P1 2015.2 Pablo Guarino UFF

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Universidade Federal Fluminense – UFF
Instituto de Matema´tica e Estat´ıstica – IME
Departamento de Matema´tica Aplicada – GMA
Professor Pablo Guarino
1a¯ prova de Ca´lculo III A (2015-2) - 21/01/2016
Questa˜o Pontos Notas
1 2
2 2
3 3
4 3
Total 10
Nome:
Observac¸o˜es: A interpretac¸a˜o das questo˜es faz parte dos crite´rios de avaliac¸a˜o desta prova.
Responda cada questa˜o de maneira clara e organizada. Resultados apresentados sem jus-
tificativas do racioc´ınio na˜o sera˜o considerados. Qualquer aluno pego consultando alguma
fonte ou colega tera´, imediatamente, atribu´ıdo grau zero na prova. O mesmo ocorrera´ com o
aluno que facilitar a consulta do colega. Na˜o e´ permitido sair da sala durante a prova. Na˜o
e´ permitido o uso de calculadora. O celular deve estar desligado e guardado.
Questa˜o 1 (2 pontos)
Calcule
∫ ln 2
0
∫ √(ln 2)2−y2
0
e
√
x2+y2 dx dy .
Questa˜o 2 (2 pontos)
(a) Seja f : R→ (−pi
2
, pi
2
) dada por f(x) = arctan(x). Lembre que f e´ a func¸a˜o inversa
da tangente trigonome´trica, isto e´: f
(
sen y
cos y
)
= y para todo y ∈ (−pi
2
, pi
2
). Mostre que
f ′(x) =
1
1 + x2
para todo x ∈ R.
(b) Mostre que:∫ 2
0
(
arctan(pix)−arctan(x)
)
dx =
ln(5)
2
− ln(1 + 4pi
2)
2pi
+2
[
arctan(2pi)−arctan(2)].
Questa˜o 3 (3 pontos)
(a) Calcule
∫ pi
2
−pi
2
cos4 t dt.
(b) Calcule
∫ 2
−2
(4− x2)3/2 dx.
(c) Calcule o volume da regia˜o no R3 limitada pelas superf´ıcies
z = x2 + 3y2 e z = 8− x2 − y2 .
Questa˜o 4 (3 pontos)
Calcule o volume de R = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 ≤ 2 , x2 + y2 ≥ 1}.