Raciocínio Lógico ACS Serra

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 Ló
gi
co
Prefeitura de Serra - ES
Agente Comunitário de Saúde (ACS)
Raciocínio Lógico
entender a estrutura lógica de relações arbitrárias entre pessoas, lugares, coisas ou 
eventos fictícios; deduzir novas informações das relações fornecidas, e avaliar as con-
dições usadas para estabelecer a estrutura daquelas relações; estruturas lógicas; lógi-
ca de argumentação; diagramas lógicos ...................................................................... 1
álgebra.......................................................................................................................... 22
geometria básica .......................................................................................................... 44
princípios de contagem ................................................................................................ 53
probabilidade ................................................................................................................ 56
Exercícios ..................................................................................................................... 58
Gabarito ........................................................................................................................ 67
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entender a estrutura lógica de relações arbitrárias entre pessoas, lugares, coisas ou 
eventos fictícios; deduzir novas informações das relações fornecidas, e avaliar as con-
dições usadas para estabelecer a estrutura daquelas relações; estruturas lógicas; lógica 
de argumentação; diagramas lógicos
VISÃO SISTEMICA
- Deduzir novas informações das relações fornecidas e avaliar as condições usadas para estabelecer a es-
trutura daquelas relações; 
- Visa avaliar a habilidade do candidato em entender a estrutura lógica das relações arbitrárias entre pesso-
as, lugares, coisas, eventos fictícios; 
- Visa também avaliar se o candidato identifica as regularidades de uma sequência, numérica ou figural, de 
modo a indicar qual e o elemento de uma dada posição; 
- Compreensão do processo lógico que, a partir de um conjunto de hipóteses, conduz, de forma valida, a 
conclusões determinadas.
Pode-se afirmar que só para analisar o edital, tem-se um primeiro “susto”, o candidato não entende o que 
vai cair. Alguns perguntam se tem matéria para estudar, outros qual é a matéria. Observe que vai cair na prova 
conhecimentos do candidato se o mesmo entende a estrutura lógica de relações arbitrárias entre pessoas, lu-
gares, coisas, ou eventos fictícios.
Entende-se por estruturas lógicas as que são formadas pela presença de proposições ou sentenças lógicas 
(são aquelas frases que apresentam sentido completo, como por exemplo: Homero é culpado). 
Observe que a estrutura lógica vai ligar relações arbitrárias e, neste caso, nada deverá ser levado para a 
prova a não ser os conhecimentos de Lógica propriamente dito, os candidatos muitas vezes caem em erros 
como:
Se Ana foi à praia então Paulo foi pescar, ora eu sou muito amigo de uma Ana e de um Paulo e ambos de-
testam ir à praia ou mesmo pescar, auto induzindo respostas absurdas. 
Dessa forma, as relações são arbitrárias, ou seja, não importa se você conhece Ana, Homero ou Paulo. 
Não importa o seu conhecimento sobre as proposições que formam a frase, na realidade pouco importam se as 
proposições são verdadeiras ou falsas. 
Queremos dizer que o seu conhecimento sobre a frase deverá ser arbitrário, vamos ver através de outro 
exemplo:
Todo cavalo é um animal azul
Todo animal azul é árvore
Logo Todo cavalo é árvore
Observe que podemos dizer que se tem acima um argumento lógico, formado por três proposições cate-
góricas (estas têm a presença das palavras Todo, Algum e Nenhum), as duas primeiras serão denominadas 
premissas e a terceira é a conclusão. 
Observe que as três proposições são totalmente falsas, mas é possível comprovar que a conclusão é uma 
consequência lógica das premissas, ou seja, que se considerar as premissas como verdadeiras, a conclusão 
será, por consequência, verdadeira, e este argumento será considerado válido logicamente. 
A arbitrariedade é tanta que na hora da prova pode ser interessante substituir as proposições por letras, 
veja:
Todo A é B
Todo B é C
Logo Todo A é C
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A arbitrariedade ainda se relaciona às pessoas, lugares, coisas, ou eventos fictícios. Cobra-se no edital o 
ato de deduzir novas informações das relações fornecidas, ou seja, o aspecto da Dedução Lógica poderá ser 
cobrado de forma a resolver as questões.
Caro aluno, elaborar estratégia para inteirar-se sobre Raciocínio Lógico e uma visão sistêmica na hora de 
resolver uma questão é de suma importância para se obter o sucesso e acertar.
Nestes tipos de questões, envolvem-se interpretação de texto e todo o conhecimento em Raciocínio Lógico, 
haja vista que o objetivo é testar as habilidades de raciocínio dos candidatos, assim sendo, estude os seguintes 
tópicos:
PRINCÍPIO DA REGRESSÃO 
Este princípio tem como objetivo resolver determinados problemas de forma não algébrica, mas utilizando 
uma técnica baseada em raciocínio lógico, conhecida como princípio da regressão ou reversão.
Esta técnica consiste em determinar um valor inicial pedido pelo problema a partir de um valor final dado. 
Utiliza-se para resolução dos problemas as operações matemáticas básicas com suas respectivas reversões.
- Fundamento da regressão
Utilizando as quatro operações fundamentais, podemos obter uma construção quantitativa lógica 
fundamentada no princípio da regressão, cujo objetivo é obter o valor inicial do problema proposto através da 
operação inversa.
Soma ↔ a regressão é feita pela subtração.
Subtração ↔ a regressão é feita pela soma.
Multiplicação ↔ a regressão é feita pela 
divisão.
Divisão ↔ a regressão é feita pela 
multiplicação.
Veja os exemplos abaixo:
1 – Uma pessoa gasta metade do seu capital mais R$ 10,00, ficando sem capital algum. Quanto ela possuía 
inicialmente?
Solução:
No problema acima, a pessoa gastou em dinheiro (– R$ 10,00), ou seja, houve uma perda. Pelo princípio 
da regressão, iremos supor que ele recuperará o dinheiro, para que possamos chegar à situação inicial (+ 
R$ 10,00). Posteriormente, ele gasta metade do seu capital (÷2). Para voltarmos a situação inicial devemos 
multiplicar por 2 o valor em dinheiro que ele possuía. Logo, 2 × R $10,00 = R$ 20,00.
2 – Um indivíduo fez uma promessa a São Sebastião, se este dobrar o seu dinheiro, ele doará R$ 20,00 para 
a igreja, no final da 3º dobra, nada mais lhe restara, quanto possuía o indivíduo inicialmente?
(A) 14,50
(B) 15,50
(C) 16,50
(D) 17,50
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(E) 18,50
Solução:
a) Solução Algébrica
Valor que possuía inicialmente: x
1º dobra: 2x – 20
2° dobra: 2(2x – 20) – 20
3° dobra: 2[2(2x – 20) – 20] – 20 = 0
Resolvendo a equação encontramos x = 17,50
Resposta: Inicialmente o indivíduo possui R$17,50
b) Solução pelo método da regressão
Pelo método da regressão, vamos abordar o problema do final para o início, ou seja, partiremos do passo 
IV até o passo I.
IV) Se no final restou 0, significa que todo o dinheiro foi doado.
III) No terceiro passo, ele dobrou o capital que tinha e deu 20 reais para a igreja, fazendo a regressão, 
podemos dizer se ele deu 20 reais para a igreja (representar – 20), então, ele os possuía inicialmente 20 
(representar +20). Como ele dobrou o capital, temos agora que reduzi-lo a metade (20 ÷ 2) = 10. Conclusão: 
na terceira etapa ele possuía 10 reais, que dobrados originaram 20 reais. Como doou 20 reais, ficou com nada 
no quarto passo.
II) No segundo passo, ele já possuía 10 reais, mas doou 20 para a igreja (-20) e ao recuperá-lo ficou com 
10 + 20 = 30. Como ele dobrou o capital, temos agora que reduzi-lo a metade (30 ÷ 2) = 15. Conclusão: na 
segunda etapa ele possuía 15 reais, que dobrados originaramum ângulo do triângulo que liga um vérti-
ce a um ponto do lado oposto.
Na figura, é uma bissetriz interna do .
Um triângulo tem três bissetrizes internas.
Altura de um triângulo é o segmento que liga um vértice a um ponto da reta suporte do lado oposto e é 
perpendicular a esse lado.
Na figura, é uma altura do .
Um triângulo tem três alturas.
Mediatriz de um segmento de reta é a reta perpendicular a esse segmento pelo seu ponto médio.
Na figura, a reta m é a mediatriz de .
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Mediatriz de um triângulo é uma reta do plano do triângulo que é mediatriz de um dos lados desse triân-
gulo.
Na figura, a reta m é a mediatriz do lado do .
Um triângulo tem três mediatrizes.
Classificação
Quanto aos lados
Triângulo escaleno: três lados desiguais.
Triângulo isósceles: Pelo menos dois lados iguais.
Triângulo equilátero: três lados iguais.
Quanto aos ângulos
Triângulo acutângulo: tem os três ângulos agudos
Triângulo retângulo: tem um ângulo reto
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Triângulo obtusângulo: tem um ângulo obtuso
Desigualdade entre Lados e ângulos dos triângulos
Num triângulo o comprimento de qualquer lado é menor que a soma dos outros dois. Em qualquer triângulo, 
ao maior ângulo opõe-se o maior lado, e vice-versa.
QUADRILÁTEROS
Quadrilátero é todo polígono com as seguintes propriedades:
- Tem 4 lados.
- Tem 2 diagonais.
- A soma dos ângulos internos Si = 360º
- A soma dos ângulos externos Se = 360º
Trapézio: É todo quadrilátero tem dois paralelos.
- é paralelo a 
- Losango: 4 lados congruentes
- Retângulo: 4 ângulos retos (90 graus)
- Quadrado: 4 lados congruentes e 4 ângulos retos.
Observações:
- No retângulo e no quadrado as diagonais são congruentes (iguais)
- No losango e no quadrado as diagonais são perpendiculares entre si (formam ângulo de 90°) e são bisse-
trizes dos ângulos internos (dividem os ângulos ao meio).
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Áreas
1- Trapézio: , onde B é a medida da base maior, b é a medida da base menor e h é medida da altura.
2 - Paralelogramo: A = b.h, onde b é a medida da base e h é a medida da altura.
3 - Retângulo: A = b.h
4 - Losango: , onde D é a medida da diagonal maior e d é a medida da diagonal menor.
5 - Quadrado: A = l2, onde l é a medida do lado.
POLÍGONOS
Chama-se polígono a união de segmentos que são chamados lados do polígono, enquanto os pontos são 
chamados vértices do polígono.
Diagonal de um polígono é um segmento cujas extremidades são vértices não-consecutivos desse polígono.
Número de Diagonais
Ângulos Internos
A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados é (n-2).180
Unindo um dos vértices aos outros n-3, convenientemente escolhidos, obteremos n-2 triângulos. A soma das 
medidas dos ângulos internos do polígono é igual à soma das medidas dos ângulos internos dos n-2 triângulos.
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Ângulos Externos
A soma dos ângulos externos=360°
TEOREMA DE TALES
Se um feixe de retas paralelas tem duas transversais, então a razão de dois segmentos quaisquer de uma 
transversal é igual à razão dos segmentos correspondentes da outra.
Dada a figura anterior, O Teorema de Tales afirma que são válidas as seguintes proporções:
Exemplo
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, os seus ângulos internos tiverem, respectivamente, as 
mesmas medidas, e os lados correspondentes forem proporcionais.
Casos de Semelhança
1º Caso: AA(ângulo - ângulo)
Se dois triângulos têm dois ângulos congruentes de vértices correspondentes, então esses triângulos são 
congruentes.
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2º Caso: LAL(lado-ângulo-lado)
Se dois triângulos têm dois lados correspondentes proporcionais e os ângulos compreendidos entre eles 
congruentes, então esses dois triângulos são semelhantes.
3º Caso: LLL (lado - lado - lado)
Se dois triângulos têm os três lado correspondentes proporcionais, então esses dois triângulos são seme-
lhantes.
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
Considerando o triângulo retângulo ABC.
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Temos:
FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS
Relação Fundamental
Existe uma outra importante relação entre seno e cosseno de um ângulo. Considere o triângulo retângulo 
ABC.
Neste triângulo, temos que: c²=a²+b²
Dividindo os membros por c²
Como
Todo triângulo que tem um ângulo reto é denominado triangulo retângulo.
O triângulo ABC é retângulo em A e seus elementos são:
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a: hipotenusa
b e c: catetos
h: altura relativa à hipotenusa
m e n: projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa
RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
Chamamos relações métricas as relações existentes entre os diversos segmentos desse triângulo. Assim:
1. O quadrado de um cateto é igual ao produto da hipotenusa pela projeção desse cateto sobre a hipotenu-
sa.
2. O produto dos catetos é igual ao produto da hipotenusa pela altura relativa à hipotenusa.
3. O quadrado da altura é igual ao produto das projeções dos catetos sobre a hipotenusa.
4. O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos (Teorema de Pitágoras).
POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS
Duas retas no espaço podem pertencer a um mesmo plano. Nesse caso são chamadas retas coplanares. 
Podem também não estar no mesmo plano. Nesse caso, são denominadas retas reversas.
Retas Coplanares
a) Concorrentes: r e s têm um único ponto comum
-Duas retas concorrentes podem ser:
1. Perpendiculares: r e s formam ângulo reto.
2. Oblíquas: r e s não são perpendiculares.
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b) Paralelas: r e s não têm ponto comum ou r e s são coincidentes.
princípios de contagem
Análise Combinatória
A Análise Combinatória é a área da Matemática que trata dos problemas de contagem.
Princípio Fundamental da Contagem
Estabelece o número de maneiras distintas de ocorrência de um evento composto de duas ou mais etapas.
Se uma decisão E1 pode ser tomada de n1 modos e, a decisão E2 pode ser tomada de n2 modos, então o 
número de maneiras de se tomarem as decisões E1 e E2 é n1.n2.
Exemplo
O número de maneiras diferentes de se vestir é:2(calças). 3(blusas)=6 maneiras
Fatorial
É comum nos problemas de contagem, calcularmos o produto de uma multiplicação cujos fatores são nú-
meros naturais consecutivos. Para facilitar adotamos o fatorial.
n! = n(n - 1)(n - 2)... 3 . 2 . 1, (n ϵ N)
Arranjo Simples
Denomina-se arranjo simples dos n elementos de E, p a p, toda sequência de p elementos distintos de E.
Exemplo
Usando somente algarismos 5, 6 e 7. Quantos números de 2 algarismos distintos podemos formar?
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Observe que os números obtidos diferem entre si:
Pela ordem dos elementos: 56 e 65
Pelos elementos componentes: 56 e 67
Cada número assim obtido é denominado arranjo simples dos 3 elementos tomados 2 a 2.
Indica-se A3,2
Permutação Simples
Chama-se permutação simples dos n elementos, qualquer agrupamento(sequência) de n elementos distin-
tos de E.
O número de permutações simples de n elementos é indicado por Pn.
Pn = n!
Exemplo
Quantos anagramas tem a palavra CHUVEIRO?
Solução
A palavra tem 8 letras, portanto:
P8 = 8! = 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 40320
Permutação com elementos repetidos
De modo geral, o número de permutações de n objetos, dos quais n1 são iguais a A, n2 são iguais a B, n3 
são iguais a C etc.
Exemplo
Quantos anagramas tem a palavra PARALELEPÍPEDO?
Solução
Se todos as letras fossem distintas, teríamos 14! Permutações. Como temos uma letra repetida, esse nú-
mero será menor.
Temos 3P, 2A, 2L e 3 E
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Combinação Simples
Dado o conjunto {a1, a2, ..., an} com n objetos distintos, podemos formar subconjuntos com p elementos. 
Cada subconjunto com i elementos é chamado combinação simples.
Exemplo
Calcule o número de comissões compostas de 3 alunos que podemos formar a partir de um grupo de 5 
alunos.
Solução
Números Binomiais
O número de combinações de n elementos, tomados p a p, também é representado pelo número binomial 
.
Binomiais Complementares
Dois binomiais de mesmo numerador em que a soma dos denominadores é igual ao numerador são iguais:
Relação de Stifel
Triângulo de Pascal
LINHA 0 1
LINHA 1 1 1
LINHA 2 1 2 1
LINHA 3 1 3 3 1
LINHA 4 1 4 6 4 1
LINHA 5 1 5 10 10 5 1
LINHA 6 1 6 15 20 15 6 1
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Binômio de Newton
Denomina-se binômio de Newton todo binômio da forma (a + b)n, com n ϵ N. Vamos desenvolver alguns 
binômios:
n = 0 → (a + b)0 = 1
n = 1 → (a + b)1 = 1a + 1b
n = 2 → (a + b)2 = 1a2 + 2ab +1b2
n = 3 → (a + b)3 = 1a3 + 3a2b +3ab2 + b3
Observe que os coeficientes dos termos formam o triângulo de Pascal.
probabilidade
Experimento Aleatório
Qualquer experiência ou ensaio cujo resultado é imprevisível, por depender exclusivamente do acaso, por 
exemplo, o lançamento de um dado.
Espaço Amostral
Num experimento aleatório, o conjunto de todos os resultados possíveis é chamado espaço amostral, que 
se indica por E.
No lançamento de um dado, observando a face voltada para cima, tem-se:
E={1,2,3,4,5,6}
No lançamento de uma moeda, observando a face voltada para cima:
E={Ca,Co}
Evento
É qualquer subconjunto de um espaço amostral.
No lançamento de um dado, vimos que
E={1,2,3,4,5,6} 
Esperando ocorrer o número 5, tem-se o evento {5}: Ocorrer um número par, tem-se {2,4,6}.
Exemplo
Considere o seguinte experimento: registrar as faces voltadas para cima em três lançamentos de uma mo-
eda.
a) Quantos elementos tem o espaço amostral?
b) Descreva o espaço amostral.
Solução
a) O espaço amostral tem 8 elementos, pois cada lançamento, há duas possibilidades.
2x2x2=8
b)
E={(C,C,C), (C,C,R),(C,R,C),(R,C,C),(R,R,C),(R,C,R),(C,R,R),(R,R,R)}
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Probabilidade
Considere um experimento aleatório de espaço amostral E com n(E) amostras equiprováveis. Seja A um 
evento com n(A) amostras.
Eventos complementares
Seja E um espaço amostral finito e não vazio, e seja A um evento de E. Chama-se complementar de A, e indi-
ca-se por , o evento formado por todos os elementos de E que não pertencem a A.
Note que 
Exemplo
Uma bola é retirada de uma urna que contém bolas coloridas. Sabe-se que a probabilidade de ter sido retira-
da uma bola vermelha é .Calcular a probabilidade de ter sido retirada uma bola que não seja vermelha.
Solução
São complementares.
Adição de probabilidades
Sejam A e B dois eventos de um espaço amostral E, finito e não vazio. Tem-se:
Exemplo
No lançamento de um dado, qual é a probabilidade de se obter um número par ou menor que 5, na face 
superior?
Solução
E={1,2,3,4,5,6} n(E)=6
Sejam os eventos 
A={2,4,6} n(A)=3 
B={1,2,3,4} n(B)=4
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Probabilidade Condicional
É a probabilidade de ocorrer o evento A dado que ocorreu o evento B, definido por:
E={1,2,3,4,5,6}, n(E)=6
B={2,4,6} n(B)=3
A={2}
Eventos Simultâneos
Considerando dois eventos, A e B, de um mesmo espaço amostral, a probabilidade de ocorrer A e B é dada 
por:
Exercícios
1. (SENAI) O sr. Altair deu muita sorte em um programa de capitalização bancário. Inicialmente, ele 
apresentava um saldo devedor X no banco, mas resolveu depositar 500 reais, o que cobriu sua dívida e ainda 
lhe sobrou uma certa quantia A. Essa quantia A, ele resolveu aplicar no programa e ganhou quatro vezes mais 
do que tinha, ficando então com uma quantia B. Uma segunda vez, o sr. Altair resolveu aplicar no programa, 
agora a quantia B que possuía, e novamente saiu contente, ganhou três vezes o valor investido. Ao final, ele 
passou de devedor para credor de um valor de R$ 3 600,00 no banco. Qual era o saldo inicial X do sr. Altair?
(A) -R$ 350,00.
(B) -R$ 300,00.
(C) -R$ 200,00.
(D) -R$ 150,00.
(E) -R$ 100,00.
 
2. (IBGE – 2022) Sabendo que o valor lógico da proposição simples p: “Carlos acompanhou o trabalho da 
equipe” é verdadeira e que o valor lógico da proposição simples q: “O recenseador visitou todos os locais” é 
falso, então é correto afirmar que o valor lógico da proposição composta:
(A) p disjunção q é falso
(B) p conjunção q é falso
(C) p condicional q é verdade
(D) p bicondicional q é verdade
(E) p disjunção exclusiva q é falso
 
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3. (MPU – 1996) Se Ana não é advogada, então Sandra é secretária. Se Ana é advogada, então Paula não 
é professora. Ora, Paula é professora. Portanto:
(A) Ana é advogada
(B) Sandra é secretária
(C) Ana é advogada, ou Paula não é professora
(D) Ana é advogada, e Paula é professora
(E) Ana não é advogada e Sandra não é secretária
 
4. (TRT- 9ª REGIÃO/PR – TÉCNICO JUDICIÁRIO – ÁREA ADMINISTRATIVA – FCC) Luiz, Arnaldo, 
Mariana e Paulo viajaram em janeiro, todos para diferentes cidades, que foram Fortaleza, Goiânia, Curitiba e 
Salvador. Com relação às cidades para onde eles viajaram, sabe-se que:
− Luiz e Arnaldo não viajaram para Salvador;
− Mariana viajou para Curitiba;
− Paulo não viajou para Goiânia;
− Luiz não viajou para Fortaleza.
É correto concluir que, em janeiro,
(A) Paulo viajou para Fortaleza.
(B) Luiz viajou para Goiânia.
(C) Arnaldo viajou para Goiânia.
(D) Mariana viajou para Salvador.
(E) Luiz viajou para Curitiba.
 
5. (BANCO DO BRASIL – 2008) Se a proposição “Algum banco lucra mais no Brasil que nos EUA” tiver 
valor lógico V, a proposição “Se todos os bancos lucram mais nos EUA que no Brasil, então os correntistas tem 
melhores serviços lá do que aqui” será F.
( ) CERTO
( ) ERRADO
 
6. O diagrama abaixo representa no universo dos adolescentes os indivíduos que possuem carteira nacional 
de habilitação, ensino médio completo e passaporte. 
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A alternativa que representa os indivíduos correspondentes às regiões sombreadas é:
Alternativas
(A) Os adolescentes que possuem carteira nacional de habilitação, ensino médio completo e passaporte.
(B) Os adolescentes que possuem carteira nacional de habilitação, ensino médio completo ou passaporte.
(C) Os adolescentes que possuem carteira nacional de habilitação e ensino médio completo, mas não pos-
suem passaporte.
(D) Os adolescentes que possuem somente carteira nacional de habilitação ou somente ensino médio com-
pleto ou somente passaporte.
(E) Os adolescentes que possuem somente carteira nacional de habilitação ou somente ensino médio com-
pleto, mas não possuem passaporte.
 
7. Uma área em uma universidade dispõe de 100 professores. Os professores são mestres ou doutores, 
contratados em regime de dedicação exclusiva ou parcial. Atualmente existem 35 professores com dedicação 
exclusiva, 40 doutores em regime parcial e 45 mestres. Quantos são os doutores com dedicação exclusiva?
Alternativas
(A) 55
(B) 65
(C) 60
(D) 15
(E) 40
 
8. Em uma pesquisa sobre transporte, uma empresa verificou que seus 140 funcionários (80 homens e 60 
mulheres) são proprietários de 160 carros. De acordo com esses dados, é necessariamente correto que
Alternativas
(A) ao menos uma funcionária mulher é proprietária de carro.
(B) ao menos um funcionário da empresa possui mais do que um carro.
(C) ao menos 20 funcionários da empresa possuem mais do que um carro.
(D) cada funcionário homem possui, no máximo, dois carros.
(E) há algum funcionário que não possui carro.
 
9. (IPRESB/SP - ANALISTA DE PROCESSOS PREVIDENCIÁRIOS- VUNESP/2017) Um terreno retan-
gular ABCD, com 40 m de largura por 60 m de comprimento, foi divididoem três lotes, conforme mostra a figura.
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Sabendo-se que EF = 36 m e que a área do lote 1 é 864 m², o perímetro do lote 2 é
(A) 100 m.
(B) 108 m.
(C) 112 m.
(D) 116 m.
(E) 120 m.
 
10. (TJ/RS - TÉCNICO JUDICIÁRIO – FAURGS/2017) Considere um triângulo retângulo de catetos me-
dindo 3m e 5m. Um segundo triângulo retângulo, semelhante ao primeiro, cuja área é o dobro da área do pri-
meiro, terá como medidas dos catetos, em metros: 
(A) 3 e 10. 
(B) 3√2 e 5√2 . 
(C) 3√2 e 10√2 . 
(D)5 e 6. 
(E) 6 e 10.
 
11. (TJ/RS - TÉCNICO JUDICIÁRIO – FAURGS/2017) Na figura abaixo, encontra-se representada uma 
cinta esticada passando em torno de três discos de mesmo diâmetro e tangentes entre si.
Considerando que o diâmetro de cada disco é 8, o comprimento da cinta acima representada é 
(A) 8/3 π + 8 . 
(B) 8/3 π + 24.
(C) 8π + 8 . 
(D) 8π + 24.
(E) 16π + 24.
 
12. (TJ/RS - TÉCNICO JUDICIÁRIO – FAURGS/2017) Na figura abaixo, ABCD é um quadrado de lado 
10; E, F, G e H são pontos médios dos lados do quadrado ABCD e são os centros de quatro círculos tangentes 
entre si.
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A área da região sombreada, da figura acima apresentada, é 
(A)100 - 5π . 
(B) 100 - 10π . 
(C) 100 - 15π . 
(D)100 - 20π . 
(E)100 - 25π .
 
13. (TJ/RS - TÉCNICO JUDICIÁRIO – FAURGS/2017) No cubo de aresta 10, da figura abaixo, encontra-
-se representado um plano passando pelos vértices B e C e pelos pontos P e Q, pontos médios, respectivamen-
te, das arestas EF e HG, gerando o quadrilátero BCQP.
A área do quadrilátero BCQP, da figura acima, é 
(A) 25√5.
(B) 50√2.
(C) 50√5. 
(D)100√2 .
(E) 100√5.
 
14. COMUR DE NOVO HAMBURGO/RS - AGENTE DE ATENDIMENTO E VENDAS - FUNDATEC/2021 
Qual o resultado da equação de primeiro grau 2x - 7 = 28 - 5x?
(A) 3.
(B) 5.
(C) 7.
(D) -4,6.
(E) Não é possível resolver essa equação.
 
15. PREFEITURA DE PEREIRAS/SP - ASSISTENTE SOCIAL - AVANÇA SP/2021
Assinale a alternativa que apresenta o resultado correto para a seguinte equação de primeiro grau:
x + 5 = 20 – 4x
(A) x = 1. 
(B) x = 2. 
(C) x = 3.
(D) x = 4.
(E) x = 5.
 
1821882 E-book gerado especialmente para MARIA JOSILDA SANTOS REIS
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16. PREFEITURA DE IRATI/SC - PROFESSOR DE EDUCAÇÃO FÍSICA - GS ASSESSORIA E 
CONCURSOS/2021 
Analisando a equação do segundo grau x2 − 5x − 6 = 0, podemos afirmar que ela possui:
(A) nenhuma solução.
(B) um número inteiro como solução.
(C) dois números inteiros como solução.
(D) três números inteiros com solução.
(E) nenhuma das respostas anterior.
 
17. PREFEITURA DE MARECHAL CÂNDIDO RONDON/PR - ARQUITETO - INSTITUTO UNIFIL/2021
Considerando a equação do segundo grau {2x2 – 9x + 7 = 0}, assinale a alternativa que representa o 
resultado do produto das raízes desta equação.
(A) 5,0
(B) 4,6
(C) 4,4
(D) 3,5
 
18. MP/SP – AUXILIAR DE PROMOTORIA III – MOTORISTA – ZAMBINI/2016
A forma fatorada da expressão 8y³ + 125 é:
(A) (2y - 5) . (2y² + 25 - 10y)
(B) (2y + 5) . (2y² + 25 - 10y)
(C) (2y + 5) . (4y² - 25 + 10y)
(D) (2y + 5) . (4y² + 25 - 10y)
 
19. (TJ/RS - TÉCNICO JUDICIÁRIO – FAURGS/2017) Uma locadora de automóveis oferece dois planos 
de aluguel de carros a seus clientes:
Plano A: diária a R$ 120,00, com quilometragem livre.
Plano B: diária a R$ 90,00, mais R$ 0,40 por quilômetro rodado.
Alugando um automóvel, nesta locadora, quantos quilômetros precisam ser rodados para que o valor do 
aluguel pelo Plano A seja igual ao valor do aluguel pelo Plano B? 
(A) 30.
(B) 36. 
(C) 48.
(D) 75.
(E) 84.
 
1821882 E-book gerado especialmente para MARIA JOSILDA SANTOS REIS
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20. (TJ/RS - TÉCNICO JUDICIÁRIO – FAURGS/2017) Um vendedor recebe um salário mensal composto 
de um valor fixo de R$ 1.300,00 e de uma parte variável. A parte variável corresponde a uma comissão de 6% 
do valor total de vendas que ele fez durante o mês. O salário mensal desse vendedor pode ser descrito por uma 
expressão algébrica f(x), em função do valor total de vendas mensal, representado por x.
A expressão algébrica f(x) que pode representar o salário mensal desse vendedor é 
(A) f(x) = 0,06x + 1.300.
(B) f(x) = 0,6x + 1.300. 
(C) f(x) = 0,78x + 1.300. 
(D) f(x) = 6x + 1.300. 
(E) f(x) = 7,8x + 1.300.
 
21. (TJ/RS - TÉCNICO JUDICIÁRIO – FAURGS/2017) No sistema de coordenadas cartesianas da figura 
abaixo, encontram-se representados o gráfico da função de segundo grau f, definida por f(x), e o gráfico da 
função de primeiro grau g, definida por g(x).
Os valores de x, soluções da equação f(x)=g(x), são 
(A)-0,5 e 2,5.
(B) -0,5 e 3. 
(C) -1 e 2. 
(D) -1 e 2,5. 
(E) -1 e 3.
 
22. (PETROBRAS - TÉCNICO DE ENFERMAGEM DO TRABALHO JÚNIOR -CESGRANRIO/2017) A 
soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica é dada por 
Quanto vale o quarto termo dessa progressão geométrica?
(A) 1
(B) 3
(C) 27
(D) 39
(E) 40
1821882 E-book gerado especialmente para MARIA JOSILDA SANTOS REIS
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 23. (TJ/RS - TÉCNICO JUDICIÁRIO – FAURGS/2017)Para que a sequência (4x-1 , x² -1, x - 4) forme 
uma progressão aritmética, x pode assumir, dentre as possibilidades abaixo, o valor de 
(A) -0,5.
(B)1,5.
(C) 2.
(D)4.
(E) 6.
 
24. (SAP/SP - AGENTE DE SEGURANÇA PENITENCIÁRIA - MSCONCURSOS/2017) Um aparelho 
de televisão que custa R$1600,00 estava sendo vendido, numa liquidação, com um desconto de 40%. Marta 
queria comprar essa televisão, porém não tinha condições de pagar à vista, e o vendedor propôs que ela desse 
um cheque para 15 dias, pagando 10% de juros sobre o valor da venda na liquidação. Ela aceitou e pagou pela 
televisão o valor de:
(A) R$1120,00 
(B)R$1056,00
(C)R$960,00 
(D) R$864,00
 
25. (TRE/PR – ANALISTA JUDICIÁRIO – FCC/2017) Uma geladeira está sendo vendida nas seguintes 
condições:
− Preço à vista = R$ 1.900,00;
− Condições a prazo = entrada de R$ 500,00 e pagamento de uma parcela de R$ 1.484,00 após 60 dias da 
data da compra.
A taxa de juros simples mensal cobrada na venda a prazo é de 
(A) 1,06% a.m. 
(B) 2,96% a.m. 
(C) 0,53% a.m. 
(D) 3,00% a.m. 
(E) 6,00% a.m.
 
26. (FUNAPEP - ANALISTA EM GESTÃO PREVIDENCIÁRIA-FCC/2017) João emprestou a quantia de 
R$ 23.500,00 a seu filho Roberto. Trataram que Roberto pagaria juros simples de 4% ao ano. Roberto pagou 
esse empréstimo para seu pai após 3 anos. O valor total dos juros pagos por Roberto foi 
(A) 3.410,00. 
(B) R$ 2.820,00. 
(C) R$ 2.640,00. 
(D) R$ 3.120,00. 
(E) R$ 1.880,00.
 
1821882 E-book gerado especialmente para MARIA JOSILDA SANTOS REIS
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27. (UFES - Assistente em Administração – UFES/2017) Uma determinada família é composta por pai, 
por mãe e por seis filhos. Eles possuem um automóvel de oito lugares, sendo que dois lugares estão em dois 
bancos dianteiros, um do motorista e o outro do carona, e os demais lugares em dois bancos traseiros. Eles 
viajarão no automóvel, e o pai e a mãe necessariamente ocuparão um dos dois bancos dianteiros. O número 
de maneiras de dispor os membros da família nos lugares do automóvel é igual a:
(A) 1440
(B) 1480
(C) 1520
(D) 1560
(E) 1600
 
28. (TJ/RS - Técnico Judiciário – FAURGS/2017) Tomando os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7, quantos nú-
meros pares de 4 algarismos distintos podem ser formados? 
(A) 120. 
(B) 210. 
(C) 360. 
(D) 630. 
(E) 840.
 
29. (TJ/RS - TÉCNICO JUDICIÁRIO – FAURGS/2017) Em cada um de dois dados cúbicos idênticos, as 
faces são numeradas de 1 a 6. Lançando os dois dados simultaneamente, cuja ocorrência de cada face é igual-
mente provável, a probabilidade de que o produto dos números obtidos seja um número ímpar é de:
(A) 1/4.
(B) 1/3.
(C) 1/2.
(D) 2/3.
(E) 3/4.
 
30. (SAP/SP - AGENTE DE SEGURANÇA PENITENCIÁRIA - MSCONCURSOS/2017) A uma excur-
são, foram 48 pessoas, entre homens e mulheres. Numa escolha ao acaso, a probabilidade de se sortear um 
homem é de 5/12 . Quantas mulheres foram à excursão? 
(A) 20 
(B) 24 
(C) 28 
(D) 32
1821882 E-book geradoespecialmente para MARIA JOSILDA SANTOS REIS
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Gabarito
1 C
2 B
3 B
4 B
5 CERTO
6 D
7 D
8 B
9 D
10 B
11 D
12 E
13 C
14 B
15 C
16 C
17 D
18 D
19 D
20 A
21 E
22 A
23 B
24 B
1821882 E-book gerado especialmente para MARIA JOSILDA SANTOS REIS30 reais. Como doou 20 reais, ficou com 10 no 
terceiro passo.
I) Inicialmente, ele possuirá os 15 reais mais 20 reais que serão recuperados, ou seja, 35 reais e reduzir o 
capital pela metade (35 ÷ 2) = 17,50.
Resposta: Inicialmente, possuía R$ 17,50.
Gabarito: D
Outros métodos:
2- Tabela verdade e equivalência lógica, negação e validade de um argumento.
3- Regras de Inferência
4- Diagramas de Euller-Venn
O candidato deve ficar atento, após o entendimento da tabela verdade, este deve saber aplicar as regras de 
inferência, diagramas de Venn, equivalência e negação, assim ele verificará que não existe lógica pelas frases 
ou suas interpretações , veja o modelo abaixo( caso 1 e 2 ).
Caso 1: validade de um argumento
Um argumento é válido caso satisfaça duas condições:
I – A proposição 1, a proposição 2 e a conclusão (p1, p2, C), têm pelo menos uma linha verdadeira quando 
construída a sua tabela-verdade.
II – (p1 p2) → C é tautológica, caso contrário, temos um sofisma.
1821882 E-book gerado especialmente para MARIA JOSILDA SANTOS REIS
4
Nota: argumento possui 3 premissas no mínimo e uma conclusão 
e silogismo 2 premissas e uma conclusão, assim de início chamarei o 
silogismo de argumento sem o rigor da definição, pois a preocupação é 
quanto a validade, e percebe que não há correlação com o português, mas 
sim com a estrutura.
Exemplo:
Verifique se o argumento (silogismo) abaixo é válido:
Premissa 1 (P1): pvq
Premissa 2 (P2): ~q
Conclusão (C): p
Condição I: P1, P2 e C devem ter pelo menos uma linha da tabela-verdade toda verdadeira.
P1: pvq P2: ~q C: 
p
V F V
V V V
V F F
F V F
Condição II: (p1 p2) → C deve ser tautológica
(pvq) ~q → p
F V V
V V V
F V F
F V F
Resposta: O argumento é válido, pois satisfaz as duas condições.
1) Verifique se os argumentos abaixo são válidos:
p1: hoje é sábado ou domingo.
p2: hoje não é sábado.
C: hoje é domingo.
Solução: 
Construindo a tabela, temos:
p1: pvq p2: ~p C: q
V F V
V F F
V V V
F V F
De acordo com a tabela, podemos garantir que o argumento é válido, pois existe pelo menos uma linha toda 
verdadeira (V, V, V) e a verdade das premissas (V, V) garante a verdade da conclusão (V).
Gabarito: V, pois o argumento é válido.
2) É correto o raciocínio lógico dado pela sequência de proposições seguintes:
Se Célia tiver um bom currículo, então ela conseguirá um bom emprego.
Ela conseguiu um bom emprego.
Portanto, Célia tem um bom currículo.
1821882 E-book gerado especialmente para MARIA JOSILDA SANTOS REIS
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Solução:
p1: p 
→ q
p2: q C: p
V V V
F F V
V V F
V F F
Neste caso, a primeira condição é satisfeita, ou seja, temos uma linha toda verdadeira (V, V, V). No entanto, 
a verdade das premissas, além de garantir a verdade da conclusão, também garantiu a sua falsidade, havendo 
assim uma contradição (também conhecido como princípio do terceiro excluído).
Exemplo:
p1 p2 C
V V V
V V F
A conclusão não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo, logo o argumento não é válido.
Gabarito: F
Caso 2
- DIAGRAMAS DE VENN- EULER –EXPRESSÕES CATEGÓRICAS
As expressões categóricas são:
TODO
ALGUM
NENHUM
NOTA: Deve ficar claro que a negação destas expressões não tem nenhuma relação com a gramática, língua 
Portuguesa ou relação com o seu antônimo como todo, nenhum ou coisa do gênero, na verdade a negação 
destas expressões tem relação direta com a cisão topológica do diagrama, podendo ainda ser associada à 
mecânica dos fluidos no que se refere a volume de controle, para não entramos no contexto da física será feito 
apenas uma abordagem topológica da estrutura.
Caso 1: Negação da expressão Nenhum
Qual a negação da proposição: “Nenhum rondoniense é casado”
i) deve ficar claro que a negação de nenhum não é todo ou pelo menos um ou qualquer associação que se 
faça com o português, a topologia da estrutura nos fornecerá várias respostas, vejamos:
Possíveis negações: Negar a frase é na verdade verificar os possíveis deslocamentos dos círculos.
I) pelo menos 1 rondoniense é casado
II) algum rondoniense é casado
III) existe rondoniense casado
IV) Todo rondoniense é casado
V) Todo casado é rondoniense
Definir:
A = Rondoniense
B= Casado
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CONCLUSÃO: Topologicamente o pelo menos 1 é a condição mínima de existência; algum e existe estão 
no mesmo nível de importância e o todo é a última figura sendo assim topologicamente possível mas a última, 
em termos de importância.
ESTRUTURAS LÓGICAS
Raciocínio lógico é o modo de pensamento que elenca hipóteses, a partir delas, é possível relacionar 
resultados, obter conclusões e, por fim, chegar a um resultado final.
Mas nem todo caminho é certeiro, sendo assim, certas estruturas foram organizadas de modo a analisar a 
estrutura da lógica, para poder justamente determinar um modo, para que o caminho traçado não seja o errado. 
Veremos que há diversas estruturas para isso, que se organizam de maneira matemática.
A estrutura mais importante são as proposições.
Proposição: declaração ou sentença, que pode ser verdadeira ou falsa.
Ex.: Carlos é professor.
As proposições podem assumir dois aspectos, verdadeiro ou falso. No exemplo acima, caso Carlos seja 
professor, a proposição é verdadeira. Se fosse ao contrário, ela seria falsa.
Importante notar que a proposição deve afirmar algo, acompanhado de um verbo (é, fez, não notou e etc). 
Caso a nossa frase seja “Brasil e Argentina”, nada está sendo afirmado, logo, a frase não é uma proposição.
Há também o caso de certas frases que podem ser ou não proposições, dependendo do contexto. A frase 
“N>3” só pode ser classificada como verdadeira ou falsa caso tenhamos algumas informações sobre N, caso 
contrário, nada pode ser afirmado. Nestes casos, chamamos estas frases de sentenças abertas, devido ao seu 
caráter imperativo.
O processo matemático em volta do raciocínio lógico nos permite deduzir diversas relações entre declarações, 
assim, iremos utilizar alguns símbolos e letras de forma a exprimir estes encadeamentos.
As proposições podem ser substituídas por letras minúsculas (p.ex.: a, b, p, q, …)
Seja a proposição p: Carlos é professor
Uma outra proposição q: A moeda do Brasil é o Real
É importante lembrar que nosso intuito aqui é ver se a proposição se classifica como verdadeira ou falsa.
Podemos obter novas proposições relacionando-as entre si. Por exemplo, podemos juntar as proposições p 
e q acima obtendo uma única proposição “Carlos é professor e a moeda do Brasil é o Real”. 
Nos próximos exemplos, veremos como relacionar uma ou mais proposições através de conectivos.
Existem cinco conectivos fundamentais, são eles:
^: e (aditivo) conjunção
Posso escrever “Carlos é professor e a moeda do Brasil é o Real”, posso escrever p ^ q.
v: ou (um ou outro) ou disjunção
p v q: Carlos é professor ou a moeda do Brasil é o Real
: “ou” exclusivo (este ou aquele, mas não ambos) ou disjunção exclusiva (repare o ponto acima do 
conectivo).
1821882 E-book gerado especialmente para MARIA JOSILDA SANTOS REIS
7
p v q: Ou Carlos é professor ou a moeda do Brasil é o Real (mas nunca ambos)
¬ ou ~: negação
~p: Carlos não é professor
->: implicação ou condicional (se… então…)
p -> q: Se Carlos é professor, então a moeda do Brasil é o Real
⇔: Se, e somente se (ou bi implicação) (bicondicional)
p ⇔ q: Carlos é professor se, e somente se, a moeda do Brasil é o Real
Vemos que, mesmo tratando de letras e símbolos, estas estruturas se baseiam totalmente na nossa lingua-
gem, o que torna mais natural decifrar esta simbologia.
Por fim, a lógica tradicional segue três princípios. Podem parecer princípios tolos, por serem óbvios, mas 
pensemos aqui, que estamos estabelecendo as regras do nosso jogo, então é primordial que tudo esteja extre-
mamente estabelecido.
1 – Princípio da Identidade
p=p
Literalmente, estamos afirmando que uma proposição é igual (ou equivalente) a ela mesma.
2 – Princípio da Não contradição
p = q v p ≠ q
Estamos estabelecendo que apenasuma coisa pode acontecer às nossas proposições. Ou elas são iguais 
ou são diferentes, ou seja, não podemos ter que uma proposição igual e diferente a outra ao mesmo tempo.
3 – Princípio do Terceiro excluído
p v ¬ p
Por fim, estabelecemos que uma proposição ou é verdadeira ou é falsa, não havendo mais nenhuma opção, 
ou seja, excluindo uma nova (como são duas, uma terceira) opção).
DICA: Vimos então as principais estruturas lógicas, como lidamos com elas e quais as regras para jogarmos 
este jogo. Então, escreva várias frases, julgue se são proposições ou não e depois tente traduzi-las para a lin-
guagem simbólica que aprendemos.
LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO 
Quando falamos sobre lógica de argumentação, estamos nos referindo ao processo de argumentar, ou seja, 
através de argumentos é possível convencer sobre a veracidade de certo assunto.
No entanto, a construção desta argumentação não é necessariamente correta. Veremos alguns casos de 
argumentação, e como eles podem nos levar a algumas respostas corretas e outras falsas.
Analogias: Argumentação pela semelhança (analogamente)
Todo ser humano é mortal
Sócrates é um ser humano
Logo Sócrates é mortal
Inferências: Argumentar através da dedução
Se Carlos for professor, haverá aula
Se houve aula, então significa que Carlos é professor, caso contrário, então Carlos não é professor
Deduções: Argumentar partindo do todo e indo a uma parte específica
Roraima fica no Brasil
A moeda do Brasil é o Real
Logo, a moeda de Roraima é o Real
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Indução: É a argumentação oposta a dedução, indo de uma parte específica e chegando ao todo
Todo professor usa jaleco
Todo médico usa jaleco
Então todo professor é médico
Vemos que nem todas as formas de argumentação são verdades universais, contudo, estão estruturadas de 
forma a parecerem minimamente convincentes. Para isso, devemos diferenciar uma argumentação verdadeira 
de uma falsa. Quando a argumentação resultar num resultado falso, chamaremos tal argumentação de sofismo1.
No sofismo temos um encadeamento lógico, no entanto, esse encadeamento se baseia em algumas 
sutilezas que nos conduzem a resultados falsos. Por exemplo:
A água do mar é feita de água e sal
A bolacha de água e sal é feita de água e sal
Logo, a bolacha de água e sal é feita de mar (ou o mar é feito de bolacha)
Esta argumentação obviamente é falsa, mas está estruturada de forma a parecer verdadeira, principalmente 
se vista com pressa.
Convidamos você, caro leitor, para refletir sobre outro exemplo de sofismo:
Queijo suíço tem buraco
Quanto mais queijo, mais buraco
Quanto mais buraco, menos queijo
Então quanto mais queijo, menos queijo?
IMPLICAÇÃO LÓGICA 
A proposição P(p,q,r,...) implica logicamente a proposição Q(p,q,r,...) quando Q é verdadeira todas as vezes 
que P é verdadeira. Representamos a implicação com o símbolo “⇒”, simbolicamente temos:
P(p,q,r,...) ⇒ Q(p,q,r,...).
ATENÇÃO: Os símbolos “→” e “⇒” são completamente distintos. O primeiro (“→”) representa a con-
dicional, que é um conectivo. O segundo (“⇒”) representa a relação de implicação lógica que pode ou 
não existir entre duas proposições. 
Exemplo:
Observe: 
- Toda proposição implica uma Tautologia: 
1 O termo sofismo vem dos Sofistas, pensadores não alinhados aos movimentos platônico e aristotélico na 
Grécia dos séculos V e IV AEC, sendo considerados muitas vezes falaciosos por essas linhas de pensamento. 
Desta forma, o termo sofismo se refere a quando a estrutura foge da lógica tradicional e se obtém uma conclu-
são falsa.
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- Somente uma contradição implica uma contradição: 
Propriedades 
• Reflexiva: 
– P(p,q,r,...) ⇒ P(p,q,r,...)
– Uma proposição complexa implica ela mesma.
• Transitiva: 
– Se P(p,q,r,...) ⇒ Q(p,q,r,...) e
 Q(p,q,r,...) ⇒ R(p,q,r,...), então
 P(p,q,r,...) ⇒ R(p,q,r,...)
– Se P ⇒ Q e Q ⇒ R, então P ⇒ R
Regras de Inferência
• Inferência é o ato ou processo de derivar conclusões lógicas de proposições conhecidas ou decididamen-
te verdadeiras. Em outras palavras: é a obtenção de novas proposições a partir de proposições verdadeiras já 
existentes.
Regras de Inferência obtidas da implicação lógica
• Silogismo Disjuntivo
• Modus Ponens
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• Modus Tollens
Tautologias e Implicação Lógica
• Teorema
P(p,q,r,..) ⇒ Q(p,q,r,...) se e somente se P(p,q,r,...) → Q(p,q,r,...)
Observe que:
→ indica uma operação lógica entre as proposições. Ex.: das proposições p e q, dá-se a nova proposição 
p → q.
⇒ indica uma relação. Ex.: estabelece que a condicional P → Q é tautológica.
Inferências
• Regra do Silogismo Hipotético
Princípio da inconsistência
– Como “p ^ ~p → q” é tautológica, subsiste a implicação lógica p ^ ~p ⇒ q
– Assim, de uma contradição p ^ ~p se deduz qualquer proposição q.
A proposição “(p ↔ q) ^ p” implica a proposição “q”, pois a condicional “(p ↔ q) ^ p → q” é tautológica.
CORRELAÇÃO DE ELEMENTOS
Esses são problemas aos quais prestam informações de diferentes tipos, relacionados a pessoas, coisas 
ou objetos fictícios. O objetivo é descobrir o correlacionamento entre os dados dessas informações, ou seja, a 
relação que existe entre eles.
Explicaremos abaixo um método que facilitará muito a resolução de problemas desse tipo. Para essa 
explicação, usaremos um exemplo com nível de complexidade fácil.
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01. Três homens, Luís, Carlos e Paulo, são casados com Lúcia, Patrícia e Maria, mas não sabemos quem 
é casado com quem. Eles trabalham com Engenharia, Advocacia e Medicina, mas também não sabemos quem 
faz o quê. Com base nas dicas abaixo, tente descobrir o nome de cada marido, a profissão de cada um e o 
nome de suas esposas.
A – O médico é casado com Maria.
B – Paulo é advogado.
C – Patrícia não é casada com Paulo.
D – Carlos não é médico.
Vamos montar o passo a passo para que você possa compreender como chegar a conclusão da questão.
1º passo – vamos montar uma tabela para facilitar a visualização da resolução, a mesma deve conter 
as informações prestadas no enunciado, nas quais podem ser divididas em três grupos: homens, esposas e 
profissões.
Medicina Engenha-
ria
Advocacia Lúcia Patrícia Maria
Carlos
Luís
Paulo
Lúcia
Patrícia
Maria
Também criamos abaixo do nome dos homens, o nome das esposas.
Observação: a montagem dessa tabela vale para qualquer número de grupos do problema. Ou seja, se 
forem, por exemplo, cinco grupos, um deles será a referência para as linhas iniciais e os outros quatro serão 
distribuídos nas colunas. Depois disso, da direita para a esquerda, os grupos serão “levados para baixo” na 
forma de linhas, exceto o primeiro.
Veja um exemplo com quatro grupos: imagine que tenha sido afirmado que cada um dos homens tem uma 
cor de cabelo: loiro, ruivo ou castanho.
Neste caso, teríamos um quarto grupo e a tabela resultante seria:
Medicina Engenha-
ria
Advocacia Lúcia Patrícia Maria Loiro Ruivo Casta-
nho
Carlos
Luís
Paulo
Loiro
Ruivo
Casta-
nho
Lúcia
Patrícia
Maria
A ordem em que você copia as colunas para as linhas é importante para criar esses “degraus” na tabela, ou 
seja, primeiro os elementos do grupo mais à direita passam para as linhas (ou o último grupo de informações), 
depois o “segundo mais à direita” e assim por diante, até que fique apenas o primeiro grupo (mais à esquerda) 
sem ter sido copiado como linha. Esses espaços em branco na tabela, representam regiões onde as informações 
seriam cruzadas com elas mesmas, o que é desnecessário.
1821882 E-book gerado especialmente para MARIA JOSILDA SANTOS REIS
12
2º passo – construir a tabela gabarito.
Essa tabela não servirá apenas como gabarito, mas em alguns casos ela é fundamental para que você 
enxergue informações que ficam meio escondidas na tabela principal.
Haverá também ocasiões em que ela lhe permitirá conclusõessobre um determinado elemento. Tendo por 
exemplo quatro grupos de elementos, se você preencheu três, logo perceberá que só restará uma alternativa, 
que será esta célula.
Um outro ponto que deve ser ressaltado é que as duas tabelas se complementam para visualização das 
informações. Por isso, a tabela gabarito deve ser usada durante o preenchimento da tabela principal, e não 
depois.
A primeira linha de cabeçalho será preenchida com os nomes dos grupos. Nas outras linhas, serão colocados 
os elementos do grupo de referência inicial na tabela principal (no nosso exemplo, o grupo dos homens).
Homens Profissões Esposas
Carlos
Luís
Paulo
3º passo – vamos dar início ao preenchimento de nossa tabela, com as informações mais óbvias do problema, 
aquelas que não deixam margem a nenhuma dúvida.
Em nosso exemplo:
A – O médico é casado com Maria — marque um “S” na tabela principal na célula comum a “Médico” e 
“Maria”, e um “N” nas demais células referentes a esse “S”.
Medicina Engenharia Advocacia Lúcia Patrícia Maria
Carlos
Luís
Paulo
Lúcia N
Patrícia N
Maria S N N
Observe ainda que: se o médico é casado com Maria, ele NÃO PODE ser casado com Lúcia e Patrícia, 
então colocamos “N” no cruzamento de Medicina e elas. E se Maria é casada com o médico, logo ela NÃO 
PODE ser casada com o engenheiro e nem com o advogado (logo colocamos “N” no cruzamento do nome de 
Maria com essas profissões). Não conseguimos nenhuma informação referente a Carlos, Luís e Paulo.
B – Paulo é advogado. – Vamos preencher as duas tabelas (tabela gabarito e tabela principal) agora.
Homens Profissões Esposas
Carlos
Luís
Paulo Advogado
C – Patrícia não é casada com Paulo. – Vamos preencher com “N” na tabela principal.
Medicina Engenharia Advocacia Lúcia Patrícia Maria
Carlos N
Luís N
Paulo N N S
Lúcia N N
Patrícia N
Maria S N N
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13
D – Carlos não é médico. – Preenchemos com um “N” na tabela principal a célula comum a Carlos e 
“médico”.
Medicina Engenharia Advocacia Lúcia Patrícia Maria
Carlos N N
Luís N
Paulo N N S
Lúcia N N
Patrícia N
Maria S N N
Notamos aqui que Luís então é o médico, pois foi a célula que ficou em branco.
Medicina Engenharia Advocacia Lúcia Patrícia Maria
Carlos N N
Luís S N N
Paulo N N S
Lúcia N N
Patrícia N
Maria S N N
Podemos também completar a tabela gabarito.
Homens Profissões Esposas
Carlos
Luís Médico
Paulo Advogado
Novamente observamos uma célula vazia no cruzamento de Carlos com Engenharia. Marcamos um “S” 
nesta célula. E preenchemos sua tabela gabarito.
Medicina Engenharia Advocacia Lúcia Patrícia Maria
Carlos N S N
Luís S N N
Paulo N N S
Lúcia N N
Patrícia N
Maria S N N
Homens Profissões Esposas
Carlos Engenheiro
Luís Médico
Paulo Advogado
4º passo – após as anotações feitas na tabela principal e na tabela gabarito, vamos procurar informações 
que levem a novas conclusões, que serão marcadas nessas tabelas.
Observe, na tabela principal, que Maria é esposa do médico, que se descobriu ser Luís, fato que poderia ser 
registrado na tabela-gabarito. Mas não vamos fazer agora, pois essa conclusão só foi facilmente encontrada 
porque o problema que está sendo analisado é muito simples. Vamos continuar o raciocínio e fazer as marcações 
mais tarde.
Além disso, sabemos que Patrícia não é casada com Paulo. Como Paulo é o advogado, podemos concluir 
que Patrícia não é casada com o advogado.
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Medicina Engenharia Advocacia Lúcia Patrícia Maria
Carlos N S N
Luís S N N
Paulo N N S
Lúcia N N
Patrícia N N
Maria S N N
Verificamos, na tabela acima, que Patrícia tem de ser casada com o engenheiro, e Lúcia tem de ser casada 
com o advogado.
Medicina Engenharia Advocacia Lúcia Patrícia Maria
Carlos N S N
Luís S N N
Paulo N N S
Lúcia N N S N
Patrícia N S N
Maria S N N
Concluímos, então, que Lúcia é casada com o advogado (que é Paulo), Patrícia é casada com o engenheiro 
(que e Carlos) e Maria é casada com o médico (que é Luís).
Preenchendo a tabela-gabarito, vemos que o problema está resolvido:
Homens Profissões Esposas
Carlos Engenheiro Patrícia
Luís Médico Maria
Paulo Advogado Lúcia
1º) Não se preocupe em terminar a tabela principal, uma vez que você tenha preenchido toda tabela gabarito. 
Ganhe tempo e parta para a próxima questão.
2º) Nunca se esqueça de que essa técnica é composta por duas tabelas que devem ser utilizadas em 
paralelo, ou seja, quando uma conclusão for tirada pelo uso de alguma delas, as outras devem ser atualizadas. 
A prática de resolução de questões de variados níveis de complexidade vai ajudá-lo a ficar mais seguro.
Referência
ROCHA, Enrique. Raciocínio lógico para concursos: você consegue aprender: teoria e questões. Niterói: 
Impetus – 2010.
PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS
Existem alguns tipos de argumentos que apresentam proposições com quantificadores. Numa proposição 
categórica, é importante que o sujeito se relacionar com o predicado de forma coerente e que a proposição 
faça sentido, não importando se é verdadeira ou falsa.
Vejamos algumas formas:
- Todo A é B.
- Nenhum A é B.
- Algum A é B.
- Algum A não é B.
Onde temos que A e B são os termos ou características dessas proposições categóricas.
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• Classificação de uma proposição categórica de acordo com o tipo e a relação
Elas podem ser classificadas de acordo com dois critérios fundamentais: qualidade e extensão ou quan-
tidade.
– Qualidade: O critério de qualidade classifica uma proposição categórica em afirmativa ou negativa.
– Extensão: O critério de extensão ou quantidade classifica uma proposição categórica em universal ou 
particular. A classificação dependerá do quantificador que é utilizado na proposição. 
Entre elas existem tipos e relações de acordo com a qualidade e a extensão, classificam-se em quatro tipos, 
representados pelas letras A, E, I e O.
• Universal afirmativa (Tipo A) – “TODO A é B”
Teremos duas possibilidades.
Tais proposições afirmam que o conjunto “A” está contido no conjunto “B”, ou seja, que todo e qualquer 
elemento de “A” é também elemento de “B”. Observe que “Toda A é B” é diferente de “Todo B é A”.
• Universal negativa (Tipo E) – “NENHUM A é B”
Tais proposições afirmam que não há elementos em comum entre os conjuntos “A” e “B”. Observe que “ne-
nhum A é B” é o mesmo que dizer “nenhum B é A”.
Podemos representar esta universal negativa pelo seguinte diagrama (A ∩ B = ø):
• Particular afirmativa (Tipo I) - “ALGUM A é B”
Podemos ter 4 diferentes situações para representar esta proposição:
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Essas proposições Algum A é B estabelecem que o conjunto “A” tem pelo menos um elemento em comum 
com o conjunto “B”. Contudo, quando dizemos que Algum A é B, presumimos que nem todo A é B. Observe 
“Algum A é B” é o mesmo que “Algum B é A”. 
• Particular negativa (Tipo O) - “ALGUM A não é B”
Se a proposição Algum A não é B é verdadeira, temos as três representações possíveis:
Proposições nessa forma: Algum A não é B estabelecem que o conjunto “A” tem pelo menos um elemento 
que não pertence ao conjunto “B”. Observe que: Algum A não é B não significa o mesmo que Algum B não é A.
• Negação das Proposições Categóricas
Ao negarmos uma proposição categórica, devemos observar as seguintes convenções de equivalência:
– Ao negarmos uma proposição categórica universal geramos uma proposição categórica particular.
– Pela recíproca de uma negação, ao negarmos uma proposição categórica particular geramos uma propo-
sição categórica universal.
– Negando uma proposição de natureza afirmativa geramos, sempre, uma proposição de natureza nega-
tiva; e, pela recíproca, negando uma proposição de natureza negativa geramos, sempre, uma proposição de 
natureza afirmativa.
Em síntese:
Exemplos: 
(DESENVOLVE/SP - CONTADOR - VUNESP) Alguns gatos não são pardos, e aqueles que não são pardosmiam alto. 
Uma afirmação que corresponde a uma negação lógica da afirmação anterior é:
(A) Os gatos pardos miam alto ou todos os gatos não são pardos.
(B) Nenhum gato mia alto e todos os gatos são pardos.
(C) Todos os gatos são pardos ou os gatos que não são pardos não miam alto.
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(D) Todos os gatos que miam alto são pardos.
(E) Qualquer animal que mia alto é gato e quase sempre ele é pardo.
Resolução:
Temos um quantificador particular (alguns) e uma proposição do tipo conjunção (conectivo “e”). Pede-se a 
sua negação. 
O quantificador existencial “alguns” pode ser negado, seguindo o esquema, pelos quantificadores universais 
(todos ou nenhum). 
Logo, podemos descartar as alternativas A e E.
A negação de uma conjunção se faz através de uma disjunção, em que trocaremos o conectivo “e” pelo 
conectivo “ou”. Descartamos a alternativa B.
Vamos, então, fazer a negação da frase, não esquecendo de que a relação que existe é: Algum A é B, deve 
ser trocado por: Todo A é não B.
Todos os gatos que são pardos ou os gatos (aqueles) que não são pardos NÃO miam alto.
Resposta: C
(CBM/RJ - CABO TÉCNICO EM ENFERMAGEM - ND) Dizer que a afirmação “todos os professores é psi-
cólogos” e falsa, do ponto de vista lógico, equivale a dizer que a seguinte afirmação é verdadeira
(A) Todos os não psicólogos são professores.
(B) Nenhum professor é psicólogo.
(C) Nenhum psicólogo é professor.
(D) Pelo menos um psicólogo não é professor.
(E) Pelo menos um professor não é psicólogo.
Resolução:
Se a afirmação é falsa a negação será verdadeira. Logo, a negação de um quantificador universal categóri-
co afirmativo se faz através de um quantificador existencial negativo. Logo teremos: Pelo menos um professor 
não é psicólogo.
Resposta: E
• Equivalência entre as proposições
Basta usar o triângulo a seguir e economizar um bom tempo na resolução de questões.
Exemplo: 
(PC/PI - ESCRIVÃO DE POLÍCIA CIVIL - UESPI) Qual a negação lógica da sentença “Todo número natural 
é maior do que ou igual a cinco”?
(A) Todo número natural é menor do que cinco.
(B) Nenhum número natural é menor do que cinco.
(C) Todo número natural é diferente de cinco.
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(D) Existe um número natural que é menor do que cinco.
(E) Existe um número natural que é diferente de cinco.
Resolução:
Do enunciado temos um quantificador universal (Todo) e pede-se a sua negação. 
O quantificador universal todos pode ser negado, seguindo o esquema abaixo, pelo quantificador algum, 
pelo menos um, existe ao menos um, etc. Não se nega um quantificador universal com Todos e Nenhum, que 
também são universais.
Portanto, já podemos descartar as alternativas que trazem quantificadores universais (todo e nenhum). 
Descartamos as alternativas A, B e C. 
Seguindo, devemos negar o termo: “maior do que ou igual a cinco”. Negaremos usando o termo “MENOR 
do que cinco”.
Obs.: maior ou igual a cinco (compreende o 5, 6, 7...) ao ser negado passa a ser menor do que cinco (4, 3, 
2,...).
Resposta: D
DIAGRAMAS LÓGICOS
Os diagramas lógicos são usados na resolução de vários problemas. É uma ferramenta para resolvermos 
problemas que envolvam argumentos dedutivos, as quais as premissas deste argumento podem ser formadas 
por proposições categóricas. 
ATENÇÃO: É bom ter um conhecimento sobre conjuntos para conseguir resolver questões que en-
volvam os diagramas lógicos.
Vejamos a tabela abaixo as proposições categóricas:
TIPO PREPOSI-
ÇÃO DIAGRAMAS
A TODO 
A é B
Se um elemento pertence ao 
conjunto A, então pertence tam-
bém a B.
1821882 E-book gerado especialmente para MARIA JOSILDA SANTOS REIS
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E NENHUM
A é B
Existe pelo menos um elemen-
to que pertence a A, então não 
pertence a B, e vice-versa.
I ALGUM 
A é B
Existe pelo menos um elemen-
to comum aos conjuntos A e B.
Podemos ainda representar 
das seguintes formas:
1821882 E-book gerado especialmente para MARIA JOSILDA SANTOS REIS
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O ALGUM 
A NÃO é B
Perceba-se que, nesta senten-
ça, a atenção está sobre o(s) 
elemento (s) de A que não são 
B (enquanto que, no “Algum A 
é B”, a atenção estava sobre os 
que eram B, ou seja, na inter-
cessão).
Temos também no segundo 
caso, a diferença entre conjun-
tos, que forma o conjunto A - B
Exemplo: 
(GDF–ANALISTA DE ATIVIDADES CULTURAIS ADMINISTRAÇÃO – IADES) Considere as proposições: 
“todo cinema é uma casa de cultura”, “existem teatros que não são cinemas” e “algum teatro é casa de cultura”. 
Logo, é correto afirmar que 
(A) existem cinemas que não são teatros. 
(B) existe teatro que não é casa de cultura. 
(C) alguma casa de cultura que não é cinema é teatro. 
(D) existe casa de cultura que não é cinema. 
(E) todo teatro que não é casa de cultura não é cinema.
Resolução:
Vamos chamar de:
Cinema = C
Casa de Cultura = CC
Teatro = T
Analisando as proposições temos:
- Todo cinema é uma casa de cultura 
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- Existem teatros que não são cinemas
- Algum teatro é casa de cultura
Visto que na primeira chegamos à conclusão que C = CC
Segundo as afirmativas temos:
(A) existem cinemas que não são teatros- Observando o último diagrama vimos que não é uma verdade, 
pois temos que existe pelo menos um dos cinemas é considerado teatro.
(B) existe teatro que não é casa de cultura. – Errado, pelo mesmo princípio acima. 
(C) alguma casa de cultura que não é cinema é teatro. – Errado, a primeira proposição já nos afirma o con-
trário. O diagrama nos afirma isso
(D) existe casa de cultura que não é cinema. – Errado, a justificativa é observada no diagrama da alternativa 
anterior.
(E) todo teatro que não é casa de cultura não é cinema. – Correta, que podemos observar no diagrama 
abaixo, uma vez que todo cinema é casa de cultura. Se o teatro não é casa de cultura também não é cinema.
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Resposta: E
Álgebra
EQUAÇÃO DO 1° GRAU
Na Matemática, a equação é uma igualdade que envolve uma ou mais incógnitas. Quem determina o “grau” 
dessa equação é o expoente dessa incógnita, ou seja, se o expoente for 1, temos a equação do 1º grau. Se o 
expoente for 2, a equação será do 2º grau; se o expoente for 3, a equação será de 3º grau. Exemplos:
4x + 2 = 16 (equação do 1º grau)
x² + 2x + 4 = 0 (equação do 2º grau)
x³ + 2x² + 5x – 2 = 0 (equação do 3º grau)
A equação do 1º grau é apresentada da seguinte forma:
É importante dizer que a e b representam qualquer número real e a é diferente de zero (a 0). A incógnita x 
pode ser representada por qualquer letra, contudo, usualmente, utilizamos x ou y como valor a ser encontrado 
para o resultado da equação. O primeiro membro da equação são os números do lado esquerdo da igualdade, 
e o segundo membro, o que estão do lado direito da igualdade.
Como resolver uma equação do primeiro grau
Para resolvermos uma equação do primeiro grau, devemos achar o valor da incógnita (que vamos chamar 
de x) e, para que isso seja possível, é só isolar o valor do x na igualdade, ou seja, o x deve ficar sozinho em 
um dos membros da equação.
O próximo passo é analisar qual operação está sendo feita no mesmo membro em que se encontra x e 
“jogar” para o outro lado da igualdade fazendo a operação oposta e isolando x.
1° exemplo:
Nesse caso, o número que aparece do mesmo lado de x é o 4 e ele está somando. Para isolar a incógnita, 
ele vai para o outro lado da igualdade fazendo a operação inversa (subtração):
2° exemplo:
O número que está do mesmo lado de x é o 12 e ele está subtraindo. Nesse exemplo, ele vai para o outro 
lado da igualdade com a operação inversa, que é a soma:
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3° exemplo:
Vamos analisar os números que estão no mesmo lado da incógnita, o 4 e o 2. O número 2 está somando 
e vai para o outro lado da igualdade subtraindo e o número 4, que está multiplicando,passa para o outro lado 
dividindo.
4° exemplo: 
Esse exemplo envolve números negativos e, antes de passar o número para o outro lado, devemos sempre 
deixar o lado da incógnita positivo, por isso vamos multiplicar toda a equação por -1.
Passando o número 3, que está multiplicando x, para o outro lado, teremos:
— Propriedade Fundamental das Equações
A propriedade fundamental das equações é também chamada de regra da balança. Não é muito utilizada 
no Brasil, mas tem a vantagem de ser uma única regra. A ideia é que tudo que for feito no primeiro membro 
da equação deve também ser feito no segundo membro com o objetivo de isolar a incógnita para se obter o 
resultado. Veja a demonstração nesse exemplo:
Começaremos com a eliminação do número 12. Como ele está somando, vamos subtrair o número 12 nos 
dois membros da equação:
Para finalizar, o número 3 que está multiplicando a incógnita será dividido por 3 nos dois membros da 
equação:
EQUAÇÃO DO 2° GRAU
Toda equação que puder ser escrita na forma ax2 + bx + c = 0 será chamada equação do segundo grau2. O 
único detalhe é que a, b e c devem ser números reais, e a não pode ser igual a zero em hipótese alguma.
2 https://escolakids.uol.com.br/matematica/equacoes-segundo-grau.htm#:~:text=Toda%20equa%C3%A7%-
C3%A3o%20que%20puder%20ser,a%20zero%20em%20hip%C3%B3tese%20alguma.
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24
Uma equação é uma expressão que relaciona números conhecidos (chamados coeficientes) a números 
desconhecidos (chamados incógnitas), por meio de uma igualdade. Resolver uma equação é usar as 
propriedades dessa igualdade para descobrir o valor numérico desses números desconhecidos. Como eles 
são representados pela letra x, podemos dizer que resolver uma equação é encontrar os valores que x pode 
assumir, fazendo com que a igualdade seja verdadeira.
— Como resolver equações do 2º grau?
Conhecemos como soluções ou raízes da equação ax² + bx + c = 0 os valores de x que fazem com que essa 
equação seja verdadeira3. Uma equação do 2º grau pode ter no máximo dois números reais que sejam raízes 
dela. Para resolver equações do 2º grau completas, existem dois métodos mais comuns:
- Fórmula de Bhaskara;
- Soma e produto.
O primeiro método é bastante mecânico, o que faz com que muitos o prefiram. Já para utilizar o segundo, é 
necessário o conhecimento de múltiplos e divisores. Além disso, quando as soluções da equação são números 
quebrados, soma e produto não é uma alternativa boa.
— Fórmula de Bhaskara
1) Determinar os coeficientes da equação
Os coeficientes de uma equação são todos os números que não são a incógnita dessa equação, sejam 
eles conhecidos ou não. Para isso, é mais fácil comparar a equação dada com a forma geral das equações do 
segundo grau, que é: ax2 + bx + c = 0. Observe que o coeficiente “a” multiplica x2, o coeficiente “b” multiplica x, 
e o coeficiente “c” é constante.
Por exemplo, na seguinte equação:
x² + 3x + 9 = 0
O coeficiente a = 1, o coeficiente b = 3 e o coeficiente c = 9.
Na equação:
– x² + x = 0
O coeficiente a = – 1, o coeficiente b = 1 e o coeficiente c = 0.
2) Encontrar o discriminante
O discriminante de uma equação do segundo grau é representado pela letra grega Δ e pode ser encontrado 
pela seguinte fórmula:
Δ = b² – 4·a·c
Nessa fórmula, a, b e c são os coeficientes da equação do segundo grau. Na equação: 4x² – 4x – 24 = 0, por 
exemplo, os coeficientes são: a = 4, b = – 4 e c = – 24. Substituindo esses números na fórmula do discriminante, 
teremos:
Δ = b² – 4 · a · c
Δ= (– 4)² – 4 · 4 · (– 24)
Δ = 16 – 16 · (– 24)
Δ = 16 + 384
Δ = 400
— Quantidade de soluções de uma equação
As equações do segundo grau podem ter até duas soluções reais4. Por meio do discriminante, é possível 
descobrir quantas soluções a equação terá. Muitas vezes, o exercício solicita isso em vez de perguntar quais 
as soluções de uma equação. Então, nesse caso, não é necessário resolvê-la, mas apenas fazer o seguinte:
3 https://www.preparaenem.com/matematica/equacao-do-2-grau.htm
4 https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/discriminante-uma-equacao-segundo-grau.htm
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Se Δ 0, a equação possui duas soluções reais.
Isso acontece porque, na fórmula de Bhaskara, calcularemos a raiz de Δ. Se o discriminante é negativo, é 
impossível calcular essas raízes. 
3) Encontrar as soluções da equação
Para encontrar as soluções de uma equação do segundo grau usando fórmula de Bhaskara, basta substituir 
coeficientes e discriminante na seguinte expressão:
Observe a presença de um sinal ± na fórmula de Bhaskara. Esse sinal indica que deveremos fazer um 
cálculo para √Δ positivo e outro para √Δ negativo. Ainda no exemplo 4x2 – 4x – 24 = 0, substituiremos seus 
coeficientes e seu discriminante na fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções dessa equação são 3 e – 2, e seu conjunto de solução é: S = {3, – 2}.
— Soma e Produto
Nesse método é importante conhecer os divisores de um número. Ele se torna interessante quando as 
raízes da equação são números inteiros, porém, quando são um número decimal, esse método fica bastante 
complicado.
A soma e o produto é uma relação entre as raízes x1 e x2 da equação do segundo grau, logo devemos buscar 
quais são os possíveis valores para as raízes que satisfazem a seguinte relação:
Exemplo: Encontre as soluções para a equação x² – 5x + 6 = 0.
1º passo: encontrar a, b e c.
a = 1
b = -5
c = 6
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2º passo: substituir os valores de a, b e c na fórmula.
3º passo: encontrar o valor de x1 e x2 analisando a equação.
Nesse caso, estamos procurando dois números cujo produto seja igual a 6 e a soma seja igual a 5.
Os números cuja multiplicação é igual a 6 são:
I. 6 x 1 = 6
II. 3 x 2 =6
III. (-6) x (-1) = 6
IV. (-3) x (-2) = 6
Dos possíveis resultados, vamos buscar aquele em que a soma seja igual a 5. Note que somente a II possui 
soma igual a 5, logo as raízes da equação são x1 = 3 e x2 = 2.
— Equação do 2º Grau Incompleta
Equação do 2º grau é incompleta quando ela possui b e/ou c iguais a zero. Existem três tipos dessas 
equações, cada um com um método mais adequado para sua resolução.
Uma equação do 2º grau é conhecida como incompleta quando um dos seus coeficientes, b ou c, é igual a 
zero. Existem três casos possíveis de equações incompletas, que são:
- Equações que possuem b = 0, ou seja, ax² + c = 0;
- Equações que possuem c = 0, ou seja, ax² + bx = 0;
- Equações em que b = 0 e c = 0, então a equação será ax² = 0.
Em cada caso, é possível utilizar métodos diferentes para encontrar o conjunto de soluções da equação. Por 
mais que seja possível resolvê-la utilizando a fórmula de Bhaskara, os métodos específicos de cada equação 
incompleta acabam sendo menos trabalhosos. A diferença entre a equação completa e a equação incompleta 
é que naquela todos os coeficientes são diferentes de 0, já nesta pelo menos um dos seus coeficientes é zero.
Como Resolver Equações do 2º Grau Incompletas
Para encontrar as soluções de uma equação do 2º grau, é bastante comum a utilização da fórmula de 
Bhaskara, porém existem métodos específicos para cada um dos casos de equações incompletas, a seguir 
veremos cada um deles.
Quando c = 0
Quando o c = 0, a equação do 2º grau é incompleta e é uma equação do tipo ax² + bx = 0. Para encontrar seu 
conjunto de soluções, colocamos a variável x em evidência, reescrevendo essa equação como uma equação 
produto. Vejamos um exemplo a seguir.
Exemplo: Encontre as soluções da equação 2x² + 5x = 0.
1º passo: colocar x em evidência.
Reescrevendo a equação colocando x em evidência, temos que:
2x² + 5x = 0
x · (2x + 5) = 0
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2º passo: separar a equação produto em dois casos.
Para que a multiplicação entredois números seja igual a zero, um deles tem que ser igual a zero, no caso, 
temos que:
x · (2x + 5) = 0
x = 0 ou 2x + 5 = 0
3º passo: encontrar as soluções.
Já encontramos a primeira solução, x = 0, agora falta encontrar o valor de x que faz com que 2x + 5 seja 
igual a zero, então, temos que:
2x + 5 = 0
2x = -5
x = -5/2
Então encontramos as duas soluções da equação, x = 0 ou x = -5/2.
Quando b = 0
Quando b = 0, encontramos uma equação incompleta do tipo ax² + c = 0. Nesse caso, vamos isolar a 
variável x até encontrar as possíveis soluções da equação. Vejamos um exemplo:
Exemplo: Encontre as soluções da equação 3x² – 12 = 0.
Para encontrar as soluções, vamos isolar a variável.
3x² – 12 = 0
3x² = 12
x² = 12 : 3
x² = 4
Ao extrair a raiz no segundo membro, é importante lembrar que existem sempre dois números e que, ao 
elevarmos ao quadrado, encontramos como solução o número 4 e, por isso, colocamos o símbolo de ±.
x = ±√4
x = ±2
Então as soluções possíveis são x = 2 e x = -2.
Quando b = 0 e c = 0
Quando tanto o coeficiente b quanto o coeficiente c são iguais a zero, a equação será do tipo ax² = 0 e terá 
sempre como única solução x = 0. Vejamos um exemplo a seguir.
Exemplo:
3x² = 0
x² = 0 : 3
x² = 0
x = ±√0
x = ±0
x = 0
PRODUTOS NOTÁVEIS
Os produtos notáveis obedecem a leis especiais de formação e, por isso, não são efetuados pelas regras 
normais da multiplicação de polinômios. Apresentam-se em grande número e dão origem a um conjunto de 
identidades de grande aplicação.
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Considere a e b, expressões em R, representando polinômios quaisquer, apresentamos a seguir os produtos 
notáveis.
– Quadrado da Soma de Dois Termos: sendo a o primeiro termo e b o segundo termo, é igual ao quadrado 
do primeiro, mais duas vezes o primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo.
(a + b)2 = (a + b) (a + b) = a2 + 2ab + b2
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
– Quadrado da Diferença de Dois Termos: sendo a o primeiro termo e b o segundo termo, é igual ao 
quadrado do primeiro, menos duas vezes o primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo.
(a - b)2 = (a - b) (a - b) = a2 - 2ab + b2
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
– Produto da Soma pela Diferença de Dois Termos: sendo a o primeiro termo e b o segundo termo, é 
igual ao quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo.
(a + b).(a – b) = a2 – ab + ab - b2
(a + b).(a – b) = a2 – b2
– Cubo da Soma de Dois Termos: sendo a o primeiro termo e b o segundo termo, é igual ao cubo do 
primeiro, mais três vezes o quadrado do primeiro pelo segundo, mais três vezes o primeiro pelo quadrado do 
segundo, mais o cubo do segundo.
(a + b)3 = (a + b) (a + b)2 = (a + b) (a2 + 2ab + b2)
(a + b)3 = a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
– Cubo da Diferença de Dois Termos: sendo a o primeiro termo e b o segundo termo, é igual ao cubo do 
primeiro, menos três vezes o quadrado do primeiro pelo segundo, mais três vezes o primeiro pelo quadrado do 
segundo, menos o cubo do segundo termo.
(a - b)3 = (a - b) (a2 - 2ab + b2)
(a - b)3 = a3 + 2a2b + ab2 - a2b + 2ab2 - b3
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
– Quadrado da soma de três termos: sendo a o primeiro termo e b o segundo termo, é igual ao quadrado 
do primeiro, mais o quadrado do segundo, mais o quadrado do terceiro, mais duas vezes o primeiro pelo 
segundo, mais duas vezes o primeiro pelo terceiro, mais duas vezes o segundo pelo terceiro.
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
RELAÇÕES E FUNÇÕES
Diagrama de Flechas
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Gráfico Cartesiano
Muitas vezes nos deparamos com situações que envolvem uma relação entre grandezas. Assim, o valor 
a ser pago na conta de luz depende do consumo medido no período; o tempo de uma viagem de automóvel 
depende da velocidade no trajeto.
Como, em geral, trabalhamos com funções numéricas, o domínio e a imagem são conjuntos numéricos, e 
podemos definir com mais rigor o que é uma função matemática utilizando a linguagem da teoria dos conjuntos.
Definição: Sejam A e B dois conjuntos não vazios e f uma relação de A em B.
Essa relação f é uma função de A em B quando a cada elemento x do conjunto A está associado um e ape-
nas um elemento y do conjunto B.
Notação: f: A→B (lê-se função f de A em B)
Domínio, contradomínio, imagem
O domínio é constituído por todos os valores que podem ser atribuídos à variável independente. Já a ima-
gem da função é formada por todos os valores correspondentes da variável dependente.
O conjunto A é denominado domínio da função, indicada por D. O domínio serve para definir em que con-
junto estamos trabalhando, isto é, os valores possíveis para a variável x.
O conjunto B é denominado contradomínio, CD. 
Cada elemento x do domínio tem um correspondente y no contradomínio. A esse valor de y damos o nome 
de imagem de x pela função f. O conjunto de todos os valores de y que são imagens de valores de x forma o 
conjunto imagem da função, que indicaremos por Im.
Exemplo
Com os conjuntos A={1, 4, 7} e B={1, 4, 6, 7, 8, 9, 12}criamos a função f: A→B. definida por f(x) = x + 5 que 
também pode ser representada por y = x + 5. A representação, utilizando conjuntos, desta função, é:
No nosso exemplo, o domínio é D = {1, 4, 7}, o contradomínio é = {1, 4, 6, 7, 8, 9, 12} e o conjunto imagem 
é Im = {6, 9, 12}
Classificação das funções
Injetora: Quando para ela elementos distintos do domínio apresentam imagens também distintas no con-
tradomínio.
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Sobrejetora: Quando todos os elementos do contradomínio forem imagens de pelo menos um elemento do 
domínio.
Bijetora: Quando apresentar as características de função injetora e ao mesmo tempo, de sobrejetora, ou 
seja, elementos distintos têm sempre imagens distintas e todos os elementos do contradomínio são imagens 
de pelo menos um elemento do domínio.
Função 1º grau
A função do 1° grau relacionará os valores numéricos obtidos de expressões algébricas do tipo (ax + b), 
constituindo, assim, a função f(x) = ax + b.
Estudo dos Sinais
Definimos função como relação entre duas grandezas representadas por x e y. No caso de uma função do 
1º grau, sua lei de formação possui a seguinte característica: y = ax + b ou f(x) = ax + b, onde os coeficientes a 
e b pertencem aos reais e diferem de zero. Esse modelo de função possui como representação gráfica a figura 
de uma reta, portanto, as relações entre os valores do domínio e da imagem crescem ou decrescem de acordo 
com o valor do coeficiente a. Se o coeficiente possui sinal positivo, a função é crescente, e caso ele tenha sinal 
negativo, a função é decrescente.
Função Crescente: a > 0
De uma maneira bem simples, podemos olhar no gráfico que os valores de y vão crescendo.
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Função Decrescente: aonde a≠0
f(x)=a(x-x1)(x-x2)
É essencial que apareça ax² para ser uma função quadrática e deve ser o maior termo.
Concavidade
A concavidade da parábola é para cima se a>0 e para baixo se a 0
A parábola y=ax²+bx+c intercepta o eixo x em dois pontos distintos, (x1,0) e (x2,0), onde x1 e x2 são raízes 
da equação ax²+bx+c=0
∆ = 0
Quando ∆=0 , a parábola y=ax²+bx+c é tangente ao eixo x, no ponto 
Repare que, quando tivermos o discriminante ∆ = 0, as duas raízes da equação ax²+bx+c=0 são iguais 
∆ 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo V; quando a 1 temos uma função exponencial crescente, qualquer que seja o valor real de x.
No gráfico da função ao lado podemos observar que à medida que x aumenta, também aumenta f(x) ou y. 
Graficamente vemos que a curva da função é crescente.
Função decrescente
Se 0 0, PA crescente
r = 0, PA constante
Propriedades das Progressões Aritméticas
-Qualquer termo de uma PA, a partir do segundo, é a média aritmética entre o anterior e o posterior.
-A soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos.
a1 + an = a2 + an-1 = a3 + an-2
Termo Geral da PA
Podemos escrever os elementos da PA(a1, a2, a3, ..., an,...) da seguinte forma:
a2 = a1 + r
a3 = a2 + r = a1 + 2r
a4 = a3 + r = a1 + 3r
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Observe que cada termo é obtido adicionando-se ao primeiro número de razões r igual à posição do termo 
menos uma unidade.
an = a1 + (n - 1)r
Soma dos Termos de uma Progressão Aritmética
Considerando a PA finita (6,10, 14, 18, 22, 26, 30, 34).
6 e 34 são extremos, cuja soma é 40
Numa PA finita, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos.
Soma dos Termos
Usando essa propriedade, obtemos a fórmula que permite calcular a soma dos n primeiros termos de uma 
progressão aritmética.
Sn - Soma dos primeiros termos
a1 - primeiro termo
an - enésimo termo
n - número de termos
Exemplo
Uma progressão aritmética finita possui 39 termos. O último é igual a 176 e o central e igual a 81. Qual é o 
primeiro termo?
Solução
Como esta sucessão possui 39 termos, sabemos que o termo central é o a20, que possui 19 termos à sua 
esquerda e mais 19 à sua direita. Então temos os seguintes dados para solucionar a questão:
Sabemos também que a soma de dois termos equidistantes dos extremos de uma P.A. finita é igual à soma 
dos seus extremos. Como esta P.A. tem um número ímpar de termos, então o termo central tem exatamente o 
valor de metade da soma dos extremos.
Em notação matemática temos:
Assim sendo:
O primeiro termo desta sucessão é igual a -14.
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA
Denomina-se progressão geométrica(PG) a sequência em que se obtém cada termo, a partir do segundo, 
multiplicando o anterior por uma constante q, chamada razão da PG.
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Exemplo
Dada a sequência: (4, 8, 16)
a1 = 4
a2 = 4 . 2 = 8
a3 = 8 . 2 = 16
Classificação
As classificações geométricas são classificadas assim:
- Crescente: Quando cada termo é maior que o anterior. Isto ocorre quando a1 > 0 e q > 1 ou quando a1 0 e 0 1.
- Alternante: Quando cada termo apresenta sinal contrário ao do anterior. Isto ocorre quando qInfinita
1º Caso:-1 1
A PG infinita não possui soma finita, dizemos que a série é divergente
3º Caso: |q| = 1
Também não possui soma finita, portanto divergente
Produto dos termos de uma PG finita
PORCENTAGEM
Este termo se refere a uma fração cujo denominador é 100, seu símbolo é (%). Sua utilização está tão dis-
seminada que a encontramos nos meios de comunicação, nas estatísticas, em máquinas de calcular, etc. 
Os acréscimos e os descontos é importante saber porque ajuda muito na resolução do exercício.
Acréscimo
Se, por exemplo, há um acréscimo de 10% a um determinado valor, podemos calcular o novo valor apenas 
multiplicando esse valor por 1,10, que é o fator de multiplicação. Se o acréscimo for de 20%, multiplicamos por 
1,20, e assim por diante. Veja a tabela abaixo:
ACRÉSCIMO OU LUCRO FATOR DE MULTIPLICAÇÃO
10% 1,10
15% 1,15
20% 1,20
47% 1,47
67% 1,67
Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos: 
10 x 1,10 = R$ 11,00
Desconto
No caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será:
Fator de Multiplicação =1 - taxa de desconto (na forma decimal)
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Veja a tabela abaixo:
DESCONTO FATOR DE MULTIPLICAÇÃO
10% 0,90
25% 0,75
34% 0,66
60% 0,40
90% 0,10
Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 
10 X 0,90 = R$ 9,00
Chamamos de lucro em uma transação comercial de compra e venda a diferença entre o preço de venda e 
o preço de custo.
Lucro=preço de venda -preço de custo
Podemos expressar o lucro na forma de porcentagem de duas formas:
Exemplo
(DPE/RR – Analista de Sistemas – FCC/2015) Em sala de aula com 25 alunos e 20 alunas, 60% desse 
total está com gripe. Se x% das meninas dessa sala estão com gripe, o menor valor possível para x é igual a
(A) 8.
(B) 15.
(C) 10.
(D) 6.
(E) 12.
Resolução
45------100%
X-------60%
X=27
O menor número de meninas possíveis para ter gripe é se todos os meninos estiverem gripados, assim 
apenas 2 meninas estão.
Resposta: C.
MATEMÁTICA FINANCEIRA
A Matemática Financeira possui diversas aplicações no atual sistema econômico. Algumas situações es-
tão presentes no cotidiano das pessoas, como financiamentos de casa e carros, realizações de empréstimos, 
compras a crediário ou com cartão de crédito, aplicações financeiras, investimentos em bolsas de valores, 
entre outras situações. Todas as movimentações financeiras são baseadas na estipulação prévia de taxas de 
juros. Ao realizarmos um empréstimo a forma de pagamento é feita através de prestações mensais acrescidas 
de juros, isto é, o valor de quitação do empréstimo é superior ao valor inicial do empréstimo. A essa diferença 
damos o nome de juros.
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Capital
O Capital é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também conhecido como: Principal, 
Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em inglês usa-se Present Value (indicado pela tecla PV nas cal-
culadoras financeiras).
Taxa de juros e Tempo
A taxa de juros indica qual remuneração será paga ao dinheiro emprestado, para um determinado período. 
Ela vem normalmente expressa da forma percentual, em seguida da especificação do período de tempo a que 
se refere:
8 % a.a. - (a.a. significa ao ano).
10 % a.t. - (a.t. significa ao trimestre).
Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária, que é igual a taxa percentual dividida por 100, 
sem o símbolo %:
0,15 a.m. - (a.m. significa ao mês).
0,10 a.q. - (a.q. significa ao quadrimestre)
Montante
Também conhecido como valor acumulado é a soma do Capital Inicial com o juro produzido em determinado 
tempo.
Essa fórmula também será amplamente utilizada para resolver questões.
M = C + J
M = montante
C = capital inicial
J = juros
M=C+C.i.n
M=C(1+i.n)
JUROS SIMPLES
Chama-se juros simples a compensação em dinheiro pelo empréstimo de um capital financeiro, a uma taxa 
combinada, por um prazo determinado, produzida exclusivamente pelo capital inicial.
Em Juros Simples a remuneração pelo capital inicial aplicado é diretamente proporcional ao seu valor e ao 
tempo de aplicação.
A expressão matemática utilizada para o cálculo das situações envolvendo juros simples é a seguinte:
J = C i n, onde:
J = juros
C = capital inicial
i = taxa de juros
n = tempo de aplicação (mês, bimestre, trimestre, semestre, ano...)
Observação importante: a taxa de juros e o tempo de aplicação devem ser referentes a um mesmo período. 
Ou seja, os dois devem estar em meses, bimestres, trimestres, semestres, anos... O que não pode ocorrer é 
um estar em meses e outro em anos, ou qualquer outra combinação de períodos.
Dica: Essa fórmula J = C i n, lembra as letras das palavras “JUROS SIMPLES” e facilita a sua memorização.
Outro ponto importante é saber que essa fórmula pode ser trabalhada de várias maneiras para se obter 
cada um de seus valores, ou seja, se você souber três valores, poderá conseguir o quarto, ou seja, como exem-
plo se você souber o Juros (J), o Capital Inicial (C) e a Taxa (i), poderá obter o Tempo de aplicação (n). E isso 
vale para qualquer combinação.
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Exemplo
Maria quer comprar uma bolsa que custa R$ 85,00 à vista. Como não tinha essa quantia no momento e 
não queria perder a oportunidade, aceitou a oferta da loja de pagar duas prestações de R$ 45,00, uma no ato 
da compra e outra um mês depois. A taxa de juros mensal que a loja estava cobrando nessa operação era de:
(A) 5,0%
(B) 5,9%
(C) 7,5%
(D) 10,0%
(E) 12,5%
Resposta Letra “e”. 
O juros incidiu somente sobre a segunda parcela, pois a primeira foi à vista. Sendo assim, o valor devido 
seria R$40 (85-45) e a parcela a ser paga de R$45.
Aplicando a fórmula M = C + J:
45 = 40 + J
J = 5
Aplicando a outra fórmula J = C i n:
5 = 40 X i X 1
i = 0,125 = 12,5%
JUROS COMPOSTOS
o juro de cada intervalo de tempo é calculado a partir do saldo no início de correspondente intervalo. Ou 
seja: o juro de cada intervalo de tempo é incorporado ao capital inicial e passa a render juros também.
Quando usamos juros simples e juros compostos?
A maioria das operações envolvendo dinheiro utilizajuros compostos. Estão incluídas: compras a médio e 
longo prazo, compras com cartão de crédito, empréstimos bancários, as aplicações financeiras usuais como 
Caderneta de Poupança e aplicações em fundos de renda fixa, etc. Raramente encontramos uso para o regime 
de juros simples: é o caso das operações de curtíssimo prazo, e do processo de desconto simples de duplica-
tas.
O cálculo do montante é dado por:
M = C (1 + i)t
Exemplo
Calcule o juro composto que será obtido na aplicação de R$25000,00 a 25% ao ano, durante 72 meses
C = 25000
i = 25%aa = 0,25
i = 72 meses = 6 anos
M = C (1 + i)t
M = 25000 (1 + 0,25)6
M = 25000 (1,25)6
M = 95367,50
M = C + J
J = 95367,50 - 25000 = 70367,50
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geometria básica
ÂNGULOS
Denominamos ângulo a região do plano limitada por duas semirretas de mesma origem. As semirretas re-
cebem o nome de lados do ângulo e a origem delas, de vértice do ângulo.
Ângulo Agudo: É o ângulo, cuja medida é menor do que 90º. 
Ângulo Obtuso: É o ângulo cuja medida é maior do que 90º. 
Ângulo Raso:
- É o ângulo cuja medida é 180º; 
- É aquele, cujos lados são semi-retas opostas. 
Ângulo Reto:
- É o ângulo cuja medida é 90º; 
- É aquele cujos lados se apoiam em retas perpendiculares. 
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TRIÂNGULOS
Elementos
Mediana
Mediana de um triângulo é um segmento de reta que liga um vértice ao ponto médio do lado oposto.
Na figura, é uma mediana do ABC.
Um triângulo tem três medianas.
A bissetriz de um ângulo interno de um triângulo intercepta o lado oposto
Bissetriz interna de um triângulo é o segmento da bissetriz de