FisXP1-Exp03

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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIRO 
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS - DEPARTAMENTO DE FÍSICA 
CURSO DE FÍSICA EXPERIMENTAL I 
PROFESSOR MARCELO AZEVEDO NEVES 
 
I. TÍTULO: EQUILÍBRIO ESTÁTICO DE UM PONTO (2D) 
 
II. MOTIVAÇÃO E REFERENCIAL TEÓRICO: 
 
Conforme estudado anteriormente, o conhecimento encerrado pela Mecânica está resumido nas 
três Leis (ou Axiomas) do Movimento, enunciadas (em 1685) por Sir Isaac Newton como: 
 
LEI I 
Todo corpo permanece em seu estado de repouso ou de movimento 
uniforme em linha reta, a menos que seja obrigado a mudar seu estado 
por forças impressas nele. 
 
LEI II 
A mudança do movimento é proporcional à força motriz impressa e se 
faz segundo a reta pela qual se imprime essa força. 
 
LEI III 
A uma ação sempre se opõe uma reação igual, ou seja, as ações de dois 
corpos um sobre o outro sempre são iguais e se dirigem a partes 
contrárias. 
 
A condição de Equilíbrio Estático (velocidade NULA) de um PONTO consiste em que a SOMA 
(ou “RESULTANTE”) DAS N FORÇAS ATUANTES SOBRE O PONTO SEJA NULA. 
Matematicamente: 
→→→
==∑ 0
N
i
iFR [1] 
Tal condição está contida no Enunciado da 1a Lei de Newton (também conhecida por “Lei de 
Newton-Galileu”), pois tal Lei define uma grandeza chamada “Força” como sendo o agente ao qual 
atribuímos a responsabilidade por promover alteração no estado de repouso ou de movimento retilíneo 
uniforme (MRU) de um corpo. Desta forma, se o corpo está em repouso ou em MRU, então este agente 
chamado “Força” deve ser nulo. Logo, ou NÃO existem “Forças” presentes, ou então a combinação das 
“Forças” presentes conduz a um efeito NULO. 
 
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Força é uma GRANDEZA VETORIAL, ou seja, para ser determinada não basta que seu valor, ou 
MÓDULO, (associado a uma escala de medidas) seja conhecido. É imprescindível que se saiba 
também sua DIREÇÃO e o seu SENTIDO. 
Imaginemos um meio de observar experimentalmente a condição dada em [1], validando a 1a Lei 
de Newton quanto à definição da grandeza Força, bem como quanto à condição de equilíbrio 
ESTÁTICO (o equilíbrio cinético, ou seja, aquele em que o corpo tem velocidade constante e não – 
nula, não será considerado). 
Para efetuar nosso estudo sobre o equilíbrio estático, não precisamos nos limitar a um caso 
unidimensional como o citado no caso do cabo-de-guerra. Na verdade, poderíamos avaliar a validade 
da 1a Lei de Newton num caso com número ilimitado de vetores Força tridimensionais (não 
necessariamente coplanares). Mas por questão de simplicidade, e sabendo que os vetores podem ser 
descritos em termos de componentes que são suas projeções em planos, vamos considerar um conjunto 
limitado de forças concorrentes e coplanares. Como avaliar neste caso a 1a Lei de Newton? 
Diversos métodos são disponíveis para avaliar a resultante de um vetor Força, e se ao aplicarmos 
estes métodos utilizando valores MEDIDOS de três forças que mantém um ponto em equilíbrio e 
obtivermos um resultado nulo, então verificamos a condição [1]. 
Vejamos três destes métodos a seguir. 
 
1) REGRA DE NEWTON (OU “REGRA DOS PARALELOGRAMOS”) 
“O Vetor SOMA de um par de vetores coplanares corresponde em módulo, direção e sentido à 
DIAGONAL MAIOR de um paralelogramo cujos lados são proporcionais aos módulos de cada vetor 
força do par, separados pelo mesmo ângulo que estes.” 
Veja a figura a seguir, em que F1 e F2 são forças: 
 
(a) (b) 
Figura 1: Construção de um paralelogramo a partir da representação gráfica de dois vetores F1 e F2, 
separados por um ângulo θ, tal que a resultante R forma um ângulo φ com F2 
 
 
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Demonstra-se por argumentos geométricos que: 
 
]3...[..........
)cos(||||
)(||
)cos(||||
)(||
]2....[..............................)cos(||||2||||..||
12
1
12
1
21
2
2
2
1








+
=∴
+
=
++=
→→
→
→→
→
→→→→→
θ
θφ
θ
θφ
θ
FF
senFarctg
FF
senFtg
FFFFR
 
 
2)REGRA DO TRIÂNGULO E O TEOREMA DE LAMY 
 
Sejam três forças que, aplicadas em um ponto P, o mantém em repouso. Simon Stevinus, em sua 
Regra do Triângulo, enunciou que: “Se três forças aplicadas em um ponto estão em equilíbrio, então 
suas intensidades são proporcionais aos lados de um triângulo, paralelos às direções destas forças”. 
Veja a Figura a seguir: 
 
(a) (b) 
Figura 2: Três Forças que mantém um ponto “P” em Equilíbrio: 
(a) Forças aplicadas; (b) Triângulo de Stevinus 
 
Com base em considerações geométricas, temos o chamado “TEOREMA DE LAMY”: 
 
“Se três forças F1, F2 e F3, aplicadas em um ponto, estão em equilíbrio, então valem as relações: 
)()()( 3
3
2
2
1
1
θθθ sen
F
sen
F
sen
F
== , 
em que θ1, θ2 e θ3 são os ângulos opostos às F1, F2 e F3, respectivamente”. 
 
 
 
 
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Note que são os valores das frações 
f i = Fi / sen(θ i ) [4] 
 
que são previstos terem valores iguais. 
 
3) DECOMPOSIÇÃO ORTOGONAL 
 
Neste procedimento decompomos os N vetores força em suas componentes ortogonais, 
segundo os eixos “X” e “Y”, tomando o eixo X como referência (vetor F i formando um ânguloα i com 
o eixo X), cujas somas, no equilíbrio mecânico, devem ser nulas: 
 
 
Figura 3: Decomposição de três Forças em componentes ortogonais. 
 
∑
=
=
N
i
iiX FR
1
)cos(α
 [5] 
 
∑
=
=
N
i
iiY FR
1
)sen(α
 [6]
 
 
Neste experimento, nosso objetivo será: 
1) Verificar se a previsão de equilíbrio pelas Leis de Newton ocorre conforme previsto 
usando estes três métodos apresentados. 
 
 
 
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III. EQUIPAMENTO: 
1. Aparelho denominado “Mesa de 
Forças”; 
2. Fios; 
3. Peças cilíndricas 
(“Contrapesos”); 
4. Suporte para peças cilíndricas 
(contrapesos); 
5. Transferidor; Balança; 
6. Dinamômetros (opcional). 
 
 
 
Figura 4: Exemplo de uma possível Montagem Experimental 
 
Figura 5:Foto do equipamento disponível 
IV- PROCEDIMENTOS EXPERIMENTAIS 
 
1) Selecione cilindros metálicos (cargas), medindo suas massas e registrando os valores. Você pode 
colocar mais de um objeto como carga. OBS: Cuidado com as incertezas! 
2) Coloque as cargas nos suportes e mova as roldanas laterais até que o anel metálico fique 
centralizado. Neste momento haverá equilíbrio numa posição em que se podem ler os ângulos de 
separação. 
3) Note que os fios atados ao anel de metal, por estarem em equilíbrio estático com as massas que 
suspendem, apresentam tensões Fi (i = 1, 2 ou 3) cujos valores em módulo são iguais aos pesos das 
respectivas massas suspensas. Logo: 
 
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Fi = mi g [7] 
 Portanto, substitua [7] nas relações [2] a [4] e verifique se alguma grandeza pode ser 
desconsiderada (você verá que “g” desaparece das expressões.). 
4) Escreva em seu Caderno de Laboratório a tabela da Folha de Dados (ver adiante)e a complete. 
 
PARTE 1: ANÁLISE DO EQUILÍBRIO USANDO A REGRA DE NEWTON 
5) Para cada par de forças, use a “Regra dos Cossenos” e preveja o valor da terceira força em 
equilíbrio. 
6) Compare valores previstos com valores medidos em cada caso. Avalie as discrepâncias, mediante o 
desvio percentual médio: 
%100(%) ×
−
=
medido
previstomedido
Valor
ValorValor
d 
ATENÇÃO: Nosso equipamento torna admissível um desvio relativo de 15 %. 
 
PARTE 2: ANÁLISE DO EQUILÍBRIO USANDO A REGRA DE LAMY 
6) Empregue a “Regra dos Senos” e verifique se ela é obedecida, e dentro de que incertezas. Por 
respeito ao FORMALISMO, NÃO PROCEDA COM AS IGUALDADES! PRIMEIRO calcule as 
frações f i = Fi / sen(θ i) e depois COMPARE os valores obtidos (não esqueça as incertezas). 
7) Repita os passos anteriores (de 1 à 5) para três diferentes valores de massa no trio de contra-pesos, 
tal que as Tabelas 1, 2 e 3 sejam totalmente preenchidas. 
 
PARTE 3: ANÁLISE DO EQUILÍBRIO POR DECOMPOSIÇÃO ORTOGONAL 
8) Empregue a decomposição em componentes ortogonais a pelo menos uma situação montada e 
verifique se este procedimento prevê a resultante nula. 
 
V- SUGESTÃO DE FOLHA DE DADOS 
 
A “Mesa de Forças” consiste em um equipamento no qual podemos colocar certas “cargas” 
(objetos com peso mensurável) em suportes conectados entre si por fios atados a um anel e que passam 
por roldanas articuladas. Identifique estes ítens em sua bancada (ver Figura 5). Desta forma, é possível 
escolher “pesos” e posições dos carretéis tais que o anel metálico fique centrado na Mesa. 
Registrando as massas utilizadas e os ângulos apropriados ao equilíbrio, podemos calculara força 
aplicada por F = m g. 
 
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Logo, podemos preencher o seguinte quadro: 
Quadro 1: Dados Coletados 
Medida m1 θ1 m2 θ2 m3 θ3 
01 
02 
03 
 
Notemos que a Regra de Newton deve ser aplicada de forma a que, selecionadas as forças 
MEDIDAS e dois dos ângulos, o valor PREVISTO do ângulo de afastamento oposto à resultante deve 
corresponder ao valor MEDIDO. 
 
Tabela 1: Comparação de Valores pela Regra de Newton 
Medida VALOR 
MEDIDO F1 
VALOR 
MEDIDO F2 
VALOR 
PREVISTO F3 
pela expressão [2] 
VALOR 
MEDIDO F3 
01 
02 
03 
 
ATENÇÃO AOS VALORES DE INCERTEZAS: 
• Se iiiii mggmFgmF δδδ +=⇒= . 
• A incerteza na previsão do valor de F3, usando a expressão [2] é: 
[ ]
321
2
2
2
1
321321
3
cos2
sen2)cos1)((δ
θ
θθ
FFFF
FFFFF
++
+++
= 
• A incerteza na previsão do valor de uma fração fi, usando a expressão [4] é: 
( )2sen
δ sen δ cos δ
i
iiiii
i
FF
f
θ
θθθ +
= 
(sendo δθ i expresso em radianos!). 
• A incerteza na previsão do valor de resultantes por decomposição ortogonal, usando as 
expressões [5] e [6], é: 
 
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( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ] δsenδcos
 δcosδsen
1
1
∑
∑
=
=
+=
+=
N
i
iiiiiy
N
i
iiiiix
FFR
FFR
αααδ
αααδ
 
(Novamente, sendo δα i expresso em radianos!). 
 
Empregando o Teorema de Lamy, as três forças são consideradas de uma vez só. 
Tabela 3: Comparação de Valores pelo Teorema de Lamy 
Medida f1 f2 f3 
01 
02 
03 
 
 
Seus resultados devem ser apresentados em um relatório com o seguinte formato: 
 
1. TÍTULO 
2. OBJETIVOS 
3. DESCRIÇÃO DO EQUIPAMENTO (lista de material, identificado no desenho das montagens) 
4. REFERENCIAL TEÓRICO (Leis de Newton, Definição de Força, Dedução das fórmulas empregadas, 
etc.) 
5. PROCEDIMENTOS EXPERIMENTAIS (etapas das medidas, listadas de forma procedural lógica) 
6. APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS (tabelas, cálculo dos valores, etc...) 
7. DISCUSSÃO DOS RESULTADOS (interpretação dos resultados obtidos) 
8. CONCLUSÃO (resposta aos objetivos declarados) 
9. OBSERVAÇÕES FINAIS 
10. BIBLIOGRAFIA. 
 
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