Transformada de Laplace

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Transformada de Laplace
Você compreenderá a importância da transformada de Laplace no controle de processos industriais.
Prof. Vitor da Silva Rosa
1. Itens iniciais
Propósito
Entender o uso das transformadas de Laplace e sua aplicação no desenvolvimento de funções de
transferência é importante para os profissionais que irão atuar na área de engenharia de processos industriais.
Preparação
Antes de iniciar o conteúdo, faça o download do Solucionário. Nele, você encontrará o feedback das
atividades.
Objetivos
Definir as transformadas de Laplace e a sua aplicação em controle de processos químicos.
Analisar as funções de transferência e aplicá-las aos processos industriais.
Introdução
Olá! Antes de começarmos, assista ao vídeo a seguir e compreenda os conceitos da transformada de Laplace.
Conteúdo interativo
Acesse a versão digital para assistir ao vídeo.
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1. Transformadas de Laplace e a sua aplicação em controle de processos químicos
Transformadas de Laplace
O vídeo aborda de forma resumida a definição das transformadas de Laplace, bem como apresenta essa
técnica para a solução de equações diferenciais.
Conteúdo interativo
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Definindo a transformada de Laplace
Os modelos dinâmicos são essenciais para entendermos um processo, sendo a base para estabelecermos
algum tipo de controle. Resolver esses modelos, ou seja, encontrar as variáveis de saída como funções de
tempo para alguma mudança nas variáveis de entrada, requer uma análise e integração numérica das
equações diferenciais. Muitas vezes, um esforço considerável é envolvido na obtenção das soluções.
 
Uma importante classe de modelos inclui sistemas descritos por equações diferenciais lineares (EDOs). Esses
sistemas lineares representam o ponto inicial para muitas técnicas de análise no controle do processo.
 
Neste módulo, apresentaremos uma importante ferramenta matemática, a transformada de Laplace, que pode
reduzir significativamente o esforço necessário para resolver e analisar modelos formados por EDOs.
 
A vantagem desse método é a conversão de uma EDO ou sistema de EDOs em equações algébricas. Podemos
elucidar o uso das transformadas de Laplace em três etapas fundamentais:
Primeira etapa
Transformar a EDO linear em uma equação algébrica.
Segunda etapa
Resolver a equação algébrica resultante em função da variável independente .
Terceira etapa
Aplicar a transformada inversa para obter a solução da EDO.
Para melhor compreensão, observe um esquema que ilustra essas etapas.
Esquema didático da aplicação da transformada de Laplace.
A equação a seguir apresenta a definição de uma transformada de Laplace:
Em que:
 
 é o símbolo para a transformada de Laplace;
 é uma variável independente complexa;
 é alguma função de tempo a ser transformada;
 é um operador, definido pela integral.
 
A função deve satisfazer algumas condições que incluem ser contínua no intervalo de zero ao infinito.
Esse requisito quase sempre vale para funções que são úteis em modelagem e controle de processos. Quando
a integração é realizada, a transformada torna-se uma função da variável transformada .
 
A transformada inversa de Laplace é aplicada na função , transformando-a em . Destaca-se
que não contém informações sobre para , logo não é definida para .
 
Uma propriedade importante da transformada de Laplace e da transformada inversa é o fato de que são
operadores lineares, assim:
Um operador linear satisfaz o princípio da superposição. Podemos provar facilmente a linearidade mostrada na
equação 2:
Eq.1
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• 
• 
• 
Eq.2
A integral da soma de funções na equação 3 pode ser colocada em função de como duas integrais
separadas.
Cada integral fornecerá uma solução no domínio referente à variável transformada. Logo:
Essa propriedade será muito útil na solução de modelos dinâmicos por transformada de Laplace.
Transformadas de funções representativas em controle de
processos
Função de uma constante
Considere a função , em que é uma constante. A transformada de Laplace dessa função é
calculada do seguinte modo:
O exponencial de um número infinitamente negativo é zero, enquanto o exponencial de zero é um, desse
modo:
A funçăoo apresentada na equação 8 é válida para .
Função degrau
Uma função de um degrau unitário é definida por:
Eq.3
Eq.4
Eq.5
Eq.6
Eq.7
Eq.8
Essa função é uma entrada importante que é usada frequentemente em processos dinâmicos e no controle. A
transformada de Laplace da função degrau unitário é semelhante àquela obtida com a função constante
quando 
Se a magnitude do degrau for a, a transformada de Laplace é dada por:
A função degrau incorpora a ideia de tempo inicial, tempo zero ou tempo zero para a função, que se refere ao
tempo em que muda de zero para 1. Para evitar qualquer ambiguidade em relação ao valor da função
degrau em (ponto de descontinuidade da função), consideraremos como o valor da função
aproximada do lado positivo, .
Derivadas
A transformada de Laplace de uma derivada de primeira ordem é importante porque essas derivadas
aparecem em modelos dinâmicos.
Realizando uma integração por partes, temos:
Eq.9
Eq.10
Eq.11
Eq.12
Eq.13
Eq.14
Onde é a transformada de Laplace de . Geralmente, o ponto em que começamos a manter o
tempo para uma solução é arbitrário.
 
As soluções do modelo são mais facilmente obtidas assumindo que o tempo começa (ou seja, ) no
momento em que o modelo de processo sofre a primeira perturbação.
Exemplo
Se o processo é assumido como estando em estado estacionário e a entrada sofre uma mudança dada
por um degrau unitário, o tempo zero é tomado para ser o momento em que a entrada muda de nível. 
Em muitos aplicativos de modelagem de processos, as funções são definidas de modo que sejam zero no
tempo inicial. Nesses casos, ocorre uma simplificação na qual 
 
Nas equações 18, está apresentada a transformada de Laplace de uma EDO ordem linear.
Função pulso retangular
Veja a seguir a imagem do gráfico de uma função pulso retangular.
Eq.15
Eq.16
Eq.17
Eq.18
Gráfico: Função pulso retangular.
0 pulso tem uma altura e uma largura . Esse tipo de sinal pode ser usado para representar a abertura e o
fechamento de uma válvula reguladora de vazão para um tanque.
 
A vazão seria mantida em por uma duração de tempo . A área sob a curva do gráfico anterior pode ser
interpretada como a quantidade de material entregue ao tanque.
 
Matematicamente, definimos a função pulso retangular como:
A transformada de Laplace da função pulso retangular pode ser obtida pela solução da integral apresentada
na equação 1 entre e porque é zero em qualquer outro lugar. Assim:
A tabela a seguir nos apresenta as transformadas de Laplace para diversas funções utilizadas em processos
dinâmicos.
Impulso unitário
Degrau unitário
Rampa
------------------
Eq.19
Eq.20
------------------
Exponencial
Resposta ao
degrau unitário
de sistemas de
1ª ordem
 
Resposta ao
degrau unitário
de sistemas de
2ª ordem
 
 
 
 
 
Tabela 1: Transformadas de Laplace de funções representativas em processos dinâmicos.
Seborg; Edgar; Mellichamp; Doyle III, 2016.
Solução de equações diferenciais por transformada de
Laplace
Anteriormente, desenvolvemos as técnicas necessárias para obtermos a transformada de Laplace de cada
termo em uma equação diferencial ordinária linear. Na Tabela 1, também listamos diversas funções temporais
importantes e suas respectivas funções transformadas.
 
A transformada de Laplace converte qualquer função em e a transformada inversa converte 
 de volta para , sendo que a tabela fornece uma forma organizada de realizar essas
transformações.
 
O procedimento usado para resolver uma equação diferencial é bem simples e pode ser descrito do seguinte
modo:
Primeira etapa
Aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial, substituindo os valores
das condiçõesiniciais nas derivadas transformadas.
Segunda etapa
Reorganizar a equação algébrica resultante e resolver para a variável transformada dependente
(saída).
Terceira etapa
Aplicar a transformada inversa na variável de saída transformada.
Considere a equação diferencial ordinária linear de 1ª ordem apresentada na equação a seguir.
Sujeita ao problema de valor inicial: . Vamos resolver essa EDO utilizando a transformada de Laplace.
 
Inicialmente, vamos aplicar a transformada de Laplace nos dois lados da equação 21:
Utilizando o princípio da superposição, cada termo do lado esquerdo da equação 22 pode ser escrito como
uma soma de transformadas de Laplace.
Agora, vamos obter as funções transformadas para cada termo na equação 23. Aqui nós temos duas opções:
podemos obter as funções transformadas aplicando a equação 1 e resolvendo a integral ou podemos
consultar a Tabela 1 e aplicar diretamente as funções transformadas.
 
Utilizaremos a segunda opção! Iniciando pela derivada no lado esquerdo com a condição de contorno, 
, temos:
Eq.21
Eq.22
Eq.23
As equações 25 e 26 apresentam as transformadas de Laplace para e , respectivamente:
Substituindo as equações 24, 25 e 26 na equação 23:
Resolvendo a equação algébrica para :
A equação 30 representa a solução da equação diferencial na variável transformada . Antes de aplicarmos a
transformada inversa, precisamos manipular a equação 30 para encontrar uma função correspondente na
Tabela 1.
 
Vamos aplicar uma distributiva no denominador do lado direito da equação 30:
Eq.24
Eq.25
Eq.26
Eq.27
Eq.28
Eq.29
Eq.30
Dividindo o numerador e o denominador por 5:
Observando a Tabela 1, temos a seguinte correspondência:
O denominador da equação 32 pode ser colocado de forma igual ao denominador do lado esquerdo da
equação 33 da seguinte forma:
Logo, chegamos à conclusão que e . Substituindo esses valores na equação 33
temos:
A equação 36 apresenta a solução da equação diferencial dada em 21 e que satisfaz a condição de contorno 
.
 
Vamos resolver a mesma equação diferencial da forma tradicional, utilizando o teorema fundamental do
cálculo.
Eq.31
Eq.32
Eq.33
Eq.34
Eq.35
Eq.36
Eq.37
 
Isolando as derivadas na equação 21:
Substituindo a condição de contorno na equação 42:
Eq.38
Eq.39
Eq.40
Eq.41
Eq.42
Eq.43
Eq.44
Eq.45
Veja que chegamos ao mesmo resultado com o obtido pela transformada de Laplace.
 
Você pode estar pensando: a solução da equação diferencial com a transformada de Laplace pareceu mais
difícil quando comparada à solução pelo teorema fundamental do cálculo!
 
A transformada de Laplace não entrega uma “facilidade” na solução, mas uma função que apresenta uma
grande “praticidade” em controle de processos!
 
A função transformada será utilizada para gerar uma importante ferramenta em controle: a função de
transferência, a qual veremos mais adiante.
Expansão em frações parciais
Considere a equação diferencial a seguir:
Sujeita ao problema de valor inicial: . A função transformada dessa equação foi resolvida
anteriormente, sendo apresentada na equação 47.
Nesse caso, quando realizamos a transformada inversa para obter a solução da equação diferencial em
termos da variável dependente original, foi preciso manipular o numerador e o numerador da equação 47.
 
No entanto, há diversos processos dinâmicos em que a transformada de Laplace das equações diferenciais
fornece expressões com polinômios de elevada ordem no denominador. Para deixarmos a variável dependente
transformada com valor unitário 1, é preciso encontrar as raízes do polinômio.
 
Para isso, podemos usar a técnica da expansão em frações parciais da transformada de Laplace. Considere a
função abaixo:
O denominador pode ser fatorado em um produto de termos de primeira ordem do tipo:
Eq.46
Eq.46
Eq.47
Eq.48
Como foram obtidos dois produtos, podemos expandir a equação 48 em duas frações parciais:
Em que e são constantes não especificadas da equação 50 .
A expansão dada na equação 50 indica que o polinômio do denominador original foi fatorado em um produto
de termos de primeira ordem. Existem vários métodos para calcular os valores apropriados de e .
 
Em uma primeira abordagem, podemos multiplicar ambos os lados da equação 50 por , o que
nos leva a:
Veja que a equação 52 pode ser escrita como um sistema de duas equações lineares, em termos da ordem da
variável :
Isolando na equação 53 e substituindo o resultado na equação 54 , encontraremos os seguintes valores:
Eq.49
Eq.50
Eq.51
Eq.52
Eq.53
Eq.54
Eq.55
Uma outra abordagem mais rápida é a chamada expansão de Heaviside. Nesse método, vamos multiplicar
ambos os lados da equação 50 por um dos termos dos denominadores , como, por exemplo, o
produto , logo:
Então:
Veja que é igual a -1 . O próximo passo é definir como , assim:
O que apresenta o seguinte resultado:
Vamos repetir o procedimento com o produto :
Note que aqui é igual a -4 . O próximo passo é definir como . Assim:
Eq.56
Eq.57
Eq.58
Eq.59
Eq.60
Eq.61
Eq.62
O que apresenta o seguinte resultado:
Considere a equação diferencial ordinária linear de 3ª ordem apresentada na equação 65.
Sujeita às seguintes condições iniciais: . Em que corresponde à primeira derivada e 
 à segunda derivada. Vamos obter a solução dessa equação diferencial aplicando a transformada de
Laplace em cada termo da equação:
Substituindo as equações 66 a 70 na equação 65:
Eq.63
Eq.64
Eq.65
Eq.66
Eq.67
Eq.68
Eq.69
Eq.70
Vamos, agora, fatorar o polinômio do terceiro grau apresentado no denominador da equação 73.
Substituindo a equação 74 na equação 73:
O denominador da equação 75 está em função de 4 produtos de primeira ordem, o que nos permite expandir a
equação 75 em 4 frações parciais:
Utilizando a expansão de Heaviside, encontramos os coeficientes e da equação 76 . Assim:
Vamos aplicar a transformada inversa na equação 78 para obter a solução da equação diferencial em termos
de .
Eq.71
Eq.72
Eq.73
Eq.74
Eq.75
Eq. 76
Eq.77
Eq.78
Aplicando o princípio da superposição, podemos escrever a equação 80 como uma soma de transformadas
inversas:
Da Tabela 1, encontramos as funções correspondentes para as transformadas de Laplace.
A equação 83 é a solução da equação diferencial dada em 65 para as respectivas condições de contorno
fornecidas.
Demonstração
A equação 84 apresenta um modelo dinâmico para descrever um processo químico por meio de uma equação
diferencial.
Sujeita às seguintes condições iniciais: . Em que é uma constante.
 
 Obtenha a transformada de Laplace da equação 84.
Eq.79
Eq.80
Eq.81
Eq.82
Eq.84
Eq.84
Pelo princípio da sobreposição, podemos escrever a equação 85 do seguinte modo:
Obtendo as funções transformadas de cada termo da equação 86:
Substituindo as equações 87 a 90 na equação 86:
Aplicando as condições iniciais na equação 91, temos:
Isolando a variável transformada :
Eq.85
Eq.86
Eq.87
Eq.88
Eq.89
Eq.90
Eq.91
Eq.92
Teoria na prática
Um tanque com agitação e mistura inicialmente está cheio de água e sendo alimentado com água pura a uma
vazão constante . Em determinado momento, um operador desliga o fluxo de água pura e adiciona uma
solução na mesma vazão q, porém com concentração . Se o volume de líquido for constante, o modelo
dinâmico para esse processo será dado pela equação 95 .
Sujeita à condição inicial: .
Em que o volume é igual a , a vazão é igual a e a concentração igual a .
Todos esses parâmetros são constantes.
Obtenha uma resposta para a concentração de saída na corrente efluente do reator em função do tempo, ou
seja, .
 
Esse modelo dinâmico descrito por uma equação diferencial ordinária pode ter a sua solução determinada por
transformada de Laplace na variável . Com a solução algébrica em , aplicamos a transformada
inversa para obter a solução em termos da variável dependente .
 
Aplicando a transformada de Laplace na equação 95:
Agora vamos obter as transformadas de cada membro da equação 97:
Eq.93
Eq.94
Eq.95Eq.96
Eq.97
Sabemos que a entrada do sistema é:
Sabemos que a entrada do sistema é:
Então, a transformada da entrada do sistema é dada por:
Não esqueça que a concentração é constante!
Substituindo as equações 99 e 101 na equação 97 , temos:
Isolando :
Por conveniência matemática, vamos multiplicar e dividir a equação 103 por .
Desse modo, fica mais fácil aplicar a expansão em frações parciais da equação 104, como apresentado na
equação 105.
Eq.98
Eq.99
Eq.100
Eq.101
Eq.102
Eq.103
Eq.104
Multiplicando ambos os lados da equação 105 por , chegamos a:
Há somente dois valores de s que possibilitam a eliminação de uma constante de cada vez.
Fazendo igual a zero.
Aqui podemos escolher que seja igual a ou . o correto é escolhermos , mas por quê?
0 tanque é operado a volume constante e recebe constantemente uma vazão contendo uma concentração
fixa de uma solução. No tempo "infinito", a concentração de saída do efluente deve ser igual à vazão de
entrada.
 
Conforme vamos nos aproximando de grandes tempos, a concentração será cada vez mais "amortecida", de
modo que apenas o termo garante que a solução obtida possua essa característica observada
fisicamente. Então:
Substituindo as equações 108 e 110 na equação 105 e, por sua vez, na equação 104:
Eq.105
Eq.106
Eq.107
Eq.108
Eq.109
Eq.110
Agora vamos obter a solução do modelo dinâmico aplicando a transformada inversa na solução algébrica
apresentada na equação 112.
A transformada inversa de é uma função degrau, logo:
Antes de obtermos a transformada inversa do último termo, vamos multiplicá-lo e dividi-lo por :
A transformada inversa da equação 116 é encontrada na Tabela 1:
O termo exponencial, assim como o logaritmo, não aceita grandezas com unidades. Como o termo apresenta
uma multiplicação pelo tempo, somente o inverso realiza a adimensionalização.
 
Eq.111
Eq.112
Eq.113
Eq.114
Eq.115
Eq.116
Eq.117
Substituindo as equações 115 e 117 na equação 114, finalmente chegamos a:
A função é um degrau unitário para valores de maior que zero e apresenta valor 1 . Substituindo os
valores numéricos na equação 118:
Podemos utilizar a equação 120 para calcular o tempo que irá demorar para que a concentração no efluente
seja de .
Mão na massa
Questão 1
Considere a equação diferencial a seguir:
 
 
A equação A está sujeita à seguinte condição inicial: . Qual é a solução por transformada de
Laplace?
Eq.118
Eq.119
Eq.120
Eq.121
Eq.122
Eq.123
A
B
C
D
E
A alternativa B está correta.
Assista ao vídeo a seguir para conferir a resolução da questão.
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Questão 2
Considere o modelo dinâmico expresso na equação :
 
A equação A está sujeita às seguintes condições iniciais: . A alternativa que apresenta
corretamente a transformada de Laplace da equação A é:
A
B
C
D
E
A alternativa D está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 3
Na equação A, está apresentada a solução obtida de um modelo dinâmico por transformada de Laplace.
 
Qual alternativa apresenta, corretamente, a transformada inversa da equação ?
A
B
C
D
E
A alternativa C está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 4
Considere a solução do modelo dinâmico de um processo químico resolvido na variável transformada 
apresentado na equação :
 
Podemos reescrever a equação A com uma expansão em frações parciais, conforme apresentado na equação
B:
 
Qual alternativa apresenta os valores corretos das constantes e , respectivamente?
A
1 e 3
B
1 e 4
C
2 e 3
D
3 e 3
E
3 e 1
A alternativa A está correta.
Assista ao vídeo a seguir para conferir a resolução da questão.
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Questão 5
A equação diferencial apresentada em A representa o comportamento dinâmico de um processo químico e
está sujeita à seguinte condição inicial: .
 
A transformada de Laplace para a equação é:
A
B
C
D
E
A alternativa E está correta.
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Questão 6
A equação diferencial apresentada em A representa o comportamento dinâmico de um processo químico e
está sujeita à seguinte condição inicial: .
 
A solução da equação diferencial dada em A para por transformada de Laplace é:
A
B
C
D
E
A alternativa B está correta.
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Verificando o aprendizado
Questão 1
Na equação A, está apresentada a solução obtida de um modelo dinâmico por transformada de Laplace.
Qual alternativa apresenta, corretamente, a transformada inversa da equação ?
A
B
C
D
E
A alternativa B está correta.
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Questão 2
Considere a solução do modelo dinâmico de um processo químico resolvido na variável transformada 
apresentado na equação :
 
Podemos reescrever a equação A com uma expansão em frações parciais, conforme apresentado na equação
B:
Qual alternativa apresenta os valores corretos das constantes e , respectivamente?
A
-1,-6 e -6. 
B
-1,-6 e 6. 
C
1, 6 e 6. 
D
1,-6 e 6. 
E
1, -6 e 5. 
A alternativa D está correta.
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2. Funções de transferência
Funções de transferência aplicadas aos processos
industriais
Neste vídeo, você verá de forma resumida a definição das funções de transferência, bem como as suas
principais propriedades, finalizando com a linearização de modelos não lineares.
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Definindo a função de transferência
Um modelo de função de transferência caracteriza a dinâmica da relação entre duas variáveis de processo:
uma variável dependente (ou variável de saída) e uma variável independente (ou variável de entrada).
 
Na discussão que faremos neste módulo, a variável de saída do processo é e a variável de entrada será 
.
Multiplicação por uma constante
Considere a expressão algébrica apresentada na equação 124.
Aplicando a definição da transformada de Laplace nos dois membros da equação 124:
Assim:
Em que e são as transformadas de Laplace e , respectivamente. Observe que 
é uma função arbitrária do tempo, quando não tiver especificada nesse ponto a forma exata da entrada.
 
A equação 126 pode ser colocada como função de transferência, encontrando a relação saída-entrada, assim:
Eq.124
Eq.125
Eq.126
Podemos representar isso na forma de diagrama de blocos, conforme ilustrado a seguir.
Diagrama de blocos da função de transferência de ganho.
Diferenciação em relação ao tempo
Considere o que acontece quando a derivada temporal de uma função é submetida a uma transformada
de Laplace.
Vamos realizar uma integração por partes com as seguintes transformações:
Então:
Eq.127
Eq.128
Eq.129
Eq.130
Eq. 131
A integral é, por definição, apenas a transformada de Laplace de que chamamos de , logo:
Na equação 134, está apresentada a transformada de Laplace para uma derivada de segunda ordem.
Veja a seguir os diagramas de blocos para as funções de transferência representadas por derivadas de
primeira e segunda ordem.
Funções de transferência diferenciais.
Integração
Eq.132
Eq.133
Eq.134
A transformação de Laplace da integral de uma função é dada por:
Integrando por partes com as seguintes transformações:
Então:
Após algumas manipulações matemáticas, chegamos a:
A seguir, temos os diagramas de bloco para funções de transferência integrais.
Diagramas de blocos para função de transferência integral.
o presente na equação 139 é um operador ou uma função de transferência mostrando qual operação é
executada no sinal de entrada. Essa é uma ideia completamente diferente da transformação de Laplace de
uma função.
Eq.135
Eq.136
Eq.137
Eq.138
Eq.139
 
Lembre-se de que a transformaçãode Laplace da função degrau unitário também foi igual a . Mas essa é
a transformação de Laplace de uma função. O operador discutido acima é uma função de transferência,
não uma função.
Tempo morto
O tempo morto (dead time) é frequentemente encontrado em processos na engenharia química. Suponha que
uma corrente de processo esteja fluindo em um tubo em escoamento pistonado e que leve minutos para
qualquer elemento individual do fluido fluir da entrada para a saída do tubo. Em seguida, o tubo representa um
elemento de tempo morto.
 
Se determinada variável dinâmica , como a temperatura ou composição, entra pela frente do tubo, ela sai
pela outra extremidade em D minutos exatamente com a mesma forma, conforme apresentado a seguir.
Efeito do tempo morto
Agora, vamos ver o que acontece quando aplicamos a transformada de Laplace em uma função 
que foi atrasada por um tempo morto. A transformada de Laplace está definida na equação 140.
A variável na equação 140 é apenas uma variável fictícia de integração. Ela é integrada, deixando uma
função apenas de . Assim, vamos escrever a equação 140 em uma forma matemática equivalente:
Em que é a nova variável fictícia de integração. Fazendo , temos:
Eq.140
Eq.141
Assim:
Logo, o tempo morto no domínio do tempo é equivalente à multiplicação por no domínio de Laplace. Se
a entrada no elemento de tempo morto for e a saída do elemento de tempo morto for , então 
 e serão relacionados por:
E no domínio de Laplace:
Assim, a função de transferência entre as variáveis de saída e entrada para um processo de tempo morto puro
é , conforme apresentado no diagrama de blocos a seguir.
Eq.142
Eq.143
Eq.144
Eq.145
Eq.146
Eq.147
Diagrama de blocos para função de transferência de tempo morto.
Aplicação da função de transferência em um processo
químico
Conforme podemos observar, na imagem a seguir tem-se um tanque com agitação para mistura de duas
correntes líquidas com composições diferentes para um soluto, e . Por simplicidade, vamos assumir
que a densidade do líquido e o volume de líquido sejam constantes, além das vazões mássicas 
e que também são constantes.
Tanque com agitação para mistura de duas correntes líquidas com composições
diferentes.
Para exemplificar, veja dois casos a seguir:
Caso 1: concentração de entrada varia enquanto a concentração é constante
Vamos derivar um modelo de função de transferência entre a composição de saída e a composição de
entrada , partindo da equação 148. Em estado estacionário, a equação 148 é escrita como:
Em que a barra sobre um símbolo indica um valor nominal no estado estacionário ou regime permanente.
Agora, vamos subtrair a equação 149 da equação 148.
Eq.148
Eq.149
Em que as variáveis de perturbação são definidas como:
Como é constante, podemos escrever:
Substituindo a equação 153 na equação 150, temos uma expressão que fornece a taxa de variação da
composição do soluto em termos da variável perturbação.
Vamos assumir que, no início do processo, o sistema está no seu estado estacionário nominal, de modo que
temos as seguintes condições iniciais: e . Aplicando a transformada de Laplace na
equação 154:
Aplicando a condição inicial na equação 155, chegamos a:
Vale lembrar que a definição de função de transferência é a relação entre a variável de saída e a variável de
entrada. Nesse caso, a variável de entrada é dada por e a variável de saída por . Logo,
podemos escrever:
Eq.150
Eq.151
Eq.152
Eq.153
Eq.154
Eq.155
Eq.156
Vamos inserir as seguintes constantes que serão úteis para a melhor visualização física das funções de
transferência.
Inserindo as constantes descritas na equação 158 em 157, temos:
Em que é a função de transferência. A constante é o ganho e , a constante de tempo.
Estudaremos o significado físico dessas constantes mais adiante!
Caso 2: ambas as concentrações de entrada, e , variam
Para o caso de duas variáveis de entrada, e , duas funções de transferência são necessárias para
descrever os efeitos sobre a variável de saída . A derivação da função de transferência é similar ao caso 1 .
 
Para esse caso, em estado estacionário, podemos escrever o balanço para o soluto do seguinte modo:
Subtraindo a equação 161 da equação 148, chegamos a:
Aplicando a transformada de Laplace na equação 162 para uma condição inicial em estado estacionário para 
 e , temos:
Eq.157
Eq.158
Eq.159
Eq.160
Eq.161
Eq.162
Aplicando a condição inicial na equação 163, chegamos a:
Isolando , chegamos a:
Com 
Para derivar a função de transferência entre e , assuma que é constante no estado estacionário, ou
seja, . Logo, e a equação 165 é reduzida à função de transferência
apresentada anteriormente na equação 160 e reapresentada na equação 166.
Similarmente, a função de transferência entre e é obtida assumindo que é constante no estado
estacionário. Desse modo, temos:
Os modelos apresentados nas equações 166 e 167 são referidos como funções de transferência de primeira
ordem porque os denominadores são de primeira ordem nas variáveis de Laplace (elevados ao expoente 1).
 
Duas observações importantes podemos tirar dessas derivações:
Primeira observação
Uma comparação das equações 165 a 167 mostra que os efeitos das variáveis de entrada individuais na
variável resposta são aditivos. Esse resultado é uma consequência do princípio da superposição em modelos
lineares. Veja a seguir a representação desse efeito aditivo das funções de transferência.
Eq.163
Eq.164
Eq.165
Eq.166
Eq.167
Diagrama de blocos para adição de funções de transferência.
Segunda observação
Um modelo de função de transferência permite que a resposta de saída seja calculada para uma mudança de
entrada especificada. Por exemplo, a equação 166 pode ser reorganizada do seguinte modo:
Depois de especificar , a sua transformada de Laplace pode ser determinada utilizando a Tabela
1 . Então a resposta de saída pode ser derivada da equação 168 .
Propriedades das funções de transferência
Uma propriedade importante da função de transferência é que a mudança na variável de saída em estado
estacionário (regime permanente) ocasionada por uma alteração na variável de entrada pode ser calculada
diretamente. Isso é muito simples, definindo em teremos o ganho do estado estacionário de um
processo, caso exista (nem todos os processos exigem um ganho do estado estacionário).
 
O ganho de estado estacionário é a razão entre a mudança da variável de saída e a mudança da variável de
entrada quando a entrada é ajustada para um novo valor e mantida lá, permitindo que o processo atinja um
novo estado estacionário.
 
Em outras palavras, o ganho de estado estacionário de um processo corresponde à seguinte expressão:
Em que 1 e 2 indicam diferentes estados estacionários e e representam os valores de estado
estacionário correspondentes das variáveis de entrada e saída. O ganho de estado estacionário é constante
para processos lineares independentemente das condições de operação, o que não é verdade para processos
não lineares.
 
Outra propriedade importante da função de transferência é que a ordem do polinômio no denominador (em s)
é semelhante à ordem da equação diferencial equivalente.
Eq.168
Eq.169
 
Considere a equação diferencial ordinária linear de terceira ordem apresentada na equação 170.
Em que e são as variáveis desvio ou perturbação da entrada e da saída, respectivamente. A função de
transferência obtida pela transformada de Laplace com e todas as condições iniciais para as
derivadas de e iguais a zero é:
Note que os polinômios do numerador e do denominado da função de transferência têm as mesmas ordens
(nesse caso de terceira ordem) como a equação diferencial. Se expandirmos para uma equação diferencial de
alta ordem, teremos a seguinte função de transferência:
Uma vez que o modelo apresentado na equação 172 seja fisicamente realizável, . Esse requisito pode
ser provado intuitivamente a partir do seguinte raciocínio. Considere um caso em que e .
Essa equação diz que temosum processo cuja saída depende do valor da entrada e do valor da derivada
da entrada. Portanto, o processo deve ser capaz de diferenciar, perfeitamente, o sinal de entrada. Mas é
impossível para qualquer sistema real se diferenciar perfeitamente. Isso exigiria que uma mudança na entrada
produzisse um pico infinito na saída. Isso é fisicamente impossível.
 
As funções de transferência também exibem uma propriedade multiplicativa para processos sequenciais ou
elementos de processo. Suponha dois processos com funções de transferência e que
apresentam uma configuração em série, conforme apresentado a seguir.
Diagrama de blocos para funções de transferência em série.
A entrada a produz uma saída , que é a entrada para , que possui saída .
Podemos escrever as seguintes equações:
Eq.170
Eq.171
Eq.172
Eq.173
Em outras palavras, a função de transferência entre a entrada original e a saída pode ser obtida
multiplicando por . A propriedade multiplicativa de funções de transferência é muito valiosa na
concepção de controle de processos devido à forma que as unidades estão conectadas em série.
Linearização de modelos não lineares
A teoria clássica de controle de processos foi desenvolvida para processos lineares, e seu uso, portanto, é
restrito a aproximações lineares dos processos não lineares reais. A aproximação de um modelo de estado
estacionário não linear é mais precisa próximo ao ponto de linearização. Isso também é verdadeiro para
modelos de processos dinâmicos.
 
Mudanças significativas nas condições de operação em um processo não linear não podem ser aproximadas
satisfatoriamente por expressões lineares. Porém, em muitos casos, os processos não lineares permanecem
nas proximidades de um estado operacional especificado.
 
Para essas condições, um modelo linearizado do processo pode ser suficientemente preciso. Suponha um
modelo dinâmico não linear foi derivado das equações básicas (balanço de massa, balanço de energia ou
balanço de quantidade de movimento):
Onde é a variável de saída e é a variável de entrada. Uma aproximação linear da equação 176 pode ser
obtida utilizando uma expansão em série de Taylor e truncando a expansão somente nos termos de primeira
ordem. O ponto de referência para a linearização é o ponto de operação no estado estacionário .
Por definição, a condição de estado estacionário corresponde a . Observe que as variáveis de
desvio ou perturbação surgem naturalmente da expansão da série de termos de e , depois de
substituir, , é dada por:
Eq. 174
Eq.175
Eq.176
Eq.177
Eq.178
Em que:
Vamos considerar novamente o tanque de agitação para a mistura de dois líquidos apresentado anteriormente
na Imagem: Tanque com agitação para mistura de duas correntes líquidas com composições diferentes, o qual
está exposto novamente na Imagem: Tanque com agitação e mistura. O balanço de massa global e o balanço
para o soluto estão apresentados nas equações 180 e 181, respectivamente.
Eq. 180
Lembrando que, nesse processo, estamos assumindo que a massa específica e o volume são
constantes. A concentração de entrada e as vazões e podem variar, mas a concentração da
corrente 2 é de soluto puro, ou seja, . Vamos derivar funções de transferência que relacionem a
composição de saída com as três variáveis de entrada e 
 
As não linearidades presentes na equação 189 são devidas aos produtos dos termos e assim por
diante. Inicialmente, devemos encontrar os valores do estado estacionário de x e w definindo as derivadas das
equações 180 e 181 igual a zero.
 
Após isso, vamos realizar a linearização em torno do ponto estacionário utilizando as séries de Taylor,
conforme apresentado na equação 182.
Entenda melhor na próxima imagem:
Eq.179
Eq.180
Eq.181
Eq.182
Eq.183
Tanque com agitação e mistura.
As derivadas parciais são obtidas derivando a equação 181, as quais são:
Substituindo as equações 184 a 187 na equação 183 e introduzindo a variável desvio, temos:
Eq.184
Eq.185
Eq.186
Eq.187
Eq.188
A equação acima é geral, pois se aplica a qualquer ponto de operação especificado do processo. A próxima
etapa envolve aplicar a transformada de Laplace na equação 188 com a condição inicial .
Rearranjando e dividindo todos os termos por :
Definindo as seguintes constantes:
Substituindo as equações 191 e 192 na equação 190 e isolando a resposta , chegamos em:
Da expressão 193, podemos derivar três funções de transferência:
Eq.189
Eq.190
Eq.191
Eq.192
Eq.193
Eq.194
Eq.195
Esse exemplo mostra que funções de transferência individuais para um modelo com várias entradas podem
ser obtidas por linearização da equação diferencial não linear do modelo.
 
Observe que as três funções de transferência têm a mesma constante de tempo τ, mas ganhos diferentes. Se
um ganho for positivo, um aumento do estado estacionário em sua entrada produzirá um aumento do estado
estacionário na produção. Um ganho negativo terá o efeito oposto.
 
Veja, a seguir, a representação de um procedimento geral para obter funções de transferências como
mostrado no exemplo que acabamos de descrever.
Procedimento geral para o desenvolvimento de funções de transferência.
Demonstração
Considere o sistema de aquecimento em tanque agitado mostrado na imagem a seguir. A corrente de entrada
de líquido consiste em um único componente com uma vazão mássica e uma temperatura de entrada .
O conteúdo do tanque é agitado e aquecido usando um aquecedor elétrico que fornece uma taxa de
aquecimento, .
Eq.196
Tanque de agitação e mistura aquecida por uma resistência elétrica.
As hipóteses a seguir foram assumidas para o desenvolvimento de um modelo dinâmico representativo desse
processo:
 
Nesse tanque, há uma agitação perfeita, de modo, que a temperatura de saída é a mesma temperatura
do conteúdo do tanque.
 
As vazões de entrada e saída são iguais, ou seja, o volume de líquido é constante.
 
A densidade e a capacidade térmica do líquido são assumidas como constantes, ou seja, essas
propriedades são independentes da temperatura.
 
Suponha que a resistência elétrica de aquecimento tenha uma capacidade térmica significativa. Nessas
condições, a temperatura da superfície da resistência será afetada primeiro pela taxa de calor antes do
líquido presente no tanque.
 
Para simplificar, vamos negligenciar os gradientes de temperatura na resistência elétrica que resultam da
condução de calor, assim assumimos que a resistência tem uma temperatura uniforme . Essa temperatura
pode ser interpretada como a temperatura média para o elemento de aquecimento.
 
As equações 197 e 198 apresentam os modelos dinâmicos para a variação de temperatura do líquido e da
temperatura da resistência , respectivamente.
• 
• 
• 
Eq.197
Em que:
 
 é a massa da resistência elétrica;
 é a capacidade calorífica da resistência elétrica;
 é a área superficial da resistência elétrica;
 é o coeficiente de convecção entre a superfície da resistência elétrica e o líquido em agitação no
tanque.
 
Vamos derivar funções de transferência relacionadas a mudanças na saída da temperatura com as
mudanças nas duas variáveis de entrada: taxa de transferência de calor promovida pela resistência elétrica
(supondo que não ocorra mudança na temperatura de entrada) e temperatura de entrada (sem mudança
na entrada do aquecedor).
 
Primeiramente, vamos escrever as equações 197 e 198 em estado estacionário igualando as derivadas a zero,
logo:
Observe que . Substituindo as variáveis desvios, multiplicando a equação
201 por e multiplicando a equação 202 por , temos:
Eq. 198
• 
• 
• 
• 
Eq.199
Eq.200
Eq.201
Eq.202
Eq.203
Agora vamos aplicar a transformada de Laplace para cada termo das equações 203 e 204 , lembrando que na
condição inicial temos: , logo, após um rearranjo das variáveis:
Podemos eliminar uma das variáveis de saída, ou , resolvendo a equação 206 e substituindo na
equação 205. Como é uma variável intermediária, vamos removê-la. Então reorganizando dá:
Como ambas as entradas influenciamo comportamento dinâmico de , é necessário desenvolver duas
funções de transferência para o modelo. O efeito de em pode ser derivado assumindo que é
constante no estado estacionário, ou seja, . Assim, é igual a zero.
 
Antes de aplicarmos essa condição na equação 207, vamos inserir algumas constantes para facilitar o nosso
cálculo:
Substituindo as equações 208 e 209 mais a condição de estado estacionário para , rearranjando, temos:
Eq.204
Eq.205
Eq.206
Eq.207
Eq.208
Eq.209
Eq.210
De modo similar, o efeito de em é obtido assumindo que , de modo que é igual a zero.
Assim:
Pelo princípio da superposição, podemos utilizar a propriedade aditiva das funções de transferência na
variável resposta:
A seguir, veja uma representação do diagrama de blocos das funções de transferência desse processo:
Diagrama de blocos ilustrando as funções de transferência do processo descrito no
exercício demonstração.
Teoria na prática
As colunas de destilação são equipamentos utilizados para separação de líquidos miscíveis por diferença de
volatilidade. A seguir, podemos ver a representação de uma coluna de destilação de pratos.
Eq.211
Eq.212
Coluna de destilação de pratos.
Suponha que uma alimentação constituída por uma mistura de etanol e água seja submetida a uma destilação
para purificação do etanol. Como o etanol possui um ponto de ebulição menor que o da água, ele irá vaporizar
primeiro. O vapor, rico em etanol, é condensado no topo da coluna e removido como destilado, enquanto o
líquido, rico em água, é retirado pela base da coluna, sendo removido como resíduo.
 
Na coluna de pratos, a concentração de etanol no vapor é a menor possível no prato inferior da coluna e vai
aumentando até o seu valor máximo no último prato superior. Com a concentração da água na fase líquida,
ocorre o inverso, ou seja, a concentração aumenta de cima para baixo na coluna.
 
Cada prato representa um estágio em equilíbrio, conforme apresentado na próxima imagem. Visando
uniformizar a nossa nomenclatura, vamos tratar o componente a ser purificado como soluto.
Representação de um estágio de equilíbrio em uma coluna de destilação.
Uma corrente de líquido descendente com concentração de soluto entra no nesse prato.
Simultaneamente, uma corrente de vapor ascendente com concentração também entra nesse prato.
 
Na prática, os pratos são perfurados (ou possuem válvulas ou campânulas) por onde o vapor passa. A pressão
do vapor não permite que o líquido desça por esses orifícios. A única forma do líquido descer para o prato
seguinte é pelo vertedouro.
 
Assim que o líquido descendente e o vapor ascendente entram em contato no prato, ocorre a transferência de
massa do soluto da fase líquida para a fase vapor, enriquecendo o vapor, e também ocorre a transferência de
massa do solvente presente no vapor para o líquido. Esse fenômeno é modelado na condição de equilíbrio, daí
o nome estágio de equilíbrio.
 
Após esse processo acontecer, o vapor rico no soluto com concentração sai do prato pela parte
superior para entrar no próximo prato e repetir o processo. O líquido com concentração deixa o prato
pela parte inferior para entrar no próximo prato.
Dica
O nosso objetivo será obter um modelo de função de transferência representativo para esse processo,
visando implementar um sistema de controle. 
A equação 213 apresenta o balanço de massa global no prato em termos da variação de nível de líquido pelo
tempo, na equação 214 temos o balanço de massa para o soluto e na equação 215 temos um modelo
algébrico que relaciona a concentração do soluto na fase vapor com a concentração do soluto na fase
líquida .
Visando facilitar a nossa análise, vamos considerar as seguintes hipóteses simplificadoras:
 
Vamos supor que o nível de líquido H se mantenha constante durante o processo.
Para cada 1 mol de vapor que condensa, 1 mol de líquido é vaporizado.
 
Com essas considerações, as equações 213, 214 e 215 são simplificadas para:
A equação 216 não é mais útil nessa modelagem. Observe que, aparentemente, a equação 217 é linear em
relação à variável dependente. Porém, ao olhar a equação 218 , vemos que é função de um polinômio do 
 grau para . Se substituirmos (não precisamos fazer isso agora) a equação 218 na equação 217 , a não
linearidade em ficará visível.
 
Dessa forma, vamos linearizar a equação 217 com uma expansão em série de Taylor.
Eq.213
Eq.214
Eq.215
• 
• 
Eq.216
Eq,217
Eq.218
Agora vamos calcular essas derivadas parciais utilizando a equação 217:
Lembrando que todas as variáveis com traço estão sendo referidas ao estado estacionário. Substituindo as
equações 220 a 225 na equação 219:
Vamos realizar as operações distributivas:
Eq.219
Eq.220
Eq.221
Eq.222
Eq.223
Eq.224
Eq.225
Eq.226
Mas como o nível de líquido é constante no prato, isso implica que e são iguais. Desse modo,
podemos reescrever a equação 227 como:
Agora vamos linearizar a equação 218 aplicando uma expansão em série de Taylor:
Vamos calcular a derivada parcial da equação 229 utilizando a equação 218, de modo que:
Substituindo a equação 230 na equação 229:
As equações 228 e 231 representam os modelos linearizados desse processo. O próximo passo envolve
aplicar a transformada de Laplace nas equações 228 e 231, lembrando que, na condição inicial no estado
estacionário, temos que , assim:
Vamos considerar como entrada e como saída. Se definirmos como zero e substituir 
 na equação 232 , temos:
Eq.227
Eq.228
Eq.229
Eq.230
Eq.231
Eq.232
Eq.233
Com . Precisamos manipular a equação 235 para explicitarmos a constante de
tempo .
. A equação 239 apresenta a função de transferência que relaciona a entrada com a
saída 
Você pode obter outras funções de transferência para diversas configurações. Por exemplo: como
entrada e como saída; como entrada e como saída; como entrada e 
como saída.
Mão na massa
Questão 1
Considere a função de transferência apresentada na equação A:
 
Eq.234
Eq.235
Eq.236
Eq.237
Eq.238
Eq.239
Qual é o ganho de estado estacionário dessa função?
A
1
B
2
C
3
D
4
E
5
A alternativa D está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 2
Considere a função de transferência apresentada na equação A:
 
Qual é o valor da constante de tempo dessa função?
A
5
B
10
C
15
D
20
E
25
A alternativa B está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 3
O comportamento dinâmico de um sensor/transmissor de pressão pode ser expresso como uma função de
transferência de primeira ordem (em variáveis desvio) que relaciona o valor medido com a pressão atual, 
, por meio da equação A:
 
Ambos e tem unidade de psi (poud square inch - libra por polegada quadrada) e a constante de
tempo tem unidade em segundos. Suponha que um alarme soe se exceder 45 psi. Se o processo está
inicialmente em estado estacionário, e então muda repentinamente de 35 para 50 psi às 13 h 10, a que
horas o alarme vai soar?
A
33s
B
36s
C
39s
D
42s
E
45s
A alternativa A está correta.
Assista ao vídeo a seguir para conferir a resolução da questão.
Conteúdo interativo
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Questão 4
O diagrama de blocos apresentado a seguir representa a relação entre as variáveis de saída e as variáveis de
entrada por meio de funções de transferência para determinado processo químico.
Assinale a alternativa que apresenta, corretamente, as relações entre as variáveis de saída e as variáveis de
entrada desse processo.
A
B
C
D
E
A alternativa C está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 5
Um tanque com agitação e mistura pode ser descrito por uma função de transferência de primeira ordem
entre a composição de saída x e a composição de entrada (ambas são frações em massa do soluto).
 
 (A)
Onde e minutos. Quando o sistema de mistura está em estado estacionário, o
comportamentodinâmico é testado pela adição rápida de uma grande quantidade de um traçador radioativo,
aproximando-se assim de uma função impulso com magnitude 1,5. Qual alternativa apresenta, corretamente,
uma expressão para ?
A
B
C
D
E
A alternativa E está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 6
Um tanque de compensação apresentado a seguir é projetado com um vertedor com fenda de modo que a
vazão, , seja proporcional ao nível do líquido a potência 1,5 , conforme apresentado na equação :
Onde é uma constante. A área da seção transversal do tanque é e a densidade é constante. Se uma
única corrente entrar no tanque com vazão , qual é a função de transferência que relacione 
 ?
A
B
C
D
E
A alternativa B está correta.
Assista ao vídeo a seguir para conferir a resolução da questão.
Conteúdo interativo
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Verificando o aprendizado
Questão 1
Considere as funções de transferência apresentadas no diagrama de blocos a seguir:
A alternativa que apresenta, corretamente, a relação entre a variável de saída com a entrada é:
A
B
C
D
E
A alternativa C está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 2
Na equação A, está apresentada a função de transferência de um processo químico:
 
Qual é o valor da constante de tempo dessa função de transferência?
A
2
B
4
C
6
D
8
E
10
A alternativa B está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Conlusão
A transformada de Laplace é uma ferramenta indispensável no estudo de controle de processos industriais,
uma vez que possibilita uma análise mais prática dos modelos dinâmicos.
 
Assim, em nosso estudo, primeiro apresentamos a definição da transformada de Laplace, bem como a sua
utilização na solução de equações diferenciais lineares e com o apoio de técnicas como a expansão em
frações parciais.
 
Em seguida, aplicamos as transformadas de Laplace no desenvolvimento das funções de transferência que
permitem avaliar o efeito das variáveis de entrada nas variáveis respostas de uma forma algébrica.
Podcast
Ouça o podcast, nele você aprenderá mais sobre o que são as transformadas de Laplace, como utilizar
as expansões em frações parciais, quais as propriedades de uma função de transferência e como
linearizar um modelo dinâmico?
Conteúdo interativo
Acesse a versão digital para ouvir o áudio.
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Nem todos os modelos dinâmicos representativos dos processos químicos têm as suas transformadas de
Laplace obtidas de uma forma metódica como apresentada nesse tema. Muitos deles precisam utilizar
técnicas especiais para conseguirmos obter as transformadas visando montar a função de transferência e,
principalmente, as transformadas inversas.
 
O artigo A method for inverting the Laplace transforms of two classes of rational transfer functions in control
Engineering, de Fatoorehchi e Rach, apresenta um método para investigar uma nova forma de obter
transformadas inversas de equações diferenciais fracionárias.
 
Faça uma leitura do artigo e apresente os principais pontos de aplicação dessa nova abordagem elucidando
as vantagens e desvantagens encontradas pelos autores.
Referências
GREEN, D. W. ; SOUTHARD, M. Z. Perry's chemical engineers' handbook. [s.l.]: McGraw-Hill Education, 2019.
 
JUNIOR, V.; DOS SANTOS, A. Equações diferenciais: uma visão intuitiva usando exemplos. [s.l.]: Edgard
Blucher, 202.
 
LUYBEN, W. L. Process modeling, simulation, and control for chemical engineering. [s.l.]: McGraw-Hill, 1990.
 
MACIEJOWSKI, J. M. Predictive Control with Constraints. [s.l.]: Prentice Hall, 2002.
 
NUNES, G. C.; DE MEDEIROS, J. L.; ARAÚJO, O. D. Q. F. Modelagem e controle da produçao de petróleo:
aplicaçoes em Matlab. [s.l.]: Blucher, 2010.
 
RAWLINGS, J. B.; MAYNE, D. Q. Model Predictive Control: Theory and Design. [s.l.]: Nob Hall Publishing, 2009.
 
ROSSITER, J. A. Model Based Predictive Control - A Practical Approach. [s.l.]: CRC Press, 2003.
 
SEBORG, D. E.; EDGAR, T. F.; MELLICHAMP, D. A.; DOYLE III, F. J. Process dynamics and control. [s.l.]: John
Wiley & Sons, 2016.
3. Conclusão
Considerações finais
	Transformada de Laplace
	1. Itens iniciais
	Propósito
	Preparação
	Objetivos
	Introdução
	Conteúdo interativo
	1. Transformadas de Laplace e a sua aplicação em controle de processos químicos
	Transformadas de Laplace
	Conteúdo interativo
	Definindo a transformada de Laplace
	Primeira etapa
	Segunda etapa
	Terceira etapa
	Transformadas de funções representativas em controle de processos
	Função de uma constante
	Função degrau
	Derivadas
	Exemplo
	Função pulso retangular
	Solução de equações diferenciais por transformada de Laplace
	Primeira etapa
	Segunda etapa
	Terceira etapa
	Expansão em frações parciais
	Demonstração
	Teoria na prática
	Mão na massa
	Questão 1
	Conteúdo interativo
	Questão 2
	Questão 4
	Conteúdo interativo
	Questão 5
	Questão 6
	Verificando o aprendizado
	2. Funções de transferência
	Funções de transferência aplicadas aos processos industriais
	Conteúdo interativo
	Definindo a função de transferência
	Multiplicação por uma constante
	Diferenciação em relação ao tempo
	Integração
	Tempo morto
	Aplicação da função de transferência em um processo químico
	Caso 1: concentração de entrada varia enquanto a concentração é constante
	Caso 2: ambas as concentrações de entrada, e , variam
	Primeira observação
	Segunda observação
	Propriedades das funções de transferência
	Linearização de modelos não lineares
	Demonstração
	Teoria na prática
	Dica
	Mão na massa
	Questão 1
	Questão 2
	Questão 3
	Conteúdo interativo
	Questão 4
	Questão 6
	Conteúdo interativo
	Verificando o aprendizado
	Questão 1
	Conlusão
	Podcast
	Conteúdo interativo
	Explore +
	Referências
	3. Conclusão
	Considerações finais