( )1, 2,3= − − 
 
2
b d
c
+
= 
 
23
2
d− +
= 
 2 6d− + = 
 6 2d = + 
 8d = falso 
 5aΙΙ = − 
( ) ( )1 5, 5, 11 5 6,5, 4+ + + = 
 a b c d? 
 
2
b d
c
+
= 
 
54
2
d+
= 
 5 8d+ = 
 8 5d = − 
 3d = verdadeira 
 Alternativa b é a correta. 
 
 
 
 
 
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33 
9) (Colégio Bandeirantes; Z., A . A .) Para todo n
−
 natural não nulo, sejam as 
seqüências. 
 
(3, 5, 7, 9, ..., a n , ...) 
 
(3, 6, 9, 12, ..., b n , ...) 
 
1 2 3( , , ,..., ,...)nC C C C 
 
Com n n nC a b= + . Nessas condições, 20C é igual a: 
 
a) 25 b) 37 c
−
) 101 d) 119 e) 149 
 
Observação: a primeira seqüência dada é uma PA de razão 2 e a 
segunda seqüência dada é uma P.A. de razão 3. O termo geral de uma 
PA é 1 ( 1)na a n r= + − ⋅ 
 
Solução: 
 
 
A seqüência (3, 5, 7, 9, ... a n , ..) é uma PA de razão 2, então: 
 
1 ( 1)na a n r= + − ⋅ 
3 ( 1) 2na n= + − ⋅ 
 
A seqüência (3, 6, 9, 12, ... b n , ...) é uma PA de razão 3, então: 
 
1 ( 1)nb b n r= + − ⋅ 
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34 
3 ( 1) 3nb n= + − ⋅ 
 
Como n n nC a b= + 
 
20 20 20C a b= + 
( ) ( )20 3 20 1 2 3 20 1 3C = + − ⋅ + + − ⋅       
20 101C = 
Letra c é a correta.