Física Clássica Aula 18

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Momento de Ine´rcia
Movimento Plano de um Corpo R´ıgido
F´ISICA CLA´SSICA
Rafael,
Suzana
Bras´ılia, 1o semestre de 2009
Universidade de Bras´ılia - Faculdade do Gama
Rafael,Suzana F´ISICA CLA´SSICA
Momento de Ine´rcia
Movimento Plano de um Corpo R´ıgido
Momento de Ine´rcia
Movimento Plano de um Corpo
R´ıgido
Rafael,Suzana F´ISICA CLA´SSICA
Momento de Ine´rcia
Movimento Plano de um Corpo R´ıgido
Teorema dos Eixos Paralelos - Teorema de
Steiner
Qual a relac¸a˜o entre o momento de ine´rcia Icm em
relac¸a˜o a um eixo z que passa pelo centro de massa
de um corpo r´ıgido qualquer com o momento de
ine´rcia I em relac¸a˜o a um eixo arbitra´rio z’ qualquer?
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Momento de Ine´rcia
Movimento Plano de um Corpo R´ıgido
Teorema dos Eixos Paralelos - Teorema de
Steiner
Considere uma ”fatia”de
um corpo r´ıgido, como a
mostrada na figura...
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Movimento Plano de um Corpo R´ıgido
Teorema dos Eixos Paralelos - Teorema de
Steiner
I A contribuic¸a˜o de uma fatia ao momento de
ine´rcia I e´ dI =
∫
fatia d
2
1dm
I d1 = d + d2 => d21 = d
2 + 2d2 · d + d22
I dI =
∫
fatia d
2dm + 2d2 ·
∫
fatia ddm + d
2
2
∫
fatia dm
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Momento de Ine´rcia
Movimento Plano de um Corpo R´ıgido
Teorema dos Eixos Paralelos - Teorema de
Steiner
I Somando sobre todas as fatias do corpo temos
que:
I I = ICM + 2d2 ·
∫
corpo ddm + d
2
2M
I Note que
∫
corpo ddm = 0, pois a partir da
definic¸a˜o das coordenadas do centro de massa
MdCM = lim
∆mi→0
∑
di∆mi =
∫
ddm. Se a
origem esta´ sobre o centro de massa, enta˜o
suas coordenadas sa˜o nulas!
I Assim, I = ICM + Md
2
2 onde d2 e´ a distaˆncia
entre os dois eixos
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Momento de Ine´rcia
Movimento Plano de um Corpo R´ıgido
Teorema dos Eixos Paralelos - Teorema de
Steiner
Teorema dos Eixos Paralelos devido a` Steiner: ”o
momento de ine´rcia de um corpo qualquer em
relac¸a˜o a um eixo e´ a soma do momento de ine´rcia
em relac¸a˜o a um eixo paralelo, passando pelo CM,
com o produto da massa M do corpo pelo quadrado
da distaˆncia d2 entre os dois eixos”
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Momento de Ine´rcia
Movimento Plano de um Corpo R´ıgido
Exerc´ıcios
1. Calcule o momento de ine´rcia de uma barra
homogeˆnea de massa M e comprimento L em
relac¸a˜o a uma de suas extremidades. Fac¸a o
ca´lculo utilizando a definic¸a˜o e compare com o
resultado obtido atrave´s do teorema de Steiner.
2. Calcule o momento de ine´rcia de um cilindro
homogeˆneo de raio R e massa M em torno de
uma geratriz.
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Momento de Ine´rcia
Movimento Plano de um Corpo R´ıgido
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Movimento Plano de um Corpo
R´ıgido
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Momento de Ine´rcia
Movimento Plano de um Corpo R´ıgido
Movimento Plano de um Corpo R´ıgido
Movimento Plano → as trajeto´rias de todas as
part´ıculas do corpo sa˜o paralelas a um plano fixo,
que se chama plano do movimento
I Exemplos: rotac¸a˜o pura em torno de um eixo
fixo.
I Movimento mais geral do corpo r´ıgido =
translac¸a˜o + rotac¸a˜o
I Para que essa combinac¸a˜o de movimentos seja
um movimento plano e´ necessa´rio que a
translac¸a˜o seja paralela ao plano do movimento
e a direc¸a˜o do eixo de rotac¸a˜o se mantenha
fixa perpendicular ao plano do movimento.
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Momento de Ine´rcia
Movimento Plano de um Corpo R´ıgido
Equac¸o˜es de Movimento
I Lei Fundamental da Dinaˆmica → dPdt = Fext
I trata-se da Equac¸a˜o de Movimento para a
translac¸a˜o do CM
I e a Equac¸a˜o de Movimento para a rotac¸a˜o
em torno do CM pode ser escrita como
dL
dt =
−→τ ext
I Como estamos considerando o movimento no
plano, temos que: P = Pxˆ i + Py jˆ e
Fext = Fxextˆ i + Fyextˆj
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Movimento Plano de um Corpo R´ıgido
Equac¸o˜es de Movimento
I O eixo de rotac¸a˜o deve ter direc¸a˜o fixa
perpendicular ao plano, ou seja paralela ao eixo
z
I Vetor velocidade angular: −→ω = ωkˆ
I Componente z do momento angular interno:
Lz = ICMω onde ICM e´ o momento de ine´rcia
em relac¸a˜o ao eixo de rotac¸a˜o que passa pelo
CM.
I L = Lz kˆ e
−→τ ext = τzext kˆ
I logo, L = ICM
−→ω
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Movimento Plano de um Corpo R´ıgido
Equac¸o˜es de Movimento
I Derivando-se L = ICM
−→ω temos que
I −→τ ext = ICM−→α onde −→α e´ o vetor acelerac¸a˜o
angular, que tem a mesma direc¸a˜o que o eixo z.
I Exerc´ıcios:
1. Uma motocicleta acelera de 0 a v metros por
segundo em t segundos. Qual o torque me´dio
exercido sobre a roda dianteira? Dados: massa da
roda M , raio da roda R , momento de ine´rcia da
roda: calcule! e justifique a sua aproximac¸a˜o!
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Refereˆncias
I Livro texto, cap´ıtulo 12 (p. 254 - 259).
I Exerc´ıcios pag. 284 no 3 a 5
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	Momento de Inércia
	Movimento Plano de um Corpo Rígido