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Engenharia Ele´trica - Ca´lculo I Lista IV - Limites 1. Use a definic¸a˜o de limites por � e δ para mostrar os limites abaixo: (a) lim x→4 (2x+ 1) = 9 (b) lim x→1 x2 = 1 (c) lim x→5 (x2 − 3x) = 10 2. Encontre os limites abaixo: (a) lim x→3 4x− 5 5x− 1 (b) lim x→4 3 √ x2 − 3x+ 4 2x2 − x− 1 (c) lim x→0 √ x+ 2−√2 x (d) lim x→−2 y3 + 8 y + 2 3. Dada f(x) = { 3x+ 2, se x < 4, 5x+ k, se 4 ≤ x. , ache os valores de k para os quais limx→4 f(x) exista. 4. Ache o limite em cada item: (a) lim x→2+ t+ 2 t2 − 4 (b) lim x→3+ √ x2 − 9 x− 3 5. Para cada uma das func¸o˜es abaixo, ache a ass´ıntota vertical do gra´fico e fac¸a um esboc¸o dele: (a) f(x) = 1 x (b) f(x) = 1 x2 (c) f(x) = 1 x3 (d) f(x) = 1 x4 6. Ache as ass´ıntotas verticais dos gra´ficos das func¸o˜es abaixo e fac¸a um esboc¸o: (a) f(x) = −2 x+ 3 (b) f(x) = −2 (x+ 3)2 7. Ache os limites abaixo: (a) lim x→∞ x+ 4 3x2 − 5 (b) lim x→∞ 7x2 − 2x+ 1 3x2 + 8x+ 5 (c) lim y→∞ 2y2 − 3y y + 1 (d) lim x→∞( √ x2 + 1− x) 8. Ache as ass´ıntotas horizontais dos gra´ficos das func¸o˜es abaixo e fac¸a um esboc¸o do gra´fico: 2 (a) f(x) = 2x+ 1 x− 3 (b) f(x) = 2√ x2 − 4 (c) f(x) = 4x2 x2 − 9 9. Para cada func¸a˜o abaixo, esboce o gra´fico e explique usando a definic¸a˜o porque a func¸a˜o na˜o e´ cont´ınua. (a) f(x) = x2 + x− 6 x+ 3 (b) f(x) = x 2 + x− 6 x+ 3 , se x 6= −3, 1, se x = −3. (c) f(x) = { 5 x− 4 , se x 6= 4, 2, se x = 4. 10. Prove que cada func¸a˜o abaixo e´ descont´ınua no ponto a. Determine se a descontinuidade e´ essencial ou remov´ıvel, se for remov´ıvel redefina f(a) para que a func¸a˜o seja cont´ınua. (a) f(t) = { 9− t2, se x ≤ 2, 3t+ 2, se 2 < t. , a = 2. (b) f(t) = { |x− 3|, se x 6= 3, 2, se x = 3. , a = 3. (c) f(x) = 9x2 − 4 3x− 2 , a = 2 3 . 11. Determine os nu´meros nos quais a func¸a˜o dada e´ cont´ınua. (a) f(x) = x2(x+ 3)2 (b) f(x) = x3 + 7 x2 − 4 (c) f(x) = { 3x− 1, se x < 2, 4− x2, se 2 ≤ x. 12. Resolva os limites abaixo usando a continuidade das func¸o˜es: (a) lim x→1 ex 2−x (b) lim x→pi sin (x+ sinx) 13. Ache os valores das constantes k e c que tornam a func¸a˜o cont´ınua em (−∞,∞). (a) f(x) = { 3x+ 7, se x ≤ 4, kx− 1, se 4 < x. (b) f(x) = x, se x ≤ 1,cx+ k, se 1 < x < 4−2x, se 4 ≤ x 14. Dada a func¸a˜o abaixo e o intervalo [a, b], verifique se e´ poss´ıvel aplicar o Teorema do Valor Inter- media´rio para o k dado. Se for poss´ıvel, encontre c tal que f(c) = k. Se na˜o for poss´ıvel explique porqueˆ. Fac¸a o esboc¸o do gra´fico e da reta y = k. (a) f(x) = 2 + x− x2;[a, b] = [0, 3]; k = 1. (b) f(x) = √ 25− x2;[a, b] = [−4.5, 3]; k = 3. (c) f(x) = 4 x+ 2 ;[a, b] = [−3, 1]; k = 1 2 . Bons estudos!
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