Calculo I - Substituição Trigonométrica

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SALA: 214 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral B 
Sexta Feira 
 
 
 
 
 
8a Aula Integrais indefinidas 
 
Integração por substituição 
de variáveis trigonométricas 
 
 
 
Códigos: T1106 B / T6003 B / T9003 
 
Turma: MEC108AN 
 
 
 
 
Prof. HANS-ULRICH 
 PILCHOWSKI 
 
 
 Versão: 1o Semestre de 2009 
 
Prof. Hans-Ulrich Pilchowski Notas de aula Cálculo Diferencial e Integral B 
 
 1 
 
 
Integração por substituições trigonométricas 
 
 
Para determinar a área de um círculo ou uma elipse, ter-se-á de integrar uma integral do 
tipo ∫ −= dxxay
222 , onde 0>a . Se a integral fosse ∫ −= dxxaxy
22
, a 
substituição 22 xau −= seria eficaz, mas, como a integral é ∫ − dxxa
22
, esta 
substituição não é possível. Porém, se a troca de variável for ( )φ= senax , então a 
identidade ( ) ( )φ=φ− 22 cossen1 faz com que a raiz possa ser eliminada, isto é, 
 
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )φφφφφ coscoscossen1sen 222222222 aaaaaaxa ===−=−=− . 
 
Donde para ( ) ( ) φφφ dadxax cossen =⇒= e assim a integral fica: 
 
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )∫∫∫∫ ==−=− φφφφφφφφ dadaadaaadxxa 2222222 coscoscoscossen , 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )φφφφφφφφφφ cossen
24
cossen2
24
2sen
2
cos
2
2222 +=





+=





+== ∫
a
aaday , 
 
retornando para a variável inicial x , a partir de ( )φ= senax , tem-se 
 
( ) ( ) ( ) 22
2
2 11sen1cosarcsensen xa
aa
x
e
a
x
a
x
−=





−=−=





=⇒= φφφφ 
 
Portanto, 
 
Cxax
a
x
axa
aa
x
a
xadxxay +−+





=











−+





=−= ∫
22222
2
22 arcsen
1
arcsen
2
22 . 
 
 
Neste caso, a variável antiga passa a ser uma função da nova variável. Em geral 
pode-se fazer a substituição na forma ( )tgx = usando a regra da substituição ao 
contrário, isto é, assume-se que ( )tg possui uma função inversa, de forma que ao trocar-
se u por x e x por t , na regra da substituição, obtém-se: ( ) ( )[ ] ( ) dttgtgfdxxf ⋅= ∫∫ , 
que é denominado de substituição inversa. 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Hans-Ulrich Pilchowski 6a Aula Integração por substituição de variáveis trigonométricas 
 2 
 
Assim, as substituições normalmente utilizadas nestes casos são: 
 
Expressão substituição identidade 
22 xa − ( )φ= senax para 
22
pi≤φ≤pi− ( ) ( )φ=φ− 22 cossen1 
22 xa + ( )φ= tanax para 
22
pi
<φ<pi− ( ) ( )φφ 22 sectan1 =+ 
22 ax − ( )φ= secax para 
2
0 pi<φ≤ ( ) ( )φ=−φ 22 tan1sec 
 
 
Exemplo: Calcular a integral dx
x
xy ∫
−
= 2
29
 
 
Solução: seja ( )φ= sen3x , onde 
22
pi≤φ≤pi− . Então, ( ) φφ= ddx cos3 e 
 
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )φ=φ=φ=φ−=φ−=− cos3cos3cos9sen19sen999 2222x . 
 
Donde a regra da substituição inversa faz, com que 
 
( )
( ) ( )( )
( )
( )
( )
( ) φφ
φ
=φφ
φ
=φφφ
φ
=
−
= ∫∫∫∫ ddddxx
xy 2
2
2
2
22
2
sen
cos
sen9
cos9
cos3
sen9
cos39
 
 
tabela: ( ) ( ) cxxdxx +−−=∫ cotcot 2 
 
( ) ( ) Ccotdcoty +φ−φ−=φφ= ∫ 2 . 
 
Porém, deve voltar-se à variável original x , então do triângulo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 obtém-se, ( ) ( )( ) x
x 29
sen3
cos3
cot
−
=φ
φ
=φ 
( ) 29cos3 x−=φ 
3 ( )φ= sen3x
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 3 
 
 e de ( ) ( ) 





=φ⇒=φ⇒φ=
3
arcsen
3
sensen3 xxx , tem-se: 
 
Cx
x
xdx
x
xy +





−
−
−=
−
= ∫ 3
arcsen
99 2
2
2
 
 
Exemplo: Calcular a integral dx
xx
y ∫
+
=
4
1
22
 
 
Solução: seja ( )φ= tan2x , onde 
22
pi
<φ<pi− . Então, ( ) φφ= ddx 2sec2 e 
 
 
( )[ ] ( ) ( ) ( )φ=φ=φ=+φ=+ secsecsectanx 224144 222 . 
 
 
Donde a regra da substituição inversa faz, com que 
 
 
( )
( ) ( )
( )
( )∫∫∫ φ
φφ
=φ⋅φ
φφ
=
+
= 22
2
22 tan
sec
4
1
sec2tan4
sec2
4
dd
xx
dxy 
 
 
Para avaliar essa integral faz-se 
 
 
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )φ
φ
=φ
φ
φ=φ
φ
22
2
2 sen
cos
sen
cos
cos
1
tan
sec
 
 
 
( )
( ) ( )
( ) C
uu
dud
xx
dxy +φ−=φ−=




−==φ
φφ
=
+
= ∫∫∫ 4
csc
sen4
11
4
1
4
1
sen
cos
4
1
4 2222
 
 
 
 
Porém, deve voltar-se à variável original x , então do triângulo 
 
 obtém-se, ( )
x
x 4
csc
2 +
=φ 
 
 C
x
x
xx
dxy ++−=
+
= ∫
4
4
2
22
 
 
 
42 +x 
2 
( )φ= tan2x 
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 4 
 
 
Do triângulo mostrado a seguir, podem ser obtidas as seguintes relações obtém-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício: Calcular a integral dx
x
xy ∫
+
=
42
 
 
 
Solução: seja ( )φ= tan2x , onde 
22
pi
<φ<pi− . Então, ( ) φφ ddx 2sec2= e 
 
 
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )φφφφφ sec2sec2sec21tan21tan44 2222 ===+=+=+x . 
 
Donde a regra da substituição inversa faz, com que 
 
 
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )∫∫∫∫ ===+= φφ
φφφφφφ
φφφ ddd
x
xdxy
cos
secsen2sectan2
sec2
sectan4
4
2
2
 
 
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) uu
dudu
u
y
dud
ddu
u
dy 22
sen
sen2
sen
sen
cos
cos
sen2 222 −===⇒







=
=
=
⇒= ∫∫∫ φ
φ
φφ
φφ
φ
φφ
φ
 
 
Deve voltar-se à variável φ , por tanto 
 
( )φcos
22
−=−=
u
y 
 
 
Porém, deve voltar-se à variável original x , então do triângulo a partir da definição 
( )φ= tan2x , ou seja, deve-se obter a relação entre o ( )φcos e x . Assim, tem-se que 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )φφφφφ 2
2
2
2
22
cos
1
4
4
cos
1
2
1sectan1
2
tan =
+
⇒=





+⇒=+=
xx
e
x
 
21 t+ 
21 t− 
t2 
x 
( )
( )
( )
( )[ ]
( ) ( )( )









+
=
+
−
=






+
=
⇒









−
=
+
−
=
+
=
2
22
2
2
2
2
2
2
1
2
1
12
1
2
1
2
1
1
1
2
t
dtdx
dt
t
tdxxcos
t
t
td
d
xsen
dx
d
t
t
xtan
t
t
xcos
t
t
xsen
 
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 5 
 
 
( ) ( ) ( ) 2
4
cos
1
4
4
cos
1
4
4
cos
1 22
2
2
2
xxx +
=⇒
+
=⇒
+
= φφφ , 
 
 
Portanto, 
 
( ) Cx
xy ++−=+−=−= 2
2
4
2
42
cos
2
φ 
 
 
 
Exercício: Calcular a integral dxxy ∫ −= 1
2
 
 
 
Solução: seja ( )φsec=x , onde 
2
0 piφ << . Então, ( ) ( ) φφφ ddx sectan= e 
 
 
( ) ( ) ( )φφφ tantan1sec1 222 ==−=−x . 
 
Donde a regra da substituição inversa faz, com que 
 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫ ==−= φφφφφφφ dddxxy sectansectantan1 22
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) uu
duduuy
dud
ddu
u
dy 22
sectan
sectan
2
1
sectan2
sectan2
tan
sectan 22
2
2
2
2
−===⇒







=
=
=
⇒= ∫∫∫ φφ
φφ
φφφ
φφφ
φ
φφφ
 
 
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) uu
dudu
u
y
dud
ddu
u
dy 22
sen
sen2
sen
sen
cos
cos
sen2 222 −===⇒







=
=
=
⇒= ∫∫∫ φ
φ
φφ
φφ
φ
φφ
φ
 
 
Deve voltar-se à variável φ , por tanto 
 
( )φcos
22
−=−=
u
y 
 
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 6 
 
Porém, deve voltar-se à variável original x , então do triângulo a partir da definição 
( )φ= tan2x , ou seja, deve-se obter a relação entre o ( )φcos e x . Assim, tem-se que 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )φφφφφ 2
2
2
2
22
cos
1
4
4
cos
1
2
1sectan1
2
tan =
+
⇒=





+⇒=+=
xx
e
x
 
 
 
( ) ( ) ( ) 2
4
cos
1
4
4
cos
1
4
4
cos
1 22
2
2
2
xxx +
=⇒
+
=⇒
+
= φφφ , 
 
 
Portanto, 
 
( ) Cx
xy ++−=+−=−= 2
2
4
2
42
cos
2
φ 
 
Exemplo: 
 
( ) ( )( ) ( )∫∫∫∫∫ ⋅−−=+⋅−=+⋅
+
−
+
==
1
22
1
2
1
2
1
2
1
1
1
2
22222
2
2
2
t
tdt
t
dt
t
t
t
dt
t
t
t
t
dx
xcos
xsendxxtan 
 
t
dudttdtdutu
2
22 =⇒=⇒= 
 
 
 
( ) ∫∫∫
−
−=⋅
−
−=
1
2
21
22 22 u
du
t
du
u
tdxxtan 
 
 
22
22
1
2
1
axc
a
x
cotharc
a
c
ax
ax
n
aax
dx
>+





−=+
+
−
=
−
∫ l 
 
 
 
( ) ( ) Cxn
t
t
n
u
u
n
u
dudxx +−=
+
−
−=




+
−
−=
−
−= ∫∫ cos1
1
1
1
2
12
1
2tan 2
2
2 lll 
 
 
Exercício: 
 
 ( ) C
x
tt
dt
t
dt
t
tx
dx
+





−=−==
+
⋅
+
−
−
=
−
∫∫∫ 2
cot
1
1
2
1
11
1
cos1 22
2
2 
 
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 7 
 
Lista de Exercícios: 
 
1) C
x
x
xx
dx
+
−−
=
−
∫ 16
16
16
2
22
 
2) C
x
x
xx
dx
+
−
=
−
∫ 4
4
4
2
22 
3) C
t
t
tt
dt
+
−+
=
+
∫
55
ln
5
1
52
 
 
 
4a LISTA DE EXERCÍCIOS 
 
Exercícios a serem entregues na 9a aula: em 08.05.2009, 
no momento em que entrar na sala de aula 
 
 
Integrar as seguintes funções que envolvem a introdução de variáveis trigonométricas 
 
1o Exercício: integrar ∫
− 162
2
x
dxx
 
 
2o Exercício: integrar ∫
+ 225 x
dx