Lista de ex. 3

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Universidade Federal de Ouro Preto
Departamento de Matema´tica
MTM 122 - Ca´lculo Diferencial e Integral I - Turma: 93
Lista 3 - Prof.: Tiago de Oliveira
1. Reveja a teoria e os exerc´ıcios feitos em sala.
2. Seja f a func¸a˜o definida por: f(x) =
{
x2 − 9, se x 6= −3
4, se x = −3
a) Esboce o gra´fico de f(x).
b) Calcule lim
x→−3
f(x).
c) A func¸a˜o f(x) e´ cont´ınua em x = −3? Justifique.
3. Nos casos abaixo encontre os pontos nos quais a func¸a˜o f e´ descont´ınua, e esboce o gra´fico.
a) f(x) =

1 + x2, se x ≤ 0
2− x, se 0 < x ≤ 2
x− 2, se x > 2.
b) f(x) =

x+ 1, se x ≤ 1
1
x
, se 1 < x ≤ 3√
(x− 3), se x > 3.
c) f(x) =

x+ 2, se x < 0
ex, se 0 ≤ x < 1
2− x, se x ≥ 1.
4. Determine, se poss´ıvel, os valores das constantes a, b e c que tornam a func¸a˜o f cont´ınua em (−∞,+∞) nos
seguintes casos:
a) f(x) =
{
7x− 2, se x ≤ 1
ax2, se x > 1.
b) f(x) =
{
bx2, se x ≤ 2
2x+ b, se x > 2.
c) f(x) =
{
cx2 + 2x, se x < 2
x3 − cx, se x ≥ 2.
d) f(x) =

x2 − 4
x− 2 se x < 2
ax2 − bx+ 3, se 2 ≤ x < 3
2x− a+ b, se x ≥ 3.
e) f(x) =

x2 + 5, se x > 2
a(x+ 1) + b, se − 1 < x ≤ 2
2x3 + x+ 7, se x ≤ −1.
5. Utilize o Teorema do Valor Intermedia´rio para mostrar que a equac¸a˜o x3 − x2 − 2x + 1 = 0 possui pelo menos
uma soluc¸a˜o no intervalo [−1, 1].
6. Mostre que, se p(x) e´ um polinoˆmio de grau ı´mpar, enta˜o a equac¸a˜o p(x) = 0 possui pelo menos uma soluc¸a˜o
real.
7. Use a definic¸a˜o de derivada para encontrar f ′(x):
a) f(x) = x2;
b) f(x) =
1
x
;
c) f(x) = x3;
d) f(x) =
1
x+ 2
;
e) f(x) = 5x2 + 6x− 1;
f) f(x) =
1√
2x− 1 .
8. Dada f(x) =

1
x
se 0 < x < b
1− 1
4
x se b ≤ x
.
a) Determine um valor de b de tal forma que f seja cont´ınua em b.
b) f e´ deriva´vel no valor de b encontrado na parte (a)?
9. Encontre a equac¸a˜o da reta tangente a` curva y =
√
x que seja paralela a` 8x− 4y + 1 = 0
10. Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de y = x5/2 −√x, no ponto de abscissa x = 64.
11. Determine a equac¸a˜o da reta r que passa pelo ponto (2,−1) e que e´ paralela a` reta tangente ao gra´fico de
y = 3x2 − 2x+ 5 no ponto de abcissa x = 7.
12. Determine os pontos nos quais a reta tangente a y = 5x2 − 3x e´ paralela a` reta y = 7x + 3. Determine esta
tangente. Determine tambe´m os pontos nos quais a tangente ao gra´fico da curva dada e´ paralela ao eixo x.
13. Calcule a derivada das func¸o˜es, simplificando quando poss´ıvel:
a) f(x) = 3x6 − 2x;
b) g(x) =
x+ 2
x2 − 4 ;
c) h(x) = (x− 3)6;
d) i(x) =
√
1 + 2e3x;
e) j(x) = ln(xx);
f) k(x) = ex cos(x)− ex sen(x);
g) l(x) =
ln(x)
x
;
h) m(x) = 2 sen(x) cos(x);
i) n(x) =
cos(x)
1 + cot(x)
.
14. Usando as regras do produto, do quociente e as identidades trigonome´tricas verifique as igualdades a seguir:
a) [tan(x)]′ = sec2(x);
b) [cot(x)]′ = − csc2(x);
c) [sec(x)]′ = sec(x) tan(x);
d) [csc(x)]′ = − csc(x) cot(x).
15. Calcule, as derivadas a seguir usando a regra da cadeia:
a) f(x) =
(
2x− 1
x2 − x+ 1
)4
;
b) g(x) = tan2(x4);
c) h(x) = 2 sen2(cos(x3));
d) i(x) =
cos(3x)
sen2(x)− 1 ;
e) j(x) =
x4
3
√
2x4 + 1
;
f) k(x) =
√
x+ x tan(
√
(1/x)).
16. Usando a igualdade ab = eb ln(a) e a regra da cadeia calcule a derivada das func¸o˜es:
a) f(x) = 3x;
b) f(x) = xx;
c) f(x) = x
√
x;
d) f(x) = [cos(x)]x;
e) f(x) = xcos(x).
17. Calcule as derivadas
a) y = arctan[sen(x)];
b) y = arccos[cos2(x)];
c) y = earcsin(2x);
d) y = arctan
(
1− x2
1 + x2
)
.
18. Verifique
a) {ln[sec(x) + tan(x)]}′ = sec(x);
b) {ln[csc(x) + cot(x)]}′ = csc(x);
c) [log(x)]′ =
log10(e)
x
;
d) [loga(x)]
′ =
loga(e)
x
para todo a > 0 fixo.
19. Derive
a) y =
log(x)
x
; b) y = log4
(
x+ 1
x− 1
)
; c) y = log16[log4(2x+ 1)].
20. Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de y = arccos(2x) no ponto de abscissa x = 1/4.
21. Determine a equac¸a˜o da reta paralela a` reta tangente ao gra´fico de yx = log4(x) no ponto de abcissa x = 1/4 e
passando pela origem.
22. Calcule a derivada indicada:
a) y = −15x12 + 5x10 − 9x6 − x5 + x4 − 289x3 − 102x2 + 2x− 167, d
49
dx49
;
2
b) y = sen(x) ,
d133y
dx133
;
c) y = cos(x),
dny
dxn
com n = 4k, k ∈ Z;
d) y = sen(x),
dny
dxn
com n = 4k + 1, k ∈ Z;
e) y = cos(x),
dny
dxn
com n = 4k + 2, k ∈ Z.
23. Encontre
d2y
dx2
a) y = arctan(arcsin(x)); b) y = ln(sec(x) + tan(x)); c) y = xx;
24. Ache
dy
dx
por derivac¸a˜o implicita:
a) sec2(x) + tan2(y) = 4;
b) y cos(x) + x sen(y) = 1;
c) csc(x2 − y2) + sec(x2 + y2) = xy;
d) y =
arcsin(x)
arccos(x)
;
e) y = arctan[2x cos(x)];
f) y = arctan(
√
x+
√
2x).
25. Ache a equac¸a˜o da reta tangente a` curva x3 + y3 = 19 no ponto (−2, 3).
26. Considere a curva y cos(pixy)− ln(xy)2 + xy = 0
a) Verifique que o ponto (1, 1) pertence a esta curva.
b) Encontre a equac¸a˜o da reta tangente a curva neste ponto.
27. Verifique que as hipo´teses do teorema de Rolle sa˜o satisfeitas pela func¸a˜o f no intervalo I. Em seguida, obtenha
um c ∈ I que satisfac¸a a tese do teorema.
a) f(x) = x2 − 6x+ 8 e I = [2, 4];
b) f(x) = x3 − 2x2 − x+ 2 e I = [−1, 2];
c) f(x) = x3 − 16x e I = [0, 4].
28. Seja f(x) = −x4 + 8x2 + 9. Mostre que f satisfaz as condic¸o˜es do Teorema de Rolle no intervalo [−3, 3] e
determine os valores de c ∈ (−3, 3) que satisfac¸am f ′(c) = 0.
29. Verifique que as hipo´teses do Teorema de Lagrange sa˜o satisfeitas pela func¸a˜o f no intervalo I. Em seguida,
obtenha um c ∈ I que satisfac¸a a tese do Teorema.
a) f(x) = x2 + 2x− 1 e I = [0, 1];
b) f(x) =
3
√
x2 e I = [0, 1];
c) f(x) =
√
100− x2 e I = [−8, 6];
d) f(x) =
x2 + 4x
x− 1 e [2, 6].
Gabarito
1. Estudar
2. a)
b) 0
c) Na˜o
3. a) 0
b) 1 e 2
c) 0 e 1
4. a) a = 5
b) b = 4/3
c) c = 2/3
d) a = 1/2 e b = 1/2
e) a = 5/3
5. demostrar
6. demostrar
7. a) 2x
b) −1/x2
c) 3x2
d) −1/(x+ 2)2
e) 10x+ 6
f) − 1
(2x− 1)√2x− 1
3
8. a) 2
b) sim
9. 16x− 8y + 1 = 0
10. 20479x− 16y − 786496 = 0
11. y = 40x− 81
12. P (1, 2) e y = 7x− 5
A tangente ao gra´fico e paralela ao eixo x e´ y = −9/10
13. a) f ′(x) = 18x5 − 2;
b) g′(x) = − 1
(x− 2)2 ;
c) h′(x) = 6(x− 3)5;
d) i′(x) =
3e3x√
1 + 2e3x
;
e) j′(x) = lnx+ 1;
f) k′(x) =
1− lnx
x2
;
g) l′(x) = −2ex senx;
h) m′(x) = 2 cos(2x);
i) n′(x) = − senx+ cosx− cotx. cscx
1 + cotx
14. Verificar
15. a) f ′(x) =
4(2x− 1)3(2x2 − 2x+ 1)
(x2 − x+ 1)5 ;
b) g′(x) = 8 tan(x4) sec2(x4)x3;
c) h′(x) = −12x2 sen(cos(x3)) cos(cos(x3)) senx3;
d) i′(x) =
3 senx cosx− 2 cos(3x) senx
cos3 x
;
e) j′(x) =
4x3(4x4 + 3)
3(2x4 + 1)4/3
;
f) k′(x) =
1 + tan(
√
1/x)− x sec2(√1/x)1/2(1/x)5/2
2(x+ x tan(
√
1/x))1/2
;
16. a) 3x ln 3
b) xx(lnx+ 1)
c) x
√
x−1/2(lnx+ 2)/2
d) (cosx)x(ln(cosx)− x tanx)
e) xcos x−1(cosx− x senx lnx)
17. a) y′ =
cosx
1 + sen2 x
b) y′ =
sen 2x√
1− cos4 x
c) y′ =
2earcsin(2x)√
1− 4x2
d) y′ = − 2x
1 + x4
18. Verificar
19. a) y′ =
1− lnx
x2 ln 10
b) y′ = − 2
ln 4(1− x2)
c) y′ =
2
(2x+ 1) ln 16 ln(2x+ 1)
20. 16
√
3x+ 3y − 4
√
3 + 4pi = 0
21. y =
16(1 + ln 4)
ln 4
22. a) 0
b) cosx
c) cosx
d) cosx
e) − cosx
23. a) ...
b) y′′ = secx tanx
c) y′′ = xx((lnx+ 1)2 + 1/x)
24. a) y′ = − sec
2 x tanx
tan y sec2 y
b) y′ =
y senx− sen y
x cos y + cosx
c) ...
d) y′ =
arccosx+ arcsinx√
1− x2 arccos2 x
e) y′ =
2(cosx− x senx)
4x2 cos2 x+ 1
f) ...
25. 4x+ 9y − 19 = 0
26. a) pertence
b) x+ 3y − 4
27. a) c = 3
b) c1 =
2 +
√
7
3
e c2 =
2−√7
3
c) c = 4/
√
3
28.c = {−2, 0, 2}
29. a) α = 1/2
b) α = 8/27
c) α =
√
2
d) α = 1 +
√
5
4