Introdução a Conjuntos e Funções

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PRÉ- CÁLCULO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prezado(a) aluno(a), 
O Grupo Educacional FAVENI reafirma o compromisso de oferecer uma 
formação de excelência, reconhecendo que a modalidade de estudo confere ao 
aluno autonomia e flexibilidade para organizar seus estudos de acordo com suas 
necessidades e rotina. Nesse contexto, é fundamental que o estudante estabeleça 
uma rotina de estudos disciplinada e consistente, reservando horários para leitura, 
reflexão e realização das avaliações propostas. 
Reiteramos ainda que o ambiente virtual é equiparável ao presencial no que 
concerne à troca de conhecimentos e esclarecimento de dúvidas. Assim como em 
sala de aula, onde a interação acontece espontaneamente, no semipresencial o 
diálogo deve acontecer por meio dos canais disponíveis no Portal do Aluno e nos 
encontros ao polo. Incentivamos você a utilizar esses recursos para questionar, 
esclarecer dúvidas e aprofundar seu entendimento sobre os conteúdos abordados, 
pois suas perguntas serão respondidas de forma ágil e eficiente pelo nosso 
suporte. 
Lembre-se de que a autonomia no processo de aprendizagem implica 
também responsabilidade. A gestão do seu tempo, o cumprimento dos prazos e a 
organização das tarefas são essenciais para o seu crescimento acadêmico. 
Aproveite a flexibilidade que o curso oferece, estabelecendo uma rotina compatível 
com seus compromissos pessoais e profissionais. 
Desejamos sucesso em sua jornada de estudos e reforçamos nossa 
disposição em apoiá-lo(a) na construção de um aprendizado sólido e significativo. 
Bons estudos! 
 
 
 
1 FUNÇÕES: ASPECTOS INTRODUTÓRIOS 
1.1 Conjuntos 
Para facilitar a compreensão, faremos uma analogia do conceito de conjunto 
com uma situação cotidiana. Perceba que uma simples lista de compras é um 
exemplo real de um conjunto: a principal utilidade oferecida pela lista de compras é 
responder à pergunta "aqui está um item na loja; está na lista?" 
Observe que, para responder a esta pergunta, a ordem dos itens listados na 
lista de compras não importa, e repetir uma entrada é equivalente a ter uma única 
instância dessa entrada. Isso nos leva à definição do termo conjunto, de acordo com 
Watson (2018): 
 
 
 
Fonte: Adaptado de Watson, 2018. 
O termo objeto nesta definição é deliberadamente vago. Os conjuntos podem 
conter qualquer tipo de dados: números, palavras, símbolos, círculos, quadrados, 
outros conjuntos e muitos outros. Se um conjunto contém um número finito de 
elementos, podemos escrever: da seguinte forma: 
 
Por exemplo é o conjunto de: {2,3,5,7} que são primos. 
A operação fundamental fornecida por um conjunto é verificando adesão dos 
elementos, então escrevemos para indicar que é um elemento do conjunto: 
Caso não for um elemento dele, escrevemos: 
Se dois conjuntos têm os mesmos elementos, então eles são considerados 
iguais. Por exemplo: 
 
 
 
 
Por esse motivo, normalmente listamos os elementos de um conjunto sem 
duplicação. Já o conjunto que não contém elementos é chamado de vazio, e é 
denotado por ∅ ou {}, por outro lado o conjunto com apenas um elemento é 
chamado de unitário. Alguns conjuntos com nomes padrão e especialmente 
compostos incluem: 
, o conjunto dos números reais; 
, o conjunto dos números racionais; 
, o conjunto de inteiros, e 
, o conjunto dos números naturais. 
Contudo, ainda temos os conjuntos finitos, que são aqueles com um fim 
determinado, por exemplo o conjunto das consoantes. E os conjuntos infinitos, que 
não sabemos qual é o último elemento, por exemplo o conjunto dos números e ele é 
representado por ∞. Ainda de acordo com Watson (2018), a representação de um 
conjunto pode ser: 
• Pela enumeração dos elementos: B = {A, E, I, O, U} 
• Pela característica dos elementos: A = {x/x é número primo} 
• Através de diagrama. 
1.2 Subconjuntos 
Para Watson (2018), a ideia de igualdade de conjuntos pode ser dividida em 
duas relações separadas: dois conjuntos são iguais se o primeiro conjunto contém 
todos os elementos do segundo conjunto, e vice-versa. 
 
Fonte: Adaptado de Watson, 2018. 
 
 
 
Se visualizarmos um conjunto como um Diagrama de Venn e seus elementos 
como pontos, o relacionamento do subconjunto ficará assim: 
 
Fonte: Watson, 2018. 
Perceba que aqui tem S 7 elementos e T tem 4 elementos, assim, dois 
conjuntos são iguais se cada um, é um subconjunto do outro. O relacionamento 
entre "⊂" e "=" tem um análogo de número real: podemos dizer que x = y se, e 
apenas se, x ≤ y e y ≤ x. 
1.3 Listas 
Watson (2018) explica que os conjuntos são agrupamentos de dados com 
pouca estrutura: você pode verificar a associação (e executar operações 
relacionadas à verificação de associação, como uniões ou complementos), mas isso 
é tudo. 
Por exemplo, suponha que você se preocupe com a ordem em que os itens 
aparecem em sua lista de compras; talvez porque você queira pegar os itens em 
uma determinada ordem enquanto se move pela loja. Além disso, você pode listar 
um item várias vezes como forma de se lembrar de que deve pegar mais de um. 
 
Fonte: Adaptado de Watson, 2018. 
 
 
 
Por exemplo, se considerarmos {1,2,3} e {2,1,3} como listas, então eles são 
desiguais porque as ordens em que os elementos aparecem são diferentes. Além 
disso, a lista possui três elementos, pois elementos repetidos não são considerados 
redundantes: {1,1,2}. Logo, existem 8 subconjuntos de {1,2,3}: 
 
Não distinguimos conjuntos e listas notacionalmente, portanto, contaremos 
com o contexto para deixar claro se a ordem é importante e se as repetições 
contam. 
1.4 Funções 
As listas de supermercado que você faz para si provavelmente não se 
parecem muito com um conjunto ou uma lista, porque a maneira mais rápida de 
indicar quanto de cada item comprar, é criar uma coluna separada: 
ITEM QUANT. 
Pão 3 
Arroz 1 
Óleo 3 
Fonte: Adaptado de Watson, 2018. 
Temos dois conjuntos aqui: o conjunto de itens de mercearia e o conjunto de 
inteiros positivos. Para cada elemento do primeiro conjunto, queremos associar a ele 
algum elemento do último conjunto. 
Observe que essa construção é assimétrica nos dois conjuntos: todo item de 
mercearia deve ter exatamente um número associado a ele, enquanto alguns 
inteiros positivos serão omitidos e outros podem estar associados a vários itens de 
mercearia. A ideia de anexar um dado a cada elemento de um conjunto, surge com 
muita frequência nas disciplinas quantitativas e merece um vocabulário próprio. 
Ainda de acordo com Watson (2018), ao observarmos fenômenos da nossa 
realidade, podemos caracterizar dois conjuntos e uma lei que associa os elementos 
desses conjuntos, por exemplo, o valor da conta de energia com a quantidade de Kw 
 
 
 
gasta. Assim, uma análise dessas três coisas, os dois conjuntos e a lei, nos 
esclarece a interdependência dos elementos destes conjuntos. Logo: 
 
Fonte: Adaptado de Demana, 2013. 
Conforme Demana et al. (2013), a melhor forma de compreender uma função, 
é comparando – a com o funcionamento de uma ‘máquina’, onde a entrada é 
representada pela variável (x) e a saída pela função f (x), conforme a Fig.1 abaixo: 
Figura 1- Diagrama de uma “máquina” para compreender função. 
 
Fonte: Demana, 2013. 
 
 
 
Ainda de acordo com o autor, também podemos entendê-la como uma 
relação dos elementos do domínio com os elementos da imagem, observe as figuras 
abaixo: 
Figura 2 (a): Diagramas retratando a relação de X em Y, que é função. 
 
Fonte: Demana, 2013. 
Figura 2 (b): Diagramas retratando a relação de X em Y, que não é função. 
 
Fonte: Demana, 2013. 
Perceba que a Fig.2 (a) mostra uma função que relaciona os elementos do 
domínio X com os elementos da imagem Y. Já a Fig.2 (b) mostra outra relação, 
porém essa não é de uma função, pois o elemento x1 não é associado a um único 
 
 
 
elementoaritméticas em números complexos. 
Adição e subtração 
Para adicionar ou subtrair dois números complexos, você adiciona ou subtrai 
as partes reais e as partes imaginárias. (BROWN; HERMAN, 2003). 
(a + b i ) + (c + d i ) = (a + c) + (b + d) i. 
(a + b i ) - (c + d i ) = (a - c) + (b - d) i. 
 
Exemplo 3. 
(3 - 5 i ) + (6 + 7 i ) = (3 + 6) + (-5 + 7) i = 9 + 2 i. 
(3 - 5 i ) - (6 + 7 i ) = (3 - 6) + (-5 - 7) i = -3 - 12 i. 
Observação 
Essas operações são as mesmas que combinar termos semelhantes em 
expressões que possuem uma variável. Por exemplo, se fôssemos simplificar a 
expressão (3 - 5x) + (6 + 7x) combinando termos semelhantes, as constantes 3 e 6 
seriam combinadas e os termos -5x e 7x seriam combinados para produzir 9 + 2x. 
Multiplicação 
A fórmula para multiplicar dois números complexos é: 
(a + b i ) * (c + d i ) = (ac - bd) + (ad + bc) i. 
 
 
 
Você não precisa memorizar esta fórmula, porque pode chegar ao mesmo 
resultado tratando os números complexos como expressões com uma variável, 
multiplique-os como de costume e depois simplifique. A única diferença é que as 
potências de i simplificam, enquanto as potências de x não. (BROWN; HERMAN, 
2003). 
Exemplo 4. 
(2 + 3i )(4 + 7i ) = 2*4 + 2*7 i + 4*3 i + 3*7* i 2 
 
= 8 + 14i + 12i + 21*(-1) 
 
= (8 - 21) + (14 + 12) i 
 
= -13 + 26 i. 
Observe que na segunda linha do exemplo, o i 2 foi substituído por -1. Usando 
a fórmula da multiplicação, teríamos passado diretamente para a terceira linha. 
 
Exercício 2: 
Execute as seguintes operações. 
(a) (-3 + 4 i ) + (2 - 5 i ). -- (b) 3 i - (2 - 4 i ). 
(c) (2 - 7i )(3 + 4i ). -- (d) (1 + i )(2 - 3 i ). 
Solução: 
(a) -1 – i 
(b) -2 + 7i 
(c) 34 - 13i 
(d) 5 - i 
Divisão 
Definição: O conjugado (ou conjugado complexo) do número complexo a + 
b i é a - b i. Os conjugados são importantes porque um número complexo 
multiplicado por seu conjugado é real; ou seja, sua parte imaginária é zero. 
(BROWN; HERMAN, 2003). 
(a + b i )(a - b i ) = (a 2 + b 2 ) + 0 i = a 2 + b 2 . 
 
 
 
Exemplo 5 
NÚMERO CONJUGADO PRODUTOS 
2 + 3 i 2 - 3 i 4 + 9 = 13 
3 - 5 i 3 + 5 i 9 + 25 = 34 
4 i -4 i 16 
Suponha que queremos fazer o problema da divisão (3 + 2 i) ÷ (2 + 5 i). 
Primeiro, queremos reescrever isso como uma expressão fracionária: . 
Mesmo que não tenhamos definido a divisão, ela deve satisfazer as 
propriedades da divisão ordinária. Assim, um número dividido por si mesmo será 1, 
onde 1 é a identidade multiplicativa; ou seja, 1 vezes qualquer número é esse 
número. 
Então, quando multiplicamos por , estamos multiplicando por 1 
e o número não é alterado. 
Observe que o quociente à direita consiste no conjugado do denominador 
sobre si mesmo. Essa escolha foi feita para que, ao multiplicarmos os dois 
denominadores, o resultado seja um número real. (BROWN; HERMAN, 2003). 
Aqui está um problema de divisão completo, com o resultado escrito na forma 
padrão. 
 
Exercício 3: 
Escreva (2 - i ) ÷ (3 + 2 i ) na forma padrão. 
Solução: 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
AGARWAL, RP, PERERA, K., PINELAS, S. História dos Números Complexos. In: 
Uma Introdução à Análise Complexa. Springer, Boston, MA – 2011. 
BROWN, J. HERMAN, R. Matemática 111: Função Inversa. College Algebra-
Livraria UNCW. EUA, 2003. 
DEMANA, F. D. et al. Pré-cálculo. 1ª ed. – São Paulo: Pearson, 2008. 
DEMANA, F. D. et al. Pré-cálculo. 2ª ed. – São Paulo: Pearson, 2013. 
DEMANA, F. D. et al. Pré-cálculo. Thaícia Stona. – 2. ed. – São Paulo: Pearson 
Education do Brasil, 2013. 
GARRETT, P. Cálculo Refrescante (Calculus Refresher). Dover Publications – 
EUA. 2008. 
JOHNSON, L. Funções compostas. Bangalore, Índia. 2016. E-book. 
JOHNSON, L. Funções Polinomiais. Bangalore, Índia. 2016. E-book. 
JOHNSON, L. Limites. Bangalore, Índia. 2016. E-book. 
KHURMA, M. Funções Logarítimicas. Bangalore, Índia. 2017. E-book. 
LOTHA, G. Funções Trigonométricas – Explicação e Exemplos. Britânica, 2020. 
E-book. 
MAIOLI, D. S. Curso de Pré-Cálculo. São Paulo, 2020. E-book. 
MASTIN, L. Função de Potência – Propriedades, Gráficos e Aplicações. Nova York 
- EUA, 2020. 
NYKAMP, D. Q. A função exponencial. Mineápolis - Universidade de Minnesota, 
2020. E-book. 
STRANG, G. HERMAN, R. Cálculo Volumes 1: Limites de uma função. College 
Algebra- Livraria UNCW. EUA, 2016. 
WATSON, S.S. Data1010: Conjuntos e Funções. Brown University – Providence, 
EUA. 2018. E-book. 
 
http://lattes.cnpq.br/4477954531441251de Y, contrariando a regra vista anteriormente. Observe os exemplos de 
Maioli (2020): 
1. Quais dos seguintes diagramas são funções? 
 
Solução: Apenas o diagrama 3. 
De acordo com a resposta obtida, demonstre qual é o Domínio, 
Contradomínio e a Imagem. 
Solução: Domínio = {a, b, c} // Contradomínio = {a, b, c} // Imagem = {a} 
 
2. Calcule o maior subconjunto dos números reais, que é possível atribuir como 
Domínio das seguintes funções: 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Outra maneira de forma de observar funções, é graficamente. Para Demana 
et al. (2013), o gráfico da função y = f (x) é o conjunto de todos os pontos (x, f (x)), 
com x pertencente ao domínio da função. Pelo gráfico é possível observar os valores 
do domínio sobre o eixo horizontal x, e os valores da imagem sobre o eixo vertical y, 
tomando como referência os pares ordenados (x, y) do gráfico de y = f (x). Observe 
os gráficos abaixo: 
 
Fonte: Demana, 2013. 
Perceba que o gráfico em (c) não é de uma função, o que é intuitivo pois há 
três pontos no gráfico com a mesma coordenada x= 0, não existindo, dessa forma, 
um único valor de y para esse valor x = 0. Nota-se que isso também ocorre para 
outros valores de x (aprox. entre 22 e 2), já nos outros dois gráficos, nenhuma linha 
vertical (imaginária) os cruza em mais de um ponto. Sendo assim, os gráficos que 
passam por esse teste da linha vertical são gráficos de funções. 
 
Fonte: Adaptado de Demana, 2013. 
2 FUNÇÃO POLINOMIAL: CONCEITOS INTRODUTÓRIOS 
Antes de apresentar o conceito de funções polinomiais, é necessário 
relembrar o que é um polinômio. Conforme Demana et al. (2008, p. 23), “ um 
polinômio em x é qualquer expressão que pode ser escrita na forma: 
 
 
 
 
Onde n é um inteiro não negativo e an ≠ 0. Os números an -1, ..., a1, a0, são 
números reais chamados coeficientes. ” 
Sendo assim, é possível entender que as funções polinomiais são expressões 
que podem conter variáveis de vários graus, coeficientes, expoentes positivos e 
constantes. Aqui estão alguns exemplos de funções polinomiais, conforme Johnson 
(2016): 
 
Uma função polinomial na forma padrão é: 
 
Fonte: Adaptado de Johnson, 2016. 
Essa expressão algébrica é chamada de função polinomial na variável x. 
Onde: 
• a n, a n-1, … a 0 são constantes de números reais; 
• a n não pode ser igual a zero e é chamado de coeficiente líder; 
• n é um inteiro não negativo, e cada expoente da variável na função 
polinomial deve ser um número inteiro. (JOHNSON, 2016) 
O grau da função polinomial é a maior potência da variável à qual ela é 
elevada. Considere esta função polinomial: f(x) = -7𝑥³+ 6x² + 11x – 19 
 
 
 
O maior expoente encontrado é 3 de -7𝑥³. Isso significa que o grau desse 
polinômio em particular é 3. Os quatro tipos mais comuns de polinômios usados em 
pré-cálculo e álgebra são função polinomial zero, função polinomial linear, função 
polinomial cúbica e função polinomial quadrática. Para determinar se uma função é 
polinomial ou não, a função precisa ser verificada em certas condições para os 
expoentes das variáveis. Estas condições são as seguintes: 
• O expoente da variável na função em cada termo deve ser apenas um número 
inteiro não negativo, ou seja, o expoente da variável não deve ser uma fração 
ou número negativo. 
• A variável da função não deve estar dentro de um radical, ou seja, não deve 
conter nenhuma raiz quadrada, raiz cúbica, etc. 
• A variável não deve estar no denominador. A tabela 1 abaixo, mostra um 
exemplo e alguns não-exemplos de funções polinomiais: (JOHNSON, 2016) 
Tabela 1: Exemplos e alguns não-exemplos de funções polinomiais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Adaptado de Johnson, 2016. 
Lembrando que os coeficientes podem ser frações, números negativos, 0 ou 
números positivos. É preciso apenas cuidar dos expoentes das variáveis, para 
determinar se é uma função polinomial. 
Podemos representar todas as funções polinomiais na forma de um gráfico. A 
imagem abaixo mostra os gráficos de diferentes funções polinomiais. Uma 
habilidade importante na geometria de coordenadas, é reconhecer a relação entre 
as equações e seus gráficos. 
https://www.cuemath.com/numbers/denominator/
 
 
 
 
Fonte: Adaptado de Johnson, 2016. 
Para representar graficamente uma função polinomial simples, geralmente 
fazemos uma tabela de valores com alguns valores aleatórios de x e os valores 
correspondentes de f (x). Em seguida, plotamos os pontos da Tabela 2 e os unimos 
por uma curva, aí é somente desenhar o gráfico para a função polinomial quadrática 
f (x) = x 2. 
Tabela 2: Pontos para elaboração do gráfico. 
 
Fonte: Adaptado de Johnson, 2016. 
Vamos traçar os pontos e uni-los por uma curva (também estendê-la em 
ambos os lados) para obter o gráfico da função polinomial. 
 
 
 
 
 
Fonte: Adaptado de Johnson, 2016. 
Os zeros (que também são conhecidos como raízes ou interceptações x ) de 
uma função polinomial f(x) são números que satisfazem a equação f (x) = 0. 
Portanto, para encontrar os zeros de uma função polinomial f (x): 
Defina f (x) = 0 
Resolva a equação usando técnicas de resolução de equações . 
 
Exemplo: Determine quais das seguintes funções são polinomiais? 
 
Solução: 
Para que uma função seja uma função polinomial, os expoentes das variáveis 
não devem ser frações nem números negativos. 
a) f (x) = x 1/2 - 4x + 7 NÃO é uma função polinomial, pois tem um expoente 
fracionário para x. 
https://www.cuemath.com/geometry/x-intercept/
https://www.cuemath.com/algebra/solving-an-equation/
https://www.cuemath.com/numbers/fractions/
 
 
 
b) g (x) = x 2 - 4x + 7/x = x 2 - 4x + 7x -1 NÃO é uma função polinomial, 
pois tem um expoente negativo para x. 
c) f (x) = x 2 - 4x + 7 é uma função polinomial. 
d) f (x) = x 2 - 4√x + 7 = x 2 - 4x 1/2 + 7 NÃO é uma função polinomial, pois 
tem um expoente fracionário para x. 
2.1 Função potência 
Já trabalhou com uma função que contém um único termo? Provavelmente, 
você está trabalhando com uma função de potência. Esse tipo de função é tão 
diversificada que, se você estiver estudando funções, com certeza já encontrou um 
tipo de função de potência sem saber que é uma. De acordo com Mastin (2020): 
 
Fonte: Adaptado de Mastin, 2020. 
Isso significa, que há muitas funções principais que também são funções de 
potência. Para nos aprofundarmos nas propriedades importantes da função de 
potência, devemos entender a definição fundamental do seu conceito. Aqui está a 
forma geral das funções de potência: 
 
 
Fonte: Adaptado de Mastin, 2020. 
As funções de potência são funções na forma de f (x) = 𝑘𝑥𝑎 ou y = 𝑘𝑥𝑎, onde 
k é um coeficiente diferente de zero e a é um número real. Aqui estão alguns 
exemplos de funções de potência: 
 
 
 
y = -5x 2 y = 2 √x 
f (x) = 3/x 2 g (x) = 2x 3 
Fonte: Adaptado de Mastin, 2020. 
Observe como cada função contém apenas um único termo para cada 
exemplo – um importante identificador de funções de potência. Os expoentes das 
funções de potência também devem ser números reais, então vamos inspecionar 
cada expoente dos exemplos para confirmar isso: 
• A função y = -5x 2 e g (x) = 2x 3 são funções com números inteiros como seus 
expoentes, portanto, são funções de potência. 
• A função de raiz quadrada, y = 2 √x, pode ser reescrita como y = 2x 1/2, então 
seu expoente é um número real, então também é uma função de potência. 
• Aplicamos o mesmo processo com f (x) = 3/x 2 e temos f (x) = 3x -2 confirmando 
que é uma função potência já que -2 é um número real. (MASTIN, 2020). Abaixo 
estão apenas algumas funções principais, e vamos ver por que todas elas 
também são consideradas funções de potência: 
Função Principal Forma da Função 
Função Constante y = a 
Função Linear y = x 
Função Quadrática y = x 2 
Função Cúbica y = x 3 
Função Recíproca y = 1/ x, y = 1/ x 2 
Função Raiz Quadrada y = √x 
Fonte: Adaptado de Mastin,2020. 
Como essas funções principais contêm um termo cada e números reais para 
seus expoentes, todas são funções de potência. Ao representar graficamente as 
funções de potência, devemos ter em mente essas duas propriedades 
importantes: sua simetria e comportamento final. 
 
 
 
Aqui está um guia rápido sobre como podemos representar graficamente as 
funções de potência, para mostrar por que essas duas podem ajudar você a 
economizar tempo: 
• Determine se a função de potência é ímpar ou par; 
• Aplique transformações sempre que puder; 
• Encontre alguns pontos para ajudar a representar graficamente metade da 
função de potência; 
• Aplique a propriedade de simetria da função de potência dada; 
• Verifique novamente seus comportamentos finais. (MASTIN, 2020). 
Observemos o gráfico dessas funções de potência par: y = 2x 2 ey = -
4x 4. Para fazer o gráfico de cada função, plote alguns pontos encontrados no lado 
direito e reflita essa curva sobre o eixo y. 
 
Fonte: Adaptado de Mastin, 2020. 
Para ambos os gráficos, como os expoentes são pares, as funções também 
são pares e, consequentemente, seus gráficos são simétricos ao longo do eixo y. 
Vamos começar com funções de potência pares em que o coeficiente é 
positivo, como y = 2x 2 e como o coeficiente, 2, é positivo, o gráfico está abrindo 
https://www.storyofmathematics.com/even-and-odd-functions
 
 
 
para cima. Assim, podemos ver que quando x 0, a função é decrescente. Consequentemente, tanto o lado esquerdo quanto o 
lado direito da curva estariam subindo (↑). (MASTIN, 2020). 
Agora, vamos observar até funções de potência onde o coeficiente é negativo, 
como y = -4x 4 e como o coeficiente, -4, é negativo, o gráfico está abrindo para 
baixo. Aqui, podemos ver que quando x 0, a 
função é decrescente e isso significa que, para ambos os lados, esperamos que a 
curva diminua (↓). (MASTIN, 2020). 
Que tal funções de potência ímpares? Vamos observar essas duas funções: y 
= 3x 3 ey = -x 5. Para representar graficamente as duas funções, podemos plotar 
alguns valores no lado esquerdo ou direito do plano de coordenadas. Reflita o 
gráfico sobre a origem: 
 
Fonte: Adaptado de Mastin, 2020. 
 
Aqui estão alguns lembretes úteis ao trabalhar com funções de energia e suas 
aplicações: 
• Ao identificar se uma função é uma função de potência, certifique-se de que 
a expressão é um único termo, k é uma constante e a é um número real. 
 
 
 
• Os gráficos das funções de potência dependerão do valor de k e a. 
• Aplique as propriedades das funções pares e ímpares sempre que 
aplicável. 
• Ao encontrar a expressão para uma função de potência, sempre utilize a 
forma geral, y = kx a. 
Use a tabela abaixo para prever o comportamento final das funções de 
potência: 
Condição para k Funções de potência par Funções de potência ímpar 
Quando k > 0 
A função é decrescente quando x 0: 
Como x → ∞, y → ∞ 
A função é crescente ao 
longo do intervalo de x: 
Como x → – ∞, y → -∞ 
Como x → ∞, y → ∞ 
Quando k 
0: Como x → ∞, y → – ∞ 
A função é decrescente 
ao longo do intervalo de 
x: 
Como x → – ∞, y → ∞ 
Como x → ∞, y → – ∞ 
Fonte: Adaptado de Mastin, 2020. 
 Exemplo: (MASTIN, 2020). Preencha os espaços em branco com: sempre, às 
vezes e nunca para tornar as seguintes afirmações verdadeiras. 
a) Funções cúbicas são ______________ funções de potência. 
b) As funções constantes são _____________ funções de potência. 
c) As funções de potência ___________ terão expoentes negativos. 
Solução: Vamos em frente e inspecionar cada declaração: 
a. Alguns exemplos de funções cúbicas são 2x 3 e x 3 – x 2 + x – 1. Podemos ver que 
o primeiro exemplo é uma função potência, mas o segundo não. Isso significa que 
funções cúbicas às vezes podem ser funções de potência. 
 
 
 
b. A forma geral das funções constantes é y = c, onde c é qualquer constante 
diferente de zero. Podemos ver pela forma geral que, independentemente do valor 
de c, as funções constantes sempre terão um único termo com números reais como 
coeficiente e expoente. Assim, as funções constantes serão sempre funções de 
potência. 
c. Desde que a função contenha um único termo e um expoente de número real, ela 
será considerada uma função de potência. Isso significa que é possível ter 
expoentes positivos e negativos em uma função de potência. Portanto, às 
vezes eles podem ter expoentes negativos. (MASTIN, 2020). 
3 FUNÇÃO EXPONENCIAL 
De acordo com Nykamp (2020), a função exponencial é uma 
das funções mais importantes da matemática (embora possamos admitir que 
a função linear é ainda mais importante). Para formar uma função exponencial, 
deixamos a variável independente ser o expoente. Um exemplo simples é a função 
abaixo: 
 
Fonte: Nykamp, 2020. 
A função exponencial, como o próprio nome sugere, envolve expoentes, 
contudo uma função exponencial tem uma constante como base e uma variável 
como expoente, mas não o contrário (se uma função tem uma variável como base e 
uma constante como expoente, então é uma função de potência, mas não uma 
função exponencial). Mais então o que é função exponencial? 
https://mathinsight.org/definition/function
https://mathinsight.org/linear_function_one_variable
https://mathinsight.org/definition/independent_variable
https://mathinsight.org/exponentiation_basic_rules
 
 
 
Para Nykamp (2020), uma função exponencial básica, a partir de sua 
definição, é da forma f(x) = 𝑏𝑥, onde 'b' é uma constante e 'x' é uma variável. Uma 
das mais populares é f(x) = 𝑒𝑥, onde 'e' é o número de Euler − ou seja: 
 
Se estendermos as possibilidades de diferentes funções exponenciais, uma 
função exponencial pode envolver uma constante como um múltiplo da variável em 
sua potência. Isto é, uma função exponencial também pode ser da forma f(x) = 𝑒𝑘𝑥. 
Além disso, também pode ser da forma f(x) = 𝑝𝑒𝑘𝑥, sendo 'p' é uma constante. 
 
Assim, uma função exponencial pode estar em uma das seguintes formas: 
 
 
Fonte: Adaptado de Nykamp, 2020. 
Aqui, além de 'x', todas as outras letras são constantes, 'x' é uma variável e 
f(x) é uma função exponencial em termos de x. Observe que a base em cada função 
exponencial deve ser um número positivo. Sendo que nas funções acima, b > 0 e e 
> 0. Logo, b não deve ser igual a 1 (se b = 1, então a função f (x) = b x torna-se f(x) 
= 1 e neste caso, a função é linear, mas NÃO exponencial). (NYKAMP, 2020). 
Esta função surge sempre que o valor de uma quantidade aumenta em 
crescimento exponencial e diminui em decaimento exponencial. Podemos ver mais 
diferenças entre crescimento exponencial e declínio junto com suas fórmulas na 
tabela a seguir: 
Crescimento exponencial Decaimento Exponencial 
 
 
 
No crescimento exponencial, uma quantidade 
aumenta lentamente no início e depois aumenta 
rapidamente. 
 
No decaimento exponencial, uma quantidade 
diminui muito rapidamente no início e depois 
diminui lentamente. 
As fórmulas de crescimento exponencial são 
usadas para modelar o crescimento populacional, 
para modelar juros compostos, para encontrar o 
tempo de duplicação, etc. 
O decaimento exponencial é útil para modelar o 
decaimento populacional, para encontrar a meia-
vida, etc. 
O gráfico é crescente. O gráfico é decrescente. 
No crescimento exponencial, a função pode ser 
da forma: 
• f (x) = ab x , onde b > 1. 
• f (x) = a (1 + r) x 
• P = P 0 e k t 
Aqui, b = 1 + r ≈ e k . 
No decaimento exponencial, a função pode ser da 
forma: 
• f (x) = ab x , onde 0inicial 
r = Taxa de crescimento 
k = constante de proporcionalidade 
x (ou) t = tempo (o tempo pode ser em anos, dias, (ou) meses. O que estiver 
sendo usado deve ser consistente em todo o problema). (NYKAMP, 2020) 
Exemplo: A função 𝑔(𝑥) = (
1
2
)
𝑥
é um decaimento exponencial. Pois fica 
rapidamente menor à medida que x aumenta, conforme ilustrado por seu gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como observado no gráfico acima, a função exponencial aumenta 
rapidamente, então logo percebe-se que as funções exponenciais são soluções para 
os vários tipos de sistemas dinâmicos. Por isso é comum, uma função exponencial 
surgir em modelos de crescimento de cultura microbianos, já que ela pode 
descrever crescimento ou declínio. 
Representação gráfica: Vamos representar graficamente a função 𝑔(𝑥) =
(
1
2
)
𝑥
. Para tanto, construiremos uma tabela de valores com alguns valores 
aleatórios de x, plotaremos os pontos no gráfico, os conectaremos por uma curva e 
estenderemos a curva em ambas as extremidades. 
 
Gráfico resultante: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Adaptado de Nykamp, 2020. 
 
 
 
3.1 Função logarítimica 
 De acordo com Khurma (2017), as funções logarítmicas são as inversas das 
funções exponenciais: o inverso da função exponencial y = a x é x = a y. A função 
logarítmica y = log a x é definida para ser equivalente à equação exponencial: 
x = a y . y = log a x, e somente nas seguintes condições: x = a y, a > 0, e a ≠1, ela 
passa a ser chamada de função logarítmica de base a. As funções de log incluem 
logaritmo natural (ln) ou logaritmo comum (log), veja abaixo alguns exemplos de 
funções logarítmicas: 
• f(x) = ln (x - 2) 
• g(x) = log 2 (x + 5) - 2 
• h(x) = 2 log x, etc. 
Ou seja, a esta é a forma de função logarítmica, onde a é qualquer valor 
maior que 0, exceto 1. 
 
Alguns dos valores de expoentes não integrais podem ser calculados 
facilmente com o uso de funções logarítmicas. Encontrar o valor de x nas 
expressões exponenciais 2 x = 8, 2 x = 16 é fácil, mas encontrar o valor de x em 2 x = 
10 é difícil. Aqui podemos usar funções de log para transformar 2 x = 10 em forma 
logarítmica como log 2 10 = x e, em seguida, encontrar o valor de x. O logaritmo 
conta o número de ocorrências da base em múltiplos repetidos, e a fórmula para 
transformar uma função exponencial em uma função logarítmica é a seguinte: 
 
Fonte: Adaptado de Khurma, 2017. 
https://www.mathsisfun.com/algebra/logarithms.html
 
 
 
Por exemplo, a função exponencial 9 3 = 729, na forma logarítmica fica: 3 = log 9 729 
(ou log 9 729 = 3). 
Perceba que para a representação gráfica, existem algumas observações 
de acordo com Khurma (2017), observe: 
 a entre 0 e 1 a acima de 1 
 
 
Exemplo: f(x) = log ½ (x) Exemplo: f(x) = log 2 (x) 
Para um entre 0 e 1 
• Quando x se aproxima de 0, ele 
segue para o infinito 
• À medida que x aumenta, ele segue 
para o infinito 
• É uma função estritamente 
decrescente 
• Tem uma Assíntota Vertical** ao 
longo do eixo y (x=0). 
Para um acima de 1: 
• Quando x se aproxima de 0, ele segue 
para -infinito 
• À medida que x aumenta, ele se dirige 
para o infinito 
• É uma função estritamente crescente 
• Tem uma Assíntota Vertical** ao longo 
do eixo y (x=0). 
Fonte: Adaptado de Khurma, 2017. 
Uma assíntota é uma linha que se curva, à medida que se dirige para o 
infinito. Em geral, a função logarítmica: 
• Está sempre no lado positivo (e nunca cruza) o eixo y; 
• Sempre intercepta o eixo x em x=1 - Em outras palavras, ele passa 
por (1,0); 
 
 
 
• É igual a 1 quando x=a, ou seja, passa por (a,1); 
• É uma função injetiva (um-para-um); 
• Seu domínio são os números reais positivos: (0, + ∞); 
• Seu alcance são os números reais (R). 
Esta é a função logarítimica "natural": 
 
Onde e é " Número de Euler " = 2.718281828459... 
Porém é mais comum a encontrarmos assim: 
 
Onde: "ln" significa "log, natural" 
Portanto, quando você encontrar ln (x), lembre-se de que é a função 
logarítmica com base e: log e (x), e seu gráfico é representado desta forma: 
 
 
 Fonte: Adaptado de Khurma, 2017. 
 
No ponto (e,1) a inclinação da reta é 1/e, e a reta é tangente à curva. 
https://www.mathsisfun.com/sets/injective-surjective-bijective.html
https://www.mathsisfun.com/numbers/real-numbers.html
https://www.mathsisfun.com/numbers/e-eulers-number.html
 
 
 
As principais regras matemáticas que usamos para resolver as Funções 
Logarítimicas são: 
 
Fonte: Khurma, 2017. 
Exemplo: Expresse 4 3 = 64 na forma logarítmica. 
Solução: A forma exponencial a x = N pode ser escrita na forma de função 
logarítmica como log a N = x. 
Portanto, 4 3 = 64 pode ser escrito na forma logarítmica como log 4 64 = 3. 
Resposta: log 4 64 = 3 
Exemplo: Simplifique log 2 (1/128). 
Solução: Usamos as propriedades da função logarítmica para simplificar o 
logaritmo dado. 
log 2 (1/128) = log 2 1 - log 2 128 
= 0 - log 2 2 7 
= -log 2 2 7 
= -7 log 2 2 
= -7 (1) 
= -7 
Resposta: Log 2 (1/128) = -7 
Exemplo: Simplifique a expressão . : 
 
 
 
Solução: Etapa 1: Se fosse um logaritmo de base 10, a resposta seria usar 
propriedades de funções inversas. Portanto, a ideia é usar a Regra da 
Proporção (também conhecida como a fórmula de mudança de base) para 
transformá-la em um logaritmo de base 10 primeiro. Existem duas maneiras de 
pensar sobre como fazer isso, e você obterá a mesma resposta de qualquer 
maneira: 
• A primeira maneira de pensar sobre isso é usar o fato de que 10 é o número 
que você está elevando a uma potência para obter: 
 
 
 
 
 
 
 
 
• A segunda maneira é olhar para o logaritmo e ver que é de base 100 e usar 
isso para obter: 
 
E, em seguida, resolva para obter isso: 
 
 
Ambos os métodos funcionam e você pode usar aquele que for mais fácil de 
entender e lembrar. Então você tem: 
 
 
 
 
 
 
Etapa 2: Agora, usando as propriedades dos expoentes, 
 
Então a expressão completamente simplificada é: 
4 FUNÇÃO COMPOSTA 
A composição de funções é o processo de combinar duas ou mais funções em 
uma única função, sendo que uma função representa algum trabalho. Tomemos para 
ilustração a preparação de pão: Seja x a farinha, o processador de alimentos esteja 
fazendo a função de preparar a massa com a farinha (e imagine esta função ser g (x)) 
e deixe o forno fazer a função de fazer o pão (e considere esta função ser f (x)). 
Para preparar pão, a saída de g (x) deve ser colocada na função f (x) (ou seja, 
a massa preparada deve ser colocada no forno). O resultado é denotado por f (g (x)) 
e é uma composição das funções f (x) e g (x). (JOHNSON, 2016). 
Perceba que f (x) e g (x) onde g (x) está atuando primeiro é representada por f 
(g (x)) ou (f ∘ g) (x). Ele combina duas ou mais funções para resultar em outra função. 
Na composição de funções, a saída de uma função que está dentro do parêntese 
torna-se a entrada da função externa, ou seja: 
• Em f (g (x)), g (x) é a entrada de f (x). 
• Em g (f (x)), f (x) é a entrada de g (x). 
Podemos entender melhor com a figura a seguir: 
 
 
 
 
Fonte: Adaptado de Johnson, 2016. 
O símbolo da composição de funções é ∘. Também pode ser mostrado sem 
usar este símbolo, mas usando os colchetes. Veja: 
• (f ∘ g) (x) = f (g (x)) e é lido como "f de g de x". Aqui, g é a função interna e f 
é a função externa. 
• (g ∘ f) (x) = g (f (x)) e é lido como "g de f de x". Aqui, f é a função interna e g 
é a função externa. (JOHNSON, 2016). 
Para encontrar f (g (x)), primeiro g (x) deve ser calculado e deve ser 
substituído em f (x). Da mesma forma, para encontrar g (f (x)), primeiro f (x) deve ser 
calculado e substituído em g (x), ou seja, ao encontrar as funções compostas, a 
ordem é importante. Isso significa que f (g (x)) NÃO pode ser igual a g (f (x)). Para 
quaisquer duas funções f (x) e g (x), encontramos a funçãocomposta f (g (a)) 
usando as seguintes etapas: 
• Encontre g (a) substituindo x = a em g (x). 
• Encontre f (g (a)) substituindo x = g (a) em f (x). 
Podemos entender essas etapas usando o exemplo abaixo. Aqui estamos 
encontrando f (g (-1)) quando f (x) = x 2 - 2x e g (x) = x - 5. 
f (g (-1)) = f (-1-5) 
= f (-6) 
= (-6) 2 - 2 (-6) 
= 36 + 12 
= 48 (JOHNSON, 2016). 
 
 
 
Já para encontrar a função composta de duas funções (que não são definidas 
algebricamente) mostradas graficamente, devemos lembrar que se (x, y) é um ponto 
em uma função f (x) então f (x) = y. Usando isso, para encontrar f (g (a)) (isto é, f (g 
(x)) em x = a): 
• Encontre g (a) primeiro (ou seja, a coordenada y no gráfico de g (x) que 
corresponde a x = a) 
• Encontre f (g (a)) (isto é, a coordenada y no gráfico de f (x) que corresponde a 
g (a)). (JOHNSON, 2016). 
Exemplo: encontre f (g (5)) no gráfico a seguir. 
 
 
Fonte: Adaptado de Johnson, 2016. 
Solução: 
f (g (5)) = f(3) (Porque g(5) = 3 como (5, 3) está em g(x)) 
= 2 (Porque f (3) = 2 como (3, 2) é em f (x)) 
 
Portanto, f (g (5)) = 2. 
É possível que você também encontre os pontos no gráfico de funções 
mostrados por tabelas. Portanto, aplicamos o mesmo procedimento explicado 
anteriormente. 
Exemplo: Encontre g (f (-3)) usando as tabelas a seguir. 
 
 
 
 
x f(x) 
-1 -4 
-2 -3 
-3 -2 
-4 -1 
Solução: 
Da tabela de f (x), f (-3) = -2. 
Então: g (f (-3)) = g (-2). 
Da tabela de g (x), g (-2) = -1. 
Assim, g (f (-3)) = -1. 
Exemplo PRÁTICO 1: 
Dados f( x ) = x 2 + 6 e g( x ) = 2 x – 1, encontre: 
a) (f ∘ g) (x) --- b) (g ∘ f) (x) 
Solução: 
a) (f ∘ g) (x) 
 = f(2 x – 1) 
 = (2 x – 1) 2 + 6 
 = 4 x 2 – 4 x + 1 + 6 
 = 4 x 2 – 4 x + 7 
b) (g ∘ f) (x) 
 
 
 
 = g( x 2 + 6) 
 = 2( x 2 + 6) – 1 
 = 2 x 2 + 12 – 1 
 = 2 x 2 + 11 
Exemplo PRÁTICO 2: 
Supondo que e assinale das opções a seguir, a que à 
composição para a expressão: (f ∘ g) (x). 
 
 
 
 
4.1 Função inversa 
Antes de definir a inversa de uma função, precisamos ter a imagem mental 
correta da função. Considere a função f (x) = 2x + 1. Sabemos como avaliar f em 3, f 
(3) = 2*3 + 1 = 7. Nesta seção, ajuda pensar em f como a transformação de um 3 em 
um 7, e f transforma um 5 em um 11, etc. 
 
Fonte: BROWN; HERMAN, 2003. 
Agora que pensamos em f como "agindo sobre" números e transformando-os, 
podemos definir o inverso de f como a função que "desfaz" o que f fez. Em outras 
 
 
 
palavras, o inverso de f precisa levar 7 de volta para 3 e levar -3 de volta para -2, 
etc. 
Seja g (x) = (x – 1) / 2. 
Então g (7) = 3, g (-3) = -2 e g (11) = 5, então g parece estar desfazendo o 
que f fez, pelo menos para esses três valores. Para provar que g é o inverso de f 
devemos mostrar que isso é verdade para qualquer valor de x no domínio de f. Em 
outras palavras, g deve levar f(x) de volta para x para todos os valores de x no 
domínio de f. Portanto, g(f(x)) = x deve valer para todo x no domínio de f. A maneira 
de verificar essa condição é ver que a fórmula para g(f(x)) é simplificada para x. 
g (f (x)) = g(2x + 1) = (2x + 1 -1)/2 = 2x/2 = x. 
Essa simplificação mostra que, se escolhermos qualquer número e deixarmos 
f atuá-lo, aplicar g ao resultado recupera nosso número original. Também 
precisamos ver que esse processo funciona ao contrário, ou que f também desfaz o 
que g faz. 
f(g(x)) = f((x - 1)/2) = 2(x - 1)/2 + 1 = x - 1 + 1 = x. 
Fazendo f -1 denotar o inverso de f, acabamos de mostrar que g = f -1. 
 
Definição: 
 
Fonte: BROWN; HERMAN, 2003. 
Exercício 1: 
(a) Abra uma calculadora científica ou uma JAVA e digite as fórmulas para f e 
g. Observe que você obtém uma raiz cúbica elevando para (1/3) e precisa inserir o 
 
 
 
expoente como (1/3) e não uma aproximação decimal. Assim, o texto para a caixa g 
será: 
(x - 2)^(1/3) 
Use a calculadora para calcular f(g(4)) e g(f(-3)). Note que g é o inverso de f, 
mas devido ao erro de arredondamento, a calculadora pode não retornar o valor 
exato com o qual você começou. Tente f(g(-2)). As respostas irão variar para 
diferentes computadores. No entanto, em nossa máquina de teste, f(g(4)) retornou 4; 
g(f(-3)) retornou 3; mas, f(g(-2)) retornou -1,9999999999999991, que é bem próximo 
de -2. 
A calculadora pode nos dar uma boa indicação de que g é o inverso de f, mas 
não podemos verificar todos os valores possíveis de x. 
 
Gráficos de funções inversas 
Vimos exemplos de reflexões no plano. A reflexão de um ponto (a, b) sobre o 
eixo x é (a, -b), e a reflexão de (a, b) sobre o eixo y é (-a, b). Agora queremos refletir 
sobre a reta y = x. 
 
Fonte: BROWN; HERMAN, 2003. 
A reflexão do ponto (a, b) sobre a reta y = x é o ponto (b, a). 
Seja f (x) = x 3 + 2. Então f (2) = 10 e o ponto (2,10) está no gráfico de f. A 
inversa de f deve levar 10 de volta para 2, ou seja, f -1 (10) = 2, então o ponto (10,2) 
está no gráfico de f -1. O ponto (10,2) é a reflexão na reta y = x do ponto (2,10). O 
mesmo argumento pode ser feito para todos os pontos nos gráficos de f e f -1. 
 
 
 
O gráfico de f -1 é a reflexão sobre a reta y = x do gráfico de f. 
 
 
Fonte: BROWN; HERMAN, 2003. 
Porém, conforme Brown; Herman (2003), algumas funções não possuem 
suas respectivas inversas. Por exemplo, considere 
f (x) = x² 
Existem dois números que f leva a 4, f (2) = 4 e f (-2) = 4. Se f tivesse um 
inverso, então o fato de que f (2) = 4 implicaria que o inverso de f leva 4 de volta 
para 2. Por outro lado, como f (-2) = 4, a inversa de f teria que levar 4 a -2. Portanto, 
não existe função que seja a inversa de f. 
Veja o mesmo problema em termos de gráficos. Se f tivesse uma inversa, 
então seu gráfico seria a reflexão do gráfico de f sobre a reta y = x. O gráfico de f e 
sua reflexão sobre y = x são desenhados abaixo. 
 
 
 
 
 
Fonte: BROWN; HERMAN, 2003. 
Observe que o gráfico refletido não passa no teste da linha vertical, portanto 
não é o gráfico de uma função. 
Isso generaliza da seguinte forma: Uma função f tem uma inversa se, e 
somente se, o seu gráfico é refletido sobre a linha y = x, o resultado é o gráfico de 
uma função (passa no teste da linha vertical). Mas isso pode ser simplificado. 
Podemos dizer antes de refletirmos no gráfico se alguma linha vertical se 
cruzará ou não mais de uma vez observando como as linhas horizontais se cruzam 
com o gráfico original! 
Relembre: 
 
Fonte: Adaptado de BROWN; HERMAN, 2003. 
Definição: Uma função f é injetora se, e somente se, f tem uma inversa. 
 
 
 
 
A definição a seguir é equivalente e é a mais comumente dada para um-para-
um. Definição alternativa: Uma função f é injetora se, para cada a e b em seu 
domínio, f (a) = f (b) implica a = b. 
5 FUNÇÃO TRIGONOMÉTRICA 
A função trigonométrica é uma função básica, porém conforme Lotha (2020), 
ela tem um valor de entrada de domínio como um ângulo de um triângulo retângulo e 
uma resposta numérica como intervalo, ela também é conhecida como função circular. 
Relembre na figura 2 o que é um triângulo retângulo e suas razões trigonométricas, 
para que os próximos termos usados nesta aula sejam melhor compreendidos. 
Figura 2 - Triangulo retângulo e propriedades. 
 
Fonte: shre.ink/cyNQ 
As seis funções trigonométricas básicas são: 
 
Fonte: Adaptado de Lotha, 2020. 
 
 
 
As funções e identidades trigonométricas são a razão entre os lados de um 
triângulo retângulo. Os lados de um triângulo retângulo são o lado perpendicular 
(cateto oposto), a hipotenusa e a base (cateto adjacente), que são usados para 
calcular os valores de seno, cosseno, tangente, secante, cossecante e cotangente 
usando fórmulas trigonométricas. Temos certas fórmulas para encontrar os valores 
das funções trigonométricas usando os lados de um triângulo retângulo: 
Fórmulas para o Ângulo θ Identidades recíprocas 
sen θ = lado oposto/hipotenusa sen θ = 1/cossecθ 
cos θ = lado adjacente/hipotenusa cos θ = 1/seg θ 
tan θ = Lado Oposto/Adjacente tan θ = 1/cot θ 
cot θ = Lado Adjacente/Oposto cot θ = 1/tan θ 
seg θ = Hipotenusa/Lado Adjacente seg θ = 1/cos θ 
cosec θ = Hipotenusa/Oposto cosec θ = 1/sen θ 
Fonte: Adaptado de Lotha, 2020. 
Como podemos observar nas fórmulas dadas acima, seno e cossecante são 
recíprocos um do outro. Da mesma forma, os pares recíprocos são cosseno e 
secante e tangente e cotangente, agora observe abaixo o valor do seno e do 
cosseno para os principais ângulos. 
 
Fonte: shre.ink/cy48 
https://www.cuemath.com/trigonometry/secant-function/
https://www.cuemath.com/trigonometry/cosecant-functions/
 
 
 
Entenda as definições de cada função trigonométrica conforme Lotha (2020): 
Função Sen: A função seno de um ângulo é a razão entre o comprimento do lado 
oposto e o da hipotenusa. A partir do diagrama acima, o valor do pecado será: 
Sin a =Oposto/Hipotenusa = CB/CA 
Função cos: Cos de um ângulo é a razão entre o comprimento do lado adjacente e 
o comprimento da hipotenusa. A partir do diagrama acima, a função cos será 
derivada da seguinte forma. 
Cos a = Adjacente/Hipotenusa = AB/CA 
Função tan: A função tangente é a razão entre o comprimento do lado oposto e o 
do lado adjacente. Deve-se notar que o tan também pode ser representado em 
termos de seno e cos como sua razão. A partir do diagrama obtido acima, a função 
tan será a seguinte. 
Tan a = Oposto/Adjacente = CB/BA 
Além disso, em termos de seno e cos, tan pode ser representado como: 
Tan a = sen a/cos a 
Funções Secante, Cossecante e Cotangente: Secante, cossecante (csc) e 
cotangente são as três funções adicionais derivadas das funções primárias de seno, 
cos e tan. O recíproco de seno, cos e tan são cossecante (csc), secante (sec) e 
cotangente (cot), respectivamente. A fórmula de cada uma dessas funções é dada 
como: 
Sec a = 1/ (cos a) = Hipotenusa/Adjacente = CA/AB 
Cosec a = 1/ (sin a) = Hipotenusa/Oposto = CA/CB 
Cot a = 1/ (tan a) = Adjacente/Oposto = BA/CB 
 
 
https://byjus.com/maths/cosine-function/
 
 
 
Conhecemos então as fórmulas e valores para diferentes, ângulos para as 
funções trigonométricas. Antes de vermos o gráfico, vejamos o domínio e a imagem 
de cada função, que deve ser representada graficamente no plano XY. 
Função Definição Domínio Imagem 
Função Seno y=sin x 
x ∈ R − 1 ≤ sin x ≤ 1 
Função Cosseno y = cos x 
x ∈ R − 1 ≤ cos x ≤ 1 
Função Tangente y = tan x x ∈ R , x≠(2k+1)π/2, 
− ∞ 0 
• Tan -1 x = - π + cot -1 x, xFonte: Strang; Herman, 2016. 
Cada uma das três funções é indefinida em x = 2, mas se fizermos esta 
afirmação e nenhuma outra, daremos um quadro muito incompleto de como cada 
função se comporta na vizinhança de x = 2. Para expressar o comportamento de cada 
gráfico na vizinhança de 2 de forma mais completa, precisamos introduzir o conceito 
de limite. 
Definição intuitiva de um limite 
Vamos primeiro dar uma olhada mais de perto em como a função f(x)= 
(x²− 4) /(x − 2) ao redor de x = 2. À medida que os valores de x se aproximam de 2 
de cada lado de 2, os valores de y = f (x) abordagem 4. Matematicamente, dizemos 
que o limite de f (x) quando x se aproxima de 2 é 4. Simbolicamente, expressamos 
esse limite como: 
 
 
 
 
A partir dessa breve olhada informal em um limite, vamos começar a 
desenvolver uma definição intuitiva do limite. De acordo com Strang; Herman (2016), 
podemos pensar no limite de uma função em um número a como sendo o número 
real L que os valores funcionais se aproximam como os valores x se aproximam de 
a, desde que tal número real L exista. Logo, temos a seguinte definição: 
 
Fonte: Adaptado de Strang; Herman, 2016. 
Os Limites em matemática são definidos percebidos como os valores que 
uma função aproxima da saída para os valores de entrada fornecidos, assim 
desempenham um papel vital no cálculo e na análise matemática. Para Demana et. 
al (2013, p. 234): 
 
É possível fazermos a representação por gráfico. Se consideramos uma 
função real “f” e o número real “c”, o limite é normalmente definido como: 
Lim x→c f (x) = a 
 
 
 
É lido como “o limite de f de x, quando x se aproxima de c igual a L”. O “lim” 
mostra o limite, e o fato de que a função f (x) se aproxima do limite L conforme x se 
aproxima de c é descrito pela seta para a direita. 
 
Fonte: Adaptado de Johnson, 2016. 
Uma função pode aproximar-se de dois limites diferentes. Uma onde 
a variável se aproxima de seu limite através de valores maiores que o limite e outra 
onde a variável se aproxima de seu limite através de valores menores que o limite. 
 
Nesse caso, o limite não é definido, mas existem os limites à direita e à 
esquerda. 
• Quando o limx→af(x)=A +dados os valores de f perto de x à direita de 
a. Diz-se que esse valor é o limite à direita de f(x) em a. 
• Quando o limx→af(x) = A dados os valores de f perto de x à esquerda de 
a. Esse valor é chamado de limite esquerdo de f(x) em a. 
• O limite de uma função existe se e somente se o limite esquerdo é igual ao 
limite direito. limx→a−1f(x)=limx→a+f(x)=a (JOHNSON, 2016) 
Obs: O limite da função existe entre quaisquer dois inteiros consecutivos. 
 
Propriedades dos limites: 
 
 
 
Conforme Demana et. al (2013), se tanto lim x→c f (x) como lim x→c g (x), 
existem, então: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se tivermos uma função f (x, y) que depende de duas variáveis x e y, então 
esta dada função tem o limite, digamos, C como (x, y) → (a, b) desde que ϵ > 0, há 
existe Δ > 0, tal que |f (x, y) - C|exemplo, considere a tabela de 
valores para a função de valores grandes. 
1
𝑥
 
 
Fonte: GARRETT, 2008. 
A partir da tabela acima, podemos ver que o valor da função se aproxima de 
zero quando tende a infinito positivo. Isto leva a 
1
𝑥
 𝑥. 
 
Este limite também nos diz que o gráfico tem a assíntota horizontal como 
podemos ver abaixo. 𝑦 =
1
𝑥
, 𝑦 = 0 
Embora consideremos principalmente limites no infinito positivo, devemos ter 
em mente que os limites no infinito negativo podem ser definidos e calculados de 
maneira semelhante. (GARRETT, 2008) 
 
 
 
Para limites no infinito negativo, precisamos seguir os pontos no gráfico à 
medida que nos movemos em direção à borda esquerda do gráfico. Por exemplo, 
podemos considerar a parte esquerda do gráfico 𝑦 =
1
𝑥
. 
 
A partir deste gráfico, podemos concluir que as 𝑦- coordenadas dos pontos no 
gráfico se aproximam de 0 quando 𝑥 tendem a infinito negativo. Podemos expressar 
isso como: 
 
Notamos que o limite no infinito negativo desta função é o mesmo que o limite 
no infinito positivo. Quando os limites em infinitos positivos e negativos são os 
mesmos, podemos escrever o limite como 𝑥→ ± ∞. Por exemplo, descobrimos que: 
 
 
 
 
 
Além disso, para qualquer constante 𝑎 e um inteiro positivo 𝑛, podemos 
aplicar a lei do limite para potências e multiplicações escalares para escrever: 
 
Podemos ver que a conclusão será a mesma quando aplicarmos o limite em 
menos infinito. Isso leva a uma regra mais geral, muito útil para encontrar o limite no 
infinito para uma ampla variedade de funções. (GARRETT, 2008) 
7.1 Limite das funções exponenciais no infinito 
É importante apreciar o comportamento das funções exponenciais quando a 
entrada para elas se torna um grande número positivo ou um grande número 
negativo. Esse comportamento é diferente do comportamento de polinômios ou 
 
 
 
funções racionais, que se comportam de maneira semelhante para grandes 
entradas, independentemente de a entrada ser grande positiva ou grande negativa. 
Por outro lado, para funções exponenciais, o comportamento é radicalmente 
diferente para grande positivo ou grande negativo. (GARRETT, 2008) 
Vale lembrar que para número inteiro positivo usaremos a abreviação n. 
 
A partir dessa ideia não é difícil entender as propriedades fundamentais dos 
expoentes (eles não são leis): 
 
Ao menos para inteiros positivos m, n. Para GARRETT (2008), embora 
possamos ver facilmente que essas propriedades são verdadeiras quando os 
expoentes são inteiros positivos, a notação estendida é garantida (por 
seu significado, não por lei) para seguir as mesmas regras. 
O uso de outros números no expoente é algo que veio depois, e também é 
apenas uma abreviação, que felizmente foi arranjada para corresponder à versão 
mais intuitiva e simples. Por exemplo: 
 
E assim, 
 
 
 
 
(Se n é positivo ou não). Apenas para verificar um exemplo de consistência 
com as propriedades acima, observe que: 
 
Isso não deve ser surpreendente, mas sim tranquilizador de que não 
chegaremos a conclusões falsas por meio de tais manipulações. Além disso, os 
expoentes fracionários se encaixam nesse esquema. Por exemplo: 
 
Isso é consistente com a notação anterior: a propriedade fundamental do 
raiz de um número é que seu potência é o número original. Podemos verificar: 
 
Novamente, isso não deve ser uma surpresa, mas sim uma verificação de 
consistência. (GARRETT, 2008). 
Então para expoentes racionais arbitrários m/n podemos manter as mesmas 
propriedades: primeiro, a definição é apenas: 
 
Um risco é que, se quisermos ter apenas números reais (em oposição a 
números complexos), não devemos tentar obter raízes quadradas, ou qualquer raiz 
de ordem par de números negativos. (GARRETT, 2008) 
Para expoentes reais gerais x nós também não devemos tentar entender 𝑎𝑥 
exceto por a > 0, ou teremos que usar números complexos. Mas o valor de 𝑎𝑥 só 
pode ser definido como um limite : deixe r1,r2, … ser uma sequência de 
números racionais que se aproxima de x, e defina: 
 
Teríamos que verificar se esta definição não depende acidentalmente da 
sequência que se aproxima x: 
 
 
 
O número e, e=2.71828182845905 
 
Com as definições em mente, é mais fácil entender questões sobre limites de 
funções exponenciais. (GARRETT, 2008). 
 
Observe as duas questões complementares são para avaliar abaixo: 
 
Como estamos permitindo o expoente x para ser real, é melhor exigirmos que 
a ser um número real positivo. Então: 
 
 
Por fim, para lembrar qual é qual, basta usar: 
 
 
 
7.2 Limite das funções logarítimicas no infinito 
Se log kc = d, então dk = c. 
Na fórmula mencionada acima, 'd' é o logaritmo de um número representado 
por 'c', e a base da função log é 'k', que pode ser substituído por o valor '10' ou 'e.' O 
valor de 'k' pode variar até o infinito, mas nunca pode ser '1'. 
Vamos assumir que log infinito é equivalente a log (p). Agora, conforme 
aumentamos o valor de p até o infinito, o valor de log (p) também aumenta e se 
estende até o infinito. Isso pode ocorrer em um ritmo rápido ou em um ritmo mais 
lento. Este é o conceito para calcular o valor de log infinito. (JOHNSON, 2016) 
 
 
 
Como afirmado acima, existem dois valores possíveis de funções 
logarítmicas. A primeira é a base comum 10 e a segunda é a base natural e. Vamos 
determinar o valor de log infinito um de cada vez. 
1- Valor de log10 infinito: 
Podemos denotar log infinito na base 10 de duas maneiras possíveis que são 
log10∞ e log ∞. Agora, de acordo com a definição de função logarítmica conforme 
afirmado anteriormente, concluímos que Base = k, que é igual a 10 neste 
caso. Portanto, 10 k = ∞. (JOHNSON, 2016) 
Assim, podemos calcular que 10^∞ será infinito conforme o valor de 'p' se 
aproxima do infinito; o valor da função também atinge o infinito. Portanto, podemos 
concluir que log10 = infinito (∞). 
2- Valor de loge infinito: 
O log natural ou o log com base e é sempre denotado usando a notação, log e 
∞, ou também pode ser expresso como ln (∞). À medida que aumentamos o valor da 
variável 'p', lentamente ou rapidamente em direção ao infinito, o valor da função 
logarítmica também aumenta para o infinito, respectivamente. 
Log e ∞ = ∞, ou ln (∞) = ∞. 
Podemos concluir que tanto o logaritmo natural quanto o valor do logaritmo 
comum para infinito inverso estão no mesmo valor, ou seja, infinito. De maneira 
semelhante, diferentes valores de funções logarítmicas podem ser calculados e 
usados para resolver problemas relacionados. (JOHNSON, 2016). 
7.3 Limites envolvendo funções trigonométricas 
Conforme Johnson (2016), as funções trigonométricas seno e cosseno têm 
quatro propriedades de limite importantes: 
 
 
 
 
Você pode usar essas propriedades para avaliar muitos problemas de limite 
envolvendo as seis funções trigonométricas básicas. (JOHNSON, 2016) 
 
Exemplo 1: Avalie 
 
Substituindo x por 0, você descobre que cos x se aproxima de 1 e sen x − 3 
se aproxima de −3; por isso, 
 
 
Exemplo 2: Avalie 
Como cot x = cos x /sin x, você encontra . O numerador se 
aproxima de 1 e o denominador se aproxima de 0 através de valores positivos 
porque estamos nos aproximando de 0 no primeiro quadrante; portanto, a função 
cresce sem limite e e a função tem uma assíntota vertical em x = 0. 
 
Exemplo 3: Avalie 
 
Multiplicando o numerador e o denominador por 4 produz 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 4: Avalie . 
 
Como sec x = 1/cos x, você descobre que: 
 
8 NÚMEROS COMPLEXOS 
Números complexos são a combinação de números reais e imaginários, a parte real 
pode ser expressa por um número inteiro ou decimal, enquanto a parte imaginária 
tem um quadrado que é negativo. Os números complexos surgem da necessidade 
de expressar as raízes dos números negativos, o que os números reais não podem 
fazer. É por isso que eles refletemtodas as raízes dos polinômios. (AGARWAL; 
PERERA; PINELAS, 2011). 
Seu uso se estende a diferentes ramos científicos, desde a matemática até a 
engenharia. Os números complexos também podem representar ondas 
eletromagnéticas e correntes elétricas, por isso são essenciais no campo da eletrônica 
e telecomunicações. A fórmula matemática é a + bi, onde a e b são números reais e i 
é o número imaginário. Essa expressão é conhecida como forma binomial por causa 
das duas partes que a compõem. 
 
 
 
 
Fonte: shre.ink/c7pw 
 O matemático francês René Descartes foi o primeiro a enfatizar a natureza 
imaginária dos números, postulando que se pode imaginar tantos (números) quantos 
já mencionados em cada equação, mas às vezes não há quantidade que 
corresponda ao que imaginamos. 
No entanto, a conceituação de números complexos remonta ao século XVI 
com a contribuição do matemático italiano Gerolamo Cardano, que provou que ter 
um termo negativo dentro de uma raiz quadrada pode levar à solução de uma 
equação. Até então, pensava-se ser impossível encontrar a raiz quadrada de um 
número negativo. (AGARWAL; PERERA; PINELAS, 2011) 
Mais tarde, no século XVIII, o matemático Carl Friedrich Gauss consolidou as 
premissas de Cardano, além de desenvolver um tratado sobre números complexos 
no plano e com isso estabelecer as bases modernas do termo. Características: 
• Os números reais envolvidos em uma fórmula de número complexo podem 
ser expressos na forma de um par ordenado, um binômio e um vetor. 
• Todo o conjunto dos números imaginários é chamado i e é o equivalente a 
1 nos números reais. Da mesma forma, a raiz quadrada de i é -1. 
• Dois números complexos são considerados iguais quando possuem os 
mesmos componentes reais e imaginários. 
• A letra C representa o conjunto de todos os números complexos. C também 
forma um espaço vetorial bidimensional. 
• Ao contrário dos números reais, os números complexos não têm ordem 
natural. 
• Existem números imaginários puros, cuja parte real é 0; sua fórmula é a 
seguinte: 0 + bi = bi. (AGARWAL; PERERA; PINELAS, 2011). 
 
 
 
Embora sua aplicação cotidiana não seja tão direta quanto a dos números reais, 
seu componente imaginário torna os números complexos importantes, pois permitem 
trabalhar com muita precisão em áreas específicas da ciência e da física. É o caso da 
medição de campos eletromagnéticos, que consistem em componentes elétricos e 
magnéticos e requerem pares de números reais para descrevê-los. Esses pares 
podem ser vistos como um número complexo, daí sua importância. 
Qualquer categoria numérica (seja natural, inteira ou racional) pode ser 
representada graficamente em uma linha. No caso dos números reais, eles cobrem a 
linha completamente, e cada número corresponde a um lugar na linha (também 
chamada de linha real). 
Os números complexos deixam a linha para preencher um plano chamado 
plano complexo. Neste caso, os números complexos são representados em eixos 
cartesianos, onde o eixo X é chamado de eixo real e Y o eixo imaginário. A fórmula 
para números complexos, a + bi, é representada pelo ponto ou fim (a, b), chamado 
de afixo, ou por um vetor com origem (0,0). (AGARWAL; PERERA; PINELAS, 
2011). 
8.1 Por que usar números complexos? 
Se você for como a maioria das pessoas, inicialmente número 
significava número inteiro, 0,1,2,3... Números inteiros fazem sentido. Eles fornecem 
uma maneira de responder a perguntas do tipo "Quantos ...?" Você também 
aprendeu sobre as operações de adição e subtração e descobriu que, embora a 
subtração seja uma operação perfeitamente boa, alguns problemas de subtração, 
como 3 - 5, não têm respostas se trabalharmos apenas com números inteiros. Então 
você descobre que, se estiver disposto a trabalhar com inteiros, ...-2, -1, 0, 1, 2, ..., 
todos os problemas de subtração têm respostas! Além disso, ao considerar 
exemplos como escalas de temperatura, você verá que números negativos 
geralmente fazem sentido. 
Agora que fixamos a subtração, vamos lidar com a divisão. Alguns problemas 
de divisão, na verdade a maioria, não têm respostas inteiras. Por exemplo, 3 ÷ 2 não 
é um número inteiro. Precisamos de novos números! Agora temos números 
racionais (as conhecidas frações). 
 
 
 
Há mais nesta história. Existem problemas com raízes quadradas e outras 
operações, mas não vamos entrar nisso aqui. A questão é que você teve que 
expandir sua ideia de número em várias ocasiões, e agora vamos fazer isso de 
novo. O "problema" que leva aos números complexos diz respeito a soluções de 
equações. (BROWN; HERMAN, 2003). 
Equação 1: x 2 - 1 = 0. 
A equação 1 tem duas soluções, x = -1 e x = 1. Sabemos que resolver uma 
equação em x é equivalente a encontrar as interceptações x de um gráfico; e, o 
gráfico de y = x 2 - 1 cruza o eixo x em (-1,0) e (1,0). 
Equação 2: x 2 + 1 = 0 
A equação 2 não tem soluções, e podemos ver isso olhando para o gráfico de 
y = x 2 + 1. 
 
Como o gráfico não tem interseções x, a equação não tem soluções. Quando 
definimos números complexos, a equação 2 terá duas soluções. 
8.2 O número i 
Considere as Equações 1 e 2 novamente. 
Equação 1 Equação 2 
x 2 - 1 = 0. x 2 + 1 = 0. 
x 2 = 1. x 2 = -1. 
 
 
 
A equação 1 tem soluções porque o número 1 tem duas raízes quadradas, 1 
e -1. A equação 2 não tem soluções porque -1 não tem raiz quadrada. Em outras 
palavras, não existe número tal que, se o multiplicarmos por ele mesmo, obtemos -
1. Se a Equação 2 deve receber soluções, devemos criar uma raiz quadrada de -1. 
Definição: A unidade imaginária i é definida por 
 
A definição de i nos diz que i 2 = -1. Podemos usar esse fato para encontrar 
outras potências de i. (BROWN; HERMAN, 2003). 
Exemplo 1. 
i 3 = i 2 * i = -1* i = - i. 
i 4 = i 2 * i 2 = (-1) * (-1) = 1. 
Exercício 1: Simplifique i 8 e i 11. 
Solução: 1 e -i 
Tratamos i como outros números, pois podemos multiplicá-lo por números, 
podemos adicioná-lo a outros números, etc. A diferença é que muitas dessas 
quantidades não podem ser simplificadas para um número real puro. 
Por exemplo, 3 i significa apenas 3 vezes i, mas não podemos reescrever 
este produto de uma forma mais simples, porque não é um número real. A 
quantidade 5 + 3 i também não pode ser simplificada para um número real. 
• No entanto, (- i ) 2 pode ser simplificado. (- i ) 2 = (-1* i ) 2 = (-1) 2 * i 2 = 1 * (-
1) = -1. 
• Como i 2 e (- i ) 2 são ambos iguais a -1, ambos são soluções para a 
Equação 2 acima. 
O Plano Complexo 
Definição: Como já mencionado anteriormente, um número complexo é 
aquele da forma a + b i, onde a e b são números reais. Onde a é chamado de parte 
real do número complexo e b é chamado de parte imaginária. 
 
 
 
 
Fonte: Adaptado de BROWN; HERMAN, 2003. 
Ou seja, a+bi = c+di se e somente se a = c, e b = d. 
Exemplo 2. 
2 - 5i. 
6 + 4i. 
0 + 2i = 2i. 
4 + 0i = 4. 
O último exemplo acima ilustra o fato de que todo número real é um número 
complexo (com parte imaginária 0). Outro exemplo: o número real -3,87 é igual ao 
número complexo -3,87 + 0 i. 
Muitas vezes é útil pensar em números reais como pontos em uma reta 
numérica. Por exemplo, você pode definir a relação de ordem c