Matrizes

Prévia do material em texto

Notas de aula: 5 _Matrizes 
TÓPICOS 1 
Profa. Angelita Minetto Araújo 
UTFPR 
DAMAT 
 
 
1 
 
Aula n. 5 – Matrizes 
 
As matrizes servem para representar dados e efetuar o 
cruzamento de informações. 
As matrizes são muito utilizadas para a resolução de 
sistemas de equações lineares e transformações lineares. 
 
{
𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 5
3𝑦 + 2𝑧 = 1
𝑥 + 𝑧 = 1
 
 
[
1 2 −1 | 5
0 3 2 | 1
1 0 1 | 1
] 
 
Uma equação linear, é uma equação com uma ou mais 
variável em que cada variável tem expoente igual a um e não 
pode existir multiplicação nem divisão entre elas. 
 
ax + by+ cz = 0 é uma equação linear 
as variáveis são: x, y e z e os seus expoentes são iguais a um 
(x¹, y¹, z¹). 
 
Exemplo – Dados podem ser apresentados em uma tabela ou 
quadro. 
 
Notas de aula: 5 _Matrizes 
TÓPICOS 1 
Profa. Angelita Minetto Araújo 
UTFPR 
DAMAT 
 
 
2 
 
 A partir dessas informações podemos construir uma 
matriz: 
Exemplo: bombons x preço x kcal 
 
 
 
MATRIZES 
 
As matrizes são estruturas matemáticas organizadas na 
forma de tabela com linhas e colunas, utilizadas na 
organização de dados e informações. 
 
Definições: 
Notas de aula: 5 _Matrizes 
TÓPICOS 1 
Profa. Angelita Minetto Araújo 
UTFPR 
DAMAT 
 
 
3 
 
1. Ordem: Se a matriz A tem m linhas e n colunas, dizemos 
que a ordem da matriz é m×n 
 
2. Posição de um elemento: a posição de cada elemento 
𝑎𝑖𝑗 = 𝑎( 𝑖, 𝑗) é indicada pelo par ordenado (i, j). 
Onde: i = linha j = coluna 
 𝒂𝒊𝒋 = 𝒂𝟏𝟏 𝒂𝒊𝒋 = 𝒂𝟐𝟑 
 A = 
[
 
 
 
 
𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟏𝟐 𝒂𝟏𝟑
𝒂𝟐𝟏 𝒂𝟐𝟐 𝒂𝟐𝟑
𝒂𝟑𝟏 𝒂𝟑𝟐 𝒂𝟑𝟑]
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura disponível em: http://www.estudopratico.com.br/matriz/ 
 
http://www.estudopratico.com.br/matriz/
Notas de aula: 5 _Matrizes 
TÓPICOS 1 
Profa. Angelita Minetto Araújo 
UTFPR 
DAMAT 
 
 
4 
 
3. Notação para a matriz: Indicamos uma matriz por letras 
maiúsculas A, B, C, D, ..., P, ... 
O símbolo 𝑃𝑚×𝑛 (ℝ) indicará o conjunto de todas as 
matrizes de ordem 𝑚 × 𝑛 de elementos reais. 
4. Diagonal principal: A diagonal principal da matriz é 
indicada pelos elementos da forma 𝑎( 𝑖, 𝑗) onde 𝑖 = 𝑗. 
 A = 
[
 
 
 
 
𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟏𝟐 𝒂𝟏𝟑
𝒂𝟐𝟏 𝒂𝟐𝟐 𝒂𝟐𝟑
𝒂𝟑𝟏 𝒂𝟑𝟐 𝒂𝟑𝟑]
 
 
 
 
 
5. A diagonal secundária de uma matriz quadrada de ordem 
n é indicada pelos n elementos. 
A = 
[
 
 
 
 
𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟏𝟐 𝒂𝟏𝟑
𝒂𝟐𝟏 𝒂𝟐𝟐 𝒂𝟐𝟑
𝒂𝟑𝟏 𝒂𝟑𝟐 𝒂𝟑𝟑]
 
 
 
 
 
 
Exemplo: ordem da matriz (3X3) 
Notas de aula: 5 _Matrizes 
TÓPICOS 1 
Profa. Angelita Minetto Araújo 
UTFPR 
DAMAT 
 
 
5 
 
{
𝑖2 − 𝑖 , 𝑠𝑒 𝑖 𝑗
𝑖𝑗 , 𝑠𝑒 𝑖 = 𝑗
2 𝑖 − 𝑗, 𝑠𝑒 𝑖 j para o elemento 𝑎21: 2 + 2 (1) = 2 + 2 = 4 
 i63 −7
8 −10]
 
 
 
 
3 𝑥 2
 
 
Para encontrar a matriz oposta de uma matriz qualquer 
basta trocar os sinais dos elementos. 
 Matrizes iguais ou igualdade de matrizes: dada uma 
matriz A e uma matriz B, as duas poderão ser iguais se 
somente seus elementos correspondentes forem iguais. 
Notas de aula: 5 _Matrizes 
TÓPICOS 1 
Profa. Angelita Minetto Araújo 
UTFPR 
DAMAT 
 
 
10 
 
 
𝐴 =
[
 
 
 
 
50 −11
− 63 7
−8 10 ]
 
 
 
 
3 𝑥 2
 𝐵 =
[
 
 
 
 
50 −11
− 63 7
−8 10 ]
 
 
 
 
3 𝑥 2
 
As matrizes A e B são iguais, pois seus elementos 
correspondentes são iguais. 
 
8. Matriz Triangular Superior é uma matriz quadrada 
onde 0ija para i > j. 
A = 
[
 
 
 
 
𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟏𝟐 𝒂𝟏𝟑
𝒂𝟐𝟏 𝒂𝟐𝟐 𝒂𝟐𝟑
𝒂𝟑𝟏 𝒂𝟑𝟐 𝒂𝟑𝟑]
 
 
 
 
 
 
 











100
270
091
A
 




 

10
91
B
 















1000
2100
0600
3031
C
 
 
 
 
Notas de aula: 5 _Matrizes 
TÓPICOS 1 
Profa. Angelita Minetto Araújo 
UTFPR 
DAMAT 
 
 
11 
 
9. Matriz Triangular Inferior é uma matriz quadrada onde 
0ija para i[
1 2
2 4
] . [
−2 4
1 −2
] = [
0 0
0 0
] 
 
M6: Nem sempre vale o cancelamento: Se ocorrer a 
igualdade AC = BC, então nem sempre será verdadeiro que A 
= B. 
 
A transposta de uma matriz e suas propriedades 
Dada uma matriz A=[a(i,j)] de ordem m×n, definimos a 
transposta da matriz A como a matriz 
At = [a(j,i)] 
e segue que as linhas de A se transformam nas colunas de At. 
 𝑨 =
[
 
 
 
 
𝟓 𝟖 𝟑
𝟒 𝟕 𝟐
𝟔 𝟏 𝟗]
 
 
 
 
 → 𝑨𝒕 = 
[
 
 
 
 
𝟓 𝟒 𝟔
𝟖 𝟕 𝟏
𝟑 𝟐 𝟗]
 
 
 
 
 
 
Propriedades das matrizes transpostas 
T1: A transposta da transposta da matriz é a própria matriz. 
Notas de aula: 5 _Matrizes 
TÓPICOS 1 
Profa. Angelita Minetto Araújo 
UTFPR 
DAMAT 
 
 
19 
 
(At)t = A 
T2: A transposta da multiplicação de um escalar por uma 
matriz é igual ao próprio escalar multiplicado pela 
transposta da matriz. 
(kA)t = k (At) 
T3: A transposta da soma de duas matrizes é a soma das 
transpostas dessas matrizes. 
(A + B)t = At + Bt 
T4: A transposta do produto de duas matrizes é igual ao 
produto das transpostas das matrizes na ordem trocada. 
(A B)t = Bt At 
 
Matrizes simétricas e anti-simétricas e suas 
propriedades 
 Uma matriz A é simétrica se é uma matriz quadrada tal 
que: 
At = A 
Notas de aula: 5 _Matrizes 
TÓPICOS 1 
Profa. Angelita Minetto Araújo 
UTFPR 
DAMAT 
 
 
20 
 
Seja 𝐴 = [
1 5 9
5 3 8
9 8 7
] 
Logo, a transposta de A será: 𝐴𝑇 = [
1 5 9
5 3 8
9 8 7
] 
 Uma matriz A é anti-simétrica se é uma matriz quadrada 
tal que: 
At = - A 
Seja 𝐴 = [
0 3 4
−3 0 −6
−4 6 0
] 
Logo, a transposta de A será: 𝐴𝑇 = [
0 −3 −4
3 0 6
4 −6 0
] 
 
A oposta de A será: − 𝐴 = [
0 −3 −4
3 0 6
4 −6 0
] 
 
Exercícios sobre matrizes: 
 
1. Calcule o produto das matrizes: 
Notas de aula: 5 _Matrizes 
TÓPICOS 1 
Profa. Angelita Minetto Araújo 
UTFPR 
DAMAT 
 
 
21 
 
a. A.B, sendo 𝐴 = [
1 3 −1
−2 −1 1
] e 𝐵 = [
−4 0 3 −1
5 −2 −1 1
−1 2 0 6
] 
b. M.N, sendo 𝑀 = [
2 3 4
3 5 −4
4 7 −2
] e 𝑁 = [
𝑥
𝑦
𝑧
] 
2. Sejam: 
a. 𝐴 = [
1 2
3 4
] 𝑒 𝐵 = [
5 7
6 8
], calcule A.B e B.A. 
 
b. 𝐴 = [
11 3
7 2
] 𝑒 𝐵 = [
2 −3
−7 11
], calcule A.B e B.A. 
 
 
3. Sejam 𝐴 = [
1 2 3
2 1 −1
] , 𝐵 = [
−2 0 1
3 0 1
], 𝐶 = [
−1
2
4
] e 
𝐷 = [2 −1], encontre: 
a. A + B 
b. A . C 
c. C . D 
d. D . A 
Notas de aula: 5 _Matrizes 
TÓPICOS 1 
Profa. Angelita Minetto Araújo 
UTFPR 
DAMAT 
 
 
22 
 
e. D . B 
f. – A 
 
4. Se podemos efetuar o produto AA, então A é uma matriz 
quadrada. Se A2 = AA, então [
−2 1
3 2
]
2
= ? 
 
5. Ache x, y, z, w se [
𝑥 𝑦
𝑧 𝑤
] . [
2 3
3 4
] = [
1 0
0 1
]. 
 
6. Encontre a solução do sistema dado por 
[
𝑥 + 𝑦 2 𝑧 + 𝑤
𝑥 − 𝑦 𝑧 − 𝑤
] = [
3 5
1 4
] 
7. Sejam 𝐴 = [
1 3
2 −1
] e 𝐵 = [
2 0 −4
3 −2 6
], encontre: 
a. AB 
b. BA 
 
8. Sejam 𝐴 = [
2 −1
1 0
−3 4
] e 𝐵 = [
1 −2 5
3 4 0
], encontre: 
a. AB 
b. BA 
Notas de aula: 5 _Matrizes 
TÓPICOS 1 
Profa. Angelita Minetto Araújo 
UTFPR 
DAMAT 
 
 
23 
 
9. Encontre a transposta At da matriz 𝐴 = [
1 0 1 0
2 3 4 5
4 4 4 4
]. 
10. Sejam 𝐴 = [
2 1 0
1 2 1
], 𝐵 = [
0 0 2
6 4 2
] e 𝐶 =
 [
3 2 0
0 1 0
] matrizes de M2 x 3. Calcule: 3 (𝐴 − 
1
2
 𝐵) + 𝐶 
 
11. Dadas as matrizes 𝐴 =
[
 
 
 
 
4 −5
3 −7
−2 4 ]
 
 
 
 
 𝑒 𝐵 =
[
−4 6 −3
−3 5 8
], Calcule (AB)T. 
 
 
12. Seja 𝐴 = [
1 2
4 −3
]. Encontre: 
a. A2 
b. A3 
c. f (A) 
Onde f (x) = 2 x3 – 4 x + 5 
 
Notas de aula: 5 _Matrizes 
TÓPICOS 1 
Profa. Angelita Minetto Araújo 
UTFPR 
DAMAT 
 
 
24 
 
Resolução dos exercícios: 
 
1. Calcule o produto das matrizes: 
a. A.B, sendo 








112
131
A e 














6021
1125
1304
B 
𝐴 . 𝐵 = [
1(−4) + 3(5) + (−1)(−1) 1(0) + 3(−2) + (−1)(2) 1(3) + 3(−1) + (−1)(0) 1(−1) + 3(1) + (−1)(6)
−2(−4) + (−1)(5) + 1(−1) −2(0) + (−1)(−2) + 1(2) −2(3) + (−1)(−1) + 1(0) −2(−1) + (−1)(1) + 1(6)
] 
𝐴 . 𝐵 = [
−4 + 15 + 1 0 − 6 − 2 3 − 3 − 0 −1 + 3 − 6
+8 − 5 − 1 −0 + 2 + 2 −6 + 1 + 0 +2 − 1 + 6
] 
R: 𝐴 . 𝐵 = [
12 −8 0 −4
2 4 −5 7
] 
 
b. M.N, sendo 𝑀 = [
2 3 4
3 5 −4
4 7 −2
] e 𝑁 = [
𝑥
𝑦
𝑧
] 
𝑅: 𝑀. 𝑁 =
[
 
 
 
 
2𝑥 + 3 𝑦 + 4𝑧
3𝑥 + 5𝑦 − 4𝑧
4𝑥 + 7𝑦 − 2𝑧]
 
 
 
 
 
2. Sejam: 
a. 𝐴 = [
1 2
3 4
] 𝑒 𝐵 = [
5 7
6 8
], calcule A.B e B.A. 
R: 𝐴. 𝐵 = [
17 23
39 53
] 𝑒 𝐵. 𝐴 = [
26 38
30 44
] 
 
b. 𝐴 = [
11 3
7 2
] 𝑒 𝐵 = [
2 −3
−7 11
], calcule A.B e B.A. 
R: 𝐴. 𝐵 = [
1 0
0 1
] 𝑒 𝐵. 𝐴 = [
1 0
0 1
] 
 
Obs: quando A.B = B.A = I diz-se que uma matriz é a inversa da outra. 
Notas de aula: 5 _Matrizes 
TÓPICOS 1 
Profa. Angelita Minetto Araújo 
UTFPR 
DAMAT 
 
 
25 
 
3. Sejam 𝐴 = [
1 2 3
2 1 −1
] , 𝐵 = [
−2 0 1
3 0 1
] , 𝐶 = [
−1
2
4
] 𝑒 𝐷 = [2 −1] , 
encontre: 
a. A + B R: [
−1 2 4
5 1 0
] 
b. A . C R: [
15
−4
] 
 
c. C . D 
 
[
 
 
 
 
−1
2
4 ]
 
 
 
 
. [2 −1] =
[
 
 
 
 
−1(2) (−1)(−1)
2(2) 2(−1)
4(2) 4(−1) ]
 
 
 
 
  R: 
[
 
 
 
 
−2 1
4 −2
8 −4]
 
 
 
 
 
 
d. D . A R: [0 3 7] 
 
e. D . B R: [−7 0 1] 
 
f. – A R: [
−1 −2 −3
−2 −1 1
] 
4. Se podemos efetuar o produto AA, então A é uma matriz quadrada. Se A2 = AA, então 
[
−2 1
3 2
]
2
= ? 
 
[
−2 1
3 2
] . [
−2 1
3 2
] = [
4 + 3 −2 + 2
−6 + 6 3 + 4
] = [
7 0
0 7
] 
 
 R: [
7 0
0 7
] 
 
5. Ache x, y, z, w se [
𝑥 𝑦
𝑧 𝑤
] . [
2 3
3 4
] = [
1 0
0 1
]. 
 
Notas de aula: 5 _Matrizes 
TÓPICOS 1 
Profa. Angelita Minetto Araújo 
UTFPR 
DAMAT 
 
 
26 
 
[
2𝑥 + 3𝑦 3𝑥 + 4𝑦
2𝑧 + 3𝑤 3𝑧 + 4𝑤
] = [
1 0
0 1
] 
 
{
2𝑥 + 3𝑦 = 1
3𝑥 + 4𝑦= 0
  {
2𝑥 + 3𝑦 = 1 (−3)
3𝑥 + 4𝑦 = 0 (2)
 {
−6𝑥 − 9𝑦 = −3
6𝑥 + 8𝑦 = 0
 {−𝑦 = −3 ∴ 𝑦 = 3 ↔ 𝑥 = −4 
 
{
2𝑧 + 3𝑤 = 0
3𝑧 + 4𝑤 = 1
  {
2𝑧 + 3𝑤 = 0 (−3)
3𝑧 + 4𝑤 = 1 (2)
 {
−6𝑧 − 9𝑤 = 0 
6𝑧 + 8𝑤 = 2 
 {−𝑤 = 2 ∴ 𝑤 = −2 ↔ 𝑧 = 3 
 
R: x = - 4 y = 3 z = 3 w = - 2 
 
6. Encontre a solução do sistema dado por 
[
𝑥 + 𝑦 2 𝑧 + 𝑤
𝑥 − 𝑦 𝑧 − 𝑤
] = [
3 5
1 4
] 
 {
𝑥 + 𝑦 = 3
2𝑧 + 𝑤 = 5
𝑥 − 𝑦 = 1
𝑧 − 𝑤 = 4
 
{
𝑥 + 𝑦 = 3
𝑥 − 𝑦 = 1
 → 2𝑥 = 4 → 𝑥 = 2 ∴ 𝑦 = 1 
 
 {
2𝑧 + 𝑤 = 5
𝑧 − 𝑤 = 4
 → 3𝑧 = 9 → 𝑧 = 3 ∴ 𝑤 = −1 
 
 R: x = 2, y = 1, z = 3, w = -1 
7. Sejam 𝐴 = [
1 3
2 −1
] e 𝐵 = [
2 0 −4
3 −2 6
], encontre: 
a. AB R: 𝐴𝐵 = [
11 −6 14
1 2 −14
] 
 
b. BA R: BA não é definido. 
 
8. Sejam 𝐴 = [
2 −1
1 0
−3 4
] e 𝐵 = [
1 −2 5
3 4 0
], encontre: 
a. AB R: 𝐴𝐵 = [
−1 −8 10
1 −2 5
9 22 − 15
] 
 
Notas de aula: 5 _Matrizes 
TÓPICOS 1 
Profa. Angelita Minetto Araújo 
UTFPR 
DAMAT 
 
 
27 
 
b. BA R: 𝐵𝐴 = [
−15 19
10 −3
] 
9. Encontre a transposta At da matriz 𝐴 = [
1 0 1 0
2 3 4 5
4 4 4 4
]. R: [
1 2 4
0 3 4
1 4 4
0 5 4
] 
 
10. Sejam 𝐴 = [
2 1 0
1 2 1
], 𝐵 = [
0 0 2
6 4 2
] e 𝐶 = [
3 2 0
0 1 0
] matrizes de M2 x 3. Calcule: 
3 (𝐴 − 
1
2
 𝐵) + 𝐶 R: [
9 5 −3
−6 1 0
] 
11. Dadas as matrizes 𝐴 =
[
 
 
 
 
4 −5
3 −7
−2 4 ]
 
 
 
 
 𝑒 𝐵 = [
−4 6 −3
−3 5 8
], 
Calcule (AB)T. R: (AB)T =
[
 
 
 
 
−1 9 −4
−1 −17 8
−52 −65 38]
 
 
 
 
 
 
12. Seja 𝐴 = [
1 2
4 −3
]. Encontre: 
a. A2 R: 𝐴2 = [
9 −4
−8 17
] 
b. A3 R: 𝐴3 = [
−7 30
60 −67
] 
c. f (A) 
Onde f (x) = 2 x3 – 4 x + 5 
O escalar “5” deve ser multiplicado pela matriz unidade ou matriz identidade, para que 
possamos operar com a matriz. 
𝑓(𝐴) = 2 [
−7 30
60 −67
] − 4 [
1 2
4 −3
] + 5 [
1 0
0 1
] 
= [
−14 60
120 −134
] − [
4 8
16 −12
] + [
5 0
0 5
] 
= [
−18 52
104 −122
] + [
5 0
0 5
] 
Notas de aula: 5 _Matrizes 
TÓPICOS 1 
Profa. Angelita Minetto Araújo 
UTFPR 
DAMAT 
 
 
28 
 
R: [
−13 52
104 −117
] 
Observação: 
A2 = A.A 
A3 = A2 . A 
A0 = I (identidade ou unidade) 
a0 = termo independente 
 
Polinômio: f (x) = a0 + a1 x1 + a2 x2+ a3 x3+ ... + an xn 
Polinômio de matrizes: 
 f (A) = a0 A0 + a1 A1 + a2 A2+ a3 x3+ ... + an An 
 f (A) = a0 I + a1 A1 + a2 A2+ a3 x3+ ... + an An 
 
 
 
Referências 
 
CALLIOLI, C. A. et al. Álgebra linear e aplicações. São Paulo: Atual, 1990. 
 
LIPSCHUTZ, S. Álgebra linear. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1972. 
NUNES, Luiz Fernando. Notas de aula: Matemática 1. Professor do Departamento de Matemática 
da Universidade Tecnológica Federal do Paraná – UTFPR. 
SILVA, Renata Aparecida da. PLANO DE AULA MATRIZES. Disciplina de Metodologia do Ensino de 
Matemática Universidade Tecnológica Federal do Paraná – CT, 2020. 
STEINBRUCH, A.; WINTERLE, P. Álgebra linear. São Paulo: Pearson-Makron Books, 2010.