Lista de Exercícios - Sistemas Lineares

Prévia do material em texto

A´LGEBRA LINEAR - AL22G - 01/2016
Professor: Geovani Raulino
Lista de exerc´ıcios 3 - Sistemas Lineares
1. Encontre a soluc¸a˜o geral das equac¸o˜es lineares:
(a) 2x + 4y − 6z + 6w = 14
(b) x1 − 2x2 + x3 − 4x4 − 3x5 = 3
(c) 3x + 4y − 5z = 3
(d) 2x− 6y − 3z + w + t = 10
(e) x− 2y + 3z = 0
(f) 3x1 + 4x2 + 3x3 − x4 = −5
2. Reduza as matrizes a` forma escalonada.
(a)
 1 −2 10 2 −8
−4 5 9
 (b)
 0 3 −6 6 4 −53 −7 8 −5 8 9
3 −9 12 −9 6 15

3. Reduza as matrizes a` forma escalonada reduzida.
(a)
 1 −2 3 −12 −1 2 3
3 1 2 3

(b)
 0 1 3 −22 1 −4 3
2 3 2 −1

(c)

0 2 2
1 1 3
3 −4 2
2 −3 1

(d)
[
1 2 1 1 1
3 1 −1 2 3
]
4. Resolva utilizando escalonamento e classifique os seguintes sistemas de equac¸o˜es lineares:
(a)

x + y + 2z = 8
− x − y + z = 1
3x − 7y + 4z = 10
(b)

2x + 2y + 2z = 0
− 2x + 5y + 2z = 1
8x + y + 4z = −1
(c)

− 2y + 3z = 1
3x + 6y − 3z = −1
6x + 6y + 3z = 5
(d)
{
x − y + z = 6
x + y + z = 8
1
5. Sejam A =
1 0 51 1 1
0 1 −4
 e X =
xy
z
.
(a) Encontre a soluc¸a˜o geral do sistema (A + 4I3).X = 03×1;
(b) Encontre a soluc¸a˜o geral do sistema (A− 2I3).X = 03×1;
6. Para o sistema linear dado, encontre todos os valores de a para os quais o sistema na˜o tem
soluc¸a˜o, tem soluc¸a˜o u´nica e tem infinitas soluc¸o˜es:
x + 2y − 3z = 4
3x − y + 5z = 2
4x + y + (a2 − 14)z = a + 2
7. Resolva utilizando a Regra de Cramer e classifique os sistemas:
(a)
{
2x− 3y = 4
6x− 9y = 15
(b)

2x + 3y + 6z = −6
6x− 2y − 4z = −38
x + 2y + 3z = −3
(c)
{
−5x + 3y = 9
3x− y = −5
(d)

x + 3z = −8
2x− 4y = −4
3x− 2y − 5z = 26
8. Se um comerciante misturar 2 kg de cafe´ em po´ do tipo I com 3 kg de cafe´ em po´ do tipo II,
ele obte´m um tipo de cafe´ cujo prec¸o e´ R$ 4,80 o quilograma. Mas, se misturar 3 kg de cafe´
em po´ do tipo I com 2 kg de cafe´ do tipo II, a nova mistura custara´ R$ 5,20 o quilograma.
Calcule os prec¸os do quilograma do cafe´ do tipo I e do quilograma do cafe´ do tipo II.
9. Treˆs pacientes usam, em conjunto, 1830 mg por meˆs de um certo medicamento em ca´psulas.
O paciente A usa ca´psulas de 5 mg, o paciente B, de 10 mg, e o paciente C, de 12 mg. O
paciente A toma metade do nu´mero de ca´psulas de B e os treˆs tomam juntos 180 ca´psulas por
meˆs. Qual a quantidade de ca´psulas que o paciente C toma por meˆs?
10. Numa famosa joalheria esta˜o armazenadas va´rias pedras preciosas dos seguintes tipos: esme-
ralda, safira e rubi. Todas as pedras do mesmo tipo teˆm o mesmo valor. Ale´m disso, 24
esmeraldas valem tanto quanto 12 rubis e tambe´m valem tanto quanto 8 safiras. Com R$
350.000,00 um pr´ıncipe comprou um conjunto com 4 esmeraldas, 6 rubis e 4 safiras. Quanto
custa cada tipo de pedra?
11. Um ourives cobrou R$ 150,00 para cunhar medalhas de ouro de 3g cada uma; de prata, com
5g cada uma; e de bronze, com 7g cada uma, ao prec¸o unita´rio de R$ 30,00, R$ 10,00 e R$
2
5,00, respectivamente. Sabendo que foram confeccionadas 15 medalhas com massa total de
87g, determine o nu´mero de medalhas de ouro confeccionadas.
3