exercicios calc1 lista3

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Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca
Ciclo Comum da Engenharia
Unidade Nova Iguaçu
Cálculo I
Exercícios - Lista 3
Derivadas
1
o
semestre de 2016
Professor Julius Monteiro
1. Verifique se as funções abaixo são deriváveis.
a)f(x) =
{ |x|
x , x > 0
1, x ≤ 0
b) f(x) =
{
x−2
x2−4 , x 6= 4
1
8 , x = 4
c) f(x) =

2x+ 2, x ≤ −pi2
sen(x),−pi2 < x < pi2
1, x ≥ pi2
2. Dê uma interpretação geométrica, do ponto de vista de Leibniz, do Teorema do Valor Médio,
mostrando que este teorema é bastante intuitivo. Faça o mesmo, agora do ponto de vista New-
toniano.
3. Prove o Teorema de Rolle a partir do Teorema de Weierstrass para extremos de funções contínuas.
4. Derive:
a) f(x) = sen(x2) + cos2(x)
b) f(x) = tg(x)(x4 + 2x)
c) f(x) =
√
x2 − sen(x2)
d) f(x) = sen(x)cos(x)3√x3+2
e) f(x) = sen(x)cos(x2)tg(x3)
f) f(x) =
√
3
√
x+ 1
g) f(x) = x
3−1
xsec(x)
h) f(x) = arcsen(
√
(x))
i) f(x) = x
3
√
x5cos(x)
x−10
j) f(x) = arctg( sen(x)
1+x5
)
k) f(x) = 4
√
x−3cos(x)
l) f(x) =
√√√
x3
m) f(x) = arccos2(x2 + x4)
n) f(x) = sen2(cos3(tg4(x)))
5. Para as funções abaixo, encontre o ponto (x, y) onde: i) a reta tangente a curva seja horizontal;
ii) o ângulo da tangente com o eixo x seja
pi
3 ; iii) Esse ângulo seja -
pi
6 . Escreva a equação dessas
retas tangentes.
a) f(x) = −x2
b) f(x) = |x|3
c) f(x) = x2 + 2x− 3
Prove que a derivada de uma função par é uma função ímpar e que a derivada de uma função
ímpar é uma função par. Faça uma interpretação gráfica destes resultados.
6. Para a função f(x) = −2x−1 é possível encontrar um ponto onde a reta tangente a curva seja
horizontal? E onde o ângulo da tangente com o eixo x seja -
pi
6 ?
a regra do produto para derivadas.
1
7. Restrinja o domínio das funções f(x) = sec(x), f(x) = cossec(x) e f(x) = cotg(x) de modo a
poder calcular sua inversa. Encontre a derivada dessas funções.
8. Derivadas de ordem superior podem ser definidas facilmente. Por exemplo, a derivada de segunda
ordem de uma função f(x) é a derivada da função derivada e é denotada por f ′′(x). Calcule a
derivada de segunda ordem das funções abaixo:
a) f(x) = sen(2xcos(x))
b) f(x) =
1√
x2 + 1
9. Encontre uma expressão para as derivadas, em x0 − 0, de ordem ímpar da função seno. Faça o
mesmo para as derivadas de ordem par da função cosseno.
10. Para y = cos(αx) e y = sen(αx), mostre que y′′ + α2y = 0.
11. Lembrando que o momentum linear (quantidade de movimento) de uma partícula é definido
como o produto da massa pela velocidade
p(t) = (mv)(t),
e considerando que a partícula tenha massa constante, escreva a segunda lei de Newton usando
a taxa de variação temporal do momento. Observe que agora você pode apreciar esta lei da
mecânica clássica em uma versão onde a massa pode ser variável.
12. Derive a função f(x) = 2x . Encontre uma equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto
(2,1). Esboce o gráfico de f. Observe a expressão de f ′ e faça uma análise geométrica sobre as
várias retas tangentes ao longo do gráfico.
13. Mostre que as seguintes funções são contínuas:
f(x) =
{
x sin( 1x), x 6= 0
0, x = 0
g(x) =
{
x2 sin( 1x), x 6= 0
0, x = 0
Mostre que f não é derivável em x0 = 0, enquanto que g é. Use algum software que você goste
para plotar os gráficos destas funções. Dê uma interpretação geométrica, na visão de Leibniz,
fara a não existência de f ′(0) e a existência de g′(0). Você poderia pensar em uma justificativa
mecânica, na visão de Newton?
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