Álgebra Vetorial e Geometria

Prévia do material em texto

ÁLGEBRA 
VETORJALe 
GEOMETRIA 
LUIZ ADAUTO MEDEIROS« 
NIRZI GONÇALVES 
DE ANDRADE 
AUGUSTO MAURÍCIO 
WANDERLEY 
Professores do Instituto de 
Matemática da U F R J . 
A L G E B R A 
V E T O R I A L e 
G E O M E T R I A 
EDITORA CAMPUS LTDA. 
Rio-de Janeiro 1 9 8 1 
SUMÁRIO 
PREFÁCIO, 9 
( J ^ T U L C C p 
VETORES 
1.1 Introdução, 11 
Exercícios, 17 
1.2 Conceitos Básicos, 18 
Exercícios, 25 
• 1.3 Dependência Linear, 25 
Exercícios, 29 
1.4 Base. e Dimensão, 30 
Exercidos, 35 
1.5 Produto Escalar, 36 
Exercícios, 46 
CAPÍTULO^) 
APLICAÇÕES GEOMÉTRICAS 
• 2.1 Produto Vetorial, 47 
Exercícios, 53 
« 2.2 Planos e Retas, 53 
• 2.3 Retas no R2 , 54 
Exercícios, 58 
. 2.4 Retas e Planos no R 3 , 5 8 
» 2.4.1 Retas no R3 , 58 
4 2.4.2 Planos no R 3 , 62 
' 2.4.3 Distância de um ponto a uma reta, 66 
- 2.4.4 Distância de um ponto a um plano, 66 
2.4.5 Área de um triângulo, 68 
» 2.4.6 Distância entre duas retas reversas, 69 
Exercícios, 70 
CAPÍTULO© 
CÓNICAS 
3.1 Introdução, 73 
3.2 Circunferência, 75 
Exercícios, 80 
3.3 Parábola, 81 
3.4 Elipse, 87 
3.5 Hipérbole, 91 
Exercícios, 95 
3.6 Forma Canónica das Cónicas, 98 
CAPÍTULO® 
EQUAÇÃO GERAL DAS CÓNICAS 
4.1 Discussão da Equação Geral das Cónicas, 99 
Exercícios, 116 
4.2 Representação Paramétrica das Cónicas, 117 
4.3 Assíntotas e Equações Paramétricas da Hipérbole Equilátera Referida às 
Assíntotas, 122 
Exercícios, 131 
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 
A) Retas no R 2 , 1 3 3 
B) Retas e Planos no R 3 , 135 
C) Cónicas, 136 
D) Lugares Geométricos, 138 
E) Complemento : Conjuntos Convexos, 140 
Exercício, 141 
F) Complemento: Ortonormalização de Vetores, 146 
Exercícios, 151 
NOTAS HISTÓRICAS, 153 
ÍNDICE ANALÍTICO, 157 
PREFÁCIO 
Este livro foi organizado a partir de aulas lecionadas pelos autores, sobre o as-
sunto, nos últimos anos, na UFRJ.JtJ objetivo principal é retornar aos métodos de 
Fermât e Descartes para o estudo da Geometria Euclidiana. Durante algum tempo, 
os assuntos aqui tratados foram distribuídos nos vários programas de Cálculo Dife-
rencial Integral, bem como nos de Álgebra Linear. Constatou-se que para certos ti-
pos de cursos, como para a licenciatura ou para o bacharelado em matemática, ne-
cessário seria uma disciplina separada tratando com mais cuidado aqueles assuntos, 
sem todavia cometer exageros tão freqüentes e prejudiciais no passado. Nossa idéia, 
ao prepararmos o presente texto, foi auxiliar o entendimento dos conceitos de Ál-
gebra Linear e do Cálculo Diferencial e Integral evitando toda e qualquer argumen-
tação supérflua. Assim, tomamos como ponto de origem os números reais por onde 
inicia a disciplina de Cálculo Diferencial e Integral e que em Álgebra Linear apare-
cem como um exemplo significativo de espaço vetorial. Apresentada de maneira 
intuitiva a idéia de número real, ou melhor, do corpo dos números reais, constrói-
se a coleção de pares de reais, de ternos e, finalmente, de n-uplas de reais. Na co-
leção de n-uplas são introduzidas certas relações binárias como a igualdade, a adi-
ção e multiplicação de uma n-upla por um número real. Daí, define-se de modo na-
tural a noção de vetor que é a antiga noção de segmento orientado. São estudados 
os conceitos de dependência linear, base e dimensão para subconjuntos do R". As-
sim, de posse da noção de vetor mais as regras de composição denominadas produ-
to escalar e produto vetorial, faz-se o estudo das retas e planos e seus problemas. Há 
uma coleção razoável de exercícios. 
Parte do texto é dedicada ao estudo das propriedades básicas das cónicas. 
Foi feita uma seleção de exercícios e colocada no final do livro, intitulada: 
Exercícios Complementares, bem como dois complementos, sendo um sobre con-
juntos convexos e outro sobre o processo de ortonormalização de vetores. O resulta-
do mencionado sobre conjuntos convexos, deduzido de modo bem intuitivo, possui 
aplicações em otimização e generalizações de relevante importância. 
Deste modo, acredita-se ter atingido o objetivo fixado, que foi examinar no ca-
so concreto dos vetores do R" as noções de dependência linear, base ortonormal e 
dimensão, servindo de introdução à Álgebra linear; fazer aplicações do produto esca-
lar e vetorial na resolução de problemas de Geometria; estudar as propriedades ele-
mentares das cónicas para auxílio às disciplinas de Cálculo Diferencial e Integral. 
9-
Ao Luiz Henrique Medeiros nosso muito obrigado pelo trabalho artístico dos 
desenhos contidos no texto e ao Wilson Góes, pelo trabalho datilográííco que só ele 
sabe fazer. 
Aos colegas do(lM-UFRJy agradecemos o estímulo e permanente ajuda quando 
pensava-se no presente livro. 
Os Autores 
10 
Capítulo 1 
VETORES 
1.1 Introdução 
Nosso objetivo, nesta seção, é um estudo elementar sobre vetores. Veremos 
os conceitos de vetor, base, dimensão e introduziremos a noção de produto escalar 
com o qual faremos algumas aplicações. O produto vetorial será estudado posterior-
mente. 
À guisa de motivação a este estudo elementar de vetores e, também, para fixar 
a notação a ser usada, faremos um breve comentário sobre a evolução do conceito 
de número. 
Iniciaremos representando por N a coleção dos números inteiros naturais, isto é, 
N = 10,1,2,...,/!,...}. 
Em N está definida uma operação de adição de modo que, dados dois números 
de N», m e n, fica determinado, univocamente, um terceiro número de N denomina-
do "a soma de m com n" e que será. representado por m + n. Esta operação em N 
possui as boas propriedades de uma adição, ou seja, é.comutativa e associativa: 
a) comutativa: m + n = n + m 
b) associativa: m + ( « + r) = (m •+«) + r 
para todo m,n e r de N. Além destas duas propriedades, existe em N o elemento O, 
chamado elemento neutro da adição em N, tal que: 
c ) 0 +n=n+0=n 
para todo n em N. 
Dados os números inteiros naturais men encontrar um número r tal que m seja 
igual a n + r é a operação inversa da adição, denominada subtração, e representada 
por m — n. Assim, o número r será obtido por 
r — m — 'n. 
Definida assim, dados men nem sempre existe r em N tal que m = n+ r. Por 
exemplo, se m = 3, n = 5 não existe r em N tal que 3 = 5 + r. Observamos, então, 
que a subtração só é definida em N, para m e n dados, somente se m for maior ou 
igual a n. 
Com o objetivo de eliminar esta deficiência em N, introduz-se a coleção dos nú-
meros inteiros, representada por Z, ou seja, 
11 
Z = j . . . , - « , . . . - 2 , - 1 , 0 , ' + l , + 2 „ . . + « , . . . ( . 
A operação de adição, anteriormente definida em N, é estendida à coleção Z e 
observamos que a subtração está sempre definida em Z. Assim, se tomarmos, agora, 
m = 3 e « = 5 em Z, existe r em Z tal que 3 = 5 + r sendo r - — 2. 
Como sabemos, em Z está definida uma outra operação chamada multiplicação. 
Esta operação consiste em, dados os números inteiros m e n , encontrar um outro 
número inteiro denominado "produto" de m por n, representado por mn. A multi-
plicação em Z satisfaz as boas propriedades de uma multiplicação, ou seja, é comu-
tativa, associativa e possui elemento neutro: 
a) comutativa :mn = nm 
b) associativa: m{ns) = (mn)s 
c) existe em Z o elemento l tal que lm = ml = m qualquer que seja me m Z 
Temos, então, em Z, as duas operações: adição e multiplicação. Elas se relacio-
nam pela seguinte propriedade: 
d) distributiva: m(n + s) = mn + ms. 
Analisando a multiplicação em Z observa-se que ela apresenta uma dificuldade 
quando necessitamos fazer a operação inversa. A operação inversa da multiplicação 
consiste em, dados os inteiros men, encontrar um terceiro elemento s em Z tal que 
m = ns. Evidentemente, nem sempre isto é possível. Por exemplo, se tomarmos 
m = 5, n = 7 não encontramos em Z um s tal que 5 = Is. Para certos m e n em Z 
existe s nestas condições. Assim, se m = 10 e n = 5 temos 10 = 5 s com s = 2. Toda 
vez que, dados m, n em Z, existir s em Z, com a propriedade de que m = ns, dire-
mos que n divide m e a operação de encontrar s chama-se "divisão", sendo a inversayi z 2 X2 y 2 
Analogamente, calculam-se a segunda e terceira componentes, obtendo: 
50 
y i zi Xi yi 
y = zix2 ~z2xi 
y 2 Z2 x2 y2 
yi Zi Xi y, 
X z = Xiy2 
^2 z2 ^2 
O produto vetorial de u por v possui as seguintes propriedades, fáceis de serem 
verificadas: 
1. u A v = — (v A u) 
2. (M + W)AB = UA» + w a i j 
3. u Au = v Av = 0 
4. (u Au|«) = (« A v\v) = 0 ^ 
A Propriedade 1 nos diz ser o produto vetorial uma operação não comutativa 
e a 4 nos diz ser w = u A v um vetor simultaneamente ortogonal a u e a u . 
Exemplo: 
Dados os vetores u - (2,1,3) e v = (5,-1,2) achar um vetor unitário ortogonal 
a « e u . 
Pelo que acabamos de ver, o vetor procurado é dado pelo unitário de w onde 
w = « Av. i ; t 
Temos: 
v : —1 2 5 - 1 . 
u : 1 3 2 1 
donde 
jc = 1 -2 —(—1) ••3 = 2 + 3 = 5 
>» = 3- 5 - 2 - 2 = 15 —4 = 11 
z = 2 • (—!)•— 5 • 1 = —2 — 5 = —7 
e 
w = «At> = 5ei + 1 1 e2 — 7e3 
||w||2 = 52 + I I 2 + 72 = 25 + 121 + 49 = 195 
||w|| = +VÏ95. 
O vetor unitário procurado é, então, dado por 
^ = 5_e i 11 c __]_e3 
M l VÏ95 1 V l 9 5 2 VÏ95 
51 
Vimos, ao estudar o produto escalar, que podíamos representá-lo de duas ma-
neiras, em função das componentes dos vetores dados ou em função do co-seno 
do ângulo entre eles. Também existem, para o produto vetorial, duas representações 
equivalentes: uma em função das componentes dos vetores dados, que já obtive-
mos, e outra em função do seno do ângulo entre eles. 
Suponha os vetores u = e v - (x2,y2,z2) e w = u Av. Vimos que 
w é dado por 
w = (yiz2-z1y2)el +(zix2 -z2xt)e2 + (xty2 -x2yi)e3. 
Calculemos a norma de w. Tem-se: 
INI2 = 0 i z 2 - z , y 2 ) 2 + ( z l X 2 - z 2 x , ) 2 +(x,>>2 = 
2 2 , 2 2 , 2 2 . 2 2 . 2 2 , 2 2 = xly2 + xiz2 + yxx2 + ylz2 + zxx2 + zxy2 -
-2xxx2y,y2 - lxxx2zyz2 - 2y1y2z,z2. 
2 2 2 2 2 2 
Somando e subtraindo os termos xx x2, y1y2, zx z2 e reordenando temos: 
||W||2 = (x\x\ + *2j2 + x\z\ + y]xl + y\y\ + y\z\ + 
+ z\x\ + z\y\ + z\z\) - x\x\ - y\y\ - 2xxx2yxy2 -
- z\z\ - 2xix2ziz2 - 2yiy2z1z2. 
0 segundo membro pode ser escrito na forma I (*í + z \ ) ( . x l + y \ + z 2 > - ( x i x i + y i y i + z i z 2 ) 2 
como pode ser verificado efetuando o produto e o quadrado indicados. Logo, 
IIHI2 =(x] + y2
x +z\)(x\ +y2
2 + z2
2)-(xxx2 + y i y t +Z1Z2)2. 
As expressões que aparecem entre parênteses podem ser facilmente identifica-
das como sendo quadrados das normas de u e v e produto escalar de u por v, pois 
M2 =*î +y\+z] \\vtf =x\+y\+z\ 
(u|i;) = jc1ac2 + yxy2 + zxz2. 
Assim, 
| |w||2 = llwll2 | |v||2 — (ujt)) 2 . 
Substituindo (u | v)2 por ||u||2 IMI2 cos2 6 segue-se que 
llwll2 = M 2 IMI2 - Hull2 llvll2 cos20 
= llu||2 l|fll2(l - c o s 2 0 ) 
= ||u||2 IMI2 sen20, 
ou seja, 
IMI = Hull ||i>ll sen 0 O e 2 A e 1 = - e 3 etc. 
Munidos das noções de produto escalar e vetorial podemos tratar e resolver, 
de maneira simples e direta, os chamados problemas clássicos da Geometria Analí-
tica, problemas métricos e de posição. 
Exercícios 
1. Dados os pontos A (1,2,3), 5(2,0,1), C(0,l,4) ache um vetor unitário perpendicular ao pla-
no determinado pelos t^ês pontos. 
2. Que condições devem satisfazer os vetores us v para que os vetores w = u¥ v e z = u - v 
sejam colineares. M^- iy— c 7 
3. Mostre que se u + v + w = 0 então • _ 
u x w = w x ti = ti x u onde u x w = u A w. r 
Calcule a área do paralelogramo determinado pelos pontos 4(1,1,1), 5(5,1,1), C(7,3,l) e 
22 Planos e Retas 
A seguir faremos a descrição de retas no R 2 , planos e retas no R 3 , e resolvere-
mos alguns problemas chamados problemas clássicos da Geometria Analítica. Fare-
mos uso de conceitos até agora introduzidos, tais como vetores linearmente depen-
dentes, produto escalar, projeção de um vetor numa direção dada e produto veto-
rial de dois vetores do R 3 . Veremos que o tratamento destes problemas se simpli-
53 
fica consideravelmente com o uso destes conceitos. Recordamos que identificamos 
os pontos do R" com vetores localizados na origem e, do mesmo modo, identifica-
mos o vetor u = PQ, localizado em P e extremidade Q, com o vetor 0(Q -P) loca-
lizado na origem, isto é, u = OQ - OP. Os vetores u e v são paralelos, ou seja, 
possuem a mesma direção se existe um número real X 0 tal que v = X«, o que 
equivale, também, a dizer que u e v são linearmente dependentes uma vez que 
It; —Xu = 0. Recordamos ainda que, dado o vetor v, a direção de v é dada pelo 
vetor v/ IId II que representaremos por v. É evidente que ïùl = 1. Após relembrar es-
tes fatos passemos ao estudo de retas e planos iniciando com a descrição de retas no 
plano. 
2.3 Retas no R2 
Suponhamos que, dado um ponto P0 de R2 e uma direção v, seja pedido achar 
a equação da reta r que passa por P0 e tenha direção v. Para resolver o problema se-
ja P um ponto qualquer de r. O vetor u — u0 deve ter a direção v, pois queremos 
que r tenha direção v. Veja a Fig. 17. .-> 
(X - ÁJ^ : ? P C 
Fig. 17 
Decorre daí que para cada u = OP da reta eítiste um número real X tal que 
u — u0 = Xv 
ou 
u - u0 + Xv 
chamada a equação vetorial da reta. 
54 
Se 
v = (a',b') = a'el + b'e2 
" = (x,y) = xe1 + ye 2 
obteremos, a partir da equação vetorial, que: 
xex + ye2 =xQel +y0e2 + X(a'e, + b'e2) 
ou 
(x - xQ - Xa')e! + (y -y0 - \b')e2 = 0. 
Como ex, e2 são linearmente independentes em R2 , decorre que: 
!
x —x0 + Ka' 
X e R y -yo + Aô' 
que sãoas equações paramétricas, sendo X o parâmetro. Se a' 0, b' 0 as equa-
ções acima podem ser escritas na forma: 
x-x0 y-y o 
a' b' 
denominadas equações simétricas. gn 
Das equações simétricas obtém-se : 
b'(x -x0) = a'(y -y0) 
ou 
b'x - a'y + (a'y o - b'x0 ) = 0. 
Fazendo b' = a, —a' — b,c = a'y0 — b'x0 resulta que 
ax + by + c = 0 
denominada equaçãageraLdajela-^-
Supondo b 0 podemos escrever: 
a c 
y=-bx~b 
e pondo m = e k = —^ segue-se que 
i^y = mx + k 
conhecida como equagcuMuzida^a_reta. 
Os parâmetros m e k que aparecem na equação reduzida da reta possuem um 
significado geométrico simples. De fato, vamos supor que a reta r passa pelos pontos 
P e Q com P = (x',y') e ß = (x",y") como na Fig. 18 e seja o ponto R = (x",y'). 
Logo, (w - u) = (x" - x', 0), (v - w) = (0,y" - y). 
55 
Como a reta r passa pelos pontos PeQ,aà duas relações seguintes são satisfeitas: 
y' = mx' + k 
y" = mx"+k 
donde 
y" -y' = m(x"-x'), 
ou seja, 
que é igual à tangente do ângulo j^ue a reta faz com o semi-eixo positivo x, isto é, 
f ^ ^ t a n g n t e ^ d a i n g ^ o a entre a d i r e t o r da reta e o vetor de base e\. O parâ-
metro m é denominado coeficiente angular da reta r e é uma medida da inclinação 
da reta em relação ao eixo dos x. 
Se fizermos x = 0 na equação reduzida da reta obteremos = k. Logo, o pon-
to z = (0,fc) é o ponto de interseção de r com o eixo dos y e |/c| é a distânciades-
te ponto à origem. 
Suponha, agora, uma reta r que passa pelo ponto P — (x',y% tem direção v e 
está representada pela sua equação geral: 
ax + by + c = 0. 
Se Q = (x",y") é um ponto qualquer da reta r, é claro que PQ = Aß com 
PQ = Q-P = (x" — x')eI +(y"-y')et. Como P e Q são pontos de r, temos 
também: 
ax' + by' + c = 0 
ax" + by" + c = 0 
56 
e subtraindo, membro a membro, a primeira da segunda equação vem: 
a{x"-x,) + b(y"-y')=0. 
A expressão acima pode ser identificada com o produto escalar do vetor 
PQ = (x"-x')ei + (y"—y')e2 com o vetor n=aex + be2, Fazendo esta iden-
tificação obtemos: 
(n \PQ) = a{x" - x') + b(y"-y') = 0 
qualquer que seja o ponto Q = (x",y") da reta. Concluímos daí que se a reta es-
tiver representada pela sua equação geral 
ax + by + c = 0, 
os números a, b são as componentes de um vetor « perpendicular à direção de r, isto 
é, perpendicular ao vetor Xv para todo X real. 
Distância de um pontoa uma re^ 
Sejam dados a reta r, representada pela equação geral, / 
ax + by+c « 0, v - ^ (4 , - l ) e forma um ângulo a = 135° com o 
sentido positivo do eixo dos x. 
Resposta: x + y - 3 = 0 
2. Qual é a equação da reta perpendicular à reta 2x - 3y + 7 = 0 e que passa pelo ponto mé-
dio do segmento, da reta dada, compreendido entre os eixos coordenados. 
Resposta: 36x + 24 v + 35 = 0 
3. /O ponto P(5,4) é o ponto de interseção de duas retas rl e . A reta rl é paralela e r1 é per-
pendicular à retar cuja equação é 2x + 3y - 6 = 0. Ache as equações de rl e r%. r 
A p o s t a : % + = * 
tre as i 
equ 
+ 2 
ilx - ly + 1 = 0 
Resposta: \ » » 
(x + y - 3 = 0 
6. a.) Ache a equação da reta que passa pelo ponto de interseção das retas x-Ç-3y + 2 = 0, 
Sx +.6y - 4 = 0 eé paralela à reta 4x+ y + 7 = 0. 
b) Resolva sem achar o ponto de interseção. 
Resposta: 12* + 3̂ f + 2 = 0 ^ - v ^ 
7. Ache a equação da reta que determina segmentos iguais sobre os eixos coordenados corn 
as condições de que o segmento da reta compreendido entre os eixos tenha comprimento 
igual a se P(x,y) é um ponto do segmento então xy > 0. 
(x + y - 5 = 0 
Resposta: > - 8 = 0 e mx + my - 8 = 0 se in-
terceptam no mesmo ponto? 
Resposta:m = 4 
9. Calcule a distância entre as retas 2x - 3y + 4 = 0 e 4x - 6y + 9 = 0. 
Resposta: a— 
26 
10. Dadas as retas Xx + + 1 = 0 e 2x + (X - l),y + 5 = 0 determine X para que: 
a) as retas sejam paralelas; 
b) sejam perpendiculares; 
ir 
c) tormem um angulo de — rd. 
2.4 Retas e Planos no R3 
2.4.1 Retas no R3 
Suponhamos dados no R3 um ponto P0 e uma direção v. Nosso objetivo é 
descrever os pontos da reta r que possui a direção v e passa pelo ponto P0. 
58, 
Seja, agora, P um ponto qualquer da reta, P distinto de P0, de acordo com 
Se a reta r deve ter a direção v, então os vetores £ e (w - u 0 ) , localizado em 
P0 e de extremidade P, são paralelos, isto é, existe, para cada u nestas condições, 
um número real X. tal que 
(u-u0) = Xv 
ou, equivalentemente: 
u = u0 +Xv j 
com u, u0 localizados na origem. A expressão obtida chama-se equação vetorial 
da reta r que passa por u0 e tem a direção v. 
Obteremos, agora, para a reta r, uma equação equivalente à anterior, porém, em 
função das componentes de u0,u e v. Para isto, sejam: 
= (x0,y0,z0) = x0el +y0e2 +z0e 3 
u =(x,y,z) = xe1 +ye2 +ze3 
v =(a,b,c) = aey + be2 + ce3 
De u = u0 + Xv vem, 
xex +ye2 + ze3 = x0et + + Xaex + Xbe2 + Xce3 
xex +ye2 + ze3 —x0ex —y0e2 -zQe3 - Xaex -Xbe2 - Xce3 = 0 
59 
donde 
(x -x0 - Xa)ei + ( > - ^ 0 - Xò)e2 + (z - z 0 - Xc)e3 = 0. 
Como e j .e2 .e3 são linearmente independentes no R3, a combinarão linear nu-
la acima só é possível se os coeficientes forem todos nulos. Assim, concluímos que 
X— xQ — Xa = 0; y - j > 0 — X ô = Q; z — z0 — Xc = 0 
ou ainda 
x = x0 + Xa 
(*) y=y 0 + *b x e R 
z = z0 + Xc 
Quando X percorre todos os valores em R obtemos todos os pontos u = (x,y,z) 
da reta r e notamos que quando X = 0 o ponto correspondente é o ponto u = «0 — 
= (*o » y o, zo)- Se X > 0 os pontos obtidos estão à direita de u0 e se X , não sendo 
necessário achar sua direção. 
Para passarmos das equações simétricas para as paramétricas é suficiente notar 
que os três termos, na equação simétrica, são iguais a uma constante se o ponto 
u = (x,y,z) pertence a r. Façamos essa constante igual a X. Logo, 
x - l y —3 z-5 x e R 
1 3 . 
donde tem-se: 
61 
ou 
JC= 1 +X 
,V = 3 + 3X X G R 
z = 5 + 2X 
que sao equações paramétricas equivalentes às obtidas anteriormente. 
A situação geométrica do problema é a indicada na Fig. 21. 
Fig. 21 
2.4.2 Planos no R3 
Passemos, agora, à representação de um plano no R 3 . Suponhamos dados três 
pontos P0,Pe Q não situados sobre a mesma reta e seja n o plano determinado 
por estes três pontos. A situação é a representada na Fig. 22. 
62 
Fig. 22 
Os vetores w = P0P, v = P0Q, ambos localizados em P0, são linearmente 
independentes, pois os três pontos P0,Pe Q não estão alinhados. Logo, dado outro 
ponto R qualquer do plano ir, segue-se que o vetor (u — u0) = P0R pode ser repre-
sentado como A A A 
- 'j-f . ( u - u o ) = a s + 0 f a , ß e R, 
onde s e t são as direções de w e d respectivamente. Sendo R um ponto qualquer do 
plano n, concluímos que se ir é o plano determinado pelos pontosPo,PeQ entãoqualquer outro ponto de n satisfaz a relação acima. Identificando os vetores com 
seus correspondentes na origem temos: 
(u-u0) = ats + ßt 
ou 
u = u 0 + a s + ß t a , 0 € R . 
Esta equação do plano n chama-se equação vetorial de ir. Em geral, nas aplica-
ções, trabalhamos com uma outra equação denominada equação geral do plano que 
obteremos a seguir. Podemos achar, facilmente, a direção da normal, ou seja, a dire-
ção do vetor ortogonal ao plano n. De fato, basta tomar n — (w A v) = (w0 - u0) A 
A (v0 - «o)- Sabemos que n é ortogonal a (u>0 - u 0 ) e a ( % - u0), logo será orto-
gonal a todo vetor (u - u0), sendo u um ponto qualquer de ir, o que equivale a 
dizer que n é ortogonal a TI. Seja n = e calculemos o produto escalar de n com 
INI 
(u - Uo). Como (u - u0) = as + ßt obtemos: 
63 
( ( « - U O ) I « ) = ( tal que P0 não seja ponto da reta. 
Pede-se encontrar a distância de P0 à reta r. Lembramos, mais uma vez, que estamos 
identificando os pontos do R 3 com os vetores localizados na origem. Dada a reta r 
conhecemos sua direção. Seja v esta direção e w um ponto qualquer de r. Obser-
vando a Fig. 24 vemos que d, a distância procurada, é o cateto de um triângulo 
retângulo do qual a norma do vetor QP0 é o comprimento da hipotenusa. 
Usando relações métricas conhecidas entre elementos de triângulo retângulo 
temos: 
d = |||(u — w) H sen 0| 
onde 0 é o ângulo entre as direções de u—wev . Como ||í|| = 1 podemos escrever: 
d = IIK" — w)|| ||ß|j sen 0|. 
Mas a expressão acima é, precisamente, o módulo do produto vetorial do vetor 
(u — w) por v ou do vetor QP0 por v. Logo, a expressão da distância d é dada por 
d= | | ( m - W ) Atf||. 
2.4.4 Distância de um ponto a um plano 
Sejam, agora, um plano ir e um ponto P0 fora do plano. Pede-se a distância 
de P0 a 7T. 
O plano w sendo dado, conhecemos a direção ri do vetor perpendicular a TS. 
Suponha Q um ponto qualquer do plano it. Fica, assim, determinado um vetor 
Y 
X 
Fig. 24 
66 
QP0 = u — w tal que a distância h procurada é o valor absoluto da projeção orto-
gonal de u — w na direção h, de acordo com a Fig. 25, isto é, 
h = lil(w—w)tl cos SP| 
ou 
A = | ( u - w ) | Ä ) | 
que dá a resposta do problema. 
Fig. 25 
Suponhamos que o plano ir seja representado pela equação 
ax + by + cz + d = 0 
e o ponto P0 seja P0 = (xo,yo>zo)- O ponto Q, do plano, pode ser obtido fazendo, 
por exemplo, x = 0 e >> = 0 na equação do plano. Obtém-se que 0 + 0 + cz+d=0, 
ou seja, 2 = . Temos, então, w = (0,0,— Logo 
Como 
n = aet + be2 + ce3 
segue-se que 
ae 1 + be2 + ce3 n = • Va2 + b2+c2 
67 
Dax 
ou 
+ by o + cz0 + d 
( ( M -uOI») = 
\V + b2 + c2 
donde 
h = 
axo + by o + cz0 + d 
Va 2 + b2 + c2 
que é a expressão conhecida para a distância do ponto u0(x0,y0,z0) ao plano 
Tf : ax + by + cz + d — 0. 
2.4.5 Área de um triângulo 
Imaginemos três pontos distintos P, Q ER não pertencentes à mesma reta. Estes 
pontos determinam um triângulo contido, evidentemente, no plano definido pelos 
pontos. Queremos calcular sua área. 
Consideremos como base do triângulo o lado que contém o vetor PQ = w—u 
e chamemos h a altura relativa a este lado. Veja Fig. 26. 
Como a medida da área A procurada é expressa por — (base) (altura), temos 
R 
Ü 
y 
Fig. 26 
- u)|| s e M , 
ou seja, 
Desta expressão concluímos que a norma do produto vetorial de dois vetores 
dados é, numericamente, igual á área do paralelogramo cujos lados são os vetores 
dados. 
Z.4.6 Distância entre duas retas reversas 
Suponhamos dadas duas-retas m e n , não paralelas e não concorrentes, repre-
sentadas pelas equações: 
m : u = u0 + \Ê 
n : v = v0 + Xí 
e imaginemos que a situação seja a da Fig. 27. Queremos determinar a distância en-
tre m e n. 
A distância procurada deve ser medida sobre o segmento da perpendicular a 
ambas as retas men. A direção da perpendicular é dada por n = t A s. De acordo 
com a Fig. 27 o vetor QOPQ está localizado em Q0, ponto de h, e possui extremida-
de PQ, ponto de m. 
Logo, a distância procurada obtém-se calculando a projeção de (u0 — v0) na di-
reção n, ou seja, chamando d a distância procurada: 
d = l((«o - t'o)l«)l = l((Ko - v0)U* A s)|. 
Fazendo u0 — v0 = w0 obtém-se que a distância entre as duas retas reversas 
mené dada pelo valor absoluto do produto escalar de w0 por i A s que, por razões 
óbvias, é denominado produto misto. , > y 
Exercícios -
' x-l J 
1 j/ Escreva as equações vetorial e paramétricas da reta —-— = y — - z . V. " " j 
Í
x = 1 + 2 \ í u = u„ + Xv 
y = A- \u = (x,y,z), «„ = (1,0,0) 
z = - X ( v = (2,1,-1) 2. Escreva as equações vetorial e paramétricas dos eixos coordenados. 
x — 1 v —2 z —3 x + S y + 6 z - 2 7 
3. As equações = - — = e = — 5 - = —^7- representam a mesma reta? 
3 4 - 1 2 - 6 - 8 2 4 
Justifique. 
x - 1 y z + 1 
. 4. Dados a reta = — e o ponto Af(l, 1,1), encontrar o ponto N simétrico de M 
2 3 1 
em relação à reta dada. 
9 4 22 
Resposta: N(—, —, ) 
7 7 7 
x y z 
Determine o valor de ß para que as retas r:— = —- = — e s:x = 3X — l,y = — 5,z = X 
sejam concorrentes e ache o ponto de interseção. 
Resposta: ß = 1 M( 2,-3,1) 
6 . Ache a projeção ortogonal do ponto P(2,-1,3) sobre a reta* = 3/, y = St-7, z = 2/ + 2. 
y + 2 z_8 
7« Calcule a distânciad do pontoP( 1 , -1 reta-r^— = —-— = —— • 
Resposta: d = 7 
8. Ache a equação do piano que passa pelo ponto A (5,4,3) e determina, sobre os eixos coorde-
nados, segmentos de mesmo comprimento. , .• . -
Resposta:x + y + z - 12 = 0 
9. Encontre a equação de um plano cujos pontos são equidistantes dos pontos A( 1,-4,2) e 
5(7,1, -5) . ~'. - . - , 
Resposta: 2x - y - z - 6 = 0 s , r 
11. Ache os pontos de interseção doplano 2x - 3y - 4« — 24 = 0 com os eixos coordenados. 
12. Ache a projeção ortogonal do ponto P(S,2,-1) sobre o plano 2x - y + 3z + 23 = 0. 
Resposta: P' ( l^k-7) 
Encontre a equação do plano 
a) que contém o eixo Ox e o ponto Aí(4,-1,2); 
70 
x + 1 y-2 z 
b) que contem a reta—— = — e e perpendicular ao piano 3JC + V - Z + 2 = 0 . 3 - 1 4 
Resposta: a) 2>> + z = 0 b) JC - 5.y - 2z + 11 = 0 
. . w • x+7 y-5 z-9 Í2x + 2 v - z - 10 = 0 14. Mostre que as retas r: e s: (-2,-2,5) 
x-2 y+1 z—5 
16» Quais os valores ae a e c para que a reta = = —— seja perpendicular ao plano 
a 4 — 3 
3JC - 2y + cz + 1 = 0. 
3 
Resposta: a = —6, c = — 
(2x + y- 2 z - 3 = 0 17. Ache os pontos em que a reta ,0), C(0,0,c), mostre que vale a relaçao— =— + — + — 
62 a2 b2 c1 
71 
Capítulo 3 
CÓNICAS 
3.1 Introdução 
No Capítulo 2 estudamos as retas e os planos. Tanto as retas como os planos 
foram descritos por equações do 1° grau. O plano, uma superfície do espaço, foi re-
presentado pela equação ax + by+cz+d = 0 do 1? grau em x, y e z, e a reta, cur-
va do plano, descrita pela equação mx + ny +q — 0 do 1? grau em x e y. Nosso 
objetivo, neste capítulo, é fazer um estudo elementar e sucinto da circunferência, 
elipse, parábola e hipérbole que são curvas do plano, chamadas cónicas, descritas 
por equações do 2? grau em suas variáveis. Posteriormente, faremos de modo aná-
logo um estudo das superfícies de 2? grau chamadas quádricas. 
A denominação genérica de cónicas, para estas curvas do plano, vem do fato de 
que elas podem ser visualizadas ou obtidas através de interseções de um cone circu-
lar reto com um plano. De fato, consideremos um cone circular reto de duas folhas, 
com ângulo de abertura igual a a como mostra a Fig. 28 a seguir. 
Se interceptarmos esta superfície com um plano, perpendicular ao eixo de sime-
73 
se como curva interseção a circunferência, o que está mostrado na Fig. 29a. Se o 
ângulo entre o plano e o eixo BB' for maior que a obtém-se a elipse, como na 
Fig. 29b. Sendo a inclinação do plano em relação a BB' igual a a , a curva interseção 
obtida é a parábola, de acordo com a Fig. 29c. No caso em que o plano é paralelo 
ao eixo BB', ou possui uma inclinação de um ângulo ß, com ß 4 
Esta equação será da forma (1) se fizermos 
D Ê 2 D2 +Ë2 — 4F 
x0=-~, yo = ~2 e = -
Como r > 0, concluímos que a equação (3) representará uma circunferência se 
for satisfeita a condição 
D 2 + E 2 - 4 F > 0 . 
Observamos que se D2 + E2 — 4F = 0 então os únicos pontos que satisfazem a 
D Ë equação (3) são os pontos x0 = —j" e y o — —J 
Concluindo, temos.o seguinte resultado: a equação geral do 2? grau, com coe-
ficientes dos termos de 2? grau idênticos, 
x2 +y2 +Dx+Ey+F= 0 
representará uma circunferência, se 
D2 +E2 —4F>0. 
Neste caso, a circunferência terá como centro o ponto C de coordenadas x 0 = — 
y o = — ~2 e r a l ° dado por 
r = + I V 0 2 + £* - 4 F . 
76 
Exemplo: 
Quais das equações abaixo representam circunferências? 
a) x2 +y2 Q x 4y (- 7 = 0 
b)x2 +y2 -2x + 4y + 7 = 0 
Solução: 
a) £> = - 2 E = 4 F--1 
D2 +E2-4F=4 + 1 6 - 4 ( - 7 ) = 4 8 > 0 . 
Logo, a equação representa uma circunferência de centro no ponto C(x0,y0) e 
raio r onde 
D - 2 E 4 . 
2 = 2~ = ' ° = ~ 2 = ~ 2 = ~ 2 6 
r = | V 4 8 = 2>/3. 
b) £> = —2 ZT = 4 F=1 
D2 +£"2 — 4 F = 4 + 16 — 28 = 20 — 28 - 4 a c 
2 a 
e segundo o valor de A temos os três casos acima mencionados: 
77 
1. A > 0. Há dois valores reais possíveis de isto é, há dois ponto:- jinuns a 
r e C e a reta é secante. 
2. A = 0. Neste caso a raiz é dupla, ou seja, existe apenas um valor real de x 
satisfazendo ao sistema. A reta é tangente à circunferência. 
3. A1: 
Determine os pontos de interseção da circunferência fe: x2 +y2 — 4y—46~ 0 
com a reta r : y = 3x — 8. 
x2 - 6x + 5 = 0. 
Esta equação possui duas raízes reais distintas JCi = 1 e x2 = 5 que são as 
abscissas dos pontos de interseção P e Q. As ordenadas destes pontos são calcula-
das facilmente substituindo os valores de x encontrados na equação da reta. Encon-
tramos que: 
yx = 3 * ! - 8 = 3 1 - 8 = - 5 
y2 = 3x2 - 8 = 3-5 - 8 = 7 
e os pontos são P( 1,-5), 0(5,7). 
Exemplo 2: 
Ache os pontos de interseção da circunferência é : x2 +y2 — 8x — 2y + 9 = 0 
com as retas: 
a) y = 1 — x 
b) y — x + 2. 
Solução: 
Procedendo como no caso anterior, temos que resolver os sistemas: 
íx2 +y2 - 8x-2y + 9 = 0 
Solução: 
Pelo que acabamos de ver, temos que resolver o sistema: 
Substituindo a segunda equação na primeira obtém-se: 
x 2 + ( 3 x - 8 ) 2 - 4 ( 3 * - 8 ) - 4 6 = 0 
x 2 + 9 * 2 + 6 4 - 4 8 * - 1 2 * + 3 2 - 4 6 = 0 
ou 
y V 
78 
'"HV + y2 - &x - 2y + 9 = O 
b) 
(y=x + 2 
donde oC obtêm as equações 
a) x2 - 4x+4 = 0 
b) 2a:2 + 4x + 3 = 0. 
No caso a) A = 0 e a raiz encontrada é igual a JC0 = 2. Há apenas um ponto co-
mum T(2,-1) que é o ponto de tangência. No caso b) A r e P é exterior. 
Se y = mx + n e passa por P( 1 , -2) , então, - 2 = m + n, donde jp = — m — 2 e 
y = m(x- l ) - 2 . I - ™ Dc-V -v, — 
^ - - ifv-i — J2, 
^ ; n r*Cx- 0 - 3 . 79 
Assim, devemos resolver o sistema: 
\x2 + y2 -4x-2y = Q 
}y = m{x - 1 ) - 2 
com a condição adicional de que as raízes sejam reais e iguais. Substituindo a segun-
da equação na primeira e efetuando os cálculos obtém-se : 
*2 +.[!«(*—1)-2Ja —4x — 2[m(x — 1) — 2] = 0 
ax 2 + ßx + 7 = 0 
onde a= 1 + m 2 , ß = -2(m2 + 3m + 2) e y = m2 4- 6m + 8. A condição de 
que as raízes sejam iguais implica que 
Esta equação possui duas raízes reais mx = 1/2 e m2 = — 2 que sao os coefi-
cientes angulares das retas procuradas. 
A solução do problema proposto é dada pelas duas retas: 
2y-x + 5 ^ 0 e y + 2x = 0. 
Outra maneira de resolver este problema seria usar a condição de que a distân-
cia D do centro da circunferência à reta tangente procurada deverá ser igual ao raio 
da circunferência. No caso do exemplo acima, trata-se de determinar m sabendo-se 
que a distância do ponto C(2,l) à reta j- = m(x — 1) — 2 é igual a r = \ ß . Fazendo 
os cálculos encontraremos para m os mesmos valores encontrados anteriormente. 
Exercícios 
1. Ache a equação da circunferência que passa pelos pontos A (1,2), 5 (0 , -1 ) , C(-3,0). 
Resposta:(x + l ) 1 + {y - l ) a = 5 
2. Ache a equação da çircunferência que passa pelos pontos^(5,0), Q( 1,4) se seu centro se si-
tua sobre a retaüc + y - 3 - 0 . 
Resposta: (x — 2)2 + (y - l ) 2 = 10 
/ . Uma corda da circunferência x1 + y1 = 49 tem como ponto médio o ponto Aí (1,2). Ache a 
equação da reta que contém a corda. 
Resposta: x + 2y — S — 0 
4. Encontre a equação da circunferência que seja simétrica da circunferência a x2 + y2 — 2x — 
— 4y + 4 = 0 em relação à reta x — y — 3 = 0 ^UW'--.- - • -
4 4 4 
9. Um segmento de comprimento c desloca-se tendo suas extremidades apoiadas nos eixos coor-
denados. Encontre a curva descrita pelo ponto médio deste segmento. 
Resposta: Circunferência 
10. Ache a equação do lugar geométrico dos pontos tais que a soma dos quadrados das distân-
cias aos pontos A (2,0), £(0,2) é igual ao quadrado da distância entre A e B. 
Resposta: x2 + y2 — 2x — 2y = 0 
3.3 Parábola 
Como dissemos na introdução deste capítulo, faremos o estudo das cónicas 
caracterizando cada uma delas como uma curva do plano em que seus pontos satis-
fazem determinadas condições. Dadas estas condições obteremos, de modo sim-
ples, uma relação entre as coordenadas x e y de cada ponto da curva. Esta rela-
ção é a equação que representa a curva. 
Vamos supor, então, dados, no plano xOy, um ponto F e uma reta r tal que 
F não seja ponto de r. Seja a curva do plano em que cada um de seus pontos M 
possui a propriedade de que as distâncias de M a F e de M a r são iguais. Esta 
curva denomina-se parábola. O ponto F chama-se foco e a reta ré a diretriz. 
Na Fig. 31 estão indicados três pontos Mj, M2 e M3 de uma parábola. 
81 
Para obter a equação da parábola vamos considerar, inicialmente, uma situação 
particular. Tomaremos o eixo dos x passando pelo foco F e perpendicular à reta 
diretriz dada e o eixo y coincidindo com a mediatriz do segmento FF' onde F' é a 
projeção ortogonal de F sobre a diretriz. Com esta escolha, sendo a a abscissa de F, 
a equação da diretriz será * = —a. Se M(x,y) é um ponto genérico da parábola, 
pelo que foi dito acima, devemos ter 
MF = d(M,r) 
onde d(M,r) é a distância de M a r. 
>y 
M 
F' \ 
r 
X 
F«. 32 
Da Fig. 32 segue-se que: 
MF = V(x — a)2 + y2, d[M,r) = \x + a | 
donde 
fjc + a | = V ( J C — a)2 + y 2 . 
Elevando ao quadrado e simplificando obteremos 
(x + a)2 = (x - a ) 2 +y2 
x2 + a2 + 2ax = x2 + a2 — 2ax + y2 
y2 = 4 ax. 
Fazendo 4a = 2p resulta 
/ = 2 px (4) 
que é a equação da parábola. O número real p chama-se parâmetro. 
Observamos que, nas condições em que foi obtida, a equação acima representa 
uma curva simétrica em relação ao eixo dos x. De fato, é suficiente notar que se o 
82 
ponto M(x,y) pertence à parábola, o ponto M(x, -y), simétrico de M em relação ao 
eixo dos x, também pertencerá. Dito de Outra forma, a equação nãose modifica 
se substituirmos y por —y. 
Da equação obtida decorre também que 2px > 0, ou seja, o produto do parâ-
metro p pela abscissa x de M será sempre positivo e nulo só no caso de x = 0. Há, 
portanto, dois casos a considerar. 
\.p > 0. Como px> 0 devemos ter x>0, isto é, a parábola está contida no 
semiplano x>0 conforme indicado na Fig. 33. 
Fig. 33 
2. p 0, segue-se que x 0) 
se p > 0 e voltada para a esquerda (x 0. A parábola estará contida no semiplanoy > 0 e terá concavidade vol-
tada para cima (y > 0). Veja Fig. 36. 
F«. 36 
2. p 0. A parábola tem, como eixo de 
simetria, o eixo dos x e terá concavidade voltada para a direita (x > 0). O foco é o 
3 
ponto F de abscissa a = p /2 = 3/2 e a diretriz será x = — a = — — • 
Para se ter uma idéia da situação geométrica das parábolas destes dois exem-
plos elas foram apresentadas na Fig. 38 e na Fig. 39. 
Fig. 39 
3.4 Elipse 
Sejam dados, no plano, dois pontos Fx e F 2 . A elipse pode ser definida como 
sendo a curva plana em que cada um de seus pontos M possui a propriedade de que 
a soma das distâncias de M a Fi e de M a F2 é uma constante dada. Os pontos Ft e 
F2 são chamados focos da elipse. 
Consideremos o caso particular em que os focos Fx e F2 são pontos do eixo 
dos x e simétricos em relação à origem de um sistema de coordenadas xOy. Tome-
mos, então, como focos os pontos Fx (a,Q), F2(—a,0) sendo a > 0. Se M(x,y) é um 
ponto qualquer da elipse deveremos ter a seguinte relação: 
MFx +MF2 =2 a 
onde a constante foi tomada igual a 2a por conveniência. Expressando esta relação 
em termos das coordenadas dos pontos dados tem-se: 
V(x-a)2 +y2 + V(JC + a)2 +y2 = 2a 
•u 
V(x — a)2 +y2 = (2a — V(x + a)2 + y2 ). 
Elevando ao quadrado ambos os membros da igualdade acima e simplificando 
obtemos 
87 
M{x,y) 
F, ( A , 0 ) X 
Fig. 40 
cx - a ) 2 + y2 = 4 a 2 +(x+ a)2 + y2 - 4a V ( x + a ) 2 +y2 
(ax + a 2 ) = aV(x + a)2 + y 2 . 
Elevando novamente ao quadrado segue-se que: 
( a 2 - a 2 ) * 2 + a 2 y 2 = a 4 - a 2 a 2 
(a2 —a2)x2 + a2y2 =a2(a2-a2). 
Lembrando que num triângulo qualquer a soma dos comprimentos de dois de 
seus lados é maior que o comprimento do terceiro lado e observando a Fig. 40 con-
cluímos que 
MFI +MF2 > FIF2 
donde 2a > 2a, ou seja, a > a. Isto, por sua vez, implica que a2 
então, dividir a relação (* ) por a2(a2 — a 2 ) # 0. Resulta que 
a2 
a 2 > 0 . Podemos, 
- a 2 ) 
= l . 
Pondo b2 = a2—a0 tem-se 
a2 b2 = 1 (5) 
que é à equaçaôUãelipse referida aos eixos cartesianos. 
Veremos, a seguir, algumas propriedades de (S) e aproveitaremos para introdu-
zir a nomenclatura e notação dos elementos que definem a elipse. 
1. A elipse é uma curva plana simétrica em relação ao eixo dos x. De fato, a 
equação (5) não se modifica ao substituirmos y por —y, isto é, se M(x,y) é o pon-
to da elipse então M'(x, — o simétrico de M em relação ao eixo x, também será. 
2. O eixo y também é eixo de simetria da elipse (5). Como no caso 1 é sufi-
ciente verificar que os pontos M(x,y) e M"(—x,y} pertencem à elipse. 
3. De 1 e 2 decorre que a elipse (5) é simétrica em relação à origem. 
88 
4. Se M(x,y) é um ponto genérico da elipse então as coordenadas x e y de M 
satisfazem as desigualdades: 
—a 0 segue-se 
2 , " & b2 
y x 
que 1 — -5 0 tem-se !x| — > —a >2 + 2a)2 . 
Elevando ao quadrado e simplificando obtemos: 
ax + a2 = ±aV(x + a)2 +y2. 
Elevando ao quadrado de novo a expressão resultante pode, apóssimplifica-
ções, ser escrita na forma 
(a2-a2)x2-a2y2=a2(a2-a2). (7) 
Ora, da Fig. 44 tem-se Fx F2 — 2ct e, como num triângulo qualquer o compri-
mento de um lado é sempre maior que a diferença entre os comprimentos dos ou-
tros dois, resulta que 
FlF2> \MF1-MF2\ = 2a, 
ou seja, 2a > 2a e a >a o que implica ser a2 ~ a2 > 0. Logo, podemos dividir os 
dois membros de (7) por a2 (a2 — a2 ) 0. Assim fazendo, tem-se : 
v 2 v2 
1. 2 2 2 a a —a 
Definindo b por t>2 = a2 — a2 segue-se que 
x2 y2 
• - y . ^ g L - J - ' ( 8 ) 
que é a equação canónica da hipérbole ou a equação da hipérbole referida aos eixos 
.coordenados. Vejamos, a seguir, quais são as principais propriedades e elementos da 
hipérbole. 
a) Como ocorreu no estudo da elipse as variáveis x e y, na equação (8), apare-
cem elevadas ao quadrado. Logo, ela não se modifica se substituirmos x por —x ou 
y por —y, o que traduz o fato de ser a curva simétrica em relação ao eixo dos x, 
ao eixo dos y e em relação à origem. 
b) Procuremos os pontos em que a hipérbole intercepta os eixos coordenados. 
Estes pontos são os vértices. Os pontos M, interseção da hipérbole com o eixo dos 
x, são da forma M(x,0). Fazendo y = 0 na equação (8) tem-se: 
92 
donde x = ±a. 
Os pontos de interseção da hipérbole com o eixo dos y são obtidos fazendo 
x — 0 na equação obtida. Resulta que 
Como não existe nenhum número real tal que seu quadrado seja negativo con-
cluímos que a hipérbole (8) não intercepta o eixo dos_y. A hipérbole possui, portan-
to, apenas dois vértices que são os pontos ^(a.O), K2( a,0). O seguimento Vx V2 
chama-se eixo real da hipérbole e seu comprimento é igual a 2a, a constante dada. 
Em contraposição a constante b é chamada de comprimento do eixo imaginário da 
hipérbole. 
c) A seguir vejamos se há alguma restrição quanto aos valores que podem ser 
dados a x e ay . 
Reescrevedo a equação na forma 
y 
e observando que ^ > 0 concluímos que 
ou x2>a2. 
a 
Como a > 0, tem-se \x\>a o que equivale a 
—a>x>a. 
x y 
Isto quer dizer que um ponto da hipérbole descrita por — - = 1 não pode 
pertencer à região R compreendida entre as retas x = +a e x = —a. Veja a Fig. 45. 
Fig. 45 
93 
Sendo y2 = — ( x 2 — a2) e x2 — a2 > 0 segue-se que y2 > 0, logo y pode ser 
um número real qualquer. Na Fig. 46, abaixo, temos a representação da hipérbole 
V 2 
- = 1 onde estão indicados seus principais elementos. 
y A 
Fig. 46 
Fica como exercício mostrar que se tomarmos Fi e F2 no eixo dos y e repe-
tindo o que foi feito obteremos a equação 
que representa a hipérbole da Fig. 47. Observe que, agora, tem-se - a > y > a . 
Quando a = b, a hipérbole chama-se hipérbole eqüilátera e sua equação é dada, 
evidentemente, por 
x2—y2—a2 eixo real no eixo dos x 
ou 
y2 - x2 = a2 eixo real no eixo dos y. 
94 
Fig. 47 
A relação e tanto n a hipérbole como na elipse, chama-se excentri-
cidade. Na ehpse é a razão entre a distância focal e o c o r n p p m p n t n Hn c i v n ^ a i n r 
na hipérbole é o quociente entre a distância focal 2a e o comprimento do eixo real. 
Como na elipse tem-se a a. 
Na elipse a excentricidade e mede o menor ou maior achatamento da curva em 
relação ao eixo maior. Na hipérbole ela dá uma medida da abertura da curva em re-
lação ao eixo real. 
Exercícios 
A) Parábola: 
1. Encontre a equação da parábola que possui foco F ( 0 , - 3 ) , passa pela origem, e cujo eixo 
coincidecom o eixo dos y. . ' ' 
Resposta: x1 + 12^ = 0 / T J ^ J 
2. Escreva a equação da parábola se seu foco é F{—7,0) e equação da diretriz íx — 1 = 0 . 
Resposta: y2 = - 2&x 
3. Ache a equação da parábola simétrica em relação ao eixo dos x e com vértice na origem 
das coordenadas se o comprimento da corda, perpendicular ao eixo Ox e distante 6 unidades 
de comprimento do vértice, é igual a 16. 
, 32 -
Resposta :y = — x 
. 4 
O) Encontre sobre a parábola .y* = &x um ponto tal que sua distância à diretriz seja igual a 4. 
Resposta:Aí,(2,4); M 2 (2 , -4 ) 
95 
^ Determine a equação de uma parábola se a corda, perpendicular ao eixo de simetria que di-
ä vide em duas partes iguais o segmento compreendido entre o vértice e o foco, tem compri-
mento igual a 1. 
Resposta:_yJ = 2x 
6. Qual é a condição para que a reta y = kx+b seja tangente à parábola y2 = 2px. 
Resposta: p = 2kb 
p . Qual é a curva com a propriedade de que cada um de seus pontos está à mesma distância do 
ponto F(0,1 /4) e da reta y — — — • Ache sua equação. 
4 
Resposta: parábola: / = x2 
A equação de uma família de parábolas é y — 4x2 + c. Discuta o que acontece quando o pa-
râmetro c varia. ^ ^ 
9. Mostre, 4nali.ticamente^)que qualquer reta paralela ao eixo de simetria de uma parábola 
a intercepta em um único ponto. 
10 Determine a equação da reta, com coeficiente angular igual a —1, tangente à parábola 
y2 - 8* = 0. 
Resposta: x + / + 2 = 0 
B) Elipse: 
> + 6 = 0. Escreva a equação da elipse se sua excentricidade e igual a—— 
Resposta:*1 + 2 y 2 - (tx + 2 4 / + 31 = 0 
ßf^Kixa quadrilátero possui como vértices os dois extremos do eixo menor e os focos da elipse 
* 2 \ + 5y 2 = 20. Calcule sua área. 
'Resposta: 16 -
x2 yl 
ß. Dada a elipse — + — = 1 constrói-se a perpendicular ao eixo maior e passando pelo foco. 
/ a2 b 
Ache o comprimento do segmento, da perpendicular, compreendido entre o foco e o ponto 
de interseção com a elipse. 
b2 
Resposta:— a 
7. Encontre a equação da êlipse referida aos eixos sabendo que sua excentricidade é e = 3/5 e 
passa pelo pontoM(\ , \ ) , 
Resposta: 16xJ + 2 5 / J = 41 
8. Uma elipse passa pelo ponto A (4 , -1) e toca a linha * + 4y - 10 = 0. Ache a equação desta 
elipse sabendo que seus eixos coincidem com os eixos coordenados. 
96 
x2 y2 , x2 4 y2 
Resposta: — + — = 1; + = 1 
^ 20 5 80 5 
9. O ponto M (3,-1) é um dos extremos do eixo menor de uma elipse cujos focos estão sobre a 
•v/2" reta y + 6 + x = 0. Escreva a equação da elipse se sua excentricidade é igual a 
Sugestão: veja o Exercício 4. 2 
10. As extremidades de um segmento AB de comprimento constante a se deslocam apoiadas nos 
lados de um ângulo reto. Encontre a equação da curva descrita pelo ponto M que divide 
o segmento dado na relação 1:2. 
Resposta: Elipse. Se os eixos coordenados coincidirem com os lados do ângulo reto e o pon-
to A estiver no eixo dos * a elipse será: 9x2 + 36y2 = 4a2 
C) Hipérbole : 
1. Dada a hipérbole 16 x2 - 9y2 = 144 encontre: 
a) seus semi-eixos, b) seus focos, c) a excentricidade. 
5 
Resposta: a) 3,4 b) Ft (~5ft);F2(5,0) c) e = -
2. Seja uma hipérbole de excentricidade y/2. Ache a equação mais simples desta hipérbole sa-
bendo-se que ela passa pelo ponto M(yJT,\fZ). 
Resposta: x2 —y2 = 1 
3. Escreva a equação da hipérbole que tem como focos os pontos F(2,0), F' ( -2 ,0) se sua ex-
centricidade é 3/2. 
x2 y2 4 
R e s p o s t a : — - — = -
x2 y2 
4. Os focos de uma hipérbole coincidem com os da elipse — H—— = 1. Ache a equação da hi-
pérbole se sua excentricidade éíe = 2. 
x2 y2 
Resposta: = 1 
4 9 
x2 y2 
5. Ache a condição para que a reta y = kx +m toque a hiperbole — - — = 1. 
Resposta: a 2 * 1 = b2+m2 
6. Obtenha as equações das tangentes à hipérbole 4x 2 - 11 y2 = l que sejam paralelas à reta 
20x - 33.C = 13. 
Í20x - 33y -1=0 
Resposta: \ 2 Q x _ 3 3 y + , = Q 
7. Ache a equação do lugar geométricodos pontos equidistantes da circunferência x2 +y2 +4x = 
= 0 e do ponto Aí(2,0). 
y2 
Resposta : ramo direito da hipérbole x2 —— = 1. 
(8.]^ôão-se dois pontos A ( -1 ,0 ) e 5(2,0). Seja M um ponto que se desloca de modo que o ân-
gulo B do triângulo AMB seja sempre duas vezes maior que o ângulo Á do mesmo triângulo. 
Encontre a equação da curva descrita pelo ponto M. 
y2 
Resposta:*2 — = 1 
9. Se k é diferente de zero mostre que a equação 3x2 - = k representa uma família de 
hipérboles cada uma delas com excentricidade igual a \JT. 
97 
10. Mostie que o produto das distâncias dos focos a qualquer tangente à hipérbole— r = 1 
a b 
é iguala — b2. 
3.6 Forma Canónica das Cónicas 
Nos parágrafos anteriores obtivemos e estudamos as seguintes equações: 
a) y2 = 2px ou x2 = 2py parábola 
x2 y2 
b ) ~ + — = 1 elipse 
2 2 2 2 x y y x 
c ) T 2 ~ T 2 = l ' ~ 7 ~ T 2 = l h i p é r b o l e 
Estas equações são chamadas equações canónicas e dizemos que as equações 
da parábola, elipse e hipérbole foram reduzidas à forma canónica. Por serem sim-
ples, dada qualquer uma das equações acima, podemos identificar, imediatamente, 
qual a curva que ela representa. No parágrafo seguinte veremos que uma cónica po-
de ser representada por uma equação do segundo grau e m x e>> envolvendo termos 
do primeiro grau e termos constantes. A identificação da cónica, neste caso, é feita 
reduzindo sua equação à forma canónica. Esta redução é conseguida através de mu-
danças dos eixos coordenados e que é feita escolhendo-se um novo sistema de eixos 
XO'Y, conveniente, em relação ao qual a curva estará representada por equações 
na forma canónica. Veremos, também, que podemos classificar as cónicas em fun-
ção dos coeficientes da equação geral do segundo grau que as representa. 
Inicialmente, estudaremos o caso em que é suficiente uma translação de eixos 
para reduzir a equação à sua forma canónica e, em seguida, mostraremos que o pro-
blema geral é resolvido através de uma rotação e de uma translação de eixos. 
98 
Capítulo 4 
EQUAÇÃO GERAL 
DAS CÓNICAS 
4.1 Discussão da Equação Geral das Cónicas 
As equações da parábola, elipse e hipérbole obtidas nos parágrafos anteriores 
têm uma expressão bastante simples. Todas podem ser escritas na forma 
eJ. í / i 
Ax2 + By2 + C = 0, Ax2 + By = 0, Ay2 +Bx = 0 , (1) 
h. i hmí- ' rv-
que são equações do segundo grau em x e y. O fato de as equações acima represen-
tarem uma eüpse, parábola ou hipérbole vai depender unicamente dos valores e si-
nal (positivo ou negativo) dos coeficientes A, B e C. Esta representação simples, 
obtida para as cónicas, foi devido à hipótese de que cada uma delas estava numa 
posição privilegiada em relação ao sistema de coordenadas. Nos cálculos anteriores 
sempre supusemos os focos sobre um dos eixos e portanto os eixos de simetria da 
cónica sempre coincidiam com os eixos coordenados. 
Suponha, agora, a situação em que a cónica possui os focos sobre uma reta 
paralela a um dos eixos coordenados. Por exemplo, imagine a parábola que tem 
como foco o ponto F(3,2) e como diretriz a reta x = 1. Usando a definição e fa-
zendo os mesmos cálculos feitos em (3.2) obténvse a equação 
y2 -4y-4x + 12 = 0. 
Comparando com a equação y2 = 2px ou y2 — 2px = 0 vemos que aquela contém, 
a mais, os termos —4y e +12. Se fizéssemos o mesmo para a elipse, ou hipérbole, 
obteríamos equações da forma mais geral 
Ax2 + Cy2 + 2 Dx + 2Ey + F = 0 (2) 
do segundo grau em x e y. No entanto, a equação mais geral possível do segundo 
grau emje e >> não é a (2) mas aquela que possui o termo 2Bxy, isto é, a equação 
Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0. (3) 
A equação (3) pode representar uma cónica em que os eixos de simetria são 
retas inclinadas em relação aos eixos coordenados. 
Nosso objetivo nesta seção é estudar as condições em que (2) representa 
uma cónica e qual a cónica representada. 0 estudo da equação (2) será feito redu-
zindo-a à forma (1). 
99 
Suponhamos, então, a equação 
Ax2 + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F=0 (2) 
onde os coeficientes A, C, 2D, 2E e F são números reais e A e C não simultanea-
mente nulos. Lembremos que uma equação da forma (2) representa um conjunto 
de pontos do plano podendo este conjunto ser vazio, finito e infinito. Estudaremos 
as várias situações possíveis. 
1. Um dos coeficientes A ou C é nulo. 
Vamos supor C = 0 e A =£ 0. O caso A = 0 e C=£0 é tratado de forma aná-
loga. A equação (2) se escreve, então, como: 
Ax2 + 2Dx + 2Ey + F = 0. (3) 
Sendo A =£ 0 podemos fatorá-lo nos dois primeiros termos obtendo 
, 2D 
A (x2 + x) + 2Ey + F = 0. (4) 
A 
2 D D 
Ora, x H x são os dois primeiros termos da expansão de (x -I—) , pois 
A A 
D _ ; 2 D D2 
(x-i 
donde 
(x +—)2 = x2 + —* +— 
A A A2 
2 , 2 D D D 
X + — x = ( x + — ) 2 -• 
A A A2 
Substituindo esta expressão em (4) segue-se que 
D , D2 
A f (x H ) ] + 2Ey + F=0, 
2 A A2 
ou seja, 
D D2 
A(x+—)2 + 2Ey + F = 0. (5) 
A A 
Observamos que a equação (5) embora tenha uma forma diferente de (3) é equi-
valente a ela. 
1? caso: E = 0. 
Se E = 0 ficamos com 
D , D2-AF 
A (x H—) = 
A A 
D 
Façamos X = x H—. Assim, a equação, se transforma em 
A 
, D2-AF 
AX2=— (6) 
100 
Se fizermos Y=y podemos pensar na equação (6) como representando uma curva 
num sistema de coordenadas XO'Y. A discussão então é simples: 
a) Se D2 - AF > 0 tem-se 
\/D2-AF 
X = ± 
A 
isto é, representam as retas 
\/D2-AF V d 2 —AF 
X = e X = 
A A 
No sistema xOy as equações destas retas seriam 
D Vi)2 —AF D 
x = X =± — • 
A A A 
b) Se D2 - AF = 0 teremos 
AX2 = 0 
logo X = 0 que é o eixo Y do sistema XO'Y. No sistema xOy será a reta 
D D D 
x=X—=0 = 
A A A 
D_ 
X~ A 
c) Se D2 - AF + f = 0 
102 
ou 
Fazendo 
y~y~ 
35 
vem 
4X2-Y=0 OU Y=4X2. 
Ora, a equação Y = 4X2 representa uma parábola com eixo de simetria coinci-
dindo com o eixo dos Y. Como 2p — 4 = 4a segue-se que a = 1 e o foco é o ponto 
^'(0,1) em relação ao sistema XO'Y. Como p > 0 resulta que a parábola possui con-
cavidade voltada para os valores positivos de Kcomo na Fig. 48. 
Fig. 48 
Mas qual será a posição desta parábola em relação ao sistema antigo xOyl Pararesponder esta pergunta basta voltarmos à transformação feita 
3 
4 X = x 
Y = y 35 
4 
A parábola tem vértice na origem de XO'Y, isto é, F'£0,0), (A=0 e K=0). Lo-
go, o vértice V da parábola, no sistema xOy, será o ponto de coordenadas X = 0 = 
103 
3 35 3 35 3 35 = je — — e K = O = 7 ——, ou seja, x = — e y =—. O vértice é o ponto K(— » —). 
3 
O foco no sistema xOy será o ponto F de coordenadas X = 0 = x — — e y = 1 = 
35 3 39 3 39 = y —— pois F'(0,1). Logo, x — — e y = — donde F(— > — P o d e m o s afirmar, 
então, que a equação 4x2 — 6x — y + 11 = 0 representa uma parábola com foco no 
3 39 3 35 ponto F ( - ' — ) e vértice V(— > ——). O eixo de simetria e a diretriz são as retas 
3 35 31 x = — e Y = —a = y —— = — 1, isto é, y = — respectivamente. Como exercício, 
represente a parábola no sistema xOy. 
2. A =£0 e C ^ O . 
. Procedendo da mesma maneira que anteriormente, teremos: 
0 = Ax2 + Cy1 + 2 Dx + 2 Ey+F = 
„ 2 D , 2E 
= A(X2+ x) + C ( 7 2 + — y ) + F = 
A C 
= A(x2 
A A" A' C C" C" 
2 D D2 D2 2 E E2 E2 
+ F = 
C' C1' c 
D , E , D2 E2 
= A (x +-)2 + C(y +p2 + F - - - — 
A C A C 
2D D2 
+ — x + ~ -
A A2 
D2 2 E E> 
2D D2 
+ x 4 r ) 
A A2' 
D2 
~ — +C(y2 
A 
2 E S1 +F> E2 
C 
fazendo 
D 
X = x+— 
A 
E 
Y = y+— 
C 
segue-se que: 
D2 E2 
AX2 4 CY2 + ( F ) = 0 
A C 
D2 E2 
onde (F ) é uma constante. Chamando esta constante de AT vem: 
A C 
ÂX2+CY2+K = 0. (8) 
D2 E2 
a )K = F = 0. 
A C 
104 
Se A e C possuem o mesmo sinal, ou seja, se são ambos positivos ou negativos, 
então, de 
AX2 + CR2 = 0 ou ( - A ) X 2 + (~C)Y2 = 0 
D2 E2 
concluímos que X = Y = 0. Assim, seA¥=Q,C¥=0eF r = 0 a equação 
A C 
AX2 + CY2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 representa o ponto de coordenadas 
D D E E 
x = 0 = e v = 0 
A A C C 
Se A e C não possuem o mesmo sinal, podemos supor, por hipótese, que seja 
A0. 
Multiplicando a equação (8), comK = 0, por ( -1 ) , tem-se: 
(-A)X2 - (C)Y2 = 0. 
Sendo C> 0 e A 0 e b> 0. 
Ml ICI 
m m - * - * 
Logo a = v e b = V . Como estamos supondo — 0 , -
A 
-K -K 
— > 0 temos = 
C A 
X2 
1 = + 
* 
Y2 X2 Y2 
K ~ a2 + b2 
C C 
Ora, a equação 
X2 Y2 _ 
a2 + b2 
1 
106 
representa uma elipse com eixos de simetria coincidindo com os eixos dos X e dos 
Y do sistema XO'Y, logo a equação (2), nestas condições, descreve uma elipse com 
eixos de simetria paralelos aos eixos dos x e dos y. 
-K -K 
b.3) — e — são de sisais contrários. 
A C 
-K -K 
Seja > 0 e 0 resultaria a equaçao 
A B 
Y2 X2 
a2 1 
que também representa uma hipérbole, com os eixos coordenados como eixos de si-
metria. 
c)A = C>0 e K 0 
A 
e representa uma circunferência com centro na origem de XO'Ye.o raio é r 
Consideremos, a seguir, alguns exemplos ilustrando os vários casos analisados. 
Exemplo 2: 
a) Classifique a curva apresentada pela equação. 
b) Determine seus elementos principais. 
25x2 + 16^2 - 50x + 128^ - 1 1 9 = 0 
Solução: 
D2 E2 ( - 25)2 (64)2 
a M = 2 5 > 0 , C = 1 6 > 0 , K = F — - - — = - 1 1 9 — 0 , > 0 e > 0 . Logo, pela discussão feita, a equação descre-
A C 
ve uma elipse. 
b) 0 = 25x2 - 50JC + 16y2 + 128y - 119 = 
= 2 5 ( x 2 - 2 x + l - l ) + 160>2+8>>+16-16)- 119 = 
= 25(x—l)2 - 25 + 16(_y+4)2 - 16 • 1 6 - 119 = 
= 25(x—l)2 + 1 6 0 +4) 2 - 400. 
Fazendo 
I Y = ^+4 
tem-se: 
25JC2 + 1 6 r 2 = 400 
ou ainda: 
Il II-
16 25 ~ 
que é uma elipse com eixos de simetria coincidindo com os eixos coordenados do 
sistema XO'Y. O eixo maior está sobre o eixo dos Y e é dado por a2 = 25. O eixo 
menor é dado por b2 = 16. A distância focalé2 |a | . Como|a | 2 = a 2 — b2 = 25 - 16 = 
= 9 resulta que A* = 9 ou a = ± 3. Os focos da elipse, no sistema XO'Y, são, por-
tanto, os pontos F[ (0,3) e Fj(0,—3). Abaixo representamos a elipse nos sistemas 
XO'YEXOY. 
108 
Quais são as coordenadas dos focos Fi e F2 no sistema xOyl 
Havíamos determinado que em XO'Y os focos são F\(0,3) e F j (0 , -3 ) . Logo 
X=0e Y=± 3. Como = 1 e Y = y+4 decorre quex = X+l ey= Y-4. As-
sim sendo as coordenadas de Fx e F2 serão 
x = 0 + 1 = 1 e y = ±3-4, ,y = - l e y = ~l. 
D a í . F j í l - l ) e F2( 1,-7). 
Concluindo, a equação 
25x2 + I6y2 — 50x + 128^ — 119 = 0 
representa uma elipse com focos sobre a reta x = l s e n d o * ( 1 , - 1 ) e ' F 2 ( l , - 7 ) . 
O semi-eixo menor está sobre a reta y = - 4 . Os vértices são os pontos: (1,1), 
-9 ) , K 3 (5 , -4 )e K 4 ( - 3 , - 4 ) . 
Exemplo 3: 
Estude a equação x2 — y2 + 2x — 3 = 0. 
Solução: 
D2 E2 
Temos A = l C=-1 D= 1 E= 0 F=-3 , 4 ^ 0 C * 0 e K = F = 
j A C 
= - 3 0 = —4 0 e = —4 0 C - + 44 = 
= 4(x2 + 12x)- 25(y2 + 4 y ) + 44 = 
110 
= 4(x2 + 12x+36-36 ) - 25(y2 + 4 ^ + 4 - 4 ) + 44 = 
= 4(x+6)2 - 144 — 25CK + 2)2 + 1 0 0 + 4 4 = 
= 4(x+6)2 — 25(j> + 2)2 
4(x+6)2 — 250»+ 2)2 = 0 
[2(x+6)]2 ~ [5(-y + 2)}2 = 0 
[2(*+6)+5(y + 2)]l2(jr+6)-5(y + 2)] = 0 
donde 
2(x+6) + 5{Y+2) = 0 
2 ( x + 6 ) - 5 0 ' + 2 ) = 0 
ou seja: 
2x + 5y + 22 = 0 
2x-5y+ 2 = 0. 
A discussão feita e os exemplos estudados mostram que a equação (2) 
Ax2 + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F=Q (2) 
pode representar,dependendo das relações entre os coeficientes A, C, D, E e F, 
uma parábola, uma elipse, uma hipérbole, uma circunferência, um par de retas, 
um ponto ou um conjunto vazio de pontos. Quando a equação (2) se reduz a um 
par de reta_s, um ponto ou um conjunto vazio dizemos que ela representa uma có-
nica imprópria ou degenerada. Nos demais casos diz-se uma cónica própria. 
Supondo-se que a equação (2) represente uma cónica própria, para deter-
minar seus elementos principais, focos e vértices, por exemplo, é conveniente 
reduzi-la à forma canónica. Nos exemplos apresentados isto foi feito às custas 
de uma translação, isto é, da escolha de um novo sistema de eixos XO'Y em que os 
eixos das abscissas e ordenadas do novo sistema são paralelos aos eixos das abscis-
sas e ordenadas, respectivamente, do antigo sistema xOy. A translação conveniente 
foi determinada reescrevendo a equação (2) numa forma equivalente adequada on-
de aparece, explicitamente, a transformação a ser feita. Observamos, também, que 
reduzir a equação (2) à sua forma canónica implica em eliminar, de alguma forma, 
um ou os dois termos do primeiro grau e r a x e ^ o u u r a dos termos do primeiro grau 
e o termo constante. Poderíamos, pois, partir da translação geral 
x = X+a 
y = Y+b 
e determinar os parâmetros aeb para que fossem eliminados os termos convenien-
tes para a equação se reduzir à forma canónica. 
Para ilustrar este procedimento vamos tomar dois exemplos. 
a ) x 2 - y 2 + 2 * - 3 = 0. 
Consideremos^ translação 
111 
(x = X+a 
\y = Y+b 
ilustrada na Fig. 51 no caso de ser a > 0, b > 0. 
O-
« > 0 
è > 0 
O 
Fig. 51 
Feita a translação, a equação acima, no sistema XO'Y será 
(X+a)2 - (Y+b)2 + 2(X+a) - 3 = 0 
X2 +a2 + 2aX - Y2 - b2 -abY + 2X + 2a - 3 = 0 
X2-Y2 + (2a + 2)X + (~2b)Y + (a2 —b2-2a-3) = 0. 
Logo, a equação não terá termos do primeiro grau em X e F se fizermos 
j 2a + 2 = 0 
/ -2b = 0, 
isto é, se fizermos a = - l e b = 0. A translação conveniente é, portanto, 
\ x = X - l / 
} y=y 
A equação resultante será 
X2—Y2 =4 
que representa uma hipérbole equilátera como já havíamos visto nò Exemplo 3. 
b )x 2 ~4x-y + 9 = 0. 
Seja, novamente, a translação 
ix = X+a 
)y = Y+b 
112 
e a equaçao transformada que será: 
CX+a)2 - 4 ( X + a ) - ( Y+b) + 9 = 0 
AT2 + a2 + 2 a J r - 4 X - 4 « - Y-b + 9 = 0 
Z 2 +(2a-4)X- Y + (a2-b +9) = 0. 
Fazendo 
( 2a —4 = 0 
ja2—£+9 = 0 
segue-se que a = 2 e b = 13. Corn estes valores a equaçao se transforma em 
que é uma parábola com eixo de simetria coincidindo com o eixo dos Y e conca-
vidade voltada para o sentido positivo do mesmo eixo. 
Feitas estas observações passemos ao estudo da equação mais geral do segundo 
grau que descreve uma cónica. Esta é a equação (3) que contém, a mais, o termo 
Esta equação se reduz à equação (2) já estudada no caso de ser B = 0. Então, 
seria o caso de procurar uma transformação, no plano, de modo a transformar a 
equação (3) na equação (2), isto é, de modo a eliminar o termo que contém o 
produto xy. Eata transformação é uma rotação do sistema xOy de um ângulo p 
e 
cos 2ip = cos2i^j — sen2 î i 
temos: 
2B'= ~(A ~C)sen2p + 2B cos 2«p. (12) 
Para que a equação transformada não contenha o termo XY é suficiente que 
2B' = 0, ou seja, que 
2B cos 2p = (A —C) sen 2p = - are cos(0) = =—-> (14) 
2 2 2 4 
o que representa uma rotação de45° no sentido positivo. Escolhendo ip para que se-
ja B' = 0 a equação (11) se transforma na (2) 
yl'X2 + C F 2 + 2D'X + 2E'Y + F ' = 0 
e recaímos no caso já estudado. 
114 
Exemplo 1: 
Encontre a rotação que elimina o termo cruzado xy da equação abaixo e escre-
va a equação transformada 
3x2 - 10xy + 3y 2 - 12x + 20.J> + 16 = 0 
Solução: 
A = 3 2 0 = -10 C = 3. 
^^ 7T Como A = C = 3 tem-se ^ = — . A rotação será, então: 
\Í2 \Í2 
x= X Y 
2 2 
y/2 v T 
>> = X + Y 
2 2 
Substituindo x e ^ na equação, efetuando os cálculos e simplificando encontrare-
mos: 
X2 -4Y2 - 2yj2X-%\Í2Y - 8 = 0. 
Exemplo 2: 
Elimine o termo em xy da equação 
I28x2 - 408xy + 241 y2 = 0 
escrevendo a equação transformada. 
Solução: 
A = 128 2B = —408 C = 2 4 7 
2 B - 4 0 8 24 
A-C= 128 - 247= - 1 1 9 e 
, 4 - C - 1 1 9 7 
Logo 
2Ä 24 
tg2(/>: 
i 4 - C 7 
Os valores de cos ^ e sen ^ podem ser obtidos, facilmente, a partir das identida-
des trigonométricas 
1 
1 + tg2 2tp = sec2 2i/j = — 
cos 2ip 
I cos2^? + senV = 1 
cos2(£ — sen2i^ = cos 2> - 23 = 0 
Resposta: circunferência 
5. 16x2 + 25y1 - 32x + 50^ - 359 = 0 
Resposta: elipse 
1 1 2 
6. ~ x 2 - - y 2 - x + - y - l = 0 
4 9 3 
Resposta : hipérbole 
7. x* +4y2 ~4x~8y+ 8 = 0 
Resposta: um ponto 
8. x2 - 6x + 8 = 0 
Resposta : duas retas 
9. x 1 + 2x + 5 = 0 
Resposta: vazio 
10. 2x2 - 4x + 2y - 3 = 0 
Resposta : parábola 
116 
B) 
1. 9x2 + 24xy + 16y2 -25=0 
Resposta : duas retas 
^2/ xy + 2x - 4 / - 8 = 0 
Resposta: duas retas 
3. 5JC1 + 4xy + 8y 2 + 8* + 14/ + 5 = 0 
Resposta: elipse 
/J. 6xy + 8 y 1 -I2x-26y + 1 1 = 0 
Resposta : hipérbole 
5. x1 - 2xy + y2 - IOJC - 6y + 25 = 0 
Resposta : parábola 
25x2 + 1 0 x y + y 1 -1=0 
Resposta : duas retas paralelas 
7. x2 + 2xy + y2 + 2x + 2y - 1 = 0 
Resposta: duas retas idênticas 
ID 14X2 + 24xy + 21 y2 - 4x + 18/ - 139 = 0 
^ Resposta: elipse 
9. 4xy + 3y2 + 16* + 12/ - 36 = 0 
Reposta:hipérbole 
l o j 9x2 - 24xy + 16/* - 20* + 110/ - 50 = 0 
Resposta: parábola 
4.2 Representação Paramétrica das Cónicas 
Até agora representamos as cónicas pelas suas equações cartesianas da forma 
F(x, y) = 0 onde F indica uma relação funcional entre as variáveis x e y. São des-
te tipo, por exemplo, as equações seguintes: 
a) x2+y2 -1 = 0 
x2 y2 
b ) - + - - i = o 
c) Sx2 + 4y2 -3x+y+ 5 = 0 
Se nestas equações, que representam curvas do plano, pudermos dar as coorde-
nadas x e y, de pontos da curva, em função de uma única variável X, então dizemos 
que a curva está representada na forma paramétrica. A variável X, que toma valores 
reais, recebe, neste caso, o nome de parâmetro. Lembramos que no estudo da reta,da multiplicação. Do mesmo modo que ampliamos a coleção N, obtendo Z, surge a 
necessidade de ampliar Z obtendo um outro conjunto que contenha Z e no qual a 
dificuldade em relação à multiplicação deixe de existir. Este é o conjunto Q dos nú-
meros racionais. Este conjunto é constituído pelos números m/n chamados frações, 
com m e n em Z sendo n sempre diferente de zero. Em Q estão definidas operações 
de adição e multiplicação com as boas propriedades mencionadas anteriormente 
e com a vantagem de a operação inversa da multiplicação, a divisão, ser sempre pos-
sível em Q. É importante observar, mais uma vez, que N está contido em Z, isto é, 
N é uma parte de Z, e Z está contido em Q. Os elementos de N se identificam com 
os elementos positivos de Ze os de Zcom os elementos m In de Q quando n = 1. 
Do ponto de vista das operações elementares, adição e multiplicação, o conjun-
to Q satisfaz plenamente. 
Considere, agora, um número racional q e um número natural m. Representa-
remos por qm o produto de q por q repetido m Vezes. Assim, se qm pertence a Q, a 
operação inversa desta operação nem sempre está definida em Q, isto é, dados s em 
Q e m em N nem sempre é possível encontrar q em Q tal que qm — s. De fato, su-
ponha m = 2, s = 2. O problema é, então, achar q em Q tal que q2 = 2, isto é, trata-
se de calcular a raiz quadrada de 2. Demonstra-se que \ /2 não pertence a Q, ou seja, 
12 
não existe nenhum q em Q tal que q1 = 2. A procura de \ f l é originária de um pro-
blema prático de medida. 
De fato, suponha que se deseje determinar o comprimento da diagonal de um 
quadrado cujo lado seja igual a uma unidade de medida. Usando o Teorema de Pi-
tágoras, para encontrar a medida da diagonal precisaríamos conhecer o número x 
cujo quadrado é igual a 2. Um outro problema bastante conhecido consiste em 
achar o comprimento de uma circunferência de raio R. Sendo C o comprimento, 
encontra-se que Cj2R é um número que não está em Q e que representamos pela le-
tra grega n. Conhecemos apenas os valores aproximados de TI, sendo números 
racionais estes valores aproximados. Há uma infinidade de problemas conduzindo a 
elementos não pertencentes a Q. Por esta razão, constrói-se, matematicamente, a 
partir de Q, uma coleção na qual estas medidas possuem uma representação. Este 
conjunto, com as operações de adição e multiplicação, é denominado "conjunto dos 
números reais" que representaremos por R. Tem-se a seguinte cadeia de inclusões: 
N C Z C Q C K . 
Faremos, a seguir, a interpretação geométrica de R. Para isto, consideremos 
uma reta x'x na qual escolhe-se, arbitrariamente, um ponto O, chamado origem, ao 
qual faz-se corresponder o número real zero." Veja Fig. 1. 
- 2 1 0 +1 +2 + 3 jr 
y o I 7 
Fig. 1 
Em seguida, escolhamos um ponto I, convencionando que o segmento OI terá 
uma unidade de medida. Ao ponto / façamos corresponder o número real +1. Fica, 
assim, estabelecido um sentido sobre a reta x'x de modo que os números reais posi-
tivos são representados pelos pontos da reta *-'x que estão à direita do ponto O en-
quanto que os números reais negativos são representados pelos pontos situados à 
esquerda do ponto O. Deste modo, todos os números reais ficam representados sobre 
a reta x'x, na qual foram escolhidos um ponto O representante do número real 0 e o 
ponto I representante do número real +1 . Reciprocamente, dado um ponto A sobre 
a reta x'x, a medida do segmento OA, relativamente à unidade OI, será um número 
real positivo ou negativo segundo A esteja, respectivamente, à direita ou à esquerda 
do ponto O. Fica estabelecida, assim, uma correspondência biunívoca entre os pon-
tos da reta x'x e os números reais e esta correspondência chama-se sistema de coor-
denadas na reta. Dado o ponto A, na reta x'x, o número real correspondente ao 
ponto A denomina-se a abscissa de^4. Observamos que a correspondência, que a ca-
da número real associa um ponto da reta x'x, é unívoca entendendo-se por unívoca 
aquela que, a cada número real x, faz corresponder um único ponto X da reta x'x 
tal que x é a medida de OX com a unidade Ol. Da mesma forma, a correspondência 
que a cada ponto X associa um único número real x é unívoca. As correspondên-
cias unívocas serão denominadas, neste texto, simplesmente de funções. Deste mo-
13 
do, dada uma coleção X e outra Y, uma função de X em Y será uma correspondên-
cia unívoca de X em Y. Dizemos que a função está definida em X e toma valores 
em Ye escolhemos uma letra para representá-la, por exemplo,/. Escreve-se 
f\X-+Y 
para significar que a função / está definida em Xe toma valores em Y. O valor d e / 
no elemento x de X será representado por f ( x ) que é um elemento de Y. 
Não nos deteremos aqui para um estudo sobre funções. No entanto, com o ob-
jetivo de tornar clara a presente exposição, daremos alguns exemplos significativos 
para motivar nossa etapa seguinte que é o estudo de pares e ternos de números reais. 
Exemplo 1: 
Considere a função / : R -»• R definida do seguinte modo: f ( x ) = x, se x for um 
número real positivo ou nulo, e f{x) = — x, se x for um número real negativo. Esta 
função é denominada valor absoluto e é representada por | |. Assim, o valor de | | 
em x é |jc|, valor absoluto do número real x. 
Exemplo 2: 
Considere a função / : R -»• R definida por / ( x ) = +Vx. Esta função não está 
definida para todos os números reais jc, mas, apenas, para aqueles para os quais faz 
sentido calcular a raiz quadrada, isto é, os números reais positivos ou nulos. 
Exemplo 3: 
No movimento retilíneo uniforme, o espaço e percorrido por um móvel anima-
do de velocidade v constante, no fim de um tempo t, é dado por 
e = vt. 
Assim, conhecida a velocidade v para calcular e basta conhecer o tempo t. 
Portanto, e será uma função do tempo t. Logo, representando t pelos reais po-
sitivos ou nulos, e será uma função definida nos reais positivos ou nulos e tomará 
valores reais. 
Neste último exemplo é útil, às vezes, como em Física, considerar os pares de 
números formados pelo tempo t e pelo espaço e, percorrido por um móvel até o ins-
tante t, isto é, os pares (f, e) sendo e = vt. Aqui, os pares são formados de números 
reais positivos sendo v positivo. No caso do Exemplo 1 se considerarmos os pares 
(jc, |jc|), então x pode ser um número real qualquer. Examine, como exercício, o 
Exemplo 2. 
Evidentemente, os exemplos em que é necessário considerar coleções de dois 
números reais, chamados pares, e de três números reais, denominados ternos, são 
vários. Para exemplificar, suponhamos que se tenha uma população e desejamos 
caracterizar grupos de indivíduos levando em conta a idade, peso e altura. Assim, a 
cada indivíduo da população fica associado um terno de números formado pela ida-
de, peso e altura. Serão ternos (x,y,z) de números reais. 
14 
A seguir, deter-nos-emos, um instante, no estudo de pares e ternos de números 
reais assim como seu significado geométrico, do mesmo modo que fizemos no caso 
de R. As operações sobre pares e ternos de números reais serão abordadas no pará-
grafo seguinte. 
Consideremos os pares ordenados de números reais, representados por ( x , y ) , 
sendo x,y números reais. Por par ordenado queremos dizer que o par (x,y) é di-
ferente do par (y, x). Como exemplo de par ordenado tem-se (t,e), onde t repre-
senta o tempo e e é o espaço percorrido por um móvel animado de velocidade 
constante v, como comentado após o Exemplo 3. Outro exemplo é o dos pares 
(x, \x\), onde x é um número real qualquer. A interpretação geométrica é feita da 
seguinte maneira: consideremos duas retas x'x ey'y que se interceptam num ponto 
O. Veja Fig. 2. 
y ' 
Q t — - b ' 
1 
1 
1 
1 
b - ^ 
1 
1 
1 
x' a' 0 
y' 
a X 
Fig. 2 
Admitamos sistemas de coordenadas em x'x e y ' y , ambos com origem no pon-
to O. As duas retas x'x, y'y determinam um plano que designaremos por n. 
Suponhamos que o ângulo 0, indicado na Fig. 2, seja um ângulo reto. Dado o 
par de número reais (a, b) fica determinado univocamente o pontono espaço, fizemos sua descrição na forma paramétrica. A seguir, obteremos as 
equações paramétricas da parábola, circunferência, elipse e hipérbole. 
a) Equações paramétricas da parábola 
Vimos que a equação cartesiana da parábola, referida aos eixos, tem a forma 
y = 2 px2 ou x = 2 py2. 
Suponha, para fixar idéias, que seja y = 2px2, p > 0. Trata-se de uma parábola 
simétrica em relação ao eixo dos y e com abertura voltada para o sentido positivo 
do eixo y. Logo, tem-se y>0ex pode assumir qualquer valor. 
117 
Tomemos, como parâmetro, o número real X, ], o ponto P descrevendo toda a elipse. 
Tomando y como parâmetro as equações paramétricas da elipse têm a forma 
x = a cos p 
0 p 
sen 0. Comoi = tg a ) é descrito quando tp percorre o intervalo 
( - ^ » e o ramo esquerdo (x —•). As 
equações paramétricas da hipérbole são, então, dadas por: 
x = a sec yj 11 n \ n í n 371\ 
y^btgip 
A hipérbole possui outra representação paramétrica em que as equações estão 
relacionadas com as chamadas funções hiperbólicas e nas quais o parâmetro possui 
um significado geométrico preciso. No próximo parágrafo discutiremos as assínto-
tas da hipérbole e obteremos outra representação paramétrica. 
4.3 Assíntotas e Equações Paramétricas da Hipérbole Equilátera Referida às 
Assíntotas 
Diremos que a reta y = ßxe uma reta assíntota à hipérbole 
a2 b2 
se a distância da reta à hipérbole diminuir à medida que o valor absoluto de x cres-
cer. Vamos mostrar que as retas y = ^ x e y = —^ x são assíntotas à hipérbole 
122 
Na Fig. 55 a seguir, seja P um ponto da hipérbole, de abscissa x , e ß a interse-
ção da reta, paralela ao eixo y, passando por P com a reta y = - x . A distância D 
Fig. 55 
da reta à hipérbole será o comprimento do segmento QR. Do triângulo retângulo 
PQR observamos que o segmento PQ é maior que o segmento QR, pois são hipo-
tenusa e cateto do referido triângulo. Seja 5 o comprimento da hipotenusa para 
cada ponto P, isto é, teremos ô = S(x), D = D(x) e S(x) > D(x) para todo x>a. 
Como D(x) > 0, se mostrarmos que ô(x) ^ 0 quando x -*• concluímos que 
D(x) 0 quando x -»• 0 = 0. 
xWx2-a2 
Conclui-se, portanto, que 
OClim £>(x)» x-* 
ou 
lim D(x) = 0, 
b x 2 y 2 
isto é, a distância da reta y = — x à hipérbole— — — = 1 diminui, aproximando-
se do valor zero, quando o ponto P se move de modo a que sua abscissa se afaste 
indefinidamente da origem. Esta propriedade caracteriza a reta como assíntota da 
hipérbole dada. Resulta, como conseqüência imediata, que as assíntotas da hipér-
bole eqiiilátera x2 —y2 = a2 são as retas y = x e y = - x , pois, neste caso, a = b 
por definição. Observe que as retas y = x ey = —x são ortogonais. 
Qual será a equação da hipérbole eqüilátera x2—y2 = 2 quando referida às as-
síntotas? De acordo com a Fig. 56 isto equivale a procurar a equação da hipérbole 
dada em relação ao sistema XO'Y em que 0 = 0' e os eixos dos X e dos Y coinci-
dem com as retas y = x e y = — x respectivamente. 
h (x - Vx2 -a2 ) (x W x 2 -a2 ) h x2-x2+a2 
x + V x 2 - a 2 a x W Ï 2 " ! ^ 
-=ab 
a x+Vx2—a2 x W x 2 - a 2 
124 
O sistema XO'Y foi obtido do sistema xOy através de uma rotação, no sentido 
negativo, de um ângulo v?= ^ rad. 
Logo a relação entre as coordenadas, de pontos da hipérbole, nos dois sistemas 
de coordenadas será: 
* = A T c o s ( - | ) - F s e n ( - | ) 
j = j r s e n ( - J ) + y c o s ' ( - J ) 
donde 
que substituídos na equação 
x2-y2 =2 
resulta: 
y/T y/i 
y/2 y/í\y — T x + : T > 
125 
VI . VI, 
I (*2 + R2 + 2ZY) - 1 (*2 + Y2 - IXY) = 2 
X 2 + Y2 + 2XY-X2 - r 2 + 2 Z F = 4 
4 * r = 4 
XY= 1. 
Portanto, a equação da hipérbole eqüilátera x 2 —y2 = 2 no novo sistema de co-
ordenadas XO'Y é 
XY= 1 
e está representada na Fig. 57. 
Fig. 57 
Antes de obter as equações paramétricas da hipérbole veremos duas proprieda-
des bem interessantes no caso da hipérbole eqüilátera referida às assíntotas: 
126 
a) É fácil de ver, da Fig. 57, que o ponto V, de abscissa e ordenada iguais a 1, 
é o vértice da hipérbole. Além de F, considere os pontos B e C de abscissas bec 
respectivamente. Estes pontos e a origem determinam os triângulos A O Fl, A OBb e 
AOCc. As áreas destes triângulos são iguais. De fato, as bases dos triângulos são 
iguais às abscissas de cada ponto e suas alturas são iguais aos inversos de suas abscis-
sas. Logo, tem-se: 
AÖF1; , 4 = 1 - 1 - 1 = 1 ; A OBb- = ± 
e AOCc; A = ± c j = ± -
Se tomássemos um ponto P de abscissa X, o triângulo AOPX teria área A = 
b) Suponha, agora, apenas o vértice F e o ponto B que determinam o retân-
gulo hiperbólico VBb 1 indicado na Fig. 58. 
Fig. 58 
Seja a > 1, a área da região limitada pelo gráfico da hipérbole, pelo ei-
xo dos X e pelas retas X= 1 e X — a. A área do retângulo hiperbólico VBb 1 será 
então ip(b) e indicaremos por 
V(b) = A(VBbl). 
Ora, ^(b)^A(VBb\)=A(0 VBb) -A (O VI ). Mas, mostramos que A(OV 1 ) = 
= A(OBb). Logo, 
ip(b) = A(0VBb) - A (OBb) 
127 
que é igual à área da região, determinada pelos pontos O, V e B, chamada setor 
hiperbólico. Temos, então 
 * i >x2 >x3 > 0 , tem-se que: 
Se, por exemplo, tomarmos x , = b, x2 = c e x 3 = be, com 1 ((c) = 
Façamos, agora, a subdivisão do intervalo [c,bc] também em n subintervalos 
bc-c (b-1) 
iguais. O comprimento de cada subintervalo será Hn = , donde Hn=c = 
n n 
= chn. Os pontos da subdivisão serão: 
c,c+ch„ ,c+2chn....c+jchn,...,c+nchn = bc. 
130 
As áreas Aj dos retângulos, construídos da mesma forma que no caso anterior, 
serão 
1 K 
Aj = base x altura = chn = 
c+)chn l+jhn 
donde 
_ _ _ n _ n hn 
Al+A2+...+An=S„= 2 Aj= 2 
/ = 1 j = i l+jh„ 
Concluímos que, do fato de ser Aj — 4j para cada }, decorre a igualdade Sn = 
= Sn. Ora, se os valores aproximados das áreas Sn e Sn sao iguais, qualquer que se-
ja n, então, isto é também verdadeiro no limite quando n cresce indefinidamente. 
Segue-se daí que 
Sn = Sn para todo n =» lim Sn = lim Sn 
donde resulta ser: 
A(V,B,b, 1) =A(C, BC, bc, c) 
ou 
0(5,5) e C(-5 , -10) do triângulo ABC, determine 
as equações de suas alturas e verifique se elas concorrem num mesmo ponto. 
Determine este ponto. 
(Faculdade Nacional de Filosofia - Cone. Hábil) 
8. Demonstre, analiticamente, que a soma das distâncias de um ponto interior, de 
um triângulo eqüilátero, aos três lados é constante. 
(Escola Nacional de Engenharia — Cone. Hábil. 1944 — 2? época.) 
9. Do ponto A (6,0) são traçadas perpendiculares aos lados 5x - >>-4 = 0, 7 = 1 
e x — y — 4 = 0 de um triângulo. Mostre que os pés destas perpendiculares são 
colineares. 
10. Uma linha reta se desloca de maneira que a soma dos inversos das coordenadas 
de suas interseções com os eixos coordenados é sempre igual a uma constante 
k # 0. Mostre que a reta sempre passa pelo ponto fixo F(-~-> 
11. Dadas as retas axx + bxy + cx = 0 , a2x + b2y + c2 = 0 suponha que elas se in-
terceptam no pontoP(x0 ,70) . Mostre queai* + bxy + Ci + \(a2x+b2y+c2) = 
= 0 representa a família de todas as retas que passam pelo ponto P de interse-
ção das retas dadas, com exceção da reta a2x + b2y + c2 = 0. X G R. 
12. Uma reta passa pela interseção das retas 3x + 2y + 8 = 0 e 2x — 9y - 5 = 0. 
Determine sua equação se ela é paralela à reta 6x — 2y + 11 = 0 . 
Resposta: 3x - y + 5 = 0 
13. Uma reta passa pela interseção das retas 2x + 3y + \ = Qe3x — 5^ + 1 1 = 0 
e também pela interseção das retas x — 3y + 1 = 0 e 4x + 7 - 1 1 = 0 . De-
termine a equação da reta sem achar os pontos de interseção. Comprove seu re-
sultado calculando pelos pontos de interseção. 
14. a) Se A (x j ,yx ) é um ponto situado "acima" da reta 
ax + by + c = 0, 0, mostre que: 
ax\ +byx +c> 0 se b> 0 
eaXi +by x + c a — b\y\, a>0, b>0. 
16. Faça o gráfico das soluções dos seguintes sistemas de inequações: 
a) 
134 
!
2X + 3 Y ~3 
17. Considere o quadrilátero cujos vértices são os pontos A (4,0), B(0,2), C(-1,0) 
e D(-3,0). Descreva os pontos interiores ao quadrilátero como conjunto de so-
luções de um sistema de inequações. 
B) Retas e Planos no R3 
18 a) Se P\(Xi,yi,Zi), P2(x2,y2,z2) são os extremos de um segmento retilíneo 
PiP2 mostre que as coordenadas x, y, z do ponto P que divide o segmento 
PXP _ xx+rx2 yt+ry2 zx+rz2 
na razaor = sao:x = , v = , z — sendo —1. 
PP2 1+r 1+r 1+r 
Sugestão: Primeiro, mostre que o resultado é verdadeiro no R2 comi>i(*!,.>>,), 
P^x2,y2). 
b) Quais são as coordenadas do ponto médio M do segmento P\P2 ? 
19. Os extremos de um segmento retilíneo são Pi(-2 ,1 ,4) e P a(3,2,-1). Determine 
PiP 
as coordenadas do ponto P que divide este segmento na razao = 3. 
PP2 1 1 1 R e s p o s t a : ^ - ' - - - ) 
20. Um plano passa pelo ponto (3,1,-1) e é perpendicular ao plano 2x — 2y+z + 
+ 4 = 0, sendo 5(0,0 , -3) sua interseção com o eixo dos z. Ache sua equação. 
Resposta: 5x +y - 8z - 24 = 0 
21. Determine a equação do plano que passa pelo ponto >1(3,-1,4) e também pela 
reta interseção dos planos x + 2y — z = 4 e 2 x — 3_y+z = 6. 
Resposta: 3x — y — 10 = 0 
22. A distância de um plano à origem é igual a 3. Se o plano contém a reta interse-
ção dos planos x +y + z — 1 1 = 0 e x — 4y + 5z — 10 = 0 determine sua 
equação. 
Resposta: 2x - 3y + 6z - 21 = 0 
at+3 y-5 z + 7 
23. Mostre que a reta = = se encontra no plano x - 2 y - 3 z - 8 = 
4 - 1 2 
= 0. 
\lx-y~z + i = 0 
24. Mostre que a reta —— = = se interceptam e 
2 1 2 - 1 3 4 v 
encontre a equação do plano determinado por elas. 
Resposta: 2x + IO7 - 7z - 7 = 0 
C) Cónicas 
27. Calcule a distância do centro da circunferência x2 + y2 — 6* + IO7 — 15 = 0 
às bissetrizes dos ângulos formados pelas retas 7—3 = V3~(x+4) e 7—3 = 
= -L(X+4). 
V3 
(Escola de Engenharia de Pernambuco — Cone. Hábil. 1949.) 
28. Os pontos de interseção da reta lx + 7 + 5 = 0 com a circunferência x2 + 
+ 7 2 — 6x + 27 — 15 = 0 constituem, com outro ponto da circunferência, 
os vértices de um triângulo retângulo. Dê as coordenadas deste ponto. 
(Escola Nacional de Engenharia — Cone. Hábil. 1945.) 
29. Dada a circunferência*2 +y2 - 6x2 - IO7 + 30 = 0 e a reta lx + 57 - 91 = 
= 0 determine a menor distância da reta à circunferência e as coordenadas do 
ponto que está mais próximo da circunferência. 
(Escola Nacional de Engenharia — Cone. Hábil. 1942 — 2? época.) 
30. Uma circunferência tem diâmetro cujo suporte passa pelo ponto P{—2,-3). 
A equação da tangente em um dos extremos deste diâmetro é 3x + 4y — 57 = 
= 0 e a tangente no outro extremo corta o eixo dos x no ponto de abscissa 7 
x = — . Ache a equação da circunferência. 
(Faculdade Nacional de Filosofia — Cone. Hábil. 1946.) 
31. Determine a equação da circunferência cujo centro está sobre a reta 6x + ly — 
— 16 = 0 e que é tangente a cada uma das retas 8* + 157 + 7 = 0 e 3* — 
- 4 7 - 1 8 = 0. 
Resposta: ( jc-5)2 + (7+2) 2 = 1 ou ( x - 3 ) 2 + ( 7 + | ) 2 = 
32. Suponha dadas duas circunferências distintas Ê j e â 2 
x2 +72 +Dlx+E1y+Fl =0 
à2: x2 + 7 2 + D2x+E2y+F2 = 0 
Verifique os seguintes fatos: 
a) a equação x2+y2+D1x+E1y+F1 +X(x2+y2+D2x+E2y+F2) = 0, sen-
do X e R, X # — 1, representa uma família de circunferências com centros 
sobre a reta determinada pelos centros C, e C2 de fe j e £ 2 . Em particular, 
se C1 e è j se interceptam nos pontos P\ e P2 então toda circunferência da 
família, com exceção da passará por estes pontos. 
b) Se fe 1 e 2 forem tangentes então as circunferências da família, com exce-
ção da í?2, são tangentes no mesmo ponto de tangência de Òi e É 2 -
136 
c) Se fi, e f i 2 não possuem pontos comuns então para cada valor de X (X # - 1 ) 
a equação representa uma circunferência e estas circunferências não pos-
suem pontos comuns entre si nem com 6 1 oua uma corda divide ao meio esta corda. 
38. Demonstre que qualquer reta paralela ao eixo de uma parábola intercepta a pa-
rábola em apenas um ponto. 
137 
39. Determine a equaçao da família de parábolas que tem foco comum F(3A) e ei-
xo de simetria comum paralelo ao eixo y. 
40. Os focos de uma elipse são os pontos F2(—4,-6) e ^ ( - 4 , - 2 ) e o comprimen-
to de cada lac tus rectum é 6. Determine a equação da elipse e sua excentricida-
de. 
(x +4)2 0 + 4 ) 2 1 
Resposta: 1 = 1 ; e = — 
12 16 2 
Observação : Em uma cónica denomina-se lactus rectum ao segmento da corda 
que passa pelo focp e é perpendicular ao eixo de simetria. 
41. A equação de uma família de elipses é kx2 + 4y 2 + 6x - 87 - 5 = 0. Encon-
tre as elipses da família que tem excentricidade igual a ̂ • 
Resposta: 3x2 + 4y2 + 6x - &y - 5 = 0; 16x2 + 1 2 / + 18x - 24>> - 15 = 
= 0 
42. O ponto médio de uma corda da elipse x2 + 4 y2 - 6 x - 8 . y - 3 = 0 é o ponto 
Aí(5,2). Ache a equação da corda. 
Resposta: x + 2y — 9 = 0 
43. Desde o ponto P(2,l) são traçadas retas tangentes à elipse 2x2 + y2 + 2x -
— 3y - 2 = 0. Determine as coordenadas dos pontos de tangência. 
13 29 
Resposta: r , ( l , l ) ; T2(~ — >—) 
44. Determine os pontos de interseção da reta 2x - 9y + 12 = 0 com as assíntotas 
da hipérbole 4x2 — 9y 2 = 11. 
Resposta: A(3,2); B(~ 1). 
45. Demonstre que se as assíntotas de uma hipérbole são perpendiculares então a 
hipérbole é equilátera. 
D) Lugares Geométricos 
46. Determine a equação do lugar geométrico de um ponto que se move de maneira 
tal que o quadrado de sua distância ao ponto A (4,1) é sempre igual a sua dis-
tância ao eixo y. 
Resposta:*2 +y2 - 9x - 2y + 17 = 0 
47. Determine a equação do lugar geométrico de um ponto que se move de manei-
ra que a soma dos quadrados de suas distâncias aos pontos ^(3,5) e B(—4,2) é 
sempre igual a 30. 
Resposta: x2 + y2 + x - ly + 12 = 0 
48. Uma circunferência de raio igual a 4 tem o centro no ponto C(l,—1). Determi-
ne a equação do lugar geométrico dos pontos médios de todos os seus raios. 
Resposta: x2 + y2 - 2x + 2y - 2 = 0 
138 
49. Dois dos vértices de um triângulo são os pontos ,4(-1,3), 5(5,1). Determine 
a equação do lugar geométrico do terceiro vértice C se este se move de maneira 
que a declividade do lado AC é sempre o dobro da declividade do lado BC. 
Resposta: xy + x + ly — 17 = 0 
50. Dois dos vértices de um triângulo são os pontos A(1,0) e 5(5,0). Determine 
a equação do lugar geométrico do terceiro vértice C se este se move de forma 
que a diferença entre os comprimentos dos lados AC e BC é sempre igual à me-
tade do comprimento do lado AB. 
Resposta: 3x2 -y2 - 18* + 24 = 0 
51. Determine e identifique a equação do lugar geométrico dos pontos médios das 
ordenadas dos pontos sobre a circunferência x 2 + y 2 = 9. 
Resposta:*2 + 4 y2 = 9 
52. Determine e identifique a equação do lugar geométrico de um ponto que divi-
de as ordenadas dos pontos sobre a circunferência*2 + y 2 = 16 na razão 1:4. 
53. Determine e identifique a equação do lugar geométrico do centro de uma cir-
cunferência que é sempre tangente às circunferências x2 + y2 — 4y — 12 = 0 
ex2+y2 = l. 
Resposta: lOOx2 + 8 4 / - 1 6 8 ^ - 4 4 1 = 0 ou 36*2 + 20y2 - 40y - 25 = 0 
54. O ponto P é um ponto que se move de maneira que sua distância do ponto 
A (a, O) é k vezes sua distância ao ponto B(—a,0). Mostre que o lugar geomé-
trico do ponto P ê a circunferência (chamada circunferência de Apolonius) 
(1 + Jk2) 
x + y — 2 \ax + a = 0 onde X = —. O que acontece quando k = 1? 
(1-Ãr2) 
55. a) São dados, no plano, um ponto F e uma reta d que não contém F. Obtenha 
a equação do lugar dos pontos do plano cujas distâncias ao ponto F e à reta d 
estão em uma razão constante e. 
b) Faça uma discussão segundo os possíveis valores de e. 
56. Dada a elipse b2x2 +a2 =a2b2 prove que o lugar geométrico dos pontos mé-
dios das cordas, desta elipse, paralelas à reta y = mx é também uma reta. Ob-
tenha sua equação. Este lugar geométrico é chamado diâmetro da elipse conju-
gado à direção de inclinação m. 
57. Dados os pontos.4(1,0), 5(0,1) e C(2,4) resolva as seguintes questões: 
a) determine as equações dos lados do triângulo T formado pelos três pontos 
dados; 
b) determine e identifique a equação do lugar geométrico dos pontos do plano 
cujas projeções sobre os lados de T formam um triângulo de área constante 
e igual a k2. 
58. Determine e identifique a equação do lugar geométrico do ponto P se ele se 
move de maneira que sua distância ao plano 2*— y + 2z — 6 = 0 é igual a 
duas vezes sua distância do plano * + 2y — 2z + 3 = 0. 
139 
59. Considere no R3 a região R definida pelas des igua ldadesx>0,y> 1, z>Q. 
Determine e identifique o lugar geométrico dos pontos P de R que possuem a 
propriedade de estarem a igual distância dos planos x = 0,y = 0ez = 0. 
60. a) Descreva a região (faça um gráfico) determinada pelas desigualdades: 
'x>0 
y> 0 
z> 0 
b) Calcule o volume da região determinada em a). 
E) Complemento: Conjuntos Convexos 
Um subconjunto K do R" diz-se convexo quando, dados dois vetores uev 
pertencentes a K, o segmento linear do R" com extremos em « e v está contido em 
K. Esta idéia geométrica pode ser formalizada como se segue: o segmento de reta 
com extremos u e v é a coleção de pontos do R" da forma au + ( l - a ) v com 
0 1, x > 0 , 
y > 0 1 como mostra a Fig. 61. 
Considere o vetor / não pertencente ao convexo K. Demonstra-se que existe 
um único vetor u pertencente a K tal que 
Uu-/ l l(f\v-u) 
para todo v em K. (Veja a Fig. 61.) 
De fato, seja u a projeção de / sobre K. Sendo uev vetores de K, que é conve-
xo, segue-se que os vetores w = àv + (1— a)u, 0 Htu-fP. 
Logo, 
a 2 Uy—MII2 +2ot(v-u\u-f)>0 
para todo número real a com 0 0 para todo i>E.K. 
Sendo o produto escalar simétrico, obtém-se: 
(u\v-u)>(f\v-u) 
para todo D Ê K . 
Reciprocamente, suponhamos que exista um vetor u em K tal que 
(u\v-u)>(f\v-u). 
Para qualquer v G K tem-se: 
B„_/ |p = « (d -U)-»-^ - / )« 2 = 
= b - u « 2 + 2(v-u\u-f) + flu-/»2. 
Da hipótese feita conclui-se que ( u - f \ v - u ) > 0 logo, 
141 
Ill) -/II2 >h-u II2 + ««-/II2 > UM - / I 2 
donde 
lv~ß> llw-/ll 
para todo u em K, provando que M é de fato a projeção de / sobre K. 
A seguir, interpretaremos, geometricamente, a inequação (u\v u)> ( / |u- u) 
que caracteriza a projeção de/sobre o convexo* da Fig. 61. 
De fato, olhando a Fig. 61 conclui-se que o ângulo 6, formado pelos vetores 
f-u e u- u, sendo v um vetor qualquer de K, é um ângulo obtuso, logo cosâ é ne-
gativo. O co-seno do ângulo entre estes vetores sendo iguala 
(f-ulv-u) 
Hf-ull Wv- uW 
ele será negativo quando 
( f - w I y — «) 0, y > 0 } denomina-se um convexo fechado. A 
hipótese de ser fechado entra de modo decisivo na demonstração da existência 
do vetor u dando a projeção de / sobre K, demonstração que não fizemos por en-
volver argumentos de Análise Matemática que, embora extremamente elementares, 
preferimos omitir. De modo intuitivo, o leitor pode visualizar que no caso do con-
vexo de d), ou de e) sem a curva xy = 1, não existe um vetor u em K dando a pro-
jeção. Outro fato que não demonstramos é que o vetor u, projeção de / sobre K, 
é único. Isto pode ser demonstrado, sem dificuldade, supondo-se que existam dois 
vetores satisfazendo a condição e chegando-se a uma contradição se não forem 
iguais. 
Prosseguindo analisando o exemplo, conclui-se que a hipótese decisiva sobre 
K é que ele seja um convexo fechado. Note, também, que em lugar algum da de-
monstração entrou o fato de K ser um convexo do R2 , isto é, em lugar algum en-
trou o fato de ser dimensão dois. Assim, uma primeira generalização do exemplo 
seria considerar um convexo fechado * do R". Então, admitindo-se a existência 
da projeção u de/demonstra-se, de modo inteiramente idêntico, que 
(u\v-u)>(f\v~u) 
para todo v G K. Faça como exercício. Mostre também a unicidade. 
Este exemplo ingênuo possui generalização de grande utilidade nas aplicações 
da Matemática, conhecida sob a denominação de métodos variacionais, motivado 
pelo cálculo das variações clássico, com aplicações à programação matemática. 
142 
Veremos, a seguir, dois exemplos concretos que ilustram o que acabamos de 
estudar. 
Exemplo 1: 
Suponha que o convexo K seja a reta 
x+y-5 = 0 I . Dado o ponto /(5,4), não pertencente a K, pelo que vimos, existe 
u EK tal que u é a projeção de/sobre K. Ou ainda, existe u € K tal que 
II/-uII2 (f\v-u), V&K. 
Ora, destas considerações e da Fig. 62 abaixo vemos que II/- u il é a distância 
do ponto / à reta dada, isto é, ao conjunto convexo K. De todos os pontos v da reta 
o ponto v — u, projeção de/sobre K, é aquele que está menos afastado de/ . 
Pig. 62 
Para verificarmos se as desigualdades são satisfeitas temos: 
f-u = (5,4)-(3,2) = (2,2) e f-v = ( 5 , 4 ) - ( x , 5 - x ) = ( 5 - x . x - l ) . 
Segue-se que II/- m H2 = 8 e 11/- v II2 = ( 5 - x ) 2 + (x -1 ) 2 . Logo, tem-se: 
if-vi2 - Wf-uW2 = ( 5 - x ) 2 + (x-1) 2 - 8 = 2(x -3)2 >0 
143 
valendo a igualdade quando x = 3, isto é, t; é o ponto (3,2) = u. Decorre desta de-
sigualdade que 
Wf-vf>\\f-uP 
ou 
U/-wllH para todo y G K. 
Como v-u = (x—3,3 — x), obtém-se que 
(f\v~u) = 5(x—3) + 4(3—x) = 5x—15 + 12—4x = x—3 
e 
(U|D-U) = 3(x—3) + 2(3—x) = 3x—9+6—2x = x—3 
donde 
(w |u —u) = (f\v — u) 
valendo portanto apenas a igualdade. 
Exemplo 2: 
Seguindo exatamente as mesmas idéias do Exemplo 1, suponha K o plano de 
equação x + . y + z — 1 = 0 que é um convexo do R3 (verifique esta afirmação). Da-
do o ponto /(1,2,4) segue-se que existe u G K tal que 
I I / - M II (f\v-u) 
para todo v&K. 
Deixamos para o estudante verificar como exercício que o vetor u &K que sa-
tisfaz estas condições é o vetor u = OP' = (—1,0,2). 
Sendo v 0, para todo vGK, 
valendo a igualdade se v = u. 
Neste caso também se obtém que 
(iu\v-u) = (f\v-u) 
para todo v&K. 
A interpretação geométrica é análoga à do Exemplo 1. O vetor u é aquele, 
dentre todos os vetores de K, que possui distância mínima do ponto/. 
Exemplo 3: 
Considere, agora, o convexo K do R2 definido pelo conjunto de desigualdades 
a seguir: 
144 
2y-x-3>Q 
y + 2x - 9 > O 
2y + 3x - 3 1 Q e y + 2x-9 > 0 | . Constate .que f(x,y) = 
= 2x + 3y atinge o valor mínimo em K mas não atinge o valor máximo. Explique o porquê 
deste resultado. 
F) Complemento: Ortonormalização de Vetores 
No Capítulo 1 vimos que o cálculo algébrico com vetores fica bastante simpli-
ficado quando trabalhamos com bases ortonormais, isto é, bases em que os vetores 
têm norma igual a l e são ortogonais dois a dois. Para relembrar este fato, suponha-
mos uma base ortonormal, do R", constituída por \w i , w2,---,w„ | e um vetor 
u qualquer do R". A representação de u, nesta base, é 
u =é ortonormal tem-se: 
O l | W ! ) = 1, (w 2 |w 1 ) = (w 3 |wi ) = ... = (WflIWj) = 0 
donde 
a j = (u í w 1 ). 
Do mesmo modo teríamos 
a 2 = ( " l w 2 ) , a 3 = (u|w3 ) , . . . ,a„ = (M|W„). 
Poderíamos, usando este resultado, representar u na forma 
u = («Iwi)«^! + («|w>2)w2 + ... + (u\wn)w„. 
Esta representação só é possível se a base usada for ortonormal. Observe que, se 
a base não for ortogonal, o problema de determinar as componentes de u se traduz, 
matematicamente, na discussão de um sistema algébrico, não homogêneo, de n 
equações a n incógnitas que é, em termos de cálculo algébrico, bem mais complica-
do. Fizemos estas considerações para mostrar ao estudante o interesse em se poder 
obter bases ortonormais num espaço vetorial euclidiano R". 
Nos textos de Álgebra Linear, toma-se, como ponto de partida, uma axiomá-
tica que caracteriza a estrutura algébrica denominada espaço vetorial. A seguir defi-
ne-se 0 que se entende por base de um espaço vetorial. espaço com produto escalar 
e introduzem-se os conceitos de base ortonormal e dimensão. 
A Álgebra Linear limitar-se-ia ao estudo das funções lineares entre espaços ve-
toriais de dimensão finita. Retornando ao conceito de base ortonormal necessária 
seria a demonstração da existência de tais bases. A atitude adotada njste texto não 
é a de partir de uma coleção de axiomas, mas sim admitir os números reais e daí 
seguir, por um processo ingênuo, porém construtivo, chegar ao Rn que é um exem-
plo significativo de espaço vetorial de dimensão n. 
Resta-nos descrever como obter uma base ortonormal no R", o que vem feito 
a seguir, através do método conhecido como método de Gram-Schmidt. 
Processo de ortogonalização de Gram-Schmidt 
Dado o conjunto de vetores S = j ui,u2,-..,u„ j- C R", linearmente indepen-
dente, considere o problema de obter um conjunto = | w i ,w2 , . . . ,w# , j- C R" 
que seja ortonormal, isto é, tal que (w;|u'y) = Ose i¥=j e (h^I wy) = 1 se i—j. 
Observamos que o problema fica resolvido se construirmos o conjunto Sv = 
= I vl,v2,..-,v„ C R" sendo os vetores v1,v2,v3,...,vn ortogonais dois a dois. 
147 
V, v2 
Para obter o conjunto ortonormal Si é suficiente fazer Wi = , w2 = ... v„ = 
I I I , ! Bl>2 II 
Com o objetivo de tornar bem claro o método e possibilitar uma visualização 
geométrica simples vamos analisar um caso concreto do R 2 . 
Suponha S = | =(1,1), u2 = ( - 2 , 1 ) } . Para obter Sv = | u i , d j } , com u , l v2, 
procedamos da seguinte maneira: 
a) escolhemos, como primeiro vetor v t , o vetor dado. Tem-se, então: u, = 
= « , = ( 1 , 1 ) . 
b) Tomamos v2 na forma v2 = u2 + otvi onde a será determinado de modo a 
se t e r (v 3 | v i ) = 0. 
A Fig. 64, a seguir, esclarece geometricamente a situação. 
Fig. 64 
Calculando o valor de a encontramos: 
0 = (i>j|t>i) = («2+ai>il«i) = ("2lt»i) + a(i>il«>i) 
(«2 k r ) 
a = —-
Logo, 
ou 
0Vi \v2) 
("2l»l) 
«2 = " 2 - - — ; — 
(«í k i ) 
»2 = ( -2 ,1 ) - (1,1) = ( -2 ,1 ) - i r y - \ ) 
3 3 
148 
Assim, Sv = = (1,1), v2 = (— ̂ • ^ é um conjunto de vetores ortogo-
nais. Para obter S, basta tomar 
Vi v2 
Wi = e w2 = ; 
loj Wv21 
Obtém-se: 
( V2 V2. , V2 V 2 . ) 
Suponha, agora, três vetores linearmente independentes do R", 5 = j« i , « 2 . « 3 | . 
A partir de S queremos construir = { vi,v2,v3 | com v t i v2, 1 v3 e v2 1 u3. 
O procedimento é exatamente análogo ao anterior. 
a) Escolhemos como vetor vx o primeiro vetor de S que é u , . 
b) Como v2 tomemos o vetor u2 4- ai*! com a condição (u2 |t>t) = 0 que per-
mite determinar a. 
Tem-se: 
v2 = u2+avi ( f j | u i ) = 0. 
Logo, 
0 = (f2|i>i ) = (u2 |i>!) + a(t>, |i>„), 
ou seja, 
(«2 k l ) 
a = 
("1 Ivi) 
O vetor v2 será, então, da forma 
(W2|fl) 
» 2 = " 2 - - — ; — 
( « í b i ) 
c) Toma-se para v3 o vetor v3 = u3 + ßvt + yv2 impondo-se as condições de 
que(u3(i)1) = (y3 |ü2) = 0. 
Segue-se que 
0 = (v31 vi ) = ( « 3 |i» 1 ) + ß(v i | v 1 ) + 7 ( i > 2 | u i ) 
0 = (w3 |u2)= (w 3 | f 2 ) + ß(üi|D2) + 7( f2 | f2) 
Como (vi lv2) = 0 obtém-se: 
( « 3 l » l ) + /î(«'ll»l) = 0 
( " 3 I U 2 ) + 7 ( ^ 1 ^ ) = 0 
donde 
("3 M ( " 3 | f 2 ) 
( T > , | D J ) ' ( ^ 1 ^ 2 ) 
149 
O vetor t>3 será expresso, então, como: 
( " s k i ) ( " s k 2 ) 
»3 = «3 Vi V2 • 
k i k i ) k> 2 k 2 ) 
Considerando, agora, o caso geral, suponha5C R* S= j ui,u2,u3,• [ li-
nearmente independente. Os vetores ortogonais dois a dois são obtidos 
a seguir: 
a) Vi = u , 
b) v2 = u2 + Xii>i •.• (f21 t^i) = 0 
(u 2 k») k 2 k i ) 
Xj = ' v2 = u2 Ui 
( f i l « i ) ( f i l " i ) 
c) v3 = u3 + X j f j + X2u2 •.• (u3lui) = 0; ( u 3 k 2 ) = 0 
( " j k i ) . ( « s k i ) 
X! = X2 = v2 
k i k i ) ( » 2 k 2 ) 
( " 3 k i ) ( " s k ï ) 
u 3 = w3 Vi v2 
(«i k i ) k 2 k 2 ) 
d) suponha calculado o vetor vk_l,k X2 = '•••' X. — — - ; • 
O i k i ) ( u 2 k 2 ) * • 
e 
( u * k , ) ( " * k i ) K k j t - i ) 
* k i k i ) k j k 2 ) ( " / t - i ' ^ - i ) 
Podemos resumir estes resultados da seguinte forma: dado o conjunto de veto-
res S = I u1,u2,...,u„j', linearmente independente no Rw, os vetores vi,v2,...,vn 
ortogonais dois a dois, construídos a partir de S, são dados por: 
vk =uk +XJÜ1 + X2i>2 + . . . +\_ivk_l 
0u*k,) 
X. = — 
k = 2,3,...,« 
("i I ví) i = 1,2,,..,(k-1) 
150 
O conjunto ortonormal é obtido fazendo 
d i v2 n 
w, = , w2 = - — - . . . w„ = -
b j l •li»3l 
Exercícios 
1. Dado o conjunto de vetores S = j u , } c R 2 , linearmente independente, os vetores vt e 
i>, dados por 
u, = u, - -
("2 If.) 
(«, I",) 
são linearmente independentes no R2 ? 
2. Se Sl = I w, , w wn } é um conjunto ortogonal de vetores, eles são linearmente inde-
pendentes? 
3. Explique por que não se pode usar o método de Gram-Schmidt se o conjunto S = j u t ,u2 
-.. ,«„ I for linearmente dependente. 
4. Ortonormalize os seguintes conjuntos de vetores: 
a) 
b) 
c) 
= (2,0), «,=(1,-1)} 
= (1,1,1), «,=(1,-1,1), «3 =(-1,1,0)} 
= (1,2,3,4), u3 = (0,-1,0,1), «3 = (2,5,1,0)} 
151 
NOTAS 
HISTÓRICAS 
Aproximadamente por volta de 400 A:C., tentava:se resolver o problema da 
duplicação do volume do cubo fazendo interseções do cilindro, ou do cone, com 
um plano. O estudo deste problema levou um estudante da escola platônica e dis-
cípulo de Eudóxius, chamado Manaichmus, ao estudo sistemático da secção, produ-
zida em um cone, por um plano perpendicular à geratriz, considerando a curva ob-
tida como um lugar geométrico no espaço. Se o ângulo do vértice do cone fosse agu-
do a curva obtida era uma elipse, se o ângulo fosse reto obtinha-se uma parábola 
e, se obtuso, uma hipérbole. No estudo da hipérbole, Manaichmus conseguiu, in-
clusive, obter as assíntotas. 
Por volta de 200 A.C., Apolonius, que ensinou inicialmente em Alexandria, 
colocou a teoria das cónicas numa forma tão rigorosa e completa que somente foi 
superada em época relativamente recente. Apolonius não considera, como Manai-
chmus, cada cónica como procedente de um cone com determinado ângulo no vér-
tice. Ele as obtém fazendo variar a inclinação do plano, com o qual se faz a inter-
seção, em relação à geratriz do cone. As propriedades fundamentais que foram usa-
das para caracterizar a parábola, elipse e hipérbole, e que já eram conhecidas desde 
Arquimedes, seriam traduzidas, usando notação atual, pelas equações 
y2 = 2px, y2 = 2px - Xx2 e y2 = 2px + Xx2 
respectivamente. Daí se originaram as denominações agora usadas: 
parábola y2 = 2 px (áreas iguais) 
elipse y2 = 2px—Xx2 ("deficiência" de área) y2 2px 
A compensação de áreas que aparece acima se deve ao fato de que estes estudos 
estavam também relacionados com o problema da duplicação do quadrado, relacio-
nado, por sua vez, com a descoberta dos números racionais. De fato, dado um cubo 
de aresta a,se considerarmos as parábolas de equações x2 =ay e y2 = 2ax, elas 
interceptam-se em um ponto de abscissa x = aX/2 e, portanto, o cubo com aresta 
OA = x = a \/2 tem volume V = x3 = 2a3 , duplo, do volume do cubo dado. Esta 
solução para o Problema de Delos, da "duplicação do cubo", foi dada por Manai-
chmus, em torno do ano 300 A.C. Manaichmus foi professor de Alexandre, o Gran-
de. Existe também uma solução para o problema da trisecção de um ângulo, devida 
153 
a Renée Descartes e fazendo uso de régua, compasso e uma parábola fixa. Não exis-
te solução para qualquer um dos dois problemas acima, usando-se apenas régua e 
compasso. 
Para termos idéia do progresso alcançado por Apolonius basta dizer que ele já 
considerava os dois ramos da hipérbole como partes de uma mesma curva, o que 
permitiu melhorar notavelmente os teoremas já existentes. Da leitura do texto, é fá-
cil constatar que a idéia fundamental que permitiu o estudo elementar, e extrema-
mente simples, de retas, planos e curvas no plano é a de poder representar um ponto 
através de suas coordenadas, o que supõe, implicitamente, a existência de um siste-
ma de coordenadas. No nosso caso, o sistema usado foi o retangular, constituído de 
um ponto O, chamado origem, e uma reta passando por O, o eixo real. Ou ainda 
um conjunto de dois ou três eixos, perpendiculares entre si, passando por O. A idéia 
de representar pontos por coordenadas é bastante antiga. Arquimedes já utilizava, 
para definir as cónicas, um sistema constituído de um eixo, em que os pontos da 
cónica eram determinados pelas suas distâncias ao eixo e pelos segmentos determi-
nados, sobre o eixo, pelo vértice e o pé da perpendicular ao eixo passando por ca-
da ponto da cónica. As atuais equações surgiram, como já foi mencionado, de pro-
blemas antigos de comparação de áreas e só faltava expressá-las através de letras, al-
gebricamente, o que Apolonius já havia expressado em palavras. O passo seguinte 
seria o de poder usar, como eixo, uma reta qualquer do plano e de se escolher, co-
mo origem, um ponto qualquer do eixo. Este passo foi dado quase ao mesmo tem-
po, e independente um do outro, por dois franceses: Pierre Fermât e Renée Descar-
tes. Em 1637 já era conhecido, entre os matemáticos de Paris, o trabalho de Fermât 
denominado Ad Locos Pianos et Solidas Isagoge. Neste trabalho, só publicado em 
1679, já se encontravam, escritas em notação algébrica, as equações da reta e das 
cónicas. A Geometria, de Renée Descartes, era um apêndice de seu Discours de la 
Méthode (1637), considerado um marco no início da Filosofia Moderna. Na Geo-
metria, Descartes partia de um lugar geométrico bastante complicado, tomado de 
Pappus e, com seu método, mosuava que os resultados podiam ser demonstrados por 
meio da Álgebra. Embora Fermât usasse também, em seus trabalhos, a notação al-
154 
gébrica, supõe-se que eles não influíram tanto no desenvolvimento posterior da Ma-
temática em parte pela época da publicação, quarenta anos após o Discurso, mas 
também pelo fato de que foram redigidos em forma muito obscura, o que era cos-
tume fazer, propositadamente, naquela época. No livro terceiro da Geometria, Des-
cartes já usava as letras a, b,c, ... para representar quantidades conhecidas e x, y, z, 
... para as incógnitas. Esta tendência no sentido de usar, intensivamente, a notação 
algébrica permitiu a Descartes obter progresso num detalhe de importância; enquan-
to Fermât, seguindo os métodos empregados em toda a Idade Antiga e posterior-
mente pelos árabes, exigia uma homogeneidade rigorosa nas equações, Descartes 
suprimiu esta necessidade introduzindo uma unidade de comprimento, o que permi-
a ? tiu representar, por meio de segmentos, expressões como ab, —, a , etc., tornando 
b 
possível o emprego de coeficientes numéricos numa equação em x e y. É interessan-
te observar que nem Descartes nem Fermât usavam coordenadas retangulares e as 
primeiras propriedades que foram expressas em notação algébrica, propriedades das 
cónicas, o foram supondo eixos não perpendiculares entre si. O uso de eixos orto-
gonais foi introduzido por van Schooten, professor de Matemática na Universidade 
de Leiden e discípulo de Descartes, numa segunda edição ampliada da tradução 
da Geometria em 1659. Schooten apresenta, ali, inclusive as fórmulas de mudança 
de sistemas de coordenadas retangulares. Nesta mesma edição ampliada da Geo-
metria aparece um outro trabalho, do estadista holandês John de Witt, denominado 
Elemento Curvarum Linearum, onde ele parte da geração cinemática de curvas 
de segunda ordem e demonstra que se podem obter, assim, as cónicas. Demonstra, 
também, que toda cónica possui dois eixos retangulares, permitindo com isto li-
bertar o estudo das cónicas da consideração do cone no espaço. 
A introdução das coordenadas no estudo analítico da Geometria teve como 
conseqüência imediata o reinício de estudos sobre resolução gráfica de equações, 
o que já tinha sido objeto de estudos por parte dos gregos. A extensão de siste-
mas de coordenadas ao espaço não foi tão imediata como se poderia supor. Uma 
terceira coordenada aparece, pela primeira vez, na obra Nouveaux Elements des 
Sections Coniques, de Felipe de La Hire (1679), onde uma superfície de segun-
do grau é representada por uma equação em x, y e v. Em 1715, John Bernoulli, 
em correspondência a Leibnitz, menciona as coordenadas no espaço. No entan-
to, seu uso sistemático aparece num livro sobre coordenadas retangulares, de 
Clairaut, no ano de 1731, em Paris. A equação do plano, apenas mencionada por 
Clairaut, foi utilizada pela primeira vez por Monge (1771) na resolução de alguns 
problemas sobre pontos e retas no espaço. 
A Geometria Analítica, fundada por Descartes e Fermât, progrediu muito 
lentamente. Um dos obstáculos a este progresso era o uso exclusivo do eixo dosx 
e o emprego único de coordenadas positivas. Além disso, a idéia de que a equação 
de uma curva poderia dar informações sobre suas propriedades, idéia simples e tri-
vial para nós, hoje, estava longe de ser pressentida naquela época, e os estudos limi-
tavam-se a determinar a posição dos pontos e a expressar alguns lugares geométri-
cos por meio de equações. Um dos primeiros trabalhos, fazendo uso sistemático de 
155 
coordenadas, foi o Enumeratio Linearum Tertii Ordinis, de Isaac Newton, publica-
do em 1704. Nele, Newton estuda e classifica as curvas de terceiro grau. A equação 
x y 
da reta na forma—I- — = 1, chamada equação segmentaria da reta, aparece pela pri-
ai b 
meira vez numa obra de Crelle, em Berlim (1821). Uma expressão análoga para o 
plano foi empregada, em 1818, por G. Lamé em Examen des Différentes Methodes 
Empoyés pour Résoudre les Problèmes de Geometrie. Cauchy, em 1826, e Möbius, 
em 1827, obtiveram a correspondência entre os pontos de uma reta e os valores de 
um parâmetro X. O estudo metódico da circunferência foi iniciado por Lacroix 
(1798) e a expressão ax + ßy = r2 para a tangente à circunferência no ponto (a ,ß) 
aparece pela primeira vez num livro de exercícios de Louis Puissant (1801). As equa-
ções reduzidas ou canónicas das cónicas, tal como nós as estudamos, apareceram na 
obra citada de G. Lamé em 1818. 
156 
INDICE ANALÍTICO 
Abscissa, 13 
Adição 
de números reais, 11, 13 
de vetores, 20, 22 
Ângulo 
entre vetores, 38, 43 
entre retas, 56, (Ex 10) 58 
Área de triângulo, 68 
Assíntotas (da hipérbole), 122, 124 
Base, 30, 33 
ortonormal, 44 
Bilinear, 40 
Biunívoca, 13 
Circunferência 
definição, 75 
equação reduzida e geral, 75, 76 
Coeficiente angular, 56 
Combinação, 26 
Componentes de um vetor, 46 
Comprimento de vetor, norma, 41 
Comutativa (operação), 11 
Cónica 
equações canónicas, 98 
equação geral, 99 
própria, 111 
Convexo, 140, 143 
Correspondência, 13 
Co-seno (veja produto escalar) 
Declividade (veja coeficiente angular) 
Dependente, 25, 26, 27 
Descartes, René, 154 
Desigualdade 
de Schwartz, 41,43 
de Minkowski, 43 
do triângulo, 43 
Diâmetro conjugado, (Ex 56) 139 
Dimensão,33 
Direção de uma reta (veja também 
vetor unitário), 44, 54 
Diretriz (da parábola), 81 
Distância 
entre dois pontos, 37 
de um ponto a uma reta, 57, 66 
de um ponto a um plano, 66 
entre duas retas reversas, 69 
Eixo radical, 137 
Elipse, 87, 88 
Equação 
da circunferência, 75, 76 
da elipse, 88 
da hipérbole, 92 
da parábola, 82 
do plano, 62, 63, 64 
da reta, 54,55,57, 59, 60 
Equações paramétricas 
da circunferência, 118 
da elipse, 120 
da hipérbole, 121, 122, 128,129 
da parábola, 117 
da reta, 55, 60 
157 
Excentricidade, 95 
Família 
de circunferências, (Ex 32) 136 
de elipses, (Ex 41) 138 
de hipérboles, (Ex 9) 97 
de parábolas, (Ex 8) 96 
de retas, (Ex 10) 58, (Ex 11) 134 
Fermât, Pierre, 154 
Função 
biunívo :a, 13, 14 
exponencial, 128 
logaritmo, 128, 129, 130 
Hipérbole 
assíntotas, 122, 124 
eqüilátera, 94 
Independente (linearmente), 27 
Interseção 
de circunferências, (Ex 32) 136 
de planos, (Ex 17) 71, (Ex 19) 71 
de reta e plano, (Ex 17) 71 
de reta e circunferência, 77 
de reta e elipse, (Ex 8) 96 
de reta e parábola, (Ex 6) 96, 
(Ex 38) 137 
de reta e hipérbole, (Ex 5) 97 
l imé , 156 
Lactus rectum, 138 
Linearmente 
dependente, 25, 26, 27 
independente, 27 
Lugares geométricos, 138 
Módulo, 14, 37 
Multiplicação 
de reais, 12 
de real por vetor, 20 
Norma, 41 
Normal a um plano, 63 
Número 
natural, 11 
inteiro, 11, 12 
racional, 12 
real, 13 
Ordenado 
par, 16 
terno, 16 
n-upla, 18 
Origem de um sistema de 
coordenadas, 13 
Ortogonal 
base, 44 
vetores, 43, 147 
Parábola, 81 
Parâmetro, 82 
Perpendicular, 43 
Plano, 62 
Produto 
escalar, 38,40, 43 
vetorial, 47, 49, 53 
Projeção de um vetor, 45,46,141,142 
Reta 
no plano, 53, 54 
no espaço, 58 
família de retas, (Ex 10) 58 
Rotação de eixos, 113 
Sistema de coordenadas cartesianas, 
13, 15 
Soma de pares ordenados, 20 
Soma de vetores, 22 
Subespaço vetorial, 30, 31 
Subespaço vetorial gerado, 32 
Tangente 
à circunferência, 78, 79, 80 
à elipse, (Ex 8) 96 
à hipérbole, (Ex 5) 97 
comprimento de segmento 
da tangente, (Ex 35) 137 
158 
Translação, 102, 111 Valor absoluto, 14 
Triângulo Vetor 
á r e a 68 normal a um plano, 63, 64 
unitário, 44 
Unívoca, 13 
159Q, do plano n, 
que se obtém pela interseção das retas paralelas a x'x e y'y passando por b e a 
respectivamente. Da mesma forma, dado um ponto Q', do plano n, fica associado, 
de modo unívoco, o par de números reais (a',b '), onde a' é a interseção de x'x com 
15 
a paialela a y'y, passando por Q\ e b' é a interseção de y'y com a paralela a x'x, 
passando por Q'. 
Segue-se que existe uma correspondência biunívoca entre os pares (x , / ) de 
números reais e os pontos do plano ir. A esta correspondência biunívoca chama-
mos sistema de coordenadas no plano n. A coleção de pares de números reais, a 
que chamaremos plano, será representada por R2. 
Concluiremos esta breve introdução examinando os ternos ordenados (x,y,z) 
de números reais. Do mesmo modo que anteriormente ordenado quer dizer que 
(x,y,z), (y,x,z), (z,x,y), etc. são ternos distintos. Para uma interpretação geomé-
trica consideremos a coleção de todos os temos de números reais. Para isto tomemos 
as retas x'x, y'y, z'z se interceptando num ponto O, como na Fig. 3, e tais que sejam 
retos os ângulos 0 
|x| = —x = 2 x 0 
| x - l l = — ( x - l ) = 3 x - l c o . 
Logo: 
x - 1 = 3 
x — 1 = — 3 
donde 
x = 4 
ou 
x = —2. 
2. a) Ache o ponto simétrico do ponto A (2,3) em relação ao eixo xx'. 
b) Ache o ponto simétrico do ponto 5(1 ,3 ,5) em relação ao plano xOy. 
Solução: 
a) O ponto simétrico de 4 (2 ,3 ) em relação ao eixo x'x é o ponto A' que possui a mesma 
abscissa porém ordenada simétrica da do ponto A. Logo A'(2,-3). 
-t=* b) O simétrico de B é o ponto 5 ' ( l , 2 , - 5 ) . 
Exercícios 
1. Caracterize geometricamente os conjuntos de pontos cujas coordenadas satisfazem as seguin-
tes relações: 
a) |2 + x) = 2 
b) 12 - x O 
x-1 
d) xy> O 
e) x-y = O 
f) x-y>Ò 
g) xyz> O 
A 2. Dados quatro vértices de um cubo, A(-a,-a,-a), B(a,-a,-a), a, - a ) , D(a,a,a), 
^ , determine os vértices restantes. 
3. Esboce, geometricamente, os seguintes conjuntos: 
a) 
b) 
c) 
x: 1 4 esta interpretação geométrica não 
é mais possível, embora faça sentido falar no objeto matemático R". Nas definições, 
que veremos a seguir, tomaremos sempre, como motivação, o caso do R2 , embora 
algumas sejam dadas no R". Evidentemente, as definições dadas no R" serão válidas 
em R1 , R*, R3 . . .etc. 
Um elemento do ÉP é uma coleção de n números reais (x 1, x2, x3 , . . . , xn ). Quan-
do n — 1 os elementos serão representados por (jc, em vez de (xi .x í ) e quando 
n = 3 os elementos do R3 serão representados por (x,y,z) em lugar de (X1.X2.JC3). 
Assim, a coleção (xi ,x2,x 3 ) . . - ,x n ) de n números será chamada simplesmente uma 
M-upla de números reais. Portanto, R" é a coleção das n-uplas de números reais e, 
como iremos trabalhar só com números reais de agora em diante, chamaremos 
(xi,X2."->*B)'simplesmentè uma n-upla. 
Considere, então, o R2 com sua representação geométrica que é o plano. Dado 
um par (x ,y ) tem-se um ponto P do plano. Logo, o ponto Pe o ponto O = (0, 0), 
do R 2 , determinam um segmento OP. Desejamos definir, agora, uma adição no con-
junto dos pares (x,y). de modo que esta adição tenha semelhança com situações já 
conhecidas. Tomemos, como motivação, o problema de composição de forças, na 
Estática. Sejam, então, duas forças OP e OQ, como na Fig. 4, aplicadas no ponto 
18 
O do plano, estando OP e OQ no plano R 2 . Define-se uma regra de composição 
de forças aplicadas num ponto O do seguinte modo: dadas as forças OPeOQ, a elas 
fica associada uma única força OP + OQ, chamada resultante de OP com OQ, repre-
sentada pela diagonal do paralelogramo formado por OP e OQ, como mostra a 
Fig. 4. 
Com esta definição de composição de forças substitui-se, em Estática, a ação das 
forças OP e OQ em O pela da resultante OR = OP + OQ. Vejamos, agora, esta idéia 
nos pares do R2 . Para nos tornarmos mais objetivos suponhamos P = (3,1) e Q = 
= (1,2) dois pontos do R2 e OP, OQ os segmentos de origem O e extremidade P e 
Q, respectivamente, como indica a Fig. 5. Imaginando OP e OQ como forças aplica-
das em O e repetindo o argumento usado em Estática, a resultante seria a diagonal 
OR do.paralelogramo formado por OP, OQ. 
R 
O 
Fig. 4 
R 
3 
2 - . 
. 1 -
O 2 3 4 x 
Fig. 5 
19 
Note que R é o par (4,3), isto é, o par (3 + 1,1+2) que se obtém adicionando 
as coordenadas de P = (3,1) com as de Q = (1,2). Deste resultado, é evidente qual 
será uma boa definição de adição de pares de números reais. De fato, dados os pares 
(^í .^i) , Q = (x2,y2) a soma P+Q será, por definição, o par (x, +x2 , yi+y2). 
Outra operação comum na Estática é a substituição de uma força F por F multi-
plicada por um número real X, isto é, por XF. Vejamos como definir esta opera-
ção nos pares P = (x,y) de números reais. Quando X for um número natural, 3 por 
exemplo, 3P será, evidentemente, P + P + P, ou seja, 3P = (3x,3y). Logo, é bas-
tante natural definir XP, X um número real e P um par (x, y), como sendo o par 
(Xjc , A_y). Seria bastante cansativo repetir o argumento, que acabamos de usar, nos 
casos R3 , R4 ... etc. Por este motivo, daremos as definições de adição de n-upla, 
multiplicação de uma n-upla por um real X e as propriedades destas operações no 
caso do R". 
Igualdade de n-uplas: diz-se que a n-upla P — (xj.xj.jcs é igual à n-upla 
Q = (yi,y2,.-.,yn)szxl = yu x2 =y2.... xn =y„. 
Adição de n-uplas: dadas as n-uplas P = (xltx2,... ,xn), Q = (y\,y2,...,yn) 
define-se a soma de P com Q como sendo a n-upla P + Q dada por : 
P+Q = (Xi+yi, x2+y2,...,xn+yn). 
Multiplicação de uma n-upla por um número real X: dados o número real X e a 
n-uplaP= (xi ,x 2 , . . . ,x n ) define-se o produto XPpor XP- (Xa:,, Xx2,•.., Xxn). 
Propriedades da adição: são conseqüências das propriedades análogas da adição 
de números reais. 
a) comutatividade: P + Q = Q + P 
b) associatividade: P + (Q+R) = (P+Q) + R 
c) existe uma n-upla (0 ,0 , . . . , 0 ) chamada origem do R" e representada por 
O tal que 
0+P = P+0 = P 
qualquer que seja a n-upla P. 
d) para cada n-upla P= (xifx2,...,xn) existe uma n-upla -P = (-xx,—x2,..., 
-xn) chamada simétrica de P tal que 
P+(~P) = O. 
Propriedades da multiplicação por um número real: támbém são conseqüên-
cias das propriedades análogas de multiplicação de números reais. 
a) associatividade: se X, /u são números reais, então X'(jjlP) = n (XP) = (Xß)P 
qualquer que seja a n-upla P 
b) 1P = P, sendo 1 o número real 1 
c) - 1 P = —P, sendo —P o simétrico de P 
d) 0 .P — O, sendo 0 o número real zero e O a origem do R", ou seja, a n-upla 
nula. 
Existe uma outra propriedade que relaciona a adição de n-uplas com multipli-
cação de uma n-upla por um número real, que é a 
20 
distributividade: X(P+Q) = XP+XQ 
e (X+ai)? = Xi> + ßP. 
O leitor poderia se perguntar, neste ponto, para que estas propriedades. Res-
ponderíamos que elas são as regras com as quais podemos operar com as «-uplas, 
como mostram os dois exemplos a seguir. 
Exemplo 1: 
SeP = ( l ,2 ,3 ,4) , Q = (2,4,6,8), R = , - 3 , - 3 , - 4 ) calcule: 
2 
a )P+Q+R 
b) (V2 + 1/2)Q. 
Solução: 
a) P+Q+R = (1,2,3,4) + (2,4,6,8) + ( _ | , - 3 , - 3 , - 4 ) = 
= [(1,2,3,4) + (2,4,6,8)] + ( _ | , - 3 , - 3 , - 4 ) = 
= (3,6,9,12) + (—^ > — 3 , - 3 , - 4 ) = 
= (3 - | , 6 - 3 , 9 - 3 , 1 2 - 4 ) = , 3,6,8). 
b) (V2 + \)Q = y/2Q + 1 Q = V2(2,4,6,8) + ~ (2,4,6,8) = 
= (2V2,4V2, 6V2, 8%/2) + ( | , \ , I , | ) = 
= (2V2, 4V2, 6V2, 8V2) + (1,2,3,4) = 
= ( 2 v ^ + l , 4 V 2 + 2 , 6V2+3, 8V2+4). 
Exemplo 2: 
Determine X para que 
a) XQ+P = 0 
b )P=X(Q+R). 
Solução: 
a) \Q+P=0 
X(2,4,6,8)+ (1,2,3,4) = (0,0,0,0) 
(2X,4X,6X,8X) + (1,2,3,4) = (0,0,0,0) 
21 
(2X + l,4X + 2,6X + 3,8X + 4) = (0,0,0,0) 
2X+1 = 0 , 4X+2 = 0, 6X + 3 = 0, 8X + 4 = 0. 
Logo X = — ^ . 
b) P = \(Q+Â). Q+R = (1/2,1,3,4) . 
Sendo Q+R = (1/2,1,3 ,4) segue-se que 
(1,2,3,4) = X(l /2 ,1 ,3 ,4) = (X/2, X,3X,4X) 
donde 1 = | , 2 = X, 3 = 3X, 4 = 4X. 
As duas primeiras relações nos dizem ser X = 2 e as duas últimas dão X = 1. Assim, 
não existe um valor de X tal que P = X (Q +R). 
Em seguida, estabeleceremos o conceito de vetor, noção extremamente útil pa-
ra o que temos em mente estudar neste texto. Consideremos o R" com suas opera-
ções de adição e multiplicação por um número real. Aliás, daqui em diante, quando 
nos referirmos ao R" estaremos pensando nas n-uplas com estas operações e chama-
remos os elementos do R" de pontos, ou n-uplas. 
Dados os pontos P e Q do R", Q diferente da origem, o par P,Qé chamado um 
vetor do R", localizado em P. Daí todo ponto Q do R" ser considerado como um 
vetor localizado na origem O do R n . Desse modo, identificam-se os pontos do R" 
com os vetores localizados na origem. Neste caso, diz-se o vetor Q, a n-upla Q ou o 
vetor OQ, indistintamente. Representaremos o vetor localizado em P e extremida-
de em Q por PQ. Assim, a n-upla Q é a extremidade do vetor OQ. 
Vamos estabelecer, agora, a relação entre as coordendas de P e Q. Sabemos, por 
definição, que a diferença Q-P é uma n-upla tal que adicionada a P é igual â n-upla 
Q, isto é: 
Q=P + (Q-P) 
donde resulta uma relação entre as coordenadas da origem P e extremidade Q do ve-
tor PQ. Diremos que dois vetores PQ e RS são equivalentes quando 
Q-P — S-R. 
Logo, todo vetor PQ localizado em P com extremidade Q é equivalente ao ve-
tor O (Q-P) localizado em O, origem do R", e com extremidade no ponto Q-P. 
Faremos, a seguir, a interpretação geométrica destes conceitos, no R 2 , o mesmo po-
dendo ser feito, de forma análoga, no R3 . 
Consideremos, no R2 , os pontos P = (x0,yo) e Q = (xhyi ). Vimos que 
Q=P + (Q-P), 
isto é, 
( x i . y ú = C w o ) + ( * i - * o , y \ - y i - y o ) -
22 
A Fig. 6 nos dá uma visão geométrica do vetor PQ localizado em P. 
Fig. 6 
Dados os pontos P e Q, ou seja, os vetores do R.2 localizados na origem OP e 
OQ, interpretamos sua soma como a diagonal do paralelogramo formado pelos ve-
tores OP e OQ. Vejamos uma interpretação do vetor PQ determinado pelo par P e 
Q, isto é, o vetor localizado em O e extremidade (P-Q ) . Vimos que 
Q = P + (Q-P) 
logo, Q é a diagonal do paralelogramo formado pelos vetores OPe 0(Q-P) locali-
zados na origem como está representado na Fig. 7. 
Fig. 7 
23 
Já vimos que o vetor (Q-P) localizado em O, isto é, 0(Q-P), é equivalente 
ao vetor PQ localizado em P. Podemos, assim, interpretar geometricamente o vetor 
PQ, ou seu equivalente O (Q-P), como a diagonal de extremos P e Q, do paralelo-
gramo formado pelos vetores OP e OQ. Resumindo o que acabamos de ver geome-
tricamente, dados os vetores P e Q localizados na origem O a soma P+Q e a diferen-
ça Q-P são as diagonais do paralelogramo formado pelos vetores OP e OQ. 
Diz-se que os vetores localizados PQ e RS são paralelos quando existe um nú-
mero real X 0 tal que 
Q-P=~K(S-R). 
Nestas condições, dizemos que PQ e RS possuem mesma direção e sentido se 
X > 0 e mesma direção e sentidos opostos se Xescalares X e p tais que \u + pv = 0. Isto implica em: 
(2X+3p, X+2m,» = (0,0,0) 
donde se obtém: 
2X+3/i = 0 : \+2p = 0 : p = 0, 
ou seja, X = p = 0 mostrando que os vetores são linearmente independentes. 
Observação: 
Se os números reais X e p são não nulos e Xu + pv = 0, então um vetor é múl-
p p 
tiplo escalar do outro. De fato se X # O, então tem-se u v = 0, ou seja, u = (—r-)t> p X X 
ou u = au onde a = —r-. 
X 
Exemplo 2: 
Os vetores u = (2,1,3) e w = (6,3,9) são linearmente independentes? 
É fácil constatar que v = 3u mostrando que são linearmente dependentes. 
Para falarmos em dependência linear precisamos trabalhar com expressões da 
forma Xu + pv. Tais expressões são denominadas combinações lineares dos ve-
tores u e v. Vejamos como definir esta noção de modo geral. Consideremos m veto-
res u1,u2,...,um do R". Chama-se combinação linear destes vetores a uma expres-
são da forma 
X j M , + X 2 M 2 + . . . + X m _ , « m _ ! + X m « O T 
onde Xi, X2,..., X ,̂ são escalares. 
A noção de dependência linear dada para dois vetores pode ser estendida a uma 
família finita de k vetores do R", por meio da seguinte 
Definição 1: 
Uma família finita de k vetores do R" , ult u2 uk_í,uk, é linearmente 
dependente quando qualquer um dos vetores da família puder ser expresso como 
combinação linear dos demais. 
Por exemplo, pbdemos supor que u t seja expresso como combinação linear dos 
restantes. Tem-se: 
«! = X2«2 + X3u3 + ... + XjMĵ . 
26 
Quando não for possível esta representação para vetor algum dá família então 
ela se diz linearmente independente. A definição de dependência linear pode ser da-
da sob a seguinte forma equivalente: 
Proposição 1: 
Uma família finita de vetores ulyu2 uk é linearmente dependente se e so-
mente "se existir uma combinação linear 
aiUi + a2u2 + ... + ct/çU/c — 0 
com os coeficientes a,- não todos nulos. 
Demonstração: 
Suponhamos que os vetores sejam linearmente dependentes. Então, um dos ve-
tores, que chamaremos , pode ser expresso como combinação linear dos demais, 
isto é, 
u 1 = \2u2 + X3U3 + ... + Xkuk, 
ou seja, 
ut - \2u2 - X3m3 - ... - \kuk = 0 
que é a combinação linear acima com a{ = 1,0/ = —)y j = 2,3,.. . ,* não todos nu-
los. 
Reciprocamente, suponhamos que haja uma combinação linear 
atU! +a2u2 + ...+akuk = 0 Vi 
com pelo menos um coeficiente não nulo, por exemplo, ctj 0.. Então, 
, 
a/ 
onde fizemos X. = } = 2ß,...,k, o que mostra ser a faqulia linearmente de-a i 
pendente. 
Da Proposição 1 deduz-se que uma família de vetores u 1, u2,..., uk é linearmen-
te independente se; e somente se, a única combinação linear nula entre os vetores 
for aquela em que os coeficientes são todos nulos. 
Suponha que a família possua apenas um vetor u. Ela será dependente se, e so-
mente se, au = 0 com a # 0, o que implica u = 0, ou seja, u é o vetor nulo. Assim, 
a família que possui um único vetor, não nulo, é linearmente independente. Outro 
resultado, que devemos ter presente, é que se um dos vetores da família for o vetor 
nulo então a família é linearmente dependente. De fato, chamemos de Ui o vetor 
nulo. Tem-se: 
27 
1 0 + 0 H 2 + 0 u 3 + .. . + 0 1 ^ = 0 
que é uma combinação linear nula em que os coeficientes não são todos nulos. Da 
Proposição 1 segue-se que a coleção é linearmente dependente. Veremos, a seguir, 
a%uns exemplos de família de vetores dependentes e independentes, com o objetivo 
de tornar clara a noção de dependência linear. É importante entender bem este con-
ceito, pois ele é extremamente útil para a compreensão de outras noções sobre o R". 
Exemplo 1: 
Considere no R2 os vetores u = (1,2), v = (2,1) e w = (1,1). Para verificar se 
são, ou não, linearmente dependentes, faz-se uma combinação linear, au + ßv + 
yw, a qual supõe-se ser igual ao vetor nulo. Se daí deconer que os coeficientes a, 
0, y são todos nulos, os vetores serão linearmente independentes e, se algum dos 
coeficientes a, ß e y for não nulo, os vetores serão linearmente dependentes. Supo-
nhamos, então, que 
a u + 0u + y w = 0, 
ou seja, 
( a , 2a ) + ( 2 0 , 0 ) + (7,7) = (0,0). 
Adicionando os três pares dp primeiro membro e igualando ao par (0,0) obtém-se: 
a + 20 + 7 = 0, 2 a + 0 + 7 = 0 . 
Resolvendo o sistema obtém-se 
a + 20 = —7; 2 a + 0 = —7, 
donde 9 
Atribuindo-se a 7 um valor qualquer resulta que, para 7 # 0, obtêm-se a e 0 não 
nulos, mostrando que os vetores u,vew são linearmente dependentes. 
Observação: 
O leitor ficaria na dúvida quanto a atribuirmos a 7 o valor nulo. Se tomássemos 
7 = 0 obteríamos a = 0 = 0. Isto conduziria o leitor a pensar serem os vetores li-
nearmente independentes. Retornando à definição linear observamos que a coleção 
é linearmente independente quando qualquer combinação linear, igual ao vetor nu-
lo, possuir todos os coeficientes nulos. Dito de outro modo, para que haja indepen-
dência linear não pode existir-nenhuma combinação linear nula com algum coeficiente 
diferente de zero. Este não é o caso do exemplo em questão. Tem-se a = 0 = 7 = 0, 
o que sempre existe, pois o segundo membro de au + ßv + yw = 0 é o vetor nulo, 
mas há várias outras combinações nulas quando a , 0 , 7 não nulas. 
Antes de considerarmos outro exemplo exploraremos um pouco mais o ante-
rior. Sabendo-se que os vetores u, v, w são linearmente dependentes, um deles será 
uma combinação dos outros dois, conforme a Definição 1. Portanto, supondo que 
28 
w seja combinação linear d e u e s , determinemos os coeficientes da combinação. 
Devemos encontrar escalares a e ß tais que 
w = au + ßv, 
Substituindo-se u,v,we efetuando os cálculos, obtém-se: 
(a+20, 2a+ß) = (1,1). 
Logo, 
a + 2/3 = 1 ; 2a + / 3 = l . 
Resolvendo o sistema segue-se que : 
1 j . 1 
W = l U + j v . 
Exemplo 2: 
Os vetores do R3 , u = (1,2,3), v = (4,5,3) e w = (6,1,0) são linearmente in-
dependentes? 
Seja uma combinação linear qualquer igual ao vetor nulo 
au + ßv + yw = 0. 
Daí resulta: 
(a+4/3+6% 2a+5ß+y, 3a+3ß) = (0,0,0) 
e da igualdade entre vetores deduzimos que 
a + 4 0 + 6 7 = 0; 2a+5/3+7 = 0; 3a+30 = O. 
Da última equação obtém-se a — —ß que substituído nas duas primeiras resulta 
o sistema: 
30 + 67 = 0 30 + 7 = 0. 
Resolvendo este sistema encontramos 0 = 7 = 0. Logo, a = ß = 7 = 0, isto é, 
não existe combinação linear nula dos três vetores u,vew sem que os coeficientes 
não sejam nulos. Assim os três vetores são linearmente independentes. 
Exercícios 
1. Estude do ponto de vista da dependência linear as seguintes famílias de vetores: 
a) u = (3,1); v = (2,3); w = ( - 4 , - 6 ) 
b) w = (2,3); v = (4,6); w = ( - 8 , - 1 2 ) 
c) u = (3,0); » = (0,7) 
d) u = (1,2,3,4), « = (5,6,7,8); w = (9,7,2,0) 
e) u = (1,2,0); v = (0,3,4); w = (1,1,1) 
f) « = (1,0,0); v = (0,2,0); u>= (0,0,3). 
2. Dados i (-1,3) -
b) E quatro vetores no R3. /\ : ^ 
1.4 Base e Dimensão 
Tome no R2 o vetor u = OP = (1,1), como mostra a Fig. 8, e considere a cole-
ção de todos os múltiplos escalares de u, isto é, considere o conjunto i f , dado por: 
£ i = | a i í | a 6 R [ . 
Examinemosesta coleção de vetores do R2. 
y ' 
/ q 
1 
' • — y f " ! 
/ 1 1 
/ « 1 t 
/ I 1 
y i X 
F l g . 8 
É fácil concluir que esta coleção é representada, geometricamente, pela reta do 
R2 determinada pelos pontos O = (0,0) e P = (1,1). Adicionando dois vetores da 
c o l e ç ã o E x , a u e ß u , por exemplo, obtemos 
(a+ß)u 
que continua pertencendo à coleção . Multiplicando um vetor de E1 por um es-
calar obtemos, ainda, um vetor de E i , pois, Á(au) = (Xaju. 
Verificamos, assim, que a coleção E t , com relação à adição de vetorese multi-
plicação de vetor por escalar, goza das mesmas propriedades que o R2 . Como 
Ei C R2 , diz-se que E} é um subespaço do R2 . 
30 
No R 3 , tomemos dois vetores fixos u e v e consideremos a coleção de todas as 
combinações lineares de u e v, isto é, consideremos 
E2 = | a u + j 3 v : a,ße r } . 
Esta coleção com as operações de adição de vetores e multiplicação de vetor 
por um escalar goza das mesmas propriedades que o R 3 . Sendo E2 C R 3 , diz-se, que 
E2 é um subespaço do R 3 . Argumentando de modo análogo podemos considerar 
ura vetor em R 2 , dois em R 2 , três em R 3 , dois em R3 e de um modo geral m veto-
res no R", m = (1,1,0) e w = 
(1,1,1). oc - a . - )=X(1,1) + M(-2,1) 
obtém-se 
X — 2p.=x; X+ p =y 
e encontra-se 
para os coeficientes da combinação linear que representa w através de u e v, logo 
w = (x,.y) = ! (x + 2y)u+j>(y-x)v. 
Observação: 
Repetindo o argumento anterior para R3 conclui-se que quatro vetores do R3 
são sempre linearmente dependentes e que há no R3 subespaços próprios de dimen-
são um e dois. Prova-se que a dimensão do R3 é três. O mesmo raciocínio vale para 
o R" e leva-nos a concluir haver no R" subespaços de dimensão um, dois,... etc., até 
n — 1 sendo a dimensão do Rn igual a n. 
Proposição 2: 
Seja |« i ,u 2 ,m 3 , . . . ,«„ | uma base do R". Então, dado um vetor v do R",exis-
tem números reais XI( \ 2 , . . . . . Xn tais que v é representado, de modo único, por 
V ~ X\U\ + XjMí + ... + Xnun. 
Demonstração: 
Pelo que acabamos de ver a família de n + 1 vetores do R" 
V,UI,U2,...,UN 
34 
é linearmente dependente, logo existe uma combinação linear nula destes vetores 
sem que os coeficientes da combinação sejam todos nulos. Podemos supor que o 
coeficiente de d, na combinação linear, seja não nulo. Assim, 
a„t; + û i U j + a2u2 + ... + &nun = 0 «q^O 
representado de outra forma por 
V = ßlUi +ß2u2 +... +ßnun. 
Das duas representações para v obtém-se 
0 = (X1-ß1)ui + (X2 —02)u2 + ... + (\j — ßn)u„. 
Os vetores u i ,u 2 , . . . ,u n , sendo vetores de uma base do R", são linearmente in-
dependentes e daí decorre que se tem necessariamente que 
( A i - ß i ) = 0, ( X 2 - ß 2 ) = 0 , . . . , ( X w - ß „ ) = 0, 
ou seja, 
A, = 0 i ; X2 = 02 ;...;A„ 
que nos diz ser única a representação para v. 
Exercícios 
1. Verifique se os seguintes conjuntos são espaços vetoriais. 
a) £ = 
b) £ = 
c) E = 
d) h' = 
e) £ = 
u e R I ; u = (ï,0)} 0-C. A Cii 
u e R3 : u = (a,b,a+b), í , 4 e * | JW,.«, fkc ) 'X" 
u e R3 : u = (í+s.r-s, 2 t ) , t,s e r | 
u ë R3 : u = (t+sj~s, 2f+l), r,s 6 , (_ 
0}f;CR2. JL Av..í : -
2. Mostre que o vetor 0 = (0,0) pode ser escrito, de duas maneiras distintas, como inação 
linear de u = (l,2) e u = ( - 2 , - 4 ) . Poderia ser escrito, de várias maneiras distintas, como 
combinação linear dos vetores dados? ç - ^ 
3. a) Uma base pode conter o vetor nulo? Por quê? > • 
b) Uma base pode conter dois vetores iguais? Por quê? 
- YŶ Q V- O 0 iH.tyx iv»&>> . 
ôc, ' í), ao número real definido como o produto do módulo de 
u pelo módulo de v vezes o co-seno do ângulo que u faz com v. Simbolicamente, 
escreve-se 
(u|t>) = llu|| II dl C O S 0 . 
Exemplo: 
Considere os vetores u = (0,4) e u = (3,3). Notando que o ponto Q = (3,3) está 
sobre a bissetriz do ângulo que o eixo X faz com o eixo Y, vem que 0 = 45° ou 
7r V 2 r~ 
d = - radianos. Sendo cos 0 = — , |H | = 3 v 2 , ||u|| = 4 obtém-se 
/ - V 2 (u|y) = 4 x 3V2 x - y = 12. 
Voltando ao exemplo do trabalho realizado por uma força F, localizada em P, 
deslocando P até P' o trabalho será: T — (F|w—ü), w - OP', 1 t ^ O P , u ^ w—v. 
A força Fé o vetor F localizado em P. Logo, se o ângulo de u = PP' com F for 
d, obtém-se 
T = IIFII Hull cos O. 
38 
Procuremos, agora, uma expressão do produto escalar, no R 2 , em função das 
coordenadas dos vetores dados. Sejam os vetores u = (xi.yt) e v = (x2,yi) do R 2 , 
Fig. 13 
De acordo com a Fig. 13 o ângulo \j/ que u faz com v é dado por = 6. Co-
mo o produto escalar é dado por 
(u | v )= | | u | | IIv|| cos,//, 
temos que calcular cos \p. De uma conhecida identidade trigonométrica temos: 
cos ^ = cos(ífi—d) = cos y cos 0 + sen sen 0. 
Da Fig. 13 obtém-se 
Xj-O Xj x2— O x2 cos 0 = ; cos w = = —— 
d ( f , O) lui d(Q,0) Ivl 
yI O y, y2 O y2 
sen 0 = = — : sen 
(u\v) = XiX2 +yty2 
são equivalentes. Adotaremos a representação em função das coordenadas dos ve-
tores u e v como motivação para sua generalização ao R" por ser de mais fácil ma-
nejo nas demonstrações das propriedades. Posteriormente, reencontra-se a defini-
ção do produto escalar em função do co-seno. 
Definição 5: 
Dados dois vetfires, do R", u = {xux2,x3,...,xn), v = (yuy2,y3,...,yn) de-
nomina-se» produto escalade u com v, representando-o por (u | D), ao número real 
(ultO^Xj.y, +x2y2 + x3y3 +...+x„y„. 
Propriedades: 
As propriedades são conseqüências simples das de adição e multiplicação de nú-
meros reais. 
1) (á|.o + w) = (u|i>) + (u|w) 
(u + v I w) = (u I w)+ (d |w) 
Esta propriedade nos diz que o produto escalar é aditivo em relação aos primei-
ro e segundo fatores. 
2) (Xu|p) = (u|Xi>) = X(u|i;) para todo número real X. 
Esta nos diz que o produto escalar é homogêneo em relação aos seus fatores. 
Observação: 
Uma função numérica, de duas variáveis, definida no R", isto é, w = f ( u , v ) 
com u . ev pertencentes ao R" e w pertencente a R, diz-se bilinear quando ela for 
aditiva em u e em v e homogênea nas duas variáveis. Conclui-se das Propriedades 
1 e 2 do produto escalar que ele é uma função bilinear definida no R n . 
• 3) («!») = (i;|a), 
isto é, o produto escalar é uma função simétrica. 
4) (v|v) > 0 e (t>|i>) = 0 se, e somente se, v = 0. 
Esta propriedade nos diz que o produto escalar é uma função não negativa, 
40 
quando calculada nos pares de vetores, constituídos do mesmo vetor. Mais precisa-
mente, (n|v) é um número red positivo ou zero, ocorrendo o valor zero apenas 
quando o vetor v for o vetor nuk> do R". 
Exemplo: 
Calcule o produto escalar dos vetores u, v nos casos seguintes: 
a) « = (1,2,3), v = (3,2,1) 
Tem-se: (u|i>)= 1 - 3 + 2 - 2 + 3-1 = 10 
b) « = (3,4,0,6),v = (0,0,5,0) 
(u|u) = 3 - 0 + 4 -0 + 0-5 + 6 - 0) = 0 
c) « =(1,2,3,...,/J), = 
Resulta que: 
(u|i>) = 1-1 + 2 - | + 3 - | + . . . + n - ^ = 1 + 1 + ... + l = n . 
A seguir, definiremos comprimento ou norma de um vetor do Rn , bem comó 
ângulo entre dois vetores, reencontrando a expressão do produto escalar em função 
do co-seno. Daí obteremos, de modo natural, os conceitos de perpendicularismos 
ou ortogonalidade de dois vetores. 
Definição 6: 
Denomina-se norma de um vetor u = (xi,x2,...,xn) do R" ao número real 
positivo ou nulo, indicado por ||«|| e definido por 
Hu|| = (*; +x\ +x2
3+...+x2
n)m. 
£ evidente, da definição, que l|u|| = 0 somente no caso de ser u — 0, isto é, 
u = (0,0,0,.. ., 0). Observamos, tàmbém, que a norma de u pode ser escrita como 
||K|| = + V ( ü | ü ) 
Exemplo: 
Calcule a norma de u nos seguintes casos: 
a) « = (1,2,3). 
Tem-se [|u|| = ( l 2 + 22 + 32)1 / 2 = + V Ï 4 . 
b ) « = (l,2,3 ») 
||«|| = (12 + 22 + 32 + . . . + « 2 ) I / 2 = [ 7 « ( n + l ) (2w + l)]1 / 2 . 6 
Frapmsição 3: 
Dados dois vetores u e v do R", vale a seguinte desigualdade 
l(«l»)l 0, 
Desenvolvendo o quadrado dessa diferença segue-se que: 
2 ab = (T?J ,T)2 , • • • ) 
e os números reais 
= IS/I _ Ifyj 
Da desigualdade elementar, acima deduzida, conclui-se que 
! M Jüd J L J í L 
2IIm|| ' INI cos 0 = 0 => 6 = — . Logo « e u são perpendiculares. 
Exemplo 2: 
Os vetores ex = (1,0); e2 = (0,1) do R2 são unitários e perpendiculares. De 
modo análogo, os vetores ex =(1,0,0), e2 =(0,1,0) e e3 =(0,0,1) do R3 são 
dois a dois perpendiculares e unitários. De um modo geral, os vetores e f = (0,0,..., 
1,0,.,., 0) do R", que possuem 1 na z'-ésima coordenada e 0 nas restantes, são dois a 
dois perpendiculares e unitários, isto é, são ortogonais e normais ou, como se costu-
ma dizer, são ortonormais. 
Retornemos ao estudo das bases no R". Considerando um vetor « = (i-1;£2) 
do R2 pode-se escrever « sob a forma « = fr(1.0) + fe(0,l) 
ou, usando a notação do Exercício 2, obtém-se : 
" = S i e i + £ 2 e 2 . 
Os vetores ex, e2 são linearmente independentes no R2 e todo vetor « do R2 es-
creve-se como combinação linear de e t e e2 . Logo ex, e2 são uma base doR 2 . Sendo 
elt e2 vetores ortogonais e normais dizemos que eles formam uma base ortonormal 
do R2 . Argumento análogo nos conduz à mesma conclusão no R3 . Seja u um vetor 
do R 3 , « = (£,,£;,,£3). Tem-se: 
« ^ ki 0 ,0 ,0) + & (0,1,0) + S3 (0,0,1), 
ou seja, 
Os vetores et, e2, e3 no R3 são linearmente independentes e geram o R 3 . Eles 
são, portanto, uma base do R3 . Sendo et, e2, e3 normais e ortogonais dois a dois, 
a base \ e i , e 2 , e 3 [ denomina-se uma base ortonormal do R3 . 
Generalizando para o R", conclui-se, por um argumento inteiramente análo-
go, que os vetores í?! = (1,0,0, . . . ,0), e2 = (0,1,0 0) e„_, = (0,0, . . .1,0), 
en = (0,0,...,0,1) formam uma base ortonormal do R". 
Observe que, dado um vetor não nulo « do R", é sempre possível transformar 
« em um vetor unitário paralelo a u. Para isto é suficiente dividir « por sua norma, 
M N 
isto é, considerar o vetor v = . Denomina-se uma direção por um ponto do R , 
um vetor unitário localizado neste ponto. Por exemplo, considere o ponto (1,2,3) 
44 
do R 3 . Uma direção por (1,2,3) é um vetor unitário qualquer v localizado em 
(1,2,3). O vetor v — (a-l)ei +(b—2)e2 + (c—3)e3 é um vetor localizado em 
(1,2,3) e o vetor unitário t>/IMI é uma direção por (1,2,3). Dado um vetor u do R", 
o vetor u/ | |u | | denomina-se direção de u. Vejamos, para concluir esta seção, a no-
ção de projeção de um vetor numa direção, noção esta de grande utilidade nas apli-
cações dos vetores à Geometria e à Física. 
Usando sempre o processo de motivar as definições com o estudo do caso intui- . 
tivo do R 2 , consideremos o vetor u localizado em P e uma reta r também do plano 
R 2 , como mostra a Fig. 14. 
Q 
P' Q' w r 
Fig. 14 
Pela origem P e extremidade Q do vetor u tracemos as retas perpendiculares à 
reta r, s e s'. Os pontos P', Q' sobre r. denominam-se projeções dos pontos Pt Q 
sobre r. O segmento P'Q' chama-se projeção do vetor u sobre r. Vejamos como re-
lacionar a projeção P'Q' com o vetor u. Considere sobre a reta r uma direção w, 
isto é, um vetor unitário como mostra a Fig. 14. Assim, se a for o ângulo entre os 
vetores w e «, do triângulo retângulo com vértices P, Q e R, obtém-se: 
Diz-se que P'Q' é a projeção do vetor u sobre a reta r ou sobre a direção w. 
Por outro lado, temos: 
( u | w ) = IMI1MI cos fl=P'ß' 
porque ||w|| = 1. Representando P'Q' por proj^ u conclui-se que 
I P10!«, « = / 
Esta noçãó^põde^ser géniralizada ao R 3 , R4 e, de modo geral, ao R", sendo na-
tural a definição seguinte : 
Definição: 
Seja v um vetor qualquer do R" e w uma direção no R". Denomina-se proje-
ção de v na direção w ao produto escalar de v por w. ]_£> UL ' ' ^ - a " 
45 
É evidente que podemos pensar na projeção sobre w como uma função que ao 
vetor v do R" associa o vetor (w[w)h' do R". Não adotaremos, no momento, este 
ponto de vista. Projeção de um vetor v sobre w será simplesmente (u | w). 
Considere um vetor v do R" e seja jel,e2,...,e„ | a base ortonormal já con-
vencionada anteriormente. Assim, 
v = xtei + x2e2 + ...+xnen. 
Sendo e, umadireção, faz sentido falar em projeção de v sobre e,-. Sendo 
(e^ej) - 0 se / =£j e (e^ej) = 1 se / = / , pois esta base é ortonormal, resulta que 
(v\eí) = xi. 
Conclui-se que a projeção de v na direção et é o número real denominado 
componente de u na direção e os números xltx2 xn são chamados compo-
nentes de v na base ,en J do R". 
Exercícios 
? Xy Que condição devem satisfazer os vetores u e v para que u + v e u - v sejam ortogonais? 
"" Verifique que o ângulo entre u + v e u - v independe do ângulo entre u e v. 
2. Dados os vetores u = 3e, - 6 e 2 -e3, t ) = e , + 4et - 5e3 e z = 3e, - 4e2 + 12e3 , 
calcule projz (u + v). 
Prove que os pontos (-2 , -1) são vértices de um quadrado. 
4. Ache o ponto P no eixo Ox tal que sua distância ao ponto Q(2 , -3 ) seja igual a 5. (.0) 
, 5. Dados os dois pontos Aí(2,2) e N(5,-2) ache o pontoP, no eixo Ox, tal que o ângulo MPN 
/ y seja reto. fjCK:..%+. k^-.dLv. - •''/b>0 j 
). 
(u|u) 
8. Prove que o vetor w = u u é ortogonal ao vetor u. interprete geometricamente no 
nun3 
caso do R 2 . 
^79. Um ponto é eqiiidistante dos pontos 4(3,5) e B(-2,4). A sua distância ao eixo dos y é o 
A dobro da distância ao eixo dos x. Ache suas coordenadas. ^ 
14 7 
Resposta: P(—, — ) F 11 11 
10. A base de-um triângulo isosceles é um segmento de reta cujas extremidades são os pontos 
A (0,0) e 0(8,6). Calcular as coordenadas do vértice C sabendo que a altura relativa ao lado 
AB vale 5 unidades de comprimento. 
Resposta: c(7,l), ' 3 + 2 2 2 3 = 0 . 
Nossa intenção é expressar x3, y3, z3, as componentes de w, em função das 
componentes de u e v dados. O sistema, no entanto, não pode ser resolvido explici-
tamente pois há três incógnitas e apenas duas equações. Todavia, podemos expressar 
x3 e y3 em função de z 3 . Para isto procedamos do seguinte modo: multiplicando a 
primeira equação por x2 e a segunda porx i , obtém-se : 
xix2x3 + x2yty3 + x2z1z3 =0 
jc,x2x3 +X!y2y3 +Xlz2z3 = 0. 
Subtraindo a primeira da segunda, tem-se: 
xiy2y3 -x2yty3 = x2z^,-x1z2z3 
donde 
(xiy2 ~x2yi)y3 =(x2zi -Xiz2)z3, 
que pode ser colocada na forma 
y 3 z3 
(x2zx -xtz2) (xiy2 -x2y,) 
Pa mesma maneira, multiplicando a primeira por y 2 e a segunda por^ , e sub-
traindo a segunda da primeira, obtém-se que: 
X 5 Z-3 
1 - = i (**) 
iy\22-zxy2) ( x ^ - x r f t ) 
Das igualdades ( * ) e (**), admitindo-se que os denominadores não são nulos, 
tem-se: 
(yiZ2-21^2) (X2z1-x1z2) (Xiy2-x2y,) 
Podemos supor, em virtude destas igualdades, que os três quocientes são iguais 
a um número real X 0. Logo 
*3 y3
 z3 
= X 
(yi22-2^2) (x2zi-xlz2) (X!y2-x2yi) 
donde: 
x3 = X(yiZ2 -z^yi) 
y3 = HxiZl-xlz2) 
Z3 = Mxiy2-x2y^ 
onde estamos supondo que pelo menos um dos segundos membros seja diferente de 
48 
zero*. Assim, ficam determinadas, na base jet,e2,e3 J , as componentes do vetor 
procurado w, dependendo estas componentes do parâmetro X. Com o objetivo de 
fixar o valor de A e simplificar a expressão de w, consideremos o vetor w' cujas com-
ponentes são as seguintes: 
*3 = O1Z2 - Ziy2) 
y'i = (x2z1 -xix2) 
Zj =(xiy2 -X2y !>, 
isto é, teríamos: 
w -x3ex +y3e2 + x3e3 
w' = x3ex +y'3e2 + z'3e3 
e a relação entre w e w' seria dada por: 
W = XjCJÍ! + \y'3e2 + Xz3e3 = 
= X ( * 3 e 1 + / 3 e 2 + z ' 3 e 3 ) = 
= Xw'. 
Sendo w = Xw', concluímos que w e w' são paralelos, logo w' = w tambémé 
X 
perpendicular aos vetores u e v qualquer que seja o valor de X # 0. No entanto, se 
X > 0, w e w' possuem o mesmo sentido e, se X = u A v e dado por w = (x,y,z) onde 
x = (y,z2 -z,y2); y = (x2Z! -Xlz2); z = (xjy2 -y!X2). 
Uma regra prática para calcular as componentes de u A v é a seguinte: escre-
vemos as componentes de u e v em linhas, a linha de v embaixo da de u. Temos, 
assim, duas linhas e três colunas: 
xi y 1 Zi 
X2 y 2 Z2 
Repetimos, à direita, as duas primeiras colunas obtendo: 
xi y 1 zi X! yt 
x2 y 2 ?2 x2 y2 
Eliminamos a primeira coluna da esquerda: 
y 1 Zi Xi yx 
y 2 z2 x 2 y 2 
A componente x, ou primeira componente, de u A v é obtida da seguinte forma: 
"x = produto da primeira componente da linha de cima pela segunda componente 
da linha de baixo menos o produto da primeira componente da linha de baixo 
pela segunda da linha de cima" 
como está indicado abaixo: 
Definição: 
y 1 zi y 1 
* =y\Z2 - z i y 2