Produto Vetorial ou Produto Externo

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Notas de aula: 4_Produto Vetorial 
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1 
 
Aula n. 4 – PRODUTO VETORIAL ou PRODUTO EXTERNO 
 
sugestão: Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=GIAKtb6mHDg . 
Prof. Manoel Wallace Alves Ramos 
 
 O produto vetorial é uma operação binária sobre vetores em 
um espaço vetorial. 
 Seu resultado difere do produto escalar por ser também um 
vetor, ao invés de um escalar. 
 Seu principal uso baseia-se no fato que o resultado de um 
produto vetorial é sempre ortogonal a ambos os vetores 
originais. 
 
Aplicações: 
 na fórmula do operador vetorial rotacional. 
 
 para descrever a Força de Lorentz experimentada por uma 
carga elétrica movendo-se em um campo magnético. 
https://www.youtube.com/watch?v=GIAKtb6mHDg
http://pt.wikipedia.org/wiki/Opera%C3%A7%C3%A3o_bin%C3%A1ria
http://pt.wikipedia.org/wiki/Vector_(espacial)
http://pt.wikipedia.org/wiki/Espa%C3%A7o_vetorial
http://pt.wikipedia.org/wiki/Produto_escalar
http://pt.wikipedia.org/wiki/Escalar
http://pt.wikipedia.org/wiki/For%C3%A7a_de_Lorentz
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2 
 
 
“Quando uma carga elétrica se movimenta em um campo magnético, sofre a ação da 
força magnética. Esta força é perpendicular à direção do deslocamento e também 
perpendicular à direção do campo magnético no qual ela está inserida.” 
Fonte: https://www.infoescola.com/fisica/forca-de-
lorentz/#:~:text=Quando%20uma%20carga%20el%C3%A9trica%20se,no%20qual%20ela%20est%C3%A1%20inserida. 
 
 As definições de torque e momento angular também envolvem 
produto vetorial. 
 
O torque é o agente dinâmico da rotação. Quando aplicamos um torque sobre algum corpo, esse 
corpo pode ganhar velocidade angular, passando a descrever um movimento de rotação. Dizemos 
que, quando um corpo está em rotação, ele apresenta momento angular. 
Fonte: https://brasilescola.uol.com.br/fisica/torque-uma-forca.htm#:~:text=ser%C3%A1%20rotacion%C3%A1%2Dlo.-
,Torque%20e%20momento%20angular,rota%C3%A7%C3%A3o%2C%20ele%20apresenta%20momento%20angular. 
 
 para calcular a normal de um triângulo ou outro polígono, o 
que é importante no ramo da computação gráfica. 
 para o desenvolvimento de jogos eletrônicos, para permitir 
efeitos que simulam iluminação, dentre outros. 
 
https://brasilescola.uol.com.br/fisica/torque-uma-forca.htm#:~:text=ser%C3%A1%20rotacion%C3%A1%2Dlo.-,Torque%20e%20momento%20angular,rota%C3%A7%C3%A3o%2C%20ele%20apresenta%20momento%20angular
https://brasilescola.uol.com.br/fisica/torque-uma-forca.htm#:~:text=ser%C3%A1%20rotacion%C3%A1%2Dlo.-,Torque%20e%20momento%20angular,rota%C3%A7%C3%A3o%2C%20ele%20apresenta%20momento%20angular
https://www.google.com/search?rlz=1C1FCXM_pt-PTBR991BR991&q=O+que+diz+a+Lei+de+Lorentz?&tbm=isch&source=iu&ictx=1&vet=1&fir=LZkn8INv4UJpRM,RX96MwsV1ITh3M,_&usg=AI4_-kRz27UFtInYdLZ7_YZ03UNm7KYXZw&sa=X&ved=2ahUKEwiZ_L-_mfv2AhU9pJUCHfjSDigQ9QF6BAgeEAE#imgrc=LZkn8INv4UJpRM
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Dados dois vetores �⃗⃗� e �⃗⃗� no espaço, podemos definir um 
terceiro vetor, chamado de produto vetorial de �⃗⃗� por �⃗⃗� 
como sendo o vetor ortogonal a esses dois vetores: 
 
 
 
 
 
 
 O produto vetorial de �⃗� por 𝑣 é denotado por �⃗� ⨯ 𝑣 ou �⃗� ∧ 𝑣 
 
 Se �⃗� ⫽ 𝑣 , então, por definição o produto vetorial (ou produto 
externo) de �⃗� por 𝑣 , é o vetor nulo. 
Notação: �⃗� ⨯ 𝑣 = 0⃗ ou �⃗� ∧ 𝑣 ⃗⃗⃗ = 0⃗ 
 
Exemplo: �⃗� = 2 𝑖 - 𝑗 + �⃗� e 𝑣 = 𝑖 + 𝑗 - 2 �⃗� , calcule o produto 
externo entre �⃗� e 𝑣 . 
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4 
 
 
 
 Ao contrário do produto escalar, que resulta num escalar, e pode 
ser definido em vetores do espaço e em vetores do plano, o 
produto vetorial só pode ser definido em vetores do espaço, 
pois está ligado essencialmente ao conceito de orientação. 
 
O sentido de �⃗� ⨯ 𝑣 pode ser dado pela regra da mão direita. 
 
A regra da mão direita pode ser melhor observada nas figuras 
que seguem, onde o polegar indica o sentido do vetor oriundo 
do produto vetorial: 
 
 
 
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Assim, nas figuras que seguem tem-se: 
�⃗� ⨯ 𝑣 = �⃗⃗� e 𝑣 ⨯ �⃗� = − �⃗⃗� 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sugestão... Teste 😁: https://www.youtube.com/watch?v=6M3Nhz2g1OE 
 
https://www.youtube.com/watch?v=6M3Nhz2g1OE
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Propriedades do produto vetorial 
 
i. �⃗� ⨯ (𝑣 + �⃗⃗� ) = �⃗� ⨯ 𝑣 + �⃗� ⨯ �⃗⃗� 
 Ou ( �⃗� + 𝑣 ) ⨯ �⃗⃗� = �⃗� ⨯ �⃗⃗� + 𝑣 ⨯ �⃗⃗� 
 
ii. ( 𝛼 �⃗� ) ⨯ 𝑣 = 𝛼 ( �⃗� ⨯ 𝑣 ) = �⃗� ⨯ (𝛼 𝑣 ) 
 
iii. �⃗� ⨯ 𝑣 = − 𝑣 ⨯ �⃗� 
 
Interpretação geométrica do produto vetorial 
 
 
 
 
 
 
A área do paralelogramo que tem �⃗� e 𝑣 como lados é a norma 
do produto vetorial destes vetores, isto é 
𝑆 = |�⃗� ⨯ 𝑣 | 
 
Fórmula canônica 
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Dados dois vetores: 
�⃗� = x1 𝑖 + y1 𝑗 + z1 �⃗� e 𝑣 = x2 𝑖 + y2 𝑗 + z2 �⃗� 
o produto vetorial �⃗� ⨯ 𝑣 pode ser escrito na forma de um 
determinante: 
�⃗� ⨯ 𝑣 = ||
𝑖 𝑗 �⃗� 
𝑥1 𝑦1 𝑧1
𝑥2 𝑦2 𝑧2
|| = |
𝑦1 𝑧1
𝑦2 𝑧2
| . 𝑖 − |
𝑥1 𝑧1
𝑥2 𝑧2
| . 𝑗 + |
𝑥1 𝑦1
𝑥2 𝑦2
| . �⃗� 
 Obs.: Para usar 𝑗 positivo na fórmula é preciso fazer: |
𝑧1 𝑥1
𝑧2 𝑥2
| 
 
Vetor unitário e ortogonal 
 
 Para achar um vetor que seja ortogonal aos vetores �⃗� e 𝑣 , 
calculamos o produto externo, pois pela definição: o produto 
externo resulta em um vetor ortogonal a outros dois vetores. 
 
 Logo, se é ortogonal, é produto externo, mas para calcular 
um vetor unitário e ortogonal, temos que achar o vetor 
unitário �⃗� , pelo cálculo do versor:Vetor unitário e ortogonal: �⃗⃗� =
�⃗⃗� ⨯ �⃗⃗� 
|�⃗⃗� ⨯ �⃗⃗� |
 
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1º  �⃗� ⨯ 𝑣 = |
𝑦1 𝑧1
𝑦2 𝑧2
| . 𝑖 – |
𝑥1 𝑧1
𝑥2 𝑧2
| . 𝑗 + |
𝑥1 𝑦1
𝑥2 𝑦2
| . �⃗� 
 
2º  |�⃗� ⨯ 𝑣 | = √𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 
 
Exercícios: 
1. Sendo �⃗� = 2 𝑖 - 𝑗 + �⃗� e 𝑣 = 𝑖 + 𝑗 - 2 �⃗� , calcule o produto 
externo entre �⃗� e 𝑣 . R: (�⃗� ⨯ 𝑣 ⃗⃗⃗ ) = (1, 5, 3) 
2. Conhecidos �⃗� = 2𝑖 + 3 𝑗 + 𝑘 e 𝑣 = 𝑖 − 𝑗 + 2𝑘 calcule: 
a. �⃗� 𝑥 𝑣 R: 7i – 3 j – 5 k 
b. 𝑣 𝑥 �⃗� R: - 7i + 3 j + 5 k 
c. | �⃗� 𝑥 𝑣 | R: √83 
3. Sejam os vetores �⃗� = (3, 1, −1) e 𝑣 = (𝑎, 0, 2), calcule o valor 
de a para que a área do paralelogramo determinado por 
�⃗� e 𝑣 seja igual a 2√6. 𝑅: 𝑎 = −4 ou 𝑎 = −2 
4. Calcule a área do quadrilátero dado por A= (1, 4 , 0) , B = (5, 0, 
0) , C = (0, -2, 0) e D= ( -4, 2, 0). R: 28 u. a. 
5. Do exercício 1 em que �⃗� = 2 𝑖 - 𝑗 + �⃗� e 𝑣 = 𝑖 + 𝑗 - 2 �⃗� , 
encontre um vetor unitário �⃗� , simultaneamente ortogonal 
aos vetores �⃗� e 𝑣 . 
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R: �⃗� =
(1, 5, 3)
√35
 = ( 
1
√35
 ,
5
√35
 ,
3
√35
 ) 
6. Determine o vetor unitário �⃗� , ortogonal aos vetores �⃗� =
(2, 3,−1) e 𝑣 = (1, 1, 2). R: �⃗� = ( 
7
5√3
 , −
5
√3
 , −
1
5√3
 ) 
7. Os pontos (3, 1, 1), (1, -2, 3), (2, -1,0) são os pontos médios 
dos lados do triângulo ABC. Qual a área do triângulo ABC? 
 𝑅: 2√66 𝑢. 𝑎. 
 
Resoluções: 
1. Sendo �⃗� = 2 𝑖 - 𝑗 + �⃗� e 𝑣 = 𝑖 + 𝑗 - 2 �⃗� , calcule o 
produto externo entre �⃗� e 𝑣 . R: (�⃗� ⨯ 𝑣 ⃗⃗⃗ ) = (1, 5, 3) 
 
�⃗� = (2, - 1, 1) e 𝑣 = (1, 1, -2) 
�⃗� ⨯ 𝑣 = |
𝑖 𝑗 �⃗� 
2 −1 1
1 1 −2
| = |
−1 1
1 −2
| 𝑖 − |
2 1
1 −2
| 𝑗 + |
2 −1
1 1
| �⃗� 
�⃗� ⨯ 𝑣 = (2 – 1) . 𝑖 – (-4 -1) . 𝑗 + (2 + 1) . �⃗� 
�⃗� ⨯ 𝑣 = 𝑖 + 5 𝑗 + 3 �⃗� 
Logo, (�⃗� ⨯ 𝑣 ⃗⃗⃗ ) = (1, 5, 3) 
 
|�⃗� x 𝑣 | = √12 + (5)2 + (3)2 
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|�⃗� x 𝑣 | = √1 + 25 + 9 
R: √35 ≅ 5,91 𝑢. 𝑎. 
 
 
 
2. Conhecidos �⃗� = 2𝑖 + 3 𝑗 + 𝑘 e 𝑣 = 𝑖 − 𝑗 + 2𝑘 calcule: 
a. �⃗� 𝑥 𝑣 R: 7i – 3 j – 5 k 
b. 𝑣 𝑥 �⃗� R: - 7i + 3 j + 5 k 
c. |�⃗� x 𝑣 | 
 
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�⃗� ⨯ 𝑣 = |
𝑖 𝑗 �⃗� 
2 3 1
1 −1 2
| = |
3 1
−1 2
| 𝑖 − |
2 1
1 2
| 𝑗 + |
2 3
1 −1
| �⃗� 
 
= (6 + 1)𝑖 − (4 − 1)𝑗 + (−2 − 3)�⃗� = 7𝑖 − 3𝑗 − 5�⃗� = (7, −3, −5) 
|�⃗� x 𝑣 | = √72 + (−3)2 + (−5)2 
|�⃗� x 𝑣 | = √49 + 9 + 25 
R: √83 
 
3. Sejam os vetores �⃗� = (3, 1, −1) e 𝑣 = (𝑎, 0, 2), calcule o valor 
de a para que a área do paralelogramo determinado por 
�⃗� e 𝑣 seja igual a 2√6. 
𝐴 = |�⃗� x 𝑣 | e |�⃗� x 𝑣 | = 2√6 
 
�⃗� ⨯ 𝑣 = |
𝑖 𝑗 �⃗� 
3 1 −1
𝑎 0 2
| = |
1 −1
0 2
| 𝑖 − |
3 −1
𝑎 2
| 𝑗 + |
3 1
𝑎 0
| �⃗� 
�⃗� ⨯ 𝑣 = (2) . 𝑖 – (6 + a) . 𝑗 + (- a) . �⃗� 
�⃗� ⨯ 𝑣 = 2 𝑖 – (6 + a) 𝑗 - a �⃗� = (2, -6 - a, - a) 
Á𝑟𝑒𝑎: |�⃗� ⨯ 𝑣 | = √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 
 
|�⃗� ⨯ 𝑣 | = √22 + (−6 − 𝑎)2 + (−𝑎)2 
 
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2√6 = √22 + (−6 − 𝑎)2 + (−𝑎)2 
(2√6)2 = (√22 + (−𝑎 − 6)2 + (−𝑎)2 )2 
24 = 4 + 𝑎2 + 12𝑎 + 36 + 𝑎2 
2𝑎2 + 12𝑎 + 16 = 0 
𝑎2 + 6 𝑎 + 8 = 0 
𝑅: 𝑎 = −4 ou 𝑎 = −2 
4. Calcule a área do quadrilátero dado por A= (1, 4, 0), B = (5, 0, 
0), C = (0, -2, 0) e D= ( -4, 2, 0). 
 
Primeiro temos que verificar se os lados são paralelos: 
𝑣 = 𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 𝐷 − 𝐴 = (−4, 2, 0) − (1, 4, 0) = (−5,−2, 0) 
�⃗⃗� = 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝐶 − 𝐵 = (0, −2, 0) − (5, 0, 0) = (−5,−2, 0) 
 
�⃗� = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝐵 − 𝐴 = (5, 0, 0) − (1, 4, 0) = (4, −4, 0) 
�⃗� = 𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝐶 − 𝐷 = (0, − 2, 0) − (−4, 2, 0) = (4,−4, 0) 
 
Como 𝑣 ⫽ �⃗⃗� 𝑒 �⃗� ⫽ �⃗� podemos aplicar o produto externo. 
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�⃗� = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝐵 − 𝐴 = (5, 0, 0) − (1, 4, 0) = (4, −4, 0) 
𝑣 = 𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 𝐷 − 𝐴 = (−4, 2, 0) − (1, 4, 0) = (−5,−2, 0) 
�⃗� = (4, −4, 0) e 𝑣 = (−5,−2, 0) 
 
�⃗� ⨯ 𝑣 = |
𝑖 𝑗 �⃗� 
4 −4 0
−5 −2 0
| = |
−4 0
−2 0
| 𝑖 − |
4 0
−5 0
| 𝑗 + |
4 −4
−5 −2
| �⃗� 
�⃗� ⨯ 𝑣 = (0) . 𝑖 – (0) . 𝑗 + (- 8 - 20) . �⃗� 
�⃗� ⨯ 𝑣 = 0 𝑖 – 0 𝑗 - 28 �⃗� = (0, 0, - 28) 
Á𝑟𝑒𝑎: |�⃗� ⨯ 𝑣 | = √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 
 
|�⃗� ⨯ 𝑣 | = √02 + 02 + (−28)2 
 
|�⃗� ⨯ 𝑣 | = √ 282 = 28 
R: 28 u. a. 
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5. Do exercício 1 em que �⃗� = 2 𝑖 - 𝑗 + �⃗� e 𝑣 = 𝑖 + 𝑗 - 2 �⃗� , 
encontre um vetor unitário �⃗� , ortogonal simultaneamente 
aos vetores �⃗� e 𝑣 . 
�⃗� = (2, - 1, 1) e 𝑣 =(1, 1, -2) 
Para achar o vetor unitário e ortogonal: �⃗� =
�⃗⃗� ⨯ �⃗� 
|�⃗⃗� ⨯ �⃗� |
 
Do exercício 1: �⃗� ⨯ 𝑣 = (1, 5, 3) 
 |�⃗� ⨯ 𝑣 | = √12 + 52 + 32 = √35 
Logo, �⃗� =
(1,5,3)
√35
 = ( 
1
√35
 ,
5
√35
 ,
3
√35
 ) 
R: �⃗� =
(1, 5, 3)
√35
 = ( 
1
√35
 ,
5
√35
 ,
3
√35
 ) 
 
6. Determine o vetor unitário �⃗� , ortogonal aos vetores �⃗� =
(2, 3,−1) e 𝑣 = (1, 1, 2). 
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Para achar o vetor unitário e ortogonal: �⃗� =
�⃗� ⨯ 𝑣 
|�⃗� ⨯ 𝑣 |
 
�⃗� = (2, 3, -1) e 𝑣 =(1, 1, 2) 
�⃗� ⨯ 𝑣 = |
𝑖 𝑗 �⃗� 
2 3 −1
1 1 2
| = |
3 −1
1 2
| 𝑖 − |
2 −1
1 2
| 𝑗 + |
2 3
1 1
| �⃗� 
�⃗� ⨯ 𝑣 = (6 +1) . 𝑖 – (4 +1) . 𝑗 + (2 -3) . �⃗� 
�⃗� ⨯ 𝑣 = 7𝑖 − 5𝑗 − 1�⃗� 
 
Logo, (�⃗� ⨯ 𝑣 ⃗⃗⃗ ) = (7, −5,−1) 
 
E, 
|�⃗� ⨯ 𝑣 | = √72 + (−5)2 + (−1)2 = √75 = √52 . 3 = 5√3 
 
Assim, �⃗� =
�⃗⃗� ⨯ �⃗� 
|�⃗⃗� ⨯ �⃗� |
 
 
�⃗� =
(7, −5,−1)
5√3
 
 
 R: �⃗� = ( 
7
5√3
 , −
5
√3
 , −
1
5√3
 ) 
7. Os pontos (3, 1, 1), (1, -2, 3), (2, -1,0) são os pontos médios 
dos lados do triângulo ABC. Qual a área do triângulo ABC? 
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Fazendo: 𝐴′ =(3, 1, 1), 𝐵′ =(1, -2, 3), 𝐶′ = (2, -1,0) 
�⃗� = 𝐴′𝐵′ = 𝐵′ − 𝐴′ = (1,−2, 3) − (3, 1, 1) = (−2,−3, 2) 
 𝑣 = 𝐴′𝐶′ = 𝐶′ − 𝐴′ = (2,−1, 0) − (3, 1, 1) = (−1,−2,−1) 
 
�⃗� ⨯ 𝑣 = |
𝑖 𝑗 �⃗� 
−2 −3 2
−1 −2 −1
| = |
−3 2
−2 −1
| 𝑖 − |
−2 2
−1 −1
| 𝑗 + |
−2 −3
−1 −2
| �⃗� 
�⃗� ⨯ 𝑣 = (3 +4) . 𝑖 – (2 +2) . 𝑗 + (4-3) . �⃗� 
�⃗� ⨯ 𝑣 = 7𝑖 − 4𝑗 + �⃗� 
 
Logo, (�⃗� ⨯ 𝑣 ⃗⃗⃗ ) = (7, −4, 1) 
 
E, 
|�⃗� ⨯ 𝑣 | = √72 + (−4)2 + (1)2 = √49 + 16 + 1 = √66 
 
√66 = é 𝑎 á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜, 𝑐𝑜𝑚𝑜 é 𝑢𝑚 𝑡𝑟𝑖â𝑔𝑢𝑙𝑜 
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17 
 
√66
2
 𝑢. 𝑎. para o triângulo médio 
Logo, para o triângulo ABC: 4
√66
2
= 2√66 𝑢. 𝑎. 
𝑅: 2√66 𝑢. 𝑎. 
 
 
Referências 
 
BOULOS, P. e CAMARGO, I. de. Geometria analítica: um tratamento vetorial. São Paulo: 
McGraw-Hill, 1987. 
 
NUNES, Luiz Fernando. Notas de aula: Matemática 1. Professor do Departamento de Matemática 
da Universidade Tecnológica Federal do Paraná – UTFPR. 
 
STEINBRUCH, A. e WINTERLE, P. Geometria analítica. São Paulo: Pearson-Makron Books, 2010. 
 
VALLADARES, R. J. C. Geometria analítica do plano e do espaço. Rio de Janeiro: LTC, 1990.