Lista de ex. 2

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Universidade Federal de Ouro Preto
Departamento de Matema´tica
MTM 122 - Ca´lculo Diferencial e Integral I - Turma: 93
Lista 2 - Prof.: Tiago de Oliveira
1. Reveja a teoria e os exerc´ıcios feitos em sala.
2. Utilize a definic¸a˜o de limite para mostrar as igualdades abaixo
a) lim
x→1
= 2. b) lim
x→4
x2 = 16.
3. Sabendo que lim
x→1
f(x) = 0, lim
x→1
g(x) = 2 e lim
x→1
h(x) = −1, determine os limites abaixo, caso existam:
a) lim
x→1
= [f(x) + 3h(x)− 2g(x)].
b) lim
x→1
[h(x)(g(x))3].
c) lim
x→1
h(x) + g(x)
f(x)
.
d) lim
x→1
h(x)
(g(x))2
.
4. Calcule os limites abaixo:
a) lim
x→−1
= (−x5 + 6x4 + 2).
b) lim
x→−1
[(x + 4)3.(x + 2)−1].
c) lim
x→0
[(x− 2)10.(x + 4)].
d) lim
t→2
t + 3
t + 2
.
e) lim
t→2
t2 − 5t + 6
t− 2 .
f) lim
t→4
3
√
6x + 3.
g) lim
x→7
(3x + 2)2/3.
h) lim
x→pi/2
[2 sen(x)− cosx + cot(x)].
i) lim
x→4
(ex + 4x).
5. Seja f(x) =

x, se x < 1
6, se x = 1
2− 3x2, se 1 < x ≤ 2
x− 3, se x > 2
.
Calcule:
a) lim
x→1−
f(x).
b) lim
x→1
f(x).
c) f(1).
d) lim
x→2−
f(x).
e) lim
x→2+
f(x).
f) lim
x→2
f(x).
6. Calcule lim
x→0
x4 cos
(
2
x
)
.
7. Dada f(x) =
|x|+ x
x
, existe lim
x→0
f(x)?
8. Calcule
a) lim
x→2
x2 + x− 6
x− 2 ;
b) lim
x→4
x2 − 4x
x2 − 3x− 4 ;
c) lim
t→−3
t2 − 9
2t2 + 7t + 3
;
d) lim
x→7
√
x + 2− 3
x− 7 ;
e) lim
x→4
5 +
√
x√
5 + x
;
f) lim
x→−2
2− |x|
2 + x
;
g) lim
x→0
|x|
x
;
h) lim
x→0
4−√12x + 16
x
;
i) lim
x→3
(x2 − 4x + 3)
[
cos
(
1
x− 3
)
+ cos
(
ex
x− 3
)
+ 1
]
;
j) lim
x→1
x− 1√
x− 1 ;
k) lim
x→1
√
x− 1√
2x + 3−√x ;
l) lim
x→2
x− 2√
4− x2 .
9. Calcule
lim
h→0
f(x0 + h)− f(x0)
h
em cada caso a seguir:
a) f(x) = x3;
b) f(x) = x4;
c) f(x) = xn;
d) f(x) = ax + b;
e) f(x) = ax2 + bx + c;
f) f(x) =
√
x;
10. Calcule, caso exista, o limite:
a) lim
x→1
2− x
(x− 1)2 ;
b) lim
x→−1
x2 − 4x
x2 − 3x− 4 ;
c) lim
t→0
[
1
t
√
1 + t
− 1
t
]
;
d) lim
x→+∞
√
12x3 − 5x + 2
1 + 4x2 + 3x3
;
e) lim
x→+∞
x3 − x
x2 − 6x + 5;
f) lim
x→−∞
√
9x6 − x
x3 + 1
;
g) lim
x→+∞[
√
9x2 + x− 3x];
h) lim
x→−∞[x +
√
x2 + 2x];
i) lim
x→+∞ e
−2x cosx;
j) lim
x→+∞
2ex
ex − 5 ;
k) lim
x→2
x2 + x
x2 − x− 2 ;
l) lim
x→5+
7
x− 5 .
m) lim
x→1+
[
2
x− 1
]
;
n) lim
x→1−
[
2
x− 1
]
;
o) lim
t→+∞
x3 − x + 1
x4 − 12 ;
p) lim
x→−∞
x3 − x + 1
x4 − 12 ;
q) lim
x→+∞
−2x4 − x2 − 3x− 5
−5x4 − x3 + x2 − x + 1;
r) lim
x→−∞
−2x4 − x2 − 3x− 5
−5x4 − x3 + x2 − x + 1;
s) lim
x→−∞
x5 − 5
x3 + x2 + x + 1
;
t) lim
x→+∞
x5 − 5
x3 + x2 + x + 1
;
11. Determine as soluc¸o˜es:
Sejam p(x) um polinoˆmio de grau a e q(x) um polinoˆmio de grau b. De acordo com as possibilidades para a e b,
o que pode acontecer com o lim
x→+∞
p(x)
q(x)
?
12. Verifique se alguma das func¸o˜es abaixo possui ass´ıntota vertical ou horizontal. Em caso positivo, determine-as.
a) f(x) =
2
x− 4 ;
b) f(x) =
5
x2 + 8x + 15
;
c) f(x) =
3x + 4√
2x2 − 5 ;
d) f(x) =
4− 3x
x + 1
;
e) f(x) = 5x + 2;
f) f(x) =
1
(x− 2)2 ;
g) f(x) =
x3 − x
x4 − 1 ;
h) g(x) =
√
x2 + x + 1 + x.
13. Sejam f(x) e g(x) tais que lim
x→a f(x) = +∞ e limx→a g(x) = +∞. Classifique em V ou F e justifique:
a) lim
x→a(f(x)− g(x)) = +∞; b) limx→a(f(x) + g(x)) = +∞; c) lim
x→a
f(x)
g(x)
pode ser um nu´mero real.
14. Sejam f(x) =
{
x2 + 3, se x ≤ 1
x + 1, se x > 1
e g(x) =
{
x2, se x ≤ 1
2, se x > 1
.
a) Existe lim
x→1
f(x)?
b) Encontre um expressa˜o para f(x).g(x) e mostre que existe lim
x→1
(f(x).g(x)).
15. Calcule, caso exista, o limite
a) lim
x→1
(x3 − 3);
b) lim
x→pi−
csc(x);
c) lim
x→pi csc(x);
d) lim
h→5
h√
5 + h−√h ;
e) lim
h→0
√
3h + 3−√3
h
;
f) lim
x→−3
(x2 − 9);
2
g) lim
t→0
√
a2 + bt− a
t
;
h) lim
x→0
√|x|
x2
;
i) lim
t→9
9− t
3−√t ;
j) lim
x→2
arctan
(
x2 − 4
3x2 − 6x
)
;
k) lim
x→0
cos(x)− 1
x
;
l) lim
x→0
tan(3x)
tan(5x)
;
m) lim
x→0
sen
(
1
x
)
;
n) lim
x→0+
ln(x2);
o) lim
x→0−
ln(−x);
p) lim
x→3
x3 − 3x− 3
x2 − 1 ;
q) lim
x→1+
[
2
x− 1
]
;
r) lim
x→0
√
1 + x− 1
x
;
s) lim
x→0
e−1/x
2
.
16. Mostre que lim
x→+∞
sen(x)
x
= 0.
Gabarito
1. Estudar
2. Demostrar
3. a) −7
b) −8
c) +∞
d) −1/4
4. a) 9
b) 27
c) 4096
d) 5/4
e) −1
f) 3
g)
3
√
529
h) 2
i) e4 + 16
5. a) 1
b) @
c) 6
d) −10
e) −1
f) @
6. 0
7. @
8. a) 5
b) 4/5
c) 6/5
d) 1/6
e) 7/3
f) 1
g) @
h) −3/2
i) 0
j) 0
k) 0
l) 0
9. a) 3x20
b) 4x30
c) nxn−10
d) a
e) 2ax0 + b
f)
1
2
√
x0
10. a) +∞
b) @
c) −1/2
d) 2
e) +∞
f) −3
g) 1/6
h) −1
i) 0
j) 2
k) @
l) +∞
m) +∞
n) −∞
o) 0
p) 0
q) 2/5
r) 2/5
s) +∞
t) +∞
11. Se a > b ⇒ ±∞, se a < b ⇒ 0 e se
a = b⇒ c ∈ Z.
12. a) x = 0 e y = 0
b) x = −5, x = −3 e y = 0
c) x±
√
5/2 e y ± 3/2
d) x = −1 e y = −3
e) Na˜o possui assintotas
f) x = 2 e y = 0
g) Na˜o ha´ assintotas verticas e y =
0
h) Na˜o ha´ assintotas verticas e y =
−1/2
13. a) F
b) V
c) V
14. a) @
b) ∃
15. a) −2
b) +∞
c) @
d) 5/(
√
10−
√
5)
e) 3/(2
√
3)
f) 0
g) b/(2a), se a > 0
h) +∞
i) 6
j) arctan(2/3)
k) 0
l) 3/5
m) @
n) −∞
o) −∞
p) 15/8
q) +∞
r) 1/2
s) 0
16. Demostrac¸a˜o
3