CAP7

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ESTATÍSTICA USANDO EXCEL
Prof. Juan Carlos Lapponi
Capítulo 7
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
E DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS 
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O resultado do lançamento de uma moeda pode ser utilizado para tomar decisões, por exemplo:
O árbitro de uma partida de futebol sorteia quem inicia o primeiro tempo do jogo e ainda o ganhador do sorteio escolhe a metade do campo onde sua equipe iniciará o jogo.
Outras vezes, o resultado da moeda é para realizar uma tarefa agradável ou não etc.
Embora o resultado do sorteio possa ser utilizado com diferentes finalidades, o experimento aleatório lançamento de uma moeda permanece o mesmo, mantendo os mesmos resultados.
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Um experimento é aleatório se não for possível antecipar seu resultado, apesar de conhecer todos os resultados possíveis que definem o espaço amostral do experimento.
Cada vez que o experimento for repetido, seu resultado pertencerá a esse espaço amostral, sendo cada resultado denominando ponto amostral
Em vez de operar com o espaço amostral, agora utilizaremos um conceito mais amplo denominado variável aleatória, que adota valores de acordo com os resultados de um experimento aleatório. 
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VARIÁVEL ALEATÓRIA
Variável aleatória VA é uma variável cujo valor é o resultado numérico de um experimento aleatório. A VA é uma função formada por valores numéricos definidos sobre o espaço amostral de um experimento:
A cada resultado do experimento aleatório corresponderá apenas um único valor numérico da VA.
Entretanto, um valor numérico da VA poderá corresponder a um ou mais resultados de um experimento. 
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VARIÁVEL ALEATÓRIA
Dependendo dos valores numéricos, a variável aleatória poderá ser discreta ou contínua. 
Se os valores numéricos da VA se referem a contagens, então a VA será uma variável aleatória discreta. Por exemplo, o número de peças rejeitadas por lote numa linha de produção é uma VA discreta. 
Se os valores numéricos da VA pertencem ao conjunto dos números reais, então a VA será uma variável aleatória contínua. Por exemplo, o lucro líquido mensal de uma empresa é uma VA contínua. 
Entretanto, nem sempre a separação entre variável discreta e variável contínua fica clara. 
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Exemplo 7.1
Definição da variável aleatória X.
A variável aleatória X está definida pelos seus valores numéricos xi e suas probabilidades associadas p(xi), como apresentado na tabela seguinte.
A tabela da VA foi obtida a partir de uma população conhecida. Além disso, a VA representa uma distribuição de freqüências relativas, como mostra o histograma acima. 
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DEFINIÇÃO DE VA
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Valor Esperado da VA
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Qual é o significado do valor esperado 11,30% do Exemplo 7.3?
Esse valor deve ser percebido da seguinte maneira:
Se o experimento aleatório for repetido um número muito grande de vezes, então a média de todos os resultados será igual a 11,30%. 
Por isso, o valor esperado é também denominado média de longo prazo.
Para compreender esse conceito, foi construída a planilha Simulação incluída na pasta Capítulo 7 e baseada na retirada de Notas($) de uma urna.
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SIMULADOR
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O gráfico mostra que à medida que o tamanho da amostra aumenta, de 100 para 250, 500, 1.000 e 5.000, a média das médias das amostras diminui sua variabilidade e cada vez mais se aproxima do valor esperado da população.
Esses resultados mostram que o valor esperado é uma média de longo prazo, considerando que embora 5.000 seja um número grande de amostras, não é suficiente para ser aceito como longo prazo.
No Capítulo 5 vimos que na realidade não se está em busca da média real de $20,50, mas da probabilidade de que o erro entre a média observada e a média da população seja inferior a um certo erro tolerado. Tudo o que a lei nos informa é que a média de um grande número de simulações diferirá por menos de que certa quantidade especificada da média real mais provavelmente do que a média de um pequeno número de simulações. Isso não significa que não haverá erro de um número muito grande de simulações.
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VARIANCIA E DESVIO PADRÃO da VA
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DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
Muitas variáveis aleatórias têm apenas dois possíveis resultados ou eventos elementares, por exemplo: 
O técnico do controle de qualidade sempre retira uma amostra de dez peças de cada lote recebido do fornecedor. O número de peças que não atendem à especificação é uma variável aleatória X. 
O número de respostas sim a uma pergunta da pesquisa aplicada em 1.800 pessoas é uma variável aleatória X.
O número de ações que ontem subiram comparadas com as cinqüenta ações mais negociadas é uma variável aleatória X.
Nos três exemplos, o número de vezes em que um resultado ocorre durante um determinado número de repetições do experimento é a variável aleatória X.
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Informando os valores da probabilidade de sucesso  na célula C4 e o número de experimentos ou tentativas, limitadas a 50, a planilha calcula a média e a variância nas células F4 e F5, respectivamente, e a probabilidade escolhida na caixa de grupo a partir da célula C8 da tabela:
Probabilidade P(x). Fornecerá a probabilidade de ocorrerem x sucessos, de 0 até n, em n tentativas, com a probabilidade de sucesso registrada em C4.
 Probabilidade Acumulada até x. Fornecerá a probabilidade acumulada de ocorrerem até x sucessos em n tentativas, com a probabilidade de sucesso registrada em C4.
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Função do Excel
DISTRBINOM(núm_s; tentativas; probabilidade_s; cumulativo)
A função estatística DISTRBINOM retorna a probabilidade ou a probabilidade acumulada do número de tentativas bem-sucedidas núm_s, conforme o valor do argumento cumulativo.
Se o argumento cumulativo for FALSO, a função retornará a probabilidade do número de sucessos núm_s com probabilidade_s de sucesso para um número de tentativas independentes.
Se o argumento cumulativo for VERDADEIRO, a função retornará a probabilidade acumulada do número máximo de sucessos núm_s com probabilidade_s de sucesso para um número de tentativas independentes. 
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PROBABILIDADE DE SUCESSO
Os exemplos anteriores mostram tabelas de probabilidades e histogramas da distribuição binomial para a ocorrência de x sucessos com probabilidade  durante n experiências. A seguir, algumas conclusões: 
Num experimento com distribuição binomial, o número de resultados é igual a n+1, pois 0xn.
A probabilidade de sucesso  varia entre 0+ e próximo de 1, pois nos casos extremos o experimento não seria aleatório.
Para cada valor de probabilidade de sucesso , há uma distribuição binomial de probabilidades diferente, mantendo os outros parâmetros inalterados. A planilha Modelo probabilidademostra essa característica. 
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Com a barra de rolagem dessa planilha, pode-se acompanhar a variação da probabilidade de que ocorra um determinado sucesso e a probabilidade acumulada até esse definido sucesso em função da probabilidade de sucesso  variável no intervalo (0, 1) de um experimento com dez tentativas.
Quanto à forma da distribuição de probabilidade, para =0,5, a distribuição é sempre simétrica, independente do valor do número n de tentativas.
Para valores de <0,5, a distribuição de probabilidade apresentará inclinação positiva, para a direita, acentuando-se à medida que se aproxima de zero.
Para valores de >0,5, a distribuição de probabilidade apresentará inclinação negativa, para a esquerda, acentuando-se à medida que se aproxima de um.
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Tabela Distribuição Binomial
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Na planilha Distribuição Binomial da pasta Tabelas no CD-ROM foi construída a Tabela da Distribuição Binomial. Escolhendo na caixa de grupo:
Probabilidade P(x). A tabela fornecerá a probabilidade de ocorrerem x sucessos em n tentativas com probabilidades de sucesso  definidas no intervalo C6:M6.
 Probabilidade Acumulada até x. A tabela fornecerá a probabilidade acumulada de ocorrerem até x sucessos em n tentativas com as probabilidades de sucesso definidas no intervalo C6:M6.
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A tabela foi limitada até 50 experiências.
No slide anterior, pode-se verificar o resultado da primeira questão do Exemplo 7.14. 
As colunas do intervalo C:M fornecem as probabilidades desejadas para probabilidades determinadas no intervalo C6:M6.
Na coluna O denominada Teste, é possível calcular qualquer probabilidade para uma determinada probabilidade de sucesso informada na célula O6 e o número de tentativas registrada na célula C4.
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Função do Excel
PROB(intervalo_x; intervalo_prob; limite_inferior; limite_superior)
A função estatística PROB retorna a probabilidade acumulada entre os argumentos limite inferior e o limite superior, ambos incluídos. O argumento intervalo_x de valores e o argumento intervalo_prob se referem à tabela de probabilidades P(x) construída para esse experimento. 
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Função do Excel
CRIT.BINOM(tentativas; probabilidade_s; alfa)
A função estatística CRIT.BINOM retorna o menor número de sucessos para o qual a distribuição binomial acumulada é maior ou igual ao argumento alfa. Para valores exatos de probabilidade acumulada, a função estatística CRIT.BINOM é inversa à função estatística DISTRBINOM com o argumento cumulativo VERDADEIRO. 
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DISTRIBUIÇÃO DE POISSON
Depois da binomial, a distribuição de Poisson é a distribuição de probabilidade discreta mais utilizada, pois pode ser aplicada a muitos casos práticos nos quais interessa o número de vezes que um determinado evento pode ocorrer durante um intervalo de tempo ou num determinado ambiente físico, denominados área de oportunidade, por exemplo:
O número de acidentes de carros por dia numa grande cidade como São Paulo.
O número de chamadas telefônicas por hora recebidas na central telefônica durante o período normal de operação de uma empresa.
O número de defeitos de soldagem em seis metros de tubo; o número de garrafas mal fechadas por trinta minutos na máquina de enchimento de cerveja.
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Num processo de Poisson podem ser observados eventos discretos numa área de oportunidade de tal forma que, reduzindo suficientemente essa área de oportunidade que pode ser um intervalo de tempo, espaço, ou área na qual mais de uma ocorrência de um evento pode ocorrer: 
A probabilidade de observar apenas um sucesso no intervalo é estável.
A probabilidade de observar mais de um sucesso no intervalo é zero.
A ocorrência de um sucesso em qualquer intervalo é estatisticamente independente da ocorrência em qualquer outro intervalo.
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A distribuição de Poisson é caracterizada apenas pelo parâmetro .
Enquanto a variável aleatória do processo de Poisson X se refere ao número de sucessos por área de oportunidade, o parâmetro  se refere ao valor esperado, ou média, do número de sucessos por área de oportunidade. 
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Informando o número esperado de sucessos  na célula C4, a planilha calcula a média, a variância e as probabilidades escolhidas na caixa de grupo a partir da célula C8:
Probabilidade P(x). Fornecerá a probabilidade de ocorrerem x sucessos, com o número esperado de sucessos registrado em C4.
Probabilidade Acumulada até x. Fornecerá a probabilidade acumulada de ocorrerem até x sucessos com o número esperado de sucessos registrado em C4.
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Tabela Distribuição de Poisson
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A planilha Distribuição de Poisson, incluída na pasta Tabelas no CD-ROM, contém a Tabela da Distribuição de Poisson. Escolhendo na caixa de grupo:
Probabilidade P(x). A tabela fornecerá a probabilidade de ocorrerem x sucessos, com o número esperado de sucessos  registrado no intervalo C6:L6.
Probabilidade Acumulada até x. A tabela fornecerá a probabilidade acumulada de ocorrerem até x sucessos com o número esperado de sucessos  registrado no intervalo C6:M6.
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Como  pode assumir qualquer valor positivo e a tabela registra somente 10 valores diferentes de , o leitor terá de registrar a unidade do valor esperado na célula C4, informação limitada ao intervalo (0, 25).
As colunas do intervalo C:L fornecem as probabilidades desejadas para o número esperado de sucessos do intervalo C6:M6.
Na coluna N denominada Teste, o leitor poderá calcular qualquer probabilidade para o número esperado de sucessos informado na célula N6.
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Função do Excel
POISSON(x; média; cumulativo)
A função estatística POISSON retorna dois tipos de probabilidades conforme o valor do argumento cumulativo. Se o argumento cumulativo for FALSO, a função retornará a probabilidade do número de sucessos x considerando o argumento média esperada de sucessos. Se o argumento cumulativo for VERDADEIRO, a função retornará a probabilidade acumulada até x considerando o argumento média. 
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DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL NEGATIVA
O Excel também dispõe das funções da distribuição binomial negativa e a distribuição hipergeométrica. 
Para apresentar a distribuição binomial negativa, faremos uma análise do que foi apresentado na distribuição binomial.
O ponto de partida é o processo de Bernoulli, definido como o experimento aleatório cujo espaço amostral tem apenas dois possíveis resultados mutuamente excludentes denominados sucesso e falha, sendo  a probabilidade de sucesso.
Se o processo Bernoulli for repetido n vezes, considerando que as experiências são independentes, então a variável aleatória X que define o número de sucessos do experimento terá distribuição binomial. Observe que, na distribuição binomial, o número de experimentos n é definido antecipadamente. 
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Em vez de repetir o experimento um número determinadode vezes, pode-se estabelecer que o experimento seja repetido até conseguir o primeiro resultado sucesso. Nesse caso, a variável aleatória X que define o número de experimentos necessários até conseguir o primeiro resultado sucesso tem uma distribuição geométrica.
Ampliando as premissas da distribuição geométrica, em vez de repetir o experimento até conseguir o primeiro resultado sucesso, a distribuição binomial negativa, conhecida também como Distribuição de Pascal, permite determinar a probabilidade de que será necessário realizar exatamente n experimentos para obter x resultados de sucesso com probabilidade .
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Função do Excel
DIST.BIN.NEG(núm_f; núm_s; probabilidade_s)
A função estatística DIST.BIN.NEG retorna a probabilidade de que o num_s resultado de sucesso com probabilidade probabilidade_s será obtido depois de ocorrerem o número de falhas núm_f. Observe que se o número de falhas for igual a zero, a função DIST.BIN.NEG dá o mesmo resultado da função BINOMDIST, considerando que o número de experimentos é igual ao número de sucessos e o argumento cumulativo FALSO.
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DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA
A distribuição hipergeométrica não é derivada da distribuição binomial, pois os experimentos são dependentes.
Numa população composta de N objetos que podem ser classificados em duas categorias, C1 e C2, de forma que na população há N1 em C1 e N2 em C2, desejamos retirar uma amostra sem reposição de n objetos dessa população, selecionando x objetos de C1 e (n-x) objetos de C2. 
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Função do Excel
DIST.HIPERGEOM(exemplo_s; exemplo_núm; população_s; núm_população)
A função DIST.HIPERGEOM retorna a probabilidade de acontecer o número de sucessos do argumento exemplo_s, conhecido o tamanho da amostra do argumento exemplo_núm, o número de sucessos do argumento população população_s e o tamanho da população núm_população.