Comportamento dinâmico de sistemas de 1 e 2 ordem

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Comportamento dinâmico de sistemas de 1ª e 2ª ordem
Prof. Vitor Rosa
Descrição
Você irá compreender a importância do estudo de sistemas de 1ª e 2ª
ordem em controle de processos industriais.
Propósito
No controle de processos, na engenharia química, é essencial entender
a aplicação dos sistemas de 1ª e 2ª ordem.
Preparação
Antes de iniciar seus estudos, baixe o Solucionário e separe uma
calculadora científica para fazer os cálculos necessários.
Objetivos
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Módulo 1
Sistemas dinâmicos de 1ª ordem
Reconhecer as funções de transferência para sistemas de primeira
ordem.
Módulo 2
Sistemas dinâmicos de 2ª ordem
Analisar a modelagem de sistemas de segunda ordem.
Introdução
Olá! Antes de começarmos, assista ao vídeo e entenda o
comportamento dinâmico de sistemas de 1ª e 2ª ordem.

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1 - Sistemas dinâmicos de 1ª ordem
Ao final deste módulo, você será capaz de reconhecer as funções de transferência para
sistemas de primeira ordem.
Sistemas de 1ª ordem
Confira neste vídeo as principais entradas de processo e o seu efeito em
processos descritos por sistemas de 1ª ordem.
Tipos de entradas de processo
Todo processo possui variáveis de entrada e variáveis de saída. A
palavra entrada refere-se a qualquer variável que influencia a saída,
como a vazão volumétrica que escoa para o interior do tanque com
agitação e mistura.
Entrada tipo degrau (step input)
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Os processos industriais podem estar sujeitos a mudanças repentinas e
contínuas de insumos. Por exemplo, a matéria-prima de um reator pode
ser alterada rapidamente de um suprimento para outro, causando uma
mudança correspondente em importantes variáveis de entrada, como a
concentração e temperatura de alimentação.
Essa mudança pode ser aproximada por uma função tipo degrau,
conforme apresentado nesta equação:
Eq. 1
O tempo zero é considerado o tempo em que ocorre a mudança
repentina de magnitude a. Observe que é definida como uma
variável de desvio, isto é, uma mudança no estado estacionário atual do
processo.
A transformada de Laplace de uma função degrau de magnitude a é
dada por:
Eq. 2
Entrada tipo rampa (ramp input)
Os processos industriais, muitas vezes, estão sujeitos a mudanças
gradativas nas quantidades de insumos, ou seja, mudam gradualmente
para cima e para baixo por algum período com uma inclinação
aproximadamente constante.
Por exemplo, as condições ambientais (temperatura do ar e umidade
relativa) podem mudar lentamente durante o dia, de modo que a
temperatura de uma torre de resfriamento também mude lentamente.
Podemos aproximar essa mudança em uma variável de entrada por
meio da função rampa. Veja!
Eq. 3
xs(t) =
⎧⎪⎨⎪⎩0 t2τ
3τ
4τ
5τ
6τ
y(t)
aK
t/τ,
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Representação gráfica da resposta tipo degrau de um sistema de 1ª ordem.
O gráfico da Eq. 17 mostra que um processo de 1ª ordem não
responde instantaneamente a mudanças repentinas na sua entrada. De
fato, após um intervalo de tempo igual à constante de tempo τ, a
resposta do processo ainda está apenas 63,2% concluída.
Teoricamente, a saída do processo nunca atinge o novo estado
estacionário, exceto que o tempo do processo seja infinito, o que é
inviável na prática.
Note que o gráfico apresentado foi construído em dimensões
adimensionais (sem unidade), com o tempo dividido pela constante de
tempo e a mudança da saída dividida pelo produto do ganho do
processo pela magnitude da entrada tipo degrau.
Resposta tipo rampa
Para uma entrada tipo rampa de magnitude a, temos a seguinte função
de transferência:
Eq. 18
Expandindo em frações parciais, chegamos a:
Eq. 19
Aplicando a transformada de Laplace inversa na Eq. 19, temos:
Eq. 20
Eq. 21
A Eq. 21 possui uma particularidade interessante para grandes
valores de tempo, ou seja, assim:
G(s) =
Y (s)
U(s)
=
aK
s2(τs + 1)
G(s) =
aKτ 2
τs + 1
−
aKτ
s
+
aK
s2
y(t) = Ł−1 [ aKτ 2
τs + 1
−
aKτ
s
+
aK
s2
]
y(t) = aKτ (e−t/τ − 1)+ aKt
t ≫> τ,
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Eq. 22
A Eq. 22 nos demonstra que, após um período transitório inicial, uma
entrada tipo rampa produz uma saída também tipo rampa com
inclinação igual a porém deslocada no tempo do processo devido à
constante Confira!
Comparação da entrada e saída de uma resposta tipo rampa em um sistema de 1ª ordem.
Uma entrada tipo rampa, caso seja ilimitada, acabará causando a
saturação de algum componente do processo. Por exemplo, se
desejamos concentrar uma solução em um tanque operando de forma
descontínua, a rampa de alimentação do soluto deve ser limitada para o
setpoint não ser ultrapassado.
Resposta tipo senoidal
Considere uma entrada tipo senoidal conforme apresentado nesta
equação:
Eq. 23
Aplicando uma expansão em frações parciais na Eq. 23 e executando
algumas manipulações matemáticas, chegamos a:
Eq. 24
Realizando uma transformada de Laplace inversa na Eq. 24, temos:
Eq. 25
Utilizando identidades trigonométricas, podemos escrever a próxima
equação do seguinte modo:
y(t) = aK(t − τ)
aK,
τ.
y(s) =
Kaω
(τs + 1) (s2 + ω2)
y(s) =
Ka
ω2τ 2 + 1
( ωτ 2
τs + 1
−
sωτ
s2 + ω2
+
ω
s2 + ω2
)
y(t) =
Ka
ω2τ 2 + 1
(ωτe−t/τ − ωτ cosωt + senωt)
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Eq. 26
Veja que, nas Eqs. 25 e 26, o termo exponencial tende a zero para
valores de tempo infinito, deixando uma resposta puramente senoidal
(oscilatória). Muitas vezes, temos dificuldade em imaginar como uma
variável de processo pode mudar senoidalmente.
Como uma vazão em um reator pode ser tanto negativa quanto positiva?
Vale lembrar que definimos a entrada e saída nessas equações como
variáveis desvio!
Uma entrada real pode ser do tipo:
Eq. 27
Em que é a amplitude do desvio do sinal da variável de entrada.
Observe como a vazão oscila em função do tempo de processo:
Representação de uma resposta senoidal de um sistema de 1ª ordem.
Respostas de processos de
integração
Observe, a seguir, um processo típico de armazenamento de líquido,
considerando que e q são vazões volumétricas.
Tanque de armazenamento de líquido com área da seção transversal constante.
Escrevendo um balanço de massa global no tanque, temos:
Eq. 28
y(t) =
Ka
ω2τ 2 + 1
e−t/τ +
Ka
√ω2τ 2 + 1
sen [ωt − tan−1(ωτ)]
q(t) = 1
m3
s
+ (0, 1
m3
s
) senωt
0, 1
qi
d(ρV )
dt
= ρqi − ρq
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Assumindo que a densidade e do líquido seja constante, assim como a
área da seção transversal do tanque, podemos reescrever a Eq. 28 do
seguinte modo:
Eq. 29
Agora, vamos supor que uma bomba seja instalada na linha de saída do
tanque, de modo que a vazão possa ser definida a qualquer momento
pela velocidade do bombeamento, assim:
Eq. 30
Suponha que para o processo está no estado estacionário com
 e Assim, a Eq. 30 é reescrita como:
Eq. 31
Subtraindo a Eq. 31 da Eq. 30, temos o modelo dinâmico de 1ª
ordem representativo desse processo em termos das variáveis desvio,
logo:
Eq. 32
Lembrando que, no tempo zero, todas as variáveis desvio assumem
valor igual a zero. Aplicando a transformada de Laplace na Eq. 32,
temos:
Eq. 33
Eq. 34
ρ
A
dH
dt
= qi − q
A
dH(t)
dt
= qi(t) − q(t)
t = 0,
qi = –q H = H.
–
0 = –q1(t) − –q(t)
A
dH ′(t)
dt
= q
′
i(t) − q ′(t)
sAH ′(s) = Q′
i(s) − Q′(s)
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Da Eq. 34, podemos extrair duas funções de transferência:
Eq. 35
Eq. 36
Note que nas Eqs. 35 e 36 há a presença do termo uma
característica de modelos integrais. Veja integral a Eq. 30:
Eq. 37
Daí o termo "processo de integração". Os processos de integração não
têm um ganho de estado estacionário no sentido usual. Para esse
processo operando em estado estacionário, qualquer mudança positiva
na vazão (aumento de em cima de ) fará com que o nível do
líquido no tanque aumente linearmente com o tempo em proporção à
diferença, enquanto uma mudança de degrau positiva em 
fará com que nível do tanque diminua linearmente.
Desse modo, não é possível atingir um novo estado estacionário, a
menos que o tanque transborde ou esvazie. Agora vamos supor que, na
linha de saída do tanque apresentado na imagem que acabamos de ver,
seja retirada a bomba e colocada uma válvula.
A válvula controla a vazão q a partir da seguinte relação:
Eq. 38
Em que depende da abertura da válvula. Substituindo a Eq. 38 na
Eq. 29, temos:
H′(s) =
1
As
[Q′
i(s) − Q′(s)]
G1( s) =
H′(s)
Q′
i(s)
=
1
As
G2( s) =
H′(s)
Q′(s)
= −
1
As
1/s,
h(t) − h =
1
A
∫
t
0
[qi (t∗) − q (t∗)]dt∗–
qi qi q
qi(t) − q(t), q
o
q = CV √H
CV
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Eq. 39
Escrevendo a Eq. 39 em termos de variáveis desvio e linearizando a
equação com uma série de Taylor, temos:
Eq. 40
Chamando de resistência da válvula:
Eq. 41
Transformando a Eq. 41:
Eq. 42
Eq. 43
Esse processo é descrito por uma função de transferência de 1ª ordem
e não por um integrador, apenas por trocar a bomba por uma válvula.
Agora, voltando à discussão a respeito dos processos de integração,
estes não atingem um novo estado estacionário quando submetido a
mudanças do tipo degrau nas entradas, em contraste com os processos
de 1ª ordem.
A integração de sistemas representa um exemplo de processos que não
são autorregulados. Em entradas tipo pulso fechadas, nas quais os
valores inicial e final da entrada são iguais, levam a um novo estado
estacionário.
Na próxima equação, temos uma função de transferência para um
processo integrador. Confira!
A
dH
dt
= qi − CV√H
A
dH′
dt
= q′
i −
CV
2√H
H′
–
R = 2√H/CV
–
A
dH
dt
= q′
i −
1
R
H′
AsH′(s) = Q′
i(s) −
1
R
H′(s)
H′(s)
Q′
i(s)
=
R
ARs + 1
=
K
τs + 1
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Eq. 44
Aplicando uma entrada tipo pulso retangular na Eq. 44, temos:
Eq. 45
Existem duas regiões para a solução da Eq. 45, dependendodo valor
de t comparado com a largura de pulso Para o segundo
termo entre parênteses da Eq. 45 é zero, logo:
Eq. 46
O que corresponde a um aumento linear com o tempo. Para 
aplicando a transformada inversa na Eq. 45 chegamos a:
Eq. 47
Combinando as soluções apresentadas nas Eqs. 46 e 47, temos:
Eq. 48
A Eq. 48 mostra que a mudança em a qualquer momento é
proporcional à área sob a curva do pulso de entrada (definição de
integral), um resultado bem intuitivo.
Demonstração do esvaziamento de um tanque cilíndrico
vertical
Um tanque cilíndrico vertical é utilizado para armazenamento de líquido
obtido a partir da descarga de caminhões-tanques. Um reator contínuo
G(s) =
Y(s)
U(s)
=
K
s
Y (s) = KH ( 1
s2
−
e−tws
s2
)
tw. 0 ≤ t ≤ tw,
y(t) = KHt
t ≥ tw,
y(t) = KH [t − (t − tw)] = KHtw
y(t) =
⎧⎪⎨⎪⎩ KHt t q′
i = −0, 02 ==> Q′
i(s) = −
0, 02
 s
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Assim:
Eq. 53
Eq. 54
Aplicando a transformada inversa de Laplace na Eq. 54, temos:
Eq. 55
Porém:
Eq. 56
Eq. 57
Eq.58
No momento que o tanque esvaziar, logo:
Eq. 59
Eq. 60
q = 0, 02 ==> q′ = 0 ==> Q(s) = −0
H′(s) =
1
4 s
[−
0, 02
 s
− 0]
H′(s) = −
0, 005
 s2
H′(t) = −0, 005t
H′(t) = H(t) − H
–
−0, 005t = H(t) − 2
H(t) = 2 − 0, 005t
H(t) = 0,
0 = 2 − 0, 005t
t = 400 s
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Teoria na prática
Em um dado processo, um tanque de aquecimento perfeitamente
agitado é alimentado com 200 libras por minuto de um fluido frio
com densidade igual a 62,4 libras por pé cúbico e capacidade
calorífica de No estado estacionário, a
temperatura de alimentação a taxa de calor que é fornecida
através de uma serpentina helicoidal pela qual condensa vapor
saturado, são e Observe,
a seguir, um esquema desse processo.
Representação do processo de aquecimento.
Em dado instante, a temperatura de entrada do fluido frio
aumenta subitamente para e a taxa de transferência de
calor é reduzida a Qual será a nova temperatura
no estado estacionário?
Inicialmente, precisamos construir a função de transferência que
controla esse sistema dinâmico de 1ª ordem. Vamos aplicar um
balanço de energia no tanque em estado estacionário, ou seja,
antes da perturbação ocorrer.
Eq. 61
Em que é a vazão mássica na entrada, é a vazão mássica
na saída, é a entalpia da corrente de entrada e é a entalpia
da corrente de saída. Como não há mudança de fase no líquido
de processo, a entalpia pode ser calculada a partir da capacidade
calorífica, logo:
Eq. 62
Substituindo os valores numéricos na Eq. 62, temos:
_black
0, 32 BTU/lb∘F .
te Q,
70∘F 1920 BTU/min,  respectivamente.
90∘F
1600 BTU/min.
Q = wsHs − weHe
we ws
He Hs
Q = wscpTs(0) − wecpTe = wcp [Ts(0) − Te]
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Eq. 63
Eq. 64
Agora vamos aplicar o balanço de energia no tanque após a
perturbação:
Eq. 65
A energia interna pode ser escrita em função da capacidade
calorífica a volume constante, bem como a entalpia em função da
capacidade calorífica a pressão constante, assim:
Eq. 66
Eq. 67
Para líquidos e a massa de líquido no tanque pode
ser convertida em volume com a densidade assim:
Eq. 68
Aplicando a transformada de Laplace na Eq. 68 em termos das
variáveis desvio, temos:
Eq. 69
1920 = 200 ⋅ 0, 32 [ Ts(0) − 70]
Ts(0) = 100∘F
dU
dt
= weHe − wsHs + Q
McV
dTs
dt
= wecpTe − wscsTs + Q
dTs
dt
=
wecpTe
McV
−
wscsTs
McV
+
Q
McV
cp = cV (M)
(V ) ρ,
dTs
dt
=
weTe
ρV
−
wsTs
ρV
+
Q
ρVCp
sT′
s(s) − T′
s(0) =
we
ρV
 T′
e(s) −
ws
ρV
 T′
s(s) +
1
ρVCp
Q′(s)
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Isolando temos:
Eq. 70
Multiplicando o numerador e denominador da Eq. 70 por 
temos:
Eq. 71
Na Eq. 72, está apresentada a função de transferência para a
relação e, na Eq. 73, a função de transferência para
 Veja!
Eq. 72
Eq. 73
Assim, para esse sistema dinâmico de 1ª ordem, a função de
transferência é dada por:
Eq. 74
Inserindo as perturbações degraus sofridas em e temos:
Eq. 75
T′
s(s),
T′
s(s) =
we
ρV
 s + ws
ρV
 T′
e(s) +
1
ρVCp
 s + ws
ρV
Q′(s)
ρV
ws
,
T′
s(s) =
1
ρV
ws
s + 1
 T′
e(s) +
1
wsCp
ρw
ws
s + 1
Q′(s)
T′
s(s)/T′
e(s)
T ′
s(s)/Q′(s).
G1( s) =
T′
s(s)
T′
e(s)
=
1
ρV
ws
s + 1
⎧⎪⎨⎪⎩ K1 = 1
τ1 = ρV
ws
= 0, 5 min
⎫⎪⎬⎪⎭G2( s) =
T′
s(s)
Q′(s)
=
1
wsCp
ρV
ws
s + 1
⎧⎪⎨⎪⎩K2 = 1
wsCp
= 0, 0156 min/∘FBTU
τ2 = ρV
ws
= 0, 5 min
⎫⎪⎬⎪⎭T ′
s(s) =
1
0, 5s + 1
T ′
e(s) +
0, 0156
0, 5s + 1
Q′(s)
Te Q,
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Eq. 76
Eq. 77
Aplicando a transformada inversa na Eq. 77, temos:
Eq. 78
Eq. 79
Eq. 80
Eq. 81
No novo estado estacionário a temperatura de saída
será:
Eq. 82
Eq. 83
Em termos práticos, quanto tempo irá demorar para a
temperatura chegar a 115°F? Para esse tipo de sistema, admite-
T ′
s(s) =
1
0, 5s + 1
20
s
+
0, 0156
0, 5s + 1
⋅ ( −320
s
)
T′
s(s) =
20
 s(0, 5 s + 1)
−
5
 s(0, 5 s + 1)
T′
s(s) =
15
0, 5( s + 0)(s + 2)
T′
s(t) = 30 [ 1
(2 − 0)
(e−0t − e−2t)] = 15 (1 − e−2t)
Ts(t) − Ts(0) = 15 (1 − e−2t)
Ts(t) = Ts(0) + 15 (1 − e−2t)
Ts(t) = 100 + 15 (1 − e−2t)
(t → ∞),
Ts(t) = 100 + 15 (1 − e−2⋅∞)
Ts(t) = 115∘F
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se o tempo de estabilização quando a variável resposta atingir
cerca de 99,3% (corresponde a 5τ) do valor estacionário final.
Nesse caso, será uma temperatura de 114,2°F.
Na Eq. 82:
Eq. 84
Eq. 85
Mão na massa
Questão 1
Um aquecedor para um material semicondutor é descrito por uma
dinâmica de 1ª ordem, ou seja, relacionando mudanças na
temperatura com mudanças no nível de potência de entrada do
aquecedor, a função de transferênciaé:
Em que tem unidades de e tem unidades de
minutos. O processo está em estado estacionário quando um
engenheiro muda a entrada de potência por uma função degrau de
 Ele observa o seguinte:
I- A temperatura do processo, inicialmente, está a .
II - Quatro minutos após alterar a entrada de potência, a
temperatura é de .
III - Trinta minutos depois de alterar a entrada de potência, a
temperatura é de .
Qual o valor das constantes e dessa função de transferência?
114, 2 = 100 + 15 (1 − e−2t)
t = 1, 5 minuto 

T′(s)
P′(s)
=
K
τs + 1
K (∘C/kW) τ
1 a 1, 5kW .
80∘C
230∘C
280∘C
K τ
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Parabéns! A alternativa A está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no
campo Preparação.
Questão 2
Um termopar é utilizado para medir a temperatura de um líquido em
um banho termostático. Na equação , está expressa a função de
transferência que relaciona a temperatura do líquido (variável de
entrada) com a temperatura medida no termopar (variável de
saída).
Se o termopar estiver inicialmente fora do banho e em temperatura
ambiente (23°C), qual é a temperatura máxima, aproximadamente,
que registrará se for repentinamente mergulhado no banho (80°C) e
mantido lá por 20 segundos?
A K = 400∘C/kW τ = 2, 8854 minutos. 
B K = 400∘C/kW τ = 3, 8854 minutos. 
C K = 500∘C/kW τ = 2, 8854 minutos. 
D K = 500∘C/kW τ = 3, 8854 minutos. 
E K = 600∘C/kW τ = 2, 8854 minutos. 
A
T′(s)
Ts
′(s)
=
1
15 s + 1
A 61 °C
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https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05583/index.html?brand=estacio# 23/63
Parabéns! A alternativa B está correta.
Confira a resolução da questão no vídeo a seguir.
Questão 3
Um termômetro de mercúrio cujo bulbo possui formato
aproximadamente cilíndrico de diâmetro 4 mm e comprimento 12
mm efetua medições da temperatura de uma corrente de retorno de
água de resfriamento a 32°C (estado estacionário). A equação A
apresenta a função de transferência para esse processo que
relaciona a temperatura da água (variável de entrada) com a
temperatura lida no termômetro (variável de saída).
Subitamente, a temperatura da água se eleva a 38 °C. Qual o tempo,
em segundos, para que seja registrada a nova leitura em estado
estacionário?
B 65 °C
C 67 °C
D 69 °C
E 73 °C
T′(s)
T′
A(s)
=
1
0, 807 s + 1
A 3,16 segundos
18/08/2026, 20:43 Comportamento dinâmico de sistemas de 1ª e 2ª ordem
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05583/index.html?brand=estacio# 24/63
Parabéns! A alternativa C está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no
campo Preparação.
Questão 4
Um tanque sofre uma alteração na sua vazão de entrada do tipo
degrau, passando de para A área da seção
transversal do tanque é A altura do nível de líquido no
tanque antes do distúrbio era de 4 metros e, para esse sistema, a
vazão de saída é diretamente proporcional à raiz quadrada do nível.
Na equação A, está apresentada a função de transferência que
relaciona a variável de entrada (vazão de alimentação) com a
variável de saída (nível de líquido).
Nessa equação, o ganho é dado em e a constante de tempo
em horas. Qual será o nível de líquido no tanque decorrido 20
minutos após a perturbação?
B 4,16 segundos
C 5,16 segundos
D 6,16 segundos
E 7,16 segundos
10m3/h 15m3/h.
0, 7m2.
H ′(s)
Q′
e(s)
=
0, 8
0, 56s + 1
 h/m2
A 2,78 metros
B 3,78 metros
18/08/2026, 20:43 Comportamento dinâmico de sistemas de 1ª e 2ª ordem
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05583/index.html?brand=estacio# 25/63
Parabéns! A alternativa D está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no
campo Preparação.
Questão 5
Um sistema dinâmico de 1ª ordem possui a seguinte função de
transferência:
Esse sistema é submetido a uma entrada tipo impulso unitário
. Qual a alternativa que representa corretamente a
resposta no domínio do tempo para ?
C 4,78 metros
D 5,78 metros
E 6,78 metros
G(s) =
Y (s)
U(s)
=
4
0, 5s + 1
U( s) = 1
y(t)
A y(t) = e−2t
B y(t) = 2e−2t
C y(t) = 4e−2t
D y(t) = 6e−2t
18/08/2026, 20:43 Comportamento dinâmico de sistemas de 1ª e 2ª ordem
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05583/index.html?brand=estacio# 26/63
Parabéns! A alternativa E está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no
campo Preparação.
Questão 6
A resposta dinâmica de um biorreator de tanque agitado pode ser
representada pela função de transferência apresentada na equação
A:
Em que é a concentração do substrato na saída, em mol por
litro, e s) é a concentração de substrato na corrente de
alimentação, em mol por litro. A entrada é do tipo pulso retangular,
conforme apresentado na equação .
Qual alternativa apresenta corretamente uma expressão no domínio
do tempo para ?
E y(t) = 8e−2t
C ′(s)
C ′
F (s)
=
4
2s + 1
C ′(s)
C ′
F (
B
cf(t) =
⎧⎪⎨⎪⎩2 tdo
primeiro tanque seja utilizada com fluxo de entrada no segundo no
tanque. Veja!
Dois sistemas de 1ª ordem associados em série.
Observe na próxima equação a função de transferência para esse
sistema associado em série:
Eq. 86
Também é possível gerar funções de transferência de 2ª ordem a partir
de modelos dinâmicos deduzidos por equações diferenciais de ordem 2.
Na equação a seguir temos a forma padrão para uma função de
transferência de 2ª ordem. Confira!
Eq. 87
Na Eq. 87, e têm a mesma importância quando comparados com
uma função de transferência de 1ª ordem. é o ganho do processo e 
determina a velocidade da resposta (ou, de forma equivalente, o tempo
G(s) =
Y (s)
U(s)
=
K1K2
(τ1s + 1) (τss + 1)
=
K
(τ1s + 1) (τss + 1)
G(s) =
K
τ 2s2 + 2ζτs + 1
K τ
K τ
18/08/2026, 20:43 Comportamento dinâmico de sistemas de 1ª e 2ª ordem
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de resposta) do sistema. O coeficiente zeta é denominado de
amortecimento, sendo um número adimensional.
O coeficiente fornece uma medida do amortecimento no sistema, ou
seja, o grau de oscilação em uma resposta do processo após uma
perturbação. Pequenos valores de implicam pouco amortecimento e
uma grande quantidade de oscilação, como em um sistema de
suspensão de automóvel com amortecedores ineficazes. Veja que, ao
bater em uma lombada, o veículo saltará para cima e para baixo
perigosamente.
Existem três classes importantes de sistemas de ordem conforme
tabela a seguir.
Omitimos o caso em que é menor que zero porque corresponde a um
estado instável de um sistema de ordem que teria uma resposta
ilimitada a qualquer entrada.
Coeficiente de
mortecimento 
Caracterização da
resposta Raízes
Raízes
características d
equação
Superamortecido Reais e diferente
Criticamente
amortecido
Reais e iguais
 1
ζ = 1
0 1)
y(t) = kM (1 −
τ1e−t/τ1 − τ2e−t/τ2
τ1 − τ2
)
y(t) = kM {1 − e−ζt/τ [cosh(
√ζ 2 − 1
τ
t)]+
ζ
√ζ 2 − 1
senh(
√ζ 2 − 1
τ
t)}
(ζ = 1)
y(t) = KM [1 − (1 +
t
τ
)e−t/τ]
(0 ≤ ζ 1)
ζ
ζ
(ζ = 1)
ζ
ζ
ζ
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Características da resposta degrau em processos subamortecidos.
Observando o gráfico, podemos elucidar os seguintes passos:
 Tempo de subida
 é o tempo que a saída do processo leva para
atingir um novo estado estacionário.
tr
 Tempo para atingir o primeiro pico
 é o tempo necessário para a saída atingir o seu
primeiro valor máximo.
tp
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As definições vistas aplicam-se geralmente à resposta ao degrau de
qualquer processo subamortecido. Caso o processo não apresente
overshoot, a definição do tempo de subida é modificada para o tempo ir
de 10% a 90% da resposta do estado estacionário.
Para o caso particular de um processo subamortecido de 2ª ordem,
podemos desenvolver expressões analíticas para algumas dessas
características. As Eqs. 105, 106, 107 e 108 apresentam os cálculos
referentesao tempo para atingirem o primeiro pico, o overshoot, a taxa
de decaimento e o período de oscilação, respectivamente. Acompanhe!
 Tempo de acomodação
 é o tempo necessário para a saída do processo
atingir e permanecer dentro de uma faixa cuja
largura é igual a da mudança total em y para
 do tempo de resposta.
ts
±5%
95%
 Overshoot
O quanto a variável y vai ultrapassar o setpoint é
dado pela seguinte relação: ou em
percentual 
(a − b)
100(a − b).
 Taxa de decaimento
A taxa de decaimento é dada por em que c é a
altura do segundo pico.
c/a,
 Período de oscilação
P é o tempo entre dois picos sucessivos ou dos
vales sucessivos da resposta.
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Eq. 105
Eq. 106
Eq. 107
Eq. 108
Veja que e são funções apenas de Para um sistema de 2ª
ordem, a taxa de decaimento é constante para cada par sucessivo de
picos. A próxima imagem ilustra a dependência do overshoot e a taxa de
decaimento com o coeficiente de amortecimento 
Para uma função de transferência de 2ª ordem subamortecida, tanto a
imagem "resposta ao degrau de processos de 2ª ordem
subamortecidos" quanto a imagem a seguir, assim como a Eq. 107,
podem ser utilizadas para obter estimativas de e com base nas
características de resposta ao degrau. Veja!
Resposta ao degrau de processos de 2ª ordem superamortecidos e criticamente amortecido
Relação entre algumas características de desempenho de um processo de 2ª ordem subamortecido
tp =
πτ
√1 − ζ 2
OS = exp(−πζ/√1 − ζ 2)
TD = OS2 = exp(−2πζ/√1 − ζ 2)
P =
2πτ
√1 − ζ 2
OS tD ζ.
ζ.
ζ τ
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e o coeficiente de amortecimento.
Respostas de sistemas dinâmicos de
2ª ordem para entrada senoidal
Quando um sistema linear de 2ª ordem é forçado por uma entrada
senoidal, a saída para grandes valores de tempo (após o
desaparecimento dos termos exponenciais) também é um sinal
senoidal dado por:
Eq. 109
Em que:
Eq. 110
A amplitude do sinal de saída é obtida diretamente da Eq. 109:
Eq. 111
A relação entre a amplitude de saída e a de entrada é denominada
 Quando normalizada pelo processo de ganho, é chamada de
relação de amplitude normalizada Confira!
Eq. 112
y(t) =
KA
√[1 − (ωτ)2]2 + (2ζωτ)2
sen(ωt + Φ)
Φ = − tan−1 [ 2ζωτ
1 − (ωτ)2
]
Â
 =
KA
√[1 − (ωτ)2]2 + (2ζωτ)2
AR(Â/A).
(ARn).
ARn =
1
√[1 − (ωτ)2]2 + (2ζωτ)2
18/08/2026, 20:43 Comportamento dinâmico de sistemas de 1ª e 2ª ordem
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O parâmetro representa o efeito das constantes do modelo
dinâmico na resposta senoidal, ou seja, é independente do
ganho de estado estacionário e da amplitude da função de
forçamento 
O valor máximo de pode ser encontrado (caso exista) diferenciando
a Eq. 112 em relação a e definindo a derivada como zero.
Resolvendo para temos:
Eq. 113
Para não há um valor máximo. Substituindo a Eq. 113 na
Eq. 112, temos uma expressão para o valor máximo de :
Eq. 114
Veja na Eq. 114 que a amplitude máxima de saída para um processo
de 2ª ordem não tem amortecimento sendo indefinido.
Pequenos valores de são invariavelmente evitados no projeto de
processos, bem como no projeto de sistemas de controle.
Amplitude de resposta senoidal de um sistema de 2ª ordem.
A Eq. 114 indica que um processo com pouco amortecimento pode
exibir oscilações de saída muito grandes se for perturbado por sinais
periódicos com frequência próxima a 
Para entendermos um pouco mais sobre a resposta senoidal em
sistemas de ordem, vamos avaliar o próximo exemplo.
Um engenheiro usa um sensor de temperatura montado em um poço
termométrico para medir a temperatura em um reator de mistura CSTR.
A combinação sensor/transmissor de temperatura opera
aproximadamente como um sistema de 1ª ordem com constante de
tempo igual a 3 segundos. O poço termométrico se comporta como um
sistema de 1ª ordem com constante de tempo igual a 10 segundos.
O engenheiro observa que a temperatura medida do reator tem circulado
aproximadamente de forma senoidal entre e com um
ARn
(ζ, τ) ARn
K
A.
ARn
ω
ωmax,
ωmax =
√1 − 2ζ 2
τ
 para  043/63
Agora reflita: o operador observa que a resposta resultante é
ligeiramente oscilatória com máximos estimados em 102,5 °C e 102 °C
ocorrendo nos tempos de 1000 e 3060 segundos após a perturbação.
Qual o amortecimento e a constante de tempo desse processo?
As características oscilatórias da resposta podem ser utilizadas para
encontrar os elementos dinâmicos na função de transferência
relacionando a temperatura com a vazão de alimentação.
Assumindo que a resposta ao degrau é devida a um processo de 2ª
ordem subamortecido, podemos utilizar as imagens "resposta ao
degrau de processos de 2ª ordem subamortecidos" e "características
da resposta degrau em processos subamortecidos" para obtermos
estimativas de e 
Alternativamente, também podemos utilizar as expressões analíticas
dadas nas Eqs. 106 ou 107 para encontrarmos o valor de 
independentemente de Como o segundo valor máximo da
temperatura (102 °C ) é essencialmente o valor final (102 °C) o valor
calculado da altura do pico (ver imagem "características da resposta
degrau em processos subamortecidos") estará sujeito a erros de
medição apreciáveis.
Optamos por utilizar a relação para o overshoot (em vez da taxa de
decaimento) para aproveitarmos a maior precisão da primeira medição
de pico. Reorganizando a Eq. 106, temos:
Resposta ao degrau de processos de 2ª ordem superamortecidos e criticamente amortecido
ζ τ.
ζ
τ.
c
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Características da resposta degrau em processos subamortecidos.
Eq. 122
Em que:
Eq. 123
A Eq. 123 indica que a variável resposta está acima de 25% do valor
desejado no setpoint. Substituindo a Eq. 123 na Eq. 122, temos:
Eq. 124
Agora vamos reorganizar a Eq. 108 para encontrarmos a constante de
tempo.
Eq. 125
ζ =√ [ln(OS)]2
π2 + [ln(OS)]2
 OS  =
102, 5 − 102
102 − 100
= 0, 25 ou 25%
ζ = 0, 4037 ≅0, 4
τ =
√1 − ζ 2
2π
P =
√1 − 0, 42
2π
(3060 − 1000) = 300 segundos 
18/08/2026, 20:43 Comportamento dinâmico de sistemas de 1ª e 2ª ordem
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Suponha que o operador não tenha observado o tempo de subida que a
resposta demorou para alcançar um novo estado estacionário. Com os
parâmetros estimados, o tempo de subida pode ser calculado a partir da
Eq. 104. Quando é igual ao seu valor final no estado
estacionário, ou seja, o produto do ganho pela amplitude do degrau
 Em outras palavras, a quantidade entre colchetes é
identicamente zero em logo:
Eq. 126
A solução geral possui múltiplos valores de t que satisfazem
 assim:
Eq. 127
A Eq. 127 implica uma expansão infinita em termos de com
0 tempo de subida correspondente ao primeiro termo implica
em Resolvendo para o tempo de subida, temos:
Eq. 128
Em que o cálculo do cosseno inverso deve estar em radianos.
Substituindo os valores encontrados para e na Eq. 128, chegamos a:
Eq. 129
Vejam que há uma demora de 11 minutos até ocorrer o novo estado
estacionário. Na Eq. 130, está apresentada a função de transferência
de perturbação entre a taxa de fluxo de alimentação e a temperatura de
saída sob um controle feedback, logo:
Eq. 130
t = tr, y(t)
(KM).
t = tr,
[cos(
√1 − ζ 2
τ
t)]+
ζ
√1 − ζ 2
[sen(
√1 − ζ 2
τ
t)] = 0
y(t) = KM,
t =
τ
√1 − ζ 2
(nπ − cos−1 ζ)
n,
n = 1, 2, 3, …
(n = 1)
y(t) = KM = y(∞).
tr =
τ
√1 − ζ 2
(π − cos−1 ζ)
t ζ
tr = 649s ≅11 minutos 
18/08/2026, 20:43 Comportamento dinâmico de sistemas de 1ª e 2ª ordem
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Teoria na prática
Por meio do balanço de forças e admitindo regime laminar, obtenha a
função de transferência que relaciona as transformadas de Laplace do
desnível de fluido e da pressão diferencial aplicada em um manômetro
de tubo em U, como o apresentado na imagem.
Manômetro de tubo em U.
No laboratório, foi verificada as seguintes informações sobre o
manômetro:
a. Densidade do fluido manométrico ρ é igual a 13600 kg/m³.
b. Viscosidade dinâmica do fluido manométrico µ é igual a 0,00155
Pa.s.
c. O tubo possui um comprimento de 20 centímetros.
d. O diâmetro interno do tubo é igual a 0,2 cm.
Gabarito comentado
Inicialmente, precisamos aplicar um balanço de forças no manômetro
em regime transiente para encontrarmos o modelo dinâmico
representativo desse processo, assim:
Eq. 131
Em que é a força exercida devido à pressão estática do líquido no
fluido manométrico, é a força exercida pela aceleração gravitacional,
 é a força de atrito viscoso exercida pelo escoamento do fluido
manométrico no manômetro e é a resultante das forças no
sistema.
Pela segunda Lei de Newton, podemos escrever o seguinte:
G(s) =
T ′(s)
W ′(s)
=
20
(300)2s2 + 2(0, 4)(300) + 1
=
20
90000s2 + 240s + 1
_black
∑Fr = Fp − Fg − Fd
Fp
Fg
Fd
∑Fr
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Eq. 132
Sendo a massa do fluido manométrico e a aceleração. Em um
manômetro, a massa do fluido manométrico permanece constante e a
aceleração pode ser escrita em função da velocidade, logo:
Eq. 133
Em que é a área da seção transversal do tubo e é o comprimento do
tubo. Substituindo a Eq. 133 na Eq. 132 e, por sua vez, na Eq. 131 ,
temos:
Eq. 134
A força é dada pelo produto da pressão estática pela área da seção
transversal. Confira na equação!
Eq. 135
A força devido à aceleração gravitacional, é calculada por:
Eq. 136
A força de atrito viscoso é diretamente proporcional ao produto da
densidade, à aceleração da gravidade e à "perda de carga" do
escoamento do fluido manométrico no manômetro em 
Eq. 137
∑Fr = M
da
dt
M da/dt
da
dt
=
d
dt
( dv
dt
) = ρAL
d
dt
( dh
dt
) = ρAL
d2h
dt2
A L
ρAL
d2h
dt2
= Fp − Fg − Fd
Fp P
Fp = P ⋅ A
Fg,
Fg = Aρg2h
Fd
hf
U .
Fd
A
= ρghf => Fd = Aρghf
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A perda de carga representa a perda de energia do escoamento do fluido
manométrico devido ao atrito viscoso. Em manômetros, o escoamento
de fluidos manométricos é laminar e, geralmente, são utilizados fluidos
newtonianos, ou seja, com viscosidade dinâmica constante.
Desse modo, podemos calcular a perda de carga pela equação de Darcy
em escoamento laminar, conforme esta equação:
Eq. 138
A velocidade pode ser escrita em termos da taxa de variação do nível 
em função do tempo, logo:
Eq. 139
Substituindo a Eq. 139 na Eq. 137, temos:
Eq. 140
Eq. 141
Substituindo as Eqs. 135, 136 e 141 na Eq. 134, temos:
Eq. 142
Dividindo a Eq. 142 por temos:
Eq. 143
hf = 32
μL
ρgDD2
v
h
hf = 32
μL
ρgD2
dh
dt
Fd = Aρg 32
μL
ρDD2
dh
dt
Fd = 32A
μL
D2
dh
dt
ρAL
d2h
dt2
= PA − Aρg2h − 32A
μL
D2
dh
dt
ρg2A,
L
2g
d2h
dt2
=
P
2ρg
− h −
16μL
ρgD2
dh
dt
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Eq. 144
A Eq. 144 apresenta o modelo dinâmico representativo desse
processo, o qual está descrito por uma equação diferencial ordinária de
 ordem. As condições iniciais para e as suas derivadas são iguais a
zero, uma vez que para o fluido manométrico estava no seu
estado estacionário. Aplicando a transformada de Laplace em termos
da variável desvio:
Eq. 145
Eq. 146
Eq. 147
A forma padrão para uma função de transferência de 2ª ordem é dada
por:
Eq. 148
Comparando a Eq. 147 com a Eq. 148, temos:
Eq. 149
Eq. 150
L
2g
d2h
dt2
+
16μL
ρgD2
dh
dt
+ h =
P
2ρg
2a h
t′(s)
=
1
2ρg
( L
2g s
2 + 16μL
ρgD2 s + 1)
H ′(s)
P ′(s)
=
K
τ 2s2 + 2ζτs + 1
K =
1
2ρg
18/08/2026, 20:43 Comportamento dinâmico de sistemas de 1ª e 2ª ordem
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Eq. 151
Substituindo os valores numéricos fornecidos nas Eqs. 149, 150 e 151,
temos:
Eq. 152
Eq. 153
Eq. 154
Substituindo as Eqs. 152, 153 e 154 na Eq. 148, temos a função de
transferência para esse processo na forma padrão. Observe!
Eq. 155
Nesse processo, a variável de entrada é a pressão estática oferecida
pelo escoamento do líquido na tubulação, enquanto a variável de saída é
o desnível do fluido manométrico medido no manômetro.
Esse manômetro em U foi instalado em uma linha de processo visando
medir a pressão do escoamento de um reagente líquido. Inicialmente, a
medição está em estado estacionário indicando um desnível de 0,05 m
para uma pressão de Repentinamente, a pressão aumenta para
 e mantida lá.
τ 2 =
L
2g
2ζτ =
16μL
ρgD2
K =
1
2ρg
=
1
2 ⋅ 13600 ⋅ 9, 81
= 3, 7477 ⋅ 10−6 m
3
N
= 3, 7477 ⋅ 10−6 m
Pa
τ =√ L
2g
=√ 0, 2
2.9, 81
= 0, 101 segundos 
ζ =
16μL
2τρgD2
=
8μL
τρgD2
=
8 ⋅ 1, 55 ⋅ 10−3 ⋅ 0, 2
0, 101 ⋅ 9, 81 ⋅ 13600 ⋅ (0, 0022)
= 0, 046
H ′(s)
P ′(s)
=
3, 7477 ⋅ 10−6
0, 01020s2 + 0, 009292s + 1
200kPa.
220kPa
18/08/2026, 20:43 Comportamento dinâmico de sistemas de 1ª e 2ª ordem
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Vamos obter uma expressão para a variação do nível do fluido
manométrico no domínio do tempo.
Como o processo é subamortecido, uma vez que a variação
de nível desse manômetro no domínio de tempo é dada pela seguinte
expressão:
Eq. 156
Mas a variável desvio é escrita do seguinte modo:
Eq. 157
Substituindo a Eq. 146 na Eq. 157 e isolando temos:
Eq. 158
A magnitude do degrau sofrido na entrada é dada pela diferença do
nível no novo estado estacionário e no início da perturbação, conforme
esta equação:
Eq. 159
Substituindo os valores numéricos na Eq. 158, temos:
Eq. 159
ζ = 0, 046,
h′(t) = kM {1 − e−ζt/τ [cos(
√1 − ζ 2
τ
t)]+
ζ
√1 − ζ 2
[sen(
√1 − ζ 2
τ
t)]}
h′(t) = h(t) − h
–
h(t),
h(t) = h + kM {1 − e−ζt/τ [cos(
√1 − ζ 2
τ
t)]+
ζ
√1 − ζ 2
⌈sen(
√1 − ζ 2
τ
t)]}–
M
M = 220 − 200 = 20kPa = 20 ⋅ 103Pa
h(t) = 0, 05 + 3, 7477 ⋅ 10−6 ⋅ 20 ⋅ 103 1 − e−0,046t/0,101 cos
√1 − 0, 0462
0, 101
t
+
0, 046
√1 − 0, 0462
sen
√1 − 0, 0462
0, 101
t
⎧⎪⎨⎪⎩ ⎡⎢⎣ ⎛⎜⎝ ⎞⎟⎠⎤⎥⎦⎡⎢⎣ ⎛⎜⎝ ⎞⎟⎠⎤⎥⎦⎫⎪⎬⎪⎭18/08/2026, 20:43 Comportamento dinâmico de sistemas de 1ª e 2ª ordem
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Eq. 160
Eq. 161
Passados 4 segundos após a perturbação, qual será a medida indicada
no manômetro? Aplicando na Eq. 161, temos:
Eq. 162
Eq. 163
Veja agora a variação de nível em função do tempo para esse sistema
de 2ª ordem subamortecido:
Representação da resposta em processo subamortecido no manômetro em U.
Observe que, após a perturbação ser inserida no processo, demorará
cerca de 10 segundos para ocorrer uma estabilização em torno de um
valor médio no nível do fluido manométrico.
Mão na massa
Questão 1
Considere o modelo dinâmico descrito na equação A:
h(t) = 0, 05 + 0, 07495 {1 − [cos(0, 989t)e−0,4554t] + [0, 046 sen(0, 989t)]}
h(t) = 0, 1249 − 0, 07495 cos(0, 989t)e−0,4554t + 0, 00345 sen(0, 989t)
h(4) = 0, 1249 − 0, 07495 cos(0, 989 ⋅ 4)e−0,4554⋅4 + 0, 00345 sen(0, 989 ⋅ 4)
h(4) = 0, 13m
h

d2y
d2
+ J
dy
dt
+ 4y = u
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Qual alternativa apresenta a função de transferência na forma
padrão para esse processo considerando todas as condições
iniciais para y e suas derivadas como zero?
Parabéns! A alternativa B está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no
campo Preparação.
Questão 2
Uma mudança degrau de 15 a 31 psi na pressão real resulta na
resposta medida de um elemento indicador de pressão conforme
ilustrado a seguir.
O processo é controlado por um modelo de ordem conforme
apresentado na equação 
A
Y (s)
U(s) = 1/2
[( 1
2 )2
s2−2( J
4 )( 1
4 )s+1]
B
Y (s)
U(s) =
1
2
[( 1
2 )2
s2+2( J
4 )( 1
4 )s+1]
C
Y (s)
U(s) =
1
2
⌈( 1
2 )2
s2+( J
4 )( 1
4 )s+1]
D
Y (s)
U(s) =
1
2
[( 1
2 )2
s2−( J
4 )( 1
4 )s+1⌉
E
Y (s)
U(s) = 1/2
⌈( 1
2 )2
s2+2( J
4 )( 1
4 )s+2⌉
2ϱ
A :
R′(s)
P ′(s)
=
K
τ 2s2 + 2ζτs + 1
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Em que é o desvio de saída do instrumento e é o
desvio de pressão real, em psi. Qual alternativa apresenta,
corretamente, os valores de , e para essa função de
transferência, respectivamente?
Parabéns! A alternativa D está correta.
Confira a resolução da questão no vídeo a seguir.
Questão 3
Um processo de aquecimento elétrico é conhecido por exibir uma
dinâmica de 2ª ordem com os seguintes parâmetros:
,7. Se o processo inicialmente
está em estado estacionário a com a entrada do aquecedor
em e a entrada do aquecedor é repentinamente alterada
para e mantida lá, qual será a expressão para a temperatura
do processo em função do tempo?
R′ (mm) P ′
K τ ζ
A K = 0, 2mm/psi τ = 0, 356s ζ = 0, 334
B K = 0, 5mm/psi τ = 0, 256s ζ = 0, 234
C K = 0, 1mm/psi τ = 0, 356s ζ = 0, 234
D K = 0, 2mm/psi τ = 0, 356s ζ = 0, 234
E K = 0, 3mm/psi τ = 0, 356s ζ = 0, 334
K = 3∘C/kW , τ = 3 min, ζ = 0
70∘C
20kW
26kW
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Parabéns! A alternativa C está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no
campo Preparação.
Questão 4
Um tanque é utilizado para amortecer picos de vazão de líquido,
sendo esse tipo de processo conhecido por exibir uma dinâmica de
2ª ordem. Em um dado instante, a vazão volumétrica na entrada do
tanque muda repentinamente de 120 para 140 galões por minuto.
Um operador observa que o nível do tanque muda da seguinte
forma:
Antes da perturbação: 6 pés e estado estacionário.
Quatro minutos depois da perturbação: 11 pés.
Quarenta minutos depois da perturbação: 10 pés e estado
estacionário.
Qual a expressão que apresenta o tempo para o primeiro pico da
oscilação da variável resposta se o processo é subamortecido?
A T (t) = 70 + 18{1 + e−7t/30 [cos( √51
3 t)]+ 7√5
51
B T (t) = 70 − 18{1 − e−7t/30 [cos( √51
3 t)]+ 7√5
51
C T (t) = 70 + 18{1 − e−7t/30 [cos( √51
3 t)]+ 7√5
51
D T (t) = 70 + 18{1 − e−7t/30 [cos( √61
3 t)]+ 7√6
61
E T (t) = 70 + 18{1 − e−7t/30 [cos( √71
3 t)]+ 7√71
71
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Parabéns! A alternativa D está correta.
Confira a resolução da questão no vídeo a seguir.
Questão 5
Um processo tem a seguinte função de transferência:
A constante de amortecimento é
A tp = 2πτ
√1+ζ 2
B tp = 2πτ
√1−ζ 2
C tp = πτ
√ 1+ζ2
πτ
D tp = πτ
√1−ζ 2
E tp = τ
√1−ζ 2
Y (s)
U(s)
=
2
s2 + s + 1
ζ
A 0,5.
B 0,6.
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Parabéns! A alternativa A está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no
campo Preparação.
Questão 6
Um processo tem a seguinte função de transferência:
A constante de tempo é
Parabéns! A alternativa E está correta.
C 0,7.
D 0,8.
E 0,9.
Y (s)
U(s)
=
6
4s2 + s + 1
τ
A 0,2.
B 0,5.
C 1,0.
D 1,5.
E 2,0.
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Veja o feedbackcompleto no Solucionário disponibilizado no
campo Preparação.
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
No gráfico a seguir, está disposto um processo de 2ª ordem
subamortecido. Esse gráfico apresenta a variação da resposta y em
função do tempo de processo.
Com base nas informações do gráfico, a taxa de decaimento e o
overshoot desse processo são, respectivamente
Parabéns! A alternativa B está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no
campo Preparação.
Questão 2
A 0,1 e 0,216.
B 0,1 e 0,316.
C 0,2 e 0,216.
D 0,2 e 0,316.
E 0,3 e 0,316.
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Um processo tem a seguinte função de transferência:
A constante de tempo é
Parabéns! A alternativa D está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no
campo Preparação.
Considerações finais
As funções de transferência permitem relacionar de forma intuitiva o
efeito das variáveis de entrada nas variáveis de resposta. Tendo em
vista esse princípio, é possível classificar os processos no domínio de
Laplace em função da ordem.
Y (s)
U(s)
=
4
8s2 + s + 1
τ
A 1,28.
B 1,88.
C 2,53.
D 2,83.
E 3,13.
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Vimos que os sistemas de 1ª ordem são obtidos a partir de processos
modelados por equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem, os quais
podem estar submetidos a diferentes tipos de entrada, como a degrau e
a senoidal.
Estudamos também os sistemas de 2ª ordem, nos quais há o efeito do
amortecimento na variável resposta, podendo o sistema ser
superamortecido, criticamente amortecido, subamortecido e instável.
Podcast
Para encerrar, ouça uma entrevista sobre o que são sistemas dinâmicos
de 1ª e 2ª ordem.

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Confira as indicações que separamos especialmente para você!
Leia o artigo: Construção e estudos de perfomance de um reator
fotoquímico tipo CPC ("Compound Parabolic Concentrator"), de Edward
Thomas Fleury Mendonça Duarte e outros autores e entenda mais o uso
dos reatores químicos.
Nem todas as funções de transferência são de 1ª ou 2ª ordem. Por
exemplo, equações diferenciais de alta ordem podem fornecer funções
de transferência com ordem fracionária e ordem incerta. No entanto, no
artigo Design and real-time implementation of a robust fractional
second-order sliding mode control for an electromechanical system
comprising uncertainties and disturbances, o autor, Necdet Sinan
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Özbek, apresenta um método de aplicação para modelar sistemas de 2ª
ordem incertos. Não deixe de conferir!
Referências
GREEN, D. W.; SOUTHARD, M. Z. Perry's chemical engineers' handbook.
[s.l.]: McGraw-Hill Education, 2019.
LUYBEN, W. L. Process modeling, simulation, and control for chemical
engineering. [s.l.]: McGraw-Hill, 1990.
MACIEJOWSKI, J. M. Predictive control with constraints. [s.l.]: Prentice
Hall, 2002.
NUNES, G. C.; DE MEDEIROS, J. L.; ARAÚJO, O. D. Q. F. Modelagem e
controle da produção de petróleo: aplicações em Matlab. [s.l.]: Editora
Blucher, 2010.
RAWLINGS, J. B., MAYNE, D. Q. Model predictive control: theory and
design. [s.l.]: Nob Hall Publishing, 2009.
ROSSITER, J. A. Model based predictive control - A Practical Approach.
[s.l.]: CRC Press, 2003.
SEBORG, D. E.; EDGAR, T. F., MELLICHAMP; D. A.; DOYLE III, F. J. Process
dynamics and control. [s.l.]: John Wiley & Sons, 2016
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