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Aref Antar Neto José Luiz Pereira Sampaio Nilton Lapa Sidney Luiz Cavallantte TRIGONOMETRIA Noções de Matemática VOLUME 3 Capa: Annysteyne Maia Chaves CIP – Brasil. Catalogação-na-Fonte. Câmara Brasileira do Livro, SP T747 Trigonometria: 2º grau / Aref Antar Neto. (et al.) Fortaleza: Ed. Vestseller, 2009. (Noções de matemática; v.3) 1. Trigonometria (2º grau) I. Antar Neto, Aref, 1949 – II. Série. 78-1488 17. CDD – 514 18. – 516.24 Índices para catálogo sistemático: 1. Trigonometria 514.7 (17.) 516.24 (18.) www.VestSeller.com.br Índice Parte I Capítulo 1. Medidas de arcos e ângulos ..............................................................13 1.1 ― Arcos de circunferência .............................................................13 1.2 ― Medida de um arco ....................................................................14 1.3 ― Ângulos......................................................................................15 1.4 ― Medida de um ângulo ................................................................15 1.5 ― Unidades usuais de medida ......................................................16 1.6 ― O número : uma razão geométrica ..........................................17 1.7 ― Arco de uma volta......................................................................18 1.8 ― Comprimento de um arco ..........................................................18 1.9 ― Conversão de unidades.............................................................19 Capítulo 2. Razões trigonométricas no triângulo retângulo: seno, cosseno e tangente ...........................................................................................23 2.1 ― Relações métricas no triângulo retângulo..................................23 2.2 ― Razões trigonométricas no triângulo retângulo: seno, cosseno e tangente..................................................................................24 2.3 ― Aplicação importante: ângulos notáveis ....................................26 2.4 ― Primeiras relações fundamentais...............................................29 Exercícios Suplementares .........................................................34 Parte II Capítulo 3. Circunferência trigonométrica...........................................................39 3.1 ― Segmento orientado ..................................................................39 3.2 ― Eixo............................................................................................39 3.3 ― Medida algébrica de um segmento orientado............................40 3.4 ― Relação de Chasles...................................................................40 3.5 ― Sistema de abscissas ................................................................41 3.6 ― Sistema cartesiano ortogonal ....................................................42 3.7 ― Arco orientado ...........................................................................44 3.8 ― Circunferência trigonométrica ....................................................44 3.9 ― Medida algébrica de um arco orientado.....................................45 3.10 ― Ângulos......................................................................................46 3.11 ― Arcos ou ângulos com mais de um volta ...................................46 3.12 ― Algumas expressões importantes..............................................49 3.13 ― Arcos côngruos..........................................................................49 3.14 ― Expressões do tipo 2k n ......................................................52 Capítulo 4. Seno e cosseno.................................................................................. 60 4.1 ― Seno e cosseno ........................................................................ 60 4.2 ― Variação e sinais do seno e do cosseno................................... 62 4.3 ― Relação sen2 + cos2 = 1 ....................................................... 63 4.4 ― Alguns valores particulares ....................................................... 64 4.5 ― Senos dos arcos de medidas n .............................................. 66 Capítulo 5. Tangente e cotangente ...................................................................... 71 5.1 ― Tangente................................................................................... 71 5.2 ― Variação e sinais da tangente................................................... 73 5.3 ― Cotangente ............................................................................... 77 5.4 ― Variação e sinais da cotangente ............................................... 79 Capítulo 6. Secante e cossecante ....................................................................... 86 6.1 ― Secante e cossecante............................................................... 86 6.2 ― Variação e sinais da secante e da cossecante ......................... 87 6.3 ― Resumos................................................................................... 88 Capítulo 7. Redução ao 1º quadrante .................................................................. 94 Capítulo 8. Equações simples .............................................................................. 98 8.1 ― Introdução................................................................................. 98 8.2 ― Conjunto-universal e conjunto-solução ..................................... 98 8.3 ― Equação do tipo cos x = a......................................................... 98 8.4 ― Notação arc cos a ................................................................... 100 8.5 ― Conjunto-universo U = ......................................................... 102 8.6 ― Equação do tipo sen x = a ...................................................... 104 8.7 ― Notação arc sen a................................................................... 106 8.8 ― Equação do tipo tg x = a ......................................................... 109 8.9 ― Notação arc tg a...................................................................... 110 8.10 ― Notação arc cotg a. Equação do tipo cotg x = a ..................... 113 8.11 ― Resumo das notações novas.................................................. 116 Exercícios Suplementares ...................................................... 119 Parte III Capítulo 9. Primeiras fórmulas trigonométricas............................................... 125 9.1 ― Introdução............................................................................... 125 9.2 ― Mudança de sinal do arco (ou ângulo).................................... 125 9.3 ― Cosseno da soma e cosseno da diferença ............................. 126 9.4 ― Arcos (ou ângulos) complementares ...................................... 128 9.5 ― Seno da soma e seno da diferença ........................................ 132 9.6 ― Tangente da soma e tangente da diferença ............................134 9.7 ― Resumo ...................................................................................136 9.8 ― Simplificação de expressões trigonométricas dos arcos da forma k x .............................................................................139 9.9 ― Simplificação de expressões trigonométricas dos arcos da forma k x, 2 k ímpar...............................................................143 Capítulo 10. Fórmulasde arco dobro, arco triplo e arco metade ....................148 10.1 ― Introdução ...........................................................................148 10.2 ― Arco dobro...........................................................................148 10.3 ― Arco triplo ............................................................................152 10.4 ― Arco metade........................................................................153 10.5 ― Fórmulas auxiliares: sen a, cos a e tg a em função de atg 2 .....................................................................................155 10.6 ― Resumo...............................................................................157 Capítulo 11. Transformação em produto ..........................................................160 11.1 ― Introdução ...........................................................................160 11.2 ― Transformação de sen p sen q e cos p cos q................160 11.3 ― Transformação de sen p cos q.........................................163 11.4 ― Transformação de tg p tg q ..............................................163 11.5 ― Fórmulas de reversão: transformação de produtos em somas ou diferenças.......................................................................164 11.6 ― Resumo...............................................................................166 Exercícios Suplementares...................................................168 Parte IV Capítulo 12. Equações trigonométricas ............................................................173 12.1 ― Finalidade deste capítulo ....................................................173 12.2 ― Equações clássicas.............................................................182 12.3 ― 1ª equação clássica ............................................................182 12.4 ― 2ª equação clássica ............................................................188 12.5 ― 3ª equação clássica ............................................................190 12.6 ― Equações que envolvem as relações inversas ...................194 Capítulo 13. Inequações trigonométricas .........................................................200 13.1 ― Inequação do tipo cos x < a ................................................200 13.2 ― Inequação do tipo cos x > a ................................................201 13.3 ― Inequações dos tipos sen x < a e sen x > a ........................203 13.4 ― Inequações dos tipos tg x < a e tg x > a..............................206 Exercícios Suplementares...................................................212 Parte V Capítulo 14. Resolução de triângulos ............................................................... 217 14.1 ― Introdução .......................................................................... 217 14.2 ― Lei dos senos ..................................................................... 217 14.3 ― Lei dos cossenos................................................................ 220 14.4 ― Área do triângulo ................................................................ 223 14.5 ― Resumo.............................................................................. 225 Exercícios Suplementares.................................................. 236 Parte VI Capítulo 15. Funções trigonométricas ............................................................. 241 15.1 ― Introdução .......................................................................... 241 15.2 ― O conceito de função ......................................................... 241 15.3 ― Função real de variável real ............................................... 242 15.4 ― Gráfico de uma função real de variável real ....................... 242 15.5 ― A correspondência entre um número real e um ponto da Circunferência trigonométrica............................................. 243 15.6 ― Função seno....................................................................... 245 15.7 ― Definição de função periódica ............................................ 246 15.8 ― Gráfico da função seno ...................................................... 246 15.9 ― Definição de função limitada .............................................. 247 15.10 ― Função cosseno ................................................................. 248 15.11 ― Gráfico da função cosseno................................................. 248 15.12 ― Função tangente ................................................................ 249 15.13 ― Gráfico da função tangente ................................................ 250 15.14 ― Função cotangente............................................................. 252 15.15 ― Gráfico da função cotangente ............................................ 253 15.16 ― Função secante.................................................................. 254 15.17 ― Gráfico da função secante.................................................. 254 15.18 ― Função cossecante ............................................................ 256 15.19 ― Gráfico da função cossecante ............................................ 256 15.20 ― Definição de função par e função ímpar............................. 257 15.21 ― Paridade das funções trigonométricas ............................... 257 15.22 ― Resumo.............................................................................. 258 Capítulo 16. Cálculo de períodos e construção de gráficos ........................... 264 16.1 ― Introdução .......................................................................... 264 16.2 ― Cálculo do período de funções da forma y = m + nf(ax + b)264 16.3 ― Cálculo do período de somas e produtos de duas funções periódicas........................................................................... 266 16.4 ― Construção de gráficos....................................................... 269 Capítulo 17. Funções trigonométricas inversas ...............................................277 17.1 ― O conceito de função inversa..............................................277 17.2 ― Introdução às funções trigonométricas inversas .................278 17.3 ― A inversa do seno: função arco-seno..................................279 17.4 ― A inversa do cosseno: função arco-cosseno.......................279 17.5 ― A inversa da tangente: função arco-tangente .....................282 17.6 ― A inversa da cotangente: função arco-cotangente ..............283 Exercícios Suplementares ................................................................286 Respostas dos exercícios propostos ................................................288 Respostas dos exercícios suplementares.........................................316 Tabela de razões trigonométricas.....................................................327 30 logo, podemos escrever: sentg cos Podemos, como exemplo, verificar as relações acima com os valores da tabela para os ângulos notáveis: a) 22 2 2 1 3 1 3 4sen 30º cos 30º 1 2 2 4 4 4 b) 3 2sen 60º 3 tg 60º cos 60º 1 2 c) 2 2sen 45º 1 tg 45º cos 45º 2 2 Exercícios Resolvidos 2.4) Calcule sen e tg , sabendo que é um ângulo agudo e que cos = 1 3 . Solução 1º) como sen2 + cos2 = 1, temos: sen2 = 1 – cos2 = 1 – 21 1 81 3 9 9 Assim, 8 2 2sen . 3 3 2º) como sentg cos , temos: 2 2 3 tg 2 2 1 3 2.5) Sendo sen – cos = m e um ângulo agudo, determine o produto sen · cos. Solução Elevando ambos os membros da igualdade dada ao quadrado, temos: (sen – cos )2 = m2 sen2 – 2sencos + cos2 = m2; 31 mas, sen2 + cos2 = 1; então: 1 – 2sencos = m2 2sencos = 1 – m2 e, finalmente sen · cos = 21 m 2 2.6) Prove que: 1 1 1sen cos tg 1 sen cos tg Solução Vamos partir do primeiro membro da igualdade, lembrando que tg = sen ; cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos sen1 sen 1 cos1ºm sen cos sen cos cos sen (cos sen ) cos sen 1 2º m sen cos sen cos sen cos Exercícios Propostos 2.7) Num triângulo retângulo, um dos catetos mede 5 e a altura relativa à hipotenusa mede 3. Determine as medidas do outro cateto, da hipotenusa e dos segmentos que a altura determina sobre a hipotenusa. 2.8) No triângulo da figura são dados m = 3 e n = 1 Calcule a, b, c e h 2.9) Com referência à figura do exercício anterior, sendo dados m = 5 e h = 5 , determine as medidas dos demais segmentos indicados. 2.10) Ainda com referência à figura do exercício 2.8, sendo dados b = 2 e n = 3, calcule as medidas dos demais segmentos indicados. 32 2.11) Voando a uma altitude de 1000 metros, o piloto mede, em dois instantes diferentes, os ângulos segundo os quais ele avista uma árvore, como indica a figura. Qual é a distância percorrida pelo avião entre os dois instantes considerados? Utilizar os valores tg 30º = 0,58 e tg 45º = 1,00. 2.12) Sendo 4 cm o raio da circunferência da figura, calcule o comprimento da corda AB. Dados: sen 20º = 0,34 e cos 20º = 0,94. 2.13) Calcule a medida c do lado AB do triângulo retângulo dado na figura abaixo. Dados: sen 25º = 0,42; cos 25º = 0,91; tg 25º = 0,47. 2.14) Calcule a altura do edifício representado na figura. São dados: tg 87º = 19,1; tg 58º = 1,6 33 2.15) Sendo a medida de um ângulo agudo tal que 2sen 7 , calcule cos e tg . 2.16) Sendo a medida de um ângulo agudo tal que tg = 3, calcule sen e cos . 2.17) Prove que 2 1 sen1tg cos 1 sen 2.18) Simplifique a expressão sen6x + cos6x – sen4x – cos4x + sen2x 66 4.5) Prove que sen2·cos2 – cos2·sen2 = sen2 – sen2 Solução Vamos desenvolver o 1º membro lembrando que cos2 = 1 – sen2 e cos2 = 1 – sen2. sen2·cos2 – cos2·sen2 = sen2·(1 – sen2) – (1 – sen2)·sen2= = sen2 – sen2·sen2 – sen2 + sen2·sen2 = sen2 – sen2. 4.6) Dê todos os valores de x no intervalo –2 x 2 tais que 3cos x 2 . Solução A figura ao lado auxilia a visualização do problema. Os arcos cujos cossenos valem 3 2 tem extremidades no ponto P (2º quadrante) ou no ponto Q (3º quadrante) e correspondem aos valores em graus indicados. Essas medidas, expressas em radianos, são a resposta procurada. Temos então 7 5 5 7x ou x ou x ou x 6 6 6 6 . 4.7) Dê a expressão geral de todos os valores de x tais que 2sen x 2 . Solução O valor 2sen x 2 corresponde aos pontos P e Q indicados na figura ao lado. Os arcos de extremidade P tem expressão geral 5x 2k (k ) 4 e aqueles de extremidade Q tem expressão geral 7x 2k (k ) 4 4.5. SENOS DOS ARCOS DE MEDIDAS Vamos examinar um processo para o cálculo dos senos de arcos cujas medidas são da forma n (com n 3, inteiro). Incluem-se nestes casos , , , , etc. 3 4 5 6 10 67 Primeiramente, observemos que, se dividirmos a circunferência em n partes iguais (n 3), dois pontos de divisão P e Q sucessivos determinam a corda PQ, que é o lado do polígono regular inscrito de n lados. Sua medida é indicada por n. A figura 4.11 dá alguns exemplos. a) pentágono regular (n = 5) b) octógono regular (n = 8) c) hexágono regular (n = 6) d) decágono regular (n = 10) Fig. 4.11 O ângulo P OQ é a enésima parte da circunferência e mede, portanto, 2 n (fig. 4.12). Se os pontos P e Q são marcados de modo que a corda PQ seja perpendicular ao eixo Ox. então o arco AQ tem medida n e resulta nsen n 2 (n 3, inteiro) Fig. 4.12 68 Da Geometria conhecem-se as expressões dos lados dos polígonos regulares em função do raio da circunferência circunscrita. Temos, por exemplo: 3 4 6 8 10 r 3 (triângulo equilátero) r 2 (quadrado) r (hexágono regular) r 2 2 (octógono regular) 5 1r (decágono regular) 2 Lembrando que a circunferência trigonométrica tem raio r = 1, obtemos os valores: 3 4 6 8 10 3sen 3 2 2 2sen 4 2 2 1sen 6 2 2 2 2sen 8 2 2 5 1sen 10 2 4 Exercício Resolvido 4.8) Calcule sen 12 . Solução Vamos determinar inicialmente a expressão de 12 em função do raio da circunferência circunscrita. A figura acima representa um dodecágono regular inscrito na circunferência de raio r. Observe que a medida do segmento PQ é 6 = r. No triângulo retângulo AA'Q podemos escrever 2 AQ A ' A MA onde 12AQ A ' A 2r e MA r OM. Assim, 2 12 2r(r OM) 69 Mas no triângulo retângulo OMQ temos 2 2 2 OM OQ MQ , isto é, 2 2 22 2 26 2 2 12 12 r 3rOM r r 2 4 4 r 3Então, 2r r r (2 3 ) 2 e finalmente, r 2 3 . Pondo r = 1, obtemos 12 2 3sen . 12 2 2 Exercícios Propostos 4.9) Dê o sinal de cos (– 2187º). 4.10) Dê o sinal de sen (– 3295º). 4.11) Determine o valor de cos 3465°. 4.12) Determine o valor de sen 4290º. 4.13) Dê o valor de sen 793º (utilizando a tabela que se encontra no final deste volume). 4.14) Sendo 21 msen x 2 , determine cos x. 4.15) Sendo 2 sen x cos x 2 , calcule sen x e cos x. 4.16) Dê a expressão geral de todos os valores de x tais que a) 2cos x 2 b) 1sen x 2 4.17) Prove que 4 5 cos 3 5 sen 0 3 5 sen 4 5 cos 4.18) Prove que cos3 – sen3 = (cos – sen ) (1 + sen ·cos ) 4.19) Prove que (1 + sen x + cos x)2 = 2(1 + sen x) (1 + cos x) 70 4.20) Prove que sen2 + sen2 – sen2·sen2 + cos2·cos2 = 1 4.21) Simplifique a expressão sen6x + cos6x + 3sen2x·cos2x 4.22) Calcule sen 16 4.23) Calcule cos 8 78 Exercícios Resolvidos 5.6) Simplifique a expressão y = (1 – sen2) (1 + cotg2) Solução Lembrando que 1 – sen2 = cos2 e que coscotg sen , escrevemos: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos sen cosy (1 sen )(1 cotg ) cos 1 cos sen sen cos cotg sen 5.7) Demonstre a identidade tg x tg y tg x tg y cotg x cotg y Solução Vamos desenvolver a expressão do 1º membro: tg x tg y tg x tg y tg x tg y tg x tg y(tg x tg y) cotg x cotg y tg x tg ytg x tg y1 1 tg x tg y tg x tg y tgx tgy 5.8) Sendo cotg x = m, escreva em função de m a expressão y = cos2x – sen2x. Solução Em 1º lugar, partindo da identidade cos xcotg x sen x , escrevemos 2 2 2cos x m sen x donde 2 2 2 1 sen x m sen x . Desta última igualdade resulta 2 2 1sen x 1 m . Além disso, temos cos2x = 1 – sen2x = 1 – 2 2 2 1 m 1 m 1 m Sendo assim, a expressão dada fica: y = cos2x – sen2x = 2 2 2 m 1 1 m 1 m isto é, 2 2 m 1y m 1 5.9) Simplifique 2 2 2 cotg a 1y 1 cotg a 1 tg a 84 5.21) Sendo cotg x = m, calcule cos x. 5.22) Se tg x = 2 p 1 p , calcule cos x. 5.23) Dado que 3cos2x – sen2x = 2, calcule tg x e cotg x. 5.24) Dado que (a – 1)sen2x + (a + 1)cos2x = a, calcule tg x e cotg x. 5.25) Determine os valores de m para que se tenha, simultaneamente: 2m 3 2m 1tgx e cotgx m 3m 5.26) Determine todos os valores de x no intervalo –2 x 2, que satisfazem a condição: a) tg x = –1 b) 3cotgx 3 c) tg x = – 3 d) cotgx 3 e) tg x = 0 5.27) Determine todos os valores de x no intervalo – x que satisfazem a condição: a) cotg x = –1 b) 3tgx 3 c) cotgx 3 d) 3tgx 3 e) cotg x = 0 5.28) Dê a expressão geral de todos os valores de x tais que: a) tg x = 0 b) cotg x = –1 c) tg x = 3 d) cotg x = 0 e) 3tgx 3 f) tg2x = 1 g) cotg2x = 3 h) tg x + cotg x + 2 = 0 5.29) Sendo A e B arcos de 1º quadrante, tais que sen A cos A1 2 10e , sen B 2 cos B 5 determine tg A e tg B. 85 5.30) Simplifique cada uma das expressões dadas abaixo: a) y = cotg2·tg·sen + tg2·cotg ·cos b) y = sen ·cos ·tg c) cos (1 sen )y 1 cos tg d) y = tg ·sen + cos e) y = (1 + tg2) (1 + cotg2) (1 – cos2) f) 1 cotgy 1 tg g) y = 2cos – sen (cotg – tg ) h) 2 2 t gy 1 tg i) 2 2 2 2 t g cotgy (1 tg ) (1 cotg ) 5.31) Prove as identidades seguintes: a) (tg + cotg ) sen ·cos = 1 b) 2 2 2 1 t g 2cos 1 1 tg c) [(cotg + cos )2 – (cotg – cos )2]2 = 16(cotg2 – cos2) 92 6.2) Prove que cossec4 – cossec2 = cotg4 + cotg2 Solução Lembrando que cossec2 = 1 + cotg2, podemos escrever cossec4 – cossec2 = cossec2·[cossec2 – 1] = = (1 + cotg2) [(1 + cotg2) – 1] = = (1 + cotg2)·cotg2 = cotg4 + cotg2 6.3) Prove que sec x tg x sec x tg x 2(sec x cossec x) cossec x cotg x cossec x cotg x SoIução Partindo da expressão do 1º membro: sec x tg x sec x tg x cossec x cotg x cossec x cotg x (sec x tg x)(cossec x cotg x) (sec x tg x)(cossec x cotg x) (cossec x cotg x)(cossec x cotg x) O denominador desta fração é igual a cossec2x – cotg2x = (1 + cotg2x) – cotg2x = 1 Podemos então desenvolver o numerador: sec x·cossec x – sec x·cotg x + tg x·cossec x – tg x·cotg x – sec x·cossec x – sec x·cotg x + tg x·cosssec x + tg x·cotg x = 2(tg x·cossec x – sec x·cotg x) = sen x cos x1 1 1 12 2 2(sec x cossec x) cos x sen x cos x sen x cos x sen x 6.4) Sendo sec – tg = a (a 0), calcule sen Solução Podemos escrever sen1 a cos cos donde a·cos = 1 – sen Elevando ao quadrado, resulta a2cos2 = (1 – sen )2 isto é, a2(1 – sen2) = (1 – sen )2 ou a2(1 – sen ) (1 + sen ) – (1 – sen )2 = 0 e (1 – sen ) [a2(1 + sen ) – (1 – sen )] = 0 Há dois casos a considerar: 1) 1 – sen = 0, donde sen = 1. Esta resposta é inaceitável, pois teríamos cos = 0 e assim não existiriam sec e tg . 2) a2(1 + sen) – (1 – sen) = 0 93 Desta equação tiramos 2 2 1 asen 1 a Exercícios Propostos 6.5) Dado sen x = –0,60, calcule as demais razões trigonométricas de x. 6.6) Dado 7tg x 3 , calcule as demais razões trigonométricas de x. 6.7) Dado 5sec x 2 , calcule as demais razões trigonométricas de x. 6.8) Dado 2sec x t 1 (t 0) , calcule as demais razões trigonométricas de x. 6.9) Sendo cossec x = m, calcule tg x. 6.10) Determine os valores de p para os quais é possível a igualdade sec x = 2p2 – 1. 6.11) Determine m para que se tenha, simultaneamente: tg x = 3m + 3 e sec x = m + 2. 6.12) Sendo m e n números positivos tais que cossec x m n m(m n) , determine tg x. 6.13) Simplifique as expressões: a) 1 seny sec tg b) y = (sec4 – sec2)·cos4 c) cossec cotg cossec cotgy cossec cotg cossec cotg d) y = (1 – cos ) (cosssec + cotg ) 6.14) Prove cada uma das identidades seguintes: a) (1 – cotg x)2 + (1 – tg x)2 = (sec x – cossec x)2 b) sec x cossec x tg x cotg x tg x cotg x sec x cossec x 119 Exercícios Suplementares II.1) Utilizando a tabela, dê o valor de: a) sen 3973º b) cos 415º c) tg 3297º d) cotg 11 2 e) sec 142 3 f) cossec 19 3 II.2) Calcule sen x e cos x, sendo: 8sen2x + 2cos2x = 5sen x + 1 II.3) Calcule sen x e cos x, sendo sen x·cos x = 2 5 9 II.4) Calcule sen x e cos x, sendo: 2(sen3x + cos3x) = sen x + cos x II.5) Calcule sen x e cos x, sendo: sen x + acos x = a II.6) Calcule sen x e cos x, sendo (m + 1)sen x + (m – 1)cos x = m + 1 (m 1) II.7) Prove que 2cos2 – 1 = 2 2 1 tg 1 tg II.8) Prove que: 1 + (1 + 2tg2x)sen2x = 2tg2x + cos2x II.9) Sendo cos + cos = a e sen + sen = b, calcule cos ·cos + sen ·sen . II.10) Prove que: 4 4 tg x cotg x 2 sen x cos x 4 tg x cotg x 2 sen x cos x II.11) Prove que 4 4 2cos x sen x cos x 2 sec x 2 sec x II.12) Sendo tg = 2 2 b a b , simplifique: y = sen (1 + tg ) + cos (1 + cotg ) – sec 120 II.13) Simplifique: y = cotg2x(tg x – sen x)(sec x + 1) II.14) Simplifique 1 1y 1 cos 1 cos sendo de 1º quadrante. II.15) Simplifique 2 2 2 (tg x cotg x)y sec x cossec x II.16) Sendo asen x a b e cos x > 0, calcule as demais razões trigonométricas de x. II.17) Sendo cos x = 2 2 2 2 a b a b com a > b > 0 e sen x > 0, calcule as demais razões trigonométricas de x. II.18) Sendo a btg x , a b com a > b > 0 e cos x < 0, calcule as demais razões trigonométricas de x. II.19) Sendo cotg m nx 2 mn , com m > n > 0 e sen x > 0, calcule as demais razões trigonométricas de x. II.20) Sendo cotg + cossec = m (m 0), calcule cos . II.21) Determine m para que se tenha simultaneamente m 3sen x 5 e 2m 4cos x 5 . II.22) Determine m para que se tenha simultaneamente cotg x = 3 m + 1 e cossec x = 2m + 2 . II.23) Sendo sen x + cos x = a, calcule sen3x + cos3x. II.24) Sendo sen x + cos x = a, calcule tg3x + cotg3x. II.25) Prove que: tg2·sec + sen2(sec + cos ) = sec3 – cos3 II.26) Utilizando redução ao 1º quadrante, calcule sen A + cos 2A + tg 3 A, sendo 535A 12 121 II.27) Resolva a equação cos 32x 3 2 , no conjunto-universo U = [–; ] II.28) Resolva a equação tg 3x = –1, no conjunto-universo U = . II.29) Sendo x = arc sen 1 5 , calcule tg x. II.30) Sendo x = arc tg 1 2 , calcule sen x. II.31) Resolva a equação arc sen 3x 1 = arc cos x II.32) Resolva a equação 2 13 1arc cos arc tg x 13 2 II.33) Calculey = sen (arc tg 2) II.34) Calcule y = sec (arc cotg a) II.35) Resolva a equação tg x + 3 cotg x = 4 no conjunto-universo U = [0; 2]. II.36) Resolva a equação tg2x = 2sec x – 1 no conjunto-universo U = [–; ]. II.37) Resolva a equação 8cos2x + sec x = 0 no conjunto-universo U = . II.38) Resolva a equação 4sen x cos x + 3 = 0 no conjunto-universo U = [0; 2]. II.39) Resolva a equação sec2x + cossec2x = 4 no conjunto-universo U = [0; 2]. II.40) Resolva a equação 2 2 2 3 7 cos x cotg x no conjunto-universo U = . 128 cos cos cos sen sen 4 1 3 2 2 4 6 2 4 6 2 5 3 5 3 15 15 15 9.2) Calcule cos 105º, utilizando os senos e cossenos de 60º e 45º. Solução Como 105º = 60º + 45º, temos: cos 105º = cos(60º + 45º) = cos 60º·cos 45º – sen 60º·sen 45º = 1 2 3 2 2 6donde cos 105º 2 2 2 2 4 9.3) Demonstre a identidade cos(a + b)·cos(a – b) = cos2a – sen2b Solução 1º membro = cos(a + b)·cos(a – b) = = (cos a·cos b – sen a·sen b) · (cos a·cos b + sen a·sen b) = = cos2a·cos2b – sen2a·sen2b = cos2a·(1 – sen2b) – (1 – cos2a)·sen2b = = cos2a – cos2a·sen2b – sen2b + cos2a·sen2b = cos2a – sen2b = = 2º membro 9.4. ARCOS (OU ÂNGULOS) COMPLEMENTARES Dois arcos cujas medidas tem soma igual a 2 (ou igual a um côngruo de 2 ) são chamados complementares; (30º; 60º), 5 11; , ; 12 12 8 8 são exemplos de pares de arcos complementares. Assim, se é a medida de um arco, 2 é a medida de um seu complementar. Propriedade: se dois arcos são complementares, o cosseno de um deles é igual ao seno do outro, isto é: cos sen 2 sen cos 2 A verificação da primeira igualdade é simples: basta desenvolver o cosseno da diferença; assim: 129 cos cos cos sen sen 2 2 2 como cos 0 e sen 1, vem : 2 2 cos sen2 Para verificarmos a segunda relação efetuamos uma mudança de variável; assim, na igualdade (já verificada) cos x sen x2 fazemos a substituição x 2 , da qual resulta x2 2 2 ; logo cos sen 2 . Interpretação Geométrica Se P e Q são, respectivamente, as extremidades dos arcos de medida e 2 (fig. 9.5), é imediato que AÔP = QÔB (medida ). Fig. 9.5 Assim, a bissetriz b dos quadrantes ímpares contém a bissetriz OD do triângulo isósceles POQ. Portanto, P e Q são simétricos em relação a b. Podemos então concluir que arcos complementares tem extremidades simétricas em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares. Podemos agora deduzir facilmente as relações entre as demais razões trigonométricas: sen cos2tg cotg 2 sencos 2 130 1 1cotg tg 2 cotgtg 2 1 1sec cossec 2 sencos 2 1 1cossec sec 2 cossen 2 Temos, assim, a seguinte tabela de relações: sen cos2 cos sen2 tg cotg 2 cotg tg2 sec cossec 2 cossec sec2 Exercícios Resolvidos 9.4) Simplifique a expressão: sen 10º cos 50º tg 65º y cos 80º sen 40º cotg 25º Solução Usando as fórmulas de mudança de sinal, vem: sen 10º cos 50º tg 65ºy cos 80º sen 40º cotg 25º Notando, agora, que 10º + 80º = 90º, 50º + 40º = 90º e 65º + 25º = 90º, as relações entre arcos complementares nos permitem escrever: sen 10º cos 50º tg 65ºy sen 10º cos 50º tg 65º logo, y = –1 9.5) Sendo x um arco qualquer, calcule o valor da expressão 2 2y sen x sen x 6 3 131 Solução Basta notar que x x ;6 3 6 3 2 portanto, sen x cos x3 6 ; assim 2 2 2 2y sen x sen x sen x cos x 6 3 6 6 logo, y = 1 9.6) Sendo e dois arcos complementares tais que sen – sen = m, calcule o produto sen ·sen Solução Temos sen = cos ; assim, a diferença dada fica sen – cos = m Elevando ao quadrado ambos os membros, vem sen2 – 2sen ·cos + cos2 = m2 ou 1 – 2sen ·cos = m2 e daí 21 msen cos 2 Então 21 msen sen 2 9.7) Calcule o valor da expressão y = sen 41º · sen 42º · sen 43º · sen 44º · sen 45º · sec 46º · sec 47º · sec 48º · sec 49º Solução Notando que 41º + 49º = 90º, temos que sec 49º = cossec 41º 1 sen 41º ; portanto, sen 41º · sec 49º = 1. Pelo mesmo motivo, sen 42º · sec 48º = 1 sen 43º · sec 47º = 1 sen 44º · sec 46º = 1 Assim, a expressão dada se reduz a y = sen 45º logo, 2y 2 136 9.7. RESUMO 1º) Mudança de sinal do arco (ou ângulo) sen sen cos cos tg tg cotg cotg sec sec cossec cossec 2º) Arcos (ou ângulos) complementares sen cos 2 cos sen2 tg cotg 2 cotg tg2 sec cossec 2 cossec sec2 3º) Soma e diferença de arcos (ou ângulos) sen (a + b) = sen a · cos b + sen b · cos a sen (a – b) = sen a · cos b – sen b · cos a cos (a + b) = cos a · cos b – sen a · sen b cos (a – b) = cos a · cos b + sen a · sen b tg a tg btg a b 1 tg a tg b tg a tg btg a b 1 tg a tg b Exercícios Propostos 9.14) Dado que 3sen , 5 2 , determine: a) sen (–) b) cos (–) c) tg (–) 9.15) Sendo sen (x – y) = a, calcule a para que se tenha 3·sen (y – x) + 2cos2(y – x) = 0. Resolva, em seguida, a equação sen (x – y) = a, para x – y no 1º quadrante. 9.16) Simplifique as expressões abaixo e, se possível, determine seu valor numérico 137 a) y = cos 3x·cos x + sen3x·sen x b) y = cos 65º·cos 25º – sen 65º·sen 25º c) y = cos 70º·cos 10º + sen 70º·sen 10º 9.17) Calcule cos 75º e cos 15º, usando, para ambos, as fórmulas de cos(a + b) ou cos(a – b). 9.18) Se 2sen , 3 2 , calcule cos x 4 . 9.19) Calcule cos 3 1arc sen arc sen 5 2 . 9.20) Dado que 3sec 3, 2 2 , determine: a) sen 2 b) cos 2 c) tg 2 9.21) Sendo cos x a, 4 determine: a) cos x 4 b) sen x 4 9.22) Sendo cos x m 3 , determine sen x 6 . 9.23) Simplifique as expressões a) sen x cos x sen x cos x 2 2 y 1 tg x cotg x 2 b) cos a b tg x 12 y 5cos b a cotg x 12 9.24) Calcule o valor da expressão: y = tg 1º · tg 2º · tg 3º · ... · tg 88º · tg 89º 138 9.25) Calcule o valor da expressão: y = 2 · cos 26º · cos 27º · cos 28º · cos 29º · cos 30º · cossec 61º · cossec 62º · cossec 63º · cossec 64º 9.26) Simplifique as expressões abaixo e, se possível, determineseu valor numérico: a) y = sen 2a·cos a – sen a·cos 2a b) y = sen 5 ·cos 4 5 + sen 4 5 ·cos 5 9.27) Calcule sen 105º. 9.28) Calcule 3 24sen arc sen arc tg 2 7 . 9.29) Mostre que sen (a + b)·sen (a – b) = cos2b – cos2a. 9.30) Calcule tg 15º. 9.31) Supondo satisfeitas as condições de existência, mostre que: cos x sen xtg x 4 cos x sen x 9.32) Determine tg x, sabendo que: tg x tg x 2 4 4 9.33) Sendo 4 , mostre que: 1 tg 1 tg 2 9.34) Mostre que, se x + y + z = 2 , então tg x·tg y + tg x·tg z + tg y·tg z = 1 9.35) Se cotg e cotg são raízes da equação x2 + bx – 1 = 0, calcule cotg(+ ), sabendo que b 0. 9.36) São dadas, a seguir, três equações do 2º grau com seus respectivos conjuntos-solução: E1: x2 – sx + p = 0, S1 = {sen (a + b); cos (a – b)} E2: x2 – s1x + p1 = 0, S2 = {sen a; cos a} E3: x2 – s2x + p2 = 0; S3 = {sen b; cos b} Mostre que s = s1·s2 e que p = p1 + p2 147 9.44) Simplifique as expressões: a) 3sen 2 tg cotg 2 2y cos 2 tg b) 3 3sen cos sen cos 2 2y cos cos 2 sen sen 2 2 9.45) Se tg 35º = a, calcule: tg 215º tg 125ºy tg 235º tg 325º 9.46) Simplifique a expressão: 9 13sen sen cos 72 2 9.47) Calcule a expressão: cos x 1620º tg x 630º y sen 990º , sen 900º x sabendo que 5sen x 5 9.48) Avalie a expressão: E = sen 0º + sen 1º + sen 2º + ... + sen 360º 9.49) Avalie a expressão: E = cos 20º + cos 40º + cos 60º + ... + cos 180º 9.50) Mostre que, se x, y e z são ângulos internos de um triângulo não retângulo, então tg x, tg y e tg z tem sua soma igual ao seu produto. 166 11.6. RESUMO 1º) Fórmulas de transformação em produto p q p qsen p sen q 2 sen cos 2 2 p q p qsen p sen q 2 sen cos 2 2 p q p qcos p cos q 2 cos cos 2 2 p q p qcos p cos q 2 sen sen 2 2 sen p q tg p tg q cos p cos q sen p q tg p tg q cos p cos q 2º) Fórmulas de reversão 1sen a cos b sen a b sen a b2 1cos a cos b cos a b cos a b2 1sen a sen b cos a b cos a b2 Exercícios Propostos 11.11) Transforme em produto as expressões: a) sen 6x + sen 2x c) sen x – sen 3x b) cos 7x + cos 3x d) cos 3x – cos 9x 11.12) Transforme em produto as expressões: a) 1 – 2sen 2x c) sen x + cos x b) sen 2x + 2sen x d) sen 3x – cos x 11.13) Transforme em produto as expressões: a) sen 11x + sen 3x + sen 15x – sen x b) cos 5x + cos x + sen 9x + sen 3x 11.14) Simplifique a expressão: cos 9x cos 7xy sen 9x sen 7x 167 11.15) Simplifique a expressão: sen 100º sen 20ºy cos 100º cos 20º 11.16) Sendo a b 3 , calcule o valor de: sen a sen by cos b cos a 11.17) Utilizando as fórmulas de transformação em produto, demonstre que: sen2a – sen2b = sen (a + b)·sen (a – b) 11.18) Transforme em produto a expressão sen23x – cos2x 11.19) Demonstre que: tg 3x – tg x = 2sen x·sec 3x 11.20) Demonstre que: acotg a tg cossec a 2 11.21) Adotando cos 10º = 0,98, calcule o valor de tg 10º + tg 40º 11.22) Sabendo que x ysen 0 2 e que: x ya tg x b tg y a b tg ,2 prove que a cos y = b cos x 11.23) Transforme os produtos abaixo em somas ou diferenças: a) sen 40º·cos 12º b) 2cos 5x·cos x c) 2sen 3x·sen 2x 11.24) Calcule o valor das expressões: a) 5y sen cos 24 24 b) 7y cos cos 12 12 c) 3 9y 2 sen sen 24 24 11.25) Simplifique a expressão: y = sen x (2cos 2x + 2cos 4x + 2cos 6x + 1) 11.26) Sendo cos 10º = a, calcule o valor da expressão: y = 8cos 65º·cos 25º·cos 145º·cos 125º 168 Exercícios Suplementares III.1) Resolva a equação 1sen( x) 2 III.2) Simplifique a expressão: cos 3x cos x sen 3x sen xy 1 2 cos 2x 1 2 cos 2x III.3) Calcule sen 285º, conhecidos os senos e cossenos de 30º e 45º. III.4) Sendo e ângulos agudos de um triângulo retângulo, verifique que: sen 2 cos 3 III.5) Dados 2 5sen a , 0 a e sen b , 0 b 3 2 5 2 , calcule o valor de sen (a – b) + cos (a + b). III.6) Mostre que cotga cotgb 1cotg a b cotga cotgb III.7) Sendo a b 3 , calcule o valor de y 1 3 cotg a 1 3 cotg b . III.8) Simplifique a expressão: cotg tg 2 2 y 3t g 2 cotg 2 1 2 III.9) Calcule a expressão: sen arc sen a cos arc sen b2 y 3cos arc sen a sen arc cos b 2 2 III.10) Se A, B e C são ângulos internos de um triângulo, mostre que: cotg A·cotg B + cotg A·cotg C + cotg B·cotg C = 1 III.11) Calcule 1sen 2 arc cos 3 III.12) Calcule 3cos 4 arc sen 4 169 III.13) Calcule 1tg arc tg 2 2 III.14) Verifique as identidades: a) 2sen – sec = sec ·(sen 2 – 1) b) 2cos – sec = sec ·cos 2 III.15) Calcule cos 15º de dois modos: 1º) utilizando o fato 15º = 45º – 30º 2º) utilizando o fato 15º = 30º 2 III.16) Sendo n *, calcule o valor de sen 3n cos 3n y sen n cos n III.17) Sabendo que sen 2x = m, calcule o valor de: 2 2y sen x cos x 4 4 III.18) Simplifique a expressão sen3x sen xy 4sen x III.19) Sendo x y 4 , calcule cos x cos yy sen x sen y III.20) Simplifique a expressão: sen 40º sen 10ºy cos 80º cos 50º III.21) Simplifique a expressão: 2cos cos 7y 2 sen sen 5 sen III.22) Transforme em produto a expressão cos2a – cos2b. III.23) Transforme em produto a expressão sen a + sen b + sen c, sabendo que a, b e c são ângulos internos de um triângulo. III.24) Transforme em produto a expressão: sen a b tg a tg b sen a sen b III.25) Calcule o valor de y = tg 9º – tg 27º – tg 63º + tg 81º 182 Obtemos então y k , ou seja, x k 4 2 donde x 2k 2 S x | x 2k k 2 12.2. EQUAÇÕES CLÁSSICAS Denominamos equações clássicas certos tipos de equações em cuja resolução se utilizam artifícios especiais. Analisaremos aqui os três tipos mais importantes, com seus métodos de resolução. 12.3. 1ª EQUAÇÃO CLÁSSICA Trata-se da equação asen x + bcos x = c (ab 0) Há dois métodos principais. O primeiro, que consiste em colocar sen x e cos x em função de xtg t 2 , deve ser utilizado de preferência quando os coeficientes são literais e se impõe uma discussão. O segundo, mais indicado nos problemas numéricos, utiliza o ângulo auxiliar. 1º método Conhecemos as expressões de sen x e cos x em função de xtg t 2 : 2 2 2 2t 1 tsen x e cos x 1 t 1 t Com esta substituição,a equação clássica fica 2 2 2 b 1 t2 at c 1 t 1 t ou seja, após as simplificações: (b + c)t2 – 2at + c – b = 0 (I) Esta equação (I) permite calcular t e, em seguida, tendo-se xtg t 2 , podemos calcular x: x = 2 arc tg t + 2k . Supondo b + c 0, a equação (I) admitirá raízes se e somente se 24a 4 b c c b 0 isto é, se 183 a2 + b2 c2 Note-se, porém, que, adotando-se xtg 2 como incógnita auxiliar, corre-se o risco de perder a solução x = + 2k, que corresponderia à situação em que xtg 2 não existe. Verifiquemos em que caso isto aconteceria: se x = + 2k for solução, teremos, para esse valor de x, sen x = 0 e cos x = –1, de modo que na equação a sen x + b cos x = c, obteríamos b + c = 0. Conclusão: se b + c = 0, teremos a solução x = + 2k e, além desta, a solução c bt 2a que se obtém de (I). Se b + c 0, teremos apenas as soluções dadas por (I). Exercícios Resolvidos 12.13) Resolva a equação 2sen x + 3cos x = 1 Solução Temos a = 2, b = 3 e c = 1 Pondo xtg t 2 ,obtemos sen 22tx 1 t e 2 2 1 tcos x 1 t . A equação fica 2 2 2 3 1 t4t 1 1 t 1 t isto é, 2t2 – 2t – 1 = 0. Dai resulta 1 3t 2 , donde x 1 3arc tg k 2 2 e, finalmente, x = 2 1 3arc tg 2k . 2 Como b + c = 4 0, segue que a solução x 2k não satisfaz. Sendo assim, 1 3S x | x 2 arc tg 2k k 2 12.14) Resolva a equação 3 sen x cos x 1 184 Solução Temos a 3 , b = –1 e c = 1. Pondo xtg t 2 , vem 22tsen x 1 t e 2 2 1 tcos x 1 t . A equação fica 2 2 2 2 3t 1 t 1 1 t 1 t isto é, 3t 3 . Daí resulta x k 2 6 donde x 2k 3 . Neste caso, temos b + c = 0; logo, os valores de x dados por x = + 2k também constituem solução, como se pode verificar diretamente, pondo sen x = 0 e cos x = –1 na equação dada. Temos então S x | x 2k ou x 2k k 3 12.15) Resolva e discuta a equação msen x + cos x + 3m – 1 = 0. Solução Temos a = m, b = 1 e c = 1 – 3m. Há dois aspectos a observar: primeiramente, se m = 0 ou m 0 e, em segundo lugar, se b + c = 0 ou b + c 0. Como b + c = 2 – 3m teremos b + c = 0 para 2m 3 . Vamos então analisar separadamente os três casos: 1º) m = 0 2º) 2m 3 3º) 2m 0 e m 3 1º caso: suponhamos m = 0. A equação fica cos x = 1, donde resulta S x | x 2k k 2º caso: suponhamos 2m 3 . A equação fica 2 3 sen x + cos x + 1 = 0. Pondo 2 2 2 x 2t 1 ttg t,sen x e cos x , 2 1 t 1 t obtemos 2 22 4t 1 t 1 0 1 t3 1 t isto é, 3t 2 . Resulta x 2 = arc 3tg k 2 . Temos então 3x 2 arc tg 2k 2 e ainda x 2k . Assim, 185 3S x | x 2 arc tg 2k ou x 2k k 2 3º caso: suponhamos 2m 0 e m 3 . Pondo xtg t 2 , 22tsen x 1 t e 2 2 1 tcos x , 1 t obtemos 2 2 2 2m t 1 t 3m 1 0 1 t 1 t isto é (3m – 2)t2 + 2mt + 3m = 0. A equação admitirá solução se e somente se = 4m2 – 4(3m – 2)·3m 0, ou seja, 30 m 4 Como 2m 0 e m 3 , devemos ter 2 2 30 m ou m 3 3 4 Se t1 e t2 são as raízes desta equação do 2º grau, escrevemos 1 2S x | x 2 arc tg t 2k ou x 2 arc tg t 2k k 2º método: ângulo auxiliar Dada a equação asen x + bcos x = c (ab 0), podemos escrever b csen x cos x a a Seja barc tg a (valor que pode ser obtido, por exemplo, por meio de uma tabela). Podemos fazer a substituição b sentg a cos e a equação fica sen csen x cos x cos a donde csen x cos sen cos x cos a isto é, csen x cos a Esta última é uma equação imediata que fornece os valores de x. Haverá soluções desde que seja satisfeita a condição c1 cos 1 a 186 Note que esta condição se escreve 2 2 2 c cos 1 a e como 2 2 22 2 2 2 2 1 1 1 acos bsec 1 tg a b1 a resulta 2 2 2 2 2 c a 1 a a b e finalmente 2 2 2a b c Esta condição confirma aquela que encontramos no 1º método. Exercícios Resolvidos 12.16) Resolva a equação sen x 3 cos x 1 . Solução Façamos arc tg 3 . 3 Assim, podemos substituir 3 por sen 3tg 3 cos 3 A equação fica sen 3sen x cos x 1 cos 3 ou sen x cos sen cos x cos 3 3 3 e finalmente 1sen x 3 2 . Observe a figura. Para o ponto P, temos x 2k 3 6 Donde x 2k 6 e para o ponto Q temos 5x 2k 3 6 Donde x 2k 2 . Assim, 187 S x | x 2k ou x 2k k 6 2 12.17) Resolva a equação sen x – 2·cos x = 1 Solução Façamos arc tg 2. Assim, sen2 tg cos e a equação fica sensen x cos x 1 cos ou seja sen x·cos – sen ·cos x = cos sen (x – ) = cos Escrevemos ainda sen x sen 2 sen x sen 0 2 x x2 sen cos 0 2 4 2 4 Há 2 casos a considerar: I) xsen 0 2 4 II) xcos 0 2 4 De I) vem x k 2 4 , donde x 2k 2 . 188 De II) vem x k 2 4 2 , donde x 2 2k 2 . Assim, S x | x 2k ou x 2 arc tg2 2k k 2 2 12.4. 2ª EQUAÇÃO CLÁSSICA Trata-se da equação asen2x + bsen x·cos x + c cos2x = d, abc 0 Há dois métodos principais. O primeiro consiste em colocar a expressão em função de tg x = r e é preferível nos casos de coeficientes literais, que exigem discussão. O segundo, mais indicado nos problemas numéricos, utiliza o arco dobro para recair na 1ª equação clássica. 1º método Vamos dividir ambos os membros da equação por cos2x. Obtemos 2 2 da tg x b tgx c cos x e, lembrando que 2 22 1 sec x 1 tg x cos x , vem atg2x + btg x + c = d(1 + tg2x) ou seja: 2(a d)r br c d 0 (I) Esta equação (I) permite calcular r para, em seguida, recairmos na equação imediata tg x = r. Note, entretanto, que, ao dividirmos ambos os membros por cos2x, podemos perder a solução x k 2 , que corresponderia ao caso cos x = 0. Verifiquemos em que situação isto ocorreria. Se x k 2 for solução, teremos, para este valor de x, cos x = 0 e sen x = ± 1, de modo que na equação asen2x + bsen x·cos x + c cos2x = d obteríamos a = d. Conclusão: se a = d, teremos a solução x k 2 e, além desta, a solução d cr b que se obtém de (I). Se a d, teremos apenas as soluções dadas por (I). 189 Exercício Resolvido 12.18) Resolva a equação 3cos2x + 4sen x·cos x – sen2x = 2 Solução Temos a = –1, b = 4, c = 3 e d = 2. Como a d, é claro que x k 2 não constitui solução. Podemos então supor cos x 0 e dividir ambos os membros da equação por cos2x. Obtemos 2 2 23 4 tg x tg x cos x e como 2 22 1sec x 1 tg x cos x resulta 3 + 4tg x – tg2x = 2(1 + tg2x) ou seja: 3tg2x – 4tg x – 1 = 0 Dai vem 2 7tg x 3 e assim 2 7S x | x arc tg k k 3 2º método: arco dobro Conhecemos as identidades 2 2 1sen x 1 cos2x 2 1cos x 1 cos2x 2 1sen x cos x sen 2x 2 Substituindo estas expressões na equação asen2x + bsen x·cos x + c cos2x = d, obtemos a b c1 cos 2x sen 2x 1 cos 2x d 2 2 2 Donde bsen 2x + (c – a) cos 2x = 2d – a – c Esta é a 1ª equação clássica, cuja resolução já examinamos. Exercício Resolvido 12.19) Resolva a equação 2 23 sen x 2sen x cos x 3 cos x 2 190 Solução Façamos a substituição em função do arco 2x: 3 31 cos 2x sen 2x 1 cos 2x 2 2 2 Donde sen 2x 3 cos 2x 2 Pondo sen 33 tg 3 cos 3 , a equação fica sen 3sen 2x cos 2x 2 cos 3 ou sen2x cos sen cos2x 2 cos 3 3 3 e então 2sen 2x 3 2 Observe a figura. Para o ponto P, temos 2x 2k 3 4 , ou seja, x k 24 e para o ponto Q temos 32x 2k 3 4 , ou seja, 5x k 24 . Assim, 5S x | x k ou x k k 24 24 12.5. 3ª EQUAÇÃO CLÁSSICA Trata-se da equação a sen x cos x bsen x cos x c isto é, uma equação que se exprime em função da soma sen x + cos x e do produto sen x cos x. Há dois métodos principais. O primeiro baseia-se na mudança de variável sen x + cos x = z 191 O segundo utiliza a mudança de variável x y 4 1º método Pondo sen x + cos x = z e elevando esta expressão ao quadrado, obtemos sen2 x + 2 sen x cos x + cos2 x = z2 donde 2z 1sen x cos x 2 Substituindo na equação dada, vem 2z 1az b c 2 ou seja: 2bz 2az b 2c 0 (I) Uma vez calculado z nesta equação (I), recai-se na equação sen x + cos x = z. Esta pode ser resolvida por transformação em produto, escrevendo-se sen x cos x sen x sen x 2 sen cos x 2 cos x 2 4 4 4 Resulta então a equação imediata 2 cos x z 4 É claro que só são aceitáveis os valores de z dados em (I) tais que 2 z 2 Exercício Resolvido 12.20) Resolva a equação sen x + cos x + 2 2 sen x cos x = 0 Solução Pondo sen x + cos x = z e sen x cos x = 2z 1 2 , a equação fica 2z 2 z 1 0 ou seja: 22 z z 2 0 Daí obtemos 2z ou z 2 2 . 192 Para 2z 2 , vem sen x + cos x = 2 2 ou seja, 22 cos x 4 2 e finalmente 1cos x 4 2 Temos então x 2k e x 2k 4 3 4 3 Para z 2 vem sen x + cos x = 2 , ou seja, 2 cos x 2 4 e finalmente cos x 1 4 . Temos então x 2k4 e 5x 2k 4 Assim, 5S x | x 2k ou x 2k k 4 3 4 2º método Pondo x y 4 , obtemos 2sen x sen y cos y sen y 4 2 2cos x cos y cos y sen y 4 2 Assim, sen x cos x 2 cos y e sen x·cos x = 1 2 (cos2y – sen2y) = cos2y – 1 2 Substituindo estas expressões na equação a(sen x + cos x) + bsen x·cos x = c obtemos 2 1a 2 cos y b cos y c 2 ou seja: bcos2y + a 2 cos y b 2 – c = 0 donde se calcula cos y. 193 Exercícios Resolvidos 12.21) Resolva a equação sec x + cossec x = 2 2 Solução Escrevemos 1 1 2 2 cos x sen x donde, sen x + cos x = 2 2 sen x cos x É, portanto, a 3ª equação clássica. Façamos x y 4 , obtendo (como explicado na teoria acima) 2 1sen x cos x 2 cos y e sen x cos x cos y 2 A equação fica 2 12 cos y 2 2 cos y 2 donde 2 cos2y – cos y – 1 = 0. Aqui obtemos cos y = 1 ou 1cos y . 2 Para cos y = 1 vem y = 2 k , donde x 2k 4 . Para cos y = 1 2 vem 2y 2k , 3 donde 2x 2k 4 3 . É imediato que estes valores satisfazem as condições de existência de sec x e cossec x. Assim, 2S x | x 2k ou x 2k k 4 4 3 12.22) Resolva a equação sen3 x + cos3 x = 1. Solução Fatorando o 1º membro através da identidade a3 + b3 = (a + b) (a2 + b2 – ab), vem (sen x + cos x) (sen2x + cos2x – sen x cos x) = 1 ou (sen x + cos x)(1 – sen x cos x) = 1 Pondo sen x + cos x = z e sen x cos 2z 1x 2 , a equação fica 2z 1z 1 1 2 Isto é, z3 – 3z + 2 = 0 A expressão do 1º membro, fatorada, resulta (z – 1)2(z + 2). Assim, temos z = 1 ou z = –2. Somente o valor z = 1 satisfaz a condição 2 z 2 . Recaímos então na equação sen x + cos x = 1, donde 194 22 cos x 1 ou cos x 4 4 2 Portanto, x 2k 4 4 e finalmente x 2k ou x 2k . 2 Assim, S x | x 2k ou x 2k k 2 12.6. EQUAÇÕES QUE ENVOLVEM AS RELAÇÕES INVERSAS Daremos neste item alguns exemplos de equações que envolvem as notações arc sen x, arc cos x, arc tg x e arc cotg x. A variedade dos exercícios deste tipo é muito grande, sendo portanto impossível estabelecer uma teoria geral. Os exercícios resolvidos a seguir poderão sugerir alguns dos métodos mais comuns. Exercícios Resolvidos 12.23) Resolva a equação arc tg x + arc tg (1 – x) = 2 arc tg 2x x Solução Indiquemos = arc tg x, donde tg = x e 2 2 = arc tg (1 – x), donde tg = 1 – x e 2 2 = arc tg 2x x , donde tg = 2x x e 2 2 A equação dada fica 2 e podemos então escrever 2 tg tg 2 tg tg 2 tg 1 tg tg 1 tg ou ainda 2 2 2 x 1 x 2 x x 1 x 1 x 1 x x Nesta equação, o valor de x pode ser calculado. Obtemos 1 1x e, assim, S 2 2 195 12.24) Resolva a equação arc sen 2x = arc sen x 3 + arc sen x Solução Indiquemos = arc sen 2x, donde sen = 2x e 2 2 = arc sen x 3 , donde sen = x 3 e 2 2 = arc sen x, donde sen = x e 2 2 A equação dada fica e, em seguida, escrevemos sen sen sen sen cos sen cos Calculemos cos e cos . Como sen x 3, obtemos 2 2 2cos 1 sen 1 3x e, assim, 2cos 1 3x . Mas 2 2 , donde se conclui que cos não é negativo. Portanto, 2cos 1 3x . Como sen = x, obtemos cos2 = 1 – sen2 = 1 – x2 e sendo 2 2 , vem 2cos 1 x . Com isto, a equação fica 2 22x x 3 1 x x 1 3x onde se calculam os valores de x. Obtemos 1x 0 ou x 2 . Discussão Sendo 2x = sen , devemos ter 1 2x 1 , isto é, 1 1x 2 2 Sendo x 3 sen , devemos ter 1 x 3 1 , isto é, 3 3x 3 3 Sendo x = sen , devemos ter 1 x 1 . Nota-se que os três valores encontrados para x satisfazem estas três condições. Podemos então escrever 1 1S 0; ; 2 2 12.25) Resolva a equação arc sen x + arc sen (1 – x) = arc cos x 196 Solução Indiquemos arc sen x, donde sen x e 2 2 arc sen 1 x , donde sen 1 x e 2 2 arc cos x, donde cos x e 0 A equação dada fica e, em seguida, escrevemos cos cos cos cos sen sen cos Calculemos cos e cos . Como sen x e , 2 2 vem 2cos 1 x . Como sen 1 x e , 2 2 vem 22 2 2cos 1 sen 1 1 x 2x x e então 2cos 2x x . Com isto, a equação fica 2 21 x 2x x x 1 x x onde se calculam os valores de x. Obtemos x = 0 ou 1x ou x 2. 2 O valor x = 2 não é satisfatório. Escrevemos 1S 0; 2 12.26) Resolva a equação arc tg x + 2 arc cotg x 2 3 Solução Indiquemos arc tg x, donde tg x e 2 2 arc cotg x, donde cotg x e 0 A equação dada fica 22 3 e, em seguida, escrevemos 22 3 2 2tg 2 tg 3 2tg tg2 tg 3 21 tg 1 tg tg 3 197 2 2 3 xx 1 1 3x1 x Nesta equação obtemos x 3 e, assim, S 3 Exercícios Propostos Resolva as equações dadas a seguir: 12.27) sen 7x = sen 5x 12.28) cos 2x = cos x 12.29) tg x cotg 2x 2 12.30) sen 2x cos x 4 12.31) 5tg 3x cotg 2x 0 4 2 12.32) 3 + 2cos 2x = 4cos x 12.33) sec x – cos x = sen x 12.34) cos a – cos x = sen (x – a) a 2k 2 12.35) 2 2x a x acos cos 1 cos a 0 2 2 12.36) sen (a + 2x) + sen (a + x) + sen a = 0 12.37) sen x sen x sen 0 4 3 12 12.38) 3 31sen x cos x cos x sen x 4 12.39) cos x·cos 7x = cos 3x·cos 5x 260 Função secante f(x) = sec x D(f) = {x | x 2 + k, (k )} I(f) = {y | y –1 ou y 1} período 2 função ímpar Função cossecante f(x) = cossec x D(f) = {x | x k, (k )} I(f) = {y | y –1 ou y 1} período 2 função ímpar Exercícios Resolvidos 15.1) Determine o conjunto-imagem da função f(x) = 2sen x. Solução Temos que, para todo x real, –1 sen x 1; multiplicando essa desigualdade por 2, vem: –2 2sen x 2 e daí –2 f(x) 2 Assim, I(f) = {y | –2 y 2} 15.2) Determine o domínio da função f(x) tg x 3 Solução Sabemos que existe tg se e somente se k , k2 Fazemos, então, x k 3 2 261 e tiramos x k 6 Logo D(f ) x | x k , k6 15.3) Determine o conjunto-imagem da função f(x) = –2 + 3sec x Solução Temos que, para todo x do domínio da função secante, sec x – 1 ou sec x 1; multiplicando as desigualdades por 3, vem 3sec x –3 ou 3sec x 3; subtraindo agora 2, temos –2 + 3sec x –5 ou –2 + 3sec x 1 e daí f(x) –5 ou f(x) 1 Assim, I(f) = {y | y –5 ou y 1} 15.4) Calcule o valor máximo assumido pela função f(x) = 5sen x · cos x Solução Sabemos que 2sen x·cos x = sen 2x, donde sen x·cos x = 1 2 sen 2x Escrevemos então, 1 sen 2xsen2x2f(x) 5 5 Como a base 5 é um número maior que 1, f(x) terá valor máximo quando o expoente assumir seu maior valor possível; como o máximo valor de sen 2x é 1, temos 1máxf 5 5 15.5) Determine o domínio da função 1f(x) cotg x 4 Solução Para obtermos o domínio dessa função, devemos impor duas condições: que a cotangente exista e que seja diferente de zero. 1ª) existência de cotg x 4 Sabemos que existe cotg se, e somente se k; fazemos então, 262 x k e tiramos x k 4 4 2ª) cotg x 0 4 Sabemos que cotg 0 para k 2 ; fazemos, então x k e tiramos x k 4 2 4 Portanto, D(f ) x | x k e x , k , k4 4 Observe que, se marcarmos na circunferência trigonométrica os pontos correspondentes às extremidades dos arcos k e k 4 4 , obtemos quatro pontos igualmente distribuídos, isto é, que dividem a circunferência em quatro partes iguais. Portanto, podemos escrever que kD(f ) x | x , k4 2 k P; P ' 4 k Q; Q ' 4 15.6) Mostre que a função definida por f(x) = x·sen x é par. Solução Vamos calcular f(–x) f(–x) = (–x)·sen (–x) = (–x)·(–sen x) ou seja f(–x) = x·sen x = f(x) Como f(–x) = f(x), a função é par. Exercícios Propostos 15.7) Determine o conjunto-imagem de cada uma das seguintes funções: a) f(x) = sen 3x b) f(x) = 3sen x 263 c) f(x) = 3 + sen x d) f(x) = –2 – cos x e) f(x) = 1 + 4cos x 3 f) f(x) = |cos x| 15.8) Determine o conjunto-imagem de cada uma das seguintes funções: a) f(x) = sec 2x b) f(x) = –2sec x c) f(x) = –2 + sec 2x d) f(x) = 2 + 4cossec x e) f(x) = |cossec x| f) f(x) = |–1 + cossec x| 15.9) Determine o domínio de cada uma das seguintes funções: a) f(x) = tg 2x b) f(x) = cotg x 5 c) f(x) = sec 3x 4 15.10) Determine o domínio de cada uma das seguintes funções: a) 1f(x) tg 2x b) 1f(x) sen x cos x c) 1f(x) cotg x 3 d) 1f(x) sen 3x sen x 15.11) Determine os valores mínimo e máximo que assume a função f(x) = –1 + 3sen x 15.12) Determine os valores mínimo e máximo que assume a função f(x) = |–1 + 3sen x| 15.13) Determine o valor mínimo assumido pela função f(x) = 4sen x · cos x 15.14) Determine o valor máximo assumido pela função f(x) = (0, 1)cos x 15.15) Determine o conjunto-imagem da função f(x) = sen x – cos x 264 15.16) Determine a paridade de cada uma das seguintes funções a) f(x) = x3·cos x b) f(x) = x·tg x c) tg 3x sen xf(x) cossec 2x d) 2x cotg 2x sen xf(x) sec 3x 265 16.1. INTRODUÇÃO No capítulo 15, tomamos conhecimento dos períodos e dos gráficos das funções f(x) = sen x, f(x) = cos x, f(x) = tg x etc. No entanto, é muito comum surgirem, em problemas (como, por exemplo, no estudo da Ondulatória, em Física), funções trigonométricas que ou sofreram transformações em relação às originais ou são a soma ou o produto daquelas; por exemplo, as funções definidas por f(x) = sen 2x, f(x) = cos2x, f(x) = a·sen (t + ), f(x) = sen x + cos x. Vamos, no presente capítulo, estudar algumas regras para o cálculo dos períodos e para a construção dos gráficos de algumas dessas funções. 16.2.CÁLCULO DO PERÍODO DE FUNÇÕES DA FORMA y = m + n·f(ax + b) Sejam m, n, a e b constantes reais, com a · n 0. Nessas condições, enunciamos o seguinte teorema: Se uma função f, definida por y = f(x), é periódica, de período p, então a função definida por g(x) = m + n·f(ax + b) é periódica e seu período é PP | a | Por exemplo, f(x) = cos x é uma função periódica, de período p = 2; então, a função definida por g(x) = 5 + 3cos 2x 4 é periódica e seu período é p 2P | a | | 2 | Deve-se notar, com muita atenção, que dos coeficientes m = 5, n = 3, a = 2 e b = 4 , o único a influir no período é a = 2, isto é, o coeficiente de x. 266 Demonstração do Teorema Devemos provar (ver15.7) que existe um real T, tal que g(x) = g(x + T), isto é m + n· f(ax + b) = m + n·f[a(x + T) + b]. Assim: se y = f(x) tem período p, temos que f(x) = f(x + p) = f(x + 2p) = f(x + 3p) = . . , isto é, para k , f(x) = f(x + k·p) Multiplicando essa igualdade por n (n 0) e somando em seguida m, vem: m + n·f(x)= m + n·f(x + k·p) Fazendo agora a substituição de x por ax + b (a 0), obtemos: m + n·f(ax + b) = m + n·f(ax + b + kp) que podemos escrever m + n·f(ax + b) = m + n·f(ax + b + a kp a ) ou ainda m + n·f(ax + b) = m + n·f[a(x kp a ) + b] Considerando kp T a temos g(x) g(x T) m n f(ax b) m n f[a(x T) b] logo, como existe o real kpT a para o qual g(x) = g(x + T), a função g é periódica. Como, por definição, período é o menor T positivo, obtemos, fazendo k = 1, o período de g pP | a | Exercícios Resolvidos 16.1) Calcule o período da função f(x) = sen x 3 . Solução Como a função sen x tem período p = 2, então p 2P 6 | a | 1 3 267 16.2) Calcule o período de função 2xf x 3 tg 3 4 Solução Como a função tg x tem período p = , então p 3P 2a 2 3 16.3) Calcule o período da função f(x) = 4 – 3sec x . Solução Como a função sec x tem período p = 2, então p 2P 2 a 16.4) Calcule o período da função f(x) = sen2x. Solução Devemos, inicialmente, escrever a função na forma y = m + n·f(ax + b). Para isso, vamos lembrar a fórmula de arco dobro cos 2x = 1 – 2sen2x de onde tiramos 2 1 cos2xsen x 2 isto é, que 1 1f x cos2x2 2 Como a função cos x tem período p = 2, então p 2P a 2 16.3. CÁLCULO DO PERÍODO DE SOMAS E PRODUTOS DE DUAS FUNÇÕES PERIÓDICAS Sejam f e g duas funções periódicas, definidas por y = f(x) e y = g(x), cujos períodos são, respectivamente, p1 e p2 com p1 p2. Enunciamos, então,o seguinte teorema: Se 1 2 p m p n , onde m e n são inteiros positivos e primos entre si, então as funções definidas por = f + g e = f·g são periódicas e seu período é P = np1 = mp2 268 Por exemplo, x xf x sen e g x tg2 3 são funções periódicas, cujos períodos são 1 2 2p 4 e p 31 1 2 3 . Estabelecendo a razão entre p1 e p2, obtemos 1 2 p 4 p 3 Assim, o período das funções 1 2 x x x xx sen tg e x sen tg 2 3 2 3 P 3p 4p ; logo P 12 Demonstrativo do teorema Devemos provar que existe um real T, tal que x x T e x x T isto é, f x g x f x T g x T e f x g x f x T g x T Assim: se f e g tem períodos p1 e p2, respectivamente, podemos escrever que f(x) = f(x + knp1) (I) e g(x) = g(x + kmp2) (II) onde para k tem-se também (kn) e (km) . Efetuando as operações (I) + (II) e (I) · (II), vem (III) : f(x) + g(x) = f(x + knp1) + g(x + kmp2) e (IV) : f(x) · g(x) = f(x + knp1) · g(x + kmp2) Como 1 2 p m p n , então np1 = mp2. Fazendo 1 2knp kmp T , as igualdades (III) e (IV) são escritas x x T x x T f x g x f x T g x T e f x g x f x T g x T logo, como existe o real T = knp1 = kmp2 para o qual x x T e x x T , as funções e são periódicas. Como, por definição, período é o menor T positivo, fazendo k = 1, obtemos o período de e : P = np1 = mp2 269 Deve-se notar que esse teorema é aplicável, não só a funções da forma f + g e f · g, mas, também, às funções ff g e g 0g . Exercícios Resolvidos 16.5) Calcule o período da função (x) = tg 3x + cos 4x Solução Calculamos, inicialmente, os períodos p1 e p2 das funções f(x) = tg 3x e g(x) = cos 4x; assim: 1 2 2p e p 3 4 2 Estabelecemos, agora a razão entre p1 e p2, encontrando 1 2 p 2 p 3 Temos, então, que P = 3p1 = 2p2; logo, P = 16.6) Calcule o período da função xx sec sen 3x2 Solução Calculamos, inicialmente, os períodos p1 e p2 das funções f(x) = sec x 2 e g(x) = sen 3x; assim: 1 2 2 2p 4 e p1 3 2 Estabelecemos, agora, a razão entre P1 e P2 encontrando 1 2 p 6 p 1 Temos, então, que P = 1·p1 = 6p2; logo, P = 4 16.7) Calcule o período da função cos 3xx cotg 8x Solução Sendo f(x) = cos 3x e g(x) = cotg 8x, vem 1 2 2p e p 3 8 Assim, 1 2 p 16 p 3 Portanto, P = 3p1 = 16p2 = 2 270 16.8) Calcule o período da função 2x tg x Solução Sendo x tg x tg x , notamos que os períodos p1 e p2 são iguais (p1 = p2 = ). Não podemos, portanto, aplicar o teorema visto, a menos que consigamos mudar a forma da função (x). No caso, se lembrarmos a fórmula de arco dobro 2 2 tgxtg 2x 1 tg x e daí tirarmos 2 2 tgxtg x 1 tg2x poderemos aplicar o teorema; sendo f(x) = 2tg x e g(x) = tg 2x, temos 1 2p e p 2 Assim, 1 2 p 2 p 1 Portanto, P = 1·p1 = 2p2 = 16.9) Calcule o período da função (x) = sec x – sen x Solução Também aqui não podemos utilizar o teorema (16.3), pois p1 = p2 = 2. Vamos, então, transformar a função; assim: 1 sen x cos x1x sen xcos x cos x Lembrando que 2sen x·cos x = sen 2x, temos 11 sen2x 2x cos x Agora, 1f x 1 2 sen 2x e g(x) = cos x, onde 1 1 2 2 p2 1p e p 2 e 2 p 2 Portanto, P = 2p1 = 1·p2 = 2 16.4. CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS De modo geral, a construção do gráfico de uma função f, definida por y = f(x), pode ser feita com o auxílio de uma tabela na qual são atribuidos alguns valores particulares a x e determinados os correspondentes valores de y. Foi o que fizemos para a obtenção dos gráficos das funções trigonométricas no capítulo 15. No entanto, conhecidos aqueles gráficos, com algumas regras de transformações no gráfico de uma função, podemos, facilmente, construir os gráficos de muitas outras funções. 271 Vamos enunciar algumas dessas regras. Seja G o gráfico da função definida por y f(x) e seja k 0 uma constante real. 1ª) O gráfico G' da função y = f(x) + k pode ser obtido a partir de G, fazendo este sofrer uma translação de k unidades, na direção Oy, “para cima”, se k é positivo, ou “para baixo”, se k é negativo. 2ª) O gráfico G' da função y = f(x + k) pode ser obtido a partir de G, fazendo este sofrer uma translação de k unidades, na direção Ox, “para a esquerda”, se k é positivo, ou “para a direita”, se k é negativo. 3ª) O gráfico G' da função y = –f(x) pode ser obtido a partir de G, fazendo este sofrer uma reflexão em relação ao eixo Ox. 272 4ª) O gráfico G' da função y = |f(x)| pode ser obtido a partir de G, fazendo a “parte” que está abaixo do eixo Ox sofrer uma reflexão em relação a Ox. Vamos, agora, resolver alguns exercícios onde construiremos gráficos de funções trigonométricas que sofreram transformações. Nem sempre necessária, mas de grande utilidade, é a determinação prévia do período e do conjunto- imagem. Para maior praticidade, propomos as seguintes etapas para a resolução dos problemas: determinação do conjunto-imagem cálculo do
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