Resumo de Álgebra Linear

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ÁLGEBRA LINEAR
Material de estudo — teoria, fórmulas, exemplos e exercícios
Como estudar: leia a teoria, refaça os exemplos sem consultar a solução e depois resolva os exercícios.
Preste atenção às unidades, hipóteses e sinais.
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1. Matrizes e operações
Matriz é uma tabela de números organizada em linhas e colunas. Uma matriz m×n possui m linhas e n
colunas.
Adição e subtração só são possíveis entre matrizes de mesma ordem. Na multiplicação matricial, o
número de colunas da primeira deve ser igual ao número de linhas da segunda.
FÓRMULA: Para A=(a■■) e B=(b■■), (A+B)■■=a■■+b■■.
2. Determinantes
Para uma matriz 2×2, o determinante é obtido pela diferença entre os produtos da diagonal principal e
da diagonal secundária.
FÓRMULA: Se A=[[a,b],[c,d]], então det(A)=ad−bc.
Uma matriz quadrada é invertível quando det(A)≠0.
3. Sistemas lineares
Um sistema linear reúne equações de primeiro grau. Pode ser resolvido por substituição, eliminação ou
escalonamento de Gauss.
FÓRMULA: AX=B. Se A é invertível, X=A■¹B.
Um sistema pode ter uma solução, infinitas soluções ou nenhuma solução.
4. Vetores e espaços vetoriais
Vetores possuem componentes, direção, sentido e módulo. Em R², o vetor v=(x,y) tem módulo
|v|=√(x²+y²).
FÓRMULA: Produto escalar u·v=u■v■+u■v■.
Dois vetores são ortogonais quando seu produto escalar é zero.
5. Transformações lineares
Uma transformação T é linear quando preserva soma e multiplicação por escalar: T(u+v)=T(u)+T(v) e
T(αu)=αT(u).
A matriz associada à transformação depende das imagens dos vetores da base.
6. Autovalores e autovetores
Um autovetor v, diferente do vetor nulo, satisfaz Av=λv. O número λ é o autovalor associado.
FÓRMULA: det(A−λI)=0. Essa equação é chamada equação característica.
Autovalores e autovetores aparecem em estabilidade, sistemas dinâmicos, vibrações, computação e
engenharia.
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Exercícios de fixação
1. Calcule [[2,1],[3,4]] + [[1,2],[0,5]].
2. Calcule o determinante de [[5,2],[3,1]].
3. Resolva: x+y=7 e 2x−y=5.
4. Calcule o produto escalar de u=(2,−1) e v=(3,4).
5. Verifique se u=(1,2) e v=(2,−1) são ortogonais.
6. Encontre os autovalores de [[2,0],[0,3]].
7. Explique quando uma matriz quadrada possui inversa.
8. Resolva o sistema 2x+y=8 e x−y=1.
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Gabarito
Ex. Resposta
1 [[3,3],[3,9]]
2 −1
3 x=4, y=3
4 2
5 Sim, pois 2−2=0
6 2 e 3
7 Quando det(A)≠0
8 x=3, y=2